N. Complexos
Click here to load reader
description
Transcript of N. Complexos
Tema 6:
Nombres Complexos
Mª Remei Ferrer Guasch 1r Batx A
Ies Sa Colomina
Índex
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
1. Què són els nombres complexos?
Relació amb els vectors..................................................................pàg. 3
2. Formes de donar un complex..........................................................pàg. 4
3. El pas d’ una forma a l’ altra............................................................pàg. 5
4. Operacions amb nombres complexos.............................................pàg. 9
5. Radicació de complexos..................................................................pàg. 12
6. Aplicacions.......................................................................................pàg. 13
7. Curiositats.........................................................................................pàg. 14
8. Valoració personal............................................................................pàg. 15
9. Bibliografia........................................................................................pàg. 16
1. Què són els nombres complexos?
2
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Relació amb els vectors
Els nombres complexos neixen, bàsicament, per donar sentit a l’ arrel
quadrada d’ un nombre negatiu, tractant-lo com un nombre més.
Els podem definir com el conjunt de tots els nombres reals i imaginaris,
i, es simbolitzen amb una ℂ.
Així, el nou nombre es designa per la lletra i , corresponent a la
part imaginària.
En un nombre complex en forma binària podem distingir dos
components:
a + bi a component real b component imaginari
En conclusió, els nombres imaginaris són els nombres complexos, el
component imaginari dels quals no és zero.
Reals ℝ (b = 0) Ex: 3
ℂ (a+bi) Imaginaris (b ≠ 0) Ex: 4+3i
Imaginaris purs (a = 0 , b ≠ 0) Ex: 3i i
- a + bi i - a- bi són oposats - z = a + bi i z = a - bi són conjugats
3
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
La representació gràfica d’ aquests nombres és diferent de la dels
nombres reals, que es representen en la recta real. En aquest cas, surten de la
recta i omplen el pla, denominat pla complex, utilitzant els eixos cartesians, en
què la’ eix X s’ anomena eix real i la Y, eix imaginari.
Per exemple, el nombre a + bi, es representa mitjançant el punt (a, b), que
és anomenat afix, o mitjançant un vector d’ origen (0, 0) i extrem (a, b).
2. Formes de donar un nombre complex
Els nombres complexos poden venir donats de dos maneres diferents:
de forma binòmia o de forma polar.
Un nombre complex en forma binòmia, ve donat per un component real i un imaginari. Un exemple és: 3 + 2i
Per altra banda, un nombre complex en forma polar, està compost pel
seu mòdul i l’ argument. El mòdul consisteix en la longitud del vector
mitjançant el qual es representa el nombre complex, mentre que l’ argument és
l’ angle que forma el vector amb l’ eix real. Un nombre complex z, el mòdul del
qual és r, i l’ argument α, es pot designar així: z = rα
Ex: z = 4 + 3i, que en forma polar seria: 536º 52’ . En aquest cas, el 5 és el
mòdul i el 36º 52’ és l’ argument i, vendria representat de la manera següent:
ιzι = 5
arg(z) = 36º 52’
Nota:
El nombre 0
no té sentit en forma polar
4
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
3. El pas d’ una forma a l’ altra
Pas de forma binòmia a forma polar
Si tenim un nombre complex z = a + bi en forma binòmia i el volem
passar a forma polar, existeixen les relacions següents:
Pas de forma polar a forma binòmia
Si tenim un nombre complex z = rα en forma polar i volem passar-lo en
forma binòmia, existeixen les relacions següents:
Segons aquestes igualtats, el nombre complex es pot expressar així:
Aquesta expressió s’ anomena forma trigonomètrica i queda així:
5
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Activitats del pas de forma binària a polar o a la inversa
1. Passar a forma polar els nombres complexos següents:
a) = 120º
es troba en el segon quadrant,
perquè la seva part real és negativa i la
part imaginària és positiva, per tant
només és vàlid
Solució:
b) =
6
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Com que la part real d’ aquest nombre és 0, l’ argument de la forma
polar, ha de ser a la força .
Solució:
c) =
En aquest cas agafem com a argument del nombre complex,
perquè la part real és negativa i, no valdria 0º com a argument.
Solució:
d) =
Perquè la part real i la imaginària es troben ambdues en el primer quadrant,
ja que són positives
Solució:
7
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
e) =
Perquè la part real i imaginària són positives
Solució:
f) =
Perquè la part real és negativa i la imaginària és
positiva
Solució:
2. Passar a forma binòmia els nombres complexos següents:
a) =
8
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
b) =
c) =
d) =
e) =
9
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
4. Operacions amb nombres complexos
a) En forma binòmia
Les operacions de nombres complexos segueixen les regles de les
operacions dels nombres reals i tenint en compte que . A més, el
resultat d’ operar dos nombres complexos és un altre nombre complex.
Suma
Resta
Multiplicació
Si multipliquem , pel seu conjugat, , el resultat és sempre un
nombre real:
Divisió
El denominador es multiplica pel seu conjugat, perquè d’ aquesta manera
quan operem, el denominador sigui un nombre real.
10
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
No es pot dividir per 0.
Propietats
-El 0 és l’ element neutre de la suma
-L’ 1 és l’ element neutre del producte
-Tot nombre complex té un oposat.
-Tots els nombres complexos, , excepte el 0, tenen un invers
b) En forma polar
Producte
Quan multipliquem dos nombres complexos, el resultat és un altre nombre
complex.
Producte per un complex de mòdul 1
Potència
En elevar , a un nombre natural, , el seu mòdul s’ eleva a i el seu
argument es multiplica per
,ja que:
Quocient
11
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Per dividir dos nombres complexos, es divideixen els respectius mòduls i en
restem els arguments.
, ja que:
Aplicant les propietats de la potencia d’ un nombre complex, s’ obtñe una
fórmula anomenada fórmula de Moivre:
Activitats per operar amb nombres complexos
1. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma binòmia
12
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
2. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma polar
3. Demostra la fórmula de Moivre agafant un nombre complex,
5. Radicació de complexos
Els nombres reals positius tenen dos arrels quadrades.
Ex:
Els nombres reals negatius, per la seva banda, també tenen dos arrels
quadrades, però imaginàries.
Ex: , ja que
Obtenció de les arrels n-èssimes d’ un nombre complex
L’ arrel n-èssima d’ un nombre complex té un mòdul i un
argument , ja que:
13
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Un nombre complex, , té n arrels n-èssimes. Totes elles tenen el
mateix mòdul i els seus arguments varien:
Per a , els afixos d’ aquestes n arrels són els vèrtexs d’ un n- àgon
regular amb centre a l’ origen.
Activitats de radicació de nombres complexos
1. Calcula:
Passem el nombre complex a forma polar:
14
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Té dos solucions:
Passem el nombre complex a forma polar:
L’ argument és , perquè la part real és negativa i la imaginària
positiva i es troba en el segon quadrant.
6. Aplicacions
Aquests nombres tan peculiars, tenen moltes aplicacions en molts
camps. Per exemple, en l’ anàlisi d’ un senyal, es fan servir per obtenir una
descripció adequada de senyals que varien periòdicament, on en una ona en
concret, el valor absolut |z| del corresponent z és l'amplitud i l'argument arg(z)
la fase; en matemàtiques aplicades, es fan servir sovint per calcular algunes
integrals impròpies; en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica; en
dinàmica de fluids, les funcions complexes es fan servir per descriure el flux
potencial en dues dimensions; certs fractals es dibuixen al pla complex, per
exemple el conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Julia...
15
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Conjunt de Mandelbrot
També, amb els nombres complexos es pot treballar amb logaritmes
negatius.
7. Curiositats
Les següents potències són nombres reals, tot i que el nombre està
compost únicament per la unitat imaginària i: Per a comprovar-ho, necessitem conèixer una propietat dels
logaritmes:
Una altra curiositat és que els nombres complexos estan desordenats,
és a dir no segueixen un ordre com els nombres reals.
16
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
8. Valoració personal
Primerament, he de dir que aquest treball l’ he realitzat pensant en què si
no hagués fet el treball i hagués d’ aprendre’m el tema, llegís un treball i
entengués perfectament el tema proposat i recordés el tema, pel que havia
llegit. Per tant, l’ he fet de la millor manera possible, pensant en els altres i,
introduint dibuixos que he realitzat al Paint per deixar més clara l’ explicació.
Trobo que fer aquest tipus de treball, m’ ha ajudat a ser autodidacta i
anar al meu ritme, parant-me en les coses que més dificultat em presentaven.
Personalment, el que m’ ha costat més ha set l’ apartat de radicació dels
nombres complexos, perquè no entenia les fórmules que sortien al llibre, però
amb una mica d’ esforç i parant atenció en tot, ho he començat a entendre, ja
que s’ havia d’ aplicar el que havia fet durant tot el tema. Probablement, us heu
adonat que és l’ apartat que més està copiat del llibre, però la única raó és
perquè no ho sabia explicar d’ una altra manera
També, he après a saber utilitzar millor el Word per posar fórmules i
símbols matemàtics, que per ser sincera, em va costar bastant de temps.
Una pàgina web que m’ ha servit per complementar i acabar d’ entendre
el tema ha set la del projecte Descartes de CNICE. Aquesta pàgina descoberta,
trobo que em servirà de gran ajuda durant tot el curs, per altres temes.
Per últim, vull comentar una anècdota que m’ ha passat quan estava fent
l’ apartat de les aplicacions:
He trobat per Internet, que els fractals tenen alguna cosa que veure amb
els nombres complexos i, m’ ha fet molta gràcia, perquè la paraula “fractal”, una
paraula desconeguda per molta gent, jo ja l’ havia sentit abans, quan a 2n d’
Eso vam haver de fer un treball per poder participar en la Festa de les
Matemàtiques, en què un exercici era sobre els fractals i, ens vam haver d’
informar. Jo ja no me’n recordava de la seva existència, però quan he vist
aquesta paraula escrita en una pàgina d’ Internet buscant les aplicacions dels
nombres complexos, m’ ho ha fet recordar i, no he hagut d’ informar-me de què
eren, perquè ja ho sabia.
17
Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch
Finalment, penso que aquest treball ha servit per introduir- me en el món
dels nombres complexos desconegut fins ara per mi i, que si ara sento a parlar
d’ ells, em sonin algunes coses.
9. Bibliografia
Webs:
http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_complex
http://gaussianos.com/category/numeros-complejos/
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
Llibres:
J. Colera, M. J. Oliveira, R. García, E. Santaella, Matemàtiques I, ed. Anaya
18