UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Nivelacion - Parte I

Productos Notables

Definicion: Son multiplicaciones cuyo resultado puede es-cribirse de memoria, sin hacer la multiplicacion. Correspon-den a las tablas elemental del algebra elemental. Las prin-cipales son:

Cuadrado del binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b) = a2 − 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Producto de binomios con un termino repetido

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Cubo del binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Suma y diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

Un monomio m(x) es un factor comun de un polinomiop(x) si todos los terminos que componen el polinomiotienen a m(x) como un factor. En ese caso se puede es-cribir p(x) = m(x)n(x).

El maximo comun divisor (mcd) de p(x) es el factor mcd(x)que incluye todos los factores comunes y no co- munes detodos los terminos del polinomio.

El mınimo comun multiplo de dos o mas polinomios es elpolinomıo de menor grado posible que es multiplo de estospolinomios.

El mınimo comun multiplo de una suma o resta de fracciones es igual al producto de todos los factores de losdiferentes polinomios de los denominadores, tomando cada factor con el maximo exponente que aparezca.

Ejercicio:

1. Efectuar las operaciones siguientes usando los produtos no-tables, dando al resultado, una forma simple.

a) (x− 5)(x− 7)

b) (2x− 3)(2x + 5)

c) (2x− 3y)(2x + 3y)

d) (a + b− c)(a− b + c)

e) (3a2 − ab)2

f ) (3x− 2y + 4)2

g) (2x− y)3

h) (an− bn)2

i) (a− b2 + 10)2

j ) (2x2 + 3y3)(2x2 − 3y3)

k) (x2 + (a2 − b))(x2 − (a2 + b))

l)(12x

2 − 15y

2)2

m)(x− 1

10

)2+(x + 1

10

)2n) (a2 + b)2 − (a2 − b)2

n) 10(5a3 + 2p)(5a3 − 2p)

o) (x2 + 4)(x + 2)(x− 2)

p)(13x−

12

)3q)(12x−

13y)2 − ( 12x + 1

3y) (

12x−

13y)

r)(34a

2b− 12am

) (12am + 3

4a2b)

2. Factorizar los siguientes polinomios determinando su maxi-mo comun divisor

a) 4xy + 8xy2 + 2x2y

b) 6x2y3 + 3x3y3 + 3x4y3 + 9x2y4

3. Factorizar x2+6xy+9y2 como binomio cuadrado perfecto.

4. Encuentre las raıces de la ecuacion 36x2 +48x3 +16x4 = 0.

5. Factorizar las siguientes expresiones

a) x4 − 81y4

b) 8x3 − 27y3

c) 8a3 + 36a2 + 54a + 27

d) a6 − (x + a)6

e) x2 − 5x + 6

f ) 3x2 + 5xy − 2y2

g) 4x2 − 6x− 4

6. Efectua las siguientes divisiones

a)8a3b4

−4ab2

b)7x3y2z

2x2y3z

c)3a3b2x− 4a4b3y − 5a2b3

2a2b

d)x2 − 5x3 + 9x− 7

x2 + x + 1

e)20x4 − 14x3 + 2x2

10x4 − 17x3 + 3x2

f )−6x3 − x2 + 2x

−2x4 + 7x3 − 3x2

g)5x4 − 4x3

10x4 − 23x3 + 12x2

Factorizacion

1. Los terminos tienen un factor comun o maximo comun di-visor.

Ejemplos:

12x+ 36y− 8 = 4 · 3x+ 4 · 9y− 4 · 2 = 4(3x+ 9y− 2)

6x2y − 9xy2 + 3xy = 3xy · 2x − 3xy · 3y + 3xy · 1 =3xy(2x− 3y + 1)

2. Factorizacion por agrupacion.

Ejemplos:

2ax + 2ay + bx + by = (2ax + 2ay) + (bx + by)

= 2a(x + y) + b(x + y)

= (x + y)(2a + b)

y + 2x2 − 2x− yx = (y − yx) + (2x2 − 2x)

= y(1− x) + 2x(x− 1)

= y(1− x)− 2x(1− x)

= (1− x)(y − 2x)

3. Factorizacion de diferencia de cuadrados.

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Ejemplos:

4x2 − 1 = (2x + 1)(2x− 1)

9x2y2 − 25a2 = (3xy + 5a)(3xy − 5a)

4. Factorizacion del trinomio cuadrado perfecto.

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

x2 − 2xy + y2 = (x− y)2

Ejemplos:

x2 + 6x + 9 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2

4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 − 2 · (2x) · (3y) + (3y)2 =(2x− 3y)2

Ejercicio: Completar un trinomio para que sea el cuadradode un binomio, a partir del conocimiento de dos de susterminos

a) x2 + + 16 = (x + 4)2

b) x2 + 6x + = (x + )2

c) 9x2 − + 16 = (3x− 4)2

d) 25a2 − 20a + = ( − )2

5. Factorizacion del trinomio ax2 + bx + c.

ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)

donde r1 y r2 son las raıces de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.

r1 =−b +

√b2 − 4ac

2a

r2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

Ejemplos:

x2 − 6x + 8 = 1 · (x− 4)(x− 2) = (x− 4)(x− 2)

x2 − 3x− 10 = (x− 5)(x− (−2)) = (x− 5)(x + 2)

2x2+7x−15 = 2(x− 3

2)(x−(−5)) = 2(x− 3

2)(x+5) =

(2x− 3)(x + 5)

Nota 1: Si r1 y r2 son complejas, el polinomio ax2 +bx+cno es factorizable en numeros reales.Nota 2: Si a = 1, es decir el polinomio es de la formax2 + bx + c, se factoriza en la forma (x − r1)(x − r2) sipueden encontrarse dos numeros reales r1 y r2 tales quer1 + r2 = b, r1 · r2 = c

Ejemplos

x2 + 10x + 24 = (x + 6)(x + 4), pues 6 + 4 = 10 y6 · 4 = 24.

x2 − x − 30 = (x − 6)(x + 5), pues −6 + 5 = −1 y−6 · 5 = −30.

6. Factorizacion de la suma y de la diferencia de dos cubos

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

Ejemplos

8− x3 = 23 − x3 = (2− x)(4 + 2x + x2)

8x3 + 1 = (2x)3 + 13 = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1)

Ejercicios Propuestos

1. Factorizar los siguientes polinomios:

a) xz + xy − x2

b) 2a3b2 + 8a2b3 − 12a3b3

c) (x + y)2z + 4z2(x + y)

d) 2xy − 2xz + ay − az

e) z2 + 10z + 25

f ) 49m2 − 14m + 1

g) 5y2 + 6y + 1

h) 4x2 − 11x + 7

i) 5b2 + 7b + 2

j ) (x + y)2 − z2

k) 49− (3a− b)2

l) c3 − 27d3

m) x3 + 64y3

n) c4 − 16

n) (a− b)2 − 1

o) a3 − (b− 1)3

p) 6xy − 15y2 + 2xz − 5yz

q) 16h2 − 24hd− k2 + 9d2

r) h2 − 2hd + k2 − hj + kj

s) 25r2 − 10rs + s2 − t2 + 4tu− 4u2

2. Expresar las ecuaciones siguientes de modo que el ladoizquierdo sea el cuadrado de un binomio o la suma de doscuadrados de binomio.

a) x2 + 6x = 2

b) 4a2 − 12a− 5 = 0

c) x2 − 2x + y2 + 8y = 1

d) a2 + 4b2 − 6a + 8b = 2

e) a2 + 6ab + 5b2 = 0

f ) z2 − 3z + 1 = 4

Simplificacion de expresiones racionales

Definicion: Sean P (x) y Q(x) dos polinomios, entonces lla-

maremos expresion racional aP (x)

Q(x).

Ejemplos:

2x− 3xy + 4

x2 + y2 − 1(expresion racional en dos variables)

7x2 − 3x + 5

x− 4(expresion racional en una variable)

Nota: Una expresion adquiere un valor numerico cuando lasvariables asumen valores numericos. Diremos que la expresiones indeterminada para un valor a ∈ R, si el denominador deesta se hace cero para dicho valor.

Ejemplo:2x2 − 3x + 5

x− 4es indeterminada si x = 4.

Simplificacion de Expresiones Racionales

Una expresion racional puede simplificarse, si numerador ydenominador tienen factores comunes.

Ejemplos:

x2 + 3x + 2

x + 2=���

�(x + 2)(x + 1)

���x + 2= x + 1

x2 − 4

x3 − 8=

(x + 2)����(x− 2)

����(x− 2)(x2 + 2x + 4)

=x + 2

x2 + 2x + 4

27x3 + 8y3

18x2 − 12xy + 8y2=

(3x)3 + (2y)3

2 · (9x2 − 6xy + 4y2)=

(3x + 2y)(((((((

(((9x2− 6xy + 4y2)

2 ·((((((((((9x2 − 6xy + 4y2)

=3x + 2y

2

Nota: Al simplificar una expresion debera tenerse especialcuidado en que lo que se simplifica son los factores, no lossumandos. No se puede simplificar una parte de una suma.O se simplifica la suma completa o nada.Para simplificar,primero hay que factorizar

Ejercicios propuestos

1. Simplificar las expresiones siguientes

a)x2 − 9

x2 + 2x− 3

b)a2 + 4a + 3

a2 + a− 6

c)2a2 + a− 3

1− a3

d)n + 1− n3 − n2

n3 − n− 2n2 + 2

e) a− a− 1

a

f )a

a− b− 1

g) a− a− 1

a + 1

h) 2− 3x− y

2x− y

i)1 +

x

x− 1

1− x

x− 1

j )

1

x− 1− 1

x + 1x

x− 1− 1

x + 1

2. Efectuar las operaciones siguientes, entregando el resultadoen una forma simple

a) (x2 − 1) ·[x + 1 +

2

x− 1

]b)

x

y· xy − y

x3 − x(x + 1)

c)b2 − 16

3b2 − 4b:b2 + 6b + 8

3b2 − b− 4

d)

(2a

b+ 1

):

(b

2a− 2a

b

)e)

2u2 − 3u + 1

u2 − 4· u

2 − u− 6

3u2 − u− 2· 3u2 − 4u− 4

2u2 − 7u + 3

f )

(1 +

2xy

x2 + y2

):

(1 +

x

y

)g)

x− 1

3x + 6+

x + 1

5x + 10− x− 2

2x + 4

h)6x2 + x− 1

2x2 + 5x + 2· x2 − x + 6

3x2 − 7x + 2

i)

(a + 3− 5

a− 1

)(a− 2 +

5

a + 4

)j )

4x4 − x3 − 4x + 3

3x4 − 2x3 − 3x + 2

k)

(n− 2n− 1

n2 + 2

):

(n2 + 1− n− 1

n

)

l)x− 1− 12

x− 2

x + 6 +16

x− 2

m)a3 + b3

a2 − ab + b2− a3 − b3

a2 + ab + b2

n)

(1 +

2d3

a3 − b3

)(a− b

a + b

):

(1− a

b+

a2

b2

)

Radicales

1. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones:

a)

√x + 5− 4√2x + 1− 2

b)

√3x− 2 + 1√x + 2− 1

c)

√x + 1 + 1√2x− 2 + 4

d)

√3x + 10 + 1

2−√x + 3

e)1

3√

9x

f )7

2√

7−√

5

g)1

4√x 5√y3

h)2√

3−√

2

5√

2 + 4√

3

i)x

4√

27x2

j )a2 − b2√a− b

k)3√

1 + y − 1

1−√

1 + y

l)

√5− x− 2√x− 1

m)

√x + 2− 2√x− 1− 1

n)

√x−√a +√x− a√

x2 − a2

n)b +√b√

b− 1

o)

√a +√a + 1

√a−√a + 1

p)

√a + b−

√a− b√

a + b +√a + b

q)a−√b√

a−√b

r)1

3√a− 3√b

s)1

4√a + 4√b

t)

√x + 8− 3

x− 1

u)√

1x + 2−

√1x

v)

√2 +√

5√5− 2

+

√√5− 2√5 + 2

2. Muestre que:

a)20−

√96

2√

2=√

50−√

12

b)1

3√a + 3√b

=3√a2 − 3

√ab +

3√b2

a + b.

c)2√

2

5− 2√

6− 2√

2−√

3= 12

√2 + 10

√3.

3. Determine el conjunto de restriccion donde las siguientesecuaciones racionales estan bien definidas (sin resolver laecuacion).

a)√x + 3 =

√5x− 1

b)√

5x + 1 =√

14x + 2

c)√

3x− 1 =√

2x + 1

d)√

2x + 1 =√x + 5

e)√

2x2 + x + 2 =√

2x + 3

f )√

4x− 11 = 7√

2x− 29

g) 7 + 3√

5x− 2 = 9

h)√

9x2 − 5− 3x = −1

i)√x2 − 2x + 1 = 9− x

j ) 15− 3√

7x− 1 = 12

k) 3x =√

3x + 7− 1

l)√

5x2 − 4x + 3− x = 1

m) 3x−√

6x2 − x + 13 = 1

n)√x + 2−

√x− 1 = 1

n)√x− 5−

√4x− 7 = 0

o)√

3x + 1−√

2x + 2 = 2

p)√

2x + 1−√x− 3 = 2

q)√x2 + 2x + 1−

√4x + 1 = 0

r)√x2 − 5x + 1−

√1− 8x = 0

s)√x− 4 +

√x + 4 = 2

√x− 1

t)√

9x + 7−√x−√

16x− 7 = 0

u)√

9x + 10− 2√x + 3 =

√x− 2

v)√x + 14−

√x− 7 =

6√x− 7

w)√x + 3 +

6√x + 3

= 5

x )√

2x +√

4x− 3 = 3

P Autoevaluacion P

1. El producto de los binomios (4x− 3y) y (2y + 5x) es

2. Siendo x 6= y, el cuociente x12−y12

x4−y4 es igual a

3. Si 10−7x6−7x = 5x−4

5x , entonces el valor de x es

4. Si las raıces de una ecuacion cuadratica sonr1 = 3, r2 = − 1

2 , la ecuacion cuadratica es

Respuestas:1.20x

2−7xy−6y

22.x

8+x

4y4

+y8

3.x=34.2x2−5x−3=0.

Oficina de Apoyo Docente Matematica y Fısica.

MTG/UMM/DCHM/RMR/RSMB Mayo 2014.