Aplicación de las Transformadas Rápida de Fourier y Wavelet

para el Análisis de Calidad de la Potencia en un Sistema de Distribución

Juan Camilo Toro Cadavid B. Sc

Andrés Julián Saavedra Ph. D.

Freddy Bolaños Martínez Ph. D.

Universidad Nacional de Colombia

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En este artículo se presenta la aplicación de la Transforma-da Rápida de Fourier de Tiempo Corto (STFT de su nom-

bre en Inglés) y de la Transformada Wavelet Discreta (DWT de su nombre en Inglés) para la detección de fenómenos de calidad de la potencia en redes de distribución. Se reporta una evaluación de los métodos que se proponen, mediante su aplicación a un tipo de fallas monofásicas a tierra que suceden en una red de distribución radial a lo largo de su alimentador principal. Los resultados obtenidos a partir de ambos métodos son comparados y discutidos.

The application of Short Time Fourier Transform (STFT) and Discrete Wavelet Transform (DWT) for power quality pheno-mena detection on distribution networks is presented in this paper. An assessment for the proposed methods is reported herein, through its application to single-phase ground faults happening on a radial distribution network along its main feeder. Results obtained from both methods are compared and discussed.

Palabras Clave

Transformada de Fourier, transformada wavelet, STFT, función ventana, calidad de la potencia.

Juan Camilo Toro Cadavid B. ScAndrés Julián Saavedra Ph. D. Freddy Bolaños Martínez Ph. D.

Universidad Nacional de Colombia

Keywords

Fourier transform, wavelet transform,

STFT, window function, power quality.

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I. INTRODUCCIÓN

El análisis de la calidad de la potencia en una red eléctrica consiste fundamentalmente en la detección, clasificación y medición de fenómenos que se presentan sobre las señales de voltaje y de corriente a lo largo del tiempo.La dificultad para la realización de los análisis de ca-lidad de la potencia radica en que éstos se realizan sobre mediciones tomadas durante largos periodos de tiempo, días o incluso semanas, lo cual se traduce en que deben llevarse a cabo sobre grandes cantida-des de información, las cuales se incrementan según se tomen muestras de una o tres fases, dependiendo de si se realizan mediciones de voltajes y corrientes o sólo una de las variables, y en la medida en que la frecuencia de muestreo sea mayor con el fin de cap-turar datos de transitorios de altas frecuencias [1].Dada la abundancia de los datos muestreados, se hace poco práctico analizar estos datos manualmen-te [2], es decir, por medio de gráficas que se recorren visualmente y se detallan en los puntos donde se lo-gre apreciar una distorsión de la señal. Es por esto que se buscan herramientas automáticas que permi-tan hacer análisis rápidos sobre los datos obtenidos sin que se pierda la apreciación de los fenómenos ocurridos durante el periodo de tiempo muestreado.Sin embargo, independientemente del nivel de difi-cultad que implique el análisis a partir de la cantidad de datos obtenidos, la detección y medición de estos fenómenos debe ser precisa y confiable para poder aumentar la confiabilidad de los sistemas eléctricos de potencia [3].Algunas aplicaciones de la transformada rápida de Fourier y de la transformada wavelet han sido desa-rrolladas por diferentes autores [1]–[3] con el fin de detectar la presencia de fenómenos de calidad de la potencia con base en las alteraciones que estos fe-nómenos imprimen sobre el espectro de la señal. En [1] el autor describe un modelo de análisis de una se-ñal aplicando la transformada rápida de Fourier sobre ventanas de tiempo de la señal con el fin de hacer un barrido rápido de la misma y enfocar el análisis en los intervalos de tiempo en los que se detecten per-turbaciones del espectro de la señal. Por otra parte,

los autores en [2], [3] presentan un método de des-composición de una señal aplicando la transforma da wavelet, analizando la señal en su totalidad seg-mentarla en intervalos de tiempo y caracterizando fenómenos de calidad de la potencia a partir de la descomposición realizada.Los trabajos anteriormente mencionados presentan las bondades y dificultades de cada técnica, pero la falta de relación directa entre éstos no permite apreciar comparativamente los resultados obtenidos contrario a si ambas técnicas fueran aplicadas sobre las mismas señales. El objetivo de este artículo es comparar los resultados entregados por la STFT y la DWT al aplicarlas para el análisis de fenómenos de calidad de la potencia del tipo no estacionario, como huecos de voltaje y transitorios, presentes en un sis-tema de distribución radial. El resto del artículo está organizado de la siguiente forma: En las Secciones II y III se presenta la implementación de la STFT y DWT respectivamente. En la Sección IV se presenta la red de distribución radial y se describen los fenómenos que son simulados en la red. Los resultados y su res-pectiva discusión se presentan en la Sección V. Las conclusiones y las referencias se presentan en las Secciones VI y VII respectivamente.

II. IMPLEMENTACIÓN DE LA STFT

La transformada rápida de Fourier de tiempo corto (STFT de su nombre en inglés) consiste en aplicar la transformada discreta de Fourier (DFT de su nom-bre en inglés) sobre una ventana de tiempo que se desplaza sobre la señal original. De esta manera, se evalúa cómo el espectro de la señal varía en función del tiempo.El tamaño de la ventana empleada para la evalua-ción varía en función de la distorsión que se detecta en la señal muestreada. En principio, ventanas am-plias son empleadas para hacer un escaneo rápido de la señal muestreada hasta que se detectan las distorsiones sobre la señal. Cuando una distorsión se detecta, se emplean ventanas más estrechas con el fin de ejecutar un análisis detallado sobre di-chas distorsiones [1]. Este procedimiento se ilustra a modo de ejemplo en la figura 1.

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Figura 1. Implementación ilustrativa de la STFT [1].

III. IMPLEMENTACIÓN DE LA DWT

Mientras en la técnica STFT es necesario alterar la resolución manualmente ante un posible evento, el análisis de señales por medio de la transformada wa-velet emplea la técnica de descomposición multirre-solución de la señal (MSD de su nombre en inglés), entregando varias señales que exhiben diferentes ni-veles de detalle de la señal analizada. Normalmente, hasta dos niveles de descomposición de la señal son suficientes para aislar las distorsiones presentes en la señal muestreada, dado que la descomposición en los primeros niveles presenta mayor resolución en el tiempo, de manera que la descomposición en niveles mayores no es conveniente para la detección de fa-llas dada su poca resolución en el tiempo [2].La descomposición de la señal por medio de la téc-nica MSD consiste en obtener dos señales por cada nivel de descomposición, una correspondiente a una versión suavizada de la señal distorsionada y otra correspondiente a la versión detallada de la señal distorsionada, la cual se representa como el coefi-ciente de transformada wavelet (WTC de su nombre en inglés) para el nivel de descomposición de la se-ñal [2], [4].En la figura 2 se ilustra una MSD de dos niveles, donde c0(n) es la señal muestreada objeto de estudio, c1(n) es la versión suavizada de c0(n), d1(n) es la versión de-tallada de c0(n) definida como el coeficiente wavelet de primer nivel WTC1, c2(n) es la versión suavizada de c1(n), y d2(n) es la versión detallada de c1(n) definida como el coeficiente wavelet de segundo nivel WTC2.

La obtención de la versión suavizada c1(n) de la se-ñal c0(n) se logra por medio de la aplicación de un filtro pasas-bajas h(n) obtenido a partir de una fun-ción wavelet madre [4]. La obtención de la versión detallada d1(n) de la señal c0(n) se logra por medio de la aplicación de un filtro pasas-altas g(n) obtenido a partir de la misma wavelet madre [4]. Posterior al filtrado, cada señal es diezmada por un factor de dos y por ende su resolución en tiempo es la mitad de la resolución de la señal original [4]. La descomposición para cada nivel subsiguiente se efectúa a partir de la nueva señal suavizada obtenida en el nivel inmedia-tamente anterior.

Figura 2. Descomposición de la señal original en 2 niveles [4].

Cuando se efectúan análisis sobre señales que con-tienen algún tipo de ruido, sus componentes se mez-clan con los componentes de la señal analizada, lo que dificulta observar los resultados de la detección. En esos casos se recomienda visualizar los cuadra-dos de los WTC de cada nivel con el fin de resaltar cada pico resultante en la descomposición [4].

A. Implementación de la Wavelet MadreLa selección de la wavelet madre depende principal-mente del tipo de fenómeno que se desea evaluar dado que el orden del filtro afecta directamente so-bre la capacidad de detección de los fenómenos pre-sentes en la señal distorsionada. Los fenómenos de transición rápida pueden evaluarse mejor con wave-lets de bajo orden debido a que son más compactas en el tiempo y por lo tanto son mejores para la de-tección de este tipo de fenómenos. Por el contrario, los fenómenos de transición lenta requieren de un mayor intervalo de tiempo para ser detectados, lo cual conlleva a la necesidad de emplear wavelets de mayor orden [2].

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IV. CASO DE ESTUDIO: MODELO DE UNA RED DE DISTRIBUCIÓN

Para mostrar la aplicación de las transformadas presentadas anteriormente, el Benchmark [5] de una red de distribución de bajo voltaje con topología radial es modelado. El diagrama unifilar de la red de distribución se presenta en la figura 3, la cual opera a 400 V, 50 Hz y corresponde a una red residencial.El transformador consta de una conexión delta en el devanado primario y de una conexión estrella en el deva-nado secundario, con un desplazamiento de 30° en adelanto para el ángulo de fase. El devanado secundario no cuenta con el neutro aterrizado internamente con el fin de modelar el neutro con aterrizaje múltiple del sistema.

El alimentador principal de la red consta de 9 nodos contados a partir del Punto de Conexión Común (PCC), con una distancia entre nodos de 35 m. De éste se derivan cinco ramales secundarios que terminan en las cargas, donde la distancia entre el último nodo de cada ramal y su respectiva carga es de 30 m. Las líneas del alimentador principal y de los ramales secundarios son aéreas con neutro con aterrizaje múltiple y en cada segmento de línea se emplea el modelo pi.Las cargas son lineales representadas con el modelo de cargas PQ o potencia constante, considerando que su demanda de potencia al sistema no varía en función del voltaje entregado por la red.

Figura 3. Diagrama unifilar de la red de distribución de baja voltaje [5].

Como el objetivo del análisis es detectar el momen-to en que las distorsiones en la señal de voltaje se hacen presentes, empleando la STFT y la descom-posición por medio de la DWT, se generan fallas mo-nofásicas a tierra a lo largo del alimentador principal que producen huecos de voltaje sobre la fase fallada. Las fallas se introducen y despejan secuencialmente, desde el PCC hasta el nodo 9. El tiempo que dura la falla es el suficiente para visualizar el hueco de volta-je causado por cada falla sin el traslape entre fallas.En la figura 4 se presenta la señal de voltaje de la fase fallada, la cual fue registrada en el PCC durante la introducción y despeje de las diez fallas al simular el sistema a una tasa de muestreo de 1250 Hz du-rante 45 segundos empleando el software MATLAB/Simulink. En la señal se observan con facilidad los transitorios que se hacen presentes al despejar la primera y segunda falla, los cuales se espera eviden-ciar como componentes de alta frecuencia en los resultados obtenidos al llevar a cabo la aplicación de ambas transformadas sobre la señal de voltaje.

Figura 4. Señal objeto de análisis.

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V. RESULTADOS

En esta sección se presenta el análisis de la señal registrada utilizando las transformadas STFT y DWT.

A. Análisis de la Señal por Medio de la STFTCon el fin de llevar a cabo la implementación de la STFT, se programa en MATLAB un algoritmo por me-dio del cual aplicar las ventanas a la señal y el poste-rior análisis de Fourier. La señal es analizada en seg-mentos de 104 muestras, sobre los cuales se aplica una ventana con el fin de reducir la dispersión de la energía [6]. La ventana seleccionada para el caso particular es una Blackman por el rápido decaimien-to que presentan sus lóbulos laterales con respecto al lóbulo principal en su espectro [6]. Una vez em-pleada la ventana, se efectúa la DFT aplicando las funciones fft y fftshift. El deslizamiento de la ventana se realiza avanzando hacia las siguientes 104 mues-tras con un traslape de una muestra sobre el último segmento analizado.Primero se aplica la DFT a la señal muestreada con el fin de visualizar sus componentes en frecuencia. La Figura 5 exhibe el resultado de aplicar dicha trans-formada a la señal, cuyas componentes espectrales principales se encuentran localizadas en 50 Hz. Tam-bién es posible visualizar componentes armónicas de magnitud muy inferior ubicadas alrededor de los 50 Hz. Estas componentes corresponden a las dis-torsiones presentes en la señal, pero no es posible determinar en qué momento se presentan las distor-siones o dichas frecuencias a qué distorsión corres-ponden en particular.

Figura 5. Espectro de magnitud de la señal muestreada (arriba) con acercamiento en la banda 0 Hz ~ 100 Hz (abajo).

Por medio de la STFT se obtiene un espectro de cada ventana de la señal que permite visualizar las com-ponentes espectrales que van apareciendo a lo largo del tiempo como se puede apreciar en la figura 6. En ésta se presenta el espectrograma obtenido al apli-car la DFT sobre 360 ventanas a lo largo de toda la señal, para las cuales el espectro de cada una ilustra las componentes espectrales diferentes a la funda-mental que se hacen presentes en los momentos justos en que entra la falla y que aparece el hueco de voltaje, así como el momento en que se despeja la falla y desaparece el hueco de voltaje.

Figura 6. Espectrograma de la señal muestreada.

En la figura 4 se observa que el transitorio con ma-yores cambios en magnitud se presenta en el inter-valo de tiempo entre 5 s y 10 s, pero en la figura 6 difícilmente se aprecian las componentes de altas frecuencias asociadas a este fenómeno para el in-tervalo mencionado.

Figura 7. Ventana de tiempo en el intervalo 5 s~10 s para la señal muestreada (arriba) y su espectro de magnitud (abajo).

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La señal de voltaje y su respectivo espectro de mag-nitud para el intervalo entre 5 s y 10 s se ilustran en la figura 7. El resultado entregado por la DFT se com-para con el espectro de toda la señal presentado en la figura 5. Dicho espectro no muestra mayores dife-rencias salvo por la apreciación de componentes de alta frecuencia en los bordes del espectro a 625 Hz y por la magnitud de la componente fundamental, la cual es inferior a la apreciada en la figura 5 dado que la ventana de tiempo seleccionada contiene mo-mentos en los que señal está fallada durante 3 s del tiempo total de la ventana. La componente espectral en 625 Hz corresponde a la presencia del transitorio que se puede apreciar en la señal cuando se despeja la primera falla en 6 s.Al igual que en el caso anterior, esta información no permite efectuar un análisis más detallado y deter-minar a qué corresponden dichas componentes es-pectrales, excepto cuando los fenómenos presentes son fácilmente observables en la señal estudiada. En la siguiente etapa de análisis, se emplean ventanas más estrechas para analizar las componentes del in-tervalo de tiempo seleccionado.En esta etapa del análisis se muestran resultados ob-tenidos a partir de aplicar la DFT a 60 ventanas a lo largo del intervalo de tiempo seleccionado. En este caso el espectrograma del intervalo, observable en la figura 8, permite visualizar cómo las componen-tes de alta frecuencia se hacen presentes entre los 6 s y 7 s, tiempo correspondiente al transitorio que se visualiza en la señal muestreada al despejarse la primera falla, mientras que se mantiene una distribu-ción casi homogénea de componentes en todas las frecuencias, lo cual corresponde al cambio abrupto que sufre la señal cuando aparece el hueco de vol-taje.

Figura 8. Espectrograma de la señal muestreada en el intervalo 5s~10s.

B. Análisis de la Señal por Medio de la DWTPara llevar a cabo este análisis se programa un algo-ritmo en MATLAB aplicando las funciones wfilters y conv para obtener las descomposiciones de la señal en dos niveles.Para la implementación de la técnica MSD se emplea una wavelet madre Daubechies de décimo orden dado que se pretende identificar el momento en que aparecen los huecos de voltaje por ser el fenómeno que a simple vista tiene mayor presencia en la señal muestreada y dado que dicho fenómeno tiene larga duración en el tiempo.En el primer nivel de descomposición, la señal d1 ilustrada en la figura 9 y que representa el WTC1 con-tiene sólo las componentes armónicas de la señal de alta frecuencia, permitiendo visualizar fácilmente los momentos en que se presentan transitorios en la señal muestreada.

Figura 9. Señal original (en azul) versiones detallada y suavizada de primer nivel (en verde) y versiones suavizada y detallada de segundo nivel (en rojo).

Por su parte, la señal c1 que corresponde con la versión suavizada de la señal original, básicamente muestra el mismo detalle que se puede ver en la se-ñal objeto de la primera descomposición de acuerdo con lo observado en la figura 9, pero con la gran di-ferencia de no mostrar transitorios puesto que ésta contiene exclusivamente las componentes de baja frecuencia del espectro de la señal original.

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En el segundo nivel de descomposición, la señal d2 correspondiente al WTC2 muestra información clave relacionada con los huecos de voltaje ocasionados por las fallas. Según se observa en la figura 9, cuando entra la falla y aparece el hueco es posible visualizar la aparición de picos en estos instantes de tiempo, mientras que cuando se despeja la falla y la señal recupera su nivel de voltaje también se observan pi-cos pero de mayor amplitud que los anteriores, lo cual permite inferir una relación estrecha entre la amplitud de estos picos y los límites de tiempo que delimitan la ocurrencia de los huecos de voltaje, así como demuestra que los huecos de voltaje son fenó-menos cuyas componentes espectrales son de baja frecuencia.La señal c2 en cambio corresponde a la versión sua-vizada de la señal c1 y que excluye más componen-tes de la parte alta del espectro de la señal original.

VI. CONCLUSIONES

Se han obtenido resultados para el análisis de una señal que presenta fenómenos de calidad de la po-tencia asociados a huecos de voltaje. El análisis efec-tuado por medio de las técnicas de la transformada discreta de Fourier sobre ventanas de tiempo y de la transformada wavelet discreta ha sido efectivo para llevar a cabo la detección y clasificación de los fenó-menos presentes en dicha señal.El análisis efectuado por medio de la STFT permite visualizar fácilmente la aparición de los huecos de tensión y las frecuencias asociadas a éstos, pero la eficiencia en la detección de transitorios por medio de esta técnica depende de la amplitud de las ven-tanas para la primera etapa ya que es posible que la resolución obtenida en frecuencia no sea suficien-te o que se pierda información de la transición que haya entre ventanas, llevando a que no se identifique el fenómeno asociado a dicho cambio en la señal.El análisis llevado a cabo al implementar la técnica MSD por medio de la transformada wavelet es más asertivo que la STFT para la detección de transitorios al no depender de una selección de intervalos de tiempo, pero la detección de fenómenos de mayor duración, como los huecos de voltaje, depende de la selección de un orden suficientemente alto para la wavelet madre, el cual a su vez siendo un orden muy elevado podría llevar a requerir de más niveles de

descomposición de la señal para hacer visibles los transitorios en las versiones detalladas de la señal.Con los dos niveles de descomposición efectuados por medio de la técnica MSD se logra observar el tiempo de duración de los huecos de tensión, así como los transitorios presentes después de la intro-ducción y despeje de cada falla, validando de esta manera lo expuesto en la sección III respecto a la poca necesidad de emplear más de dos niveles de descomposición de la señal. Similarmente, se logra analizar adecuadamente el fenómeno de huecos de tensión bajo su característica de fenómeno de transición lenta por medio de la wavelet madre Dau-bechies de décimo orden seleccionada, ante lo cual se propone como trabajo futuro determinar qué tan buen análisis se puede hacer de dicho fenómeno con wavelets madre Daubechies de menor orden o con funciones diferentes a ésta, y si algunas funcio-nes se requieren de mayor orden que otras para la obtención de resultados similares.Como trabajo futuro, se propone la integración de la técnica MSD con un esquema heurístico, que permi-ta la detección automática de los fenómenos de fallo presentes en la red.

VII. REFERENCIAS

[1] G. T. Heydt, P. S. Fjeld, C. C. Liu, D. Pierce, L. Tu, and G. Hensley, “Applications of the windowed FFT to electric power quality assessment,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 14, no. 4, pp. 1411–1416, 1999.[2] S. Santoso, E. J. Powers, and W. M. Grady, “Electric power quality disturbance detection using wavelet transform analysis,” Proc. IEEESP Int. Symp. Time Freq. TimeScale Anal., pp. 166–169, 1994.[3] O. Poisson, P. Rioual, and M. Meunier, “Detec-tion and measurement of power quality disturbances using wavelet transform,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 15, no. 3, pp. 1039–1044, 2000.[4] S. Santoso, E. J. Powers, W. M. Grady, and P. Hofmann, “Power quality assessment via wavelet transform analysis,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 11, no. 2, pp. 924–930, 1996.[5] S. Papathanassiou, “A benchmark low vol-tage microgrid network,” Proc. CIGRE Symp. Power Syst. with Dispersed Gener., no. April, pp. 1–8, 2005.[6] A. Ambardar, Procesamiento de señales ana-lógicas y digitales, 2da ed. Thomson Learning, 2003.

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VIII. RESEÑA AUTORES

Juan Camilo Toro Cadavid, Ingeniero Electrónico de la Universidad de San Buenaventura sede Medellín, estudiante de Maestría en Ingeniería Eléctrica de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín. Se ha desempeñado como ingeniero de diseño e ingeniero de control calidad de manufactura en MITSUBISHI Electric de Colombia. Departamento de Energía Eléctrica y Automática, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín. juactorocad@unal.edu.co.

Andrés Julián Saavedra-Montes, Ingeniero Electricista, Magister en Sistemas de Generación de Energía y Doctor en Ingeniería Eléctrica de la Universidad del Valle. Profesor Asociado. Departamento de Energía Eléctri-ca y Automática, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín. ajsaaved@unal.edu.co.

Freddy Bolaños Martínez, Ingeniero Electrónico y Magíster en Ingeniería Electrónica de la Universidad del Valle. Doctor en Ingeniería Electrónica de la Universidad de Antioquia. Profesor Asistente. Departamento de Energía Eléctrica y Automática, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín. fbolanosm@unal.edu.co.