UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

“LO QUE NO DEBE HACER UN ESTUDIANTE DE MATEMÁTICAS”

GUÍAS Y CONSEJOS PARA EVITAR LOS ERRORES MÁS COMUNES COMETIDOS POR LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, MATEMÁTICAS

Y ADMINISTRACIÓN EN SUS INICIOS AL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS, CÁLCULO O AFINES.

Autor:

Lic. Julio Otero

Ciudad Guayana, Octubre del 2015

Errores más comunes de los estudiantes de Matemáticas

Esta guía o material está dirigido a los estudiantes de las carreras de

ingeniería, administración, matemáticas que tienen dificultades en el

aprendizaje de la materia y que tienen la tendencia a cometer los errores más

frecuentes en su estudio y práctica.

La intención de esta guía es una recopilación de los errores más

comunes cometidos por los estudiantes e inclusive algunos profesores, en la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, va desde errores algebraicos

hasta errores actitudinales de los estudiantes de la materia, de esta manera,

lo estudiantes se encuentran prevenidos en las áreas que debe prestar

atención y evitar cometer estos errores.

Esta guía no intenta probar que las matemáticas son fáciles y que

deberían ser sencillas para todos los estudiantes, de hecho, las matemáticas

pueden ser muy difíciles para ciertas personas, la intención de este material

es señalar cuales son los errores y actitudes de los estudiantes en las

matemáticas y que pueden dificultar su aprendizaje.

La principal fuente bibliográfica para la redacción de este material es la

experiencia de los profesores de la sección de matemáticas quienes

discutimos constantemente como mejorar el desempeño de nuestros

estudiantes, el trabajo no es más que una colección de todos los aportes de

los profesores de la sección, un buen primer paso para guiar a los estudiantes

por un sendero exitoso.

1. Errores actitudinales.

Los profesores a menudo nos encontramos con un gran número de

estudiantes, todos diferentes, pero en algunos de ellos, podemos notar

actitudes que no son favorables para obtener buenas calificaciones en el área

de matemáticas.

a. Dejar de lado las matemáticas porque son difíciles.

Como profesor me encontrado a estudiantes diciéndome esto en

muchas ocasiones, tal vez, no idéntico pero algo a lo largo de estas líneas

“ahorita no estoy estudiando matemáticas, porque para mí son muy difíciles y

porque preferí aprobar las otras materias y ahora tengo que ponerme al día

para aprobar”

Esta tal vez, es una de las actitudes más extrañas de los estudiantes

ante la materia, si se te hace difícil la materia, debes invertir el doble de

esfuerzo para poder aprender el material necesario para aprobar, no al

contrario, dejar de estudiar. Veamos porque dejar de estudiar matemáticas es

incorrecto:

La primera razón por la que no debes dejar de estudiar matemáticas, es

muy sencilla e importante a la vez, las matemáticas son ACUMULATIVAS, en

otras palabras, las clases de matemáticas se construyen en base a los

conocimientos impartidos en la clase anterior, es decir, el nuevo conocimiento

que debes adquirir se basa en los conocimientos previos adquiridos, esto no

se limita a la clase anterior, sino a lo que aprendiste en bachillerato,

retrocediendo hasta primaria e incluso preescolar.

Entonces si decides olvidar lo que aprendiste de matemáticas, una vez

pasada la presión del examen y la calificación, lo único que logras es ponerte

en un aprieto en la próxima evaluación, porque el profesor considerará que

conoces el material anterior necesario.

Si dejas de lado tus asignaciones, prácticas, clases de matemáticas, te

pondrás en la peligrosa situación de tener que reaprender todo el material viejo

olvidado más el material nuevo para la misma evaluación, lo que implicara

mucho más esfuerzo y menos probabilidades de éxito.

La segunda razón, no tiene que ver con conocimientos (o la perdida de

ellos), sino con la aceptación de la REALIDAD. Si las matemáticas son difíciles

para ti, y las condiciones no están dadas en este semestre, debes pasar por

el proceso de aceptación de que existe la desafortunada posibilidad de

reprobar. Para evitar esto, inscribe la materia de matemáticas en un semestre

donde puedas dedicar mayor tiempo para estudiar.

La tercera razón, muchos estudiantes esperan hasta última hora para

resolver sus dificultades alrededor de la materia, inclusive estudiantes que

esperan estar en régimen, para comunicarle al profesor que sino aprueban

serán expulsados de la universidad, no podrán hacer pasantías, ni graduarse,

etc., con la esperanza del que profesor sienta “pena” o “piedad” de ellos,

cuando en realidad lo que ocurre es que el profesor se sentirá muy irritado

cuando un estudiante lo pone en esa posición, siendo que el estudiante se

puso en esa posición al no hacer sus deberes en matemáticas, en estos casos,

lo más seguro reprobarán nuevamente.

b. Hacer el mínimo posible para aprobar.

En nuestras experiencias como docentes nos encontramos con

muchísimos estudiantes haciendo el mínimo necesario para obtener lo mínimo

necesario para aprobar, o al menos, haciendo lo que ellos creen como el

mínimo necesario para obtener la nota mínima necesaria para aprobar.

En el bachillerato, la mínima nota acumulada durante el año para

aprobar era 29, con esto, el estudiante aprobaba su materia. En la universidad

el mínimo necesario para aprobar la materia es 49.5 de 100 puntos, pero desde

la implementación del sustitutivo como recurso estudiantil, la barrera del 49.5

ha bajado a los 37 puntos.

Muchos estudiantes durante el semestre, manipulan sus calificaciones

de manera que puedan obtener exactamente los 37 puntos para poder

presentar la prueba sustitutiva. Ojo, no estoy en contra de la prueba

sustitutiva, de hecho, me parece una excelente forma de que el alumno se

vea en la posición de aprender de los errores de su evaluación fallida. La

realidad es que un estudiante DEBERIA rehacer sus evaluaciones para

aprender de sus errores sin tener que verse en la PENOSA obligación de

hacerlo para aprobar, sino porque es la actitud correcta para aprender y tener

éxito en los contenidos siguientes.

El problema con hacer el mínimo posible es que los estudiantes

generalmente subestiman la cantidad de trabajo necesaria para aprobar y

llegado el final del semestre, se ven en la obligación de hacer el doble o triple

del trabajo necesario que no hicieron durante todo el semestre para poder

aprobar.

Siempre debemos intentar obtener la mejor nota posible, muchos

estudiantes apuntan al mínimo necesario para aprobar y generalmente

obtienen calificaciones por debajo del mínimo. Es muy poco probable que un

estudiante obtenga MÁS nota de la que espera, pero si es muy probable que

obtenga MENOS de la que espera.

Por eso deben esforzarse al máximo para obtener siempre las mayores

calificaciones posibles, podrías incluso un día sorprenderte a ti mismo con los

resultados de tus evaluaciones, o por lo menos, aprenderás mucho más que

haciendo exactamente lo mínimo.

Recordemos que en cuanto a matemáticas se refiere, no eres un

espectador sentando en las bancas en el estadio, sino un jugador más en el

campo, que debe participar en el partido para poder ganarlo.

c. Saqué 20 en el primero – Raspé el primero.

Estos son los errores de los estudiantes novatos en la universidad,

muchos estudiantes no saben cómo lidiar con estas situaciones porque son

relativamente nuevas para ellos.

Si sacaste una excelente calificación en el primer examen, no significa

que durante el semestre no harás nada más porque en el primero saqué 20,

no te confíes, como profesor en la universidad, he tenido alumnos con

excelentes calificaciones en las primeras evaluaciones y que posteriormente

reprueban el curso, por que creyeron que no debían invertir más esfuerzos

para aprobar.

Si sacaste un 20 en tu primer examen, felicidades, tu trabajo duro ha

mostrado resultados, pero ¿Qué significa esto? Significa que estás haciendo

la cantidad de práctica, estudio, tarea necesaria para obtener muy buenas

calificaciones, no significa que durante todo el semestre no tendrás que seguir

trabajando para obtener tus calificaciones. En pocas palabras, no te confíes.

Como dice el refrán” Seguro mata a confiado”.

Por otro lado, si en el primer examen reprobaste, no significa que vas a

reprobar la materia, aún existen muchas posibilidades para aprobar, debes

revisar que hiciste en el primer examen que obtuviste esa calificación y no

hacerlo en la segunda evaluación, o utilizar otra metodología para estudiar o

mejorar la que ya usaste o revisar si hiciste lo suficiente para aprobar.

d. Si es fácil en clase, será fácil en el examen.

Nada más lejos de la verdad, los profesores son personas

experimentadas por las que han realizados cientos de ejercicios con las

mismas características, que les permiten con confianza y facilidad abordar

ciertos ejercicios en clase, dando la apariencia de que son sencillos.

Un estudiante que cree que como es fácil en clase, será fácil en el

examen se equivoca, normalmente esa destreza y facilidad se obtiene tras

mucha práctica y ejercitación. Por ello no debes descuidar tus estudios, por

creer que es fácil.

e. Pensar que aprenderás instantáneamente un tema o un concepto.

Las matemáticas llevan tiempo, practica y ejercitación, cuanto más

esfuerzos inviertas mejores resultados obtendrás. Los estudios a última hora,

los cinco minutos de repaso antes de entrar al examen de conceptos que

requieren ejercitación y dominio, no te brindarán resultados. Si vas a estudiar

un concepto toma el tiempo necesario para entenderlo y digerirlo, si tienes

dudas consulta o sigue practicando.

f. No sé cómo estudiar matemáticas.

Esto es una realidad, muchos estudian no saben cómo estudiar

matemáticas, y es de hecho, tal vez una de las mayores causas por la que los

estudiantes reprueban.

El enfoque para estudiar matemáticas no puede ser idéntico al enfoque

para estudiar por ejemplo historia (con el perdón de los profesores de historia),

en historia puedes asistir a clases prestar atención, memorizar algunas fechas,

nombres, hechos importantes y obtener incluso una calificación

medianamente buena.

En matemáticas, un alumno puede conocer todas las expresiones y

fórmulas necesarias y aun no tener éxito en la materia, en matemáticas

conocer el QUE no es suficiente, también se debe conocer el CÓMO y el POR

QUÉ, este tópico es tan extenso que podríamos escribir una guía al respecto

de cómo se debe estudiar matemáticas, pero no es la intención al menos de

esta guía.

Para aprender a estudiar matemáticas consulta la guía “lo que debe

hacer un estudiante” Guía para estudiar matemáticas del profesor Julio

Otero.

2. Errores en el álgebra.

Esta parte de la guía se dedica a establecer los errores más cometidos

por los estudiantes al hacer álgebra en un ejercicio, cuando decimos “hacer

álgebra” nos referimos a todos los procedimientos necesarios para obtener la

respuesta a un ejercicio y no a los errores cometidos durante una clase de

álgebra lineal.

Nuestra experiencia nos dice que muchos de estos errores son

cometidos por los estudiantes simplemente tal vez por pereza al realizar los

procedimientos, no prestan atención a lo que están escribiendo o están

sumamente apurados. Al hacer las cosas detenidamente, con paciencia y

seguridad puedes evitar estos errores y mejorar tu calificación.

a. La división por cero.

Esta es una de las pocas operaciones que constantemente se les repite

a los estudiantes que carece de sentido y aun así siguen cometiendo estos

errores. Por ejemplo, muchos estudiantes entienden con facilidad que 0

5= 0, y

cometen el error de decir 5

0= 0.

En términos sencillos, la división por cero no está definida, no se puede

dividir entre cero. Dividir una cantidad entre cero tiene sus consecuencias.

Para probarlo tenemos el siguiente ejemplo:

1) 𝑎 = 𝑏 Una proposición verdadera.

2) 𝑎2 = 𝑎𝑏 Multiplicamos ambos lados por 𝑎.

3) 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎𝑏 − 𝑏2 Restamos a ambos lados 𝑏2.

4) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑏(𝑎 − 𝑏) Factorizamos ambos miembros.

5) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 Simplificamos 𝑎 − 𝑏 en ambos miembros.

6) 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 Como 𝑎 = 𝑏

7) 2𝑎 = 𝑎 Reduciendo

8) 1 = 2 Simplificando.

Utilizando el razonamiento anterior, hemos logrado probar que 1 = 2.

Ahora estamos completamente seguros que en algún lado del ejercicio hemos

cometido un error, pues muy claramente 1 ≠ 2. Entonces ¿Dónde está el

error?

El error se encuentra en el paso 5, cuando simplificamos la ecuación al

dividir entre 𝑎 − 𝑏 realmente estamos dividiendo entre cero, porque al despejar

𝑏 de la proposición inicial obtenemos 𝑎 − 𝑏 = 0

Este error nos llevó a una proposición que estamos seguros no es

verdadera, pero en muchas otras ocasiones esto no es tan “obvio”, en este

ejemplo es sumamente claro que divides por cero, pero no siempre será así,

debemos prestar atención a esta operación.

b. El orden de las operaciones. PEMDAS

Cuando nos encontramos con un ejercicio como el siguiente ¿cuál de

los siguientes resultados es el correcto?:

a) 2 + 3 ∗ 5 + 6 = 55

b) 2 + 3 ∗ 5 + 6 = 23

Aunque las dos operaciones son idénticas, resueltas por diferentes

personas conducen a resultados distintos, en la proposición a) el estudiante

resolvió primero las adiciones y posteriormente realizo el producto, es decir,

uso de una “asociativa” mentalmente y realizo lo siguiente:

(2 + 3) ∗ (5 + 6) = 5 ∗ 11 = 55

Mientras que en la proposición b), se realizó la siguiente “asociativa”

mentalmente:

2 + (3 ∗ 5) + 6 = 2 + 15 + 6 = 23

¿Cuál de los resultados es el correcto? La proposición 𝑏) es la correcta,

es decir:

2 + 3 ∗ 5 + 6 = 23

¿Por qué este resultado es el correcto? En matemáticas, existe un

orden prestablecido para la realización de las operaciones, el orden es

potencias, exponentes, multiplicaciones, divisiones, adiciones y sustracciones.

Resumidos en la regla Nemotécnica PEMDAS:

P-E Potencias y exponentes. Resolvemos de 1º

M-D Multiplicación y división. Resolvemos de 2º

A-S Adición y sustracción. Resolvemos de 3º

Cada operación que este en el mismo renglón, se considera del mismo

nivel entonces la multiplicación y división tienen la misma prioridad, en estos

casos, se comienza a resolver desde la izquierda las operaciones.

15 ÷ 5 ∗ 6 ÷ 2 = (15 ÷ 5) ∗ 6 ÷ 2 = (3 ∗ 6) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9

Debemos tener en cuenta la regla nemotécnica PEMDAS para la

realización de las operaciones y obtener los resultados. Esto combinado con

el siguiente apartado permitirá al estudiante siempre seguir la vía hacia el

resultado correcto.

c. Mala utilización de los signos de agrupación, paréntesis,

corchetes, llaves.

Muchísimos estudiantes no entienden la importancia de los paréntesis

y los signos de agrupación, al punto, en que no saben el orden de las

operaciones a realizar, lo cual es frustrante, porque un signo de agrupación

interpretado de forma incorrecta conducirá a un resultado incorrecto.

Los signos de agrupación se trabajan de acuerdo a niveles de orden,

primero son los paréntesis ( ), posteriormente los corchetes [ ] y seguido

las llaves { }. Aunque en ciertos libros de texto, solo utilicen paréntesis, el

estudiante debe comprender que operación realizar primero y porque. En la

universidad, la mayoría de los docentes sigue la estructura anterior para la

realización de los ejercicios.

El primer error que cometen los estudiantes en el uso de los paréntesis

es decidir que no los quieren colocar por pereza y están muy apurados,

también creen que saben dónde deben estar y no tienen por qué colocarlos y

los recordaran, entonces ocurre posteriormente que no saben dónde iban

originalmente.

Ejemplo: Elevar al cuadrado a 𝟓𝒙.

Correcto Incorrecto

(5𝑥)2 = 52𝑥2 = 25𝑥2 5𝑥2

Cuando de exponentes se trata, la cantidad que esta inmediatamente a

la izquierda es la que recibe la potencia correspondiente, cuando colocamos

5𝑥2 sólo la 𝑥 esta elevado al cuadrado y no el 5, si queremos elevar TODA la

cantidad al cuadrado debemos hacer uso del paréntesis.

Ejemplo: Elevar al cuadrado a −𝟑.

Correcto Incorrecto

(−3)2 = 9 −32 = −9

Muchos estudiantes conocen como elevar al cuadrado cantidades

negativas, e incluso en muchas ocasiones omiten los paréntesis por pereza, y

escriben el resultado incorrecto −32 = 9. Recordemos que la operación de la

potencia, se resuelve primero al producto por el −1. Nuevamente el uso del

paréntesis nos permite alcanzar el resultado correcto.

Ejemplo:

Sustraer el polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥 − 2 del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2.

Correcto Incorrecto

𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2 − (4𝑥 − 2) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2 − 4𝑥 − 2

𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2 − 4𝑥 + 2 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 4

𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥

Hay una gran diferencia entre estos dos, en el de la izquierda se colocó

un paréntesis mientras que en el segundo no, si queremos asegurarnos de

restar a TODO el polinomio y no únicamente el primer término debemos utilizar

un paréntesis, si no alcanzaremos un resultado erróneo.

Ejemplo: Hallar el valor de la integral −3 ∫(6𝑥 − 2)𝑑𝑥

Este es un problema correspondiente al cálculo integral y al uso de los

operadores junto con los paréntesis correctamente. La ausencia de un

paréntesis en el integrando, ya genera duda sobre quien se integra si el 6𝑥 o

el −2 o ambos. En este caso, deberíamos escribir:

−3 ∫(6𝑥 − 2)𝑑𝑥

Aquí no existe duda de quién es el integrando, pero aun así estudiantes

cometen el siguiente error:

Correcto Incorrecto

−3 ∫(8𝑥 − 2)𝑑𝑥 = −3(4𝑥2 − 2𝑥) + 𝐶 −3 ∫(8𝑥 − 2)𝑑𝑥 = −3 ∗ 4𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶

−3 ∫(6𝑥 − 2)𝑑𝑥 = −12𝑥2 + 6𝑥 + 𝐶 −3 ∫(8𝑥 − 2)𝑑𝑥 = −12𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶

Existe una diferencia notable entre los dos, en el primero gracias al

paréntesis, se multiplica a TODO el resultado de la integral por −3, mientras

que en el segundo sólo al primer término, lo cual es incorrecto.

d. Mal uso de la propiedad distributiva.

Cuando no se entienden el concepto de los paréntesis, muchos

estudiantes realizan de manera incorrecta la propiedad distributiva, los dos

siguientes ejemplos muestran los errores más comunes en el uso inadecuado

de la propiedad distributiva.

Ejemplo: Obtener 𝟒(𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔)

Correcto Incorrecto

4(2𝑥2 − 3𝑥 + 6) = 8𝑥2 − 12𝑥 + 24 4(2𝑥2 − 3𝑥 + 6) = 8𝑥2 − 3𝑥 + 6

Cuando se hace uso de la propiedad distributiva, deben multiplicarse

TODOS los términos dentro del paréntesis, no únicamente el primer término.

Ejemplo: Obtener 𝟒(𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐

Correcto Incorrecto

4(2𝑥 − 1)2 = 4(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) 4(2𝑥 − 1)2 = (8𝑥 − 4)2

4(2𝑥 − 1)2 = 16𝑥2 − 16𝑥 + 1 4(2𝑥 − 1)2 = 64𝑥2 − 64𝑥 + 16

Recordemos que se deben mantener el orden de las operaciones en

este caso, la potencia del cuadrado esta primero que el producto por el 4. La

regla nemotécnica PEMDAS nos indica que la primera es la correcta.

e. No inventar Identidades que no son identidades.

Primero repasemos la definición de identidad, la definición más sencilla

de identidad: “una expresión en la que dos miembros separados por una

igualdad son idénticos independientemente de las variables involucradas en la

expresión”. Existen muchísimas identidades, entre las más típicas tenemos,

por ejemplo la identidad fundamental trigonométrica:

sin2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1

Independiente del valor de 𝑥 siempre se cumplirá la igualdad en esta

expresión.

Los estudiantes en ocasiones, toman expresiones que no son

identidades y las transforman por alguna asociación errónea con otras

proposiciones que si son identidades. Algunos ejemplos concretos de estas

asociaciones incorrectas son:

Proposición Contra ejemplo Conclusión

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2

(1 + 2)2 = 12 + 22

32 = 1 + 4

9 ≠ 5

(𝑥 + 𝑦)2 ≠ 𝑥2 + 𝑦2

√𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √𝑦

√16 + 9 = √16 + √9

√25 = 4 + 3

5 ≠ 7

√𝑥 + 𝑦 ≠ √𝑥 + √𝑦

Incluso para las expresiones anteriores encontraremos algunos

conjuntos de valores donde esa expresiones se cumple, por ejemplo para

√𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √𝑦, si 𝑥 = 𝑦 = 0, la igualdad se cumple, pero recordando la

definición para ser una identidad debe cumplir para todo valor de 𝑥 e 𝑦 en el

que la expresión tenga sentido.

Así como las anteriores, hay muchos ejemplos de expresiones que los

estudiantes escriben como identidades cuando no lo son:

(𝑥 + 𝑦)𝑛 ≠ 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 , 𝑛 ≥ 2, 𝑛 ∈ ℤ+

ln(𝑥 + 𝑦) ≠ ln 𝑥 + ln 𝑦

cos(𝑥 + 𝑦) ≠ cos(𝑥) + cos(𝑦)

f. Hablando de identidades y sus restricciones.

Este es un error que en ocasiones es promovido por algunos profesores

que no le dan mayor importancia a las restricciones asociadas a una expresión

algebraica, sienten que son tan obvias que no hay necesidad de enfatizarlas o

simplemente no quieren molestarse en explicar dichas restricciones, una

restricción pueden hacer que el problema tenga sentido o no lo tenga.

Un ejemplo de matemáticas III típico, donde la ausencia de las

restricciones puede causar una contradicción. Los estudiantes se encontrarán

con la propiedad algebraica de las raíces muy frecuentemente:

√𝑥√𝑦 = √𝑥𝑦

1

𝑥 + 𝑦=

1

𝑥+

1

𝑦

1

2 + 2=

1

2+

1

2

1

4≠ 1

1

𝑥 + 𝑦≠

1

𝑥+

1

𝑦

Veamos que ocurre cuando dejamos de lado esta restricción que no

mencionare por ahora, con el siguiente razonamiento.

1) 1 = 1 Una proposición verdadera.

2) √1 = √1 Tomando raíz cuadrada de ambos lados.

3) √(1)(1) = √(−1)(−1) Es evidente, pues 12 = 1, (−1)2 = 1

4) √1√1 = √(−1)√(−1) Usando la “identidad” anterior

5) (1)(1) = 𝑖 ∗ 𝑖 Debido a que √−1 = 𝑖

6) 1 = 𝑖2 simplificando

7) 1 ≠ −1 Como 𝑖2 = −1.

Obviamente, aquí tiene que haber un error, puesto estamos seguros

que 1 ≠ −1. Muchos docentes no añaden la restricción a esta expresión y es

que 𝑥 e 𝑦 no pueden ser ambos negativos simultáneamente.

Ignorar las restricciones a este tipo de expresiones, puede causar

conflictos como el que se observa en el razonamiento anterior. Otro ejemplo,

tomado del cálculo diferencial:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Aunque pareciese obvio que 𝑛 es una constante no está especificado,

la expresión anterior es válida si y sólo si 𝑛 ∈ ℝ. Encontramos muchos

estudiantes intentando derivar expresiones de la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥 , 𝑥 > 0

Usando la formula anteriormente escrita nos conducirá a un resultado

equivocado:

𝑓′(𝑥) ≠ 𝑥 ∗ 𝑥𝑥−1 ≠ 𝑥𝑥

Esto es porque el exponente no es una constante, para obtener la

derivada de 𝑓(𝑥) tenemos que echar mano de la diferenciación logarítmica,

derivación implícita y regla de la cadena. La derivada correspondiente a 𝑓(𝑥)

es:

𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑥(ln 𝑥 + 1), 𝑥 > 0

Que obviamente son muy distintas. Una restricción puede cambiar la

interpretación de una formula, expresión, identidad completamente y no

pueden obviarse.

g. Errores al cancelar o simplificar.

Muchos estudiantes utilizan las cancelaciones de términos en

expresiones racionales, sin conocer cuáles son las condiciones para poder

realizarlas. Hagamos un ejemplo, en muchas ocasiones he encontrado lo

siguiente:

8 + 6

2= 4 + 6 = 10

Simplificando el 8 con el 2, el estudiante obtiene un 4, que

posteriormente sumará y el resultado será 10, el cual sabemos es incorrecto,

ya que:

8 + 6

2=

14

2= 7

Este estudiante no conoce las reglas de simplificación y la relación que

debe existir entre el numerador y denominador para simplificar. Para poder

simplificar una cantidad en una expresión racional, esta debe multiplicar tanto

a numerador como a denominador. Repitamos el ejemplo anterior:

8+6

2=

2(4+3)

2= 4 + 3 = 7

Este es el resultado correcto, obtenido mediante simplificación, claro

este es un ejemplo sencillo, y realizar esta operación no es difícil, pero en

expresiones algebraicas mucho más engorrosas simplificar puede ser una

herramienta especialmente útil.

Los errores de simplificación o cancelación se agrupan en dos

categorías, simplificación de expresiones racionales y en resolución de

ecuaciones.

Ejemplo: Simplificar la expresión:

3𝑥3 − 2𝑥2

𝑥

Correcto Incorrecto

3𝑥3 − 2𝑥

𝑥=

𝑥(3𝑥2 − 2)

𝑥= 3𝑥2 − 2

3𝑥3 − 2𝑥

𝑥= 3𝑥2 − 2𝑥

3𝑥3 − 2𝑥

𝑥= 3𝑥3 − 2

Muchos estudiantes intentaran realizar los resultados de la derecha,

recuerden que el denominador divide a todo el numerador entonces tanto el

3𝑥3 como −2𝑥 están dividido por 𝑥. La mejor forma de simplificar es obtener

un factor que multiplique tanto a denominador como numerador y

posteriormente cancelar los factores.

Ejemplo: Obtener la solución a la ecuación 𝟒𝒙𝟐 = 𝒙

Muchos estudiantes para resolver la ecuación anterior, simplemente

dividen ambos lados de la ecuación por el factor 𝑥.

4𝑥2 = 𝑥 → 4𝑥 = 1 → 𝑥 =1

4

De donde obtenemos la solución 𝑥 =1

4 que de hecho si es una solución de

la ecuación de segundo grado, pero al dividir entre 𝑥 hemos perdido una

solución de la ecuación. Para poder obtener la otra solución, realizamos otro

procedimiento, en lugar de simplificar, comparamos la igualdad con el cero.

Esto es:

4𝑥2 − 𝑥 = 0 → 𝑥(4𝑥 − 1) = 0 → 𝑥 = 0 𝑉 𝑥 =1

4

Al factorizar la expresión encontramos la otra solución 𝑥 = 0, que es fácil

verificar es una solución a la ecuación. Cuando se resuelven ecuaciones se

debe evitar dividir entre factores, porque podríamos perder soluciones de la

ecuación.

h. Uso inadecuado de la raíz cuadrada.

Aparentemente hay muchos errores y confusiones en cuanto al uso de

la raíz cuadrada de un número, muchos estudiantes escriben por ejemplo:

√16 = ±4

Esto no es correcto. Cuando en realidad es:

√16 = 4

La raíz cuadrada de un número es siempre un número positivo. Si

queremos obtener una raíz negativa, se seguiría como:

−√16 = −4

Noten que el signo negativo, ya estaba en la expresión, y no tiene nada

que ver con el cálculo de la raíz cuadrada del número 16, en lo personal, creo

la confusión proviene de la solución de ecuaciones. Por ejemplo, resolver la

ecuación 𝑥2 = 16.

𝑥2 = 16

√𝑥2 = √16

|𝑥| = 4

𝑥 = ±4

Muchos profesores omiten el segundo paso, lo cual puede prestar a

confusiones. Debemos hacer notar que el símbolo ± aparece sólo después de

haber calculado la √16. No tendría sentido escribir por ejemplo: |𝑥| = ±4. El

símbolo ± es consecuencia del valor absoluto y no del cálculo de la raíz

cuadrada. En conclusión la raíz cuadrada de un número es un número positivo.

3. Errores en trigonometría.

En esta sección ilustramos los errores que cometen generalmente los

estudiantes, alrededor del tema de trigonometría, que involucra funciones

trigonométricas, conversión de grados, identidades trigonométricas, etc.

a. Grados y radianes.

En la mayoría de las clases a nivel de bachillerato y educación media,

las clases de trigonometría se dictan utilizando grados sexagesimales como

unidad para la medida de los ángulos de un triángulo, arco, etc.

Aunque la medición de un ángulo en grados sexagesimales tiene sus

ventajas de fácil representación y utilización, la realidad es que en las clases

de cálculo utiliza los ángulos en radianes.

Un estudiante debe ser capaz de convertir las unidades de un sistema

a otro fácilmente utilizando la relación:

180º ≡ 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Muchos estudiantes no identifican cuando sus calculadores está en un

sistema u otro, lo cual trae como consecuencias cálculos erróneos y por

supuesto perdidas de puntos en las evaluaciones. Observen la diferencia en

dos cálculos, uno hecho en radianes y otro en grados.

cos(10) = 0.984807753 → 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

cos(10) = −0.8390715291 → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Puedes darte cuenta que ni siquiera son del mismo signo. Entonces al

usar tu calculadora debes estar muy atento en tenerla en el sistema de grados

correspondiente al que necesitas. En la universidad generalmente usamos

radianes.

b. Las funciones trigonométricas no están multiplicando a 𝒙.

Los estudiantes tienden a confundir las funciones trigonométricas seno,

coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante con operadores de

multiplicación. Algunos estudiantes intentan cosas como estas:

cos(𝑥 + 𝑦) ≠ cos(𝑥) + cos(𝑦)

Si no estás seguro de la falsedad de esta proposición, usemos un

contraejemplo:

cos(𝜋 + 2𝜋) ≠ cos(𝜋) + cos(2𝜋)

cos(3𝜋) ≠ −1 + 1

−1 ≠ 0

De igual forma, tomar un ángulo de una función trigonométrica y

modificarlo arbitrariamente, por ejemplo:

cos(3𝑥) ≠ 3 cos(𝑥)

Siguiendo con los contraejemplos:

cos(3𝜋) ≠ 3 cos(𝜋)

−1 ≠ 3(−1)

−1 ≠ −3

Aunque existan valores de 𝑥 e 𝑦 recordemos que para que la expresión

sea una identidad la igualdad debe cumplirse independientemente de las

variables involucradas.

La única razón para hacer esto, es creer que el coseno se distribuye

sobre el 𝑥 + 𝑦. Algunos estudiantes más atrevidos, hacen esto.

cos(𝑥 + 𝑦) = 𝑧 → 𝑥 + 𝑦 =𝑧

cos

Lo que prueba que el estudiante no conoce las características de las

funciones trigonométricas ni sus propiedades. Aunque en el ejemplo anterior

escogimos a la función coseno, esto es falso para las seis funciones

trigonométricas

c. Potencias de las funciones trigonométricas.

Recordemos que si 𝑛 es un positivo entero, podemos escribir las

potencias de las funciones trigonométricas como sigue:

sinn(𝑥) = [sin(𝑥)]𝑛

Esto nos dice que primero calculamos el seno del ángulo 𝑥 y

posteriormente lo elevamos a la potencia enésima correspondiente. El hecho

anterior se mantiene para todas las funciones trigonométricas.

Debemos insistir en que es muy distinto:

tan2(𝑥) ≠ tan 𝑥2

En tan2 𝑥 primero calculamos la tangente del ángulo 𝑥 y posteriormente

elevamos el ángulo al cuadrado, mientras que en tan 𝑥2, elevamos primero el

ángulo 𝑥 al cuadrado y posteriormente calculamos su tangente. No es difícil

obtener un contraejemplo a la proposición anterior.

La notación tan 𝑥2 es confusa por ello se recomienda copiar tan(𝑥2), de

hecho recomendamos copiar los ángulos de las funciones trigonométricas

siempre entre paréntesis, para así no tener duda de quién es el argumento de

la función trigonométrica correspondiente.

d. La notación para las funciones inversas trigonométricas.

A pesar de toda la discusión del apartado anterior, los estudiantes

deben recordar que:

cos−1(𝑥) ≠1

cos(𝑥)

El −1 en el cos(𝑥) no es un exponente, es simplemente un término para

expresar que estamos trabajando con una función inversa.

Simplemente la notación para las funciones inversas trigonométricas no

es la mejor, pero es la predominante en libros de pre cálculo, mientras que en

cálculo existe otra notación que permite evitar estas confusiones con las

potencias.

cos−1(𝑥) = arccos(𝑥)

De manera análoga, existen notaciones para las otras funciones

trigonométricas y sus correspondientes inversas.

4. Errores en las evaluaciones, exámenes, asignaciones.

a. Lean las instrucciones.

Este es tal vez uno de los errores más grandes que los estudiantes

cometen en la elaboración de sus exámenes. Los estudiantes deben leer

cuidadosamente sus exámenes y en especial las instrucciones. Debes

asegurarte de entender qué es lo que te preguntan ANTES de comenzar a

resolver las preguntas.

Las instrucciones son de utilidad porque te dan pista de cuál es el

procedimiento a seguir, los pasos a realizar, la forma en que debes presentar

la respuesta. Los problemas en matemáticas pueden tomar caminos muy

distintos dependiendo de un par de palabras más o menos en un enunciado,

por ejemplo, no son idénticas estas preguntas:

Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando

Gauss-Jordan.

Ambas preguntas aunque muy parecidas son distintas, la primera da

libertad de elegir el procedimiento, mientras que el segundo te exige un

procedimiento especifico. Esto puede ser la diferencia entre obtener una

excelente nota o reprobar una evaluación.

No leer las instrucciones puede ser en muchas ocasiones, una gran

pérdida de puntos para un estudiante.

b. Cambiar tus respuestas para hacer que te den.

Este apartado se refiere a las tareas, asignaciones, y ejercicios en los

que el estudiante conoce las respuestas correctas a los ejercicios y

deliberadamente cambia sus respuestas (incorrectas) para hacerlas coincidir

con las respuestas de la guía, libro, examen, etc.

A los docentes nos gusta mandar ejercicios de guías con respuestas,

tareas con respuestas e incluso en exámenes, colocamos preguntas como

“demuestre que el resultado es 2”. La idea es que si el estudiante está

haciendo sus ejercicios pueda verificar efectivamente que el resultado es el

correcto.

En ocasiones los estudiantes no logran alcanzar los resultados

indicados por la guía, y deliberadamente cambian su respuesta para que

coincida con la de la guía.

Por supuesto, los docentes somos humanos, y en ocasiones, este tipo

de suplantaciones pasan por alto y el estudiante sale airoso obteniendo su

nota. Pero en la mayoría de las ocasiones los docentes notan la suplantación

y eliminamos completamente la pregunta, por la deshonestidad cometida. De

hecho, si el estudiante entrega la asignación con la respuesta incorrecta puede

inclusive perder menos puntos que los que pierde al eliminarse la pregunta

completa por deshonestidad.

¿Cuál es la actitud correcta? Si no obtuviste el resultado correcto, repite

el ejercicio, revísalo, consulta con tu profesor, intenta resolverlo, pero no

suplantes tu respuesta, porque puede ser peor.

c. Tu respuesta ¿Tiene sentido?

Cuando estés realizando ejercicios y problemas, especialmente

problemas de interpretación, una vez hallamos obtenido la respuesta al

problema, debemos verificar si la respuesta tiene sentido o no, o si está en el

contexto de lo lógico.

En muchos problemas de aplicación es fácil notar, si hay un error en la

respuesta, en matemáticas IV, hay problemas relacionados a cuentas de

ahorro si terminas con menos dinero del que comenzaste, de seguro hay un

error.

En trigonometría, si mandas a calcular la altura de un edificio de la

universidad basado en ángulo del sol y la longitud de su sombra, dudo mucho

los estudiantes conozcan la altura exacta del edificio, pero si obtienes

400 metros de seguro esta incorrecto.

Si la respuesta no tiene sentido común entonces es muy fácil detectar

que estamos en un error, regresamos y revisamos en donde nos equivocamos.

d. Revisa, revisa, revisa.

Este es uno de los puntos más importantes, debes revisar y revisar tu

trabajo, especialmente en las evaluaciones y asignaciones para entregar. Al

revisar con frecuencia, aprenderás a encontrar tus errores y así obtener

mejores calificaciones.

La mejor forma para revisar tus asignaciones, aunque necesitas invertir

bastante tiempo, es realizar tu trabajo y después de un tiempo de trabajo

revisarlo nuevamente, o rehacerlos de nuevo y verificar que obtienes el mismo

resultado.

Claro, esto no podrás hacerlo frecuentemente, especialmente cuando

hay fechas de entrega y lapsos por cumplir, pero con práctica y dedicación,

necesitaras revisar tus trabajos menos frecuentemente.

Si tienes las respuestas a la mano y tu tarea no coincide con las

respuestas, y después de revisar aun no logras conseguir el error, consulta a

tu profesor o a un compañero que de seguro encontrarán el error. Lo de

preguntar al compañero, es por supuesto no durante el examen.

e. No creas que harás todo bien todo el tiempo.

Este consejo es para los confiados (del cual yo soy culpable también),

que creen que con seguridad obtendrán siempre los resultados correctos.

También existe una cantidad de problemas en donde puedes conocer los

resultados intermedios, al conocer la respuesta del ejercicio.

Muchos estudiantes al conocer la respuesta prefieren omitir los pasos

intermedios (escribirlos pero no hacerlos) porque les parecen que son

innecesarios.

He aquí una pequeña anécdota, un estudiante de matemáticas IV,

realizando un cierto tipo de ejercicio de ecuaciones diferenciales, conociendo

la respuesta a la ecuación podías conocer la respuesta a una ecuación

cuadrática previa para obtener el resultado.

El estudiante comienza a resolver su ejercicio y cuando llega a la

ecuación cuadrática coloca la respuesta deducida, sin notar que la respuesta

no correspondía con la ecuación cuadrática que tenía escrita.

El estudiante consideró que en un curso de matemáticas IV de

ecuaciones diferenciales, una ecuación de segundo grado estaba por debajo

de sus capacidades y que siempre que la realizará la realizaría de manera

correcta, no pudo estar más equivocado, tenía un error en un signo.

La moraleja de la historia, es que deben realizar todos los pasos de un

ejercicio y verificar que coincidan con la respuesta al ejercicio y no utilizar la

respuesta al ejercicio para omitir pasos, realicen todos los pasos y si obtuviste

la respuesta correcta muy bien, sino regresa y revisa.

5. Errores en Cálculo.

Estos errores se refieren a los errores cometidos en el estudio del área

de las matemáticas conocida como cálculo, particularmente desde

Matemáticas I hasta matemáticas IV, no son errores al calcular sino errores

que se cometen generalmente en esta asignatura. Si no has comenzado a

estudiar la parte de límites, derivadas e integrales, esta parte de la guía no

tendrá mucho sentido para el estudiante, retoma esta sección a medida que

transcurres la materia de matemáticas I y II.

a. Derivadas e integrales de productos y cocientes.

Recordemos que mientras estas expresiones son válidas para la suma

y diferencia:

[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

No son extensivas estas propiedades para las integrales y derivadas de

un producto y cociente:

Proposición Contra ejemplo Conclusión

[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)

[𝑥3 ∗ 𝑥2]′ = (𝑥3)′ ∗ (𝑥2)′

[𝑥5]′ = 3𝑥2 ∗ 2𝑥

5𝑥4 ≠ 6𝑥3

[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]′ ≠ 𝑓′(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)

∫𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑥3

𝑥2𝑑𝑥 =

∫ 𝑥3𝑑𝑥

∫ 𝑥2 𝑑𝑥

∫ 𝑥𝑑𝑥 =

𝑥4

4𝑥3

3

∫𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≠

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑥2

2≠

3

4𝑥

Recuerda si no se te dan expresiones para cierto tipo de operaciones,

existe un motivo para ello, la expresión para la derivada de un producto

correcta es:

[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)

No existen fórmulas para las integrales de un producto y cocientes,

cada integral de ese estilo es particular y se resuelve de una forma específica.

b. Uso inadecuado de la notación.

Los estudiantes no parecen entender la importancia de la notación en

matemáticas, por ejemplo:

𝑡 𝑇 T 𝜏 ⊺ 𝒯

minúscula Mayúscula

cursiva mayúscula griega estirada

Cursiva

Estilizada

En la tabla anterior observamos la letra 𝑡 escrita de seis maneras

distintas, y todas tienen significados distintos, la 𝑡 minúscula se utiliza para

indicar el tiempo, la 𝑇 mayúscula cursiva se utiliza para indicar el periodo de

una función, la T mayúscula para indicar la temperatura de un objeto, la 𝜏 en

griego (tao) se utiliza para indicar la dependencia del tiempo en un circuito

eléctrico, la ⊺ estirada se utiliza como operador binario en electrónica, 𝒯 cursiva

estilizada se utiliza en transformaciones lineales.

Muchos estudiantes no se preocupan por la notación de sus ejercicios

y creen que no es importante, cuando al escribir algo de maneras distintas su

interpretación cambia completamente.

Muchos profesores no se molestarán en si quiera leer los trabajos,

asignaciones, ejercicios, exámenes, que no estén escritos de la manera

correcta y correspondiente al nivel del curso.

Esta parte de la guía comprende los errores de notación cometidos por

los estudiantes.

i. Notación inadecuada: Limites.

Los errores en la notación de límites son generalmente porque el

estudiante no comprende la importancia del operador de límites o porque le da

pereza copiar repetidamente la palabra límite hasta hacer el cálculo actual del

límite. Por ejemplo, una manera incorrecta de resolver un límite:

lim𝑥→4

𝑥2 − 16

𝑥 − 4=

(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 4)= 𝑥 + 4 = 8

Hay muchas cosas incorrectas con este ejercicio, primero al no copiar

el operador de límite en la segunda igualdad estamos indicando que el valor

del límite es:

lim𝑥→4

𝑥2 − 16

𝑥 − 4=

(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 4)

Posteriormente en la última igualdad, se está diciendo que ambos lados

son iguales:

𝑥 + 4 = 8

Claro, en realidad lo que el estudiante quiere decir es que:

lim𝑥→4

(𝑥 + 4) = 8

El estudiante puede saber lo que quieres decir, pero otras personas

pueden tener muchas dificultades tratando de interpretar lo que quisiste decir,

en especial tu profesor, cuando un profesor observa esto, es capaz de concluir

que el estudiante no comprende la importancia del operador limite. Si tú eres

uno de mis estudiantes, no me molestaré en leer tu mente y restare los puntos

necesarios.

Entonces si crees que es innecesario o fastidioso copiar la notación

adecuadamente y copiar la palabra limite, los profesores esperamos que

utilices la notación adecuada. El ejercicio anterior debe resolverse como sigue.

lim𝑥→4

𝑥2 − 16

𝑥 − 4= lim

𝑥→4

(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 4)= lim

𝑥→4(𝑥 + 4) = 8

ii. Notación inadecuada: Derivadas.

Al igual que en la notación de límites, los estudiantes derivan sin colocar

los operadores de derivación, resultando en proposiciones que carecen de

sentido, donde el estudiante quiso decir algo pero dijo otro totalmente distinto.

Ejemplo: Obtener la derivada de la expresión 𝒇(𝒙) = 𝒙(𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙)

En ocasiones los estudiantes realizan la operación de simplificar y

derivar simultáneamente en la misma proposición:

𝑓(𝑥) = 𝑥(4𝑥3 − 12𝑥) = 4𝑥4 − 12𝑥2 = 16𝑥3 − 24𝑥

Esto es incorrecto, pues la última igualdad sugiere que 4𝑥4 − 12𝑥2 =

16𝑥3 − 24𝑥, lo cual estamos seguro no es cierto. Para resolver correctamente,

es mejor simplificar en pasos separados y posteriormente derivar en otro paso.

𝑓(𝑥) = 𝑥(4𝑥3 − 12𝑥)

𝑓(𝑥) = 4𝑥4 − 12𝑥2

𝑓′(𝑥) = 16𝑥3 − 24𝑥

iii. Notación inadecuada: Integrales.

Supongamos la integral:

∫ 6𝑥 − 2𝑑𝑥

Este es un problema correspondiente al cálculo integral y al uso de los

operadores de integración junto con los paréntesis correctamente. La ausencia

de un paréntesis en el integrando, ya genera duda sobre quien se integra si el

6𝑥 o el −2 o ambos. En este caso, deberíamos escribir:

−3 ∫(6𝑥 − 2)𝑑𝑥

Al realizar las simplificaciones en las integrales para reducirlas no

debemos omitir el símbolo de integración, porque cometemos el error de que

quisimos decir algo, cuando en realidad decimos algo totalmente distinto.

Ejemplo: Hallar la integral ∫ 𝒙(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐) 𝒅𝒙

Los estudiantes omiten el símbolo de integración, haciendo cosas como

estas:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3 =𝑥5

5+

𝑥4

2+ 𝐶

No se pueden omitir los símbolos de integración, hasta que se haya

realizado el proceso de integración, la integral anterior sugiere que:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3

Lo cual es incorrecto, porque realmente la integral es:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2) 𝑑𝑥 =𝑥5

5+

𝑥4

2+ 𝐶

La forma correcta de resolver el ejercicio anterior, es no omitir el símbolo

de integración hasta que se haya realizado el proceso de integración, tenemos

entonces que:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥4 + 2𝑥3)𝑑𝑥 =𝑥5

5+

𝑥4

2+ 𝐶

Otro error muy común en los procesos de integración es omitir el

diferencial 𝑑𝑥, vemos estudiantes que al resolver ejercicios copian:

∫ 𝑥3 + 2𝑥

Al copiar la integral sin diferencial y sin paréntesis, no se puede

entender dónde comienza ni donde termina la integración, una proposición

escrita de esa manera puede conducir a dos resultados:

∫ 𝑥3 + 2𝑥 =𝑥4

4+ 𝑥2 + 𝐶

∫ 𝑥3 + 2𝑥 =𝑥4

4+ 2𝑥 + 𝐶

La diferencia radica en donde comienza y termina la integración,

copiado de manera correcta y sin posibilidad de duda, obtendríamos:

∫(𝑥3 + 2𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥4

4+ 𝑥2 + 𝐶

∫ 𝑥3𝑑𝑥 + 2𝑥 =𝑥4

4+ 2𝑥 + 𝐶

Ambos resultados son correctos, si se utiliza la notación adecuada e

indicando claramente cuál es el integrando y cuál es el diferencial.

Otro error de notación típico en el uso de las integrales, es la omisión

de los límites de integración, mientras se realiza la integración, trabajando con

límites de integración “implícitos”:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2)1

0

𝑑𝑥 = ∫(𝑥4 + 2𝑥3)𝑑𝑥 =𝑥5

5+

𝑥4

2=

1

5+

1

2− (0 + 0) =

7

10

Los límites de integración deben mantenerse durante todo momento, al

realizar la integración y desaparecen al evaluar posteriormente la anti

derivada:

∫ 𝑥(𝑥3 + 2𝑥2)1

0

𝑑𝑥 = ∫ (𝑥4 + 2𝑥3)𝑑𝑥1

0

= (𝑥5

5+

𝑥4

2)|

0

1

=1

5+

1

2− (0 + 0) =

7

10

c. Omitir la constante de integración.

Este es uno de los errores que cometen muy frecuentemente los

estudiantes de Matemáticas II, omitir la constante de integración al realizar la

integración indefinida de alguna función. Existen dos grupos de estudiantes

que omiten la constante de integración.

El primer grupo es aquel que nunca coloca la constante de integración

porque no conoce que significa, aquel que no ha entendido que la

antiderivadas de una función son infinitas todas diferenciadas por una

constante.

El segundo grupo es aquel que no coloca la constante de integración

en los pasos intermedios, sino que la omite durante la realización del ejercicio

para colocar al final del ejercicio como el remate necesario para obtener los

puntos completos del ejercicio.

A este grupo no se le puede culpar, porque la importancia de la

constante de integración no se observará sino hasta el curso de Matemáticas

IV de ecuaciones diferenciales, donde una constante de integración en un

lugar que no debe puede cambiar la resolución de un ejercicio ampliamente.

d. Conceptos erróneos sobre el cero y el infinito.

Esto no es un error como tal cometido por los estudiantes, sino malos

entendidos, o malas definiciones acerca de las operaciones siguientes y sus

resultados, que pueden llevar a un error. Estas son:

1

0,

1

∞

¿Cuál es el resultado de estas dos operaciones? Ninguna de las dos

operaciones está definida, porque la división entre cero no está definida y el

infinito no es un número. Los estudiantes normalmente se refieren es a los

límites asociados a estos cocientes:

lim𝑥→0+

1

𝑥= +∞, lim

𝑥→0−

1

𝑥= −∞, lim

𝑥→∞

1

𝑥= 0

Nótese que para poder hablar del resultado de la operación 1

0, no sólo

debemos hablar de límites, sino también de la dirección en la que la variable

se aproxima al cero usando límites laterales, debido a que:

lim𝑥→0

1

𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Entonces una cantidad entre otra que se considera infinitamente

pequeña tiene como resultado una cantidad muy grande (∞), mientras que

otra cantidad entre una cantidad infinitamente grande tiene como resultado

una cantidad muy pequeña (0).

e. Uso inadecuado de las expresiones para la integración.

Nuevamente aquí tenemos algunos errores cometidos al utilizar las

expresiones para integrar.

i. Uso inadecuado de la integral ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙.

Recordemos que:

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1, 𝑛 ≠ −1

Muchos estudiantes olvidan la restricción en la siguiente fórmula y es

que 𝑛 ≠ −1 , por ende algunos estudiantes intentan realizar lo siguiente:

∫ 𝑥−1𝑑𝑥 =𝑥0

0+ 𝐶 = 𝑥0 + 𝐶 = 1 + 𝐶

La restricción 𝑛 ≠ −1 es importante, porque si no tendríamos una

división entre cero, la cual no está definida. El resultado correcto a esta

integración es:

∫ 𝑥−1𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Esto nos lleva al próximo error.

ii. No copiar los valores absolutos al realizar las integraciones.

Recordemos la integración:

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Muchos estudiantes y algunos profesores, parecen olvidar la

importancia de colocar el valor absoluto en el resultado de esta integración,

recordemos que para que el logaritmo tenga sentido debe cumplirse que 𝑥 >

0. En ocasiones se puede omitir el valor absoluto cuando la función sea

definida positivamente, como en el ejemplo siguiente:

∫2𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 4| + 𝐶 = ln(𝑥2 + 4) + 𝐶

Nótese el hecho de que 𝑥2 + 4 > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. Por ello podemos omitir el

uso de los valores absolutos, pero si la función no es definida positivamente

debemos colocarlos.

∫2𝑥

𝑥2 − 4𝑑𝑥 = ln|𝑥2 − 4| + 𝐶

iii. Usar incorrectamente la expresión para la integración de ∫𝟏

𝒙𝒅𝒙.

Hay muchos errores alrededor de la integral ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶, algunos

estudiantes generalizan esta fórmula perdiendo muchos puntos en las

evaluaciones, esto es, no es cierto que:

∫1

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶

Veamos algunos contraejemplos:

Integral Incorrecto Correcto

∫𝑑𝑥

𝑥2 + 1 ln(𝑥2 + 1) arctan 𝑥

∫1

𝑥2𝑑𝑥 ln 𝑥2 𝑥−1

Para poder hacer uso de la integral ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 debemos escribir

las integrales de expresiones racionales de la forma:

∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Usando la sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥).

∫2𝑥

𝑥2 − 1𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥2 − 1 → ∫

𝑑𝑢

𝑢= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|𝑥2 − 1| + 𝐶

Si la expresión racional no cumple con las especificaciones anteriores

entonces no debemos hacer uso de la expresión ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

iv. Uso incorrecto de las fórmulas de integración en general.

Este punto es muy parecido al anterior, pero en realidad es una

generalización, los estudiantes no conocen la regla de la cadena y el concepto

de derivada interna, por ello al realizar integraciones validas tienden a extender

estas expresiones a fórmulas no valederas. Por ejemplo:

∫ √𝑥𝑑𝑥 =2

3𝑥

32 + 𝐶

∫ 𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶

Pues muchos estudiantes, extienden estas expresiones creyendo que

son válidas:

∫ √𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≠2

3[𝑓(𝑥)]

32 + 𝐶

∫[𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥 ≠[𝑓(𝑥)]3

3+ 𝐶

Veamos los resultados incorrectos y correctos de algunas

proposiciones:

Integral Incorrecto Correcto

∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥 2

3(𝑥2 + 1)

32 + 𝐶

1

2(𝑥√𝑥2 + 1 + ln |𝑥 + √𝑥2 + 1|) + 𝐶

∫ cos2(𝑥) 𝑑𝑥 1

3cos3(𝑥) + 𝐶

𝑥

2+

1

4sin(2𝑥) + 𝐶

Si no estás convencido de que estas son las respuestas correctas a las

integrales, verifica mediante el uso de derivación para observar cual es él

correcto, si la anti-derivada que obtuviste es correcta, al derivar debes obtener

el integrando original.

f. El concepto de infinito. Tratar el infinito como un número.

En matemáticas I será el primer encuentro de los estudiantes con el

infinito (∞), y no sólo para definir conjuntos, sino también para realizar

operaciones sencillas con él infinito y cálculo de límites.

Cuando hablemos del infinito en las siguientes discusiones,

pensaremos en el infinito como un “número realmente extremadamente

grande”, lo cual no es correcto, porque el infinito es un concepto que se define

como un crecimiento sin límite o cota.

El problema con la definición de infinito, es que los estudiantes tienen

dificultades al realizar las operaciones aritméticas que involucran al infinito,

pero al pensar en el infinito como un “número realmente extremadamente

grande” es de ayuda para algunos resultados.

Primero, las funciones que se estudiantes en matemáticas I, son

funciones del tipo 𝑓: ℝ → ℝ, es decir, funciones reales de variable real, donde

ℝ = (−∞, ∞). Nótese que 𝑓 no tiene dominio sobre (∞) o (−∞), por ende,

cuando realizamos cálculos de límite no podemos hacer lo siguiente:

lim𝑥→∞

𝑥2 + 1

𝑥2 − 1=

∞2 + 1

∞2 − 1=

∞

∞

No debemos reemplazar ∞ en la función, sino estudiar su

comportamiento cuando la variable se aproxima a un número extremadamente

grande.

Algunos apuntes que son de utilidad en el tratamiento del infinito son:

∞ + 𝑥 = ∞, 𝑥 ≠ −∞

∞ + ∞ = ∞

𝑥 − ∞ = −∞, 𝑥 ≠ −∞

−∞ − ∞ = −∞

Con el producto, se procede de manera muy similar:

𝑥 ∗ ∞ = ∞, 𝑥 > 0

𝑥 ∗ ∞ = −∞, 𝑥 < 0

∞ ∗ ∞ = ∞

−∞ ∗ (−∞) = ∞

∞ ∗ (−∞) = −∞

Con el cociente del infinito por un número, se puede entender de

manera muy parecida, dividir un “número realmente extremadamente grande”

entre otro que no es “tan grande”, resultara en un “número realmente

extremadamente grande”. Esto es:

∞

𝑥= ∞, 𝑥 > 0,

∞

𝑥= −∞, 𝑥 < 0,

Al dividir un número que no es “tan grande” entre un “número realmente

extremadamente grande”, resulta en un “número extremadamente pequeño”.

Esto es:

𝑎

±∞= 0

Existen otros casos, que no he mencionado todavía:

∞ − ∞,∞

∞

Estas dos expresiones se conocen como indeterminaciones, y

corresponden a tu curso de matemáticas I de límites, donde las estudiaran a

profundidad.

Con esto creo que es suficiente tela para cortar, algunos estudiantes

quedaran abrumados a leer el contenido de toda esta guía que te indicará lo

que no debes hacer, si quieres obtener una excelente calificación en tu curso

de matemáticas.

Muchos éxitos en el comienzo de su semestre, esperemos que este

material sea de provecho para mejorar tus notas y tener éxito en matemáticas.