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1

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las

Ciencias Sociales II

Resuelve

Página 81

■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes:

a) x yx y

2 3 293 5–

+ ==

* b) x yx y

5 3 810 6 16

–– –

=+ =

* c) x yx y

4 175 2 19

+ =+ =

*

d) x yx y

9 6 76 4 11

––

=+ =

* e) x yx y

18 24 615 20 5

+ =+ =

* f ) x yx y

3 11 1288 7 46–

+ ==

*

a) x yx y

2 3 293 5–

+ ==4 2

331– = –11 ≠ 0 Solución: x = 4, y = 7

b) x yx y

5 3 810 6 16

–– –

=+ =

4 510

36––

= 0 Solución: x = 58

53+ λ, y = λ

c) x yx y

4 175 2 19

+ =+ =

4 45

12 = 3 ≠ 0 Solución: x = 5, y = –3

d) x yx y

9 6 76 4 11

––

=+ =

4 96

64–

– = 0 Sistema incompatible

e) x yx y

18 24 615 20 5

+ =+ =

4 1815

2420 = 0 Solución: x =

31

34– λ, y = λ

f ) x yx y

3 11 1288 7 46–

+ ==

4 38

117– = –109 ≠ 0 Solución: x =

1091 402 , y =

109886

BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

2

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1 Determinantes de orden dos

Página 82

1 Siendo A una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Para que | A | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0.

b) Si los dos elementos de la segunda columna de A son 0, entonces | A | = 0.

c) Si las dos filas de A coinciden, entonces | A | = 0.

d) Si ac

bd = –15, entonces

ca

db = 15.

e) Si mn

37 = 43, entonces

mn

3070 = 430.

a) Falso, 11

00 = 0

b) Verdadero, porque en los dos sumandos del determinante aparece algún elemento de la segunda fila.

c) Verdadero: A = aa

aa

11

11

12

12f p → | A | = a11a12 – a11a12 = 0

d) Verdadero: ( ) ( )ca

db cb ad ad cb

ac

bd 15 15– – – – – –= = = = =

e) Verdadero: ( ) ·mn m n m n

mn

3070 70 30 10 7 3 10

37 10 43 430– –= = = = =

2 Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:

a) 134

62 b)

134

62– c)

111

00

d) 77

22

–– e)

321

1177 f )

14060

73

––

a) 134

62 = 2

b) 134

62– = –50

c) 111

00 = 0, porque tiene una columna de ceros.

d) 77

22

–– = 0, porque tiene sus dos filas iguales.

e) 321

1177 = 0, porque sus filas son proporcionales: (1.ª) · 7 = (2.ª).

f ) 14060

73

–– = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2.ª) · (–20) = (1.ª).


3


3 Sean A = ln

mp

f p y | A | = –13. Calcula:

a) nl

pm b)

ln

mp7 7 c) |3A | d)

nl

pm

33

55

a) n

l

p

mln

mp–= = –(–13) = 13

b) ·ln

mp

ln

mp7 7 7= = 7 · (–13) = –91

c) | 3A | = · ·ln

mp

ln

mp

33

33 3 3= = 9 · (–13) = –117

d) · · ( ) · ·n

l

p

m

n

l

p

mln

mp

33

55

3 5 1 15–= = = (–15) · (–13) = 195


4


2 Determinantes de orden tres

Página 83

1 Calcula los siguientes determinantes:

a) 509

136

468

b) 91

0

012

301

–

a) 509

136

468

114–= b) 910

012

301

3– =

2 Halla el valor de estos determinantes:

a) 013

420

111

– b)

1000

47100

599110

a) 013

420

111

14–

= b) 1000

47100

599110

1000=

Página 85

3 Dados los determinantes

A = 583

416

999

B = 583

416

173–

C = 583

416

208

18

justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) A = 0 porque su tercera columna es suma de las dos primeras.

b) B = 0 porque su tercera columna es diferencia de las dos primeras.

c) C = 0 porque su tercera columna es producto de las dos primeras.

a) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.

b) Verdadero por la porpiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.

c) Falso, porque el producto de dos líneas no es una combinación lineal de ellas.

4 Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:

a) 301

10

11

704

0–

= b) 428

192

7114

0– – –

= c) 72

27

49

94

17

710=

a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).

b) La 3.ª fila es proporcional a la 1.ª:

(3.ª) = (–2) · (1.ª) (propiedad 6)

c) La 3.ª fila es combinación lineal de las dos primeras:

(3.ª) = (1.ª) + 10 · (2.ª) (propiedad 9)


5


5 Sabiendo que x y z51

01

31

1= , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:

a) x y z3

51

301

331

b) /x y z5

11

501

53 51

c) x

xx

yy

y

zzz

2 51

21

2 31

++ +

++

a) x y z x y z3

51

301

331

3 51

01

31

= = 3 · 1 = 3

b) /x y z5

11

501

53 51

= 5 · 51

x y z

51

01

31

= 1 · 1 = 1

c) x

xx

yy

y

zzz

2 51

21

2 31

++ +

++

= x y z

51

01

31

= 1


6


3 Menor complementario y adjunto

Página 86

1 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz M.

M =

24540

361

10

12213

57654

–

–

f pMenores de orden dos; por ejemplo:

M =

24540

36110

12213

57654

–

–

f p ,24

36 0

21

65 4= =

Menores de orden tres; por ejemplo:

M =

24540

36110

12213

57654

–

–

f p ,245

361

122

68110

213

654

21–

– –= =

2 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43.

A =

0214

21

16

4325

6537

–f p

α12 = 214

325

537

= –2; A12 = (–1)(1 + 2) · α12 = –1 · (–2) = 2

α33 = 024

216

657

– = 108; A33 = (–1)(3 + 3) · α33 = 1 · 108 = 108

α43 = 021

211

653

– = 16; A43 = (–1)(4 + 3) · α43 = –1 · 16 = –16


7


4 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Página 87

1 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:

35

9

728

164

––

Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.

Aplicando la regla de Sarrus:

359

728

164

––

= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456

Desarrollando por la 1.ª fila:

359

728

164

––

= 3 28

64 7

59

64 1

59

28–

––

– = 3 · (– 40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) = –120 + 518 + 58 = 456


359

728

164

––

= 5 78

14 2

39

14 6

39

78

– ––+ = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) = 180 + 42 + 234 = 456


359

728

164

––

= 9 72

16 8

35

16 4

35

72

–– –

––+ = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 = 396 – 104 + 164 = 456

Desarrollando por la 1.ª columna:

359

728

164

––

= 3 28

64 5

78

14 9

72

16

– –+ + = 3 · (– 40) + 5 · 36 + 9 · 44 = –120 + 180 + 396 = 456


359

728

164

––

= –7 59

64 2

39

14 8

35

16

– –– –

–+ = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 = 518 + 42 – 104 = 456


359

728

164

––

= –1 59

28 6

39

78 4

35

72

–– –+ = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 = 58 + 234 + 164 = 456


8


2 Calcula los siguientes determinantes:

a)

7431

0070

3461

4799

–

b)

3102

1430

11

20

3452

––

a)

7431

0070

3461

4799

–

=(1) –7 741

341

479

– = –7 · 290 = –2 030

(1) Desarrollando por la 2.a columna.

b)

3102

1430

1120

3452

––

=(1) –2 143

112

345

2310

143

112

––

––+ = –2 · 28 + 2 · 28 = 0

(1) Desarrollando por la 4.a fila. También podríamos haber observado que la 4.a columna es igual a la suma de las otras tres; y, por

tanto, el determinante vale cero.


9


5 El rango de una matriz a partir de sus menores

Página 88

1 Calcula el rango de las siguientes matrices:

A =

1347

21

10

3033

0112

1101

4268

––

f p B =

426

12

235

10

1236

56

1223

358

16

f p C =

1101

01

01

0200

1100

1010

––

f p D =

2571

1120

033

2

178

2

––

–––f p

A =

1347

2110

3033

0112

1101

4268

––

f pTomamos el menor de orden 2:

13

21– = –7 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

La 3.ª fila es la suma de las dos primeras, y la 4.ª fila es la suma de la 2.ª y la 3.ª → ran (A ) = 2.

B =

42612

23510

1236

561223

35816


42

23 = 8 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Tomamos menores de orden 3: 426

235

5612

= 8 ≠ 0 → Las 3 primeras filas son linealmente indepen-dientes.

Tomamos menores de orden 4:

42612

235

10

1236

561223

= 0;

42612

23510

561223

35816

= 0 → ran (B ) = 3.

C =

1101

0101

0200

1100

1010

––


11

10–

= 1 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Como 020

110

101

02

11

–= = –2 ≠ 0 y

0101

0200

1100

1010

020

110

101

––

––

= , entonces ran (C ) = 4.

D =

2571

1120

0332

178

2

––

–––f p

Tomamos el menor de orden 2: 25

11 = –3 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Como 251

110

032– = –9 ≠ 0 y la 3.ª fila es la suma de las dos primeras, entonces ran (D ) = 3.


10


6 Criterio para saber si un sistema es compatible

Página 89

1 Averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:

a) xxx

yyy

3

2

23

52

3

–

––+

===

* b) xxx

yyy

427

5

11

704

–+

+

===

* c) xx

y

y

zzz

23

2

120

–

–

++

===

* d) xx

y

y

zzz

23

2

125

–

–

++

===

*

a)

xxx

yyy

3

2

23

523

–

––+

===4 A =

312

231

–

–f p A' =

312

231

523

–

––f p

( )

| | ( )' '

8

8

ran A

A ran A

31

23 11 0 2

0 2

–≠ = =

= =4 El sistema es compatible.

b)

xxx

yyy

427

5

11

704

–+

+

===4 A = 'A

427

51

11

427

51

11

704

– –=f fp p | A' | = 147 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2

El sistema es incompatible.

c)

xx

y

y

zzz

23

2

120

–

–

++

===4 'A A

120

302

111

120

302

111

120

–

–

–

–= =f fp p

Calculamos el rango de A :

12

30 = – 6 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2

Calculamos el rango de A' :

120

302

120

0= (pues la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2 = ran (A )

Como la 4.ª columna de A' y la 1.ª son iguales, necesariamente ran (A' ) = ran (A ); es decir, el siste-ma es compatible.

d)

xx

y

y

zzz

23

2

125

–

–

++

===4 A =

120

302

111

–

–f p A' =

120

302

111

125

–

–f p

Sabemos que ran (A ) = 2 (ver apartado anterior).


120

302

125

= –30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )



11


7 Regla de Cramer

Página 90

1 Resuelve mediante la regla de Cramer:

a) xxx

yyy

zz2

3 54

248

9

––

––

+

++

===

* b) x y zx y zx y

28

2 3 10

––+ =

+ =+ =

*a)

xxx

yyy

zz2

3 54

248

9

––

––

+

++

===

4 | A | = 121

311

540

–– = –1 ≠ 0

| Ax | = ; | | ; | |A A248

9

311

540

7121

248

9

540

2121

311

248

95

––

–– –

–– –

––

––y z= = = = =

Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5

b)

x y zx y zx y

28

2 3 10

––+ =

+ =+ =

4 | A | = 112

113

110

––

= – 6

| Ax | = ; | | ; | |A A2810

113

110

112

2810

110

112

113

2810

30 0 18––

––

– –y z= = = = =

Por tanto: x = 5, y = 0, z = 3

2 Resuelve aplicando la regla de Cramer:

a) x y zx y zx y z

2 5 3 42 3

5 7 11

––

+ =+ =

+ + =* b)

x y zy z

x y z

3 4 46

2 5 7 1

– –

–

=+ =

+ + =*

a)

x y zx y zx y z

2 5 3 42 3

5 7 11

––

+ =+ =

+ + =4 | A | =

215

521

317

–– = 13

| Ax | = ; | | ; | |A A4311

521

317

215

4311

317

215

521

4311

65 0 26––

–– –y z= = = = =

Por tanto: x = 5, y = 0, z = –2

b)

x y zy z

x y z

3 4 46

2 5 7 1

– –

–

=+ =

+ + =4 | A | =

302

415

117

– – = 0

Por tanto, ran (A ) < 3. Como hay menores de orden 2 distintos de cero, ran (A ) = 2.

A' = 302

415

117

461

– –

–f p → ran (A' ) = 3

Por tanto, este sistema es incompatible.


12


Página 91

3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xx

yyy

zzz

32

327

130

–––

+++

===

*

b) xx

yyy

zzz

32

327

1310

–––

+++

===

*

a)

xx

yyy

zzz

32

327

130

–––

+++

===4 A = 'A

130

112

327

130

112

327

130

–––

–––

= ff pp


10

12

–– = –2 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2


130

112

130

–––

= 0 (la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 2.ª ecuación:

8

8

x y zy z

x y z x y z z

y z y z3 1

2 7 0

1 3 1 3 12

2 727

––

– – –

– –

+ =+ =

= = + = +

= =4

Soluciones: x = 1 + λ, y = 7λ, z = 2λ

b)

xx

yyy

zzz

32

327

1310

–––

+++

===4 A = 'A

130

112

327

130

112

327

1310

–––

–––

=f fp p Sabemos, por el apartado a), que ran (A ) = 2.


130

112

1310

–––

= 20 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )



13


4 Resuelve estos sistemas:

a)

x

xx

yy

y

zzz5

3546–

++++

====

* b) xxx

yyy

322

463

4231–

+++

===

*

a)

x

xx

yy

y

zzz5

3546–

++++

====

_

`

a

bbb

bb

A = 'A

1015

1101

0111

1015

1101

0111

3546– –

=f fp p

Como 101

110

011

= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 3


| A' | = 0 → ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer:

x = 2

354

110

011

22= = 1; y =

2

101

354

011

24 2= = ; z =

2

101

110

354

26 3= =

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

b)

xxx

yyy

322

463

4231–

+++

===4 A = 'A

32

463

322

463

42312– –

=f fp p

Como | A' | = –309 ≠ 0, entonces ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ).



14


8 Sistemas homogéneos

Página 92

1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xxx

yyy

zz

3 52

000

––+

++

===

* b) xxx

yyy

zzz5

39

000

–

–

–

–+ +

===

*

c)

xxxx

yyyy

zzzz

2

2

114

16

4

25

0000

–

–

–

–

+++

+

+

====

* d) xxx

yyy

z

ztt

35

2000

––

––

+ +

+

===

*

a)

xxx

yyy

zz

3 52

000

––+

++

===4 | A | =

311

521

110

–– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

b)

xxx

yyy

zzz5

39

000

–

–

–

–+ +

===4 | A | =

111

115

139

–

–

–

– = 0

Seleccionamos el menor 11

11–

= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Podemos suprimir la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x y zx y z

x zy z3 2

––

––

=+ =

==

3

Soluciones: x = –λ, y = –2λ, z = λc)

xxxx

yyyy

zzzz

2

2

114

16

4

25

0000

–

–

–

–

+++

+

+

====

_

`

a

bbb

bb

121

1141

412

––

– = –18 → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

d)

xxx

yyy

z

ztt

35

2000

––

––

+ +

+

===

_

`

a

bb

bb A =

131

111

501

021

––

––

f p

131

111

501

––

= –14 ≠ 0 → ran (A ) = 3

Para resolverlo, pasamos la t al 2.° miembro:

x y zx y tx y z t

5 03 2–

–

+ + ==

+ =4

x =

tt t t

14

02

111

501

147

2–

––

––= = ; y =

tt t t14

131

02

501

147

2– ––= = ; z =

tt

14

131

111

02

140 0

–

––

–= =

Soluciones: x = λ, y = –λ, z = 0, t = 2λ


15


2 Resuelve.

a)

x

xx

yyyy

zzz

2

35

3

2

0000–

–

–+

+++

====

*

b)

x

xx

yyyy

zzzz

2

35

3

23

0000–

–

–+

++++

====

*

c)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

32

0000

–++

+

+++

====

*

d)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

329

0000

–++

+

+++

====

*a)

x

xx

yyyy

zzz

2

35

3

2

0000–

–

–+

+++

====

_

`

a

bb

bb

A =

1011

2135

3120–

–

–f p


≠ ; ;10

21 1 0

101

213

312

0101

215

310

0– –

– –

–= = =

Por tanto, ran (A ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al segundo miembro:

x y z

y zx z y z z zy z

2 3 3 2 3 2 5– ––

– – – ––

==

= + = ==

4

Soluciones: x = –5λ, y = –λ, z = λ

b)

x

xx

yyyy

zzzz

2

35

3

23

0000–

–

–+

++++

====

_

`

a

bbb

bb

El menor asociado a las 1.ª, 2.ª y 4.ª ecuaciones es:

≠101

215

313

3 0–

–= → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas

El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.

Solución: x = 0, y = 0, z = 0


16


c)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

32

0000

–++

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

A =

1012

0112

3003

0121

–f p ; | A | = 0

101

011

300

= –3 ≠ 0 → ran (A ) = 3 < n.º de incógnitas

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación y pasar la t al segundo miembro:

x z

y tx y t

z x t ty tx t y t t t

3 0

2

3 33

2 2 3

–

–

–

– – – – –

==

+ =

= = === = =

4

Soluciones: x = –3λ, y = λ, z = λ, t = λ

d)

x

xx

yyy

z

z

ttt2 2

3

329

0000

–++

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

| A | = ≠

1012

0112

3003

0129

24 0–

–= → ran (A ) = 4 = n.º de incógnitas

El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, t = 0


17


9 Discusión de sistemas mediante determinantes

Página 94

1 Discute y resuelve.

a) x

axx

yyy

az

z4 6

01

0– –+

+

+

+

===

* b) x

kxx

yyy

k

5 31316

–+

+

===

*a)

xaxx

yyy

az

z4 6

01

0– –+

+

+

+

===4 A = a

a1

1

114

06

–f p ; A' = aa1

1

114

06

010

– –f p

| A | = 4a 2 – 5a – 6 = 0 → a = ± ± ±8

5 25 968

5 1218

5 11+ = = a

a

2

43–

=

=• Sia = 2, queda:

A' = 121

114

206

010

– –f p Tomamos el menor: 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

A

121

114

010

– – = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.

• Sia = – 43 , queda:

A' = //1

3 41

114

3 406

010

– ––

–f p Tomamos el menor: /13 4

11 4

1– –

–= ≠ 0 → ran (A) = 2

A

/1

1

114

010

3 4 – –– = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.

• Sia ≠ 2 y a ≠ –3/4 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3, el sistema es compatible determinado. Lo resol-vemos:

x = a a

a

a aa

4 5 6

010

114

06

4 5 66 4

– –

– –

– ––

2 2= ; y = a a

aa

a aa

4 5 6

1

1

010

06

4 5 66

– –

–

– ––

2 2=

z = a a

a

a a4 5 6

1

1

114

010

4 5 63

– –

– –

– –2 2=

Solución: , ,xa a

a ya a

a za a4 5 6

6 44 5 6

64 5 6

3– ––

– ––

– –2 2 2= = =


18


b)

xkxx

yyy

k

5 31316

–+

+

===4 A' = k

k1

5

113

1316

–f p A

| A' | = 3k 2 – 11k + 10 = 0 → k = ± ±6

11 121 1206

11 1– = k

k

2

35

=

=• Sik = 2, queda:

A' = 125

113

21316

–f p

A

Tomamos el menor: 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas

El sistema es compatible determinado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x yx y

22 13–

+ ==4 Sumando: 3x = 15 → x = 5

y = 2 – x = 2 – 5 = –3

Solución: x = 5, y = –3

• Sik = 35 , queda:

A' = //1

5 35

113

5 31316

–f p

A

/1

5 311 3

8–

–= ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas


Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x y

x y35

35 13–

+ =

=4 Sumando: 8x x

38

344

844

211= = =

y = x35

35

211

623– – –= =

Solución: x = , y211

623–=

• Sik ≠ 2 y k ≠ 35 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.


19


2 Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( ) ( )a xa x

ya y

11 1

00

––

++ +

==

*

( )( ) ( )a xa x

ya y

11 1

00

––

++ +

==4 A =

aa a

11

11

–– +

e o

| A | = (a – 1) a11

11+ = (a – 1)(a + 1 – 1) = a(a – 1) = 0

aa

01

==

• Sia = 0, queda:

x yx y

00

––

+ =+ =

4 y = x → Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = λ, y = λ

• Sia = 1, queda:

yy

02 0

==4 Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = λ, y = 0

• Sia ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A ) = 2

El sistema tiene solo la solución trivial: x = 0, y = 0


20


10 Cálculo de la inversa de una matriz

Página 95

1 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = 112

105

133

––

– –

–f p B =

21

12

––

e o

Calculamos la inversa de la matriz A:

| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1

αij ⎯⎯→ (A i j ) ⎯⎯→ (A j i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (A j i )

8 8 8 A1583

952

531

1583

952

531

1595

853

321

1595

853

321

–

––

–

–

–––

–––

–––

–––

–––

–––

1– =f f f fp p p p

Calculamos la inversa de la matriz B:

| B | = –3 ≠ 0 → existe B –1

αij ⎯⎯→ (B i j ) ⎯⎯→ (B j i ) ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (B j i )

8 8 8 B21

12

21

12

21

12 3

1 21

12

––

– – ––

– ––

1– =e e e eo o o o

2 Calcula la inversa de estas matrices:

A = 12

47

e o B = 401

125

013

–f p

Calculamos la inversa de la matriz A:

| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1

αij ⎯⎯→ (A i j ) ⎯⎯→ (A j i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (A j i )

8 8 8 A74

21

74

21

72

41

72

41–

––

––

–1– =e e e eo o o o

Calculamos la inversa de la matriz B:

| B | = 3 ≠ 0 → existe B –1

αij ⎯⎯→ (B i j ) ⎯⎯→ (B j i ) ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (B j i )

8 8 8 B131

1124

2218

131

112

4

2218

112

31221

14

831

112

31221

14

8––

– –

– –

––

– –

––

– –

––1– =f f f fp p p p


21


Ejercicios y problemas resueltos

Página 96

1. Rango de matrices a partir de sus menores

Hazlo tú. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k :

a) M = fk

k13 6

4

39

6

264

––

––

–

–p b) N = f

kk

121

11

1

1p c) P = k

1211

131

1

2812

11

1––

––

–

f pa) El menor formado por las tres primeras columnas es:

k

k13 6

4

396

––

–– = 9k 2 – 36k + 36 → 9k 2 – 36k + 36 = 0 → k = 2

•Sik ≠ 2 → ran (M ) = 3 •Sik = 2:

M = 132

264

396

264

––

––

–

–f p

Todas las columnas son porporcionales, luego ran (M ) = 1.b) Hallamos los valores que anulan el determinante de N:

|N | = k

k121

11

1

1 = k 2 – 3k + 2 = 0

kk

21

==

• Sik ≠ 2 y k ≠ 1 → ran (N ) = 3• Sik = 2:

N = 121

211

121

f p 12

21 = –3 ≠ 0 → ran (N ) = 2

• Sik = 1:

N = 121

111

111

f p 12

11 = –1 ≠ 0 → ran (N ) = 2

c) Resolvemos la ecuación |P | = 0:

|P | = k

1211

1311

2812

11

1––

––

–

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

(4.ª) + (1.ª)

= 8k k k k

1000

1502

2430

111

2

502

430

11

28 16 0 2

– – – ––+ = + = = =

• Sik ≠ 2 → ran (P ) = 4• Sik = 2 → ran (P ) < 4

P =

1211

1311

2812

1121

––

––

–

f p 12

13– = –5 ≠ 0 → ran (P ) ≥ 2

121

131

281–

––

= –15 ≠ 0 → ran (P ) = 3


22


Página 97

2. Regla de Cramer

Hazlo tú. Resuelve aplicando la regla de Cramer.

a) x yx y

7 5 83 2 9

–– –– =

+ =* b)

x y zx yx y z

z43

5 3 18

5 55 3

––

––

+ ==

+ =*

a) | A | = 73

52––

= –1; | Ax | = 89

52––

= –29; | Ay | = 73

89– – = –39

x = , y129 29

139 39

––

––= = =

Solución: (29, 39)

b) | A | = 115

11

1

103

––

– = 0

11

11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Quitamos la 3.a ecuación por ser combinación lineal de las anteriores:

x y zx y

43

––+ =

=*

Pasamos z al segundo miembro para tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Hace-mos z = λ (parámetro).

lx y

x y43–

+ = +=

*

| Ax | = | |;l

ll

lA4

311 7

11

43 1– – – – –y

+= =

+=

Soluciones: ,l l2

72

1+ +d n

3. Estudio de la compatibilidad de un sistema

Hazlo tú. Estudia el siguiente sistema según los valores de k y resuélvelo cuando sea posible:

x y zx yx zx y z k

zy

431

3 4

3 43 43 4

–– ––

+ ==

+ =+ + =

*Buscamos el valor de k para el cual | A' | = 0.

| A' | =

k

1113

1104

1011

431

––

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 3 · (1.ª)

=

k k

1000

121

1

1124

41312

211

124

1312

––

––––

––

–––

= = 15 – 3k = 0 → k = 5

• Sik ≠ 5 → ran (A' ) = 4 → el sistema es incompatible.

• Sik = 5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3, ya que 111

110

101

––

= –3 ≠ 0


23


El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, eliminamos la cuarta ecuación y aplicamos la regla de Cramer:

x3

431

110

101

38

38

–

––

––= = = ; y

3

111

431

101

31

–

–

–= = ; z

3

111

110

431

35

–

–

–= =

Solución: , ,38

31

35– –d n

Página 98

4. Discusión de sistemas aplicando el teorema de Rouché

Hazlo tú. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando sean compatibles:

a) xxx

yy

ay

zaz

z

aa2

1

1

–+++

+++

===

* b)

xx

mxx

yyy

zzzz

232

2460

––

–

++

+

+

====

*a) | |8

aa

aa A

aa a a

121

11

1

1

1

1

121

11

1

13 2

–– –2= = +f p = 0

aa

21

==

• Sia ≠ 2 y a ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de a distinto de –1 y 2, tenemos un sistema con solución única, que por la regla de Cramer es:

xa a

aa

aa

3 2

1

1

11

1

1– –

–

2=+

; y = a a

aa a

3 2

121

1

1

1

1– –

–

2 +; z =

a aa

aa

3 2

121

11

1

1– –

–

2 +

Solución: , ,aa

aa

a11

21–

– ––

+d n

Son tres planos que se cortan en un punto.

• Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

2211–

–––

++

+

+

===4 A' =

121

111

111

211–

–––f p

≠ ( )

≠ ( )'8

8 ran A

ran A

12

11

121

111

211

1 0 2

3 0 3–

––

–= =

= =4 El sistema es incompatible.

Son tres planos que se cortan dos a dos.

• Sia = 2:

xxx

yyy

zzz

22

2 21

1++

+

+

===+

+ 4 A' = 121

112

121

121

f p

12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2


24


Como la columna de términos independientes es igual a la columna de coeficientes de z, tenemos que ran (A' ) = 2 = ran (A ), el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro:

xx

yy

zz2 2

12

++

++

==4 → x = 1 – λ, y = 0, z = λ

Los planos se cortan en una recta.

b) Empezamos estudiando el rango de A', ya que puede ser 4:

| A' | = m

12

1

1110

1132

2460

––

–

= 12 – 12m = 0 → m = 1

• Sim ≠ 1 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.

• Sim = 1:

121

110

112

–––

= – 6 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Quitando la tercera ecuación:

xxx

yy

zzz

22

240

–

––++ =

==4 Aplicamos la regla de Cramer y obtenemos: x = 2, y = 1, z = 1

Los planos se cortan en un punto.

Página 99

5. Cálculo de la matriz inversa

Hazlo tú. Dada esta matriz:

A = aa

104

0

1

13

–

–f p

a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.

b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A.

a) | A | = aa

104

0

1

13–

– = –a 2 + 4a – 3 → –a 2 + 4a – 3 = 0

aa

31

==

A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.

b) a = 2:

| A | = 1

A = ( )8 8A A104

021

132

712

1223

812

712

8

121

232

–

–

––

–

––

–

–

–

––ij

1–= =f f fp p p


25


6. Sistemas homogéneos

Hazlo tú. Discute y resuelve:

xxx

yy

ay

zzz3

34

000

–+++

++

===

*Es un sistema homogéneo, luego siempre es compatible. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

| A | = a

113

13

114

– = 20 – 2a → 20 – 2a = 0 → a = 10

• Sia ≠ 10 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de a distinto de 10, tenemos un sistema con solución única: (0, 0, 0), la solución trivial.

• Sia = 10 → ran (A ) = 2 = ran (A' ) → el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro:

xx

yy

zz3 –

++

==3

Soluciones: x = 2λ, y = –λ, z = λ


26


Ejercicios y problemas guiados

Página 100

1. Propiedades de los determinantesSi c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3 | = 7, calcular:

a) |c3 c1 c2 | b) | 3c1 c2 + c1 – c3 | c) |c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 |

a) | c3 c1 c2 | = (–1)2 | c1 c2 c3 | = 7

b) | 3c1 c2 + c1 –c3 | = 3(–1) | c1 c2 + c1 c3 | = –3 | c1 c2 c3 | = –21

c) | c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 | = | c1 c2 + c1 4c3 | = 4 | c1 c2 + c1 c3 | = 28

2. Resolver una ecuaciónHallar el valor de x para el cual | 2B | = 160 siendo B la matriz:

B = x

xx x

134

2

121– 2

+f p

| 2B | = 23 | B | → 23 | B | = 160 → | B | = 20

| B | = x

xx x

134

2

121– 2

+ = x 3 – x 2 + x – 1 = 20 → x 3 – x 2 + x – 21 = 0 →

→ (x – 3)(x 2 + 2x + 7) = 0 → x = 3

3. Sistema compatible para cualquier valor del parámetroSea el sistema de ecuaciones:

axxx

yay

y

zz

az

a

a2

22–

––

+ +++

===

+*

a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de a.

b) Calcular su solución en forma matricial en el caso a = 0.

c) Resolver para a = 1 utilizando el método de Gauss.

a) | A | = a

aa

21

1

1

11–

– = –a 3 – 1 = 0 → a = –1

•Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado, tiene solución única. •Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

2121

–

– – –

++

++

===4

12

11

– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la columna de términos independientes:

121

111

121

–

– – = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A )

El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.Por tanto, el sistema es compatible para cualquier valor de a.


27


b) a = 0:

·xyz

021

101

110

220––=f ff p pp

A · X = B → X = A –1 B

A –1 = 112

111

122

––

–

––f p

X = ·112

111

122

220

44

6

––

–

–– –

––=f ff p pp

c) a = 1:

xxx

yyy

zzz

2321

––

–+ +

++

===4

121

111

111

321

––

–f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

132

110

382

––

– ––

f p

(1.ª)

(2.ª)

3 · (3.ª) – 2 · (2.ª)

100

130

112

38

10– – –f p → x = –3, y = 1, z = 5

4. Resolver una ecuación matricial

Dada la matriz A = fm

m2

01

01

0

0

–

–p:

a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa.

b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0.

a) | A | = m

m201

01

0

0

–

– = m 2 – 2m → m 2 – 2m = 0

mm

02

==

A tiene inversa si m ≠ 0 y m ≠ 2.

b) XA + X – 2A = 0 → X (A + I ) = 2A → X = 2A (A + I )–1

Para comprobar que este paso es válido, veamos si (A + I )–1 existe.

A + I = 201

101

010

100

010

001

101

111

011

–

–

–

–+ =f f fp p p

| A + I | = –1, luego tiene inversa.

(A + I )–1 = 211

110

111

––

––f p

X = 2A (A + I )–1 = 2201

101

010

211

110

111

622

200

220

–

–

––

––

–

–=f f fp p p


28


Ejercicios y problemas propuestos

Página 101

Para practicar

Determinantes.

1 Calcula el valor de estos determinantes:

a) 111

876

101–

b) 325

41

3

615

––

– c)

701

87

0

031

– d) 02

3

304

120

–

a) 111

876

101–

= 0 b) 325

413

615

––

– = 0 c)

701

870

031

– = –25 d) 023

304

120

– = 10

2 Si mp

nq = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes determinantes? Justifica las respues-

tas:

a) m n

np q

q3 3+ +

b) pq

mn c)

nq

mp

33

––

d) pq

mn

22 e)

/mp

n mmq

1 f )

mp

mp

55

a) m n

n

p q

q

3 3+ +

( )1=

m

n

p

q

( )2=

mp

nq = –5

b) p

q

m

n

p

m

q

nmp

nq–

( ) ( )2 3= = = –(–5) = 5

c) nq

mp

nq

mp

mp

nq

33 3 3

–– –

( ) ( )4 3= = = 3 · (–5) = –15

d) p

q

m

n

p

q

m

n

p

m

q

nmp

nq

22

2 2 2–( ) ( ) ( )4 2 3= = = = –2 · (–5) = 10

e) /

mpn mmq m

mmp

nq

mp

nq

1 1 ·( )4= = = –5

f ) mp

mp

55 = 0, pues las dos columnas son proporcionales.

(1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía.

(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

(3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

(4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.


29


3 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) a

311

411

51–

–

– = 0 b)

a

aa

10

1

16

2

130

–

–

–+ = 0

c) a

202

123

122

= 0 d) a

aa

111

12

1

2

+ = 0

a) a

311

411

51–

–

– = 7 – 7a = 0 → a = 1

b) a

aa

10

1

16

2

130

–

–

–+ = a 2 + 2a – 3 = 0 → a = 1, a = –3

c) a

202

123

122

= 4a 2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3

d) a

aa

111

12

1

2

+ = –a 3 – a 2 + 6a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2

4 ¿Qué valor de a anula estos determinantes?:

a) a

a10

111

11 b)

a

aa

10

12

0

112

––

–

c) aa

1

1

11

1

220+

d) aa

a a

11

0

101

12

1– – –

– –2

+

a) a

a10

111

11 =

aa

a1

0

101

10– = (a – 1)(a – 1) = (a – 1)2 = 0 → a = 1

b) a

aa

10

12

0

112

––

– = 2(a – 1)(a – 2) + a + a(a – 2) = 2(a – 1)(a – 2) + a(a – 1) =

= (a – 1)(3a – 4) = 0 a

a

1

34

=

=

c) aa

1

1

11

1

220+

= aa

11

0

10

202

––

= (1 – a)(–2 – 2a) = –2(1 – a)(1 + a) = 0 aa

11–

==

d) aa

a a

11

0

101

12

1– – –

– –2

+ =

a

a a

100

111

11

1–– –2

+ = (a + 1)(a 2 – a) =

= a(a + 1)(a – 1) = 0 aa

a1

1

0

–==

=


30


5 Sabiendo que ax

by

cz

1 1 1 = 5, calcula el valor de los siguientes determinantes:

a) / / /

ax

by

cz

17

2

17

2

17

2+ + + b) c a

z xb cy z

cz

0 0 1––

––

c) x

a xx

yb y

y

zc z

z

12

2

12

2

12

2

– – –+ + + d) x

azc

yb

2 2 2– – –

a) / / / / / / / / /

ax

by

cz

ax

by

cz x y z

ax

by

cz

17

2

17

2

17

2

1

2

1

2

1

2

172

172

172

21

1 1 10

21 5

25·

( ) ( )1 2+ + + = + = + = =

(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.

(2) Sacamos 21 factor común de la 3.ª fila. El 2.° determinante es 0, pues las dos primeras filas son

proporcionales.

b) c az x

b cy z

cz

0 0 1––

––

= (1.ª) – (3.ª)

(2.ª) + (3.ª)

(3.ª)

columnas

ax

by

cz

ax

by

cz

1 1 1 1 1 15

–––

– –( )1= =

(1) Sacamos –1 factor común de la 1.ª columna.

c) x

a x

x

y

b y

y

z

c z

z

12

2

12

2

12

2

– – –+ + + =

(1.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

filas

x

ax

y

by

z

cz

x

ax

y

by

z

cz

1

2

1

2

1

22

1 1 1– – – – – –( )1= =

= (1.ª) + (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

filas

ax

by

cz

21 1 1

= 2 · 5 = 10

(1) Sacamos factor común el 2 de la 3.ª fila.

d) xa

zc

yb

2 2 2– – – = 2 x

azc

yb

ax

cz

by

ax

by

cz

1 1 12

1 1 12

1 1 1– – – –= = = –2 · 5 = –10

Rango de una matriz

6 Estudia el rango de las siguientes matrices:

a) 122

034

112

22

1

––f p b)

1231

1102

2351

–

f p

a) El rango es 3, ya que el determinante 122

112

221

–– = 15 ≠ 0.


31


b) 4.a fila = 2.a fila – 1.a fila.

3.a fila = 1.a fila + 2.a fila.

Por tanto: ran

1231

1102

2351

–

f p = ran 12

11

23

–e o

Como 12

11–

= 3 ≠ 0 → El rango es 2.

7 Halla el rango de estas matrices:

a) A = f

3614

51005

12

10

–p b) B = f

141

250

360

123

114

–p

c) C = f

2002

1020

0211

01

00

–

––

–p d) D = f

102

217

013

32

0––

– p

a) A =

3614

51005

1210

–f p Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:

05

10 = –5 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2

Las dos últimas filas son linealmente independientes.

Veamos si la 2.a fila depende linealmente de las dos últimas:

614

1005

210

– = 0 → La 2.a fila depende linealmente de las dos últimas.

Veamos si la 1.a fila depende de las dos últimas:

314

505

110

= 10 ≠ 0. Por tanto, ran (A) = 3.

b) B = 141

250

360

123

114

–f p

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 41

50 = –5 ≠ 0

Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran (B ) ≥ 2.

Veamos si la 3.a columna depende linealmente de las dos primeras:

141

250

360

25

36= = –3 ≠ 0. Por tanto, ran (B ) = 3.


32


c) C =

2002

1020

0211

0100

–

––

–f p Calculamos | C |:

| C | =

2002

1020

0211

0100

–

––

– =

filas(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – (1.ª)

2000

1021

0211

0100

2021

211

100

–

––

–––

–( )1= =

= 2(2 – 1) = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 4

(1) Desarrollamos por la 1.a columna.

d) D = 102

217

013

320

––

–f p

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 10

21 ≠ 0

Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la 3.a fila depende linealmente de las dos primeras:

102

217

013

––

= –3 – 4 + 7 = 0

102

217

320– = – 8 – 6 + 14 = 0

La 3.ª fila depende linealmente de las otras dos.

Por tanto, ran (D ) = 2.

8 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:

a) A = fa

213

111

02– p b) B = f

aa1

1

12

1

02

2–

–– p c) C = fa

a2

3

131

42

–

–p d) D = f a

a

111

1

1

11– p

a) | A | = a

213

111

02– = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 → a = 2

•Sia = 2 → Como | A | = 0 y 111

2 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

•Sia ≠ 2 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 3

b) | B | = a

a11

121

022

––

– = 4a 2 – 2 – 2a + 2 = 4a 2 – 2a = 0 → 2a(2a – 1) = 0 a

a

0

21

=

=

Observamos que 11

02– = 2 ≠ 0 → ran (B ) ≥ 2


33


•Sia = 0 → | B | = 0 → ran (B ) = 2

•Sia = 21 → | B | = 0 → ran (B ) = 2

•Sia ≠ 0 y a ≠ 21 → | B | ≠ 0 → ran (B ) = 3

c) | C | = aa2

3

131

42

–

– = 12 – a 2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a 2 – 7a + 8 = 0 →

→ a = ±2

7 49 322

7 812

7 9– –

±–±+ = =

aa

81–=

=

Observamos que 31

42– = 10 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2

Por tanto:

•Sia = 1 → | C | = 0 → ran (C ) = 2

•Sia = – 8 → | C | = 0 → ran (C ) = 2

•Sia ≠ 1 y a ≠ – 8 → | C | ≠ 0 → ran (C ) = 3

d) | D | = aa

111

1

1

11– = –a 2 + 1 + 1 + a – 1 – a = –a 2 + 1 = 0

aa

11–

==

•Sia = 1 → D = 8111

11

1

111

11

11– –f p ≠ 0 → ran (D ) = 2

•Sia = –1 → D = 8111

111

111

11

11

––f p ≠ 0 → ran (D ) = 2

•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → | D | ≠ 0 → ran (D ) = 3

Teorema de Rouché. Regla de Cramer

9 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompa-tibles:

a) xxx

yyy

45 2

615

–––

++

===

* b) xxx

yyy

zzz

22

32

23

0––

–––

––

+ ===

* c) xxx

yyy

zzz

2

3

35

306

– ––

–

+

++

===

*

d) xxx

yy

zzz

23

23

215

– –+ +

+

===

* e)

xx

x

yyyy

zzz

2

2

3

720

10

– ––

+

+

+

+

====

* f ) xxx

yyy

zzz2

3

3

11

5– –

––

+

+

+

+

===

*

a)

xxx

yyy

45 2

615

–––

++

===4 A' =

145

112

615

–––

f p

A

Como 14

11–

= 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:

8x y

x yx x

y x6

4 15 5 1

1 4 1 4 5–

–Sumando:

– – – – –=

+ == =

= = =4 4 Solución: x = 1, y = –5


34


b)

xxx

yyy

zzz

22

32

23

0––

–––

––

+ ===4 A' =

121

112

132

230

––

–––

––f p

A

Tenemos que | A | = 0 y que 12

11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Como 121

112

230

––

–– = –3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2

Por tanto, el sistema es incompatible.

c)

xxx

yyy

zzz

2

3

35

306

– ––

–

+

++

===4 A' =

213

351

111

306

– ––

–f p

A

Como | A | = 0 y 21

35– – = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Además, 213

351

306

– – = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:

x y zx y z

x z yx z y

x yz y x y y t

2 3 35 0

2 3 35

3 25 5 3 2 3 7

–– –

– ––

Sumando:+ =+ =

=+ =

= += + = + + = +4 4

Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ

d)

xxx

yy

zzz

23

23

215

– –+ +

+

===4 A' =

123

110

231

215

– –f p

A

Como | A | = 0 y 23

10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Como 123

110

213

– = 6 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2


e)

xx

x

yyyy

zzz

2

2

3

7201

0

– ––

+

+

+

+

====

_

`

a

bb

bb

A' =

1102

1213

1710

2010

– ––f p

A

Como 110

121

171

– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.



35


Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x = 5

201

121

171

515 3–

– –

= = ; y = 5

110

201

171

510 2–

–– –= = ; z =

5

110

121

201

55 1

–– = =

Solución: x = 3, y = –2, z = 1

f )

xxx

yyy

zzz2

3

3

11

5– –

––

+

+

+

+

===4 A' =

112

311

113

115

– –––f p

A

Como | A | = –14 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.


Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

x = 14

115

311

113

140 0

–

–– – –

–= = ; y =

14

112

115

113

1414 1

–

–– –

––= = ; z =

14

112

311

115

1428 2

–

– –

––= =

Solución: x = 0, y = –1, z = 2

10 Resuelve estos sistemas aplicando la regla de Cramer:

a) xx

yy

83

145

211–

+ ==

* b) xx

yy

z

z

ttt

120

––

––

+ + ===

*

c) xx

yyy

zz

32

3 2

20

1

–

–+ +

+

===

* d) xx

yy

zz

tt

42

– ––+ ++ =

=*

a)

xx

yy

83

145

211–

+ ==4 A' =

83

145

211–

e o → | A | = – 82 ≠ 0

A

x = ;82

211

145

82164 2

––

––= = y =

82

83

211

8282 1

– ––= =

Solución: x = 2, y = –1

b)

xx

yy

z

z

ttt

120

––

––

+ + ===4 A' =

110

110

101

111

120

––

––

f p → Tenemos que 110

110

101

––

= –2 ≠ 0.

A

x =

tt

t t t2

12

110

101

23

23

–

––

–

–– –

+

= = + ; y =

tt

t t t2

110

12

101

21

21

–

– –

–– –

+

= + =


36


z =

tt

t t t2

110

110

12

22

–

––

––

+

= =

Soluciones: , , ,l l l lx y z t2

32

1– –= + = = =

c)

xx

yyy

zz

32

3 2

201

–

–+ +

+

===

_

`

a

bb

bb A' =

320

113

012

201

–

–f p → | A | = 1 ≠ 0

A

x = 1

201

113

012

11 1–

–

– –= = ; y = 1

320

201

012

15 5– – –= = ; z =

1

320

113

201

17 7

–

– = =

Solución: x = –1, y = –5, z = 7

d)

xx

yy

zz

tt

42

– ––+ ++ =

=4 x y z t

x y z t42

11

11

– ––

–= ++ = +

4 = 2 ≠ 0

x =

z tz t

2

42

11

26 3

––

–++

= = ; y =

z tz t z t z t

2

11

42

22 2 2 1

–– – – – –

++

= + = +

Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + μ, z = λ, t = μ

Página 102

11 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible:

a) xx

yyy

zzz

3 001

–

–

++ +

===

* b) xxx

yyy

zzz

22

2

222

––

–

–––

++

++

===

*

c) xx

yyy

z

z

2 01

1– –

– – –

+ + ===

* d)

xx

x

y

yy

zzz2

56711

+

+

+++

====

*a)

xx

yyy

zzz

3 001

–

–

++ +

===4 A' =

310

111

111

001

–

–f p

A

Como | A | = – 6 ≠ 0, tenemos que: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

x = 6

001

111

111

62

31

–

–

––

–= = ; y = 6

310

001

111

64

32

–

–

–––= = ; z =

6

310

111

001

62

31

– ––= =

Solución: , ,x y z31

32

31– –= = =


37


b)

xxx

yyy

zzz

22

2

222

––

–

–––

++

++

===4 A' =

121

211

112

222

––

–

–––

f p

A

Como 12

21––

= –3 y | A | = 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Además, 121

211

222

–– –

––

= 18 ≠ 0. Luego ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2.


c)

xx

yyy

z

z

2 011

– –– – –

+ + ===4 A' =

110

211

101

011

– –– – –

f p

A

Como | A | = 0, 11

21– – = 1 ≠ 0 y

110

211

011

– –– –

= 0, tenemos que:

ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la 1.ª

ecuación y resolverlo en función de y :

x y

y zx yz y

11

11

– –– – –

– ––

==

==

4 4

Soluciones: x = –1 – λ, y = λ, z = 1 – λ

d)

xx

x

y

yy

zzz2

56711

+

+

+++

====

_

`

a

bbb

bb

A' =

1102

1011

0111

56711

f p A

Tenemos que | A' | = 0 y 110

101

011

= –2 ≠ 0. Luego ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación:

x2

567

101

011

24 2

– ––= = = ; y

2

110

567

011

26 3

– ––= = = ; z

2

110

101

567

28 4

– ––= = =

Solución: x = 2, y = 3, z = 4


38


12 Estudia y resuelve los siguientes sistemas:

a) x y zx y zx z

2 22 3 13 3

– – =+ + =

+ =* b)

x y zx y z

y zx y

22 7 0

12 3 0

– ––

+ + ==

+ =+ =

*a)

x y zx y zx z

2 22 3 13 3

– – =+ + =

+ =4 A' =

123

110

231

213

– –f p

A

Como | A | = 0 y 23

10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.

Además, 123

110

213

– = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la primera ecuación:

x y zx z

x y zx z

x z z

y z x z2 3 13 3

2 1 33 3

33 1

3

1 3 2 137

––

– –

– – – –

+ + =+ =

+ ==

= =

= =4 4 4 Hacemos z = 3λ.

Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 – 7λ, z = 3λ

b)

x y zx y z

y zx y

22 7 0

12 3 0

– ––

+ + ==

+ =+ =

4 A' =

1102

1213

1710

2010

– ––f p

A

Como 110

121

171

– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que:

ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.a ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x = 5

201

121

171

515 3–

– –

= = ; y = 5

110

201

171

510 2–

–– –= = ; z =

5

110

121

201

55 1

–– = =

Solución: x = 3, y = –2, z = 1


39


13 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a) xxx

yyy

zzz

12 32

2000

––

––

+

+

===

* b)

xxxx

yyyy

zzzz

938

3

2

2

42

0000

–

–

+

++

+++

====

*a)

xxx

yyy

zzz

12 32

2000

––

––

+

+

===4

xxx

yyy

zzz12 2

000

23

––

–

–

+ ===

+ 4 A = 1112

123

112

––

–

–f p

Como | A | = 0 y 1 11 2– = –3 ≠ 0, entonces, ran (A ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x y zx y z2– –

+ ==3

x

zz z z z

3

12

3 3––

–––

= = = ; y

zz z z

3

11

32

32

––

––= = =

Soluciones: , ,l l lx y z3 3

2= = =

b)

xxxx

yyyy

zzzz

938

3

2

2

42

0000

–

–

+

++

+++

====

_

`

a

bb

bb

A =

9381

3112

2142

–

–

f p

Como 938

311

214

– = –35 ≠ 0, entonces ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas.

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

Cálculo de la matriz inversa con determinantes

14 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:

a) M = 25

24

––

e o

b) N = 35

02–

e o

a) | M | = 2 ≠ 0 → la matriz M tiene inversa. La calculamos:

αij ⎯⎯→ (Mi j ) ⎯⎯→ (Mj i ) ⎯⎯→ M –1 = | |M1 (Mj i )

42

52

––e o ⎯→

42

52

– –e o ⎯→ 45

22

––e o ⎯→ M –1 =

21 4

522

––e o

M –1 = /2

5 211

––e o es la matriz inversa.


40


b) | N | = 6 ≠ 0 → la matriz N tiene inversa. La calculamos:

αij ⎯⎯→ (Ni j ) ⎯⎯→ (Nj i ) ⎯⎯→ N –1 = | |N1 (Nj i )

20

53–e o ⎯→

20

53

e o ⎯→ 25

03

e o ⎯→ N –1 = 1562 0

3e o

N –1 = / //

5 60

1 21 3e o es la matriz inversa.

15 a) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A =f 102

210

103p B = f

202

111

031p

b) Resuelve las ecuaciones AX = B y XB = A siendo A y B las matrices del apartado anterior.

a) | A | = 102

210

103

= 1 ≠ 0 → Existe A –1.

αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |

AA11– = (Aj i )

361

010

24

1–

––f p ⎯→

361

010

241

––

–f p ⎯→

302

614

101–

– –f p ⎯→ A –1 =

302

614

101–

– –f p

| B | = 202

111

031

= 2 ≠ 0 → Existe B –1.

αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |

BB11– = (Bj i )

213

626

202

– – –f p ⎯→

213

626

202

––

–

–f p ⎯→

262

120

36

2

–

–

––f p ⎯→ B –1 =

/ /131

1 210

3 23

1

–

–

––f p

b) AX = B → A –1 AX = A –1B → X = A –1B

X = A –1B = 302

614

101

202

111

031

402

413

19313–

– –

–

– –=f f fp p p

XB = A → XBB –1 = AB –1 → X = AB –1

X = AB –1 = / / / /1

02

210

103

131

1 210

3 23

1

435

3 211

7 23

6

–

–

––

– –

––=f f fp p p


41


16 Calcula la inversa de las siguientes matrices:

A = f111

210

011– –p B = f

752

11

1

21

0

–

–– – p

| A | = 111

210

011– –

= –1

αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |

AA11– = (Aj i )

8 8 8 A122

011

121

122

011

121

101

212

211

101

212

211

–– –

–

–––

––

–––

–– –

– –1– =f f f fp p p p

| B | = 752

111

210

–

–– – = 1

αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |

BB11– = (Bj i )

8 8 8 B121

243

352

121

243

352

123

245

132

123

245

132

––

–– 1– =f f f fp p p p

17 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no son regulares y calcula:

a) A –1 si t = 1. b) B –1 si t = 2.

A = f tt

101

0

3

44

–p B = f

t

t11

010

01p

a) | A | = t 2 + 4t – 12 = 0 → t = ± ± ±2

4 16 482

4 642

4 8– – –+ = = tt

26–

==

A no es invertible para t = 2 ni para t = – 6.

Calculamos A –1 para t = 1:

A = 101

013

441–

f p → | A | = –7

αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |

AA11– = (Aj i )

8 8 8 A11124

454

131

1112

4

454

131

114

1

1253

44

171

114

1

1253

44

1

–––

–

–

–

––

––

–

–– –

––

–


b) | B | = 1 – t 2 = 0 tt

11–=

=

B no es invertible para t = 1 ni para t = –1.


42


Calculamos B –1 para t = 2:

B = 112

010

201

f p → | B | = –3

αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |

BB11– = (Bj i )

8 8 8 B102

132

201

102

132

201

112

030

221

31

112

030

221–

––

–

–

––

–––

–– –

––

1– =f f f fp p p p

Para resolver

18 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) y z

x y mzx z

7 5 73 4 17 5 7

––

+ =+ + =

+ =* b)

mx y zx y zx y z

12 1

3 4 2 3

––

– –

+ =+ =

+ =*

c) x y zx y zx y z m

2 12 3

5 5 2

–––

+ =+ =+ =

* d) x y zx y mz

mx

62 2 6

0

+ + =+ + =

=*

a)

y zx y mzx z

7 5 73 4 17 5 7

––

+ =+ + =

+ =4 A' = m

037

740

5

5

717

––f p

A

El sistema tendrá solución si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché. Buscamos los valores que hacen | A | = 0:

| A | = m037

740

5

5 = 49m – 245 = 0 → m = 5

• Sim = 5 → 03

74 ≠ 0 → ran (A ) = 2

037

740

717

–– = – 49 + 196 – 147 = 0 → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3, el sistema es compatible determinado.

b)

mx y zx y zx y z

12 1

3 4 2 3

––

– –

+ =+ =

+ =4 A' =

m13

124

112

113

––

– –f p

A

| A | = m13

124

112

––

– = 4m – 4 + 3 – 6 – 4m + 2 = –5

Como | A | ≠ 0 para cualquier valor de m, ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible deter-minado para todo m.


43


c)

x y zx y zx y z m

2 12 3

5 5 2

–––

+ =+ =+ =

4 A' = m

215

125

112

13–

–

–f p

A

| A | = 215

125

112

––

– = – 8 + 5 + 5 – 10 + 10 – 2 = 0

21

12– ≠ 0 → ran (A ) = 2

m

215

125

13–

–

– = – 4m – 5 + 15 + 10 + 30 – m = –5m + 50 = 0 → m = 10

• Sim = 10 → ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 10 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

d)

x y zx y mz

mx

62 2 6

0

+ + =+ + =

=4 A' =

mm

12

120

1

0

660

f p

A

| A | = m

m12

120

1

0 = m (m – 2) = 0

mm

02

==

• Sim = 0 → A' = 120

120

100

660

f p

12

10 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 → El sistema es compatible indeterminado.

• Sim = 2 → A' = 122

120

120

660

f p

22

20 ≠ 0;

122

120

660

≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.

• Sim ≠ 0 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

19 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:

a) x ay zx y zx y z

2 4 07 0

12 0

–

–

+ =+ + =

+ =* b)

x zay z

x y az

03 0

4 0

–

–

=+ =

+ =*

a) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles porque ran (A ) = ran (A' ). Pueden tener solu-ción única o infinitas soluciones. Estudiamos el rango de A :

| A | = a2

11

11

4712

–

– = 24 – 4 – 7a – 4 + 14 + 12a = 5a + 30 = 0 → a = – 6


44


• Sia = – 6 → ran (A ) = ran (A' ) = 2, porque 11

11– ≠ 0.

El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ – 6 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado.

b) | A | = 104

011

131

–

– = –a 2 + 4a – 3 = 0

aa

13

==

• Sia = 1 → A = 104

011

131

–

–f p , 1

001 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado.

• Sia = 3 → A = 104

031

131

–

–f p , 1

003 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 El sistema es compatible determinado.

20 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones?:

a) xxx

yayy

zzz

32

2 352

24

2

– –– –+

+ +

===

* b) xxx

yy

ay

zazz

aa2

1

1

–+++

+++

===

*a)

xxx

yayy

zzz

32

2 352

24

2

– –– –+

+ +

===

4 A' = a321

2

1

352

24

2

– –– –f p

A

| A | = 9a + 27 = 0 → a = –3• Sia = –3, queda:

A' = 321

231

352

24

2

––

–– –f p

Como 32

23

–– = –5 y

321

231

24

2

–– – = 20, entonces ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3.

El sistema es incompatible.• Sia ≠ –3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones.

b)

xxx

yy

ay

zazz

aa2

1

1

–+++

+++

===

4 A' = a

aa

a121

11

1

1

1

1

–f p

A

| A | = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = ± ±2

3 9 82

3 1–

– ––

–= aa

12

==


45


• Sia = 1, queda:

A' = 121

111

111

011

f p La 1.ª y la 3.ª ecuaciones son contradictorias, luego el sistema es incompatible.

• Sia = 2, queda:

A' = 121

112

121

121

f p Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales, y 12

11 = –1 ≠ 0.

A

Por tanto, ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.

21 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:

a) xxx

yyy

zz

az

2

324

3000

–

–––

++ =

==

* b) x

axx

y

y

zz

az22

000–

+ +++

===

* c) ax

xx

yyy

zzz3

210 4

000

–+++

++

===

* d) xxx

yyy

zaz

z

343

324 6

000

––

+++ +

===

*a)

xxx

yyy

zz

az

2

324

3000

–

–––

++ =

==4 A =

a

213

124

13

–

–––

f p

Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).

| A | = –5a – 25 = 0 → a = –5

• Sia = –5 → Como 21

12–

= 5 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ –5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.

El sistema es compatible determinado, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

b)

xaxx

y

y

zz

az22

000–

+ +++

===4 A = a

a

1

2

101

12

–f p


| A | = –a 2 – a + 6 = 0 → a = ± ±2

1 1 242

1 5– –

+ = aa

32–=

=

• Sia = –3 o a = 2 → Como 10

12 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.



46


c)

axxx

yyy

zzz3

210 4

000

–+++

++

===4 A =

a13

1210

114

–f p


| A | = –2a – 5 = 0 → a = 25–

• Sia = – 25 → Como

12

11–

= 3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ – 25 → ran (A ) = ran (A' ) = 3


d)

xxx

yyy

zazz

343

324 6

000

––

+++ +

===4 A = a

343

324

1

6

––f p → | A | = 3a – 46 = 0 → a =

346

• Sia = 346 → Como

34

32 = – 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Sia ≠ 346 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.


22 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) mx

xx

yyy

zz

mzm4

2–

++

+++

===

* b) xxx

yy

my

zmz

z

mm2

1

1

–+++

+++

===

* c) xxx

ymy

y

zzz2

2

3

3

4

002

+++

+++

===

*

d) xx

mx

myyy

zzz

3454

+++

+++

===

* e)

xx

x

yyy

zzz

mz

32

2 3125–

––––

+++

+

====

* f )

xxxx

yyyy

zzzz

m

m

22

2

1

0

––

–––

+

+

++

====

*a)

mxxx

yyy

zz

mzm4

2–

++

+++

===4 A' =

m

mm1

1

111

11

4

2–f p

A

| A | = m 2 – 1 = 0 mm

11–

==

• Sim = 1, queda:

A' = 111

111

111

412–

f p Contradictorias → Sistema incompatible.

• Sim = –1, queda:

A' = 111

111

111

412

–

– ––f p Contradictorias → Sistema incompatible.

• Sim ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.


47


b)

xxx

yy

my

zmz

z

mm2

1

1

–+++

+++

===

4 A' = m

mm

m121

11

1

1

1

1

–f p

A

| A | = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = ± ±2

3 9 82

3 1–

– ––

–= mm

12

==

• Sim = 1, queda:

A' = 121

111

111

011


• Sim = 2, queda:

A' = 121

112

121

121

f p . Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales.

A

Como 12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A ) = 2 < n.º de incógnitas.


• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.


c)

xxx

ymy

y

zzz2

2

3

3

4

002

+++

+++

===4 A' = m

112

2

3

314

002

f p

A

| A | = –2m + 2 = 0 → m = 1

• Sim = 1, queda:

A' = 112

213

314

002

f p

Como 11

21 = –1 y

112

213

002

= –2 ≠ 0, entonces: ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3


• Sim ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

d)

xx

mx

myyy

zzz

3454

+++

+++

===4 A' =

m

m11 3

1

111

454

f p

A

| A | = m 2 – 4m + 3 = 0 → m = ± ± ±2

4 16 122

4 42

4 2– = = mm

31

==


48


• Sim = 3, queda:

A' = 113

331

111

454


• Sim = 1, queda:

A' = 111

131

111

454

f p . La 1.ª y la 3.ª fila son iguales.

Además, 11

13 = 2 ≠ 0. Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

Página 103

23 Dada la matriz A = f xx

104

0

1

13

–

–p, halla:

a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.

b) La inversa de A para x = 2.

a) xx

104

0

1

13–

– = –x 2 + 4x – 3 = 0 → x = 3, x = 1

A posee inversa si x ≠ 3 y x ≠ 1.

b) | A | = 104

021

132

–

– = 1

αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |

AA11– = (Aj i )

8 8 8 A712

1223

812

712

1223

812

712

8

121

232

712

8

121

232

– – – ––

–

––

–

–

–

––

–

–

–


24 Dada la matriz A = f223

133

122– – –p:

a) Calcula A (2I – A ).

b) Justifica si existen las matrices inversas de A y 2I – A.

c) ¿Para qué valor de k se verifica A –1 = kI – A ?

a) A (2I – A ) = 223

133

122

2100

010

001

223

133

122

223

133

122

023

113

124

100

010

001– – –

–– – – – – –

–––

––= =f f f f f f fp p pp p p p

b) A (2I – A ) = I → A y 2I – A tienen inversa y cada una es la inversa de la otra: A –1 = 2I – A (2I – A )–1 = Ac) k = 2


49


25 Dada A = 21

32

e o, halla X tal que AXA = 12

13

e o.

AXA = 8 X A A12

13

12

13

1 1– –=e eo o

Calculamos A –1:

21

32 1=

A = ( ) ( )8 8 8A A A21

32

23

12

23

12

21

32–

––

–ij ji

1–= = =e e e eo o o o

X = 21

32

12

13

21

32

11

21–

––

– – –=e e e eo o o o

26 Dadas las matrices A = 11

12–

–e o y B = 21

10

e o, encuentra la matriz X tal que AXB = 10

31–

e o.

AXB = 10

31–

e o → A –1AXBB –1 = A –1 10

31–

e o B –1 → X = A –1 10

31–

e oB –1

Calculamos A –1:

11

12 1––

=

A = ( ) ( )8 8 8A A A11

12

21

11

21

11

21

11–

––

–ij ji

1–= = =e e e eo o o o

Calculamos B –1:

21

10 1–=

B = ( ) ( )8 8 8B B B21

10

01

12

01

12

01

12–

––jiij

1–= = =e e e eo o o o

X = 21

11

10

31

01

12

52

83– –

––=e e e eo o o o

27 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:

A = 34

23

e o B = 21

32

e o C = 11

11

e o

AXB = C → A –1AXBB –1 = A –1CB –1 → X = A –1CB –1

Calculamos A –1 y B –1 (| A | = 1 y | B | = 1 → existen A –1 y B –1):

(αij) = ( ) ( )8 8 8A A A32

43

32

43

34

23

34

23–

––

––

–ij ji

1–= = =f f e ep p o o

(αij) = ( ) ( )8 8 8B B B23

12

23

12

21

32

21

32–

––

––

–ij ji

1–= = =e e e eo o o o

Por tanto:

X = A –1CB –1 = 34

23

11

11

21

32

11

11

21

32

11

11–

––

–– – –

––

–= =e e e e e eo o o o o o


50


28 Dadas las matrices:

A = 2

101

15

––

e o B = 31

01

10

–e o C = 13

21–

e o D = 82

––f p

halla la matriz X que verifica (AB t + C )X = D.

(AB t + C )X = D → (AB t + C )–1 (AB t + C )X = (AB t + C )–1D → X = (AB t + C )–1D

• SeaE = AB t + C = 21

01

15

301

110

13

21

72

20

13

21

61

01

––

––

––

––

––+ = + =e f e e e eo p o o o o

•Calculamos E –1 (| E | = 6 ≠ 0 → existe E –1):

(αij) = ( ) ( )8 8 8E E E10

16

10

16

11

06 6

1 11

06

––

– ––

–– –

–– –ij ji

1–= = =e e e eo o o o

• Portanto:

X = (AB t + C )–1D = E –1D = //6

1 11

06

4 310 3

82 6

1 820

–– –

–– = =e e e fo o o p

29 Halla X tal que 3AX = B, siendo:

A = f101

010

211p B = f

111

001

211p

3AX = B → X = 31 A –1B

Calculamos A –1 (| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1):

(αij) = ( ) ( )8 8 8A A A102

111

101

102

111

101

111

010

21

1

11

1

010

211–

––

–

–––

–

––

––

––

–ij ji

1–= = =f f f fp p p pPor tanto:

X = ·//

/// /

31

111

010

211

111

001

211

31

110

211

001

1 31 30

2 31 31 3

00

1 3

––

– – –= =f f f fp p p p

30 Dadas las siguientes matrices:

A = m00

420

441

f p B = 11

10

21

–e o C = 01

12

11–

e o

a) ¿Para qué valores de m existe A –1?

b) Para m = 1, halla la matriz X tal que XA + B = C.

a) | A | = mm00

2421

441

=

Existe A –1 si m ≠ 0.

b) XA + B = C → XA = C – B → X = (C – B )A –1

/100 1

100 1

420

44

21 20

42

––

1–

=f fp p


51


C – B = 01

12

11

11

10

21

10

22

12–

––

– ––=e e eo o o

X = (C – B )A –1 = /100

21 20

421

36

10

22

12

10 1

9–– –

– ––

– –=e f eo p o

31 Sean las matrices A = k1

0 121–

e o y B = fk0

13

12p.

a) Determina para qué valores de k la matriz AB tiene inversa.

b) Resuelve la ecuación ABX = 3I para k = 0, donde I es la matriz unidad de orden 2.

a) AB = k k k k1

0211

013

12

62

2 41– =

+ +e f eo p o

8k k

k k6

22 4

1 3 2 032– – –

+ += = =

Existe (AB )–1 para k ≠ – 32 .

b) ABX = 3I → X = 3(AB )–1

k = 0 → AB = 62

41

e o

62

41

1–

=e o /1 2

123

––

e o

X = / /

31 21

23

3 23

69

––

––= ee oo

32 Escribe en la forma habitual estos sistemas y resuélvelos si es posible:

a) 11

31

21– –

e o fx

y

zp =

40e o b) f

132

111

––

p xye o = f

401p

a) l

lxx

yy

xz

x yx y

3 2 40

3 4 2– –

––

+ + ==

+ ==4 4

x =

ll l l11

31

4 2 31

44

44

–

––

–– –= = + ; y =

ll l l

4

11

4 2

44 3

44 3

–

–

–– –= + =

Soluciones: x = l4

4 + , y = l4

4 3– , z = λ

b)

xxx

yyy

32

401

––

+ ===4

13

11– ≠ 0 → ran (A ) = 2

132

111

401

––

= – 8 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.


52


33 Escribe las ecuaciones lineales del sistema AX = B, siendo A = f131

110

401–

–p y B = f

1152p, y

resuélvelo.

AX = B → xyz

131

110

401

1152–

–=f f fp p p

Multiplicando las matrices del primer término:

xxx

yy

z

z3

4 1152

–

–++

+ ===4

Resolvemos el sistema:

A' = 131

110

401

1152–

–f p

A B

| A | = 8 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Sistema compatible determinado.

x = 8

1152

110

401

88 1

–

= = ; y = 8

131

1152

401

816 2– = = ; z =

8

131

110

1152

824 3–

–

= =

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

34 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

a) x

x

yyy

zz

2

23

202

+

+++

===

* b) xxx

yyy

zzz

22 3

32

1–

–

––

++ +

===

* c) x

x

yy z

z

12

3

––

+++

===

* d) x

x

yyy

zzz

232 2

344

+

+

+++

===

*

a)

x

x

yyy

zz

2

23

202

+

+++

===

_

`

a

bb

bb ·

xyz

202

111

031

202

=f f fp p p

A · X = B

| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:

αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

/ /

8 8 8 A213

626

202

213

626

202

262

120

36

2

131

1 210

3 23

1

– – – ––

–

– –

–

––

–

–


Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = / /1

31

1 210

3 231

20

1002

–

–

–– · =f f fp p p

Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0


53


b)

xxx

yyy

zzz

22 3

32

1–

–

––

++ +

===4 ·

xyz

121

112

113

321–

–

––=f f fp p p

A · X = B


αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

8 8 8 A152

723

531

152

723

531

175

523

231

111

175

523

231

––

––

–––

–––

–

–

–

–– –

–

–

–– –

–

1– =f f f fp p p p Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·111

175

523

231

321

111

112222

122

–

–– –

––

–

–

–

–= =f f f fp p p p

Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2

c)

x

x

yy z

z

12

3

––

+++

===4

xyz

101

110

011

123

·––=f f fp p p

A · X = B


αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

8 8 8 A111

111

111

111

111

111

111

111

111

21

111

111

111

– –– –

–

–

–

––

–


Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·1111

111

111

12 1

46

22

32

231–

––

–– – –= =f f f fp p p p

Por tanto: x = 2, y = –3, z = 1

d)

x

x

yyy

zzz

232 2

344

+

+

+++

===4

xyz

101

232

112

344

· =f f fp p p

A · X = B


αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

8 8 8 A421

111

303

421

111

303

413

210

113

31

413

210

113–

– ––– –

–

–

– ––

–

– ––1– =f f f fp p p p

Luego:

A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·31

413

210

113

1

1

344

3

033

01

–

– –– = =f f f fp p p p

Por tanto: x = 0, y = 1, z = 1


54


35 Resuelve el siguiente sistema:

f211

011

52

1–– p f

x

y

zp + f

312

–p = f

41

1– p

·xyz

211

011

521

721–

– ––

=f f fp p p

A · X = B


αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

8 8 8 A355

179

222

355

179

222

312

572

592

161

312

572

592

––

–

– ––

–

–

–

–1– =f f f fp p p p

Por tanto:

A · X = B → X = A –1 · B = ·161

312

572

592

721

161

161616

111–

–––

– –= =f f f fp p p pLuego: x = 1, y = –1, z = 1

36 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas:

a) xxx

ayyy

zaz

z

aaa

1

–

–––

++

===

+*

b) ( )( )

x zy a z

x a y az a

11 0

1–

–

+ =+ =

+ + =*

a) | A | = a

a111

11

1

1–

–––

= 1 – a 2 → 1 – a 2 = 0 → a = ±1

• Sia ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos usando la regla de Cramer:

; ;xa

a a ya

za1

11

11

2–

––

2

2= + + =+

=

• Sia = –1:

xxx

yyy

zzz

11

0

–

–

–––

–+

===

+ 4 11

11–

= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la 4.ª columna y la 3.ª fila:

111

111

011

–

–––

= –2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.


55


• Sia = 1:

xxx

yyy

zzz

11

2

–

–

–+ +

===

+4 1

111– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


111

111

211–

= –2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3


Interpretación geométrica:

• Sia ≠ –1 y a ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.

• Sia = –1, el primer y el tercer plano son paralelos y el segundo los corta.

• Sia = 1, el primer y el segundo plano son paralelos y el tercero los corta.

b) | A | = a

aa

101

01

1

11

–– = –a 2 + 3a – 2 → a 2 – 3a + 2 = 0 → a = 2, a = 1

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

Usando la regla de Cramer:

x = ; ;aa y

aa z

a21

21

21

––

–– –

–= =

• Sia = 1:

x z

yx z

101

+ ==

+ =4

Las ecuaciones 1.ª y 3.ª son iguales. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segun-do miembro como parámetro.

x z

y10

+ ==4

Soluciones: x = 1 – λ, y = 0, z = λ

• Sia = 2:

x z

y zx y z

10

2 2

+ =+ =

+ + =4

10

01 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2


101

011

102

= 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3


Interpretación geométrica:

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, tenemos tres planos que se cortan en un punto.

• Sia = 1, dos planos son coincidentes y se cortan en una recta con el tercero.

• Sia = 2, los planos se cortan dos a dos.


56


37 Sea la matriz: A = fmmm

mm m

111

122

02

1

–––

++ +

p

a) Determina para qué valores de m la matriz es singular.

b) Resuelve, si es posible, el siguiente sistema para m = 1 y m = –1:

A f

x

y

zp = f

288p

a) | A | = ( ) ( )mmm

mm m

m mm m

m mm m

111

122

02

11

111

122

02

11

111

011

02

1

–––

– –++ +

= ++ +

= ++ +

=

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm

m mm

m m1 1111

011

02

11 1

111

011

00

11 1– –

–– 2+

+= + = + = 0 → m = ±1

A es singular para m = –1 y m = 1.

b)•Sim = –1 → A = 222

111

020

–––f p

El sistema queda:

x yx y zx y

2 22 2 82 8

11

02

–––

+ =+ + =+ =

4 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2


111

020

288

= 12 ≠ 0 → ran (A' ) = 3


• Sim = 1 → A = 000

133

022

f p El sistema queda:

yy zy z

23 2 83 2 8

=+ =+ =

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son iguales.

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos x como parámetro.

yy z

23 2 8

=+ =

4

Soluciones: x = λ, y = 2, z = 1


57


38 a) Considera la matriz A = 12

01

11

–e o y calcula el rango de las matrices AA t y A tA.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A tA.

c) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AA t.

a) A = 12

01

11–e o → A t =

101

211–

f p

A · A t = ·12

01

11

101

211

21

16

–

–=e f eo p o → ran (AA t ) = 2

A t · A = ·101

211

12

01

11

521

211

112–

–=f e fp o p → ran (A t A ) = 2

b) Como el rango es 2, seleccionamos el menor:

52

21 = 1 ≠ 0

Podemos suprimir la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x y zx y z

5 22

––

+ =+ =

4 → x = z, y = –3z

Soluciones: x = λ, y = –3λ, z = λc) Como ran (AA t ) = 2 = n.º de incógnitas, el sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0.

Página 104

39 Dada la matriz:

A = f11

1

110

021

– p

determina B para que se verifique B – I = A tA–1.

A = 111

110

021

–f p ; A t = 110

112

101

–f p

Calculamos A –1:


αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )

·8 8 8 A112

312

112

112

312

112

131

111

221

41

131

111

222

– –– –

–

–

–

––

–


Calculamos A t · A –1:

A t · A –1 = · · ·41

110

112

101

131

111

222

41

345

103

602

–

–

––

– –

–=f f fp p p

B = A t · A –1 + I = · ·41

345

103

602

100

010

001

41

145

145

602

– –

–

–+ =f f fp p p


58


40 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro que contienen:

a) A = f

k kk

k351 0

1002

2001

––

p b) B = f k k1

1

3

3

333

11

0–– p c) C = f

kk

k1

1

11

1

2

1

01– –

–p d) D =

t t t

12

116

11

3

00

9–

––– –

f p

a) | A | =

k kkk

351 0

1002

2001

–– –

=

filas(1.ª) – 2 · (4.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª)

k kkk

k kkk

2351 0

5002

0001

235

500

––

––

––

( ) ( )1 2= =

= kk5

35–

– = – 40k = 0 → k = 0

(1) Desarrollamos por la 4.ª columna. (2) Desarrollamos por la 3.ª columna.

•Sik = 0 → A = ≠8

0351

0000

1002

2001

051

102

201

0

––f p → ran (A ) = 3

•Sik ≠ 0 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 4

b) k k1

1

3

3

333–

= 6k – 18 → 6k – 18 = 0 → k = 3

•Sik = 3 → B = 8131

333

333

110

131

333

110–

––

–f p = 18 ≠ 0 → ran (B ) = 3

•Sik ≠ 3 → ran (B ) = 3

Por tanto, ran (B ) = 3 para cualquier valor de k.

c) Observamos que ran (C ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.

11

01– = 1 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2

kk

111

2

1

01–

– = k 2 – 2k – 3 = 0

kk

31–

==

; k

k11

111

01– – = –k 2 + 1 = 0

kk

11–

==

•Sik = –1 → ran (C ) = 2

•Sik ≠ –1 → ran (C ) = 3

d) Observamos que ran (D ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.

12

11 = –1 ≠ 0 → ran (D ) ≥ 2

t t

12

116

11

3–

–––

= t – 9 = 0 → t = 9; t t

12

116

00

9– – = t – 9 = 0 → t = 9

•Sit ≠ 9 → ran (D ) = 3

•Sit = 9 → ran (D ) = 2


59


41 Calcula el rango de estas matrices en función del parámetro t :

a) A = ft

t t22

1

1

1

1

212

2 p b) B = ft

t

tt t

t2

2 11

0

013

–– –+

+ p

c) C = f

t

t

t

tt

32

12

3030

21

2

–– –

++ p d) D = f t

521

242

184

9

2––

–p

a) Observamos que ran (A ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.

22

12 = 2 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2

t

t22

1

1

212

= 2t 2 – 5t + 2 = 0 t

t

2

21

=

=;

tt2

2

1

1

212

2 = 2t 3 – 4t 2 – t + 2 = 0 ±

t

t

2

21

=

=

•Sit = 2 → ran (A ) = 2

•Sit ≠ 2 → ran (A ) = 3

b) | |Bt

t

tt t

t2

2 11

0

013

–– –

=+

+ = t (t 2 – 3t + 2) = 0 tt

t12

0==

=

•Sit = 0 → B = 8021

010

013

21

10–

–f p = –1 ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit = 1 → B = 8123

120

004

23

20

–f p = – 6 ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit = 2 → B = 8225

230

015

22

23

–f p = 2 ≠ 0 → ran (B ) = 2

•Sit ≠ 0, t ≠ 1 y t ≠ 2 → ran (B ) = 3

c) Observamos que ran (C ) ≤ 3 porque solo hay tres columnas.

21

03

– = – 6 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2

t t

t

321

303

21

2

–– –

+ = –9t + 18 = 0 → t = 2;

tt

t

21

2

030

12

– –

++ = –3t + 6 = 0 → t = 2

•Sit = 2 → ran (C ) = 2

•Sit ≠ 2 → ran (C ) = 3

d) Observamos que ran (D ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.

52

24– = –24 ≠ 0 → ran (D ) ≥ 2

521

242

184

––

– = 0; t

521

242

9

2––

= 24 – 6t = 0 → t = 4

•Sit ≠ 4 → ran (D ) = 3

•Sit = 4 → ran (D ) = 2


60


42 Dada la matriz A = fx

xx

11

1

1

11

––

–p:

a) Resuelve la ecuación | A | = 0.

b) Calcula el rango de la matriz A según los valores de x.

a) | A | = x

xx

11

1

1

11

––

– = –x 3 + 3x + 2 = 0 → x = –1, x = 2

b) Si x = –1 → A = 111

111

111

f p → ran (A ) = 1

Si x = 2 → A = ≠8211

121

112

3 021

12

––

–

–– =f p → ran (A ) = 2

Si x ≠ –1 y x ≠ 2 → ran (A ) = 3

43 Dada la matriz A = f110

010

001p:

a) Encuentra la expresión general de A n donde n es un número natural cualquiera.

b) Razona que A n tiene inversa para cualquier n ≥ 1 y calcula dicha matriz inversa.

a) A 2 = ·110

010

001

110

010

001

110

010

001

120

010

001

2

= =f f f fp p p p

A 3 = A 2 · A = ·120

010

001

110

010

001

130

010

001

=f f fp p p

A n = n1

0

010

001

f p

b) | A n | = n1

0

010

001

= 1 ≠ 0 → A n tiene inversa.

n n1

0

010

001

1

0

010

001

–

1–

=f fp p

44 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:

a) ax

x

yy

ayaz2

000–

–+

++

===

* b) mx

xx

ymy

y

zzz2

010

– –+

+

+

+

===

*a)

ax

x

yy

ayaz2

000–

–+

++

===

_

`

a

bb

bb Este sistema es compatible por ser homogéneo.

A = a

aa0

1

11 2

0

0

––f p


61


| A | = a

aa0

1

11

020–

– = –2a 3 – 2a = 0 → a = 0

• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Solución: x = 0, y = 0, z = 0• Sia = 0:

yyx

000

––

===4

Las dos primeras ecuaciones son equivalentes. El sistema queda:

yx

00–

==3 Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = 0, y = 0, z = λ

b)

mxxx

ymy

y

zzz2

010

– –+

+

+

+

===4

A = m

m12

1

1

11

1– –f p

| A | = m

m12

1

1

111

– – = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = 2, m = 1

• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.

Utilizando la regla de Cramer: x = , ,ym

zm

01

11

1–– –

= =

• Sim = 1:

A = 112

111

111

– –f p → 11

11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la última columna.

112

111

010

– = 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

• Sim = 2:

A = 212

121

111

– –f p → 21

12– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2

Añadimos la última columna.

212

121

010

– = 0 → ran (A' ) = 2

Sistema compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segun-do miembro como parámetro.

xx

yy

zz

22

01– –

+ + ==4

Soluciones: x = , ,l l ly z5

15

3 2– – –= =


62


45 Discute y resuelve los siguientes sistemas:

a) l

l lx

xyy

zzz3

2 0

5–

+

+

+

===

* b) mx

xx

ymy

y

zm z

z22

212

2+++

+++

===

*

a)

ll l

x

xyy

zzz3

2 0

5–

+

+ +

===4 | A | =

ll l l0

1

0

3

211– 2= + = 0 → λ = –1, λ = 0

• Siλ ≠ –1 y λ ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer obtenemos la solución :

x = ; ;l l

ll

ly z1

413

12–

+=

++ =

+• Siλ = 0:

zz

x y z

2 00

3 5–

==

+ + =

+4

Las dos primeras ecuaciones son equivalentes.

z

x y z0

3 5– =

+ + =4

Sistema compatible indeterminado. Pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –3μ + 5, y = μ, z = 0• Siλ = –1:

x z

y zx y z

2 01

3 5

–– – –+ =

=+ + =

4 A = 101

013

211

–– –f p →

10

01

–– = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

101

013

015

–– – = 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Sistema incompatible.b)

mxxx

ymy

y

zm z

z22

212

2+++

+++

===4 | A | =

mm m2

2

1

1

1

1

2 = –m 3 + 3m 2 – 2m = 0 mm

m02

1==

=

• Sim ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usamos la regla de Cramer y obtenemos la solución :

x = 0; y = ;m mm z

m mm2 1 2 1–

––

––

2

2

2=

• Param = 0, la matriz de coeficientes es:

A = 8022

101

101

02

10f p = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

022

101

212

= 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Sistema incompatible.


63



A = 122

111

111

f p → 12

11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

122

111

212

= –1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Sistema incompatible.


A = 8222

121

141

22

12f p = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2

222

121

212

= 0 → ran (A' ) = 2

Sistema compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras filas y pasamos z al segundo miembro como parámetro.

xx

yy

zz

22 2 4

21

++

++

==4

Soluciones: x = λ + 23 , y = –3λ – 1, z = λ

46 Discute el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible, en el caso a = 4:

( )

x y ax a z ax y a a z a

y 2 11 2

–

– –– 2

=+ = ++ =

*

| A | = ( )

aa a

111

101

0

1

–

– –

2 = a(a – 1) = 0 → a = 0, a = 1

• Sia ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → El sistema es compatible determinado.

• Sia = 0 → A = 111

101

000

–

–f p →

11

10–

= 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

111

101

010

–

– = 0 → ran (A' ) = 2


• Sia = 1 → A = 111

101

000

–

–f p →

11

10–

= 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2

111

101

132

–

– = 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

El sistema es incompatible.• Sia = 4, se trata de un sistema compatible determinado. Lo resolvemos por Cramer:

Solución: x = , ,y z311

31

31–= =


64


Cuestiones teóricas

47 ¿Verdadero o falso? Justifica las respuestas y pon ejemplos.

a) Si c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que

|c1 c2 c3| = 5, entonces:

i) |c2 2c3 c1| = 10

ii) |c1 + c2 c2 – c1 c3| = 0

iii) |c1 + c3 c2 c3 + c1| = 5

iv) |–c2 2c1 – c3 c3 + c2| = 10

b ) El sistema 11

23

01

e o fx

y

zp

ab=c m es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b.

c) Si el determinante de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es distinto de cero, el sistema tiene solución única.

d) Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

a) i) Verdadero: ( )c c c c c c c c c2 2 1 2 10–2 3 1 2 3 1

21 2 3= = =

ii) Falso: c c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 10–1 2 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3+ = + = + = = iii) Falso: c c c c c c c c 0 01 3 2 3 1 1 3 2+ + = + = iv) Verdadero: c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 2– – – – – –2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3+ = = = =

( ) ( )c c c c c c2 1 2 10– – –2 1 3 1 2 3= = =

b) Verdadero, ran (A ) = 2, y como solo hay dos filas, A' no puede tener más rango. Es compatible determinado para cualquier valor de a y b.

c) Falso, puede ser también incompatible. Por ejemplo:

x y zy zy z

x y

02 2 33 3 1

1– –

+ + =+ =+ =

=

4 Tiene | A' | = 7 ≠ 0, pero ran (A ) = 3 → El sistema es incompatible.

d) Falso, puede ser también incompatible. Por ejemplo:

x y zx y zx y z

32 2 2 43 3 3 5

+ + =+ + =+ + =

4 ran (A ) = 1, ran (A' ) = 2


65


48 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede ser compatible?

b) ¿Puede tener solución única?

c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A ) = ran (A' ) < n.º de incógnitas.

b) No, pues al ser ran (A ) < n.º de incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado.

c) Sí, si es compatible, pasando al segundo miembro las incógnitas que sea necesario.

49 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones y tres incóg-nitas es igual a 3. ¿Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta.

Al ser el sistema homogéneo con 3 incognitas, tenemos que:

ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3

El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

Página 105

50 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada?

Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango 2.

51 Si en un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas se verifica que ran (A ) = ran (A' ) = 2, ¿se puede aplicar la regla de Cramer? En caso afirmativo, explica las transformaciones que hay que hacer en el sistema para aplicarla.

Sí se puede aplicar la regla de Cramer. Para ello, nos tenemos que quedar solo con las dos ecuaciones y las dos incógnitas con las que hemos formado el menor de orden 2 distinto de cero. Las dos incógnitas sobrantes pasan como parámetros al segundo miembro.

52 Sean A = f110

21

3– p, B = f

a

b

cp y C = f

ab

c

3

3

+

+p.

Justifica que si el sistema AX = B es compatible determinado, entonces el sistema AX = C tam-bién lo es.

Si AX = B es compatible determinado, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2.

Para ello, el siguiente determinante debe ser igual a cero:

abc

110

213– = 3a – 3b – 3c = 0

Calculamos el determinante de la matriz ampliada correspondiente al sistema AX = C :

a

bc

110

21

3

3

3–

+

+ = 3a – 3b – 3c

Los dos determinantes calculados tienen el mismo valor, luego este último vale cero. Por tanto, el sistema AX = C es compatible determinado ya que también verifica que ran (A ) = ran (A' ) = 2.


66


53 a) Demuestra que el siguiente sistema de ecuaciones tiene siempre solución para cualquier valor de α y β:

( )a b a

ba b

xxx

y zzz 3

–

– –

++

+ ===

*b) ¿Es posible que tenga infinitas soluciones para algún valor de α y β?

a)

( )a b aba b

xxx

y zzz 3

–

– –

++

+ ===

4 A' = a b a

ba b

111

100

11 3

–

– –

+f p

A

| A | = a b1

11

100

11

11

11

–

––

+= = –2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.

b) Por el apartado anterior sabemos que el sistema será siempre compatible determinado, luego la solu-ción siempre será única. No puede haber infinitas soluciones.

Para profundizar

54 Discute, en función de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones:

x ay zx y zx y z b

2 33 18 4

– – ––

+ + ==

+ + =*

| A | = a1

11

38

214–

– – = 6 – 3a = 0 → a = 2

• Sia ≠ 2 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.

• Sia = 2, el sistema queda:

x y zx y zx y z b

2 2 33 18 4

– – ––

+ + ==

+ + =4

11

23– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2

b

111

238

31

–– – = 25 – 5b = 0 → b = 5

Si b ≠ 5 → ran (A' ) = –3 ≠ ran (A ) = 2 → Sistema incompatible.

Si b = 5 → ran (A' ) = 2 = ran (A ) → Sistema compatible indeterminado.


67


55 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:

a)

kxxxx

kykyky

z

z

35

2

2001

––+

++

====

* b)

xmx

x

y

myy

zzzz

m

32

50

0––

+ ++

+

====

*a)

kxxxx

kykyky

z

z

35

2

2001

––+

++

====

_

`

a

bb

bb

| A' | =

k kkk

351 0

1002

2001

––

= – 40k = 0 → k = 0

• Sik ≠ 0 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) → Sistema incompatible.

• Sik = 0:

zxxx z

23 05 0

2 1

– ===

+ =

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, nos queda:

z

xx z

23 0

2 1

– ==

+ =4

El determinante de la matriz ampliada en este caso es:

031

102

201

– = 15 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como ran (A ) < 3, el sistema es incompatible.

Este sistema no tiene solución para ningún valor de k.

b)

xmx

x

y

myy

zzzz

m

32

50

0––

+ ++

+

====

_

`

a

bb

bb

| A' | = m

m m

1

01

30

1

1211

50

0–– = 7m – m 2 = 0 → m = 7, m = 0

• Sim ≠ 0 y m ≠ 7 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) → Sistema incompatible.

• Sim = 0:

x y zzz

x y z

3 52 0

00

––

+ + ===

+ =

4


68


Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, por tanto el sistema es equivalente a:

x y z

zx y z

3 52 0

0–

+ + ==

+ =4

El determinante de la matriz de coeficientes en este caso es:

101

301

121–

= 8 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.

Usando la regla de Cramer obtenemos la solución : x = , ,y z45

45 0= =

• Sim = 7:

x y zx z

y zx y z

3 57 2 0

7 70

––

+ + =+ =

=+ =

4 El menor formado por los coeficientes de las tres primeras ecuaciones es:

170

307

121–

= 56 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.

Nos quedamos solo con las tres primeras ecuaciones:

x y zx z

y z

3 57 2 0

7 7–

+ + =+ =

=4

Usando la regla de Cramer obtenemos la solución : x = , ,y z21

45

47– = =

56 Discute los siguientes sistemas:

a) xxx

yyy

zz

az b24

3 22

8–

– –++

+

+

===

* b) xxx

yy

ay

zaz

z

aab

21–+

++

+++

===

* c) xxx

y zzz

abc

3––+

+

===

* d) ax

xx

yay

z

z

bbb

211

–

– –++

+

===

+*a)

xxx

yyy

zz

az b24

3 228

–– –+

+

+

+

===4 A' =

a b

124

131

12

28

–– –f p

A

| A | = 5a = 0 → a = 0 •Sia = 0, queda:

A' = ; ≠ ;b b

124

131

120

28

12

13 5 0

124

131

28

–– –

– ––=f p = 5b + 20 = 0 → b = – 4

— Si a = 0 y b = – 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible indeterminado.

— Si a = 0 y b ≠ – 4 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. •Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible determinado,

cualquiera que sea el valor de b.


69


b)

xxx

yy

ay

zazz

aab

21–+

++

+++

===

4 A' = a

aa

ab

121

11

1

1

1–f p

A

| A | = –(a – 1)(a – 2) = 0 aa

12

==

• Sia = 1, queda:

A' = b

121

111

111

01f p Contradictorias, a no ser que b = 0.

— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible. — Si a = 1 y b = 0, queda:

A' = 121

111

111

010

f p La 1.ª fila y la 3.ª son iguales.

12

11 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → Compatible indeterminado.

• Sia = 2, queda:

A' = b

121

112

121

12f p La 1.ª columna y la 3.ª son iguales.

12

11 ≠ 0 → ran (A ) = 2;

b

121

112

12 = –(b – 1) = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible

indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible deter-

minado para cualquier valor de b.

c)

xxx

y zzz

abc

3––+

+

===4 A' =

abc

111

300

111

––f p

A

| A | = 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c.

d)

axxx

yay

z

z

bbb

211

–

– –++

+

===

+ 4 A' = a

abb

b21

1

0

101

11

–

– –+f p

A

| A | = a 2 – a – 2 = 0 aa

12–=

=

• Sia = –1, queda:

A' = bb

b

121

110

101

11

–

––

– –+f p


70


12

11

–– ≠ 0 → ran (A ) = 2

bb

b

121

110

11

–

––

–+ = –3b = 0 → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = –1 y b = 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible

indeterminado.• Sia = 2, queda:

A' = bb

b

221

120

101

11

–

– –+f p

22

12 ≠ 0 → ran (A ) = 2

bb

b

221

120

11

–

–+ = 3b – 3 = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible

indeterminado.• Sia ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible

determinado para cualquier valor de b.


71


Autoevaluación

Página 105

1 Demuestra que la matriz B (y) no tiene inversa para ningún valor de y.

B (y) = fyyy

3 52 33 4

732

1266

+++

p

| B | = y

y

y

y

y

y

y

y

y

y y

3 52 33 4

732

1266

323

732

1266

534

732

1266

323

732

1266

323

732

1266

0 0·+++

= + = = = =

Luego B( y) no tiene inversa para ningún valor de y.

2 Discute en función de a el siguiente sistema y resuélvelo si a = 3:

x y z aax y z a

x ay z2 3

2 2 6

–––

+ =+ =+ =

*

A' = aa

aa

1

2

12

112

36

–––

f p A| A | = – 4 + a 2 + 2 – 4 + a – 2a = a 2 – a – 6 = 0

aa

23–=

=

• Sia ≠ –2 y a ≠ 3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

• Sia = –2:

A' = 122

122

112

26

6–

–

–––

––f p

12

11

–– = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2;

122

112

26

6

–

–––

–– = 30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Como ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.

• Sia = 3:

A' = 132

123

112

396

–––

f p

13

12–

= 5 ≠ 0 → ran (A ) = 2; 132

123

396

– = 0 → ran (A' ) = 2

Como ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible indeterminado.•Resolvemosahoraelsistemaparaa = 3:

x y zx y zx y z

33 2 92 3 2 6

–––

+ =+ =+ =

4 Sabemos que el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3.a ecuación, pasamos z al segun-

do miembro como parámetro y lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:


72


x y zx y z

33 2 9

– –=+ = +

4

xz zz

13

12

39

12

515

–

– ––=

+= ; y =

zz z

5

13

39

54

–+

=

Soluciones: x = , ,l l ly z5

155

4– = =

3 Determina para qué valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 2.

M = aa

a222

11 1

1

––f p

• Lamatriztendráinversasisudeterminanteesdistintodecero.

| M | = aa

aa

a

a222

11 1

12

1

1

11 1

1

––

––= = –2(a 3 – a) = 0 → –2a(a 2 – 1) = 0 a

a

a1

1

0

–==

=

M tiene inversa si a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ –1.

• Paraa = 2:

M = 242

112

211

––f p ; | M | = –12

(αij) = 351

666

622–

f p → (M ij ) = 351

666

622

––

–––

f p → (M ji ) = 36

6

562

162

––

–––

f p →

→ M –1 = 121– (M ji ) =

///

///

///

1 41 21 2

5 121 21 6

1 121 21 6

–

––

–f p

4 Halla en cada caso la matriz X que verifica la igualdad:

a) A –1 XA = B

b) (A + X )B = 1

siendo A = 32

11– –

e o y B = 12

11

–e o.

a) A –1 X A = B → AA –1 X AA –1 = ABA –1 → X = ABA –1

Calculamos A –1 (| A | = –3 + 2 = –1):

(αij) = 11

23

– –e o → (A ij ) = 11

23

––e o → (A ji ) =

12

13

– –e o → A –1 = | |

( )A

A1 12

13– –ji = e o

X = 32

11

12

11

12

13

54

21

12

13

96

117– –

–– – –

–– – – –= =e e e e e eo o o o o o

b) (A + X )B = I → AB + XB = I → XB = I – AB → XBB –1 = (I – AB ) B –1 →

→ X = (I – AB ) B –1 → X = B –1 – A


73


Calculamos B –1 (| B | = 1 + 2 = 3):

(αij) = 11 1

2–e o → ( Bij ) = ji )(8 B

11

21

12

11

––=e eo o → B –1 = ji )| | (

//

//B B1 1 3

2 31 31 3–= e o

X = //

//

//

//

1 32 3

1 31 3

32

11

8 34 3

2 34 3– – – –

– –=e e eo o o

5 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:

( )xx

ax

ayyy

zaz

z

aa

a

22 1–

+++

+++

===

++*

b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.

a) ( )

xx

ax

ayyy

zazz

aa

a

22 1–

+++

+++

===

++ 4 A' = ( )

a

aa

aaa

11 1

1

1

1

22 1–

++f p

A

| A | = a 3 – 3a + 2 = 0 = (a – 1)2(a + 2) = 0 aa

12–

==

• Sia = 1:

A' = 111

111

111

34

1–f p → Las tres ecuaciones resultantes son contradictorias.

El sistema es incompatible.• Sia = –2:

A' = 112

211

121

022–

––

–f p

Como 11

21–

= 3 y 112

211

022–

–

– = 0, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.


• Sia ≠ 1 y a ≠ –2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.

b) Para a = –1:

A' = 111

111

111

101–

––

–f p y sabemos que | A | = 4.

A

El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

x = 4

101

111

111

42

21–

––

= = ; y = 4

111

101

111

42

21– –

–– –= = ; z =

4

111

111

101

40 0–

–

– = =

Solución: x = , ,y z21

21 0–= =


74


6 Demuestra que no hay valores de m para los que este sistema no tenga solución. Resuélvelo:

xxx

yy

my

zzz

23 2

3

357

+++

+++

===

*

xxx

yy

my

zzz

23 2

3

357

+++

+++

===4 A' =

m

111

23

123

357

f p

A

| A | = 4 – m = 0 → m = 4

• Sim = 4:

A' = 111

234

123

357

f p La 4.ª columna se obtiene sumando la 2.ª y la 3.ª. Luego, ran (A ) = ran (A' ). El sistema es compatible

indeterminado pues:

11

23 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2

Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3.ª ecuación:

x y zx y z

x y zx y z

2 33 2 5

2 33 5 2

––

+ + =+ + =

+ =+ =

4 4

x = ;

zz

z1

35 2

23

1

––

–= + y =

zz

z1

11

35 2

2

––

–=

Soluciones: x = –1 + λ, y = 2 – λ, z = λ

• Sim ≠ 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

Lo resolvemos en este caso:

x = m

mmm

4

357

23

123

44 1

– ––= =

y = m m4

111

357

123

40 0

– –= =

z = ( )m

mmm

mm

4

111

23

357

48 2

42 4 2

– ––

––= = =

Solución: x = 1, y = 0, z = 2

Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.


75


7 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?

La matriz ampliada es una matriz cuadrada de orden 4.

Su rango puede ser 3 (si | A' | = 0) o 4 (si | A' | ≠ 0).

•Siran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema será compatible determinado.

•Siran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → El sistema será incompatible.

8 En un sistema homogéneo de tres ecuaciones y dos incógnitas, la matriz de los coeficientes tiene rango 2.

Di, razonadamente, cuántas soluciones tendrá el sistema.

En un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada siempre coinciden ya que al añadir una columna de ceros no cambia el rango.

Por tanto, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas. El sistema será compatible determinado. Solo tiene una solución que es la trivial: x = 0, y = 0.

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