Tarea I lunes 24 de agosto de 2015.

1. Una partícula se mueve en los enteros 0; 1; ::::; N y en cada transiciónpasa a uno de los enteros vecinos. Construya una cadena de Markovpara cada una de las siguientes situaciones:

a) Caminata aleatoria con barreras absorbentes. Si la partícula está enlos puntos 1; 2; :::; N � 1 se mueve hacia la derecha con probabilidad0 < p < 1 y hacia la izquierda con probabilidad 1 � p. Pero si llega acualquiera de los extremos 0 o N allí se queda (estados absorbentes).Comparar con la cadena de la ruina del jugador.

b) Caminata aleatoria con barreras pegajosas. Igual a la anterior, conla diferencia de que si la partícula llega a cualquiera de los extremos sequeda allí con probabilidad 0 < q < 1 y se mueve al punto vecino conprobabilidad 1� q.

c) Caminata aleatoria con barreras re�ejantes. Igual a la anterior perocon q = 0.

d) Caminata aleatoria in�nita. Cuando la partícula se mueve se mueveen los enteros no negativos.

El nombre de caminatas aleatorias proviene de que las realizaciones deestos procesos parecen describir la trayectoria de una persona (posible-mente alcoholizada) caminando aleatoriamente un paso hacia adelantey otro paso hacia atrás.

2. Para una cadena de Markov demuestre e interprete

P (Xn+1 = in+1; :::; Xn+m = in+m=X0 = i0; :::; Xn = in)

= P (Xn+1 = in+1; :::; Xn+m = in+m=Xn = in),

para todo i0; :::; in; :::; in+m donde m y n están �jos.

3. Para una cadena de Markov demuestre e interprete

P (Xn+1 = in+1; :::; Xn+m = in+m=X0 = i0; :::; Xn = in)

= P (X1 = in+1; :::; Xm = in+m=X0 = in),

1

para todo in; :::; in+m donde m y n están �jos.

Sugerencia: use el problema anterior y que las probabilidades de tran-sición no dependen del tiempo.

4. En un proceso de producción se fabrican artículos en serie. Cadaartículo se clasi�ca como bueno o defectuoso. Suponga que un artículobueno es seguido por uno defectuoso con probabilidad � y que uno de-fectuoso es seguido por uno bueno con probabilidad �.

a) Construya una cadena de Markov para este problema.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo defectuoso queaparezca sea el 5to artículo dado que el primer artículo fue bueno?

c) Suponga que � = 1=10 y � = 4=5. ¿Cuál es la probabilidad de queel 14vo artículo sea bueno si se sabe que el 11vo artículo es defectuoso?

d) Cosidere los mismos valores � y � del inciso anterior y suponga quela probabilidad de que el primer artículo sea bueno es 3=4. ¿Cuál es laprobabilidad de que el tercer artículo que se produzca sea defectuoso?¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo sea defectuoso, elsegundo bueno, luego dos defectuosos y por último tres buenos?

5. Para una cadena de Markov demuestre e interprete

P (Xn = j) =1Xk=0

P (X0 = k)p(n)kj .

6. Para una cadena de Markov con probabilidades de transición pij de-muestre e interprete

p(m+n)ij =

1Xk=0

p(m)ik p

(n)kj para todo i; j

con m y n �jos. Estas son las Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.

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