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C olegio España. Concepción Departamento de Matemática Profesor: Sr. Gonzalo Reyes Montoya Contacto: greyes@cesp.cl

GUÍA DE EJERCITACIÓN

TERCERO MEDIO NIVELACIÓN – OPERATORIA CON NÚMEROS ENTEROS

Nombre: __________________________ Curso: 3º Medio ____ Fecha: __________ Presentación: La siguiente guía de trabajo tiene como propósito reforzar la operatoria con números enteros, uso de signos, ejercicios combinados y prioridad de las operaciones. Consta de 23 ejercicios extraídos de sectormatematica.cl para que puedas reforzar durante las siguientes clases. ¡Si tienes alguna pregunta, no dudes en preguntar! Objetivo: Realizar ejercicios combinados con números enteros OAH a: Resolver problemas utilizando estrategias como las siguientes: Simplificar el problema y estimar el resultado, descomponer el problema en subproblemas más sencillos, buscar patrones. -Usar herramientas computacionales. QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS. EXTENSIÓN Y VALOR ABSOLUTO EN Z https://www.youtube.com/watch?v=vCr6g90NQPs&list=PL020JJM3D8ePKO-zOw3xhgvD4oiB18jtE CÓMO RESOLVER EJERCICIOS COMBINADOS CON NÚMEROS ENTEROS https://www.youtube.com/watch?v=chaxX5GPhO4&list=PL020JJM3D8ePKO-zOw3xhgvD4oiB18jtE&index=2 a) b) c) d) e) f) g) h)

42− 25 : 2 ⋅5 22 ⋅ −1− (33 −1) : 2⎡⎣ ⎤⎦{ }

32 − (1−3⋅2)− 2 ⋅ (24 : 4) 3− −11+3⋅ (−2)5⎡⎣ ⎤⎦{ }− 1+ (2)3⎡⎣ ⎤⎦

3− 2− 1− 12 : 4 ⋅3( )⎡⎣ ⎤⎦−32{ } 42 : 2−3⋅23 + 5 ⋅ (−4)+1

4− 2− (−4 ⋅3[ ]+ 22 − (8 : 2)⎡⎣ ⎤⎦5

−23 : 4 ⋅ 5 ⋅22 − 4 ⋅ (−2+3)4⎡⎣ ⎤⎦{ }

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Selección Múltiple. Desarrolle cada uno de los siguiente ejercicios y problemas y marque la alternativa correcta. (2 puntos cada una) Pregunta 01:

Pregunta 02:

Pregunta 03:

Pregunta 04:

Pregunta 05:

Pregunta 06:

C u r s o : Matemática

Material N° 02

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS ENTEROS ( ) ] Los elementos del conjunto = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”.

]

OPERATORIA EN ] ADICIÓN N Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el

signo común. N Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor

valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto. MULTIPLICACIÓN N Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo. N Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. EJEMPLOS 1. -2 + (-107) =

A) -109 B) -105 C) 105 D) 109 E) 214

2. (-3) ⋅ 3 ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ 3 =

A) -243 B) -81 C) -3 D) 81 E) 243

DEFINICIONES: Sea n un número entero, entonces: N El sucesor de n es (n + 1).

N El antecesor de n es (n – 1).

N El entero 2n es siempre par.

N El entero (2n – 1) es siempre impar.

N El entero (2n + 1) es siempre impar.

N Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

N Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

N El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIONES: N Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,

196, 225, 256, … EJEMPLOS 1. Si al triple del sucesor de -3 se le resta el antecesor de -2, se obtiene

A) -11 B) -9 C) -7 D) -4 E) -3

2. Si la suma de tres números impares consecutivos es 1.527, entonces el sucesor del

número central es

A) 506 B) 507 C) 508 D) 509 E) 510

2

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: N Resolver los paréntesis. N Realizar las potencias. N Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. N Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 =

A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18

2. 42 – 25 : 2 · 5 =

A) -38 B) -1 C) 1 D) 25 E) 38

3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32⎬ =

A) -16 B) 2 C) 4 D) 10 E) 18

3

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: N Resolver los paréntesis. N Realizar las potencias. N Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. N Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 =

A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18

2. 42 – 25 : 2 · 5 =

A) -38 B) -1 C) 1 D) 25 E) 38

3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32⎬ =

A) -16 B) 2 C) 4 D) 10 E) 18

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PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: N Resolver los paréntesis. N Realizar las potencias. N Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. N Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 =

A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18

2. 42 – 25 : 2 · 5 =

A) -38 B) -1 C) 1 D) 25 E) 38

3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32⎬ =

A) -16 B) 2 C) 4 D) 10 E) 18

3

9. Si t + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de t es

A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12

10. Si a y b son números enteros y el antecesor de a es b y el sucesor de a es -9,

entonces a + b =

A) -21 B) -20 C) -19 D) -17 E) -15

11. Si a es un número par y b es un número impar, entonces ¿cuál de las siguientes

expresiones representa un número par?

A) a + b B) 2a – b C) 3a + 3b D) 5a + 4b E) a + b – 2

12. Si x e y son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica

es , entonces se cumple que x y 0

A) xy < 0 B) -x : y > 0 C) x + y > 0 D) x – y > 0 E) y – x > 0

9

3

Pregunta 07:

Pregunta 08:

Pregunta 09:

Pregunta 10:

Pregunta 11:

Pregunta 12:

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: N Resolver los paréntesis. N Realizar las potencias. N Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. N Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 =

A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18

2. 42 – 25 : 2 · 5 =

A) -38 B) -1 C) 1 D) 25 E) 38

3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32⎬ =

A) -16 B) 2 C) 4 D) 10 E) 18

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MÚLTIPLO Y DIVISOR En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible:

Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

EJEMPLOS 1. El número 2.856 es el producto de tres factores. Si dos de los factores son 12 y 14,

¿cuál es el otro factor?

A) 17 B) 16 C) 15 D) 13 E) Ninguna de las anteriores

2. ¿De cuáles de los siguientes números, 105 es múltiplo?

I) 15 II) 21 III) 35

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguno de ellos

3. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los cuadrados vacíos, para que

el número de 6 cifras, 6 4 12 sea divisible por 3?

A) 0 y 0 B) 1 y 2 C) 2 y 2 D) 3 y 4 E) 3 y 8

4

5. -2 [3 – {5 – 2 (7 – 15)}] =

A) -54 B) -36 C) -20 D) 54 E) 36

6. En la siguiente secuencia numérica 1 ⋅ 2, 2 + 3, 3 ⋅ 4, 4 + 5, … , el octavo término es

A) 15 B) 17 C) 56 D) 72 E) 90

7. Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple

de 3, se obtiene

A) 26 B) 20 C) 11 D) 10 E) 8

8. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a es

A) -1 B) 0 C) 1 D) a2 + a E) 2a + 1

8

5. -2 [3 – {5 – 2 (7 – 15)}] =

A) -54 B) -36 C) -20 D) 54 E) 36

6. En la siguiente secuencia numérica 1 ⋅ 2, 2 + 3, 3 ⋅ 4, 4 + 5, … , el octavo término es

A) 15 B) 17 C) 56 D) 72 E) 90

7. Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple

de 3, se obtiene

A) 26 B) 20 C) 11 D) 10 E) 8

8. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a es

A) -1 B) 0 C) 1 D) a2 + a E) 2a + 1

8

2

E) -200 3. 6.497 : 89 =

A) 71 B) 72 C) 73 D) 74 E) 75

4. Al calcular (80.904 – 29.978) · (-1) se obtiene

A) -69.026 B) -60.000 C) -58.261 D) -51.826 E) -50.926

5. Si a = 6(45 – 24), b = 6 – 7 y c = -8 – (-9), entonces, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) b y c son números naturales. II) c es un número natural.

III) c – a es un número natural.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

6. (-4) · 4 · (-4) · (-4) · 4 =

A) 43 B) 42 C) -45 D) 4-5 E) -4

3

Definición: sea n un número entero, entonces:

! El sucesor de n es (n + 1).

! El antecesor de n es (n – 1).

! El entero 2n es siempre par.

! El entero (2n – 1) es siempre impar.

! El entero (2n + 1) es siempre impar.

! Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

! Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

! El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIÓN: Son cuadrados perfectos los enteros:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,…

EJEMPLOS 1. Si al triple de -7 se le resta el doble del antecesor del cubo de -3, se obtiene

A) -77

B) -56

C) 31

D) 35

E) 63

2. Si la suma de tres números enteros consecutivos es -42, entonces el sucesor del

número mayor es

A) -15

B) -14

C) -13

D) -12

E) -11

3. Al sumar el doble de -20 con el sucesor del triple de cero, se obtiene

A) -41

B) -40

C) -39

D) 40

E) 41

4

Pregunta 13:

Pregunta 14:

Pregunta 15:

Pregunta 16:

Pregunta 17:

Pregunta 18:

5

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: ! Resolver los paréntesis.

! Realizar las potencias.

! Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

! Realizar adiciones y/o sustracciones.

EJEMPLOS 1. 6 · 43 – 6 =

A) 66 B) 300 C) 328 D) 348 E) 378

2. Al desarrollar -4 – (-28) : 4 + 7 · 3 se obtiene

A) 24 B) 22 C) 21 D) -20 E) -22

3. 24 – (15 – 45 : 3)6 =

A) 11 B) 14 C) 15 D) 16 E) 26

6

4. (-8)2 – 6[7 – (-4)]2 =

A) 7.018 B) 638 C) 121 D) 47 E) -662

5. -(5 + 4) – 3[2 + 4(-3 – 6)] =

A) 83 B) 93 C) -93 D) -101 E) -111

6. 5{-(4 – 5) – 3[-2 + 3 – (-8 – 3)]} =

A) -175 B) -150 C) -50 D) -45 E) -35

7. Si x = 12 – 18 : 3 + 2 · -3, y = -32 + (3 – 5)2 y z = -1 · 1 + 1 – 1 : 1, entonces ¿cuál

de los valores de x, y, z es menor que -1?

A) -2 B) -3 C) -4 D) -5 E) -6

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES ! Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.

Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,… ! Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son

primos. Los primeros números compuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,… TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos. EJEMPLOS 1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene 3 números primos mayores que 40 y menores

que 60?

A) {45,49,53} B) {59,41,47} C) {43,51,41} D) {57,53,51} E) {59,55,42}

2. Al calcular el triple de la diferencia entre un par primo y el número compuesto mayor

entre 1 y 10, se obtiene

A) -42 B) -21 C) -18 D) -16 E) -14

3. Al determinar la suma de los primeros 5 números primos, se obtiene

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

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EJERCICIOS 1. 4 – 2(4 · 2 – 3 · 2) =

A) 6 B) 4 C) 0 D) -4 E) -6

2. Con respecto a |-10|, ¿cuál es la relación correcta?

A) |-10| < 10 B) |-10| > 10 C) |-10| = 10 D) |-10| = (-10) E) |-10| < -10

3. [-6 + (-4) · 9] : (-3) =

A) -18 B) -14 C) 12 D) 14 E) 18

4. -6 · 2 – 4 + -3 =

A) -9 B) -5 C) -1 D) 1 E) 5

5. -15 + {2 [25 – (2 + 4)] – 3} =

A) -45 B) -36 C) -20 D) 20 E) 36

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6. En la siguiente secuencia numérica 2, 5, 8, 11, … el noveno término es

A) 17 B) 20 C) 23 D) 26 E) 30

7. Si al cubo de -4 se le suma el quíntuplo de -3 y al resultado se le agrega el cuádruplo

de 6, se obtiene

A) -79 B) -55 C) 24 D) 55 E) 79

8. Si p y q son dos números pares consecutivos tales que q < p, entonces p – q es

A) 0 B) 1 C) 2 D) -2 E) -1

9. Si (s – 4) es el antecesor de 12, entonces el antecesor de s es

A) 10 B) 14 C) 15 D) 12 E) 16

10. Si m y n son números enteros y el sucesor de m es n y el antecesor de m es -12,

entonces m + n =

A) -18 B) -19 C) -20 D) -21 E) -23

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6. En la siguiente secuencia numérica 2, 5, 8, 11, … el noveno término es

A) 17 B) 20 C) 23 D) 26 E) 30

7. Si al cubo de -4 se le suma el quíntuplo de -3 y al resultado se le agrega el cuádruplo

de 6, se obtiene

A) -79 B) -55 C) 24 D) 55 E) 79

8. Si p y q son dos números pares consecutivos tales que q < p, entonces p – q es

A) 0 B) 1 C) 2 D) -2 E) -1

9. Si (s – 4) es el antecesor de 12, entonces el antecesor de s es

A) 10 B) 14 C) 15 D) 12 E) 16

10. Si m y n son números enteros y el sucesor de m es n y el antecesor de m es -12,

entonces m + n =

A) -18 B) -19 C) -20 D) -21 E) -23