Semana 12 [1/8]

Números complejos

24 de mayo de 2007

Números complejos

Semana 12 [2/8]

Aviso

ImportanteLos contenidos asociados a números complejos en latutoría de la semana 11, se consideran como partede esta semana. Esto se reflejará en los contenidos aevaluar en los controles 6 y 7.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [3/8]

Introducción

Recordemos que definimos C a partir de R2. Es por esto que podemos dar a los complejos una interpretaciónde vectores en dos dimensiones, como muestra la siguiente figura.

Figura: Representación del “plano” complejo.

Si z = a + bi ∈ C, entonces −z = −a − bi y z̄ = a − bi . De este modo, geométricamente −z es el vectoropuesto a z, y z̄ es el vector reflejado de z con respecto al eje horizontal, al cual se le llama eje real . Al ejevertical se le llama eje imaginario .

Figura: Representación gráfica de z, −z y z̄.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [4/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [5/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

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Forma polar de los complejos Semana 12 [6/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

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Forma polar de los complejos Semana 12 [7/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

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Forma polar de los complejos Semana 12 [8/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

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Forma polar de los complejos Semana 12 [9/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

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Forma polar de los complejos Semana 12 [10/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [11/8]

El complejo eiθ

De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en R2. ¿Cómointerpretar el producto entre complejos?

Para ello utilizaremos la llamada notación polar .

DefiniciónSea θ ∈ R. Definimos el complejo que denotaremos eiθ como

eiθ = cos θ + i sin θ

Utilizamos la notación de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades:

Propiedades1 ei ·0 = 1.

2 (∀θ ∈ R) |eiθ| = 1.

3 (∀θ ∈ R) eiθ = (eiθ)−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ).

4 (∀θ, ϕ ∈ R) eiθeiϕ = ei(θ+ϕ).

5 (∀n ∈ Z)(∀θ ∈ R) (eiθ)n = einθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [12/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

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Forma polar de los complejos Semana 12 [13/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

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Forma polar de los complejos Semana 12 [14/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [15/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [16/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [17/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [18/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [19/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [20/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [21/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [22/8]

El complejo eiθ

Demostración.(1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmulapara z−1 vista en la tutoría anterior.

Para (4) Sean θ, ϕ ∈ R.

ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)

= (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)

= (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ)

= eiθeiϕ

Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C.Para n ∈ N,

{

z0 = 1

zn+1 = zn · z.

Y para n < 0 en Z, zn = (z−1)−n = (z−n)−1. Esto siempre que z−1 exista, que en nuestro caso significaz 6= 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2).Ahora, para n ∈ N probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z0 = 1,y la propiedad (1).Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ N es cierto que (eiθ)n+1 = ei(nθ), entonces

(eiθ)n+1 = ei(nθ)eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ.

El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [23/8]

Definición de forma polar

En términos geométricos, eiθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido ensentido antihorario.

PropiedadTodo complejo z ∈ C se puede escribir de la forma z = reiθ, con r ≥ 0 y θ ∈ R. A esta escritura se le llamaforma polar .

Demostración.Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ R cualquiera.

Si z 6= 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de R2) con el eje real. Esteángulo cumple

cos θ =Re(z)

|z| ∧ sin θ =Im(z)

|z|

De esta forma

reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z|(

Re(z)

|z| + iIm(z)

|z|

)

= Re(z) + iIm(z) = z

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [24/8]

Definición de forma polar

En términos geométricos, eiθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido ensentido antihorario.

PropiedadTodo complejo z ∈ C se puede escribir de la forma z = reiθ, con r ≥ 0 y θ ∈ R. A esta escritura se le llamaforma polar .

Demostración.Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ R cualquiera.

Si z 6= 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de R2) con el eje real. Esteángulo cumple

cos θ =Re(z)

|z| ∧ sin θ =Im(z)

|z|

De esta forma

reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z|(

Re(z)

|z| + iIm(z)

|z|

)

= Re(z) + iIm(z) = z

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [25/8]

Definición de forma polar

En términos geométricos, eiθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido ensentido antihorario.

PropiedadTodo complejo z ∈ C se puede escribir de la forma z = reiθ, con r ≥ 0 y θ ∈ R. A esta escritura se le llamaforma polar .

Demostración.Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ R cualquiera.

Si z 6= 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de R2) con el eje real. Esteángulo cumple

cos θ =Re(z)

|z| ∧ sin θ =Im(z)

|z|

De esta forma

reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z|(

Re(z)

|z| + iIm(z)

|z|

)

= Re(z) + iIm(z) = z

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [26/8]

Definición de forma polar

En términos geométricos, eiθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido ensentido antihorario.

PropiedadTodo complejo z ∈ C se puede escribir de la forma z = reiθ, con r ≥ 0 y θ ∈ R. A esta escritura se le llamaforma polar .

Demostración.Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ R cualquiera.

Si z 6= 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de R2) con el eje real. Esteángulo cumple

cos θ =Re(z)

|z| ∧ sin θ =Im(z)

|z|

De esta forma

reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z|(

Re(z)

|z| + iIm(z)

|z|

)

= Re(z) + iIm(z) = z

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [27/8]

Definición de forma polar

En términos geométricos, eiθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido ensentido antihorario.

PropiedadTodo complejo z ∈ C se puede escribir de la forma z = reiθ, con r ≥ 0 y θ ∈ R. A esta escritura se le llamaforma polar .

Demostración.Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ R cualquiera.

Si z 6= 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de R2) con el eje real. Esteángulo cumple

cos θ =Re(z)

|z| ∧ sin θ =Im(z)

|z|

De esta forma

reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z|(

Re(z)

|z| + iIm(z)

|z|

)

= Re(z) + iIm(z) = z

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [28/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [29/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [30/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [31/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [32/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [33/8]

Definición de forma polar

A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i .

r = |z| =√

22 + 22 =√

8

Observando que z representa al vector (2, 2) ∈ R2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que

2 + 2i =√

8 eiπ/4

Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemploz = 2 + 2i . El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que

ei(2π+π/4) = ei 2πeiπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4

por lo que también2 + 2i =

√8 ei(2π+π/4)

Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k ∈ Z sin alterar el númerocomplejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango (−π, π].

Módulo y argumentoSi z = reiθ:

Al valor r se le llama módulo, y se nota |z|.Al valor θ se le llama argumento , y se nota arg(z).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [34/8]

Interpretación geométrica de la forma polar

PropiedadSean z, w ∈ C \ {0}.

z = w ⇐⇒ |z| = |w | ∧ (∃k ∈ Z) arg(z) = arg(w) + 2kπ

Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Seanz = reiθ, w ∈ C \ {0}:

Si w = α ∈ R, entonces z ·w = (αr)eiθ, es decir z ·w es un estiramiento o contracción de z en un factor α.

Si w = eiϕ, entonces z · w = rei(θ+ϕ), es decir z · w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w).

De este modo, si w = ρeiϕ, entonces z · w representa un estiramiento o contracción de z en un factor |w |,además de rotarlo en un ángulo arg(w).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [35/8]

Interpretación geométrica de la forma polar

PropiedadSean z, w ∈ C \ {0}.

z = w ⇐⇒ |z| = |w | ∧ (∃k ∈ Z) arg(z) = arg(w) + 2kπ

Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Seanz = reiθ, w ∈ C \ {0}:

Si w = α ∈ R, entonces z ·w = (αr)eiθ, es decir z ·w es un estiramiento o contracción de z en un factor α.

Si w = eiϕ, entonces z · w = rei(θ+ϕ), es decir z · w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w).

De este modo, si w = ρeiϕ, entonces z · w representa un estiramiento o contracción de z en un factor |w |,además de rotarlo en un ángulo arg(w).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [36/8]

Interpretación geométrica de la forma polar

PropiedadSean z, w ∈ C \ {0}.

z = w ⇐⇒ |z| = |w | ∧ (∃k ∈ Z) arg(z) = arg(w) + 2kπ

Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Seanz = reiθ, w ∈ C \ {0}:

Si w = α ∈ R, entonces z ·w = (αr)eiθ, es decir z ·w es un estiramiento o contracción de z en un factor α.

Si w = eiϕ, entonces z · w = rei(θ+ϕ), es decir z · w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w).

De este modo, si w = ρeiϕ, entonces z · w representa un estiramiento o contracción de z en un factor |w |,además de rotarlo en un ángulo arg(w).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [37/8]

Interpretación geométrica de la forma polar

PropiedadSean z, w ∈ C \ {0}.

z = w ⇐⇒ |z| = |w | ∧ (∃k ∈ Z) arg(z) = arg(w) + 2kπ

Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Seanz = reiθ, w ∈ C \ {0}:

Si w = α ∈ R, entonces z ·w = (αr)eiθ, es decir z ·w es un estiramiento o contracción de z en un factor α.

Si w = eiϕ, entonces z · w = rei(θ+ϕ), es decir z · w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w).

De este modo, si w = ρeiϕ, entonces z · w representa un estiramiento o contracción de z en un factor |w |,además de rotarlo en un ángulo arg(w).

Números complejos

Forma polar de los complejos Semana 12 [38/8]

Interpretación geométrica de la forma polar

PropiedadSean z, w ∈ C \ {0}.

z = w ⇐⇒ |z| = |w | ∧ (∃k ∈ Z) arg(z) = arg(w) + 2kπ

Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Seanz = reiθ, w ∈ C \ {0}:

Si w = α ∈ R, entonces z ·w = (αr)eiθ, es decir z ·w es un estiramiento o contracción de z en un factor α.

Si w = eiϕ, entonces z · w = rei(θ+ϕ), es decir z · w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w).

De este modo, si w = ρeiϕ, entonces z · w representa un estiramiento o contracción de z en un factor |w |,además de rotarlo en un ángulo arg(w).

Números complejos