MT-2 Díptico Álgebra y funciones
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Matemática
DIP
CAN
MTA
0700
2V1
Potencias
an donde a se denomina base y n exponente de la potencia
an = a • a • a • a • a •… • a, n veces, es decir la base se repite la cantidad de veces que diga el exponente.
Propiedades: Sean a y b distintos de cero• Producto: an • am = an + m (Bases iguales) an • bn = ( a • b)n (Bases diferentes, exponentes iguales)
• División: an : am = an – m (Bases iguales) an : bn = (a : b)n (Bases diferentes, exponentes iguales)
• Potencia de potencia: (an)m = an · m
• Exponente negativo: a– n = ( 1a )n = 1
an
• Exponente 0: a0 = 1
Para tener presente:
• La adición y sustracción NO tienen propiedades, en este caso debes reconocer términos semejantes para sumar y/o restar, de lo contrario factorizar.
• 00 es indeterminado. • (– 1)n = 1, si n es par. (– 1)n = – 1, si n es impar.
Álgebra y
Funciones
Unidad temática: potencias
Potencias
Unidad temática: raícesRaíces raíces
m�xn donde, m es índice de la raíz xn es la cantidad subradical de la raíz
Para tener presente:
• El índice siempre debe ser mayor o igual a dos.• Si m es par, xn siempre debe ser ≥ 0, de lo contrario su
resultado NO pertenece al conjunto de los números reales (IR).
Propiedades
• Relación de la raíz y la potencia
p�aq = a
qp ; p ≠ 0
• Multiplicación de igual índice
n�a •
n�b =
n�a • b , n ≠ 0
• División de igual índice
n�a :
n�b =
n�a : b , o bien,
n�an�b
= � ab
n; n ≠ 0
• Composición
a • n�b =
n�an • b ; n ≠ 0
• Descomposición
n�an • b = a •
n�b ; n ≠ 0
Función Potencia
f(x) = xn , su gráfica asociada es:
n par
y
x
n impar
y
x
• Raíz de una raíz
p�q
�a = p · q
�a ; p y q ≠ 0
• Racionalizar
a
�b •
�b
�b =
a�bb
a
n�bm
• n�bn – m
n�bn – m
= a
n�bn – m
b ; n ≠ 0
Para tener presente:
• p�a •
q�b = a
1p • b
1q = a
qpq • b
ppq =
p · q�aq •
p · q�bp
• p�aq = (p
�a)q
• �a2 = |a|
Unidad temática: álgebra
álgebra
ÁlgebraPara sumar y restar expresiones algebraicas, debes reconocer términos semejantes (idéntico factor literal, distinto factor numérico).
NOMBRE FACTORIZACIÓN PRODUCTO
Cuadrado de binomio(a + b)2 a2 + 2ab + b2
(a – b)2 a2 – 2ab + b2
Suma por diferencia (a + b) · (a – b) a2 – b2
Dos binomios con un término en común (x + a) · (x + b) x2 + (a + b) · x + ab
Cubo de binomio(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Suma de cubos a3 + b3 (a + b) · (a2 – ab + b2)
Diferencia de cubos a3 – b3 (a – b) · (a2 + ab + b2)
productos notables
Unidad temática: ecuaciones de primer gradoUso de paréntesis
• x + (a) = x + a• x + (– a) = x – a • x – (a) = x – a• x – (– a) = x + a • a (x + b) = ax + ab
Reglas para despejar la incógnita
• a♠
+ b♣
= c♥
/ ♠ ♣ ♥ m.c.m
⇒ a ♣ ♥ + b ♠ ♥ = c ♣ ♠
• x + a = b ⇒ x = b – a • x – a = b ⇒ x = b + a • ax = b ⇒ x = b : a • x : a = b ⇒ x = ab
ecuaciones
Función raíz cuadrada
f(x) = �xDom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0}
y
x
�x
f(x) = – �xDom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0}
y
x
–�x
Sistemas de ecuaciones
Representan rectas en el plano cartesiano.
ax + by = cdx + ey = f
• Si ad
≠ be
, existe una única solución, es decir las rectas se intersectan en ese punto.
• Si ad
= be
≠ cf
, NO existen soluciones, es decir las rectas son paralelas.
• Si ad
= be
= cf
, existen infinitas soluciones, es decir, las rectas son coincidentes.
Unidad temática: inecuaciones linealesInecuaciones
• x + a > b ⇒ x > b – a • x – a > b ⇒ x > b + a • ax > b ⇒ x > b : a ; si a > 0• ax > b ⇒ x < b : a ; si a < 0
Solución de una inecuación
x > a x ≥ a x < a x ≤ a a < x < b a ≤ x ≤ b
]a, + ∞[ [a, + ∞[ ]– ∞, a[ ]– ∞, a] ]a, b[ [a, b]
Unidad temática: función afín y función linealFunción afín
f(x) = mx + n; m ≠ 0, n ≠ 0m : pendienten : ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición)
• Si m < 0, entonces la función es decreciente.y
x
• Si m = 0, entonces la función es constante.y
x
• Si m > 0, entonces la función es creciente.
y
x
Casos particulares de la función afínSi n = 0 y m = 1
Función identidad: f(x) = xSi m = 0 y n = c
Función constante: f(x) = cSi n = 0
Función lineal: f(x) = mx
f(x)
x
2
1
1
– 1
– 1
2
f(x)
x
c
f(x)
x
m > 0
Reg
istro
de
prop
ieda
d in
tele
ctua
l de
Cpe
ch.
Pro
hibi
da s
u re
prod
ucci
ón to
tal o
par
cial
.
Unidad temática: función parte entera y función valor absoluto
Función parte entera
f(x) = [x] Dom f: IRRec f: Z
1
– 2
– 1
– 3
– 3
2 3 4x
y
12
3
– 2 – 1
Función valor absoluto
f(x) = |x| x, x ≥ 0 f(x) = |x| = – x, x < 0
Dom f: IR Rec f: IR+ ∪ {0}
x
y
|x|
Unidad temática: función exponencialf(x) = ax
Dom f: IRRec f: IR+
Caso especial Interés compuesto: K = C · (1 + i)n
Donde:C = Monto inicialK = Monto finali = Tasa de interésn = Período
ax
y
x
a > 1; función creciente
a > 1
ax
a < 1; función de creciente
y
x0 < a < 1
Unidad temática: función cuadráticaFunción cuadrática
f(x) = ax2 + bx +c
(0, c): intersección con el eje Y
c
y
x
a > 0
Cóncava hacia arriba
y
x
a < 0
Cóncava hacia abajo
c
Unidad temática: función logarítmica
y
x
logb x
b > 1; función creciente
b > 11
0 < b < 1; función decreciente
y
x
logb x
0 < b < 1
1
Para tener presente:
y = logb x ⇔ by = x, b ≠ 1
f(x) = logb x
Dom f: IR+
Rec f: IR