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Departamento de Ciencias-Cajamarca

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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Muchos problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras, para los valores que pueden

usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de

optimización por que la solución óptima puede presentarse en un punto frontera del dominio. En

esta parte se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas. Es el método de los

multiplicadores de Lagrange.

Método de los Multiplicadores de Lagrange

Supongamos que se maximiza o minimiza una función de dos variables ( , )z f x y en

donde las variables están sujetas a la restricción ( , ) 0g x y . Luego se construye una función

introduciendo una incógnita llamada el multiplicador de Lagrange de la siguiente forma

( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y

Después se establece el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar los puntos críticos

( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )0

( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )0

( , , ) ( , ) 0( , ) 0

F x y f x y g x y f x y g x y

x x x x x

F x y f x y g x y f x y g x y

y y y y y

F x y g x yg x y

Que serán evaluados en la función ( , )f x y para determinar qué tipo de puntos extremos son estos.

Los valores máximos corresponderán al máximo valor que se obtenga de evaluar la función en estos

puntos y el valor mínimo corresponderá al menor valor que se obtenga de evaluar la función en

estos puntos.

Ejemplo 1.-Maximizar la función ( , ) xyf x y e sometida a la restricción 2 2 8 0x y .

Solución

Calculando los puntos críticos, para esto definimos la función F introduciendo la incógnita .

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 8)xyF x y f x y g x y F x y e x y

Ahora determinaremos los puntos críticos de F, es decir:

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2

2 2

( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )0 2 0

( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )0 2 0

( , , ) ( , , )( , ) 0 8 0

xy

xy

F x y f x y g x y F x yye x

x x x x

F x y f x y g x y F x yxe y

y y y y

F x y F x yg x y x y

De lo cual se puede deducir que

2 2

2

2

8

xy

xy

ye

x

xe

y

x y

2 2

2 2

xy xyye xex y

x y , de donde

2 22 8 4x x . Luego , 2 , 2x y . Entonces ,

los puntos críticos son: 1 2 3 4(2,2), (2, 2), ( 2,2) y ( 2, 2)P P P P . Como ( , ) xyf x y e . Por lo

tanto los valores máximos y mínimos son respectivamente 4 4( 2, 2) y ( 2, 2)f e f e

Ejemplo 2.- Hallar el valor mínimo de

2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z

Sujeta a la restricción o ligadura 2 3 4 49x y z .

Solución

Sea ( , , ) 2 3 4 49 0g x y z x y z . Entonces se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

Restricción o l

4 2 ( )

2 3 ( )

6 4 ( )

2 3 4 49 igadura

x x

y y

z z

f g

f g

f g

x

y

z

x y z

La solución de este sistema es 3 , 9 , 4x y z . Por tanto, el valor óptimo de f es

2 2 2(3, 9, 4) 2(3) ( 9) 3( 4) 147f . De la función original resulta claro que

( , , )f x y z no tiene máximo.

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Ejemplo 3.-Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m2 de cartón. Calcule el volumen máximo

de esta caja.

Solución

Sean , y x y z el largo, la anchura y la altura, respectivamente, de la caja, medidos en metros. Se

busca maximizar

V xyz

Sujeta a la restricción ( , , 2 2 12 0g x y z xz yz xy

Al aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, se busca valores de , , y x y z tal que

V g y ( , , 0g x y z . De aquí se obtienen las ecuaciones:

(2 ).....................(1)

(2 ) ..................(2)

(2 2 )...................(3)

2 12................(4)

yz z y

xz z x

xy x y

xz yz xy

No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones. Algunas veces se requiere ingenio.

En el presente ejemplo, si multiplicamos por x a (1), por y a (2) y por z a (3) se tiene:

(2 ).....................(5)

(2 ) .................(6)

(2 2 )...................(7)

xyz xz xy

xyz yz xy

xyz xz yz

Observe que 0 porque 0 significaría que 0yz xz xy de acuerdo con (1), (2) y (3) y

esto contradice (4). Por lo tanto, según (5) y (6)

2 2xz xy yz xy

Lo cual da xz yz . Pero 0z (ya que 0z daría 0V ), de modo que x y . De acuerdo con

(6) y (7)

2 2 2yz xy xz yz

Lo cual da 2xz xy y de este modo (como 0x ), 2y z . Si se hace 2x y z en (4) se

obtiene

2 2 24 4 4 12z z z

Puesto que , y x y z son positivas, por lo tanto z =1de este modo 2 , 2 1x y z y

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Ejemplo 4.- Determine los valores extremos de la función 2 2( , ) 2f x y x y en el circulo

2 2 1x y

Solución

Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restricción 2 2( , ) 1 0g x y x y .

Mediante los multiplicadores de Lagrange, lo cual implica resolver:

2 2

2 2 ...........(1)

4 2 ...........(2)

1 ...........(3)

xy x

y y

x y

De acuerdo con (1), o bien 1 . Si 0x , entonces (3) da 1y . Si 1 , entonces 0y de

acuerdo con (2), de modo que (3) da 1x . Por lo tanto, f tiene posibles valores extremos en los

puntos (0,1),(0, 1),(1,0) ( 1,0) y . Al evaluar f en los cuatros puntos se encuentra que

(0,1) 2f (0, 1) 2f (1,0) 1f ( 1,0) 1f

Por lo tanto, el valor máximo de f en el círculo 2 2 1x y es (0, 1) 2f y el valor mínimo es

( 1,0) 1f .

Ejemplo 5- Determine los puntos en la esfera 2 2 2 4x y z que están más cercanos al punto

(3,1, 1) y más lejanos al mismo tiempo.

Solución

La distancia desde un punto ( , , )x y z al punto (3,1, 1) es

2 2 2( 3) ( 1) ( 1)d x y z

Pero los pasos algebraicos son más sencillos si maximiza y minimiza el cuadrado de la distancia:

2 2 2 2( , , ) ( 3) ( 1) ( 1)d f x y z x y z

La restricción es que el punto ( , , )x y z está en la esfera, es decir,

2 2 2( , , ) 4 0g x y z x y z

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve:

2 2 2

2( 3) 2 ...................(1)

2( 1) 2 ...................(2)

2( 1) 2 ...................(3)

4 ...................(4)

x x

y y

z z

x y z

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La manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es determinar , yx y z en función de a partir

de (1), (2) y (3), y luego sustituir estos valores en (4). Según (1) se tiene

3x x o bien (1 ) 3x o bien 3

(1 )x

[Observe que 1 0 porque 1 es imposible según (1)]. De manera igual, con (2) y (3) se

obtiene

1 1

1 1y z

Por lo tanto, a partir de (4)

2 2 2

2 2 2

3 1 ( 1)4

(1 ) (1 ) (1 )

Lo cual da 2 11 11

(1 ) , 14 2

, de modo que: 11

12

.

Estos valores de proporcionan entonces los puntos correspondientes ( , , )x y z :

6 2 2 6 2 2( , , ) ( , , )

11 11 11 11 11 11y

Se puede ver que f tiene un valor más pequeño en el primero de estos puntos, de este modo que el

punto más cercano es 6 2 2

( , , )11 11 11

y el más lejano es 6 2 2

( , , )11 11 11

.

Ejercicios Propuestos con relación a Multiplicadores de Lagrange

A.-Encuentre los valores máximo y mínimo de la función sujeta a la restricción dada.

1.- 2 2( , ) ; 1f x y x y xy

2.- 2 2( , ) 4 6 ; 13f x y x y x y

3.- 2 2 2( , ) ; 2 6f x y x y x y

4.- 3 3( , ) ; 16xyf x y e x y

5.- 2 2 2( , , ) 2 6 10 ; 35f x y z x y z x y z

6.- 2 2 2( , , ) 8 4 ; 10 5f x y z x z x y z

7.- 2 2 2 2 2 2( , , ) ; 1f x y z x y z x y z

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8.- 2 2 2( , , ) ; 1f x y z x y z x y z

B.-Determine los volúmenes máximo y mínimo de un caja rectangular cuya área superficial es de

1500 cm3 y cuyo largo total es de 200 cm.

C.-El plano 2 2x y z al cortar el paraboloide 2 2z x y forma una elipse. Calcule los puntos

de la elipse que son los más cercanos y los más cercanos los más lejanos al origen.

D.-El plano 4 3 8 5x y z al cortar el cono 2 2 2z x y forma una elipse

(a) Grafique el cono, el plano y la elipse

(b)Mediante multiplicadores de Lagrange, encuentre el punto más alto y el más bajo sobre la elipse.

E.-Si la temperatura en cualquier punto de la esfera 2 2 2 4x y z , esta dado por

1 3 2 3 1 3( , , ) 3T x y z x y z . Hallar los puntos más fríos y más calientes de la esfera.