EL ERROR MAS COMÚN EN LA APLICACIÓNDE LA “FORMULA DE GY”EN LA TEORÍA DEL MUESTREO DE MINERALES

Y UN HISTÓRICO DEL FACTOR DE LIBERACIÓN

D.Francois-Bongarcon, PhD1

Pierre Gy, PhD2

April 1999

RESUMEN

La teoría moderna del muestreo de materias particuladas consiste esencialmente en unageneralización reciente de los procedimientos de aplicación y calibración de la famosa fórmulausualmente conocida como “fórmula de Gy” para el control de la varianza de muestreo, en lacual el concepto central es el de factor de liberación l. Un modelo experimentalmente ajustablepara este factor ha sido propuesto por el autor varios años atrás en base a consideracionesgeoestadísticas. Este modelo, que relaciona el factor de liberación al tamaño de los fragmentosde roca, resuelve las dificultades usuales encontradas en el pasado, y permite predicciones bienverificadas en años de práctica. Desafortunadamente, una formula antigua, arbitraria y menosgeneral sigue siendo utilizada. La gran mayoría de las aplicaciones erróneas de la teoría de Gypueden ser trazadas hasta el uso de este modelo antiguo y erróneo. Después de un brevehistórico de los modelos utilizados para el factor de liberación, y para ilustrar la importancia deuna modelación adecuada de l, este articulo propone ejemplos numéricos demostrativos de loabsurdo del modelo incorrecto usando el caso particular de minerales de oro como ejemplo,siguiendo con ejemplos mas positivos de aplicación.

INTRODUCCIÓN

En la última década, la parte numérica3 de la teoría del muestreo de minerales particulados fue elobjeto de avances fundamentales (François-Bongarçon, 1991 a 1998). Se espera que con estosavances y generalizaciones correspondientes, la materia teórica de base, presentada en la obraadmirable del ingeniero francés P.Gy (Gy, 1956 a 1998), cambió de su estado de disciplina amenudo considerada misteriosa, y poco enseñada y practicada, para volverse en una herramientasimple de entender y mas fácil de aplicar que siempre. Con este objetivo, la teoría se enseña ensu nueva forma en seminarios públicos, organizados de manera regular en países mineros, con laesperanza que rápidamente se pondrá parte del currículum en todos los programas académicos deminería y geología.

1Vice Presidente, Mineral Resources Development, San Mateo, California

2Consultor, Cannes, Francia, Presidente del Instituto Internacional de Muestreo

3La parte cualitativa, que concierne‘la correctitud de la muestra’ y los problemas de sesgos demuestreo es todavía mas importante: la parte cuantitativa solo vale si la muestra ha sidocolectada correctamente

Contrario al lo que a menudo se dice, la lastimosamente insuficiente apreciación de la poderosateoría de Gy en rincones de las industrias mineras del mundo, no se explica solamente por supresentación difícil en los pocos libros dedicados al tópico, ni por cualquier tipo de debilidadteórica. La teoría de Gy, presentada en términos pocos atractivos para el no-especialista (aunqueGy, 1998, sea un contra-ejemplo típico), es demostrablemente correcta. Sin embargo, problemasmayores que han sido reportados a menudo en su implementación práctica, especialmente enminerales de baja ley (oro, níquel, cobre), han arruinado su aceptación. Estos problemas, queconstituyen la fuente real de su apreciación insuficiente, han sido injustamente atribuidos a‘debilidades’ en su famosa fórmula de cálculo de la varianza fundamental de muestreo, cuando,en la realidad, tienen su origen en el uso arbitrario de valores incorrectos para ciertos de suparámetros.

En sus investigaciones del problema y en su búsqueda de demostraciones más simples de lafórmula, uno de los autores del presente artículo (François-Bongarçon, 1991-1998) descubrió lafuente de estas dificultades. La fórmula de Gy a menudo se escribe:

FFSE2 = (1/MS - 1/ML) f g c l d3 (1)

donde FFSE2, MS y ML son respectivamente la varianza relativa de muestreo, la masa de la

muestra y la del lote de fragmentos. Cantidades f y g, generalmente iguales a 0.5 y 0.25respectivamente, son constantes de conveniencia, c es el factor mineralógico aproximadamenteigual a la razón de la densidad del metal a la ley del lote sin unidades (i.e. en tanto por uno), d esel tamaño nominal de los fragmentos de roca (el tamaño del tamiz que pasa el 95%), y ‘l’ elfactor de liberación (véase bibliografía).

Cuando MS << ML, la formula (1) toma la forma simplificada:

FFSE2 = f g c l d3 / MS (1')

DIFICULTAD CENTRAL: EL FACTOR DE LIBERACIÓN

El factor de liberación l es un número entre 0 y 1 que varía con el tamaño d de los fragmentos, ydepende también del tamaño nominal (o máximo) de las partículas de metal puro, o tamaño deliberación dl , y de características geoestadísticas del mineral a escala microscópica(correlaciones espaciales adentro de los fragmentos). Así, aún cuando los tamaños de losgránulos de metal y de los fragmentos son los dos los mismos en dos depósitos, se deben esperarvalores diferentes del factor de liberación de un metal a otro, o de depósito a otro. Cabe notar quel es una cantidad muy variable y a veces excesivamente pequeña: El producto c.l en la fórmula(1) tiene rango de valores ni muy grandes ni muy pequeños, pero la constante mineralógica cpuede, al contrario, alcanzar valores grandes extremos, siendo usualmente bien aproximada porla razón de la densidad del mineral puro por la ley del lote en tanto por uno. Por ejemplo, en elcaso del oro, la densidad del metal vale 19.3 g/cm3, y al nivel de 1 ppm, i.e. 10-6, c vale19,300,000 y consecuentemente, l tiene la orden de magnitud de su inverso. Notar que a travésde c, la varianza dada por la fórmula (1) depende de la ley del lote a muestrear, y que cualquier

uso de la misma, o cualquier nomograma derivado de ella, solo tiene sentido cuando vanacompañados por el nivel de ley al cual se los considera4.Los resultados de la fórmula (1), y nomogramas de muestreo correspondientes, son también muysensibles a las variaciones del factor de liberación l.

UNA BREVE HISTORIA DEL FACTOR DE LIBERACIÓN

El ‘bulto’ de la Teoría del Muestreo fue desarrollado por Pierre Gy entre 1949 y 1951, y, tantemprano como 1953, se puso muy evidente que el factor de liberación en su fórmula de varianzaiba a ser un tópico mas y mas delicado, aun antes que sea aplicada a metales preciosos. Una vezdemostrado que su valor se quedaba necesariamente entre 0 y 1, se atentó de manera repetida, através de los años, estimar/modelar su valor y variaciones. Por falta de herramientasconceptuales que fueron desarrolladas mucho mas tarde, se hizo por medio de recomendacionesprácticas que aparecen hoy como relativamente arbitrarias. Sin embargo, las aplicaciones de estetiempo no contradijeron estas prácticas (ni siquiera lo podían), las cuales incluían variacioneslineales de l entre 0.025 y 0.8 consideradas como valores extremas probables, y también unaserie de tablas sucesivas de valores recomendados. Este era un período de maturación de lateoría, que trataba de superar su problema mas difícil.

Un progreso mayor ocurrió en 1975, cuando Gy propuso modelar experimentalmente lasvariaciones de l en función de dl y d, y también propuso (como simple ejemplo ilustrativo) lafórmula siguiente para el calculo de l (Gy, 1982):

l = (d l /d) 0.5 = %(d l /d) (2)

La idea - a través de un ejemplo - era de animar a los profesionales de la industria en eldesarrollo de experimentos con objetivo el estudio de las variaciones de l para ajustarlo a cadacaso particular. Nunca fue la intención de Gy darla esta expresión un sentido general. Alcontrario, desde entonces, siempre Gy ha recomendado estimar experimentalmente el ‘invariantede heterogeneidad’ (sobre el cual son basados todas la técnicas modernas de calibraciónexperimental) que incluye l como su parte non-calculable. Desafortunadamente, ciertos autores,y muchos profesionales han mis-interpretado estas recomendaciones como licencia para el usogeneral de este modelo particular (2) en la aplicación práctica de la fórmula (1), con resultados amenudo catastróficos, y consecuentemente, se encuentran responsables del abandono progresivo(muy lamentable) de la muy util fórmula (1) por muchas compañías y profesionales mineros,especialmente en la industria de los metales preciosos y minerales de baja ley.

4Este, desafortunadamente, tiende a ser a menudo ignorado

EL TAMAÑO DE LIBERACIÓN dl

El concepto de tamaño de liberación no es trivial, y no hay un consensus sobre su definiciónentre autores de la teoría del muestreo. In nuestras calculaciones, el tamaño de liberación es eltamaño nominal que los fragmentos deben alcanzar para que los granos de mineral se encuentrencompletamente liberados de su ganga, i.e. cada fragmento sea o puro mineral o pura ganga. Elrol del factor de liberación en la formula (1) es expresar las tazas de variación bien diferentes dela varianza de muestreo con el chancado, en cima y debajo del tamaño de liberación.

Naturalmente, la liberación completa se queda a menudo un concepto ideal, y es útil substituirlacon un tamaño de liberación practico: el tamaño nominal para el cual la gran mayoría de estosfragmentos suficientemente largos para tener una contribución significante a la varianza demuestreo han sido liberados. Aunque no siempre sea exactamente igual al tamaño nominal delos granos de mineral dentro de la roca, este tamaño práctico nunca se aleja mucho de este, ysiempre se queda de la misma orden de magnitud. Resulta que el tamaño de liberación a menudose toma igual al tamaño máximo de los granos, o a su 95% pasando.

UN MODELO EFECTIVO PARA EL FACTOR DE LIBERACIÓN

En base a consideraciones principalmente geoestadísticas5, Francois-Bongarcon ha propuesto unamejora fundamental en la forma de un modelo similar al previo, muy simple, pero mucho másadecuado, para el factor de liberación:

l = (dl /d)b (3)

donde b es un parámetro adicional del modelo a ajustar en base a resultados experimentales.

Este modelo (3) ha sido comprobado en la práctica en los últimos años, con resultadosexcelentes, incluso en aplicaciones a metales preciosos y minerales de baja ley. Este modelotiene muchas ventajas importantes sobre el modelo de la fórmula (2):

5En la teoría, el tamaño de liberación aparece como la razón de las varianzas de las leyesindividuales de los fragmentos al tamaño nominal considerado, y al tamaño de liberación. Resultaque no tiene ningún sentido calcularlo a partir de , o considerarlo igual a, la proporción de granosminerales liberados en el lote al tamaño nominal considerado.

• Existen fuertes "indicios" de su validez teórica, incluyendo el caso particular decorrelaciones espaciales muy comunes en el oro (modelo de De Wijs, bien conocido delos geoestadísticos) donde se puede demostrar;

• Hace aparecer el modelo usual (2) como un simple caso particular (raramente encontradoen la práctica); siendo entonces mas general, el modelo (3) no es de ninguna maneraincompatible con modelo (2).

• Se puede ajustar experimentalmente, y entonces permite a la fórmula (1) de ser "cortada ala medida" de un yacimiento o tipo de roca particular;

• Resuelve los problemas ultra-conservadores a menudo encontrados con laimplementación desafortunadamente tan "clásica" como errónea del modelo (2) en lafórmula (1).

• Permite de obtener nomogramas de muestreo realistas y utilizables.

Sin embargo, el parámetro adicional b implica ajustes experimentales más delicados - peroestrictamente necesarios - que el modelo simplista (2). Cabe notar que nunca se deben ejecutarestos experimentos de calibración de la fórmula (1) utilizando material tamizado a tamañospequeños, como a menudo se ve, dado que una sola fracción de tamaño no es siemprerepresentativa del material chancado en su integridad.

En la práctica, la potencia final de d en el producto [l.d3] de las fórmulas (1) y (1') casi nunca seencuentra por sobre el valor 2.0. Este hecho ya se había detectado por los empiristas delcomienzo del siglo (Richards, 1908)1, y también fue observado por una mesa redonda deexpertos en metrología, luego de la primera publicación de Gy (Expertos en Gy, 1956). En elcaso de minerales de oro, el valor de b se encuentra casi siempre muy cerca del valor 1.5, lo queresulta en una potencia global de 1.5 también para d, cuando el modelo (2) resultaría en unapotencia global de 2.5 (los experimentos correspondientes están fuera de la alcance de estearticulo). Para el moro, un valor por defecto de 1.5 para b es aceptable si solo se busca la ordende magnitud de los resultados. Para otros metales, el valor de b varia mucho mas, y/o no secuenta con un número suficiente de aplicaciones para derivar tendencias utilizables.

CONSECUENCIAS DE UN MODELO ERRÓNEO PARA ‘l’

Ejemplo 1: Calculo de Masa Mínima, o ‘Su Muestra de Tamaño Mina’

En el primer ejemplo, se observa que si se adopta el modelo (2), se pueden calcular todos losfactores de la fórmula (1') y entonces, como aplicación clásica, calcular la masa mínima demuestra que proporciona una reproducibilidad pre-establecida.

Así, si so toma el caso de una pila de detritus de un pozo de tronadura en una mina de oro, confragmentos de un tamaño nominal de ½" (d = 1.27 cm), una ley promedia de 1 ppm de Au(=10-6), una densidad de oro puro de 19.3 g/cm3, valores estándares de 0.5 y 0.25 para factores fy g, y un tamaño de liberación del oro de 10 micrones (=10-3 cm , i.e. oro muy fino), la formula(1') y modelo (2) se combinan para proporcionar la masa mínima MS de muestra para unadeviación estándar de muestreo de 10 porciento (es decir FFSE

2 = 0.01), de la manera siguiente:

1Aunque detectó que la potencia global de d era un problema importante, el acercamiento deRichard, basado sobre una sanción ciega de prácticas cuestionables, no puede ser consideradoaceptable de un punto de vista científico.

Con: FFSE2 = f g c l d3 / MS y l = (dl /d) 0.5

MS = f g c (dl /d) 0.5 d3 / FFSE2 = f g c dl

0.5 d 2.5 / FFSE2

= 0.5 * 0.25 * (19.3/10-6) * (10-3)0.5 * 1.272.5 / 0.01

= 13.9 10 6 gramos o sea 13.9 toneladas ! Un resultado absurdo !

El oro es fino, y se sabe muy bien, por la experiencia, que la pila puede ser muestreada demanera muy satisfactoria con muestras de uno a unas decenas de kilogramos. La utilización dela formula (1) en vez de (1') puede hacer perder la magnitud de lo absurdo total del resultado, porlimitar artificialmente la masa mínima a la masa total de la pila (probablemente alrededor de 400kg).

Ejemplo 2: Calculo del Tamaño de Liberación, o ‘El Elusivo Oro Sub-Atómico’

En este ejemplo se nota que con el modelo (2), si se conoce la varianza experimental de unamuestra de masa dada, se puede determinar el tamaño de liberación d l en la formula (1').

Asumamos por ejemplo el caso de mineral de oro con tamaño de liberación real (perodesconocido) de 15-25 micrones (i.e. oro semi-fino). Se sabe por experiencia que una pila dedetritus con fragmentos de un tamaño nominal de 1 cm de este mineral puede ser muestreada conuna desviación estándar de 10 por ciento o mejor, tomando muestras de alrededor de 15 kg. Bajoesas condiciones (FFSE = 0.10; MS = 15 kg), el calculo del tamaño de liberación utilizandomodelo (2) es el siguiente:

Con: FFSE2 = f g c l d3 / MS y l = (dl /d)0.5

l = FFSE2 / (f g c d3 / MS)

dl 0.5 = FFSE

2 * d 0.5 / (f g c d3 / MS)

dl = [ FFSE2 * d 0.5 / (f g c d3 / MS) ]2

= [0.01 * 1 0.5 / (0.5 * 0.25 * 19 300 000 * 13 / 15 000)]2

= 3.9 10-9 cm = 0.39 Angströms !Se debe concluir que el oro es muy, muy fino, dado que un átomo de oro mide aproximadamente1.5 Angströms en diámetro.

CONCLUSIÓN

Estos resultados son una demostración por el absurdo que el modelo (2) es groseramenteinadecuado2, y que sería muy peligroso usarlo. Como le podrá verificar facilmente el lector, lascondiciones y supuestos de estos cálculos pueden ser variadas sin cambiar mucho el orden demagnitud absurdo de los resultados finales.

En cambio, con el valor más adecuado de 1.5 para b en fórmula (3), estos cálculos dan una masamínima de 11 kg, y un tamaño de liberación de 16 micrones respectivamente, cantidades muchomas consistentes con la experiencia práctica de siglos de minería de oro.

De interés también es la desviación estándar de muestreo que la fórmula incorrecta (2) predicecalcularía para estas operaciones de muestreo cuando el tamaño de liberación real se conoce: 355porciento para los 11 kg del primer ejemplo, y 254 porciento para los 15 kg del segundo.Claramente, cuando aplicada a protocolos de preparación de muestras o a nomogramas, lafórmula incorrecta (2) sonará las alarmas, encenderá el botón de pánica, y como resultadoprobable, ocasionará gastos totalmente injustificados, cambios drásticos de procedimientos, ycompras de equipos evitables. Al contrario, cuando utilizada con un modelo adecuado, la formula (1) se cambia en unaherramienta muy útil. Por ejemplo, consideremos el caso de un yacimiento donde el metal deinterés viene de un sulfuro de una densidad de 5 g/cm3 y un contenido metálico de 25 porciento,que se libera cuasi completamente a 120 micrones. Debemos determinar si la toma de 100 g esrazonable después de chancar el material bajo 5 mm cuando la ley de metal es 0.1 %. Noconociendo nada más, y sin calibración, calcularemos la varianza relativa de muestreo a partir delas formulas (1') y (3), asumiendo el valor mas desfavorable de 1 para b en (3):

FFSE2 = f g c l d3 / MS

con l = dl / d , esto nos da:

FFSE2 = f g c dl d

2 / MS

Como antes, f=0.5 y g=0.25. Una ley de metal de 0.1% corresponde a una ley en mineral de0.4%, o sea 0.004. El calculo de la varianza sigue:

FFSE2 = f g c d l d 2 / MS = 0.5 x 0.25 x (5/0.004) x 0.0120 x 0.5 2 / 100 = (6.85 %) 2

Hemos conservativamente asumido un valor de 1 para b. Con un valor mas alto, la varianzacalculada mejoraría. Como una desviación estándar de 7 porciento es razonable, el muestreopropuesto es aceptable.

2Aunque esté todavía muy a menudo (arbitrariamente) utilizado por ciertos profesionales y hastaorganizaciones internacionales de estándares

LA PALABRA ULTIMA

Siguiendo estas remarcas sobre la parte cuantitativa de la Teoría del Muestreo, la recomendaciónprincipal de los autores a los profesionales del muestreo es de ejecutar una calibración completade la fórmula (1) antes de usarla, utilizando el modelo (3) para el factor de liberación. Unavariedad de métodos han sido establecidos para tal trabajo, y son enseñados en cursos yseminarios, descritos en artículos, y disponible de consultores especializados. En el caso de oro,estos métodos incluyen la determinación de curvas tamaño-ley.

Sobre todo, uno tiene que recordarse que la formula (1) solo mide el caso mas favorable dondeno solamente los sesgos, pero también los efectos de cualquier tipo de segregación han sidoeliminados o neutralizados. Pero como esto es mucho fácil dicho que hecho, la ‘otra parte’ de laTeoría del Muestreo, la cual se dedica a como tomar las muestras, es todavía mas importante quetodo lo expuesto en el presente articulo. Se aconseja entonces al lector de estudiar la teoríacompleta.

AGRADECIMIENTOS

Los autores extienden sus gracias a Dr M. Alfaro y a Scott Long por sus ayudas en mejorar laclaridad de este artículo.

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