Matemática

DIP

CAN

MTA

0700

1V2

Números y

Proporcionali

dad

Unidad temática: conjuntos numéricos

Números enteros (Z) Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

–∞.................. – 2, – 1, 0, 1, 2, .................. +∞

Z– Z+= IN• NO existen inversos multiplicativos.

Números naturales (IN)

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Este conjunto tiene algunas características:

• Divisores de n: Factores que dividen exactamente a n.

• Múltiplos de n: n, 2n, 3n, 4n, 5n, …

• m.c.m.: el menor de los múltiplos comunes entre dos o más números.

• M.C.D.: el mayor de los divisores comunes entre dos o más números.

• Primos = {2, 3, 5, 7, 11, …} (Divisible por 1 y por sí mismo)

• El número uno es el elemento neutro de la multiplicación.

• NO existe neutro aditivo.

consecutividad numérica

n – 1 n n + 1

antecesor sucesor

paridad e imparidad

2n – 3 2n – 1 2n + 1

antecesor impar sucesor impar

Números impares: Son de la forma 2n – 1; n ∈ Z

2n – 2 2n 2n + 2

antecesor par sucesor par

Números pares: Son de la forma 2n; n ∈ Z

Números cardinales (IN0)

IN0 = {0,1,2,3,...}, es decir, según el conjunto anterior:

IN0 = {0} ∪ IN

• El cero es el elemento neutro de la adición.

• NO existen inversos aditivos.

Números enteros (Z)

operatoria en Z

Suma (signos iguales): se suman y se conserva el signo, es decir:

a + a = 2a – a + – a = – 2a

Resta (signos diferentes): se restan y se conserva el signo del coeficiente mayor, es decir:

– 3a + a = – 2a 2a – a = a

Observación: cuando tengas doble signo debes dejar solo uno, es más cómodo para trabajar, es decir:

– a + – a = – a – a a – – a = a + a

Regla de signos para producto y división:

+ • + = + y + • − = −− • − = + − • + = −

prioridad de las operaciones

(PAPOMUDAS)

En cálculos con expresiones que tengan paréntesis y operaciones combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el siguiente:

PARÉNTESIS, partiendo de los interiores a los exteriores.

POTENCIAS.

MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES, de izquierda a derecha.

ADICIONES Y SUSTRACCIONES, de izquierda a derecha.

1º

2º

3º

4º

Números racionales (Q)

Q = ab / a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0

Operaciones

• Para sumar y restar fracciones con igual denominador, este se conserva y se suman o restan los numeradores.

• Para sumar y restar fracciones con distinto denominador, debes seguir los siguientes pasos:

Si b, c y d son distintos de cero, entonces:

ab + c

d =

a · d + b · cbd

ab – c

d =

a · d – b · cbd

• Para multiplicar y dividir fracciones, debes seguir los siguientes pasos:

Si b, c y d son distintos de cero, entonces:

ab

• cd

= a · cb · d

ab

: cd

= ab

· dc

= a · db · c

¿Cómo se convierte de decimal a fracción?

• Decimal finito: 2,5 = 2510

• Decimal infinito periódico: 8,7373... = 8,73= 873 – 899

= 86599

• Decimal infinito semi-periódico: 5,42323... = 5,423 = 5.423 – 54990

= 5.369990

Recuerda:

Siempre debes simplificar todo lo que sea posible antes de comenzar a realizar tus cálculos.

• 7 · 23 ≠ 7

23

143 ≠

21 + 23

operatoria en Q

Números irracionales (Q*)

Además de los números mencionados anteriormente, existen números decimales que tienen

infinitas cifras decimales, sin período, los cuales NO se pueden escribir como una fracción

con numerador y denominador enteros. Estos elementos se llaman números irracionales.

En resumen, los números irracionales son todos aquellos que NO se pueden escribir de la

forma ab

, con a y b ∈ Z y b ≠ 0.

Q* ={…, ± �3, ± �2, ± π, ± �π ,…}

Síntesis

IN: Naturales

IN0: Cardinales

Z: Enteros

Q: Racionales

Q*: Irracionales

IR: Reales

Q ∪ Q* = IR

IN ⊂ IN0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

Q ∩ Q* = ∅

ININ0

ZQ

Q*

IR

Reg

istro

de

prop

ieda

d in

tele

ctua

l de

Cpe

ch.

Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón to

tal o

par

cial

.

Unidad temática: proporcionalidad

Tipos de proporcionalidad:

Proporción compuesta

• Poseen más de dos variables

Proporcionalidad directa

• Ambas variables aumentan o ambas disminuyen.

• Definición: xy = k

y

x

Proporcionalidad inversa

• Mientras que una variable aumenta, la otra disminuye.

• Definición: x • y = k

y

x

Razón: es la comparación de dos cantidades a través de la división, por lo que:

ab

≠ ba

Proporción: igualdad entre dos razones

ab

= cd

, donde a y d son los extremos en la proporción y b y c son los medios.

Se debe cumplir la siguiente propiedad fundamental: producto de medios es igual al producto de extremos, es decir:

a • d = b • c

Unidad temática: porcentajes e interésPorcentajes

a% = a

100, esta definición es fundamental cuando se trata de porcentajes reiterados, es decir:

a% de b% de c% de d% de n, utilizando definición nos queda:

a

100 · b

100 · c

100 · d

100 · n , luego debes comenzar a simplificar todo lo posible para luego multiplicar lo que quede

(numerador con numerador y denominador con denominador).

Interés

Interés simple: K = C • (1 + i • n)

Donde:C = Monto inicialK = Monto finali = Tasa de interésn = Período