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Método Alternativo de Descomposición de Tendencia yCiclo del PBI Peruano
Ángel Guillén Gabriel Rodríguez
Ponti�cia Universidad Católica del Perú
Octubre 2012
Guillén - Rodríguez (PUCP) Descomposición de Tendencia y Ciclo Octubre 2012 1 / 36
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Contenido
1 Motivación2 Revisión de la Literatura3 Justi�cación del modelo a usar4 Metodología5 Resultados6 Conclusiones
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Motivación
Realizar una descomposición de tendencia y ciclo que recoja lascaracterísticas del PBI peruano: cambios abruptos en el nivel de latendencia o en la tasa de crecimiento de largo plazo, así comoposibles asimetrías en los ciclos.
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PBI Peruano
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¿Posible Tendencia?
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Revisión de la Literatura (1)
Los Pioneros
Burns y Mitchell (1946).Feller (1956).Zarnowitz y Boschan (1977).
ARIMA vs Componentes no Observables (UC)
Beverigde y Nelson (1981).Watson (1986).Campbell y Mankiw (1987)Clark (1987).Stock y Watson (1988).
Evidencia de asimetrías
Friedman (1964, 1993).Neftci (1984), Sichel (1991).Diebold, Rudebusch y Sichel (1993).
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Revisión de la Literatura (2)
Modelos no lineales
Hamilton (1989).Teräsvirta (1994).Kim y Nelson (1999).
Filtros Econométricos
Hodrick y Prescott (1997).Baxter y King (1999).Christiano y Fitzgerald (2003).Harvey y Trimbur (2003).
Literatura Nacional
Cabrero y Valdivia (1999).Miller (2003).Seminario, Rodríguez y Zuloeta (2007).Rodríguez (2010a, 2010b, 2010c).
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Revisión de la Literatura (3)
Nuevas propuestas
Morley, Nelson y Zivot (2003): concilian los modelos ARIMA y UC através del grado de correlación entre las perturbaciones del ciclo y de latendencia.Perron y Wada (2006, 2009): plantean un modelo UC cuyasperturbaciones están compuestas por una mixtura de distribucionesnormales tanto para el componente cíclico como para el tendencial.
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Justi�cación del modelo a usar
Se empleará el método de Perron y Wada (2006, 2009) por lassiguientes razones:
Flexibilidad para recoger el comportamiento no lineal de la serie.Soluciona el problema de identi�cación ARIMA vs UC.Recoge la asimetría de los ciclos.Puede recoger outliers.No impone restricciones de suavizamiento a las series.
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MetodologíaEspeci�cación del modelo univariado
yt = τt + ct +ωt
τt = τt�1 + βt + ηtβt = βt�1 + υt
ct = φ1ct�1 + φ2ct�2 + εt
Donde cada término de perturbación:
ut = λtγ1t + (1� λt ) γ2tγit � i .i .d .N
�0, σ2i
�λt � i .i .d .Bernoulli (α)
Se plantea varios tipos de modelos univariados, por ejemplo el modeloMU-CN con mixturas en εt , ηt .
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MetodologíaRepresentación espacio estado
yt = Hxt +ωt
xt = Fxt�1 + Gut
H 0 =
26641100
3775 , xt =2664
τtctct�1βt
3775 , F =26641 0 0 10 φ1 φ2 00 1 0 00 0 0 1
3775 , G = I , ut =2664
ηtεt0υt
3775
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MetodologíaRepresentación espacio estado (2)
La matriz de varianza y convarianza será:
QMU�CN =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
2664σ2η1 0 0 00 σ2ε1 0 00 0 0 00 0 0 σ2υ
3775 ,2664
σ2η1 0 0 00 σ2ε2 0 00 0 0 00 0 0 σ2υ
3775 ,2664
σ2η2 0 0 00 σ2ε1 0 00 0 0 00 0 0 σ2υ
3775 ,2664
σ2η2 0 0 00 σ2ε2 0 00 0 0 00 0 0 σ2υ
3775
9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;donde cada estado ocurre con probabilidad α1α2, α1 (1� α2), (1� α1) α2,y (1� α1) (1� α2), respectivamente.
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MetodologíaAlgoritmo de estimación
Filtro de Kalman
Filtro de Hamilton (con independencia de probabilidades)
Colapsamiento de estados
Evaluación de máxima verosimilitud
Valores iniciales
Restricciones
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (2)
Filtro de Kalman
x ijt jt�1 = Fx it�1jt�1 (1)
P ijt jt�1 = FP it�1jt�1F0 + GQ jG 0 (2)
v ijt jt�1 = yt �Hx ijt jt�1 (3)
f ijt jt�1 = HP ijt jt�1H0 + R (4)
x ijt jt = x ijt jt�1 + Pijt jt�1H
0hf ijt jt�1
i�1v ijt jt�1 (5)
P ijt jt =
�I � P ijt jt�1H
0hf ijt jt�1
i�1H�P ijt jt�1 (6)
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (3)
Filtro de HamiltonAl inicio del proceso de iteración, para el tiempo t, dado St�1 = i y St = j
Pr(st�1 = i , st = j jYt�1) = Pr(st = j jst�1 = i)Pr (st�1 = i jYt�1)Pr(st�1 = i , st = j jYt�1) = Pr(st = j)Pr (st�1 = i jYt�1)
donde la función de densidad marginal de yt está dada por:
p (yt jYt�1) =4
∑j=1
4
∑i=1p (yt jst�1, st = i ,Yt�1)Pr (st�1 = i , st = j jYt�1)
p (yt jst�1, st ,Yt�1) =1p2π
���f ijt jt�1����1/2exp
8><>:�v ij
0
t jt�1
�f ijt jt�1
��1v ijt jt�1
2
9>=>;Guillén - Rodríguez (PUCP) Descomposición de Tendencia y Ciclo Octubre 2012 15 / 36
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (4)
Observado Yt en el tiempo t se actualiza la probabilidad.
Pr (st�1 = i , st = j jYt ) = Pr (st�1 = i , st = j jyt ,Yt�1)
=p (yt ,st , st�1jYt�1)
p (yt jYt�1)
=p(yt jst, st�1,Yt�1)Pr(st�1 = i , st = j jYt�1)
p(yt jYt�1)(7)
Pr(st = j ,Yt ) =4
∑t=1Pr(st�1 = i , st = j jYt ) (8)
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (5)
Colapsamiento
x jt jt =∑4i=1 Pr (st�1 = i , st = j jYt ) x ijt jt
Pr(st = j jYt )
P jt jt =∑4i=1 Pr (st�1 = i , st = j jYt )
�P ijt jt +
�x it jt � x
ijt jt
� �x it jt � x
ijt jt
�0�Pr(st = j jYt )
Máxima verosimilitud
ln (L) = ln
"T
∑t=1p (yt jYt�1)
#(9)
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (6)
Valores iniciales
x0j0 = [y1, 0, 0,∆y2]0
P0j0 =
24 1e + 08 0 00 P 00 0 1e + 08
35
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MetodologíaAlgoritmo de estimación (7)
RestriccionesExiste un problema de �label switching�
p (yt jst�1, st ,Yt�1)Pr (st�1 = i , st = j jYt�1) +p (yt jst�1, st ,Yt�1)Pr (st�1 = i�, st = j jYt�1)
= p (yt jst�1, st ,Yt�1)Pr (st�1 = i�, st = j jYt�1) +p (yt jst�1, st ,Yt�1)Pr (st�1 = i , st = j jYt�1) .
Por tanto, se imponen las siguientes restricciones
σ22 > σ21
ασ21> 0.5
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Resultados - Modelo MU-CDescomposición en Tendencia y Ciclo
1985 1990 1995 2000 2005 2010
40
30
20
10
0
10
Ciclo filtrado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 2010
40
30
20
10
0
10
Ciclo suavizado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 2010960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia filtrada
año1985 1990 1995 2000 2005 2010
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia suavizada
año
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Resultados - Modelo MU-CProbabilidades de los regímenes
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de baja varianza
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de alta varianza
año
Pro
babi
lidad
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Resultados - Modelo MU-CEvolución de la pendiente
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Tasa de crecimiento de la tendencia
año
Var
iaci
ón (%
)
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Resultados - Modelo MU-NDescomposición en Tendencia y Ciclo
1985 1990 1995 2000 2005 20108
6
4
2
0
2
4
6
8Ciclo filtrado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 20108
6
4
2
0
2
4
6
8Ciclo suavizado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 2010960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia filtrada
año1985 1990 1995 2000 2005 2010
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia suavizada
año
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Resultados - Modelo MU-NProbabilidades de los regímenes
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de baja varianza
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de alta varianza
año
Pro
babi
lidad
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Resultados - Modelo MU-NEvolución de la pendiente
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Tasa de crecimiento de la tendencia
año
Var
iaci
ón (%
)
Guillén - Rodríguez (PUCP) Descomposición de Tendencia y Ciclo Octubre 2012 25 / 36
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Resultados - Modelo MU-PDescomposición en Tendencia y Ciclo
1985 1990 1995 2000 2005 20108
6
4
2
0
2
4
6
8Ciclo filtrado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 20108
6
4
2
0
2
4
6
8Ciclo suavizado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 2010960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia filtrada
año1985 1990 1995 2000 2005 2010
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia suavizada
año
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Resultados - Modelo MU-PProbabilidades de los regímenes
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de baja varianza
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Periodos de alta varianza
año
Pro
babi
lidad
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Resultados - Modelo MU-PEvolución de la pendiente
1985 1990 1995 2000 2005 201012
10
8
6
4
2
0
2
4Tasa de crecimiento de la tendencia
año
Var
iaci
ón (%
)
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Resultados - Modelo MU-CNDescomposición en Tendencia y Ciclo
1985 1990 1995 2000 2005 201020
15
10
5
0
5
10
15Ciclo filtrado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 201020
15
10
5
0
5
10
15Ciclo suavizado
año
Des
viac
ión
(%)
1985 1990 1995 2000 2005 2010960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia filtrada
año1985 1990 1995 2000 2005 2010
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100Tendencia suavizada
año
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Resultados - Modelo MU-CNProbabilidades de los regímenes
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.5
1Baja varianza en el ciclo y baja varianza en la tendencia
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.5
1Baja varianza en el ciclo y alta varianza en la tendencia
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.5
1Alta varianza en el ciclo y baja varianza en la tendencia
año
Pro
babi
lidad
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.5
1Alta varianza en el ciclo y alta varianza en la tendencia
año
Pro
babi
lidad
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Resultados - Modelo MU-CNEvolución de la pendiente
1985 1990 1995 2000 2005 20100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Tasa de crecimiento de la tendencia
año
Var
iaci
ón (%
)
Guillén - Rodríguez (PUCP) Descomposición de Tendencia y Ciclo Octubre 2012 31 / 36
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ResultadosParticipación de los Choques en la Varianza del Producto
MU-C MU-N MU-P MU-CN MU-CP MU-NP MU-CNPσ2η 0.1% 48.2% 39.5% 25.6% 0.9% 59.9% 45.1%
σ2ε 69.0% 42.6% 43.2% 69.3% 68.1% 32.6% 41.9%σ2ν 4.9% 9.2% 16.1% 4.6% 5.0% 7.4% 12.8%σ2ω 26.0% 0.0% 1.2% 0.4% 26.0% 0.2% 0.2%
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ResultadosRatio de Verosimilitud
MU-C MU-N MU-P MU-CN MU-CP MU-NP MU-CNPMU-0 0.514 0.754 0.001 0.012 0.823 1.000MU-C 0.000 0.000 1.000MU-N 0.000 0.023 1.000MU-P 0.000 0.000 0.221ln(L) -307.4 -308.3 -316.9 -291.7 -295.1 -301.1 -306.0Se muestran los p-values siguiendo la especi�cación de Davies (1987).
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ResultadosCorrelaciones con otros métodos
MU-C MU-N MU-P MU-CN MU-CP MU-NP MU-CNPtq 0.84 0.50 0.62 0.94 0.84 0.17 0.83HP 0.71 0.69 0.50 0.76 0.71 0.39 0.72ByK 0.74 0.68 0.46 0.77 0.74 0.36 0.73Clark 0.71 0.34 0.26 0.83 0.71 0.10 0.77Hamilton 0.33 0.45 0.45 0.68 0.34 0.12 0.47Plucking 0.88 0.31 0.33 0.81 0.88 0.12 0.81Promedio 0.70 0.50 0.44 0.80 0.70 0.21 0.72tq: tendencia lineal con quiebre en nivel en 1992q3 y en pendiente en 2002q1.
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Conclusiones
La metodología aplicada es �exible y permite modelar las nolinealidades presentes en el PBI peruano.
Se generan ciclos acorde con los periodos de expansión y recesión dela economía peruana.
La mayoría de las recesiones son asociadas a regímenes de altavolatilidad, a excepción de la recesión del 2009.
El peso relativo de los choques de corto y largo plazo es sensible a laespeci�cación, sin embargo, cuando se admiten mixturas de normalespara ambos tipos de choques, los choques de corto plazo predominan.
El modelo MU-CN es el que mejor desempeño tiene y recoge uncambio estructural acontecido a inicios de los 90s así como laasimetrías en los ciclos.
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Agenda pendiente
Un test sobre los residuos de cada modelo.
Un método para comparar los modelos que no están anidados.
Un análisis de sensibilidad al considerar un gran número de mixturas.
Mejorar la presentación del documento.
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