NÚMEROS ÍNDICE (II)

Introducción a la Estadística

GRADO EN ADE/ECONOMÍA

J.J. Noguera 1

Nota media de una asignatura según cada campus

CAMPUS 2016 2017 2018 2019

Noroeste 5,4 6,2 5,2 5,6

Este-Centro 6,1 7,1 4,3 6,7

Madrid 5,0 6,5 4,9 5,9

Sur 5,8 5,9 6,1 6,1

J.J. Noguera

Supongamos que el número de alumnos matriculados según el campus es: - Noroeste: 20% - Este-Centro: 35% - Madrid: 30% - Sur: 15%

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Tabla de números índices simples con base 2016

CAMPUS 2016 2017 2018 2019

Noroeste 100 114,81 96,30 103,70

Este-Centro 100 116,39 70,49 109,84

Madrid 100 130,00 98,00 118,00

Sur 100 101,72 105,17 105,17

J.J. Noguera

Para tener en cuenta el número de alumnos utilizamos los índices complejos ponderados, en este caso atendiendo al criterio de porcentaje de alumnos. OJO: si el ponderador suma 1 simplifica bastante los cálculos.

Si no suma , puede ajustarse porcentualmente. (en este caso 0,2+0,35+0,30+0,15=1)

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1. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA DE ÍNDICES SIMPLES

J.J. Noguera

𝐼 =𝐼1𝑤1 + 𝐼2𝑤2 +⋯+ 𝐼𝑁𝑤𝑁𝑤1 +𝑤2 +⋯+𝑤𝑁

= 𝐼𝑖𝑤𝑖𝑁𝑖=1

𝑤𝑖𝑁𝑖=1

CAMPUS 2016 2017 2018 2019

Noroeste 100 114,81 96,30 103,70

Este-Centro 100 116,39 70,49 109,84

Madrid 100 130,00 98,00 118,00

Sur 100 101,72 105,17 105,17

𝐼2017 =114,81 · 0,2 + 116,39 · 0,35 + 130,00 · 0,3 + 101,72 · 0,15

1= 112,14

4

2. ÍNDICE MEDIA GEOMÉTRICA PONDERADA DE ÍNDICES SIMPLES:

𝐼 = 𝐼1𝑤1 ∙ 𝐼2𝑤2 ∙ ⋯ ∙ 𝐼𝑁

𝑤𝑁𝑤1+𝑤2+⋯+𝑤𝑁

= 𝐼𝑖𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑤𝑖𝑁𝑖=1

3. ÍNDICE MEDIA ARMÓNICA PONDERADA DE ÍNDICES SIMPLES:

𝐼 =𝑤1 +𝑤2 +⋯𝑤𝑁𝑤1𝐼1+𝑤2𝐼2+⋯+𝑤𝑁𝐼𝑁

= 𝑤𝑖𝑁𝑖=1

𝑤𝑖𝐼𝑖

𝑁𝑖=1

4. ÍNDICE MEDIA AGREGATIVA DE ÍNDICES SIMPLES:

𝐼 =𝑥1𝑡𝑤1+𝑥2𝑡𝑤2+⋯+𝑥𝑁𝑡𝑤𝑁

𝑥10𝑤1+𝑥20𝑤2+⋯+𝑥𝑁0𝑤𝑁· 100 =

𝑥𝑖𝑡𝑤𝑖𝑁𝑖=1

𝑥𝑖0𝑤𝑖𝑁𝑖=1

·100

J.J. Noguera 5

SOLUCIONES

2016 2017 2018 2019

Aritmética 100 112,1 85,58 104,87

Geométrica 100 92,70 71,09 87,14

Armónica 100 123,43 92,42 115,89

Agregativa 100 117,52 89,30 110,13

J.J. Noguera 6

ÍNDICES DE PRECIOS COMPUESTOS PONDERADOS

• Laspeyres. Es una media aritmética ponderada con ponderador 𝑤𝑖 = 𝑝𝑖0𝑞𝑖0

𝑃𝐿 = 𝑝𝑖𝑡𝑞𝑖0 𝑝𝑖0𝑞𝑖0

· 100 𝐼𝑃𝐿0𝑛 = 𝑝𝑛𝑞0 𝑝0𝑞0

· 100

• Paasche. Es una media aritmética ponderada con ponderador 𝑤𝑖 = 𝑝𝑖0𝑞𝑖𝑡

𝑃𝑃 = 𝐼𝑃𝐿0𝑛 = 𝑝𝑛𝑞𝑛 𝑝0𝑞𝑛

· 100

J.J. Noguera 7

ÍNDICES DE PRECIOS COMPUESTOS PONDERADOS

• Fisher: 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 · 𝑃𝑃

• Drovisch-Bowley: 𝑃𝐷𝐵 =𝑃𝐿+𝑃𝑃

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• Edgeworth-Marshall:

𝑃𝐸𝑀𝑛 =

𝑝𝑖𝑡·(𝑞𝑖0+𝑞𝑖𝑡)

𝑝𝑖0· 𝑞𝑖0+𝑞𝑖𝑡· 100

• Walch:

𝐼𝑃𝑊0𝑛 = 𝑝𝑖𝑡 · (𝑞𝑖0 · 𝑞𝑖𝑡)

𝑝𝑖0 · 𝑞𝑖0 · 𝑞𝑖𝑡· 100

J.J. Noguera 8

EJEMPLO

J.J. Noguera

2017 2018 2019

Producto Precio Demanda Precio Demanda Precio Demanda

A 5 12 8 15 9 19

B 7 21 3 13 5 23

C 6 15 4 18 7 17

2017 2018 2019

Producto P Q P Q P Q

A 𝑝0 𝑞0 𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2

B 𝑝0 𝑞0 𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2

C 𝑝0 𝑞0 𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2

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EJEMPLO: LASPEYRES

J.J. Noguera

2017 2018 2019

Producto Precio Demanda Precio Demanda Precio Demanda

A 5 12 8 15 9 19

B 7 21 3 13 5 23

C 6 15 4 18 7 17

𝑝0 · 𝑞0

𝑝1 · 𝑞0

𝑝2 · 𝑞0

60 96 108

147 63 105

90 60 105

SUMA 297 219 318

𝐼𝑃𝐿𝑜𝑛 100

219

297· 100 = 73,73

318

297· 100 = 107,07

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EJEMPLO: PAASCHE

J.J. Noguera

2017 2018 2019

Producto Precio Demanda Precio Demanda Precio Demanda

A 5 12 8 15 9 19

B 7 21 3 13 5 23

C 6 15 4 18 7 17

2017 2018 2019

𝑝0 · 𝑞0 𝑝0 · 𝑞0 𝑝1 · 𝑞1 𝑝0 · 𝑞1 𝑝2 · 𝑞2 𝑝0 · 𝑞2

60 60 120 75 171 95

147 147 39 91 115 161

90 90 72 108 119 102

SUMA 297 297 231 274 405 358

𝐼𝑃𝑃0𝑛 100

231

274· 100 = 84,30

405

358· 100 = 113,12

11

EJEMPLO: FISHER

2017 2018 2019

𝑃𝐿 100 73,73 107,07

𝑃𝑃 100 84,30 113,13

𝑃𝐿 · 𝑃𝑃 100 78,83 110,06

J.J. Noguera 12

ÍNDICES CUÁNTICOS

• Son las mismas fórmulas que antes, pero intercambiando la p por la q.

• EJERCICIO: Calcular los índices cuánticos de Laspeyres, de Paasche y de Fisher para el ejemplo anterior. SOLUCIONES:

J.J. Noguera

2017 2019 2019

𝑄𝐿 100,00 92,26 120,54

𝑄𝑃 100,00 105,48 127,36

𝑄𝐿 · 𝑄𝑃 100,00 98,65 123,90

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ENLACE Y CAMBIO DE PERÍODO BASE

• Los índices van referidos a un año base y a medida que avanzan los años es necesario cambiar de año base.

• El coeficiente de enlace (o enlace técnico) es el número que debemos multiplicar a un índice referido a un año base para convertirlo en otro índice referido al nuevo año base.

• Estos coeficientes los proporciona el INE.

J.J. Noguera 14

• Puede ocurrir que no dispongamos del coeficiente de enlace. Para calcular los nuevos índices simplemente aplicamos una regla de tres:

J.J. Noguera

AÑO Base 2013 Base 2016

2013 100

2014 130

2015 145

2016 158 100

2017 125

2018 142

2019 130

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• Puede ocurrir que no dispongamos del coeficiente de enlace. Para calcular los nuevos índices simplemente aplicamos una regla de tres:

J.J. Noguera

AÑO Base 2013 Base 2016

2013 100

2014 130

2015 145

2016 158 100

2017 125

2018 142

2019 130

158----------100 145---------- x

𝑥 =100 · 145

158= 97,77

Utilizando el coeficiente de

enlace, 𝑘 =100

158→ 145 · 𝑘

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• Puede ocurrir que no dispongamos del coeficiente de enlace. Para calcular los nuevos índices simplemente aplicamos una regla de tres:

J.J. Noguera

AÑO Base 2013 Base 2016

2013 100

2014 130

2015 145 97,77

2016 158 100

2017 125

2018 142

2019 130

158----------100 x ---------- 125

𝑥 =158 · 125

100= 197,5

Utilizando el coeficiente de

enlace, 𝑘 =158

100→ 125 · 𝑘

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• Puede ocurrir que no dispongamos del coeficiente de enlace. Para calcular los nuevos índices simplemente aplicamos una regla de tres:

J.J. Noguera

AÑO Base 2013 Base 2016

2013 100 63,29

2014 130 82,27

2015 145 97,77

2016 158 100

2017 197,5 125

2018 224,36 142

2019 205,4 130

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ENLACE Y CAMBIO DE PERÍODO BASE PARA ÍNDICES COMPUESTOS

• Lo anterior sirve si los índices son simples.

• Si fuesen complejos no sería del todo correcto. Habría que recalcula el índice tomando como año base el año base pedido.

• Sin embargo, el libro indica que como las variaciones son pequeñas, se realiza como en el caso de índices simples.

J.J. Noguera 19

DEFLACTACIÓN DE SERIES

• Deflactar una serie significa, básicamente, eliminar la componente de subida de precios que afecta a toda serie temporal, para pasar de los valores nominales a los reales.

• Valores a precios corrientes o precios de cada año o valores nominales:

𝑉𝑁𝑡 = 𝑝𝑖𝑡𝑞𝑖𝑡

𝑁

𝑖=1

• Valores a precios constantes o a precios de año base o valores reales:

𝑉𝑅𝑡 = 𝑝𝑖𝑜𝑞𝑖𝑡

𝑁

𝑖=1

J.J. Noguera 20

DEFLACTORES

• El más común es el deflactor de Paasche, ya que:

𝑉𝑅𝑡 =𝑉𝑁𝑡𝑃𝑃/100

• En ocasiones también se usa el de Laspeyres, aunque en este caso no se obtienen exactamente los valores reales sino:

𝑉𝑁0 ·𝑄𝑝

100=𝑉𝑁𝑡

𝑃𝐿/100

J.J. Noguera 21

EJEMPLO: Valores Nominales

J.J. Noguera

2017 2018 2019

Producto Precio Demanda Precio Demanda Precio Demanda

A 5 12 8 15 9 19

B 7 21 3 13 5 23

C 6 15 4 18 7 17

2017 2018 2019

𝑝0 · 𝑞0 𝑝1 · 𝑞1 𝑝2 · 𝑞2

60 120 171

147 39 115

90 72 119

VN 297 231 405

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Valores reales

• Deflactor Paasche:

• Deflactor Laspeyres

J.J. Noguera

2017 2018 2019

VN 297 231 405

𝑃𝑝/100 1 0,843 1,1313

VR=VN/(𝑃𝑝/100) 297 252,67 358,00

2017 2018 2019

VN 297 231 405

𝑃𝐿/100 1 0,7373 1,0707

VR=VN/(𝑃𝐿/100) 297 313,31 378,26

23

DEFLACTACIÓN DE SERIES: Ejemplo

Ejemplo. Suponiendo una inflación anual contante del 2% deflactar la serie de ventas de una empresa:

SOLUCIÓN: Calculamos el deflactor y deflactamos:

Deflactor:

J.J. Noguera

AÑO 2016 2017 2018 2019

VENTAS 15 23 12 41

24

REPERCUSION Y PARTICIPACION

• Se aplica a índices complejos

• Repercusión absoluta y relativa: variación del componente i del índice general en un instante t

𝑅𝑖 =∆𝐼𝑖𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑖

𝑅𝑟𝑖% =𝑅𝑖

𝐼𝑡−1· 100

• Participación: como participa ese componente en la subida total del índice:

𝑃𝑖 =𝑅𝑖𝐼𝑖 − 𝐼𝑡−1

· 100

J.J. Noguera 25

REPERCUSION Y PARTICIPACION

Particularizando para el índice de precios de Laspeyres:

• Repercusión

𝑅𝑖 =(∆𝑝𝑖𝑡)𝑞𝑖0 𝑝𝑖0𝑞𝑖0𝑖

· 100

• Participación

𝑃𝑖 =(∆𝑝𝑖𝑡)𝑞𝑖0 (∆𝑝𝑖𝑡)𝑞𝑖0𝑖

· 100

J.J. Noguera 26

EJEMPLO: Laspeyres, año t=2019 producto A

J.J. Noguera

2017 2018 2019

Producto Precio Demanda Precio Demanda Precio Demanda

A 5 12 8 15 9 19

B 7 21 3 13 5 23

C 6 15 4 18 7 17

𝑅𝑖 =(∆𝑝𝑖𝑡)𝑞𝑖0 𝑝𝑖0𝑞𝑖0𝑖

· 100 =9−8 ·12

5·12+7·21+6·15· 100 = 4,04

𝑅𝑟𝑖% =𝑅𝑖𝐼𝑡−1· 100 =

4,04

73,73· 100 = 5,48%

𝑃𝑖 = 𝑅𝑖𝐼𝑡 − 𝐼𝑡−1

· 100 =4,04

107,07 − 73,73· 100 = 12,11%

2017 2018 2019

𝑃𝐿 100 73,73 107,07

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Ejercicio

Si se calculase para capa producto obtendríamos que

• 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶 = 𝐼2019 − 𝐼2018

• 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 100%

• EJERCICIO: comprobar lo anterior.

J.J. Noguera 28

ÍNDICES ELABORADOS EN ESPAÑA

• Índice de Precios al Consumo (IPC)

• Índice de Precios al Consumo Armonizado(IPCA)

• Índice de Producción Industrial (IPI)

• Índice de Precios Industriales (IPRI)

• Índice de cotización bursátil-Índice Bursátil Español indeX (IBEX 35)

J.J. Noguera 29