N Da Costa & R Chuaqui_Interpretaciones & Modelos_2

Interpretaciones y Modelos en Ciencia*

Newton C. A. da Costa** y Rolando Chuaqui***

Cuando estudiamos un dominio del conocimiento, por ejemplo, una rama de la fsica,aspectos de la teora del aprendizaje en psicologa o algun, tipo de estructura economica,siempre esquematizamos lo real por media de un modelo mas o menos abstracto, aunquea veces esto sea hecho inconscientemente. As, cuando elaboramos una teora, como lamecanica newtoniana o la relatividad general, de hecho estamos considerando ciertos mo-delos que interpretan las propriedades fsicas, aunque a veces ellos no esten completamenteexplicitados.

Algo similar ocurre en matematica y en logica, esto es, en las ciencias formales. Aunpodemos asegurar que una de las caractersticas de la logica y la matematica actuales radicaen el hecho de que ellas utilizan normal y sistematicamente la idea de modelo.

El concepto de modelo en todas sus acepciones, como se vera en cierto detalle masadelante, esta ntimamente ligado con el de interpretacion. Hablar de interpretacion enciencia, significa hablar de intepretacion de um lenguaje en un posible modelo y, en el casode las ciencias empricas, de las relaciones de este modelo con la realidad. Luego, discutirsobre interpretaciones equivale a tratar de modelos, y recprocamnente. De ah que uno delos conceptos centrales de las ciencias, tanto de las ciencias formales (logica y matematica)como de las ciencias empricas (ciencias naturales y ciencias culturales) sea el concepto demodelo.1

Siempre que investigamos un dominio del conocimiento en las ciencias empricas, diga-mos D, modelamos D por medio de un modelo M. Esto es, intepretamos M de acuerdoal dominio D, de tal manera que el modelo M sea lo mas fiel posible a D. Razonamos,entonces, sobre M, procurando obtener proposiciones verdaderas referentes a M, que tam-bien nos conduzcan, a traves de su interpretacion, a proposiciones verdaderas de D (estoes, a proposiciones verdaderas en la porcion de la realidad que se quiere estudiar). Si los re-sultados obtenidos de hecho nos conducen a verdades sobre D (la realidad), nuestro modelo

*Artculo a aparecer en Revista Universitaria, Universidad Catolica de Chile, 1985.**Departamento de Filosofa, Universidad de Sao Paulo, Brasil.

***Departamento de Matematica, Pontificia Universidad Catolica de Chile.1Aunque, a primera vista, haya varias acepciones de la palabra modelo como se usa en ciencia, todas

estas acepciones se reducen a dos: la de modelo determinstico y la de modelo estocastico. Los modelosestocasticos o probabilsticos involucran el concepto de probabilidad y no seran considerados aqu. Un ejemplode modelo estocastico es el modelo del diagnostico medico que aparece en artculo de Juan Pablo Llanes.En este artculo, solamente trataremos de los modelos determinsticos, donde el concepto de probabilidad nointerviene. Quando hablemos de modelo en el presente artculo, siempre nos estaremos refiriendo a modelosdeterminsticos.

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funciona, y su teora, esto es el conjunto de las proposiciones de un lenguaje apropiado quese refiere a M (y indirectamente D) y que son verdaderas en M (esto es, en el modelo), seacepta como formada por proposiciones verdaderas (o, simplesmente, se dice que la teoraes verdadera).

El esquema de abajo ilustra la situacion descrita:

D = M = L

(El sentido de las flechas indica el sentido de la interpretacion)

esto es, L es el lenguage en el cual hablamos de D (ideal), M es el modelo que esquematizaa D y D es el dominio de concimiento correspondiente a una porcion de la realidad.

A partir de D (la realidad) construmos M (el modelo) y, raciocinando sobre M, seobtienen resultados sobre D. El artificio de substituir D por M simplifica la tarea delcientista y permite que se domine la realidad simplificandola, esquematizandola.

Todo uso de teorias en las ciencias empricas, por lo menos en las ciencias deterministas(que no involucran el concepto de probabilidad dentro de sus conceptos basicos), se reduceal uso de modelos, en el sentido antes explicado; recprocamente, la utilizacion de modelossiempre esta ligada a teoras, esto es, proposiciones o conjuntos de proposiciones que valenen estos modelos.

Si una proposicion que es verdadera en el modelo M es falsa en D, el modelo debe serrechazado o modificado.2

Un ejemplo de uso de modelos en ciencia empricas que creemos se adapta muy bienal esquema aqui presentado, aparece en el estudio de la interpretacion bblica, como espresentada por el P. Antonio Moreno. Para interpretar algun libro de la Biblia, es necessarioprimeramente formular un modelo que refleje las condiciones historicas del perodo en quese supone que se escribio el libro. La interpretacion del texto bblico se basa, entonces,en este modelo Por su parte, el hecho de poder encontrar una interpretacion adecuada, esevidencla favorable a la correcion del modelo para el perodo historico en cuestion. Vemosas, que un modelo puede involucrar una descripcion de sucesos que transcurren en el tiempo,adaptandose a situaciones historicas.

Aunque la descripcion que hemos dado de los modelos en ciencias empricas haya sidoimpreciso y simplificado, creemos que el objetivo de su utilizacion quedo claro: tratar deesquematizar la realidad para comprendela y dominarla.

Los modelos en muchas ciencias empricas, se construyen con el auxilio de conceptosmatematicos, que se agregan a la contraparte emprica. En la matematica, sin embargo,como veremos en la proxima seccion, los modelos se edifican abstractamente, recurriendo

2Esta descripcion del rechazo de posibles modelos a base de evidencia negativa, esta muy simplificada porlo menos en el seguiente aspecto. La interpretacion del modelo M en la realidad D puede estar basada enalgunas suposiciones que tambien esten sujetas a confirmacion emprica. Luego, es posible en ciertos casossalvar al modelo modificando estas suposiciones.


a la teora de conjuntos. La matematica usual, bajo ciertos aspectos, puede ser definidacomo la disciplina que trata de los modelos o estructuras conjuntistas. Las diversas teorasmatematicas poseen sus modelos caracterizados por determinadas propiedades, y recproca-mente, clases importantes de modelos definen teoras. La relevancia de la matematica paralas ciencias empricas esta ligada en gran parte a esta circunstancia.

Los modelos en logica matematica

En efecto, podemos asegurar que una de las carectersticas de las ciencias formales ac-tuales radica en el hecho de que ellas utilizan normal y sistematicamente la idea de modelo.La teora de los modelos, que puede servir de paradigma para estos usos, es una discipli-na con carctersticas bien precisas dentro de los estudios de logica y fundamentos de lamatematica. Estudia las relaciones de los lenguajes formales usados en logica y sus posi-bles interpretaciones. Estas interpretaciones, que son estructuras matematicas abstractas,constituyen los llamados posibles modelos de un lenguaje. As, a diferencia de las cienciasempricas, los modelos modelan un lenguaje y no la realidad.

Aunque se puede decir que los matematicos siempre consideraron intuitivamente la no-cion de modelo, solo en el siglo XIX esta nocion aparecio explcitamente. Los matematicosse vieron forzados a observar a mediados de ese siglo que una teoria puede tener mas deun modelo, cuando Bolyai, Lobachewski, Riemann y otros desarrollaron las geometras noeuclidiana, donde el postulado de las paralelas es falso, y posteriormente se construyeronmodelos para ellas dentro de la geometra euclidiana. Mas tarde, en el mismo siglo XIX,Frege desarrollo formalmente la logica de predicados y Cantor estudio la teoria de conjuntos,donde viven las estructuras matematicas que son nuestros modelos.

La teora de modelos propiamente dicha, esto es el estudio de las relaciones entre lengua-jes e interpretaciones, es joven. Como disciplina separada no se visualizo hasta despues de1950. Fue bautizada con ese nombre por Tarski en 1954. Sin embargo, sus races son mas an-tiguas. As, el primer teorema que puede considerarse dentro de la teora es el de Lowenheimde 1914. Otros resutados importantes de esta primera etapa son el teorema de completudde Godel (1930) y la definicion matematica de verdad para lenguajes formalizados de Tarski(1931), que discutiremos mas adelante.3

El area crecio rapidamente despues de 1950, estimuladas por trabajos de Henkin, elmismo Tarski y A. Robinson. El primer simposio internacional de teora de modelos serealizo en Berkeley, California en 1963.

El uso de lenguajes es parte de una las formas con que nos relacionamos con la realidad.Usamos un lenguaje para describir la realidad. En este lenguaje, mencionamos objetoshablamos de sus propriedades y de las relaciones entre ellos. Cuando nuestras asercionesse ajustan a la realidad, decimos que son verdaderas. En general, comprendemos lo que

3En la Revista Universitaria ns. 9 y 11, en artculos del Profesor Rolando Chuaqui, aparecen explicadosalgunos aspectos de la obra de estos autores.


significa que una proposicion expresada en castellano sea verdadera o falsa. Sin pretenderser rigurosos, podemos decir que una proposicion es verdadera cuando corresponde a larealidad. O, como Aristoteles lo senala: Decir de lo que es que no es, o de lo que no es quees, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero.4

Esta concepcion de verdad como correspondencia con la realidad, ha sido representadamatematicamente por Tarski. Como dijimos mas arriba, la representacion de Tarski fue laculminacion de un largo proceso historico del desarrollo de los modelos matematicos. Acontinuacion daremos una idea de la definicion de Tarski, que es el pilar fundamental dondedescansa la teora de modelos. La definicion de Tarski se aplica a los llamados lenguajesformales. Un lenguaje formal es un lenguaje construdo artificialmente para expresar lo quese quiere decir sobre ciertas estructuras matematicas que representan, en cierto sentido,la realidad. As, el primer paso de la definicion matematica de la verdad es reemplazar larealidad por ciertas estructuras conjuntistas, que en cierto modo la representan. El pasosiguiente de la definicion es matematizar el lenguaje. Los lenguajes naturales como lo cas-tellano, son aproximados por los lenguaje formales, que tambien pueden definir-se dentrode la teora de conjuntos.

Los lenguajes formales tienen caractersticas similares al lenguaje habitual de todos losdas o lenguaje natural, pero se diferencian de este, entre otras cosas por su precision yfalta de ambiguedad. Al igual que en los lenguajes naturales, distinguimos en ellos ciertasexpresiones que tienen sentido completo: las oraciones. Las oraciones son exactamente lasexpresiones que pueden ser verdaderas o falsas. Los, lenguajes formales se distinguen de losnaturales por el hecho que es posible determinar si una expresion es una oracion o no porsimple inspeccion, sin conocer el significado de los smbolos.

Tarski da una definicion puramente matematica de la verdad de una oracion del lenguajeformal en una estructura, que es un posible modelo del lenguaje. Un lenguaje formal tienemuchas interpretaciones posibles: sus posibles modelos. La conexion entre lenguaje y modeloesta dada precisamente por la definicion de verdad, que especifica para cada oracion yestructura si la oracion es falsa o verdadera en la estructura. Esta definicion es el puenteque conecta el lenguaje formal con sus posibles interpretaciones por media de modelos.

Como ejemplo de esta definicion de interpretacion y verdad, indicaremos el procedi-miento para una parte restringida de la logica matematica: la llamada logica de primerorder. En primer lugar, diremos algunas palabras acerca de las estructuras matematicasque toman el papel de la realidad y que como se vera mas adelante sirven par modelardicha realidad. El universo de estas estructuras esta constitudo por un conjunto no vacocualquiera. Este universo contiene los objetos a los cuales queremos referimos. LlamemosA a este universo. Distiguimos algunos elementos de A a los cuales nos interesa referimosespecialmente. Por ejemplo, si A es el conjunto de los numeros naturales, digamos que nosinteresan especialmente los numeros uno y dos, as distinguimos al uno y al dos. Tambiennos interesa hablar de ciertas propiedades de los objetos de A o de relaciones entre estosobjetos. Estas relaciones pueden ser binarias, ternarias, etc. Por ejemplo, en el caso de los

4Aristoteles, Metafsica, Gamma 1011 b26; o la indicacion W. D. Ross, The Works of Aristotle: Metaphy-sica. Oxford, Clarendon, v.3, 1954, 1011a-b.


numeros, podramos incluir en la estructura la propiedad de ser par y la relacion de menorque. As, una estructura muy simple consta del conjunto N de los numeros naturales comouniverso, de los numeros uno y dos, como objetos distinguidos, de la propiedad de ser pary de la relacion de un numero ser menor que otro. Cual es nuestro universo y que objetosdistinguidos, propiedades y relaciones inclumos depende de lo que consideramos relevantepara la situacion que estamos intentando describir.

En segundo lugar, para hablar de estas estructuras introducmos un lenguaje formal deprimer orden. Debemos tener en nuestro lenguaje nombres para los objetos distinguidos;en el caso de los numeros un smbolo para el uno, digamos 1, y otro para el dos, 2. Estosnombres llamados constantes individuales se interpretan en nuestra estructura como elobjeto distinguido que nombran. Ademas, introducimos smbolos que se interpretan comolas propidades y relaciones de la estructura, los llamados predicados; en nuestro ejemplo,digamos P para ser par y < para menor que. Con estos smbolos podemos expresarproposiciones sencillas sobre los numeros, algunas verdaderas en la estructura numerica yotras falsas. Estas proposiciones son expresadas por un predicado con el numero apropiadode constantes individuales. Por ejemplo, 1 es par se puede escribir P1 y es falsa, mientrasque 1 < 2 dice que 1 es menor que 2 y es verdadera en la estructura. Las expresionesque pueden ser verdaderas o falsas, las llamamos oraciones y este tipo de oraciones muysencilla, las mas sencillas posibles, se denominan oraciones atomicas. Notemos que la verdado falsedad de las oraciones depende de la interpretacion que se le de a los distintos smbolos.As, podramos interpretar el smbolo 1 por lo numero cuatro y, en este caso, P1 seraverdadera en la estructura.

Combinamos estas oraciones para formar otras mas complejas. Las combinaciones massimples son las llamadas funciones veritativas de sus componentes. La verdad o falsedadde la oracion compuesta, en estos casos, depende unicamente de la verdad o falsedad desus componentes. Para formar estas combinaciones introducimos las conectivas. Las masusadas son representando la partcula no, para o, para y, para si ...entonces..., y para si y solo si. Por ejemplo, si designamos una oracion , su negacionse escribe .5 Si y son oraciones, su conjuncion se escribe ; similarmente paralas otras conectivas. Las expresiones del lenguaje corriente introducidas como equivalentes(por ejemplo no para ) son solo indicaciones para ayudar a la comprension intuitiva. Ladefinicion precisa refleja el caracter de funcion veritativa. As, la oracion es verdadera siy solo si la oracion es falsa; la oracion es verdadera si y solo si las oraciones y son ambas verdaderas; la oracion es verdadera si y solo si la oracion es verdadera,o la oracion es verdadera o ambas lo son; es verdadera si y solo si es falsa o es verdadera, etc. Las contrapartidas en el lenguaje corriente de estes conectivas no son,estrictamente, funciones veritatitvas. As, la verdad de la expresion si entonces nodepende en la mayora de sus usos en el lenguaje natural, unicamente de la verdad o falsedadde las oraciones y . Por ejemplo, la verdad de si enciendo un fosforo entonces se quemael papel, no depende exclusivamente de la verdad o falsedad de enciendo un fosforo yse quema el papel, sino tambien de una cierta conexion causal entre lo que expresan estas

5En general, usaremos las letras griegas y para referimos a oraciones cualesquiera.


oraciones. El hecho de que nuestras conectivas expresen funciones veritativas, se refleja enla admissibilidad en nuestro lenguaje formal de oraciones poco naturales en el lenguajecorriente. Por ejemplo, podemos considerar la oracion P1 (2 < 1) (esto es, si uno es par,entonces dos es menor que uno), que es verdadera en nuestra interpretacion numerica. Porotra parte, P1 (2 < 1) (si dos es par, entonces dos es menor que uno) es falsa bajo estainterpretacion.

Con los smbolos que tenemos hasta ahora solo podemos hablar de los objetos representa-dos por las constantes individuales. Tambien queremos oraciones que se refieran a cualquierobjeto de A. Para esto, debemos introducir un nuevo tipo de smbolo: las variables. Estaslas escribiremos con letras minusculas del final del alfabeto, u, v, y, z. Para decir en nuestrainterpretacion numerica que cualquier objeto de N es igual a uno, podemos hacerlo con

x = 1.

El problema se presenta cuando queremos negar una expresion de este tipo. Si afirmamos

(x = 1),estaremos indicando que todos los objetos de N son diferentes de uno, lo que no es la negacionde todos los elementos de N son iguales a uno. Por esto Frege introdujo los cuantificadores.Para decir que todos los elementos de N son iguales a uno, escribimos

x(x = 1),que se lee: para todo x, x = 1. Ahora la negacion resulta:

x(x = 1),esto es, no para todo x, (x = 1). Tambien se quede escribir lo mismo por

x(x = 1),que se lee: existe por lo menos un x diferente de uno.

Con esto hemos completado la descripcion de nuestros lenguajes. Notemos que la inter-pretacion de la conectivas y los cuantificadores y , los llamados smbolos logicos, esconstantes en todas las estructuras, mientras que la interpretacion de los otros smbolos,contantes individuales y smbolos de propiedades o de relaciones, puede variar de estructuraen estructura.

Hemos indicado en lo anterior como se interpreta el lenguaje en una estructura con-juntista. Se puede ver, que interpretar significa indicar las condiciones para la verdad ofalsedad de las oraciones del languaje. La logica clasica, que es la que estamos estudiando,se preocupa solo de la verdad o falsedad de las oraciones. Por esto, para esta logica, lainterpretacion de una oracion esta totalmente determinada por sus condiciones de verdad.

Lo que hemos definido es el concepto de verdadero bajo una interpretacion o verdaderoen una estructura. Si una oracion es verdadera en una estructura, decimos tambien que laestructura es modelo de la oracion. Con esta definicion de verdad podemos obtener todos


los conceptos de la logica clasica. As, una oracion es logicamente verdadera o valida, si esverdadera bajo todas las interpretaciones o, lo que es lo mesmo, si es verdadera en todoslos modelos posibles.

Estos conceptos, son la contrapartida formal de las definiciones clasicas. Un posiblemodelo representa un mundo posible, o sea, un estado posible de la realidad. As, unaoracion es logicamente verdadera si es verdadera no solo en el mundo real, sino tambien entodos los mundos posibles. Esta idea expresada por Leibniz en el siglo XVII, no constituyeuna definicion de validez, sino una explicacion heurstica. La razon de esto esta en la palabraposible que en este contexto significa logicamente posible, esto es libre de contradiccion.Por su parte, una proposicion esta libre de contradiccion si su negacion no es logicamenteverdadera, con lo que llegamos a un crculo vicioso.

Con esto, completamos una descripcion muy informal y, por lo tanto, no muy precisadel uso de modelos en logica matematica. En un apendice al final del artculo, indicaremospara los interesados como se procede mas formalmente.

Modelos en ciencias empricas

En las ciencias empricas es comun que se construya modelos materiales de ciertosobjetos. Por ejemplo, para probar un nuevo tipo de aeronave, por lo general se construyeun modelo pequeno que es menor que el real; hechas las pruebas, aplicandose las formulasde Newton, etc., se obtienen los efectos que sufrira la aeronave a ser construda, al sersometida a determinadas condiciones (de viento, vibraciones, etc.). Lo mismo ocurre cuandose quiere proyectar una represa o muchos tipos de aparatos. El estudio de tales modelosse hace especialmente en mecanica y la teora de semejantes modelos podra se llamadatambien teora de modelos.

Mas, como se podra probar, tales modelos se reducen, en ultima instancia, por lo menosdesde el punto de vista teorico, a los modelos abstractos estudiados mas arriba. Esto se puedecomprobar por el hecho de haber una teora de estos modelos, de caracter mecanico, quees un captulo de la mecanica racional. Sin embargo, los modelos en la acepcion precedenteseran excludos de nuestra presentacion.

Pero antes de tratar de modelos e interpretaciones en ciencias empricas, debemos deciralgunas palabras sobre lo que es, formalmente una teora cientfica. Daremos primero unaversion solo aproximada de lo que es una teora, para mas adelante mostrar una definicion,debida al filosofo de la ciencia Patrick Suppes, que nos parece mas adecuada. Como primeraaproximacion, podemos identificar una teora cientfica con el conjunto de proposicionesverdaderas en la teora (o tesis de la teora). Para una teora, as considerada, sus modelos,en el sentido de la seccion precedente, son las estructuras donde las proposiciones de lateora son verdaderas (o, mas simplemente, donde la teora es verdadera). En la mayora delos casos, las proposiciones verdaderas de una teora se deducen logicamente de un conjuntoreducido de postulados. As, para verificar que una estructura sea modelo de una teora,


basta determinar que los postulados son verdaderos en la estructura. Como todas las tesisse deducen de los postulados, de la verdad de estos se obtiene la verdad de aquellas.

Interpretar, en ciencia, significa siempre, directa o indirectamente, interpretar un len-guaje en un modelo. As, cuando comunmente se dce que se interpreto una teora T1 enotra T2 esto significa que se interpreto el lenguaje de T1 en los modelos de T2 de maneraque los postulados basicos de T1 sean verdaderos.

Los modelos de cualquier teora emprica T pueden ser reducidos a modelos abstractos,matematicos, del tipo descrito en el subttulo anterior, aunque no siempre tan sencillos comolos ejemplos all citados. Los objetos del modelo pueden ser substitudos por conjuntosconvenientes (por ejemplo, por numeros ordinales, que son cierto tipo de conjuntos), ylas propiedades y relaciones constantes del modelo inicial, por consiguiente, se conviertenen propiedades y relaciones conjuntistas. Por lo tanto, al referimos a los modelos de unateora emprica, podemos referimos siempre a modelos matematicos, elaborados en la teorade conjuntos. Estos modelos son habitualmente apropiados para logicas mas ricas que laestudiada en la seccion precedente, e incluyen propiedades y relaciones matematicas, ademasde las directamente empricas.

Los modelos de una teora T, esto es, los modelos en los cuales la teora es verdadera,determinam en cierto sentido, la teora T. Por otro lado, clases importantes de modelospueden ser individualizadas por teoras convenientes. P. Suppes es uno de los filosofos quemas ha insitido en que se caractericen las teoras de las ciencias empricas por sus respec-tivos modelos. O sea, en vez de considerar las teoras como puras estructuras lingusticas,conviene encararlas como clases de modelos apropiadas. De ese modo han sido tratadas,por Suppes y sus colaboradores, varias ramas de la ciencia, entre otras, la mecanica clasicade partculas, la relatividad restringida, la termodinamica y la teora del aprendizaje. Porejemplo, en el caso de la mecanica de partculas, la teora se considera como la clase delos modelos que satisfacen ciertas condiciones, principalmente los postulados de la teora.Cada modelo representa una situacion particular donde se aplica la teora. Hay modelos dela mecanica de partculas para el sistema solar, el movimiento de un numero cualquiera departculas en el vaco, etc. En cada modelo, su universo representa los objetos a los cualesse esta aplicando la teora.

Cuando se considera una teora como dada por sus modelos, evidentemente esto implicatener dos tipos de relaciones: la interpretacion del lenguaje de la teora en los modelos y lasrelaciones entre estos y la realidad. La interpretacion del lenguaje en el modelo es necesariapara dar sentido a la nocion de verdad de las tesis de la teora, por ejemplo de los postulados,en el modelo. As, dado un modelo de una teora T, cuyo lenguaje es L, las relaciones entreL y los modelos de T son de la naturaleza de las relaciones tratadas en el suttulo anterior.Por otra parte, si M es un modelo de T relacionado con un determinado dominio de lasciencias empricas D, las conexiones entre M y D son muy complejas. Generalmente talesrelaciones son establecidas por la estadstica y por la teora de la medicion (o teora de lasmagnitudes). Podramos bautizar la teora de las conexiones entre los modelos y la realidadcomo semantica aplicada, tal como la teora de modelos en logica matematica, se llamatambien sematica teorica.


En resumen, podramos aseverar que la ciencia avanza a traves de modelos idealizadosque nos ayudan a orientarnos y a dominar nuestra circunstancia. Por los modelos, inter-pretamos la realidad. Y la investigacion cientfica de este proceso se hace por la teora demodelos y por la semantica aplicada.


Indicaciones bibliograficas

La literatura sobre teora de modelos como rama de la logica es muy rica. Una explicacioninformal muy buena de la definicion de verdad de Tarski relacionandola con la nocion deprueba, de la que no hemos hablado aqu, aparece en un artculo del mismo Tarski, Truthand Proof, aparecido en Scientific American, junio de 1969 (traducido al castellano en larevista Teora, n. 3, pags. 56- 82). El artculo de uno de los autores del presente trabajo, R.Chuaqui, Modelos en logica matematica (en Algunas Reflexiones sobre Modelos, editado porBruno Philippi, Ediciones Nueva Universidad, Santiago) tambien contiene una explicacionsimplificada de la teora de modelos.

Un texto muy completo en teora de modelos, es el libro Model Theory, de C. C. Changy H. J. Keisler, North-Holland, 1973. Un texto mas elemental es el libro de H. K. Enderton,A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, 1972. Tambien aparecen numerosascontriburiones a la teora en los Proceedings of the Tarski Simposium (American Mathema-tical Society, 1974). En particular, una historia completa de la teora aparece en este libroen los artculos de C. C. Chang y R. L. Vaught.

Para la teora de modelos en ciencia, son relevantes varios trabajos de Suppes. En parti-cular, su libro introductorio de logica Introduction to Logic, van Nostrand,1957, y su obraSet-theoretic Structures in Science (mimeografiado), Institute for Mathematical Studies inthe Social Sciences, Stanford University, 1967. En la actualid, Suppes esta preparando unlibro muy completo sobre este tema. La teora de la medicion esta desarrollada en formaexhaustiva en la obra de Krantz, Luce, Suppes y Tverski, Foundations of Measurement, vol.1, Academic Press, 1971.

Los autores del presente artculo estan desarollando una teora matematica de caractersemantico del concepto de modelo (o de modo mas general, de estructura) en ciencia, basadoen las ideas de predicado conjuntista de Suppes y de estructura matematica de Bourbaki (cf.N. Bourbaki, Theorie des ensembles, Ch. 4, Hermann, 1954). Un resumen de este trabajoaparecera este ano en la revista Abstract of the American Mathematical Society.

Modelos mas generales que los tratados aqu, pueden encontrarse en los artculos tecni-cos Pragmatic truth and approximation to truth de Mikenberg, da Costa y Chuaqui, poraparecer en The Journal of Symbolic Logic, 1986, y Approximation to trruh and the theoryof errors, de Chuaqui y Bertossi, aparecido en los Proceedings del VI Simposio Latinoameri-cano de Logica Matematica, Methods of Mathematical Logic, Lecture Notes in Mathematics,Springer Verlag, 1985.


Apendice

En este apendice, indicaremos como los lenguajes y sus posibles modelos se definenformalmente. Se incluye aqu solo para dar una idea de como se procede rigurosamente.Llamaremos a nuestro lenguaje L.

1. Smbolos de L.a) Variables: u, v, x, y, z, u1, u2, etc.

b) Constantes logicas: , , , , , , , (, ).c) Constantes no logicas:

(i) Constantes individuales: a, b, ..., t.

(ii) Predicados n-arios para algunos numeros enteros positivos n: R0, ..., Rm1.

2. Las expresiones de L son sucesiones finitas de smbolos. Los smbolos individuales sonlas constantes individuales y las variables.

3. Formulas.

a) Formulas atomicas: son expresiones formadas por un predicado n-ario seguido de nsmbolos individuales.

b) Definicion de formula:

(i) Una formula atomica es una formula.

(ii) Si es una formula entonces , tambien lo es.(iii) Se y son formulas, entonces (), (), ( ) y ( ) son formulas.(iv) Si es una formula y x es una variable, entonces x y x son formulas.(v) Todas las formulas se obtienen por algunas de las clausulas (i) - (iv).

4. Una variable x aparece libre en una formula , si no esta en una subformula de dela forma x o x. Una oracion es una formula sin variables libres.

Esta definicion puramente sintactica de oracion, no utiliza para nada la interpretacion denuestro lenguaje indicada antes. Mas es posible determinar mecanicamente si una expresiones una oracion o no.

La teora de modelos aparece cuando interpretamos L en las estructuras o posiblesmodelos

U = A,R0, ..., Rn1, a0, ..., am1.


En estos posibles modelos deben aparecer las relaciones o propiedades R0, ..., Rn1 que co-rresponden a los predicados de L, y los elementos distinguidos a0, ..., am1 que correspondena las constantes individuales de L. Los predicados se interpretan en las correspondientes re-laciones y las constantes individuales nombran los correspondientes elementos distinguidos.La interpretacion de las oraciones en U esta dada por las reglas que determinan la verdado falsedad de las oraciones con respecto a U . Estas reglas las hemos indicado informalmen-te antes. Las daremos a continuacion mas formalmente, pero aun no en forma totalmenterigurosa. Escribiremos

U |= por es verdadera en U o (lo que es lo mismo) U es modelo de . La definicion consiste delas siguientes clausulas:

(i) Si es atomica de la forma Pa0...am1, entonces U |= si y solo si los objetosdesignados por a0, ..., am1 estan en la relacion que interpreta a P.

(ii) Si es , entonces U |= si y solo si no U |= .(iii) Si es ( ), entonces si U |= si y solo si U |= y U |= .(iv) Clausulas similares para , y .(v) Si es x, entonces U |= si y solo si U |= [x/c] para todo c A, donde [x/c] es

la oracion obtenida de reemplazando las apariciones libres de x por un nombre dec.

(viii) Si es x, entonces U |= , si y solo si U |= [x/c], para algun c A.

Como se indico antes, una vez definida la verdad podemos introducir los distintos con-ceptos de la logica. Ya dimos la definicion de verdad logica: la oracion es logicamenteverdadera, en smbolos |= , si y solo si para toda estructura U , U |= . Asimismo, laoracion es consecuencia logica del conjunto de oraciones , en smbolos |= , si todoslos modelos de las oraciones de son modelos de (esto es, si para toda estructura U talque U |= para toda , se tiene U |= ).

Texto utilizado na disciplina Evolucao dos Conceitos Matematicos.Bacharelado em Ciencia e TecnologiaUniversidade Federal do ABC

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