NÚMEROS p-ÁDICOSggarcia/encuentros/notas-elENAIV.pdf · 4. Cuerpo de números p-ádicos 19 4.1....

NÚMEROS p-ÁDICOS

GASTÓN ANDRÉS GARCÍA

Resumen. Éste es un curso introductorio al cuerpo de los número p-ádicos, donde p es unnúmero primo. Al igual que se obtienen los números reales de los números racionales, estoscuerpos se obtienen completando el cuerpo de los racionales con respecto a una determinadamétrica, la métrica p-ádica.

Basándonos en los desarrollos s-ádicos de los enteros, s cualquier número natural, comen-zaremos estudiando la aritmética en los enteros con respecto a los desarrollos s-ádicos, paraasí de�nir de una forma más pragmática y rudimentaria, pero intuitiva, el anillo de númerosracionales s-ádicos. Este anillo resulta un cuerpo si y sólo si s es primo.

Finalmente, daremos la de�nición usual basada en la completación con respecto a una métricay veremos que coincide con la dada anteriormente.

Índice

Introducción 1Agradecimientos 31. Preliminares 31.1. Congruencias en Z 3Ejercicios 51.2. Anillos y cuerpos 5Ejercicios 72. Desarrollos s-ádicos 72.1. Operaciones con desarrollos s-ádicos 9Ejercicios 123. Anillo de números racionales s-ádicos 13Ejercicios 194. Cuerpo de números p-ádicos 194.1. Distancias y normas 20Ejercicios 214.2. Orden p-ádico y métricas sobre Q 214.3. Completación de Q 25Ejercicios 32Referencias 33

Introducción

Estas notas corresponden a un curso dictado en el IV Encuentro Nacional de Álgebra (elENAIV) desarrollado en La Falda durante la semana del 4 al 9 de agosto de 2008. Puesto que elmismo es de carácter introductorio a la teoría de números p-ádicos, he tratado de acentuarprimero algunos aspectos en la aritmética de estos cuerpos, y luego dar la de�nición concretade los mismos usando completaciones.

Apoyado parcialmente por CONICET, FONCyT-ANPCyT, Secyt (UNC), Agencia Córdoba Ciencia y elENA.

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2 GASTÓN ANDRÉS GARCÍA

Como es sabido, el cuerpo de los números racionales Q no es un cuerpo completo. Es decir,existen sucesiones de Cauchy de números racionales que pueden no converger a un númeroracional. Para completar estos agujeros, se completa Q a R usando el valor absoluto | · |. Esteproceso se denomina completación de Q con respecto a | · |. El cuerpo de los números p-ádicosQp se obtiene a partir del cuerpo de los números racionales por completación con respecto aotro valor absoluto o norma, la norma p-ádica. Esta aplicación, similar en varios aspectos alvalor absoluto usual, posee varias propiedades importantes, aunque sin embargo, algunas deellas contrastan con nuestra intuición sobre la distancia.

Los números p-ádicos fueron introducidos por Hensel, aparentemente a partir de una analogíacon el cuerpo de funciones racionales C(X). La idea es que dada una función racional

f(X) =P (X)

Q(X)con P, Q ∈ C[X],

y dado α ∈ C es siempre posible expandir f con una serie de Laurent en torno a α, es decir:

f(X) =∞∑n0

an(X − α)n.

La serie así obtenida re�eja el comportamiento de la función f(X) cuando X se aproxima a α,esto es �localmente en α�. La primera observación que debemos hacer es que los cuerpos C(X)y Q tienen muchas propiedades semejantes. Cada uno de ellos es un cuerpo de fracciones de undominio de ideales principales en el cual todos los ideales primos no nulos son maximales. Esesto lo que le sugiere a Hensel una contrucción análoga y así percibe que los elementos (x− α)son exactamente los primos del anillo C(X). La versión para Q entonces debería estar referidaa los primos p ∈ Z.Fijemos entonces un primo p ∈ Z. El análogo al desarrollo de un polinomio en potencias de

(x− α) es el desarrollo de un entero positivo n en potencias de p, esto es:

(0.1) n = n0 + n1p+ n2p2 + ....+ nkp

k,

con 0 ≤ ni < p para todo i = 1, . . . , k. Esta última condición puede parecer no tener analogíaen el caso del anillo C[X]. Sin embargo, el cociente de C[X] por el ideal generado por (x−α) esisomorfo a C, y las constantes son un sistema de representantes. De la misma forma los númerosentre 0 y p− 1 son representantes de los elementos del cociente de Z por el ideal pZ generadopor p.

La expresión (0.1) se se denomina �expansión de n en base p�, o el desarrollo p-ádico de n ycomo veremos más adelante, siempre existe. Vale notar, que como en el caso de los polinomios,ésta es una expansión �nita.

Ahora bien, a todo número racional x lo podemos escribir como un cociente entre dos númerosenteros x = a/b. Dicho cociente, corresponde ser el análogo al caso de la función f(X) comocociente de dos polinomios en C[X]. Así, operando análogamente al caso de los polinomios,podemos obtener una serie de Laurent en potencias de p. El único caso que hay que notar esque la suma de dos coe�cientes de la expansión puede ser mayor que p, y debe entonces serescrito nuevamente. La serie obtenida

x =a

b=∞∑n0

anpn,

re�eja �localmente en p �, las propiedades del numero racional x = a/b.

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Se puede ver que el conjunto de todas las series formales de Laurent en p forma un cuerpoque contiene al cuerpo de los números racionales pero es estrictamente mayor respecto a lainclusión. Este cuerpo se llama el cuerpo de los números p-ádicos, y es denotado por Qp.

Para tener una de�nición formal, debemos tener una topología en Q, en la cual la sucesión{pn}n∈N tienda a cero cuando n→∞, para que así las series de potencias en pn puedan tenerla posibilidad de converger. Esta topología viene dada por una norma, la norma p-ádica y Qp

resulta ser la completación con respecto a esta norma.

Es un hecho que todo elemento x de Qp admite una expresión canónica, la cual permiteescribir a x en un sistema similar al sistema decimal, el sistema de desarrollos p-ádicos. Por talmotivo, comenzaremos este curso recordando los desarrollos s-ádicos para los números enteros.

Finalmente, aparte del interés matemático en sí mismo como en el análsis p-ádico, los cuerposde los números p-ádicos tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática. Por ejemplo,resulta que los mismos son de particular interés e importancia en la teoría algebraica de númerosy en la geometría algebraica. Además, la noción de completación con respecto a una norma ovaluación se utiliza, entre otras aplicaciones, en la teoría de representaciones modulares degrupos, es decir, representaciones de grupos sobre cuerpos de característica positiva.

Agradecimientos

Quisiera agradecer a los organizadores de este encuentro por haberme dado la posibilidad dedictar este curso. Quisiera también agradecerle a L. Aburto por haberme acercado sus notaspreliminares, a P. Román, S. Simondi y P. Tirao por haber intercambiado conmigo ideas sobreel contenido de este curso, y especialmente a L. Cagliero, por su siempre buena disposición adiscutir sobre matemática; este curso se basa esencialmente en las discusiones y charlas que hemantenido con él.

1. Preliminares

Comenzaremos recordando algunas de�niciones y conceptos básicos. De aquí en más, N de-notará los números naturales, Z los enteros, Q los racionales, R los reales y C los complejos.

1.1. Congruencias en Z. Sean m ∈ N, a, b ∈ Z

De�nición 1.1. Diremos que a es congruente a b módulos m, en símbolos

a ≡ b mod m,

si m divide a b− a.

Ejemplo 1.2. (a) 1 ≡ 15 mod 2, pues 2|15− 1.(b) 25 ≡ 7 mod 9, pues 9|7− 25 = −18.

En la siguiente proposición resumimos algunas propiedades básicas.

Proposición 1.3. (a) ∀ a ∈ Z, a ≡ a mod m.

(b) ∀ a, b ∈ Z, a ≡ b mod m⇔ b ≡ a mod m.

(c) ∀ a, b, c ∈ Z, a ≡ b mod m y b ≡ c mod m entonces a ≡ c mod m.

(d) ∀ a, b, c ∈ Z, a ≡ b mod m⇔ a+ c ≡ b+ c mod m.

(e) ∀ a, b, c ∈ Z, a ≡ b mod m⇔ a+m.c ≡ b mod m.

(f) ∀ a, b, c ∈ Z, a ≡ b mod m⇔ a.c ≡ b.c mod m.

(g) ∀ a ∈ Z, a ≡ 0 mod m⇔ m|a.(h) ∀ a, b ∈ Z, a ≡ b mod m si y sólo si a y b tienen el mismo resto al dividir por m. En

particular, todo número es congruente a su resto de la división por m.


Demostración. Los ítems (a), . . . , (g) quedan como ejercicio. Probaremos sólo (h).

Por el algoritmo de división podemos escribir

a = mh+ ra, 0 ≤ ra < m,

b = mk + rb, 0 ≤ rb < m.

Supongamos que ra ≤ rb. Entonces b− a = m(k − h) + (rb − ra) con 0 ≤ rb − ra < m. Luego,por la unicidad del algoritmo de división se sigue que rb − ra es el resto de la división de b− apor m. Por lo tanto

a ≡ b mod m⇔ m|b− a⇔ rb = ra.

�

Observación 1.4. Sea m ∈ Z. Se de�ne en Z la relación a ∼ b si y sólo si a ≡ b mod m. Laspropiedades (a), (b) y (c) dicen que la relación es de equivalencia. Como tal, determina unapartición de Z en clases de equivalencia. Por ejemplo, si m = 5, las clases de equivalencia son

0 = {. . . ,−10,−5, 0, 5, 10, . . .}1 = {. . . ,−9,−4, 1, 6, 11, . . .}2 = {. . . ,−8,−3, 2, 7, 12, . . .}3 = {. . . ,−7,−2, 3, 8, 13, . . .}4 = {. . . ,−6,−1, 4, 9, 14, . . .}

Notar que dos enteros cualesquiera están en la misma clase de equivalencia si y sólo si tienenel mismo resto al dividir por m.

1.1.1. Los anillos Z/mZ. En esta subsección recordamos la de�nición de los conjuntos Z/mZjunto con sus operaciones básicas. Dado m ∈ Z de�nimos

Z/mZ = {0, 1, . . . ,m− 1},

es decir, el conjunto dado por las clases de equivalencia módulo m, que está en biyección conel conjunto dado por los posibles restos de la división por m. Por ejemplo, si m = 5,

Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}.

Notar que este conjunto consta de un representante por cada clase de equivalencia dada por lacongruencia módulo m.

Usando las propiedades de congruencia, podemos de�nir las operaciones dos operacionesbinarias:

+ : Z/mZ× Z/mZ→ Z/mZ, · : Z/mZ× Z/mZ→ Z/mZ.(a, b) 7→ a+ b (a, b) 7→ a · b

Ambas operaciones son cerradas, conmutativas, asociativas, cumplen la propiedad distributivay tienen elementos neutros, 0 para la suma y 1 para el producto. Además, siempre existe unelemento opuesto con respecto a la suma −a = m− a.Usualmente, si no hay peligro de confusión, se denota por abuso de notación {0, . . . ,m− 1}

a los elementos de Z/mZ.

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Ejemplo 1.5. Las siguientes son las tablas de la suma y el producto para Z/6Z

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Notar que la ecuación x2 = 1 tiene las soluciones x = 1 y x = 4; pero la ecuación x2 = 2 notiene soluciones en Z/6Z.

Ejercicios.

1. Probar las propiedades (a), . . . , (g) de la Proposición 1.3.2. Probar que

a) Para todo m ∈ Z, las operaciones suma y producto están bien de�nidas en Z/mZ,es decri, no dependen de la elección del representante.

b) Ambas operaciones son conmutativas, asociativas y cumplen la propiedad distribu-tiva.

c) 0 es el elemento neutro para la suma y 1 para el producto.d) Para todo a ∈ Z/mZ, −a = m− a es el elemento opuesto con respecto a la suma,

es decir a+ (−a) = 0 en Z/mZ.3. Calcular las tablas de la suma y el producto para Z/3Z, Z/4Z y Z/5Z. ¾Qué elementos

tienen inverso multiplicativo?4. ¾ Tiene la ecuación x2 = 2 solución en Z/3Z y en Z/4Z?

1.2. Anillos y cuerpos. En esta subsección recordamos brevemente las de�niciones de anilloy cuerpo, junto con algunos ejemplos.

De�nición 1.6. Un anillo con unidad R es un conjunto munido de dos operaciones binarias

+ : R×R→ R, · : R×R→ R,

denominadas suma y producto, que satisfacen los siguientes axiomas:

(r1) ∀ a, b ∈ R, a+ b = b+ a (conmutatividad de la suma).(r2) ∀ a, b, c ∈ R, a+ (b+ c) = (a+ b) + c (asociatividad de la suma).(r3) Existe 0 ∈ R tal que ∀ a ∈ R, a+ 0 = 0 + a = a (elemento neutro para la suma).(r4) ∀ a ∈ R, existe b ∈ R tal que a+ b = b+a = 0. Al elemento b se lo llama inverso aditivo

de a y se lo denota usualmente por −a (inverso aditivo).(r5) ∀ a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c (asociatividad del producto).(r6) Existe 1 ∈ R tal que ∀ a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a (elemento neutro para el producto).(r7) ∀ a, b, c ∈ A, a · (b+ c) = a · b+ a · c y (b+ c) · a = b · a+ c · a (propiedad distributiva de

· respecto de + ).

Si el producto · es conmutativo, diremos que R es un anillo conmutativo.

Ejemplo 1.7. (a) Z, Q, R y C son anillos con las operaciones usuales, pero N no es un anillo.(b) Para todo m ∈ Z, el conjunto Z/mZ es un anillo con las operaciones de�nidas anterior-

mente.(c) El conjunto de las matrices Mn(R) de tamaño n × n con las operaciones usuales es un

anillo, donde el elemento neutro para el producto está dado por la matríz identidad.


De�nición 1.8. El conjunto de unidades U(R) de un anillo R es el conjunto formado por loselementos con inverso multiplicativo en el anillo, esto es

U(R) := {a ∈ R| ∃ b ∈ R : a · b = b · a = 1}

Por ejemplo, U(Z) = {1,−1} y U(Q) = Q r {0}.

Recordamos ahora la de�nición de ideal de un anillo conmutativo. Existen también nocionesde ideales a izquierda, a derecha y biláteros en anillos que no son conmutativos que aquí nodaremos, pues sólo trabajaremos con anillos conmutativos.

De�nición 1.9. Un ideal de un anillo conmutativo R es un subconjunto I de R tal que

(i) x+ y ∈ I, para todo x, y ∈ I,(ii) r · x ∈ I para todo r ∈ R y x ∈ I.

Claramente, los subconjuntos {0} y R de un anillo R son ideales de R. A estos ideales se losllama triviales. Es también claro que si un ideal contiene a la unidad, entonces dicho ideal debeser R.Diremos que un ideal I es maximal si I es no trivial y si J es otro ideal de R tal que I ⊆ J ,

entonces I = J o J = R. Esto es, un ideal maximal no está contenido en ningún ideal que nosea trivial.

Ejemplo 1.10. Para todo m ∈ Z, el conjunto mZ de múltiplos de m es un ideal de Z queresulta maximal si y sólo si m es primo � ver Ejercicio 8.

Sea R un anillo conmutativo e I un ideal de R. Dado x ∈ R, denotamos por x+I al conjuntodado por {x + a| a ∈ I}. Claramente, x + I = y + I si y sólo si x − y ∈ I. Así, se de�ne elconjunto cociente R/I como

R/I = {x+ I|x ∈ R}.

R/I resulta un anillo conmutativo con las operaciones de�nidas por

(1.1) (x+ I) + (y + I) = (x+ y) + I y (x+ I) · (y + I) = (x · y) + I,

donde el elemento neutro para la suma es I = 0 + I, el elemento neutro para el producto es1 + I y el inverso aditivo de x + I es −x + I. Es decir, se puede probar que estas operacionesestán bien de�nidas y dotan a R/I de una estructura de anillo conmutativo � ver Ejercicio 11.Usualmente se denota x = x+ I, cuando es claro sobre qué ideal se toma el cociente.

De�nición 1.11. Un cuerpo k es un anillo conmutativo tal que ∀ a ∈ k, existe b ∈ k tal quea · b = b · a = 1. Al elemento b se lo llama inverso multiplicativo de a y se lo denota usualmentepor a−1.

Ejemplo 1.12. (a) Q, R y C son cuerpos con las operaciones usuales, pero N, Z y Mn(R) nolo son.

(b) Un anillo conmutativo es un cuerpo si todos sus elementos no nulos son unidades, i.e.U(R) = Rr {0}. En particular, U(Q) = Q r {0}, U(R) = R r {0} y U(C) = C r {0}.

(c) Si R es un anillo conmutativo e I es un ideal maximal, entonces, R/I es un cuerpo.Recíprocamente, si I es un ideal no trivial y R/I es un cuerpo, entonces I es maximal � verEjercicio 11.

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Ejercicios.

1. Probar que con las operaciones de�nidas en la subsección anterior Z/mZ es un anilloconmutativo para todo m ∈ Z.

2. Probar que Mn(R) es un anillo. ¾Por qué no es un cuerpo?3. Probar que Z/mZ es un cuerpo si y sólo si m es un número primo. En ese caso, se lo

denota Fm.4. Sea k un cuerpo. La característica de k, denotada car k, es el menor entero positivo n

tal que 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸n−veces

= 0. Si tal entero no existe, decimos que car k = 0.

a) Probar que car R = car Q = car C = 0.b) Dado un número primo p, calcular car Fp.c) Sea k un cuerpo, entonces car k = 0 o car k = p, p un número primo.

5. Probar que U(Z) = {1,−1}.6. Probar que U(Z/mZ) = {a ∈ Z/mZ| (a,m) = 1}7. Calcular U(Mn(R)).8. Probar que para todo m ∈ Z, el conjunto mZ de múltiplos de m es un ideal de Z. Más

aún, este ideal resulta maximal si y sólo si m es primo. Esto establece una correspon-dencia entre números primos e ideales maximales de Z.

9. Sea R un anillo conmutativo e I, J dos ideales de R. Probar que los conjuntos

I + J = {x+ y| x ∈ I, y ∈ J},I · J = {x · y| x ∈ I, y ∈ J},I ∩ J = {x| x ∈ I, x ∈ J},

son ideales de R.10. Probar que todo elemento no nulo de un anillo conmutativo R está contenido en un

ideal maximal (Ayuda: usar el Lema de Zorn).11. Sea R un anillo e I un ideal de R.

a) Probar que la relación x ∼ y ⇔ x − y ∈ I de�ne una relación de equivalenciaen R, cuyas clases de equivalencia son exactamente los conjuntos x = x + I. Enparticular, el conjunto R/I es el cociente de R por esta relación de equivalencia.

b) Probar que las operaciones de�nidas en (1.1), están bien de�nidas y hacen delconjunto R/I un anillo conmutativo.

c) Probar que R/I es un cuerpo si y sólo si I es maximal.

2. Desarrollos s-ádicos

Usualmente escribimos los números racionales en sistema decimal, es decir, en cifras cuyosdígitos van del 0 al 9:

10; 1235; 3, 1416; 928,

y desde pequeños aprendimos a operar con ellos. Los métodos para operar con los númerosracionales se basan en el hecho que éstos se expresan en forma decimal, esto es

10 = 1 · 10

1235 = 1 · 103 + 2 · 102 + 3 · 10 + 5

3, 1416 = 3 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2 + 6 · 10−3

928 = 9 · 102 + 2 · 10 + 8

Así, 3, 1416× 10 = 31, 416 se puede ver como

(3 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2 + 6 · 10−3) · 10 = 3 · 10 + 1 · 100 + 4 · 10−1 + 6 · 10−2 = 31, 416.


Además de con 10, esto puede hacerse con cualquier número natural s. La idea es expresarcualquier número racional q como una expresión polinómica en s, que quizás involucre potenciasnegativas, cuyos coe�cientes sean números naturales mayores o iguales a 0 y menores a s. Aeste desarrollo se lo denomina desarrollo s-ádico de q. Por ejemplo,

2351 = 3 · 54 + 3 · 53 + 4 · 52 + 0 · 5 + 1,

es el desarrollo 5-ádico de 2351. Para encontrar los desarrollos s-ádicos de un número entero mse utiliza el algoritmo de división de la siguiente manera: primero se divide m por s. Luego, alcociente de dicha división se lo divide por s y así sucesivamente hasta llegar a un cociente quesea menor que s. La sucesión (en orden inverso) dada por los restos de las sucesivas divisionesson los coe�cientes de la expresión en potencias de s. Por ejemplo,

2351 | 535 470 | 501 20 94 | 5

1 0 44 18 | 54 3 3

Los sucesivos restos, en orden inverso, dieron 3 3 4 0 1, quienes son exactamente los coe�cientesde la expresión dada anteriormente. Veamos por qué sucede esto. Utilizando el algoritmo dedivisión escribimos en cada paso al dividendo como la suma del cociente por el divisor más elresto:

2351 = 470 · 5 + 1 = (94 · 5 + 0) · 5 + 1 = 94 · 52 + 0 · 5 + 1 = (18 · 5 + 4) · 52 + 0 · 5 + 1

= 18 · 53 + 4 · 52 + 0 · 5 + 1 = (3 · 5 + 3)53 + 4 · 52 + 0 · 5 + 1

= 3 · 54 + 3 · 53 + 4 · 52 + 0 · 5 + 1

Escribimos entonces 2351 = (2351)10 = (33401)5 para especi�car sobre qué base está escritoel desarrollo s-ádico. Aunque resulte redundante escribir 2351 = (2351)10, lo haremos cuandoquerramos acentuar la base del desarrollo. Así,

2351 = (2351)10 = (100100101111)2

37 = (37)10 = (201)6

1024 = (1024)10 = (714)12

Teorema 2.1. Sea s ∈ N, s > 1. Para todo n ∈ N existe una expresión polinomial en s,llamado el desarrollo s-ádico de n, del tipo siguiente

n =t∑i=0

aisi = ats

t + · · ·+ a1s+ a0,

donde ai ∈ Z, 0 ≤ ai < s. Dicho desarrollo es único, en el siguiente sentido: si

t∑i=0

aisi =

h∑j=0

bjsj, 0 ≤ i, j < s, at 6= 0 6= bh,

entonces t = h y ai = bi para todo 1 ≤ i ≤ t = h. En tal caso decimos que (atat−1 · · · a1a0)s esel desarrollo de n en base s.

Demostración. Probaremos el teorema por inducción global. Si n = 1, el desarrollo s-ádico de1 es 1.s0 y el teorema es cierto. Supongamos que el teorema ha sido probado para todos losenteros positivos menores que un cierto entero positivo k y probemos que el teorema es ciertopara k.

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Por el algoritmo de división tenemos que

k = s · q + r, 0 ≤ r < s.

Más aún, podemos suponer que s < k pues si k ≤ s, entonces su desarrollo s-ádico es

k = 0 · s+ k, si k < s,

k = 1 · s+ 0, si k = s.

Luego, de suponer que s < k se sigue que 0 < q. Por lo tanto, como 1 < s tenemos que

q < q · s ≤ q · s+ r = k.

Por otro lado, por hipótesis inductiva, el teorema vale para q, es decir, existe una expresiónpolinomial en s tal que

q =t∑i=0

aisi = ats

t + · · ·+ a1s+ a0, 0 ≤ ai < s

Así,

k = q · s+ r =

(t∑i=0

aisi

)· s+ r = (ats

t + · · ·+ a1s+ a0) · s+ r

= atst+1 + · · ·+ a1s

2 + a0s+ r,

que es un desarrollo s-ádico de k, lo que prueba la primera parte del teorema.

Veamos la unicidad. Supongamos que existen dos desarrollos s-ádicos

t∑i=0

aisi =

h∑j=0

bjsj, 0 ≤ i, j < s, at 6= 0 6= bh.

Entonces

a0 +

(t∑i=1

aisi−1

)· s = b0 +

(h∑j=1

bjsj−1

)· s.

Como 0 ≤ a0, b0 < s, de la unicidad en el algoritmo de división se sigue que

a0 = b0 yt∑i=1

aisi−1 =

h∑j=1

bjsj−1.

Aplicando la hipótesis inductiva en el término de la derecha, resulta que t = h y ai = bi paratodo 1 ≤ i ≤ h = t, y el teorema queda demostrado. �

Observación 2.2. La escritura decimal que estamos acostumbrados a usar en los números enterosno es ni más ni menos que el desarrollo 10-ádico.

2.1. Operaciones con desarrollos s-ádicos. Las operaciones, suma, resta, multiplicacióny división, se realizan de manera muy similar a las operaciones en desarrollo decimal o 10-ádico.En esta sección discutiremos cómo se realizan estas operaciones en otras bases.


2.1.1. Suma. Calculemos la siguiente suma: (4412)5 + (301)5. Para comprender la regla, es-cribamos primero los desarrollos como expresiones polinómicas y realicemos la suma

(4412)5 = 4 · 53 + 4 · 52 + 1 · 5 + 2

(301)5 = 3 · 52 + 0 · 5 + 1

4 · 53 + 7 · 52 + 1 · 5 + 3

El resultado obtenido es 4 · 53 + 7 · 52 + 1 · 5 + 3, que no es un desarrollo s-ádico pues hay uncoe�ciente que es mayor que 5. Sin embargo, 7 = 5 + 2, luego 7 · 52 = (5 + 2) · 52 = 1 · 53 + 2 · 52

y así

4 · 53 + 7 · 52 + 1 · 5 + 3 = 4 · 53 + 1 · 53 + 2 · 52 + 1 · 5 + 3

= 5 · 53 + 2 · 52 + 1 · 5 + 3

= 1 · 54 + 0 · 53 + 2 · 52 + 1 · 5 + 3

Luego, (4412)5 + (301)5 = (10213)5. Claramente, la suma se realiza de forma análoga a laque estamos acostumbrados. Sumamos las cifras correspondientes y cada vez que superamoss, en este caso 5, debemos sumar 1 a la cifra siguiente, es decir, utilizando congruencias y�llevandose unidades�. Para realizar las operaciones, no especi�caremos la base sobre la cualestamos trabajando para no entorpecer la notación.

+1 4+14 1 2

+ 3 0 1

1 0 2 1 3

Calculemos ahora la suma (345)6 + (523)6 + (1155)6:

+1 3+2 4+2 5

5 2 3

+ 1 1 5 5

2 5 1 1

Así (345)6 + (523)6 + (1155)6 = (2511)6.

2.1.2. Orden en desarrollos s-ádicos. Sabemos que en los enteros existe un orden. ¾Cómo sere�eja este orden en los desarrollos s-ádicos?

Sean a = (atat−1 · · · a1a0)s y b = (bhbh−1 · · · b1b0)s dos números naturales expresados en bases y supongamos que a 6= b. Luego, a = ats

t + at−1st−1 + · · · + a1s + a0, b = bhs

h + bh−1sh−1 +

· · ·+ b1s+ b0 y por el orden en los naturales tenemos que a < b si y sólo si

atst + at−1s

t−1 + · · ·+ a1s+ a0 < bhsh + bh−1s

h−1 + · · ·+ b1s+ b0

⇔ t < h o t = h y am < bm,

donde m = max {1 ≤ i ≤ t = h| ai 6= bi}; tal m existe pues estamos suponiendo que a 6= b.Esto se re�eja en el desarrollo en base s como el orden lexicográ�co (o el orden del diccionario):

(atat−1 · · · a1a0)s < (bhbh−1 · · · b1b0)s ⇔ t < h o t = h y am < bm,

donde m = max {1 ≤ i ≤ t = h| ai 6= bi}. Por ejemplo, (2020)3 > (121)3, (201)3 > (121)3 y(210)3 > (200)3 > (21)6.

NÚMERO p-ÁDICOS 11

2.1.3. Resta. Como el conjunto de los números enteros no negativos no es un anillo, primerodescribiremos la operación de la resta utilizando el orden dado en la subsección anterior, demanera tal de asegurarnos que el resultado sea un número entero. Consideremos primero unejemplo: tomemos 60 = (2020)3 y 16 = (121)3. Claramente, 60− 16 = 44 y 44 = (1122)3. Puesbien,

(2020)3 = 2 · 33 + 0 · 32 + 2 · 3 + 0− (121)3 = 1 · 32 + 2 · 3 + 1

2 · 33 − 1 · 32 + 0 · 3− 1

Al igual que para la suma, el resultado obtenido no es un desarrollo 3-ádico. Para lograrlo,debemos operar de la siguiente manera:

2 · 33 − 1 · 32 + 0 · 3− 1 = 1 · 33 + 3 · 32 − 1 · 32 + 0 · 3− 1

= 1 · 33 + 2 · 32 + 1 · 32 − 1 · 32 + 0 · 3− 1

= 1 · 33 + 2 · 32 − 1 · 32 + 3 · 31 + 0 · 3− 1

= 1 · 33 + 2 · 32 − 1 · 32 + 2 · 3 + 1 · 3− 1

= 1 · 33 + 1 · 32 + 2 · 3 + 3− 1

= 1 · 33 + 1 · 32 + 2 · 3 + 2.

Luego, la resta se realiza de forma análoga a la que estamos acostumbrados: restando lascifras correspondientes y cada vez que debamos restar una cifra mayor a una quedanes menor,debemos tomar prestado de la cifra anterior s unidades, en este caso 3, y debemos restar 1 a lacifra siguiente, es decir, utilizando congruencias y �sustrayendo unidades�:

−2 0 2−1 +30

1 2 12 −

2 0 1 +301 2 1

2 −

2−1 +30−1 +31 +301 2 1

1 1 2 2

Calculemos ahora (20341)5 − (2340)5 y (3216)7 − (426)7:

−2−1 +50−1 +53−1 +50 1

2 3 4 01 2 4 1 1

Así (20341)5 − (2340)5 = (12411)5; y

−3−1 +72−1 +71 6

4 2 62 4 6 0

lo que implica que (3216)7 − (426)7 = (2460)7.

2.1.4. Producto. Al igual que para la suma y la resta, calculemos en un ejemplo el productousando los desarrollos como expresiones polinómicas y aplicando la ley distributiva. Veamoscuánto es (121)3 × (2020)3:

(121)3 × (2020)3 = (1 · 32 + 2 · 3 + 1)× (2 · 33 + 0 · 32 + 2 · 3 + 0)

= 2 · 35 + 4 · 34 + 2 · 33 + 2 · 33 + 4 · 32 + 2 · 3= 2 · 35 + 4 · 34 + 4 · 33 + 4 · 32 + 2 · 3.


Para escribir el resultado en base 3, debemos reducir la expresión 2 ·35 +4 ·34 +4 ·33 +4 ·32 +2 ·3a un desarrollo 3-ádico. Para ello, procedemos como antes

2 · 35 + 4 · 34 + 4 · 33 + 4 · 32 + 2 · 3 = 2 · 35 + (3 + 1) · 34 + (3 + 1) · 33 + (3 + 1) · 32 + 2 · 3= 2 · 35 + 35 + 1 · 34 + 34 + 1 · 33 + 33 + 1 · 32 + 2 · 3= 3 · 35 + 2 · 34 + 2 · 33 + 1 · 32 + 2 · 3= 1 · 36 + 0 · 35 + 2 · 34 + 2 · 33 + 1 · 32 + 2 · 3.

Así, (121)3 × (2020)3 = (1022120)3 y claramente la multiplicación se realiza de forma muysimilar a la que estamos acostumbrados, salvo que luego de multiplicar las cifras, debemossumar usando congruencia módulo s, que en este caso es 3. Veamos el esquema:

2 0 2 0× 1 2 1

+12 0 2 0+14 0 4 0

+12 0 2 01 0 2 2 1 2 0

Calculemos otros ejemplos, (234)5 × (1001)5 y (210)6 × (341)6:

1 0 0 1× 2 3 4

4 0 0 43 0 0 3

2 0 0 22 3 4 2 3 4

2 1 0× 3 4 1

2 1 0+18 4 0

+26 3 01 2 0 0 1 0

Luego, (234)5 × (1001)5 = (234234)5 y (210)6 × (341)6 = (120010)6.

Ejercicios.

1. Escribir 1024 en base 2, 3, 4 y 5.2. Escribir en base 10 los siguientes números:

a) (11110)3; (100002)3.b) (170)8; (21)8.c) (1 10)11; (1 8 5)11.

3. Calcular:a) (1212)3 + (102)3 + (22)3; (220)3 − (102)3; (111)3 × (21)3; (12001)3 × (12)3.b) (150)6 + (21)6 + (234)6 − (123)6; (234)6 −×(123)6.c) (1212)3 + (21)6 − (1101)2; (231)5 × (11)3.

4. Probar que mediante pesas de 1, 3, 9, 27, 81, . . . unidades es posible pesar, y en formaunívoca, cualquier cuerpo cuyo peso sea un número entero de unidades, siempre quesea posible utilizar ambos platillos para colocar pesas.

5. Probar que los desarrollos s-ádicos pueden efectuarse para valores s < 0.

Ayuda: Desarrollar en base −s y notar que si 0 ≤ t < |s|, entonces −t = (|s| − t) + s.Por ejemplo, en base −5 :

17 = 2 + 3 · 5 = 2 + (−3) · (−5) = 2 + 2 · (−5) + 1 · (−5)2 = (122)−5.


6. a) Escribir en el sistema binario negativo (base −2) los siguientes números dados enel sistema decimal: −10, −9, . . . , −1, 1, 2, . . . , 9, 10.

b) Dado a = (323414)5, expresar a y −a en base −5.

3. Anillo de números racionales s-ádicos

Hasta aquí hemos visto que todo número entero positivo admite un desarrollo s-ádico, s ∈ N,y como tal posee una escritura en base s que denotamos como una sucesión de números ai talesque 0 ≤ ai < s. ¾Admiten los números enteros negativos una escritura similar? Veamos,

−1 = (s− 1)− s= (s− 1) + [(s− 1)− s] · s = (s− 1) + (s− 1)s− s2

= (s− 1) + (s− 1)s+ [(s− 1)− s] · s = (s− 1) + (s− 1)s+ (s− 1)s2 − s3

= (s− 1) + (s− 1)s+ (s− 1)s2 + [(s− 1)− s] · s3

= (s− 1) + (s− 1)s+ (s− 1)s2 + (s− 1)s3 − s4

Si aceptamos escibir formalmente in�nitos sumandos, siguiendo con el procedimiento anteriortendríamos que

−1 = (s− 1) + (s− 1)s+ (s− 1)s2 + (s− 1)s3 + (s− 1)s4 + (s− 1)s5 + · · ·Por lo tanto, podemos de�nir

−1 = (. . . (s− 1)(s− 1)(s− 1)(s− 1))s

como escritura s-ádica de −1. Análogamente, −s = (. . . (s− 1)(s− 1)(s− 1)0)s.

Ejemplo 3.1. (a) Escribamos −2 en base 3. Sabemos que −2 ≡ 1 mod 3 y que −2 = 1 − 3.Como −3 = (. . . , 2, 2, 2, 2, 0)3 tenemos que

−2 = (1)3 + (. . . , 2, 2, 2, 2, 0)3 = (. . . , 2, 2, 2, 2, 1)3

(b) Escribamos ahora −12 en base 7. Sabemos que −12 ≡ 2 mod 7 y que

−12 = −(1 · 7 + 5) = −5− 7 = 2− 7− 7

= (2)7 + (. . . , 6, 6, 6, 6, 0)7 + (. . . , 6, 6, 6, 6, 0)7

= (. . . , 6, 6, 6, 6, 2)7 + (. . . , 6, 6, 6, 6, 0)7

El cálculo de la suma en este caso lo podemos realizar al igual que en el caso de �nitas cifras,salvo que ahora debemos determinar quiénes serán los coe�cientes, que son in�nitos

. . . +16 +16 +16 6 2+ . . . 6 6 6 6 0

. . . 6 6 6 5 2

Es claro que salvo las dos primeras cifras, todas las demás cifras son 6. Así−12 = (. . . , 6, 6, 6, 5, 2)7.Observar que 12 = 1 · 7 + 5 y que 5 = 6− 1, 2 = 7− 5.

La última observación hecha en el ejemplo anterior, vale en general.

Lema 3.2. Si (atat−1 . . . a1a0)s es el desarrollo en base s de un número entero positivo a,entonces el desarrollo de −a está dado por

(. . . (s− 1)(s− 1)[(s− 1)− at][(s− 1)− at−1] . . . [(s− 1)− a1](s− a0))s.

Demostración. Para demostrarlo basta ver que con esta de�nición vale que a+ (−a) = 0. �


Ejemplo 3.3. (a) Escribamos −2873 en base 7. Como 2873 = (11243)7, por el lema anteriortenemos que

−2873 = (. . . 6 6 6 (6− 1) (6− 1) (6− 2) (6− 4) (7− 3))7 = (. . . 6 6 6 5 5 4 2 4)7

(b) Notar que si −m = (. . . (s− 1) (s− 1)mt . . .m0)7 entonces

−m · 7n = (. . . (s− 1) (s− 1)mt . . .m0 0 . . . 0︸︷︷︸n−veces

)7.

Como consecuencia de este lema tenemos que los números enteros negativos están represen-tados por sucesiones in�nitas tales que sólo un número �nito de cifras es distinta de s − 1 yéstas están al principio de la sucesión.Consideremos ahora el conjunto de todas las sucesiones cuyos coe�cientes cumple que son

enteros no negativos menores que s:

Zs = {(. . . a3a2a1a0)| 0 ≤ ai < s}.A este conjunto se lo denomina el anillo de enteros s-ádicos. Luego, por construcción tenemosque

N ⊂ Z ⊂ Zs,

donde los números naturales están representados en Zs como las sucesiones que tienen sólo�nitas cifras no nulas. Más aún, las inclusiones son propias pues una sucesión que no se estabilizaen (s− 1) o en 0 no representa un número entero.Como el mismo nombre lo dice, Zs es un anillo conmutativo con las operaciones de�nidas

como en la sección anterior. Sin embargo, resulta muy engorroso demostrarlo y lo dejamos comoejercicio para el lector interesado � ver [1, pág. 37]. En los ejercicios correspondientes a estasección se podrán veri�car algunos de los axiomas.Recordemos que las unidades en un anillo son los elementos que tienen un inverso con respecto

al producto. ¾Cuáles son las unidades en Zs? Sea a = (. . . a2a1a0). Veamos qué condiciones debecumplir a para tener inverso multiplicativo. Buscamos b = (. . . b2b1b0) tal que a · b = b · a = 1 =(. . . 001). Entonces

. . . b3 b2 b1 b0

× . . . a3 a2 a1 a0

. . . b0a3 b0a2 b0a1 b0a0

. . . b1a3 b1a2 b1a1 b1a0

. . . b2a3 b2a2 b2a1 b2a0...

......

.... . . (b0a2 + b1a1 + b2a0) (b0a1 + b1a0) b0a0

donde el resultado no está escrito en base s, pues primero debemos reducir la expresión. Porlo pronto, tenemos que para que se cumpla a · b = 1, debemos tener que b0a0 ≡ 1 mod s.Es decir, a0 debe ser una unidad en Z/sZ y esto sucede si y sólo si a0 es coprimo con s, i.e.(a0, s) = 1. Si a0 cumple esta condición, entonces b0 queda completamente determinado por elinverso multiplicativo de a0.Ahora bien, si (a0, s) = 1 entonces existe q0 ∈ Z tal que b0a0 = q0 · s+ 1. Según el algoritmo

de la suma que describimos en la subsección anterior, para realizar la suma en la segunda cifradebemos sumar q0 a b0a1 + b1a0 y luego reducir módulo s. Como buscamos a · b = (. . . 0001),debemos tener


b0a1 + b1a0 + q0 ≡ 0 mod s.

Por lo tanto, b1a0 ≡ −b0a1 − q0 mod s y como a0 es inversible en Z/sZ con inversa b0, multi-plicando a ambos miembros por b0 tenemos que

(3.1) b1 ≡ −b20a1 − b0q0 mod s.

Puesto que 0 ≤ b1 < s, la ecuación (3.1) determina b1. Para hallar b2 procedemos de la mismaforma. Si b0a1 + b1a0 + q0 ≡ 0 mod s, entonces existe q1 ∈ Z tal que b0a1 + b1a0 + q0 = q1 · s.Usando nuevamente el algoritmo de la suma en la tercera cifra, debemos tener que

b0a2 + b1a1 + b2a0 + q1 ≡ 0 mod s.

Por lo tanto, b2a0 ≡ −b0a2 − b1a1 − q1 mod s y multiplicando a ambos miembros por b0

obtenemos

(3.2) b2 ≡ −b20a2 − b0b1a1 − b0q1 mod s.

Puesto que 0 ≤ b2 < s, la ecuación (3.2) determina b2. Siguiendo este método recursivamentepodemos determinar de manera unívoca un elemento b que es el inverso multiplicativo de a,siempre y cuando a0 sea coprimo con s. Por lo tanto, hemos probado lo siguiente:

Lema 3.4. U(Zs) = {(. . . a3a2a1a0) ∈ Zs| (a0, s) = 1}.

Observación 3.5. Para todo s, los elementos no nulos en Zs que comienzan con cifras nulas notienen inversos. Más aún, si s es primo, éstos son los únicos elementos no nulos no inversibles.

Ejemplo 3.6. Veamos cómo funciona en un ejemplo fácil, calculemos el inverso de (. . . 0005)6.Por el párrafo anterior, debemos buscar primero el inverso de 5 en Z/6Z que existe pues 5 escomprimo con 6. Como 5 · 5 = 25 ≡ 1 mod 6, tenemos que b0 = 5. Además, 25 = 6 · 4 + 1 loque implica que q0 = 4. Luego, siguiendo la ecuación (3.1) debemos buscar b1 tal que

b1 ≡ −b20a1 − b0q0 mod s

≡ −52 · 0− 5 · 4 mod 6

≡ −20 mod 6

≡ −2 mod 6

≡ 4 mod 6

Así, b1 = 4. Además b0a1 + b1a0 + q0 = 5 · 0 + 4 · 5 + 4 = 24 = 4 · 6 = q1 · s, de donde se sigueque q1 = 4. Por la ecuación (3.2) debemos buscar b2 tal que b2 ≡ −b2

0a2− b0b1a1− b0q1 mod s.Entonces

b2 ≡ −b20a2 − b0b1a1 − b0q1 mod s

≡ −52 · 0− 5 · 0 · 3− 5 · 4 mod 6

≡ −20 mod 6

≡ −2 mod 6

≡ 4 mod 6

Luego, b2 = 4. Además b0a2 + b1a1 + b2a0 + q1 = 5 · 0 + 4 · 0 + 4 · 5 + 4 = 24 = 4 · 6 = q2 · s, dedonde se sigue que q2 = 4. Ahora debemos buscar b3 tal que


b0a3 + b1a2 + b2a1 + b3a0 + q2 ≡ 0 mod s.

Entonces, operando en ambos miembros y multiplicando por b0 tenemos que

b3 ≡ −b20a3 − b0b1a2 − b0b2a1 − b0q2 mod s,

lo que en nuestro caso da

b3 ≡ −52 · 0− 5 · 4 · 0− 5 · 4 · 0− 5 · 4 mod 6

≡ −20 mod 6

≡ −2 mod 6

≡ 4 mod 6

Luego, b3 = 4. Claramente, de las cuentas se observa que bn = 4 para todo n ≥ 2, puesto queaj = 0 para todo j ≥ 1. En efecto, siempre tendremos que

bn ≡ −b20an − b0b1an−1 − . . .− b0bn−2a2 − b0bn−1a1 − b0qn mod 6,

≡ −b0qn mod 6,

≡ −5 · qn mod 6,

donde qn es tal que

b0an−1 + b1an−2 + . . .+ bn−2a1 + bn−1a0 + qn−1 = bn−1 · 5 + qn−1 = qn · 6.Usando inducción en n ≥ 2 se ve que bn = 4 y qn = 4 para todo n ≥ 2. En conclusión,(5)−1

6 = (. . . 44445)6.

Puesto que no todo elemento en Zs tiene inverso, para construir un cuerpo que contengaa Zs debemos introducir los inversos de los elementos no nulos. La extensión de los númerosenteros a los números racionales se ve re�ejada en el desarrollo decimal con la introducción dedecimales

1

10= 0, 01;

1

3= 0, 3333 . . .

Así, como el inverso de s ∈ Q es 1s

= s−1, debemos antes que nada, introducir los inversos delas potencias de s. Para ello usaremos la misma notación de los decimales, pero sólo admitiendo�nitas cifras después de la coma, así

(0, 1)s = 1 · s−1; (0, 01)s = 1 · s−2; (24, 131)5 = 2 · 51 + 4 + 1 · 5−1 + 3 · 5−2 + 1 · 5−3

Observación 3.7. En Q la escritura en base 10 admite in�nitas cifras a la derecha, luego dela coma. Aquí tomamos la convención opuesta, admitimos in�nitas cifras a la izquierda y sólo�nitas a la derecha, luego de la coma. La ventaja radica en el hecho que podemos seguir operandocon las operaciones de�nidas en las secciones anteriores.

El conjunto

Qs = {(. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−t| 0 ≤ ai < s, a−t 6= 0}se denomina el anillo de los números racionales s-ádicos. Es claro que, para obtener Qs bastaagregarle a Zs sucesiones con �nitos decimales. Así,


N ⊂ Z ⊂ Zs ⊂ Qs.

Al igual que antes, este conjunto resulta ser un anillo conmutativo. La demostración esanáloga a la demostración que Zs es un anillo, por tal motivo la obviaremos.

Lema 3.8. Todo entero s-ádico cuya primera cifra no nula es coprima con s tiene inverso en

Qs. En particular, Qs es un cuerpo si y sólo si s es primo.

Demostración. Sea a = (. . . at+1at 0 . . . 0︸︷︷︸t−veces

)s tal que (at, s) = 1. Entonces

s−ta = (0, 0 . . . 0︸︷︷︸(t−1)−veces

1)s · (. . . at+1at 0 . . . 0︸︷︷︸t−veces

)s = (. . . at+2at+1at)s.

Denotemos a = (. . . at+2at+1at)s. Como (at, s) = 1, del Lema 3.4 se sigue que a tiene uninverso multiplicativo en Zs. Si b = (. . . b2b1b0)s es tal inverso, entonces 1 = ba = bs−ta, lo queimplica que bs−t = (. . . bt+1bt, bt−1 . . . b1b0)s es el inverso de a.

Sabemos que para todo s ∈ N, Qs es un anillo conmutativo. Si s es primo, entonces todonúmero entero ai tal que 0 ≤ ai < s es coprimo con s. Por lo tanto, todo a ∈ Qs no nulo esinversible, lo que implica que Qs es un cuerpo. Recíprocamente, si Qs es un cuerpo, entoncestodo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo, lo que implica que todo número entero aital que 0 ≤ ai < s es coprimo con s, de donde se sigue que s es primo. �

De�nición 3.9. Si p es un número primo, entonces Qp se denomina el cuerpo de los números

p-ádicos.

Observación 3.10. Por construcción sabemos que Z ⊆ Qp para todo p primo. Como Qp es uncuerpo, se sigue que Q ⊆ Qp para todo p. En efecto, en general si k es un cuerpo que contienea Z, entonces k contiene una copia de Q: sea a ∈ Z tal que a 6= 0. Como k es un cuerpo, existea−1 ∈ k tal que aa−1 = a−1a = 1. Así podemos de�nir un homomor�smo de cuerpos � verejercicio 6,

f : Q→ k,a

b7→ ab−1,

que resulta ser inyectivo, pues si ab−1 = cd−1 en k, entonces ad = cb en k y por lo tanto en Z.Pero esto implica que a/b = c/d y consecuentemente f es inyectiva.

Para �nalizar esta sección, mostraremos un algoritmo basado en el algoritmo de división depolinomios, que nos permite escribir a los números racionales en Qp.Notar que hay racionales que ya podemos escribir en base p. Por ejemplo,

2

27=

2

33= (2, 001)3,

25

49=

3 · 7 + 4

72=

3

7+

4

72= (0, 3)7 + (0, 04)7 = (0, 34)7

Dado que admitimos in�nitas cifras a la izquierda, para realizar una división, pondremosal divisor a la izquierda y al dividivendo a la derecha, con el orden inverso. Por ejemplo, siqueremos dividir b = (. . . b2b1b0)p por a = (. . . a2a1a0)p escribimos

. . . a2a1a0| b0b1b2 . . .

Ahora bien, para escribir a/b en base p, procederemos a dividir a por b de acuerdo a estealgoritmo, que explicaremos en un ejemplo.

Ejemplo 3.11. (a) Escribir 12en base 3.


Para resolverlo, escribimos primero ambos números en base 3: 1 = (. . . 0001)3, 2 = (. . . 0002)3

y luego. . . 002| 100 . . .

Para encontrar el cociente, debemos hallar un número a tal que 2 × a ≡ 1 mod 3. Estenúmero es 2. Como 2× 2 = 4 = (. . . 0011)3 tenemos

. . . 002| 100 . . .2 110 . . .

El siguiente paso es realizar la resta (. . . 001)3 − (. . . 011)3. Como (. . . 011)3 es mayor que(. . . 001)3 debemos pedir prestado una �unidad� a la cifra de al lado, así

. . . 002| 1 0+3 2 2 . . .2 1 1 0 0 . . .

0 2 2 2 . . .

Ahora, el siguiente número es claramente 1, pues siempre tomamos como referencia las pri-meras cifras del dividendo y del divisor

. . . 0 0 2| 1 0+3 2 2 2 2 . . .1 2 1 1 0 0 . . .

0 2 2 2 2 2 . . .2 0 0 0 0 . . .0 2 2 2 2 . . .

Siguiendo la división de esta manera, tenemos que el cociente es (. . . 1112)3 y por lo tanto,ésta es la escritura de 1

2en base 3.

(b) Escribir 711

en base 3. Al igual que antes, debemos escribir primero 7 = 3·2+1 = (. . . 0021)3

y 11 = 3 · 3 + 2 = (. . . 00102)3. Luego, la primera cifra del cociente es claramente 2, y como(. . . 002)3 × (. . . 00102)3 = (. . . 00211)3 tenemos que

. . . 0 0 1 0 2| 1 2 0 0 0 . . .2 1 1 2 0 0 . . .

Restando y procediendo de la misma manera tenemos

. . . 0 0 1 0 2| 1 2 0+3 2 2 2 2 2 2 . . .1 1 0 0 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 . . .

0 1 1 2 2 2 2 2 2 . . .1 1 2 0 0 0 0 0 . . .0 0 0 2 2 2 2 2 . . .

2 0 1 0 0 . . .0 2 1 2 2 . . .

2 0 1 0 . . .0 1 1 2 . . .

Siguiendo de esta manera, se pueder ver que

7

11= (. . . 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 0 2 2)3.

Notar que a partir de la cuarta cifra se repite el período 0211.

Observación 3.12. (a) Al igual que en el desarrollo decimal, en el que los números racionalesse identi�can con los números reales cuyos decimales poseen períodos, en Qp los racionales sonaquellos números que tienen períodos en sus desarrollos en base p � ver [1, Teo. II.2.2].


(b) Notar que este algoritmo sirve para hallar los desarrollos en base s para cualquier racionalen Qs, sin importar que s sea primo, siempre y cuando la primera cifra del denominador seacoprima con s.

Ejercicios.

1. Considere el anillo de enteros s-ádicos Zs.a) Probar que (. . . 000)s es el neutro para la suma y que (. . . 001)s es el neutro para

el producto.b) El inverso aditivo de un elemento (. . . a2a1a0)s está dado por la sucesión

(. . . [(s− 1)− a2][(s− 1)− a1](s− a0))s.

Si α = (. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−m)p ∈ Qp ¾Cuál es su inverso aditivo?2. Calcular (11)−1

2 , (2)−13 , (3)−1

4 .3. Probar que α = (. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−m)p ∈ Qs tiene �nitas cifras, i.e. ai = 0 para

todo i mayor o igual a un cierto N ∈ N, si y sólo si α ∈ Q es positivo y su denominadores una potencia de p.

4. Probar que α = (. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−m)p ∈ Qs tiene cifras que se repiten, i.e. ai =ai+r para algún r ∈ N y para todo i mayor o igual a un cierto N ∈ N, si y sólo si α ∈ Q.

5. Probar que car Qp = 0.6. Sean k y k′ dos cuerpos. Un homomor�smo de cuerpos es una aplicación f : k→ k′ tal

que(i) f(1) = 1, f(0) = 0,

(ii) f(a+ b) = f(a) + f(b) para todo a, b ∈ k,(iii) f(ab) = f(a)f(b) para todo a, b ∈ k.

Probar que siempre se tiene que f(a−1) = f(a)−1 para todo a ∈ k no nulo.7. Si f : Q→ k es un mor�smo de cuerpos, entonces f(a) = a · 1 para todo a ∈ Z.8. Veri�car que las divisiones en el ejemplo 3.11 están bien hechas, es decir, ver que

(. . . 1112)3 × (. . . 0002)3 = 1 y que (. . . 2011 0211 1022)3 × (. . . 00102)3 = (. . . 0021)3.9. Escribir

a) 14, 1

9512

en base 3.

b) 203, 25

11512

en base 5.

c) 15en base 6. Comparar con el ejemplo 3.6.

10. ¾Cuáles de los siguientes números 11-ádicos tiene raíces cuadradas en Q11?

(i) 5 (ii) 7 (iii) − 7(iv) 5 + 3 · 11 + 9 · 112 + 1 · 113 (v) 3 · 11−2 + 6 · 11−1 + 3 + 7 · 112

(vi) 3 · 11−1 + 6 + 3 · 11 + 7 · 113 (vii) 1 · 117

(viii) 7− 6 · 112 (ix) 5 · 11−2 +∑∞

n=0 n · 11n.

11. ¾Para qué p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 tiene −1 una raíz cuadrada en Qp?12. Sea p un número primo impar y supongamos que α ∈ Zp. Describir un método que

decida cuándo α tiene una raíz cuadrada en Qp. Probar que existen cuatro númerosα1, α2, α3, α4 ∈ Qp tales que para todo elemento no nulo α ∈ Qp, exactamente uno delos números αα1, αα2, αα3, αα4 tiene una raíz cuadrada. En el caso que reemplazamosp por ∞ y Qp por R, existen dos números, por ejemplo ±1.

4. Cuerpo de números p-ádicos

Con lo hecho hasta aquí, hemos encontrado in�nitos cuerpos Qp, uno para cada númeroprimo, que contienen a Q. En esta sección de�niremos más rigurosamente dichos cuerpos yprobaremos que admiten una representación como la dada en el capítulo anterior.


4.1. Distancias y normas. En esta sección recordamos la de�nición de distancia, o métrica,y norma para aplicarla a la construcción de los números p-ádicos.

De�nición 4.1. Sea X un conjunto no vacío. Una métrica o distancia sobre X es una funciónd : X ×X → R≥0 tal que para todo x, y ∈ X se cumple

(d1) d(x, y) = 0⇔ x = y.(d2) d(x, y) = d(y, x).(d3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo z ∈ X (desigualdad triangular).

A un par (X, d) con X un conjunto no vacío y d una métrica en X, se lo denomina espacio

métrico. En lo que sigue, sólo consideraremos X = Q con diferentes métricas.

Ejemplo 4.2. (Q, | · |) es un espacio métrico, donde d(x, y) = |y− x| es el valor absoluto. Éstaes la distancia usual en Q.

Ahora recordamos la de�nición de norma sobre un cuerpo.

De�nición 4.3. Una norma ‖ · ‖ sobre un cuerpo k es una aplicación ‖ · ‖ : k→ R≥0 tal quepara todo x, y ∈ k se tiene

(n1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0.(n2) ‖x · y‖ = ‖x‖‖y‖.(n3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdad triangular).

Ejemplo 4.4. Si tomamos k = Q, es fácil ver que el valor absoluto | · | es una norma en Q.

Diremos que una distancia d está inducida por una norma ‖ · ‖ si

d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ k.

En lo que sigue, de�niremos otras normas sobre Q que darán lugar a otras nociones dedistancia. Éstas van a satisfacer las propiedades (d1), (d2), (d3) pero van a diferir bastantede las nociones intuitivas de la distancia inducida por el valor absoluto. Todas estas normascumplen una relación más fuerte que la propiedad (n3), la desigualdad triangular. Este hechonos lleva a la de�nición básica del análisis p-ádico.

De�nición 4.5. Una norma se dice no arquimedeana si para todo x, y ∈ k se tiene que

‖x+ y‖ ≤ max (‖x‖, ‖y‖).

Una métrica en un conjunto X se dice no arquimedeana si d(x, y) ≤ max (d(x, z), d(z, y))para todo x, y, z ∈ X. En particular, una métrica sobre un cuerpo k es no arquimedeana si estáinducida por una norma no arquimedeana.

Decimos que una métrica es trivial si ‖0‖ = 0 y ‖x‖ = 1, para todo x 6= 0.

Observación 4.6. Nuestra intuición sobre distancia está basada en la métrica inducida por elvalor absoluto. Por tal motivo, algunas propiedades de las métricas no arquimedeanas puedenparecer algo extrañas al principio. Por ejemplo, la propiedad (d3) se conoce como la desigualdadtriangular puesto que, en el caso del cuerpo de los números complejos con la distancia usual(ver ejercicio 3 de esta sección), dice que en el plano complejo, la suma entre dos lados de untriángulo es mayor que el tercer lado.


��

��

��

hhhhhhhhhhhhhhheeeeeed(x, z)

d(x, y)

d(z, y)x

y

z

Veamos qué sucede con una norma no arquimedeana sobre un cuerpo. Por simplicidad, su-pongamos que z = 0. Entonces la desigualdad triangular para una norma no arquimedeana selee como ‖x − y‖ ≤ max (‖x‖, ‖y‖). Supongamos primero que los lados x e y tienen distintalongitud, i.e. ‖x‖ < ‖y‖. Luego, el tercer lado x− y tiene longitud

‖x− y‖ ≤ ‖y‖.Pero

‖y‖ = ‖x− (x− y)‖ ≤ max {‖x‖, ‖x− y‖}.Como ‖y‖ > ‖x‖, debe ser que ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ y por lo tanto tenemos que ‖x− y‖ = ‖y‖. En

conclusión, si tenemos dos lados de un triángulo que no tienen la misma longitud, el más largodebe tener la misma longitud que el tercer lado. Por ende,

Todo triángulo en un espacio métrico con una métrica no arquimedeana es isósceles

Ejercicios.

1. Probar que el valor absoluto | · | es una norma no-arquimedeana sobre Q y la distanciausual sobre Q es la inducida por la norma.

2. Probar que la función d : Q×Q→ R≥0 de�nida por

d(x, y) =

{0 si x = y

1 si x 6= y

es una métrica en Q. Esta métrica se denomina la métrica trivial.3. Se de�ne la siguiente aplicación sobre números complejos

‖ · ‖ : C× C→ R≥0, ‖z‖ =√x2 + y2

donde z = x + iy es la escritura de un número complejo como parte real más parteimaginaria. Probar que ‖ · ‖ es una norma en C. Si restringimos esta norma a Q, ¾Cuáles la norma inducida?

4. Probar que si ‖ · ‖ es cualquier norma sobre un cuerpo k, entonces ‖ − 1‖ = ‖1‖ = 1.Probar que si ‖ · ‖ es no arquimedeana, entonces para todo entero n, ‖n‖ ≤ 1 (aquí nes el resultado de sumar n-veces 1 en el cuerpo).

4.2. Orden p-ádico y métricas sobre Q. En esta sección de�niremos métricas sobre Q,una para cada número primo. Como se verá más adelante � ver Teorema 4.14, toda métrica notrivial sobre Q es equivalente a una de éstas. Denotaremos por P al conjunto de los númerosprimos. Comenzaremos por de�nir el orden p-ádico.

Sea m ∈ Z y p ∈ P . Por νp(m) denotaremos la máxima potencia de p que divide a m, esdecir, el mayor n tal que m ≡ 0 mod pn. Entonces, si m 6= 0,


(4.1) 0 ≤ νp(m), pa|m⇒ a ≤ νp(m), pνp(m)|m.

Además es claro que p|m⇔ νp(m) > 0.

De�nición 4.7. νp(m) se denomina el orden p-ádico o el orden dem con respecto a p. De�nimostambién νp(0) =∞.

Ejemplo 4.8. ν5(40) = 1 y ν2(40) = 3, pues 40 = 5 · 23. Análogamente ν2(81) = 0, ν3(81) = 4y ν5(100) = 2.

Observación 4.9. Del Teorema Fundamental de la Aritmética se sigue que ∀ m ∈ Z, m =

εpνp1 (m)1 · pνp2 (m)

2 · · · pνpt (m)t , donde ε = ±1. En efecto, sabemos que todo número entero m se

escribe de manera única como potencias de primos distintos m = εpn11 · pn2

2 · · · pntt . Claramente,

la mayor potencia de pi que divide a m es ni, para todo 1 ≤ i ≤ t. Así, ni = νpi(m) para todo

1 ≤ i ≤ t.Como νp(m) = 0 si p - m, podemos escribir

m =∏p∈P

pνp(m).

En el siguiente lema resumimos algunas propiedades del orden. En la lista de ejercicios al�nal de esta sección el lector puede encontrar algunas propiedades más.

Lema 4.10. Para todo m,n ∈ Z se tiene

(i) νp(m · n) = νp(m) + νp(n),(ii) νp(m+ n) ≥ mın{νp(m), νp(n)},

(iii) Si νp(m) 6= νp(n), entonces νp(m+ n) = mın{νp(m), νp(n)}.

Demostración. (i) Por la Observación 4.9 podemos escribir m =∏

p∈P pνp(m) y n =

∏p∈P p

νp(n).Así,

m · n =∏p∈P

pνp(m)+νp(n) =∏p∈P

pνp(m·n),

lo que implica por el Teorema Fundamental de la Aritmética que νp(m · n) = νp(m) + νp(n).

(ii) Sabemos que pνp(m)|m y pνp(n)|n. Si tp = mın{νp(m), νp(n)}, entonces ptp |pνp(m), ptp |pνp(n)

y por ende ptp|m y ptp |n. Consecuentemente ptp |m + n, de donde se sigue que νp(m + n) ≥mın{νp(m), νp(n)} por (4.1).

(iii) Supongamos que νp(m) 6= νp(n) y que tp = νp(n). Por (ii) sabemos que νp(m+ n) ≥ tp.Luego, debemos probar la otra desigualdad. Si ps|m+n, con νp(n) ≤ s ≤ νp(m), entonces ps|my por lo tanto ps|n. Esto sucede si y sólo si s ≤ νp(n), lo que prueba que s = νp(n). �

Ahora extendemos el orden p-ádico para los números racionales. Para x = a/b ∈ Q, (a, b) = 1,de�nimos

νp(x) = νp(a)− νp(b).Por ejemplo, ν3(2

9) = −2, ν5(3

7) = 0 y ν7(14

5) = 1.

Observación 4.11. Notar que esta de�nición del orden sobre Q no depende de la escritura dex, pues si x = ac

bcentonces νp(acbc ) = νp(ac)− νp(bc) = νp(a)− νp(b), por el Lema 4.10 (i).


Más aún, de�nimos ahora para todo p ∈ P la aplicación | · |p : Q→ R≥0 dada por

|x|p =

{p−νp(x) si x 6= 0,

0 si x = 0.

Denotaremos de aquí en más | · |∞ al valor absoluto usual. Cabe aclarar que ésta es sólo unaconvención que adoptamos y no implica una relación directa entre | · |∞ y | · |p.

Proposición 4.12. Para todo p ∈ P, | · |p es una norma no arquimedeana sobre Q.

Demostración. Para ver que | · |p es una norma, debemos ver que se veri�can las propiedades(n1), (n2) y (n3) de la De�nición 4.3.

Sea x ∈ Q. Claramente por de�nición |x|p 6= 0 si y sólo si x 6= 0. Luego, | · |p veri�ca (n1).Sea y ∈ Q. Si x = 0 o y = 0, entonces |xy|p = 0 = |x|p|y|p. Si x 6= 0 6= y, entonces por el Lema4.10 (i) tenemos que

|xy|p = p−νp(xy) = p−νp(x)−νp(y) = p−νp(x) · p−νp(y) = |x|p|y|p,lo que implica que se cumple (n2).

Probemos ahora (n3). Si x = 0 o y = 0 o si x+y = 0, la propiedad (n3) se veri�ca trivialmente.Por lo tanto, podemos suponer que x, y, x+ y son no nulos. Escribamos x = a/b, y = c/d talesque (a, b) = 1 = (c, d). Entonces x+ y = (ad+ bc)/bd y νp(x+ y) = νp(ad+ bc)− νp(b)− νp(d).Luego, del Lema 4.10 (ii) se sigue que

νp(x+ y) ≥ mın{νp(ad), νp(bc)} − νp(b)− νp(d)

= mın{νp(a) + νp(d), νp(b) + νp(c)} − νp(b)− νp(d)

= mın{νp(a)− νp(b), νp(c)− νp(d)}= mın{νp(x), νp(y)}

Por lo tanto, |x + y|p = p−νp(x+y) ≤ p−mın{νp(x),νp(y)} = max{p−νp(x), p−νp(y)} = max{|x|p, |y|p},y esto es menor o igual que |x|p + |y|p. En particular, hemos probado que la norma es noarquimedeana. �

4.2.1. Equivalencias de normas y el Teorema de Ostrowski.

De�nición 4.13. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión {an}n∈N = (a1, a2, a3, . . .) sedice una sucesión de Cauchy si para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que d(an, am) < ε para todon,m ≥ n0.

Diremos que dos métricas d1, d2 sobre un conjunto X son equivalentes si una sucesión {an}n∈Nes de Cauchy con d1 si y sólo si {an}n∈N es de Cauchy con d2. Diremos que dos normas sonequivalentes si las métricas que inducen son equivalentes.

En la de�nición de | · |p podríamos haber escrito ρνp(x) con ρ ∈ (0, 1) en lugar de (1/p)νp(x). Dehaberlo hecho, hubiéramos obtenido una norma no arquimedeana equivalente � ver Ejercicios 7y 8. La razón por la cual se toma ρ = 1/p está relacionada con la fórmula dada por el Ejercicio11.

Teorema 4.14. (Ostrowski) Toda norma no trivial ‖ · ‖ sobre Q es equivalente a | · |p para

algún primo p o p =∞.

Demostración. Caso 1: Supongamos que existe un entero positivo n tal que ‖n‖ > 1. Sea n0 elmenor de tales n. Como ‖n0‖ > 1, existe un número real positivo α tal que ‖n0‖ = nα0 . Sea ncualquier número entero positivo y


n = a0 + a1n0 + a2n20 + · · ·+ asn

s0, donde 0 ≤ ai < n0 y as 6= 0,

su desarrollo n0-ádico. Entonces

‖n‖ ≤ ‖a0‖+ ‖a1n0‖+ ‖a2n20‖+ · · ·+ ‖asns0‖

= ‖a0‖+ ‖a1‖nα0 + ‖a2‖n2α0 + · · ·+ ‖as‖nsα0 .

Como para todo 1 ≤ i ≤ s vale que ai < n0, por nuestra elección de n0 tenemos que ‖ai‖ ≤ 1y por lo tanto

‖n‖ ≤ 1 + nα0 + n2α0 + · · ·+ nsα0

= nsα0 (1 + n−α0 + n−2α0 + · · ·+ n−sα0 )

≤ nα

(∞∑i=0

(1/nα0 )i

),

pues n ≥ ns0. La expresión entre pareréntesis es una serie convergente, y por lo tanto es unaconstante �nita a la cual llamaremos C. Luego,

‖n‖ ≤ Cns para todo n ∈ N.

Ahora tomemos cualquier entero positivo n y cualquier entero positivo N su�cientementegrande y reemplacemos nN en lugar de n en la desigualdad anterior:

‖nN‖ = ‖n‖N ≤ CnNα.

Tomando raíces N -ésimas obtenemos

‖n‖ ≤ C1/Nnα.

Haciendo tender N →∞ para un n �jo se sigue que ‖n‖ ≤ nα.

Probemos ahora la desigualdad hacia el otro lado. Si escribimos n en base n0 como antes,tenemos que ns+1

0 > n ≥ ns0. Como ‖ns+10 ‖ = ‖n+ ns+1

0 − n‖ ≤ ‖n‖+ ‖ns+10 − n‖ se sigue que

‖n‖ ≥ ‖ns+10 ‖ − ‖ns+1

0 − n‖ ≥ n(s+1)α0 − (ns+1

0 − n)α,

puesto que ‖ns+10 ‖ = n

α(s+1)0 y por la primera parte de la prueba ‖ns+1

0 − n‖ ≤ (ns+10 − n)α.

Como n ≥ ns0, tenemos que

‖n‖ ≥ n(s+1)α0 − (ns+1

0 − ns0)α

= n(s+1)α0

[1−

(1− 1

n0

)α]≥ C ′nα,

para una cierta constante C ′ que puede depender de n0 y de α pero no de n. Como antes,usamos la desigualdad anterior para nN en lugar de n y tomamos raíces N -ésimas obteniendo‖n‖ ≥ (C ′)1/nnα. Haciendo tender nuevamente N →∞ tenemos que ‖n‖ ≥ nα.

En conclusión, hemos probado que ‖n‖ = nα para todo n ∈ N. De aquí se deduce que estaigualdad vale para cualquier x ∈ Q. En efecto, si x = a/b ∈ Q, a ∈ Z, b ∈ N, y a = ε|a|,ε = ±1, entonces


∥∥∥ab

∥∥∥ = ‖a‖∥∥∥∥1

b

∥∥∥∥ = ‖a‖‖b−1‖ = ‖a‖‖b‖−1 = ‖ε|a|‖‖b‖−1 = ‖ε‖|a|αb−α = |a|αb−α,

pues la igualdad vale para para todo número natural. Luego, por el Ejercicio 10 tenemos que‖ · ‖ es equivalente al valor absoluto | · | en Q.

Caso 2: Supongamos que ‖n‖ ≤ 1 para todos los enteros positivos n y sea n0 el menor de talesn tal que ‖n0‖ < 1. Dicho número existe pues estamos suponiendo que la norma es no trivial.Más aún, tal número debe ser primo, pues de lo contrario, n0 = n1n2, con 1 < n1, n2 < n0 ydebe ser ‖n1‖ = ‖n2‖ = 1 por nuestra elección de n0. Esto implicaría que ‖n0‖ = ‖n1n2‖ =‖n1‖‖n2‖ = 1, lo cual contradice la elección de n0. Denotemos p = n0 a este número primo.

Sea q un número primo distinto de p. Entonces ‖q‖ = 1. En efecto, supongamos que existeq 6= p tal que ‖q‖ < 1. Entonces existe N ∈ N tal que ‖qN‖ = ‖q‖N < 1/2. Además, como‖p‖ < 1, existe M ∈ N tal que ‖pM‖ = ‖p‖M < 1/2. Como pM y qN son coprimos, existennúmeros enteros n y m tales que 1 = mpM + nqN . Pero entonces por (n1) y (n2) tenemos que

1 = ‖1‖ = ‖mpM + nqN‖ ≤ ‖mpM‖+ ‖nqN‖ = ‖m‖‖pM‖+ ‖n‖‖qN‖ = ‖m‖‖p‖M + ‖n‖‖q‖N .

Pero por hipótesis tenemos que ‖m‖, ‖n‖ ≤ 1, lo que implica

1 = ‖p‖M + ‖q‖N <1

2+

1

2= 1,

una contradicción. Por lo tanto, ‖q‖ = 1.

Consideremos ahora cualquier número entero positivo a. Por el Teorema Fundamental de laAritmética, sabemos que a se factoriza como a = pb11 p

b22 · · · pbrr , donde pi ∈ P son todos distintos.

Así, por (n2) tenemos que ‖a‖ = ‖p1‖b1‖p2‖b2 · · · ‖pr‖br . Pero este producto es igual a 1 a menosque exista 1 ≤ i ≤ r tal que pi = p. La potencia correspondiente sería en este caso bi = νp(a).Por lo tanto, si tomamos ρ = ‖p‖ < 1, tenemos que

‖a‖ = ρνp(a).

Al igual que antes, la propiedad (n2) de la de�nición de norma implica que esta igualdadvale para todo x ∈ Q en lugar de a. Finalmente, por el Ejercicio 8 tenemos que esta norma esequivalente a | · |p, lo que termina de probar el teorema. �

4.3. Completación de Q. Como todos sabemos, hay una gran ventaja, tanto en álgebracomo en análisis, en pasar del cuerpo de los racionales Q al cuerpo de los números reales R.Uno de los grandes problemas al trabajar con Q es que no toda sucesión de Cauchy con el valorabsoluto | · | es convergente en Q, es decir, una sucesión de Cauchy puede no converger a unnúmero racional. Estos agujeros en Q son llenados por el proceso de completación que da comoresultado R. Si consideramos a Q con la norma p-ádica, con p un número primo, resulta queQ tampoco es completo con esta norma. Su completación da lugar al cuerpo Qp de númerosp-ádicos.

Uno de los métodos conocidos para completar espacios es el método de Cantor, el cualutilizaremos más adelante. Primero necesitamos algunas de�niciones.

De�nición 4.15. Sea k un cuerpo y ‖ · ‖ una norma en k. Decimos que una sucesión {an}n∈Nes convergente a un elemento a ∈ k si para todo número real ε > 0 existe N ∈ N tal que‖an − a‖ < ε para todo n ≥ N . En términos de la distancia d inducida por la norma esto setraduce en d(an, a)→ 0 cuando n→∞.


Ejemplo 4.16. Si k = Q y ‖ · ‖ = | · |, entonces la sucesión dada por an = 1/n converge a 0,pero la sucesión dada por bn = (1 + 1/n)n es una sucesión de Cauchy que converge al númeroreal e, que no es racional.

De�nición 4.17. Un cuerpo k se dice completo con respecto a una norma ‖ · ‖ si toda sucesiónde Cauchy en k es convergente con respecto a la norma ‖ · ‖.

Ejemplo 4.18. Como es sabido, o por el ejemplo anterior, Q no es completo con respecto alvalor absoluto, mientras que R y C son completos con sus valores absolutos usuales.

Comenzaremos ahora a construir completaciones de Q con distintas normas. En general,dado un cuerpo k con una norma ‖ · ‖, se puede construir un cuerpo completo k, llamado lacompletación de k, que contiene un cuerpo k isomorfo a k y tal que k es denso en k. Más aún,k es único salvo isomor�smo isométrico, es decir, si k′ es otro cuerpo que es una completaciónde k, no sólo resulta que los cuerpos son isomorfos, sino que también el isomor�smo preservadistancias. En ese caso, decimos que estos dos cuerpos son congruentes.

Sea k un cuerpo con una norma ‖ · ‖ y sean {an} y {bn} dos sucesiones de Cauchy de k conrespecto a ‖ · ‖. Se de�ne la suma y el producto entre sucesiones de Cauchy por la suma y elproducto término a término, esto es,

{an}+ {bn} = {an + bn} y {an} · {bn} = {anbn}.Veamos ahora que el conjunto de sucesiones de Cauchy es cerrado con respecto a estas

operaciones. Claramente, {an + bn}n∈N es una sucesión de Cauchy pues {an}n∈N y {bn}n∈N sonde Cauchy y

‖an + bn − (am + bm)‖ ≤ ‖an − am‖+ ‖bn − bm‖,por la desigualdad triangular. Por otro lado, como toda sucesión de Cauchy es acotada, sededuce que la sucesión {anbn}n∈N también es de Cauchy. En efecto,

‖anbn − ambm‖ = ‖anbn − anbm + anbm − ambm‖= ‖an(bn − bm) + bm(an − am)‖≤ ‖an‖‖bn − bm‖+ ‖bm‖‖an − am‖≤ K‖bn − bm‖+K ′‖an − am‖,

donde ‖an‖ ≤ K para todo n ∈ N y ‖bn‖ ≤ K ′ para todo n ∈ N. Esto implica que si dossucesiones {an} y {bn} son de Cauchy, entonces su producto también.

Además, si {an} es una sucesión de Cauchy, entonces la sucesión −{an} = {−an} de�nidapor el inverso aditivo en cada coordenada, es una sucesión de Cauchy. De aquí se sigue que elconjunto A de sucesiones de Cauchy de k con respecto a estas dos operaciones es un anillo,cuya unidad está dada por la sucesión {un}, un = 1 para todo n ∈ N, que al ser constante esclaramente de Cauchy � ver Ejercicio 16.

De�nición 4.19. Una sucesión {an} se dice una sucesión nula con respecto a una norma ‖ · ‖si para todo número real ε > 0, existe un número natural N tal que ‖an‖ < ε para todo n ≥ N .En otras palabras, una sucesión se llama nula con respecto a ‖ · ‖, si es convergente a 0 conrespecto a ‖ · ‖.

Claramente, una sucesión nula con respecto a ‖ · ‖ es una sucesión de Cauchy en k conrespecto a ‖ · ‖.


En lo que sigue, consideramos un cuerpo k con una norma ‖ · ‖. En general diremos que unasucesión es nula, sin referirnos a la norma, si es claro a qué norma nos referimos.Sean {an} y {bn} dos sucesiones nulas. Entonces, la sucesión dada por {an}+{bn} es también

una sucesión nula, pues por la desigualdad triangular tenemos que

‖an + bn‖ ≤ ‖an‖+ ‖bn‖.Más aún, si {cn} es una sucesión de Cauchy y {an} es una sucesión nula, entonces la sucesión{ancn} dada por el producto de ambas es una sucesión nula, ya que toda sucesión de Cauchyes acotada y

‖ancn‖ = ‖an‖‖cn‖ ≤ ‖an‖K,donde cn ≤ K para todo n ∈ N. Por lo tanto, hemos probado que el conjunto M de sucesionesnulas es un ideal del anillo A. Más aún, mostraremos en lo que sigue que este ideal es un idealmaximal de A y por ende, el cociente A/M es un cuerpo.Notar primero que si una sucesión {an} de Cauchy es no nula, entonces existe un número

real ε > 0 y N ∈ N tal que

‖an‖ ≥ ε, ∀ n > N.

Puesto que de lo contrario, para todo ε > 0 y N ∈ N existe n > N tal que ‖an‖ < ε. Peropor ser {an} de Cauchy tenemos que existe un entero N0 tal que ‖an − am‖ < ε para todon,m > N0, y consecuentemente

‖am‖ ≤ ‖an‖+ ‖am − an‖ < 2ε,

para todo ε > 0, siempre que m > N0, lo cual implica que {an} es una suesión nula, unacontradicción.Ahora bién, sea {an} una sucesión de Cauchy no nula y sean ε yN como más arriba. De�nimos

entonces la sucesión {bn} por

(4.2) bn =

{0 para n ≤ N1an

para n > N.

Esta sucesión resulta ser una sucesión de Cauchy, pues si n,m > N entonces

‖bn − bm‖ =

∥∥∥∥ 1

an− 1

am

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥am − ananam

∥∥∥∥ ≤ ‖am − an‖ε2.

Como {an} es una sucesión de Cauchy, para todo número real ε′ > 0, existe N0 ∈ N tal que‖am − an‖ < ε′ε2, para todo n,m ≥ N0. Esto implica que

‖bn − bm‖ ≤‖am − an‖

ε2< ε′,

para todo n,m ≥ N0 y consecuentemente {bn} es de Cauchy. Notar que con esta de�nición valeque

(4.3) {an} · {bn} = (0, . . . 0︸︷︷︸N−veces

, 1, 1 . . .) = (1, 1, . . .)− (1, . . . 1︸︷︷︸N−veces

, 0, 0 . . .).

Veamos ahora que el ideal M es maximal. Claramente M es no trivial, pues es no nulo y nocontiene a la sucesión constantemente 1. Sea I un ideal de A que contiene propiamente a M .


Entonces, existe una sucesión {an} ∈ I que es no nula, es decir {an} /∈M . Sea {bn} la sucesiónde Cauchy correspondiente construida en (4.2). Como I es un ideal, tenemos que {an}{bn} ∈ I,pero esto implica por (4.3) que (1, 1, . . .)− (1, . . . 1︸︷︷︸

N−veces

, 0, 0 . . .) ∈ I. Como (1, . . . 1︸︷︷︸N−veces

, 0, 0 . . .) es una

sucesión nula yM ⊆ I, se sigue que (1, 1, . . .) ∈ I, lo que implica que I = A y consecuentementeM es maximal.

De�nimos entoncesk = A/M,

el cociente de A por el ideal maximal M . Por el ejercicio 11, k es un cuerpo.

Sea ahora a ∈ k, por {a} denotamos la sucesión constante igual a a, que obviamente es deCauchy. Con esto en mente de�nimos la aplicación

(4.4) f : k→ k

dada por f(a) = {a}+M , para todo a ∈ k. Esta aplicación resulta ser claramente un mor�smode cuerpos que es inyectivo, pues si f(a) = 0, esto implica que 0 = {a} + M y por lo tanto{a} ∈M es una sucesión nula, pero esto sucede si y sólo si a = 0. Así, si de�nimos

k = {{a}+M | a ∈ k},por lo probado anteriormente, resulta que k ' k. Por lo tanto, identi�camos a k con k.

Teorema 4.20. Dado un cuerpo k con una norma ‖ · ‖, existe un cuerpo k, único salvo con-

gruencia, llamado la completación de k, tal que k es completo con respecto a la norma inducida

por la norma ‖ · ‖ y k es denso en k.

Demostración. La construcción del cuerpo k fue dada anteriormente. Lo que resta probar esque la norma de k induce una norma en k, el mor�smo f en (4.4) respeta la norma, k es densoen k y k es completo con la norma inducida.

Sea {an}+M ∈ k. Entonces, la sucesión de números reales dada por {‖an‖} es una sucesiónde Cauchy en R, pues {an} es una sucesión de Cauchy en k y de la desigualdad triangular sededuce que

|‖an‖ − ‖am‖| ≤ ‖an − am‖.Como R es completo con respecto a | · |, la sucesión {‖an‖} tiene límite en R. De�nimos

entonces la norma en k como

‖{an}+M‖ = lımn→∞

‖an‖.

Esta norma está bien de�nida: sea {bn} ∈ A tal que {an} + M = {bn} + M . Entonces{an − bn} = {an} − {bn} ∈M . Usando nuevamente la desigualdad triangular, tenemos que

|‖an‖ − ‖bn‖| ≤ ‖an − bn‖ → 0,

esto es, lımn→∞ ‖an‖ = lımn→∞ ‖bn‖, y la norma resulta bien de�nida.

Demostremos ahora que el mor�smo f en (4.4) respeta la norma, es decir, ‖f(a)‖ = ‖a‖para todo a ∈ k. Pero ‖f(a)‖ = ‖{a}+M‖ = lımn→∞ ‖a‖ = ‖a‖. En particular, el mor�smo finduce un isomor�smo isométrico entre k y su imagen por f .


Veamos ahora que k = k es denso en k, esto es, para todo elemento {an} + M ∈ k, y todonúmero real ε > 0, existe b ∈ k tal que ‖({an}+M)− ({b}+M)‖ < ε. Sea ε > 0. Como {an}es una sucesión de Cauchy en k, existe N ∈ N tal que ‖an − am‖ < ε para todo n,m ≥ N .Tomemos entonces la sucesión constante dada por {am}, m ≥ N y su respectivo elemento{am}+M en k ⊆ k. Entonces

‖({an}+M)− ({am}+M)‖ = lımn→∞

‖an − am‖ ≤ ε.

Finalmente probemos que k es completo con la norma inducida. Sea {{an} + M}n∈N unasucesión de Cauchy en k, esto es, {an} es una sucesión constante con valor an,

{an}+M = (an, an, an, . . . ) +M.

Como ‖{an}+M‖ = ‖f(an)‖ = ‖an‖, tenemos que la sucesión (a1, a2, a3, . . .) es una sucesiónde Cauchy en k. Por lo tanto, esta sucesión determina un elemento en k, a saber (a1, a2, a3, . . .)+

M , que resulta ser el límite de la sucesión {{an}+M}n∈N en k. En efecto,

lımn→∞

‖[(a1, a2, a3, . . .) +M ]− [(an, an, an, . . .) +M ]‖ = lımn→∞

(lımm→∞

‖am − an‖)

= 0

Sea {αn}n∈N = {({ak}+M)n}n∈N una sucesión de Cauchy arbitraria en k, esto es, para cadan ∈ N, el elemento ({ak} + M)n consta de una sucesión de Cauchy {ak} de k. Como k = k esdenso en k, existe una sucesión de elementos β1, β2, β3, . . . en k, con βk = (bk, bk, · · · ) + M ybk ∈ k tales que

‖αn − βn‖ <1

n.

Como

‖βn − βm‖ ≤ ‖βn − αn‖+ ‖αn − αm‖+ ‖αm − βm‖,tenemos que {βn}n∈N es una sucesión de Cauchy en k. Por lo visto anteriormente, esta sucesióntiene un límite en k dado por β = (b1, b2, b3, . . .) +M . Pero entonces

‖αn − β‖ ≤ ‖αn − βn‖+ ‖βn − β‖,lo que implica que lımn→∞ αn = β y consecuentemente k es completo. Con esto �naliza laprueba. �

Observación 4.21. Hablando de forma poco precisa, podríamos resumir el proceso de completa-ción de la siguiente manera: a cada sucesión de Cauchy que no tiene un límite en k se le asociaun elemento ideal y a sucesiones de Cauchy equivalentes, le asociamos el mismo elemento ideal.Estos elementos, junto con los del cuerpo k forman la completación de k.

De�nición 4.22. La completación del cuerpo de los números racionales Q con respecto a lanorma p-ádica se denomina el cuerpo de los números p-ádicos y se denota por Qp. Denotaremostambién por | · |p a la extensión de la norma de Q a Qp.

De�nimos además

Zp = {α ∈ Qp| |α|p ≤ 1}.A un elemento de Zp se lo llama entero p-ádico. Se puede ver fácilmente � Ejercicio 17 � queZp es un anillo con las operaciones de�nidas para Qp, esto es, Zp es un subanillo de Qp.


Esta construcción abstracta nos da la oportunidad de comparar la construcción p-ádica conla construccón de los números reales y ver que el procedimiento es esencialmente el mismo. Sinembargo, el siguiente teorema nos ayuda a olvidarnos pronto de las sucesiones de Cauchy parapensar en términos más concretos, como en los capítulos anteriores de estas notas.

Teorema 4.23. Toda clase de equivalencia α ∈ Zp tiene exactamente una sucesión de Cauchy

{an} que la representa que cumple que

(i) 0 ≤ an < pn para n ≥ 1,(ii) an ≡ an+1 mod pn para n ≥ 1.

Demostración. [4, Teo. I.2]. �

¾Qué se puede decir si un número p-ádico α no satisface que |α|p ≤ 1? Sea α ∈ Qp ysupongamos que |α|p = pm, m ≥ 1. Entonces el número p-ádico α′ = pmα satisface que|α|p ≤ 1. Por lo tanto, α′ se puede representar por una sucesión de Cauchy {a′n} como en elteorema anterior y por ende α se puede representar por la sucesión de Cauchy dada por {an}donde an = pma′n para todo n ∈ N.

Ahora bien, conviene escribir todos los números enteros a′n de la sucesión de Cauchy endesarrollo p-ádico:

a′n = bn−1pn−1 + · · ·+ b2p

2 + b1p+ b0,

donde los 0 ≤ bi < p, para todo 1 ≤ i ≤ n− 1, i.e. los bi son los dígitos de a′n en la base p. Lacondición (ii) del teorema dice exactamente que

a′n+1 = bnpn + bn−1p

n−1 + · · ·+ b2p2 + b1p+ b0,

donde los dígitos bi, 0 ≤ i ≤ n − 1 son los mismos que los dígitos de a′n en la base p. Luego,podemos pensar a α como un número, escrito en base p que se extiende in�nitamente hacia laizquierda, esto es, agregamos un nuevo dígito cada vez que pasamos de a′n a a′n+1.

Nuestro número p-ádico original α se puede pensar como un número escrito en base p quetiene �nitos decimales, que se corresponden con las potencias negativas de p, pero que tienein�nitos términos hacia la izquierda.

(4.5) α = · · ·+ bm+2p2 + bm+1p+ bm +

bm−1

p+ · · ·+ b1

pm−1+b0

pm.

La expresión a la derecha de la igualdad es una manera distinta de escribir los términos de lasucesión {an}, donde an = b0p

−m+b1p−m+1 + · · ·+bn−1p

n−1−m. En particular, ésta es una formade pensar a todos los términos de la sucesión {an} de una sola vez. En lo que sigue, veremosque la igualdad (4.5) es de hecho una igualdad real y concreta. Para ello, debemos estudiar laconvergencia de series para | · |p, la norma p-ádica.

Sea {αn}n∈N cualquier sucesión de números p-ádicos tal que |αn|p → 0 cuando n → ∞ yconsideremos

SN = α1 + α2 + · · ·+ αN ,

la suma parcial. Entonces la sucesión dada por las sumas parciales {Sn}n∈N es una sucesiónde Cauchy en Qp. En efecto, dado un número real ε > 0, sabemos que existe N0 ∈ N tal que|αn|p < ε si n ≥ N0. Pero si tomamos N0 ≤ N < M , entonces

|SM − SN |p = |αM + · · ·αN+1|p ≤ max{|αM |p, · · · , |αN+1|p} < ε,


lo que implica que la sucesión es de Cauchy. Como Qp es completo, existe un límite en Qp quedenotamos por

∑∞n=1 αn. Así, hemos probado que toda serie de números p-ádicos cuyos término

general tienda a cero, es una serie convergente, es decir, la sucesión de sumas parciales es unasucesión convergente. Por lo tanto,

Una serie de números p-ádicos es convergente si y sólo si su término general tiende a cero.

En particular, comprobar la convergencia de una serie de números p-ádicos es mucho másfácil que comprobar la convergencia de una serie de números reales. Notar que aquí no tenemosnada similar a la serie armónica an = 1/n, que es una serie divergente en R. La diferencia radicaen el hecho que la norma p-ádica es no arquimedeana y el valor absoluto no.

Ahora bien, tomando una sucesión {bn}∞n=−m de número p-ádicos tales que para todo n ≥ −mvale que bn ∈ Z, y 0 ≤ bn < p, (i.e, bn está representado por una sucesión de Cauchy de términosconstantes iguales a bn ∈ Z para todo n ≥ −m), tenemos que la serie dada por el desarrollop-ádico

· · ·+ bm+2p2 + bm+1p+ bm +

bm−1

p+ · · ·+ b1

pm−1+b0

pm,

es una serie convergente en Qp cuyo límite es por de�nición∑∞

n=−m bn. Recíprocamente, hemosvisto que todo número p-ádico admite tal escritura. Luego, hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 4.24. Todo número p-ádico α se puede escribir de forma única

α =∞∑−m

ajpj,

donde aj ∈ Z, 0 ≤ aj < p y pm = ‖α‖p. A esta expresión se la denomina la expresión canónica

o la expansión de α.

Demostración. Para otra demostración ver [1, II.2.1]. �

Observación 4.25. En la Sección 3, dado p un número primo hemos denominado al conjunto

Qp = {(. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−m| 0 ≤ ai < p, a−m 6= 0}el cuerpo de los números p-ádicos. Claramente, este conjunto coincide con el conjunto{

∞∑i=−m

aipi| m ∈ Z, 0 ≤ ai < p

},

de las series formales de Laurent en potencias de p cuyos coe�cientes cumplen la condición 0 ≤ai < p, pues es simplemente escribir la serie en base p. El hecho que ambos conjuntos coincidenestá dado por el teorema anterior. Así, dicho teorema nos permite representar concretamentelos números p-ádicos y trabajar con ellos sin tener que pensar en clases de equivalencia desucesiones de Cauchy.

Notar que la unicidad no se tiene en el caso de los números reales, pues en R, las expresionesdecimales 0, 999999 . . . y 1 representan el mismo número real, mientras que si escribimos en basep a una expansión p-ádica, la forma de escribirla es única. Nuevamente, esto es una consecuenciadirecta del hecho que la norma es no arquimedeana.


4.3.1. Algunos resultados interesantes. Para �nalizar damos algunos resultados importantes,sin su demostración, pero junto con sus referencias, para el lector interesado. Puesto que estecurso es solamente introductorio, le recomendamos fuertemente a aquella persona que tengacierto interés en el tema, que lea las referencias dadas y que busque algunas otras sobre estefascinante tema.El primero de los resultados es un teorema que prueba la Observación 3.12 (a).

Teorema 4.26. Un elemento α ∈ Qp es racional si y sólo si su expansión

α =∞∑n

ajpj, 0 ≤ aj < p, n = νp(a),

es periódica.

Demostración. Ver [1, Teo. II.2.2]. �

El siguiente teorema muestra que todos los cuerpos que hemos construido anteriormente sonno isomorfos entre sí. Para demostrarlo, hay que trabajar con ecuaciones sobre estos cuerpos,ya que la idea de la prueba radica en el hecho que la ecuación x2 − p tiene solución en Qq y noen Qp, siendo p, q primos distintos.

Teorema 4.27. Si p, q son dos primos distintos, entonces los cuerpos Qp y Qq son no isomorfos.

Demostración. Ver [1, Teo. V.4.5]. �

Ejercicios.

1. Evaluar

(i) ν3(54) (ii) ν2(128) (iii) ν3(57)(iv) ν7(−700/197) (v) ν2(128/7) (vi) ν3(7/9)

(vii) ν5(0,0625) (viii) ν3(109) (ix) ν3(−13,23)(x) ν7(−13,23) (xi) ν5(−13,23) (xii) ν11(−13,23)

(xiii) ν13(−26/169) (xiv) ν103(−1/309) (xv) ν3(9!)

2. Probar que νp((pn)!) = 1 + p+ p2 + · · ·+ pn−1.3. Si 0 ≤ a ≤ p− 1, probar que νp((apn)!) = a(1 + p+ p2 + · · ·+ pn−1).4. Con la noción de orden, probar que se puede enunciar la siguiente condición de divisi-

bilidad

m|n⇔ ∀ p primo, νp(m) ≤ νp(n).

5. Sean m,n ∈ Z y denotemos por (m,n) y [m,n] al máximo común divisor y al mínimocomún múltiplo de m y n. Probar que

(m,n) =∏p∈P

ptp , tp = mın{νp(m), νp(n)},

[m,n] =∏p∈P

prp , rp = max{νp(m), νp(n)}.

6. Probar que dos normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 sobre un cuerpo k son equivalentes si para algún0 6= a ∈ k, ‖a‖1 < 1 si y sólo si ‖a‖2 < 1.

7. Sean ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 dos normas sobre un cuerpo k. Probar que ‖ · ‖1 es equivalente a ‖ · ‖2

si y sólo si existe un número real positivo α tal que ‖x‖1 = ‖x‖α2 para todo x ∈ k.


8. Probar que, si 0 < ρ < 1, entonces la función sobre Q de�nida por

|x|ρ,p =

{ρνp(x) si x 6= 0,

0 si x = 0.

es una norma no arquimedeana. Probar usando el ejercicio anterior que esta norma esequivalente a | · |p. ¾Qué sucede si ρ = 1? ¾y si ρ > 1?

9. Probar que ‖ · ‖p1 no es equivalente a ‖ · ‖p2 si p1 y p2 son primos distintos.10. Para x ∈ Q se de�ne ‖x‖ = |x|α para un número real positivo �jo α, donde | · | es el

valor absoluto usual. Probar que ‖ · ‖ es una norma si y sólo si α ≤ 1 y en tal caso, ‖ · ‖es equivalente a | · |.

11. Sea x un número racional no nulo. Probar que el producto sobre todos los primos,incluyendo ∞ de todas las normas |x|p es 1. En símbolos,∏

p∈P∪∞

|x|p = 1.

Notar que el producto está bien de�nido pues sólo un número �nito de factores esdistinto de 1.

12. Evaluar la distancia p-ádica ‖a− b‖p entre dos números a, b donde

(i) a = 1, b = 26, p = 5 (ii) a = 1, b = 26, p =∞(iii) a = 1, b = 26, p = 3 (iv) a = 1, b = 244, p = 3(v) a = 1/9, b = −1/16, p = 5 (vi) a = 1, b = 244, p = 5

(vii) a = 1, b = 243, p = 3 (viii) a = 1, b = 183, p = 13(ix) a = 1, b = 183, p = (x) a = 1, b = 183, p = 2(xi) a = 1, b = 183, p =∞ (xii) a = 9!, b = 0, p = 3

(xiii) a = (9!)2/39, b = 0, p = 3 (xiv) a = 22N/2N , b = 0, p = 2

13. Probar que para cualquier p 6= ∞, cualquier sucesión de número enteros tiene unasubsucesión de Cauchy con respecto a | · |p.

14. Probar que si x ∈ Q y |x|p ≤ 1 para todo p ∈ P , entonces x ∈ Z.15. Sea k un cuerpo y ‖ · ‖ una norma en k. Probar que toda sucesión de Cauchy en k con

respecto a ‖ · ‖ es acotada.16. Sea k un cuerpo y ‖ · ‖ una norma en k. Probar que el conjunto A de las sucesiones

de Cauchy en k con respecto a ‖ · ‖ es un anillo con las operaciones de�nidas en laSubsección 4.3.

17. Probar que Zp es un subanillo de Qp.

Referencias

[1] G. Bachman, Introduction to p-adic numbers and valuation theory, Academic Press, New York-London,ix+173 pp (1964).

[2] A. I. Borevich y I. R. Shafarevich, Number theory, Pure and Applied Mathematics, Vol. 20, AcademicPress, New York-London, x+435 pp (1966).

[3] E. Gentile, Notas de Álgebra I, Eudeba (1988).[4] N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Second edition, Graduate Texts in Mat-

hematics, 58, Springer-Verlag, New York, xii+150 pp (1984).[5] J.-P. Serre, A course in arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, No. 7, Springer-Verlag, New York-

Heidelberg, viii+115 pp (1973).

FaMAF-CIEM (CONICET), Universidad Nacional de Córdoba, Medina Allende s/n, CiudadUniversitaria, 5000 Córdoba

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