Premios del Departamento de Matemticas

de la Universidad Autnoma de Madrid para Estudiantes de Secundaria

Cuarta Edicin, 2009/2010

TRABAJO: Paseo por un mundo reticular en el cuaderno de mates GANADOR EN LA CATEGORA DE E.S.O. AUTORES: o David Laso lvarez o Javier Lazcano Pardos o Daniel Loscos Barroso o Jorge Prez Gonzlez TUTORA: o Mercedes Snchez Benito CENTRO: IES Gran Capitn (Madrid)

PASEOPORUNMUNDORETCULAR

ENELCUADERNODEMATES

PUNTOSSUSPENSIVOS

Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

Puntossuspensivos2/26

INTRODUCCINYANTECEDENTES:Elproblemadepartida es, aparentemente sencillo,pero encierraotros problemasque losmatemticoshantardadobastantetiempoenresolver:Llamamospuntosreticularesalconjuntodepuntosdelplanodecoordenadasenteras.Dadounnmeroenteropositivo A ,encontrartodoslosrectngulos,esencialmentedistintos, que tienenun vrtice en elpunto (0,0)O y losotros tres vrtices enpuntosreticularesderea A .

Entendemosporrectngulosesencialmentedistintosaquellosquenosepuedenobtenerunodelotroapartirdeungiro,unasimetraounatraslacin.Porejemploestosdosrectngulossonesencialmenteelmismo

Al resolver algunos casos particulares hemosdescubiertoque hay algunosnmerosque sepuedenobtenercomosumadedoscuadradosyotrosqueno.Buscandolainformacinnecesariapararesolveresteproblemahemosencontradoresultadosmuy interesantes en el plano reticular, parecementira que bajo una apariencia tan simplehayaproblemastandifciles,yalgunostodavasinresolver!

OBJETIVOS:Conocermejoresemundodelosnmerosenterosdesdeelpuntodevistanumricoysobretododesdeelpuntodevistageomtricoenelsentidodelasconstruccionesgeomtricasquesepuedenhacerenunplanodecoordenadasenteras,puesaunque losnmerosenteros losconocemosdesdelaprimariacuandounproblemaexigequelassolucionesseanslonmerosenterosempiezaunlomuygrande.

RESULTADOSHemos analizado en un mundo reticular, el comportamiento de las rectas, los polgonosregulares, los crculos las circunferencias, es decir si tienen puntos reticulares, cuntostienen?HemosencontradolamgicafrmuladePickparacalcularelreadeunpolgonoreticularyhemosextendidoestafrmulaaunpolgonoreticularcontenidoenunplanoenelespacio.

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Puntossuspensivos3/26

Comenzamosresolviendoelproblemainicial.Obviamente, elnmerode rectngulosposiblesdependede ladescomposicin en factoresprimosdelnmero A .Loprimeroquehemosaprendidoes sabercuntosdivisores tieneunnmero N ycmo secalculan.

Si 1 21 2 ................ kaa a kN p p p , el nmero de divisores que tiene N , es1 2( 1)( 1)........( 1)ka a a

Pero adems de la descomposicin de A en factores primos tendremos que ver si hayfactoresquesepuedanponercomosumadedoscuadradosdenmerosenterosydecuntasmaneraspuedehacerse.Losnmerosprimosexceptoel 2 son imparesyhemosobservadodistinto comportamientosegnseandelaforma4 1n odelaforma 4 3n .Vamosaexploraralgunoscasos:

13A ,unnmeroprimodelaforma4 1n .Enestecasoslohay2rectngulos

7A ,unnmeroprimodelaforma4 3n ,enestecasoslohay1

65A ,unnmerocompuestoyensudescomposicinhaydosfactoresprimosdelaforma

4 1n .Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 65b y 5a ,

13b ;sepuedenconstruirlosrectngulosdelados 13 5a , 5b y 5 13a , 13b

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Puntossuspensivos4/26

Perotambin65 1 64 y65 16 49 ,porlotanto,haydoscuadradosdelado 65 quesonesencialmenteelmismo

Esdecirpara 65A salen5Si 15A ,unnmerocompuestoporunnmeroprimodelaforma4 1n yotrodelaforma4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 15b y 3a , 5b ,podemosconstruirelquetienenporlados 5a y 3 5b Enestecasohay3Si 45A ,unnmerocompuestoporunprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 45b ; 3a y

15b ; 5a , 9b estarnlosquetienenporlados 5a , 9 5b , 3 5a , 3 5b

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Puntossuspensivos5/26

Enestecasohay5Si 36A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el 2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Ademsdelosrectngulosdelados1.36 2.18 3.12 4.9 6.6 paralelosalaretcula;estnlosquetienenporlados 2a , 18 2b ; 2 2a , 9 2b ; 3 2a , 6 2b

Enestecasoencontramos:8Si 90A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 ,unprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Todoslosproductosdedosfactores1.90 2.45 3.30 5.18 6.15 9.10 yademssepuedenconstruir 2 , 5 y 10 ,entonceshacemoslasparejascorrespondientes:

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Puntossuspensivos6/26

2 y45 2 ;3 2 y15 2 ;5 2 y9 2 ; 5 y18 5 ; 2 5 y9 5 ;3 5 y6 5 ;10 y9 10 ;3 10 y3 10

Total:14Si 216A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 yelcubodeunprimodelaforma4 3n .Enestecasotenemos1.216 2.108 3.72 4.54 6.36 8.27 9.24 12.18 deladosparalelosalaretculaylosquetienenporlados 2a , 108 2b ; 2 2a , 54 2b ;

3 2a , 36 2b ; 4 2a , 27 2b ; 6 2a , 18 2b ; 9 2a , 12 2b .Total:14Si 72A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .

Ademsdelosquetienenlosladosparalelosalatramareticularencontramos:

Entodosestosrectngulosentendemosqueunodesusvrticeseselpunto (0,0) porqueenrealidad lo que importa es la longitud de sus lados y que los vrtices sean puntosreticulares.Total:11Pararesolveresteproblematenemosquesabersiunnmeroprimosepuededescomponercomosumadedoscuadradosyhemosencontradolosiguiente:

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Puntossuspensivos7/26

Sitenemosunnmeroprimo p delaforma 4 3p k ,nosepuedeponercomosumadedoscuadrados:Comoesimpar,unodelossumandosdebeserparyelotroimpar.Siunnmeroesimpar,obienesdelaforma4 1k ,obienesdelaforma 4 3k ;peroelcuadradodeunnmerodelaforma4 1k esdelaforma 2 2 24 1 16 8 1 4(4 2 ) 1k k k k k ,yelcuadradodeunnmerodelaforma 4 3k es 2 2 24 3 16 24 9 4(4 6 2) 1k k k k k ,asquenuncasepuedeobtenerunnmeroprimodelaforma 4 3p k comosumadedoscuadradosdenmerosenteros.Eulerdemostrquetodonmeroprimodelaforma 4 1p k siempresepuedeponercomosumadedoscuadradosdeformanica.Porlotantosiemprevamosapoderelegirpuntosreticularesadecuadosparaconstruirsegmentosdelongitudes: 2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5,5....... Teniendoencuentaestosdosresultados,siunnmero 1 2 1 21 2 1 22 .... ....k ma ba a b ba k mA p p p q q q ,dondelosnmeros: 1 2, ,.... kp p p sondelaforma4 1n y 1 2, ... mq q q sondelaforma 4 3n ,elnmeroderectngulosquevamosapoderconstruireslomismoqueconsiderarque

1 1 22 2 21 1 22 ............ ....k ma a a bb bk mA p p q q q ,yelnmerodedivisoresquepodramosobtenerser: 1 1 22 1 2 1 ..... 2 1 1 1 ..... 1k mR a a a b b b ,si

2R r ,elnmeroderectngulosqueseobtienenes r ;ysi 2 1R r ,elnmeroderectngulosqueobtenemoses r Yahemosconseguidounprimerresultado!!!!Despusderesolveresteproblemavamosainiciarunpaseoporalgunosproblemasplanteadosenunplanoreticular,comonuestrocuadernodemates.

RECTAS:Enelplanohayrectasquenotienenpuntosreticulares,talescomoporejemplolasrectasquepasasporlospuntosmediosdedosladoscontiguosodosladosopuestosdeuncuadradounidad.

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Puntossuspensivos8/26

Hayrectasqueslotienenunpuntoreticular,porejemplolaquepasapor(0,0)yformaunngulode60conelejeOX.

Siunarectacontienemsdeunpuntoreticular,entoncestieneinfinitospuntosreticularesigualmenteespaciados:

POLGONOSREGULARES:Lospolgonosregularesquerellenanelplanosoneltringulo,elcuadradoyelhexgono.Esimposibleobteneruntringuloequilteroconlostresvrticesenpuntosreticulares,puessiunvrticeeselpunto (0,0) yel

otroeselpunto ( ,0)l ,entonceseltercerodebeser 3,2 2l l

ysi l es

unnmeroentero 32

lnoloes.

Demaneraanlogasepuedeverqueelhexgonoregularnopuedetenertodoslosvrticesenpuntosreticulares,alfinyalcabounhexgonoestformadopor6tringulosequilteros.

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Puntossuspensivos9/26

Elnicopolgonoregularquepuedesercolocadoenelplanodecoordenadasenterasdemodoquesusvrticesseanpuntosreticulareseselcuadrado.LademostracindeesteresultadosepuedeverenunartculodeDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002.Lademostracinsebasaentresideas:

I) Si A eselreadeunpolgonoenelplanocuyosvrticessonpuntosreticularesentonces 2A esunnmeroentero(resultadoelementalapartirdelTeoremadePickcomoveremosmsadelante).

II) Lafrmulaparacalcularelreadeunpolgonoregularde n ladosdelongitud s es:

2

( )4 tan

nnsA P

n

III) Si 3n elvalorde tann esracionalslopara 4n .Paracompletaresta

demostracinsonnecesariosunosclculosconfuncionestrigonomtricas,nosdicenquelascuentasnosondifcilesperonosotrossabemosmuypocodetrigonometra.

CRCULOSYCIRCUNFERENCIASH.Steinhauspropusoelsiguienteproblema.Paracadanmeronaturaln ,existeenelplanouncrculoquecontengaensuinteriorexactamenten puntosreticulares?Esfcildemostrarqueexistennmerosnaturalesn paralosquenohayningncrculoconcentroenunpuntoreticularyencuyointeriorhayaexactamente n puntosreticulares.

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Puntossuspensivos10/26

Claramente:Sitenemosuncrculodecentrounpuntoreticularyradio 1r entoncesslohayunpuntoreticularensuinterior;perosielradioes1 2r entoncesenelinteriordeesecrculohabrexactamentecincopuntosreticulares.Ynoexisteningncrculodecentrounpuntoreticularquetengaensuinteriorexactamentedos,tresocuatropuntosreticulares.

Situviramosuncrculoderadio 1/ 2r ycentroelpuntomediodeunladocualquieradeuncuadradounidaddelretculo,nohabrningnpuntoreticularensuinterior,peroparaunradio1/ 2 5 / 2r ,tendramosexactamentedospuntosreticularesenelinteriordelcrculo.

Siahoraconsideramosuncrculocuyocentroseaelcentrodecualquiercuadradounidadyradio 2 / 2r ,entoncestampocotendramospuntosreticularesensuinterior;peroparaunradio 2 / 2 10 / 2r ,habraexactamentecuatropuntosreticularesensuinterior.

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Puntossuspensivos11/26

Supongamosacontinuacinqueelcentrodenuestrocrculopudieramoversepartiendodelcentrodeuncuadradounidadysiguiendoladireccindeladiagonal,podramosconseguiruncrculoquetieneexactamentetrespuntosreticularesensuinteriorProbaremosahoraque,eligiendouncentroyunradioapropiadosenelplano,esposibleteneruncrculoencuyointeriorhayaexactamenteelnmerodepuntosreticularesquequeramos.Sifijamosunosejesdecoordenadas,vamosaelegircomocentrodelcrculoelpunto

12,3

O ,entoncesparacadanmeronatural n existirunradio nr talqueenelinteriordelcrculodecentroO yradio nr contendrexactamente n puntosreticulares.

Parademostrarlo:PRIMERO:lasdistanciasdelpuntoO adospuntosreticularescualesquierasondistintas,porloquesiemprehabruncrculoconunradiocomprendidoentrelasdistanciasdedospuntosdistintosaP.ComotodosellostienendistanciasdistintasaPlosordenamosenunasucesinfinitadeacuerdoasusdistanciacrecientesdesdeO . 1 2, ..... nP P P .

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Puntossuspensivos12/26

Supongamosque 1( , )P a b y 2 ( , )P c d sondospuntosreticularesdistintos,peroqueladistanciaaO fueralamisma,esdecir: 1 2( , ) ( , )d O P d O P

PorelteoremadePitgorassetendraque: 2 22 21 12 23 3a b c d ,dedonde 2 2 2 2 22 2

3c a c d a b b d ,ycomoelmiembrodeladerechaesun

nmeroracional,entonces c a yconsecuentemente 2 03

d b b d ,perocomob yd sonnmerosenterosb d ,contrarioalahiptesisdequelospuntos 1P y 2P sondistintos.SEGUNDO:claramente,cadacrculodecentroO yradiosuficientementegrandecontendrmsdenpuntosreticulares.Enelinteriordeunodeesoscrculoshabrunnmerofinitodepuntosreticulares.Vamosallamar kn1 alcrculodecentroO quepasaporelpuntoPn1.As,losnicospuntosqueestnenelcrculosonlospuntos

1 2, ..... nP P P

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Puntossuspensivos13/26

ResultadosmuydifcilesdeprobarEnlawebhttp://mathworld.wolfram.comhemosencontradolossiguientesresultados

Paracadanmeronaturaln ,existeuncrculoderea n quecontieneensuinteriorexactamente n puntosreticulares?Steinhausprobquesiempreesposible.

Paracadanmeronaturaln ,existeuncrculoencuyacircunferenciahayaexactamenten puntosreticulares?LademostracinsedebeaA.Schinzel:

Si n 2k 1(impar)siendo k unentero 0k lacircunferenciadecentro 1/ 3,0 yradio 5

3

k

r contieneexactamentenpuntosreticulares.

Si n espar, n 2k siendo k unnmeronatural,lacircunferenciadecentroenel

punto 1 ,02

yradio1

252

k

r

contendr n puntosreticulares.

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Puntossuspensivos14/26

Estasolucinnoproporcionaelmenorradioposible

Paracadanmeronaturaln existeenelplanouncuadradoquecontieneensuinteriorexactamente n puntosreticulares.

Muchasotrascuestionessepuedenformularsobrecrculosypuntosreticulares:Sitenemosuncrculoconcentroenunpuntoreticularypasapor,almenos,unpuntoreticular,Culessuradio?Imaginemosqueelcentroesel (0,0)O ,sipasaporelpuntoreticular ( , )A a b ,entonces

2 2 2r a b ,esdecirelradioalcuadradodebepoderseescribircomosumadedoscuadrados.Otraveznosencontramosconladescomposicindeunnmerocomosumadedoscuadrados!!Teniendoencuentaloquesabemosalrespecto,larespuestaanuestrapreguntaes:Elradiodelcrculotienequeserigualalarazcuadradadeunnmeronaturalque,cuandosedivideporsumayorfactorcuadrtico,dauncocientequeesunnmeroquenotienedivisoresdelaforma 4 3p k .As,siconsideramosuncrculoconcentroenunpuntoreticularyensucircunferenciahayalmenosunpuntoreticular,susradiosposiblesson:1, 2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5...

Otrapreguntaquenospodemoshacer:Cuntospuntosreticularespuedenestarenlacircunferenciadeuncrculodecentrounpuntoreticular?

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Puntossuspensivos15/26

Esfcilver,porsimetraquesiempreobtendremosunmltiplode 4 ,perolomscuriosoesquesepuedeobtenercualquiermltiplode 4 .Sehademostradoque:Paraunnmeronatural k ,uncrculoconcentroenunpuntoreticularyradio 15kr tendrensucircunferenciaexactamente 4k puntosreticulares.

UnproblematodavanoresueltoExisteunortoedrocuyasaristas,diagonalesdelascarasydiagonalesinteriorestengantodaslaslongitudesenteras?Esteproblemaesequivalente,utilizandoelTeoremadePitgoras,aversiexisten,ono,nmerosnaturales x , y , z talesquecadaunodelosnmeros 2 2x y , 2 2x y , 2 2y z y

2 2 2x y z seancuadradosdenmerosnaturales.Porelmomento,parecequetodavanohayrespuesta!!!!!!!

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Puntossuspensivos16/26

Unacuriosidad:Lospuntosreticularessepuedenordenar:Sepuedennumerartodoslospuntosreticularesenunasucesininfinita,detalmodoquepuedanserordenados:

ELTEOREMADEPICKparaunpolgonosimpleSupongamosquetenemosuntringulodevrtices (0,0)A , ( , )B m n y ( , )C r s ,puntos

reticulares,elreadeltringulolacalculamosrestandoalreadelrectngulolasreasdelostrestringulosquehemosaadidoparaformarelrectnguloyobtenemosquees:

2ms rn

A

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Puntossuspensivos17/26

Llamamostringulofundamentalauntringulocuyosvrticessonpuntosreticularesynotienenningnpuntoreticularnienelinteriornienloslados(slolosvrtices).Veamosqueelreadecualquiertringulofundamentales.Podemosmovercualquiertringulofundamentaldemodoquetengaunvrticeenelpunto (0,0) ,entoncessegnelproblemaanteriorelreadecualquiertringulofundamentalsiempresermayoroigualque 1

2,pueselnumeradoresunnmeroentero

positivononulo,yelmspequeodetodosesel1.Dadounpolgonosimple(losladosnosecortan)reticularcualquiera,lodescomponemosentringulosfundamentales.SupongamosquehayT tringulosfundamentales,enesecasolasumatotaldelosngulosdetodoslostringuloses180T ,peroporcadapuntointeriorestamosaadiendo360 grados,luegolasumaser180 360T I .Sinembargoenunpolgonode k lados,losngulosinterioressuman 2 180k ,peroahoraestamosconsiderandocomovrticeslospuntosdelbordequenolosonensentidoclsico.Cadaunodeellosincrementalasumaen180grados.AsqueentrminosdeB ,lasumavale 2 180B .Igualando180 360 ( 2)180T I B ,esdecir 2 2T B I Resultadosorprendente,elnmerodetringulosfundamentalesdeunpolgonoreticularsimpleslodependedelospuntosquehayenelbordeydelosquehayenelinteriorynodependedecmoseelijanlostringulos.Dadountringulofundamental,seguroquesepuedeinscribirenuncuadradoreticulardeladon .Descomponemosesecuadradoentringulosfundamentales,unodeloscualeseseltringuloinicial,elnmerodetringulosfundamentalesser 2 24 2 2( 1) 2T n n n ,Tendremosentoncesqueelcuadradolotenemosdescompuestoen 22n tringulosfundamentalesylasumadelasreasdetodoselloses 2n ,comoelreadecadaunodeellosesmayoroiguala,necesariamentetodostienenquetenerrea.Portantocualquiertringulofundamentaltienerea.

TeoremadePickEn1899GeorgePickdescubriunafrmulaparacalcularelreadeunpolgonosimplePcuyosvrticessonpuntosreticulares(simplesignificaqueelpolgononosecortaasmismo)

Elreaes 12BA I ,siendo I lospuntosreticularesqueestnenelinterioryB los

puntosreticularesqueestnenelborde.

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Puntossuspensivos18/26

Dadocualquierpolgonosimplereticularlodescomponemosentringulosfundamentales,anteshemosvistoque 2 2T B I ycadatringulofundamentaltienerea,entonces

1 2 2 12 2 2

B I BA T I

Lafrmuladelreaesaditivaenelsentidodequesilafrmulaesvlidaparadospolgonosconinterioresdisjuntos,peroqueestnunidosporunaaristacomn,entoncestambinesvlidaparaelpolgonoformadoporlaunindelosdosanteriores.Polgono1Polgono2 Polgono1+2

rea 5 rea 4 rea 9

Si llamamos 11 1 12BA I a la frmula de Pick para el polgono 1P , y 22 2 12

BA I a la frmula

de Pick para el polgono 2P , y finalmente, 12BA I la frmula de Pick para el polgono

P construido con los polgonos 1P y 2P unidos por una arista comn. Si E es el nmero de puntos reticulares de la arista comn, entonces 1 2 2B B E B E , 1 2 2I I I E y por lo tanto 1 2A A A

Si el polgono no es simple tambin se puede calcular el rea mediante una

generalizacin de la frmula de Pick teniendo en cuenta el nmero de agujeros

que tenga el polgono o si se cruzan o no los lados.

Si en el polgono los lados no se cortan y tiene m agujeros que no se tocan

entonces, calculamos el rea del polgono sin agujeros y el rea de los agujeros

y despus se restan, pero tambin podemos hacerlo todo a la vez teniendo en

cuenta que el nmero de puntos interiores del polgono ha disminuido en tantos

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Puntossuspensivos19/26

como tienen los huecos incluido los de sus bordes, pero por otro lado el nmero de lados del polgono se

ha incrementado y haciendo las cuentas al final queda que el rea es (1 )2BA I m .Enla

figuraanterior 364 (1 3) 242

A

Esteresultadonosepuedeaplicarafigurascomo:

Antes de abordar la siguiente parte necesitamos poder utilizar una nueva herramienta llamada determinante:

Un determinante de orden 2 se calcula de la siguiente manera a b

ad bcc d

;

Un determinante de orden 3 se puede calcular a travs de 3 determinantes de orden 2

' ' ' ' ' '' ' '

'' '' '' '' '' '''' '' ''

a b cb c a c a b

a b c a b cb c a c a b

a b c

Dados dos vectores de componentes ', ', 'u a b c y '', '', ''v a b c se llama producto vectorial de estos dos vectores al vector cuyas componentes son

' ' ' ' ' ', ,

'' '' '' '' '' ''b c a c a b

uxvb c a c a b

Si los vectores u y v tienen distinta direccin determinan un paralelogramo, pues bien el rea de este paralelogramo es uxv

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Puntossuspensivos20/26

Una exploracin del teorema de Pick en el espacio

Dado un polgono simple reticular P, el rea de P viene dada por: 12BA I , siendo A el rea que

encierra el polgono, I es el nmero de puntos reticulares que hay en el interior del polgono y B es el nmero de puntos reticulares en el borde del polgono.

Por ejemplo en esta figura, 22I , 11B , por lo tanto el rea es

11 5322 12 2

A .

Vamos a intentar extender la frmula de Pick a polgonos en una

retcula tridimensional.

Si hacemos una transformacinlineal enelplano,elteoremadePick sigue siendo vlido. Sitransformamos nuestra retculainicial en otra retcula: porejemplo consideramos laaplicacin que transforma el punto (1,0) en el punto (2,0) y el punto (0,1) en el (1,1),obtenemosestanuevaretcula.Alparalelogramoobtenidoaltransformarelcuadradounidadlellamaremosparalelogramounidad.

Esta transformacin sepuede escribirde la siguientemanera: ' 2'

x x yy y ,obien en forma

matricial:2 1 '0 1 '

x xy y

Lospuntosreticularesdelaprimerafigurasetransformanenlosdelasegunda.Elnmerodepuntosreticularesquehayenelinterioryenlafronteraeselmismoqueantes,sinembargoelreaeseldoblede laanterior.Laraznesqueelparalelogramounidadde laretculanuevatienerea2.Un resultadoelemental nosdicequeelvalorabsolutodeldeterminantede lamatriz 2 1 2

0 1 ,eselreade la imagendelcuadradounidadyengeneraleselfactorpara

convertirreas.EnelteoremadePickpodemosinterpretarelreacomoelnmerodecuadradosunidadquehay en el polgono, en esta nueva retcula podemos interpretarlo de la misma manera,

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Puntossuspensivos21/26

Cuntosparalelogramosunidadcabenen la imagendelpolgonooriginal?Por lotantoparacalcular el rea del polgono transformado, hacemos lo mismo que antes pero habr quemultiplicaresacantidadporelreadelparalelogramounidad.Enestecaso ' 53A EngeneralsielparalelogramounidadtienereaU ,entoncestenemos:TeoremadePickparauna retcula construida coneseparalelogramounidad:El readeunpolgonosimpleformadoporpuntosreticulareses 1

2BA U I

RetculasunidimensionalesConsideremoslarectaqueunelospuntosreticulares (0,0) y ( , )a b .Paracualquiernmeroentero n ,elpunto ( , )na nb estendicharecta.Porlotantoenelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( , )a b nohaypuntosreticularessiyslosa yb sonprimosentresi,esdecirsi ( , ) 1mcd a b .Engeneraldadoelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( , )a b ,si ( , )d mcd a b ,entonces. ,a b

d d ,

2 2,a bd d

( 1) ( 1),d a d b

d d sonlos

( 1)d puntosreticularesqueestnenelinteriordelsegmento.PuntosreticularesdeunplanoenelespacioConsideremoselplano : 2 3 6 12x y z .Todoslospuntosreticularesenelespaciosepuedenproyectarenelplanoreticular ,x y .Porejemploelpunto (3, 4, 1) queestenelplano seproyectaenelpunto (3,4) enelplano,x y .

Queremosconstruirunaretculasobreelplano parapoderaplicarelteoremadePickaunpolgonoconstruidosobreesaretcula.Para construirdicharetcula,primerotenemosque determinardosdireccionesparaformarunparalelogramounidad.

Si 0z ,tenemoslarecta 2 3 12x y ,enestarectaestnlospuntos 3,2,0 , 6,0,0 .

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Puntossuspensivos22/26

Cualquier otra recta de la forma 2 3x y k ser paralela a la dada, pero para que estcontenidaenelplano, k tienequesermltiplode 6 .Porejemplosi 6k ,entonces 1z ,ysobre esa recta podemos sealar los puntos reticulares 3,2,1 , 6,0,1 .; es decir yapodemosformarunparalelogramounidadparaconstruirunatramareticularenelplano .Vamosahacerloengeneral:Supongamosque tenemosunplanoquepasaporelorigen 0ax by cz , (sielplanonopasaporelorigen,trazamoselplanoparaleloalquepasaporelorigenparaconstruirunatrama reticular)demaneraque , ,a b c no son todosnulos.Yparams comodidad vamosasuponerquelostrescoeficientesnotienendivisorescomunes,esdecir ( , , ) 1mcd a b c .Elplano cortaalplano ,x y enlarecta 0ax by ,vamosaconsiderarestarectacomounade lasdireccionesparaformarelparalelogramounidad.Si 0a tendramos larecta 0y ,ytendramosrectasparalelasaleje OX .Algoparecidosucedesi 0b .Estoscasossonmuysimples,esmejortratarloscomouncasoaparte.Asquesuponemosque 0a y 0b La recta 0ax by contiene lospuntos reticulares (0,0,0) y ( , ,0)b a .Por loquehemosvistoantes,si ( , )d mcd a b ,entonces lospuntosreticularesqueestnenesarectason lospuntos ,nb na

d d para todo n entero. El punto reticular ,

b ad d

es adyacente al punto

(0,0) ;esdecirelvectordecomponentes ,b ad d

esunodelosvectoresquedeterminanelparalelogramobase.Engeneral, lasrectasparalelasaestasonde laforma ax by k ,yparaqueestaecuacintengasolucinennmerosenteros k nd siendo n entero.(Hemosaprendidodelalgoritmode Euclides para calcular elmximo comn divisor que si ( , )d mcd a b , existen enterosx , y talesque ax by d )Cada una de las rectas ax by nd estn contenidas en el plano , pero no todascorrespondenaunvalorenterode z .Paraellotienequesucederque cz nd yporlotanto

ndzc

.

Como ,a b y c sonprimos entre si, entonces d y c tambin lo son.Por lo tanto,paraquez seaunentero, c tienequedividira n .Por lo tanto las rectasdepuntos reticularesenelplano deben ser de la forma ax by cmd para cualquier entero m y en ese casoz md .

Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

Puntossuspensivos23/26

Larecta ax by d esadyacentea 0ax by enelplano ,x y .Si 0 0,x y esunasolucinen nmeros enteros de ax by d , entonces los mltiplos enteros del vector decomponentes 0 0,x y determinarnpuntosreticularesencadanivel.Paracadam ,lospuntos 0 0,cmx cmy sern puntos reticulares correspondientes a la retcula tridimensional en elplano .Porlotantoelproblemaresideenencontrar 0 0,x y ,peroestopuedehacerseporunsencillotanteo.Entoncestenemoselsiguienteresultado:Sea unplanodeecuacin 0ax by cz demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque ( , , ) 1mcd a b c . Entonces los puntos de la retcula tridimensional que estn sobre elplano tienen por coordenadas 0 0, ,nb nacmx cmy mdd d

siendo ( , )d mcd a b , 0 0,x y esunasolucinparticularde ax by d yn esunenterocualquiera.Estosepuedeescribiras 0 0 0 0, , , , ,0nb na b acmx cmy md m cx cy d nd d d d

Ylosvectores 0 0,cx cy d y , ,0b ad d formanunaparalelogramounidaddelaretcula

tridimensionalenelplano .

ELreadeesteparalelogramoeselmdulode 0 0, , ,0 , ,b acx cy d x a b cd d

;esdecir 2 2 2U a b c .YahorayaestamosencondicionesdegeneralizarelteoremadePickaunplanocontenidoenelespacio.

TeoremadePickenunplanocontenidoenelespacio

Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

Puntossuspensivos24/26

SupongamosqueP esunpolgonocuyosvrticessonpuntosreticularesenelespacioqueestncontenidosenelplano 0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque ( , , ) 1mcd a b c .SiB eselnmerodepuntosreticularesdelbordedeP , I eselnmerodepuntosreticularesdelinteriordeP ,entonceselreadeP es

2 2 2 12BA a b c I

Ejemplo:Consideramoselplanodeecuacin 2 3 6 0x y z ;(paraleloalplano 2 3 6 12x y z ).Como (2,3) 1mcd ,laecuacin2 3 1x y tienesolucinennmerosenteros,porejemplolasolucinparticular 1,1 Losvectoresqueformanelparalelogramobaseson ( 6,6, 1) y 3, 2,0 yelreadeeste

paralelogramounidades7 .Entonceselreadeltringulodeterminadoporlospuntos 6,0,0A , 0,4,0B y (0,0,2)C ser

67 0 1 142

A ,porquenotieneningnpuntoreticularenelinterioryhay6puntosreticularesenelborde.

Realmenteenesteejemploencontrar I esmscomplicadoqueencontrar A porqueelpolgonoP esuntringulo.Sinembargovamosaexplorarunpocomsestafrmula:Consideramoselplano 0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque

( , , ) 1mcd a b c ,sabemosqueelreadeunparalelogramounidades 2 2 2a b c .Siproyectamoslosvectoresqueformanlaretculasobreelplano ,x y tenemoslosvectores

0 0, ,0cx cy y , ,0b ad d ,ysiconsideramoslaretculaquedeterminanestosvectores,el

paralelogramounidadtieneporreaelmdulodelvector:

Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

Puntossuspensivos25/26

0 0 0 00,0, 0,0, (0,0, ) 0,0,1cax cby c cax by d cd d d d ;esdecir c

Sillamamos xyA alreadelpolgonoproyeccindeP sobreelplano xy ,tendremosque:

2 2 2

xy

A a b cA c

Anlogamentesetendrque2 2 2

xz

A a b cA b

y2 2 2

yz

A a b cA a

siendo xzA y yzA lasproyeccionesdeP sobrelosplanos xz y yz .

Esdecir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yzxzA AAA a b c a b c a b cc b a

yteniendoencuentaestoseobtieneque:

2 2 2 2xy yz xzA A A A

Sorprendentementepodemosencontrarelrea A deotramanera:Consideremoselcuadrilterocuyosvrticesson

0,0,0A , 6, 2, 1B , 3,2, 2C y 3,6, 2D queestsobreelplano2 3 6 0x y z .Proyectandoestecuadrilterosobreelplano xy nosdauncuadrilterocuyosvrticesson

' (0,0)A , ' 6, 2B , ' 3, 2C y ' 3,6D ,enestafiguraesfcilverqueenelinteriorhay18puntosyenlafrontera8,porloque 21xyA

Porloque: 2 2 2 21 492 3 66 2

A

Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

Puntossuspensivos26/26

Yadems,como 216 3 2

yzxz AA podemossaberque 212xz

A yque 7yzA Ahoratambinpodemosutilizaresteresultadoparacontarlospuntosqueestnenelinteriordelpolgono,delafrmuladePicktenemosque 49 7 1

2 2BI ,esdecir9 2I B ,elnmerode

puntosquehayenelbordeesfcildeencontrar:enestecasoformamoslosvectoresquedeterminanlosladosdelcuadriltero: (6, 2,1)AB ; ( 3,4, 1)BC ,

( 6,4,0) 2( 3,2,0)CD y (3, 6,2)DA ;tresdeellostienensuscomponentesprimosentresiyenunodeellosel ( 6,4) 2mcd ,porlotanto 5B hay5puntosenelborde,asque 2I Esdecir,podemoscalcularelreadelpolgonoP sinmsqueconocerelreadesuproyeccinsobreelplano xy yutilizarlafrmuladePickparacalcularlospuntosreticularesquehayenelinteriordelpolgono.CONCLUSIONES:Apartirdeunproblema,aparentementefcilhemosexploradounmundoreticularyhemosencontradounamaneradeutilizarelteoremadePickparacalcularelreadeunpolgonosimplereticularcontenidoenunplanoenelespacio.NosgustarahaberdesarrolladotambinlafrmuladePickparaunpolgonocualquiera!YrelacionarlaconlafrmuladeEuler,pero

BIBLIOGRAFA:Gardiner:MathematicalPuzzling.DoverDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002W.Sierpinski:AselectionofProblemsintheTHEORYOFNUMBERS.PergamonPressHowardIseriMathematicsMagazineVol81,n2Abril2008http://mathworld.wolfram.com