Muestreo y tamao de muestra

IntroduccinPartiendo de la importancia que tiene para cualquier profesional e investigadorconocer varios conceptos importantes de la estadstica para poder desarrollarexitosamente una investigacin de cualquier ndole, en el presente trabajo nosproponemos dar tratamiento a algunos elementos de la estadstica matemtica dela forma mas elemental posible para que pueda ser asimilada por cualquierprofesional sin tener en cuenta su especialidad ya sea de las ciencias socialescomo de las ciencias exactas.

Nuestro propsito es encaminar al profesional en:

Conocer el aparato conceptual necesario desde el punto de vistaestadstico para emprender de forma slida y cientfica una investigacin.

Mostrar algunas de las formas cientficas de obtener una muestra. Tipo de muestreo a utilizar segn el inters del profesional. Como determinar el tamao de muestra necesario para el desarrollo de la

investigacin.

Dentro de esa gama de conceptos primarios tenemos los siguientes:

Poblacin. Muestra Parmetro Estadstico Error muestral Nivel de confianza Varianza poblacional Inferencia estadstica

Desarrollo

Poblacin. No es ms que aquel conjunto de individuos o elementos que lepodemos observar, medir una caracterstica o atributo.

Ejemplos de poblacin:

El conjunto formado por todos los estudiantes universitarios en Cuba. El conjunto de todos los estudiantes de una Universidad. El conjunto de personas fumadoras de una regin.

Son caractersticas medibles u observables de cada elemento por ejemplo, suestatura, su peso, edad, sexo, etc.

Supongamos que nos interesa conocer el peso promedio de la poblacin formadapor los estudiantes de una universidad. Si la universidad tiene 5376 alumnos,bastara pesar cada estudiante, sumar los 5376 pesajes y dividirlo por 5376. Peroeste proceso puede presenta dificultades dentro de las que podemos mencionar:

localizar y pesar con precisin cada estudiante: escribir todos los datos sin equivocaciones en una lista: efectuar los clculos.

Las dificultades son mayores si en nmero de elementos de la poblacin esinfinito, si los elementos se destruyen, si sufren daos al ser medidos o estn muydispersos, si el costo para realizar el trabajo es muy costoso.

Una solucin a este problema consiste en medir solo una parte de la poblacinque llamaremos muestra y tomar el peso medio en la muestra como unaaproximacin del verdadero valor del peso medio de la poblacin.

El tamao de la poblacin es la cantidad de elementos de esta y el tamao de lamuestra es la cantidad de elementos de la muestra. Las poblaciones pueden serfinitas e infinitas.

Los datos obtenidos de una poblacin pueden contener toda la informacin que sedesee de ella. De lo que se trata es de extraerle esa informacin a la muestra, esdecir a los datos muestrales sacarle toda la informacin de la poblacin.

La muestra debe obtener toda la informacin deseada para tener la posibilidad deextraerla, esto slo se puede lograr con una buena seleccin de la muestra y untrabajo muy cuidadosos y de alta calidad en la recogida de los datos.

Es bueno sealar que en un momento una poblacin puede ser muestra en unainvestigacin y una muestra puede ser poblacin, esto esta dado por el objetivodel investigacin, por ejemplo en el caso de determinar la estatura media de losestudiantes universitarios en Cuba una muestra poda ser escoger algunasuniversidades del pas y realizar el trabajo, si por el contrario se quiere saber laestatura promedio de los estudiantes de una universidad en especifico en Cuba,entonces el conjunto formado por todos los estudiantes de esta universidad serala poblacin y la muestra estara dada por los grupos, carreras o aosseleccionado para realzar el experimento.

Parmetro : Son las medidas o datos que se obtienen sobre la distribucin deprobabilidades de la poblacin, tales como la media, la varianza, la proporcin,etc.

Estadstico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lotanto una estimacin de los parmetros.

Error Muestral, de estimacin o standard. Es la diferencia entre un estadstico ysu parmetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de lasestimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la poblacin, nos da unanocin clara de hasta dnde y con qu probabilidad una estimacin basada en unamuestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo

completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigacin nosindicar hasta qu medida podemos cometerlo (los resultados se someten a errormuestral e intervalos de confianza que varan muestra a muestra). Vara segn secalcule al principio o al final. Un estadstico ser ms preciso en cuanto y tanto suerror es ms pequeo. Podramos decir que es la desviacin de la distribucinmuestral de un estadstico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a larealidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn unaley de probabilidad (Gauss o Student), as llamamos nivel de confianza a laprobabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte elverdadero valor del parmetro.

Varianza Poblacional. Cuando una poblacin es ms homognea la varianza esmenor y el nmero de entrevistas necesarias para construir un modelo reducidodel universo, o de la poblacin, ser ms pequeo. Generalmente es un valordesconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

Inferencia estadstica. Trata el problema de la extraccin de la informacinsobre la poblacin contenida en las muestras.Para que los resultados obtenidos de los datos muestrales se puedan extender ala poblacin, la muestra debe ser representativa de la poblacin en lo que serefiere a la caracterstica en estudio, o sea, la distribucin de la caracterstica en lamuestra debe ser aproximadamente igual a la distribucin de la caracterstica en lapoblacin.

La representatividad en estadstica se logra con el tipo de muestreo adecuado quesiempre incluye la aleatoriedad en la seleccin de los elementos de la poblacinque formaran la muestra. No obstante, tales mtodos solo nos garantizan unarepresentatividad muy probable pero no completamente segura.

Despus de estos preliminares imprescindibles es posible pasa a tratar algunas delas formas que desde el punto de vista cientfico se puede extraer una muestra.

Al realizar un muestreo en una poblacin podemos hablar de muestreosprobabilsticos y no probabilsticos, en nuestro caso nos referiremos a losmuestreos probabilsticos y dentro del mismo estudiaremos el muestreo aleatoriosimple (MAS), como mtodo bsico en la estadstica, el muestreo estratificado y elmuestreo por racimos.

Muestreo aleatorio simple: Es aquel en que cada elemento de la poblacin tienela misma probabilidad de ser seleccionado para integrar la muestra.

Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionadosmediante el muestreo aleatorio simple.

En la prctica no nos interesa el individuo o elemento de la poblacin seleccionadoen general, sino solo una caracterstica que mediremos u observaremos en l ycuyo valor ser el valor de una variable aleatoria que en cada individuo o elementode la poblacin puede tomar un valor que ser un elemento de cierto conjunto de

valores. De modo que una muestra simple aleatoria se puede

interpretar como un conjunto de valores de variables aleatoriasindependientes, cada una de las cuales tiene la misma distribucin que es llamadadistribucin poblacional.

Existen dos formas de extraer una muestra de una poblacin: con reposicin y sinreposicin.

Muestreo con reemplazo: Es aquel en que un elemento puede ser seleccionadoms de una vez en la muestra para ello se extrae un elemento de la poblacin seobserva y se devuelve a la poblacin, por lo que de esta forma se pueden hacerinfinitas extracciones de la poblacin aun siendo esta finita.

Muestreo sin reemplazo: No se devuelve los elementos extrados a la poblacinhasta que no se hallan extrados todos los elementos de la poblacin queconforman la muestra.

1. La estadstica como mtodo de investigacin cientficaEste autor considera, en contraposicin de otros investigadores, que en todainvestigacin deben aplicarse los distintos estadgrafos que aportan laestadstica descriptiva e inferencial, que posibilita un anlisis mucho mscientfico del objeto de estudio investigado y coadyuva a la asuncin ycomprobacin de las hiptesis planteadas, entre otras. Es por ello que eneste trabajo se considera conveniente dejar bien claro qu es la estadstica yqu papel juega en una investigacin cientfica.

2. Algunos presupuestos tericosDe muchos autores consultados, y por razones obvias de espacio, se analizarndos conceptos de estadstica: el que emiten Montgomery (1996) y el de Devore(2000), los que plantean:

"El campo de la estadstica tiene que ver con la recopilacin, presentacin, anlisisy uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas." (Montgomery, 1996;1).

"Es la rama de la investigacin cientfica que proporciona mtodos para organizary resumir informacin y usar sta para obtener diversas conclusiones" (Devore,2000; 1).

Al analizar ambos conceptos se puede llegar a la conclusin que son similares,pero Montgomery no la define como una rama de la ciencia; que Devore si lohace, al decir que: () es la rama de la investigacin cientfica que proporcionamtodos para organizar y resumir informacin y usar sta para obtener diversasconclusiones."

La definicin de Devore es la asumida por este autor por considerar a laestadstica como una rama de la investigacin cientfica y porque adems,

establece que la estadstica proporciona mtodos para organizar y resumirinformacin, que luego sern usadas para obtener diversas conclusiones; esdecir, que no se trata solamente de organizar y recopilar datos para resolverproblemas, como plantea Montgomery. De ello se infiere que: la estadstica es unmtodo de investigacin que se conjuga con los mtodos tericos y empricos desta y que se imbrica con el mtodo matemtico, por ser es una rama de ella yque es considerada como una ciencia exacta.

Cuando una investigacin es apoyada por mtodos estadsticos, resulta obvio queconstituye una herramienta poderosa mediante la cual se resumen los datos y seobtienen conclusiones de stos, que coadyuva al desarrollo de una investigacin,a lo que modestamente agregara que: "la estadstica es el arte se hacer hablar alos nmeros de manera cientfica, lo que permite resultados ms pertinentes enuna investigacin".

A la mayora de los investigadores les resulta difcil determinar el tamao de unamuestra y siempre que se hace existe la incertidumbre si sta es o noverdaderamente representativa, por lo que debemos preguntarnos: Qu es unamuestra representativa? Qu es lo que verdaderamente hace representativa unamuestra?

Existen infinidad de criterios acerca de lo que es representatividad de unamuestra. Si hiciramos esta pregunta a distintos investigadores, evidentementeobtendramos respuestas diversas, y en su mayora pemeada por el factorsubjetivo de lo que esas personas entienden por representatividad. As que esmejor partir de las definiciones de representar, representativo y representatividad,donde:

Representar, v. a. Presentar de nuevo. Informar, declarar, Ser imagen deuna cosa, reproducir, expresar, imagen, figura, Diccionario Larousse.

Representar (del lat. repassentre): Ser imagen o smbolo de una cosa, oimitarla perfectamente. Diccionario Enciclopdico Hispano-Americano.

Representativo, v. a. adj. Que representa: signos representativos de lariqueza. Diccionario Larousse.

Representativo, v. a. adj. Dcese de lo que sirve para representar otracosa. Diccionario Enciclopdico Hispano-Americano.

En estas definiciones se observa que si representar no es ms que expresar,reproducir una cosa, o ser su imagen, y que representativo es lo que sirve pararepresentar otra cosa, por lo tanto: representatividad, es la cualidad de lorepresentativo, de aqu que si algo est bien representado, se puede decirentonces que ese algo tiene representatividad acerca de la otra cosa querepresenta.

Es por ello que al seleccionar una muestra, si se sabe que sta constituye unsubconjunto de la poblacin, debemos tener cuidado que la misma tenga lasmismas propiedades de la poblacin y que obedezca a determinados argumentos,desde el punto de vista estadstico, para decir que la misma es una muestrarepresentativa.

Pero antes de analizar en qu consiste estos argumentos estadsticos, parallamarlo de alguna forma prctica, resulta necesario dejar bien claro lo que esuniverso o poblacin y muestra, lo que a estos fines se har mediante ejemplospara que el lector le resulte ms comprensible.

1. Concepto de Universo o poblacin

Si por ejemplo, una investigacin tiene como objetivo aportar una seriede indicadores para evaluar la calidad del trabajo metodolgico en laEducacin Tcnica y Profesional (ETP en lo adelante) en la provinciade Holgun; el objeto de estudio, entre otras cosas, tiene como Universoo poblacin al claustro de profesores, dirigentes y estudiantes de toda laprovincia de Holgun, pero de la ETP.

Si por el contrario, esta investigacin se circunscribe a las escuelaspolitcnicas de la ETP del municipio de Holgun, ahora el universo opoblacin no estar constituida por los profesores, dirigentes yestudiantes de la ETP de cada uno de los 14 municipios de la provinciasino que estar constituida por los profesores, dirigentes y estudiantesde la ETP, nicamente del municipio de Holgun. Por lo que ahoraobserve que la universo o poblacin ha cambiado a un sector msestrecho: de aqu la relatividad de la poblacin a tomar en unainvestigacin.

Si este mismo ejemplo se circunscribe a todas las escuelas de oficiosdel municipio de Holgun, resulta evidente que la poblacin ya noestar constituida por todos los estudiantes de la ETP, sino slo los delas escuelas de oficio y por consiguiente, se excluye de ellas las queforman tcnicos medios de este municipio.

De todos los ejemplos acotados es importante observar que la poblacinno la conforman estudiantes, profesores y dirigentes de cualquierentidad o sector; por el contrario, todos se refieren al sector de laeducacin y dentro de ste no a cualquier subsistema de enseanza,sino especficamente al de la Educacin Tcnica y Profesional. Por loque el primer requisito que deben tener los objetos (pueden serpersonas o cosas) que conformarn el universo o poblacin es quedeben tener las mismas caractersticas o propiedades, de aqu elcarcter homogneo de la misma.

Tambin muy importante para el investigador dejar bien claro cul es suobjeto y campo de estudio, porque los mismos determinarn la poblacina trabajar.

2. Qu entiende por poblacin estadstica?

Poblacin [poblacin] f. [Del lat. populato, -nis ]

1. Accin y efecto de poblar.

2. Conjunto de personas que habitan la Tierra o cualquier divisingeogrfica de ella.

3. Conjunto de edificios y espacios de una ciudad.

4. Conjunto de individuos de la misma especie que ocupan unamisma rea geogrfica.

5. Conjunto de los individuos o cosas sometido a unaevaluacin estadstica mediante muestreo.

Egaa (2003), plantea: "Se considera poblacin como un conjunto de individuos, oms general, de elementos, con una caracterstica observable (medible) ()".

Este ponente considera que:

"Poblacin es el conjunto de todos los individuos, objetos,procesos o sucesos homogneos que constituyen el objeto deinters. La poblacin se relaciona directamente con el campo deestudio" (Morguez, 2006).

Es indudable, que a partir del concepto anterior, que es el asumido en estetrabajo, se observe una dicotoma entre los objetos (personas o cosas), procesosy sucesos que cumplen con determinadas caractersticas ya que stos puedenser: infinitos, por ejemplo el estudio de las estrellas, entre otras; o por el contrario,pueden ser finitos, como los ejemplos antes expuestos.

Como el objetivo de este trabajo est encaminado a las investigaciones sociales,entre ellas las educacionales, resulta evidente que siempre se trabajar conpoblaciones finitas.

En todos los casos analizados en que la poblacin ha variado, se llega a laconclusin que resulta imposible poder trabajar con uno y cada una de laspersonas u objetos que conforman la poblacin por razones econmicas yoperativas, de aqu que es imprescindible obtener un subconjunto de elementosrepresentativos de esta poblacin homognea para trabajar con ella y eso no esms que la muestra; de aqu que se adopte el concepto de muestra que emiteMurray (1961) y Ogaa (2003) cuando expresan que la misma es unsubconjunto o parte de una poblacin. De aqu que tengan las mismascaractersticas o propiedades de la poblacin de donde se tom.

Ya se tiene claro que es una muestra y que la misma tiene que ser extrada de lapoblacin objeto de estudio, pero el problema est dado en cmo puede serextrada la misma y cuntos elementos se deben tomar de una poblacin paradecir que hay una calidad en su representacin, o lo que es lo mismo, que hayrepresentatividad.

Si una muestra es representativa, entonces se puede inferir toda una serie deimportantes conclusiones acerca de la poblacin (estadstica inductiva o inferenciaestadstica) o describir caractersticas observadas en la muestra (estadsticadescriptiva), que permita posteriormente hacer inferencias con relacin a la

poblacin. Es por ello importante que todo investigador deje bien claro que lamuestra asumida es representativa de la poblacin extrada.Entonces: Cmo hacer para que una muestra sea representativa? De quforma se puede extraer la muestra de una poblacin? Cuntas personas uobjetos tomar de una poblacin para que sea lo ms equitativa posible conrelacin a las distintas escuelas, grupos o sectores que conforman la poblacin?

Para contestar estas interrogantes primero se partir de los tipos de muestras quese pueden asumir en una investigacin.

1. Tipos de muestraHay varios criterios para clasificar las muestras, pero se adoptar el criterio queemite Freud (1977), Rivas (1991), Morguez (2005), entre otros, por ser uno de losms difundidos y empleados en la actualidad.

Las muestras se agrupan en dos grandes dimensiones: Aleatoria y no aleatoria ydentro de sta se puede observar otras clasificaciones, siendo ests:

1. Aleatorio Simple: Le da la probabilidad a cada uno de los miembrosde una poblacin a ser elegidos. Es uno de los ms empleados yrecomendado en las investigaciones sociales y educacionales, ya queeste principio de darle la oportunidad a cada uno de los miembros de lapoblacin a ser elegidos o tomados como muestra, es lo que permiteobtener conclusiones en la muestra e inferir lo que pudiera ocurrir, apartir de sta, en la poblacin, con un elevado grado de pertinencia.Estadsticamente permite inferir a la poblacin los resultados obtenidosen la muestra (Devore, 2000), (Montgomery, 1999), (Siegel, 1997),

2. Aleatorio Sistemtico: Se hace una lista de la poblacin aintervalos fijos, bien sea tomando el coeficiente de elevacin (ce) comopunto de partida; donde:

3. V. g: Si la poblacin P = 100elementos y la muestra

n= 20, entonces: Qu quiere decir esto?

Indica que cada vez que se produzcan piezas en mltiplos de 5, serseleccionada una para la realizacin de determinada medicin, etc.elementos u objetos producidos (si se tratara de un proceso deproduccin de piezas).

Tambin se puede extraer de la lista cada ensimo caso, este mtodose emplea mucho en los controles de calidad de producciones seriadasy masivas; pero tambin puede ser empleado en las investigaciones engeneral.

4. Aleatorio Estratificado: Es otra variacin del aleatorio simple yconsiste en subdividir a la poblacin en subgrupos o estratos mshomogneos, de los que se toman muestras aleatorias simples de cadauno de dichos estratos. Hay que evitar que los estratos no se traslapen.(superpongan o que existan elementos de un estrato en otro).

2.1) Muestreo no aleatorio por accidente: El investigador incluyelos elementos que le son ms convenientes para la muestra.

2.2) Muestreo no aleatorio intencional o de juicio: La idea bsicaque involucra este tipo de muestra, es que la lgica y el sentidocomn pueden usarse para seleccionar la muestra que searepresentativa de una poblacin. Ej. Seleccin de expertos por elmtodo de experto.

2.3) Muestreo por cuotas: sta se obtiene al especificar lascaractersticas deseadas de los sujetos que se desea recoger lainformacin y se le deja libertad al investigador para que le apliquelos instrumentos necesarios a las personas con esas caractersticas.Ej. Se desea hacer un estudio de una poblacin estudiantil de losestudiantes que han repetido el 6. grado y tiene determinada edad osituacin en el hogar.

Como en la mayora de las investigaciones educacionales se trabajan conestratos, los cuales pueden ser escuelas: de una provincia, o de un municipio,grupos de una escuela o de diferentes escuelas, se dirigir la atencin de estetrabajo a exponer de forma prctica cmo seleccionar la muestra de una poblacinconformada por una poblacin de todas los institutos politcnicos del municipio deHolgun, a los efectos de aplicar instrumentos diagnstico de una investigacinacerca de Cmo se ha desarrollado el trabajo metodolgico en dichas escuelas?

1. Seleccin de la muestra estratificada a partir de la poblacinseleccionadaPara poder seleccionar la cantidad de escuelas politcnicas a tomar comomuestra del total de institutos politcnicos (7) del municipio de Holgun, locual constituye la poblacin, vamos a emplear un estadgrafo, que permitedeterminar el tamao de la muestra a partir de la poblacin y teniendo encuenta el nmeros de estratos a trabajar (en este caso 7, que son losinstitutos politcnicos). Para ello plantearemos una metodologa a seguir:

1. Determinacin de la cantidad de estratos de la poblacin delterritorio

Relacionamos la cantidad de estratos que tiene la poblacin, en estecaso son los institutos politcnicos que tiene el municipio de Holgun:

No Nombre de los Institutos Politcnicos

1 Pedro Daz Coello

2 Panchito Gmez Toro

3 Camilo Cienfuegos G

4 Luis de Feria Garayalde

5 Jos Gmez Wangemert

6 Politcnico 26

7 Gral. Calixto Garca iguez

Observe que a cada estrato (escuela) se le hizo corresponder unnmero, comenzando del 1. Este nmero ser constante para cadacentro de ahora en adelante.

La cuestin est dada en determinar del total de centros, cuntostomaremos como muestra aleatoria simple, por lo que para ello seaplicar el siguiente estadgrafo:

a. Determinacin de la muestra.

(1), (2)

(*)

Donde:

n0: Cantidad terica de elementos de la muestra.

n: Cantidad real de elementos de la muestra a partir de la poblacinasumida o de los estratos asumidos en la poblacin.

N: Nmero total de elementos que conforman la poblacin, o nmero deestratos totales de la poblacin.

z: Valor estandarizado en funcin del grado de confiabilidad de la muestracalculada. Por ejemplo, si consideramos trabajar con un 95 % deconfiabilidad la muestra seleccionada, entonces el valor estandarizadoasumir es igual a 1.96 (Para dos colas).

Algunos valores estandarizados (z) en funcin de grado de confiabilidad asumido(para dos colas):

Para un: 99 % ------------- z = 2, 58 (Empleado con frec.)

95 % ------------- z = 1, 96 (El ms empleado)

90 % ------------- z = 1, 64

: Error asumido en el clculo. Toda expresin que se calcula contiene unerror de clculo debido a las aproximaciones decimales que surgen en ladivisin por decimales, error en la seleccin de la muestra, entre otras, porlo que este error se puede asumir entre un 1 hasta un 10 %; es decir, quese asume en valores de probabilidad correspondiente entre un 0.01 hastaun 0.1. No obstante, se propone la siguiente tabla para valores ptimos delerror para el clculo del nmero de estratos de una muestra:

Para 3 N 10 --------------------- Se asume = 0.1 (un error del 10 %). Para N > 10 --------------------- Se asume = 0.05 (un error del 5 %).

q: probabilidad de la poblacin que no presenta las caractersticas.

Este es un parmetro muy importante, debido a que mediante el mismo se asumequ por ciento o proporcin de la muestra no puede presentar las mismascaractersticas de la poblacin, debido a diversos factores subjetivos y objetivos delos individuos u objetos que conforman la poblacin. Muchos autores planteanesta probabilidad entre un 1 hasta un 25 %, otros asumen, cuando no se conoceesta variable asumir el valor mximo de 50 %. Del estudio realizado por este autorse propone la siguiente tabla:

Para 3 N 19 ------- Se asume q = 0,01 (un 1 %). Para 20 N 29 ------ Se asume q = 0,01 hasta 0,02 (del 1 al 2 %). Para 30 N 79 ----- Se asume q = 0,02 hasta 0,05 (del 2 al 5 %). Para 80 N 159 ---- Se asume q = 0,05 hasta 0,10 (del 5 al 10 %). Para N 160 --------- Se asume q = 0,05 hasta 0,20 (del 5 al 20 %).

p: Probabilidad de la poblacin que presenta las caractersticas. Dicho deuna forma ms comprensible, es la probabilidad que tiene la muestra enposeer las mismas cualidades de la poblacin (homogeneidad) y estdeterminada por:

Como p + q = 1 (Probabilidad mxima) [ p = 1 q

a.

b. Determinacin del grado de confiabilidad y con ello elvalor de z

En el problema en cuestin se asumi un grado de confiabilidad deun 95 %, por lo tanto: z = 1,96

c. Determinacin del valor del error asumido en el clculo

Como el nmero de estratos (escuelas del municipio de Holgun) esigual a 7, entonces estamos trabajando con valores de N menoresde 11, por lo que se asume un 10 % (0,1), que es un valorrecomendado para muestras pequeas o menores de 11.

Entonces:

= 0, 1d. Determinacin del valor de la probabilidad que tiene la

muestra de no poseer las mismas cualidades de la poblacin(q)

Del anlisis anterior, como el nmero de estratos es igual a 7,entonces aplicando la tabla para los valores de q, se asume trabajarcon el 1 %, luego: q = 0.01

e. Clculo de la probabilidad que tiene la muestra de poseerlas mismas cualidades de la poblacin (p)

Como ya se determin el valor de q (probabilidad de la proporcinque no presenta las caractersticas), se puede determinar pmediante la expresin: p = 1 q, luego:

p = 1 q [ p = 1 0, 01 = 0, 99 p = 0, 99f. Clculo del tamao de la muestra terica (n0)

Por la expresin (1) se puede sustituir los valores de cada variabley determinar el valor de n0 por:

n0 = 3,80g. Clculo del tamao de la muestra real (n)

Por la expresin (2) se puede sustituir los valores de cada variable y determinar elvalor de n por:

n = 2

Es importante acotar que el valor de N que se toma corresponde al total de losestratos (cantidad de escuelas politcnicas del municipio de Holgun).

De lo anterior se tiene que de un total de 7 escuelas que constituyen la cantidadtotal de estratos que tiene la poblacin, considerando un 95 % el nivel deconfianza, asumiendo que el error de clculo () sea de un 10 % (0,01) yconsiderando que solamente el 1 % de la muestra seleccionada no rena lascaractersticas de la poblacin (q= 0, 01), se determin que la muestrarepresentativa de dicha poblacin puede ser dos estratos (escuelas).

De lo anterior se infiere que la representatividad de una muestra est dada enconsiderar que la misma fue extrada de una poblacin con un determinado nivelde confianza (se trabaja preferiblemente con un 95 % de confianza o ms), deasumir un determinado porcentaje en el error de clculo, que debe estarcomprendido entre un 1 hasta un 10 % (0,01 hasta 0,10); y de considerar unadecuado porcentaje (desde un 1 hasta un 20 %) en valores probabilsticos (0, 01hasta 0, 2) de que la muestra no posee las caractersticas de la poblacin. Esto sepuede graficar de la siguiente forma:

Para seleccionar la cantidad de centros a escoger como muestra se trabaj con lasiguiente tabla:

Como se puede apreciar, trabajando con un 95 % de confianza, y asumiendo unerror de un 10 %, y considerando que la muestra seleccionada puede no conteneriguales propiedades de la poblacin en un 1 %, la muestra a escoger del municipiode Holgun es de 2 centros, los que fueron seleccionados de forma aleatoria, por

lo que esto permite hacer inferencias de lo que ocurre en dicha muestra conrelacin a la poblacin objeto de estudio.

Ahora lo que queda es ver cmo se seleccionarn cada uno de los estratos quecontiene cada centro, con relacin a la cantidad de estudiantes a seleccionar porao y especialidades de ambos centros, de manera tal que dicha seleccin seaproporcional a cada uno de dichos estratos, veamos cmo proceder:

1. Seleccin del tamao de cada estrato de las muestrasseleccionasPara ello nos auxiliaremos de la tabla del anexo 1 en la que se hanestratificado los estudiantes de cada centro (previamente seleccionados),distribuidos por aos y especialidades, de manera que siguiendo la mismametodologa anterior podamos determinar la cantidad de estudiantes quetendr la muestra a partir de la poblacin constituida por la matrcula total deambos centros (1993 estudiantes), -vea el carcter relativo que tiene lapoblacin, anteriormente explicado.

Una vez seleccionada la muestra del total de ambas escuelas, el problemaest en cmo proceder para distribuir sta de manera equitativa oproporcional, con relacin a cada estrato constituido por cada centro,matrcula por ao y por especialidades de stos, mediante la aplicacin de lametodologa planteada.

a. Determinacin de la muestra para ambas escuelas

Como se aprecia en el anexo 1 y la tabla siguiente, la matrcula dedichas escuelas por especialidades y aos (estratos) est dadacomo sigue:

Especialidad Matrc.

Elctrica 360

Electrnica 515

Artesana 121

Construcciones Metlicas 27

b) Politcnico 26

Construccin Civil 400

Viales 126

Geodesia y Cartografa 94

Artesana 84

Gestin Documentos 94

Bibliotecologa 118

Lengua de Sea 39

Albailera 15

Total escuela 970

Total General 1993

Es importante observar que en este paso interesa solamente ladistribucin por ao y especialidades de ambos centros, as comola matrcula total que constituir la poblacin a seleccionar deambas escuelas politcnicas.

Por lo que ahora aplicaremos determinaremos la muestra aseleccionar de una poblacin de 1993 estudiantes.

b. Clculo del tamao de la muestra

Para calcular el tamao de la muestra se debe trabajar con lasexpresiones (1) y (2):

Por lo que resulta evidente que hay que determinar los valores de z,, q y p, para calcular el tamao de la muestra terico y con estevalor determinar, en la frmula (2) el valor real de la muestra aseleccionar de ambas escuelas.

c. Determinacin del grado de z

Se sabe que el valor de z, que no es ms que la variable estandarizada para ungrado de confianza determinado, que en este caso se asume trabajar con un 95 %de confianza, por lo que si se busca este valor en la funcin de Excel (Ver anexo

2) como DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.975), que equivale a trabajar con laprobabilidad de 0.975, ya que si se trabaja con un nivel de confianza del 95 %,quiere decir que el valor de alfa es igual a 0.05 (probabilidad de que no se cumplael nivel de confianza del 95 %); pero como se trabaja con dos colas, debido a queno conocemos si esta probabilidad es mayor o menor, solamente que es igual odesigual, entonces el valor de alfa (0,05) de divide por dos (dos colas) y este valorse le resta a la probabilidad mxima de que ocurra un hecho (1) y obtenemos elvalor de: 1 0.025 = 0.975.

Cuando este valor se busca en la funcin de ExcelDISTR.NORM.ESTAND.INV(0.975) el resultado que genera es igual a (1.96), queno es ms que el valor de z estandarizado para la probabilidad del 95 % deconfianza. Esto tambin se puede encontrar en cualquier libro de estadsticadonde contenga la tabla de distribucin normal. Por ejemplo en el anexo 2 sepuede apreciar que si en la tabla se entra con la probabilidad de 0.975 se obtieneel valor de z = 1, 96 (Ver anexo 2).

a. Z = 1.96b. Determinacin del error de clculo

Ya conocemos que en todo tipo de clculo siempre que se trabaje connmeros fraccionarios, siempre se tendr que suprimir determinada cantidadde cifras al aproximar los clculos efectuados, es por ello que siempreinduciremos un error de clculo, adems de considerar otros tipos de erroresal seleccionar una muestra, que puede ser susceptible a nuestra forma detomar los datos, hacer las mediciones, entre otros, es de aqu que se debeprever el porcentaje del error que se admitir en el clculo de la muestra.

Anteriormente se dijo que Para N > 10 (recordar que ahora N=1993), se debeasumir el error = 0.05; que es lo mismo que considerarlo en un 5 %: ste esel valor a tomar.

c. = 0.05d. Determinacin de la probabilidad q

Se sabe que al realizar el clculo de una muestra se debe considerar unporcentaje o una proporcin de elementos que puedan incluirse en dichamuestra, pero que no renan las caractersticas de la poblacin, a lo que aesta probabilidad se le ha llamado q y se sugiere que para N 160, seconsidera q = 0.02 hasta un 0.2 (un error del 2 al 20 %). Para el clculo encuestin se asume q = 0,08; es decir, se consider un 8 %

q = 0,08e. Determinacin de la probabilidad p

Como la probabilidad de considerar la proporcin de elementos que renenlas mismas caractersticas de la poblacin se determina por la expresin: p =1- q, entonces al sustituir a q en la misma tenemos: p = 1- 0,08 = 0,92

p = 0,92f. Clculo de no

Sustituyendo en la frmula (1) se calcula dicho valor quedando:

n0 = 113.09g.h. Clculo de n

Conocido el valor de la muestra terica calculada, procedemos a determinar elvalor de la muestra real mediante el empleo de la ecuacin (2) en la que:

Ello indica que del total de la matrcula de 1993 estudiantes, sera suficienteseleccionar 107 de ello de forma aleatoria simple, considerando que se hatrabajado con un 95 % del nivel de confianza, de cometer un 5 % de error y de queen nuestra muestra un 8 % no renan las caractersticas de la poblacin; por loque se puede considerar a dicha muestra representativa en estos parmetrosseleccionados.

Ahora queda determinar cmo vamos a distribuir la muestra a seleccionar entreesas dos escuelas, aos y especialidades (estratos), asunto que resolveremos deinmediato.

n = 107

Debemos seleccionar 107 estudiantes de la poblacin de ambas escuelas.

1. Clculo de la proporcin de cada estrato

Para ello debemos auxiliarnos de la tabla anterior, a la que se le ha incorporadouna columna que va a contener la proporcin que cada estrato representa conrelacin a la matrcula total de ambos centros.

Resulta evidente que para obtener la proporcin de cada estrato slo hay quebuscar la razn entre las matrculas de cada especialidad y el total de cadaescuela contra la matrcula total de ambos centros; as que por ejemplo: paradeterminar la razn entre la matrcula de la especialidad de Elctrica de la escuelaLus de Feria, slo debemos dividir dicha matrcula (360) entre el total de ambas(1993):

Elctrica (escuela Lus de Feria) = 360/1993 = 0, 18

Electrnica (escuela Lus de Feria) = 515/1993 = 0, 26

En la tabla se puede apreciar cada uno de los valores calculados para cadaestrato, por lo que se dejar indicado en la misma (ver anexo 1).

a) Lus de Feria

Especialidad Matrc. Prop Muestra

Elctrica 360 19

Electrnica 515 28

Artesana 121 6

Construcciones Metlicas 27 3

Total de escuela 1023

b) Politcnico 26

Construccin Civil 400 21

Viales 126 6

Geodesia y Cartografa 94 5

Artesana 84 4

Gestin Documentos 94 5

Bibliotecologa 118 6

Lengua de Sea 39 2

Albailera 15 1

Total escuela 970 52

Total General 1993 107

Muestra total a seleccionar 107

Se puede apreciar de la tabla, que las proporciones encontradas permite poderhacer una distribucin ms racional de la muestra total; por lo que si a sta lecorresponde 107, resulta evidente que para determinar la cantidad de estudiantesa seleccionar por especialidad y escuela solamente debemos multiplicar laproporcin por el total de la muestra y obtenemos lo que buscamos; veamos:

Por ejemplo, para la primera proporcin de elctrica (de la escuela Lus de Feria)(vea tabla anterior), si multiplicamos: 0,18 x 107 = 19, 6 = 19 estudiantes para estaespecialidad; lo que quiere decir que debemos seleccionar de esta especialidad a19 estudiantes en esta escuela. De una forma anloga se completa la tabla y seobtienen los valores que aparecen en la ltima columna.

Resulta interesante analizar que cuando la suma de ambas escuelas no lleguen altotal de la muestra, debido a las aproximaciones decimales con que se hatrabajado, entonces se puede aumentar en uno algunas de los estratos convalores menores, hasta que dicha suma sea igual a la calculada: en este caso107.

Es importante que esta parte sea trabajada en Excel, ya que permite ahorrar todauna serie de clculos y adems se puede visualizar, en forma de tabla, como lamostrada en el anexo 1.

Al observar dicha tabla (anexo 1), analice como se procedi para determinar laproporcin de cada uno de los estratos que conforman los aos de cada una delas especialidades; por ejemplo, para determinar la proporcin que representa laespecialidad de Elctrica de 1. ao de la escuela Lus de Feria que tiene unamatrcula en ese ao de 81 estudiantes. Por lo que si queremos determinar laproporcin que representa esta cifra con relacin a la matrcula total 1993 deambas escuelas, tendremos entonces que dividir 81/1993 = 0, 04, que es el valorque aparece en la tabla del anexo 1.

De manera anloga se determinaron cada una de las proporciones de cada ao,especialidad y centro y al multiplicar cada una de stas por la cantidad total de lamuestra a seleccionar para ambas escuelas obtuvimos de manera proporcionalcmo debamos de seleccionar la muestra de cada ao, especialidad y escuela.

Es importante acotar que podemos hacer lo mismo, en el caso de que existanvarios grupos de un mismo ao y especialidad, estableciendo la proporcin de lamatrcula de cada grupo contra la matrcula del ao y como ya se sabe la cantidadde estudiantes que debemos seleccionar por ao, resultara muy fcil determinarla cantidad de estudiantes por grupo que debemos de extraer mediante el mtodoaleatorio simple.

Muestreo y tamao de muestra