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Métodos Numéricos y Simulacionesen Astrofísica
Parte 7: Métodos de Paso Múltiple, Implícitosy Predictor - Corrector
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Métodos Implícitos
Cómo encontrar el valor de yn+1?Método de Newton, de la secante o iteración
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Métodos Implícitos
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Métodos Predictor - Corrector
Existe otra forma de encontrar el valor de yn+1?
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Ejemplo:
Métodos Predictor - Corrector
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Ejemplo:
Métodos Predictor - Corrector
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Métodos Predictor - Corrector
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En general, a menos que la ecuación diferencial sea muy sensible a cambios en los datos un método predictor – corrector es tan bueno como el proceso de encontrar los valores
exactos de yn+1 mediante un método de recursión.
Métodos Predictor - Corrector
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Si la ecuación diferencial es lineal es posible
evitar el método implícito:
Métodos Predictor - Corrector
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Métodos de Paso Múltiple
Cómo encontrar los valores iniciales?
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Métodos de Paso Múltiple
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Métodos de Paso Múltiple
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Métodos de Paso Múltiple
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Métodos de Paso Múltiple
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Métodos de Runge-Kutta
Los métodos de Runge-Kutta son muy populares para resolver problemas de valor inicial y poseen gran exactitud.
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Métodos de Runge-Kutta
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Métodos de Runge-Kutta
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Si reescribimos la fórmula para R:
Métodos de Runge-Kutta
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Solución 1
Solución 2
Métodos de Runge-Kutta
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Solución 3
Métodos de Runge-Kutta
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Método de Runge-Kutta(cuarto orden)
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Método de Runge-Kutta
Ejemplo:
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Método de Runge-Kutta
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Uno de los problemas más serios del método de Runge-Kutta es que requiere más evaluaciones de la función que otros métodos.
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El grupo de métodos de Adams:
Métodos Explícitos: Adams-Bashforth Métodos Implícitos: Adams-Moulton
Métodos de Pasos Múltiples
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Método de Adams-Bashforth
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Método de Adams-Bashforth
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Si asumimos una malla uniforme con un espaciado h, entonces las fórmulas para λk y ρp se simplifican considerablemente (y están tabuladas):
Método de Adams-Bashforth
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Table 6.6
Ejemplo:
Método de Adams-Bashforth
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Table 6.6
Ejemplo (cont.):
Método de Adams-Bashforth
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If k = -1 then tn-k= tn+1
If k = -1 then tn-k= tn+1
Método de Adams-Moulton
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Ejemplo (cont.):
Método de Adams-Moulton
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Ejemplo (cont.):
Método de Adams-Moulton
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Método de Diferencias Retrógradas
BDF (Backward Difference Formula):
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K = -1
Método de Diferencias Retrógradas
BDF (Backward Difference Formula):
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Método de Diferencias Retrógradas
BDF (Backward Difference Formula):
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Estabilidad
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Estabilidad
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Estabilidad
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Estabilidad
Ejemplo: