Números - s3-packer-ltm.smaprendizaje.com

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Conocimientos previos

∙ Domina la secuencia de números naturales como mínimo hasta el 999,999.

∙ Domina la tabla de multiplicar, las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números naturales.

Competencias específicas Contenidos Indicadores de logro

∙ Comprende, reconoce y utili-za los números mayores que 1,000,000 sus formas de repre-sentación y realiza operaciones con ellos.

∙ Comprende el significado de las operaciones de división, poten-ciación y radicación y su efecto al operar con números naturales.

∙ Describe ideas y procesos de razonamiento de forma oral y escrita utilizando los términos matemáticos pertinentes y valora los de sus compañeros y compañeras.

∙ Crea y utiliza modelos concretos y gráficos para representar e interpretar números naturales.

∙ Resuelve problemas utilizando números naturales en el contex-to escolar, comunitario y nacio-nal.

∙ Utiliza software educativo para representar números naturales y construir e identificar patrones.

Conceptos

∙ División de números naturales. Divisores

∙ Estimación de cocientes

∙ Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, y 10

∙ Números primos y compuestos. Factores primos

∙ Máximo común divisor

∙ Potencias. Raíz aproximada

∙ Raíz cuadrada de números cuadrados perfectos menores que 100

∙ Identifica los divisores de un número natural.

∙ Deduce las reglas de divisibilidad del 2, 3, 4, 5, 6 y 10.

∙ Determina si un número natural es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 o 10 aplicando las reglas de divisibilidad.

∙ Resuelve problemas y operaciones utilizando combinación de opera-ciones, como adición, sustracción, multiplica-ción y división de núme-ros naturales.

∙ Resuelve problemas y operaciones aplicando los conceptos de múlti-plo de un número natu-ral, factores y divisores de un número en la reso-lución de problemas.

∙ Desarrolla en forma de producto potencias con exponentes 2, 3, 4 y 5.

∙ Hace preguntas sobre los contenidos matemáticos que se trabajan.

Procedimientos

∙ Resolución de divisiones con el algoritmo convencional.

∙ Estimación de productos y cocientes.

∙ Descomposición en factores primos.

∙ Identificación de números primos y compuestos.

∙ Interés por las reglas de divisibilidad entre 2, 3, 5, 6 y 10.

∙ Cálculo del máximo común divisor.

∙ Determinación de potencias de 10.

∙ Identificación de los términos de la potencia y de la raíz.

∙ Utilización de la calculadora para resolver operaciones combinadas.

Actitudes y valores

∙ Disfrute del trabajo en matemática.

Enlaces recomendados

www.e-sm.com.do/cmat5-03

www.e-sm.com.do/Mat5PSPU2-01

Números naturales y operaciones II

2Competencias fundamentales

∙ Científica y tecnológica (página 42)Ofrece explicaciones científicas de fenómenos naturales y sociales.

∙ Resolución de problemas (página 45)Identifica y utiliza estrategias, y genera alter-nativas de solución.

∙ Pensamiento lógico, creativo y crítico (página 53)Examina la validez de las ideas propias y aje-nas.

∙ Ética y ciudadana (página 54)Se reconoce como persona perteneciente a una cultura, a un proyecto de nación y a una cultura humana planetaria.

Book guia_matematica 5_savia.indb 32 5/24/19 6:18 PM

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Sugerencia de temporalización

Para el desarrollo de esta unidad, se recomienda distribuir el trabajo en sesiones, organizadas de la siguiente manera:

Inicio de unidad Contenidos Repaso Secciones finales

1 sesión 16 sesiones 2 sesiones 4 sesiones

La propuesta de sesiones desarrollada es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada.

Competencias específicas Contenidos Indicadores de logro

∙ Comprende, reconoce y utili-za los números mayores que 1,000,000 sus formas de repre-sentación y realiza operaciones con ellos.

∙ Comprende el significado de las operaciones de división, poten-ciación y radicación y su efecto al operar con números naturales.

∙ Describe ideas y procesos de razonamiento de forma oral y escrita utilizando los términos matemáticos pertinentes y valora los de sus compañeros y compañeras.

∙ Crea y utiliza modelos concretos y gráficos para representar e interpretar números naturales.

∙ Resuelve problemas utilizando números naturales en el contex-to escolar, comunitario y nacio-nal.

∙ Utiliza software educativo para representar números naturales y construir e identificar patrones.

Conceptos

∙ División de números naturales. Divisores

∙ Estimación de cocientes

∙ Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, y 10

∙ Números primos y compuestos. Factores primos

∙ Máximo común divisor

∙ Potencias. Raíz aproximada

∙ Raíz cuadrada de números cuadrados perfectos menores que 100

∙ Identifica los divisores de un número natural.

∙ Deduce las reglas de divisibilidad del 2, 3, 4, 5, 6 y 10.

∙ Determina si un número natural es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 o 10 aplicando las reglas de divisibilidad.

∙ Resuelve problemas y operaciones utilizando combinación de opera-ciones, como adición, sustracción, multiplica-ción y división de núme-ros naturales.

∙ Resuelve problemas y operaciones aplicando los conceptos de múlti-plo de un número natu-ral, factores y divisores de un número en la reso-lución de problemas.

∙ Desarrolla en forma de producto potencias con exponentes 2, 3, 4 y 5.

∙ Hace preguntas sobre los contenidos matemáticos que se trabajan.

Procedimientos

∙ Resolución de divisiones con el algoritmo convencional.

∙ Estimación de productos y cocientes.

∙ Descomposición en factores primos.

∙ Identificación de números primos y compuestos.

∙ Interés por las reglas de divisibilidad entre 2, 3, 5, 6 y 10.

∙ Cálculo del máximo común divisor.

∙ Determinación de potencias de 10.

∙ Identificación de los términos de la potencia y de la raíz.

∙ Utilización de la calculadora para resolver operaciones combinadas.

Actitudes y valores

∙ Disfrute del trabajo en matemática.


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Apertura de unidad ....................... p. 39

Estrategias de enseñanza y aprendizaje

Para empezar... Trabajamos con la imagen

1. Pedir a los estudiantes que observen la ima-gen de apertura de unidad y lean la informa-ción proporcionada, a partir de ahí plantear cuestiones del tipo:

∙ ¿Qué les sugiere la imagen?

∙ ¿Es importante la función de las hormigas en la conservación de los bosques?

∙ ¿Qué otro dato conoces sobre las hormi-gas?

∙ ¿Te parece la hormiga un insecto laborioso y organizado?

∙ ¿Es importante el comportamiento de la hormiga para la conservación de la espe-cie?

Durante el desarrollo...

2. Poner a los estudiantes en grupos, leer nue-vamente el texto que acompaña a la ima-gen y pedir que resuelvan las actividades del Pienso y descubro.

3. Comentar que las hormigas logran funcionar de manera eficiente porque son capaces de dividirse las labores, justamente la opera-ción de división de números naturales será el primero contenido de la unidad, y conjun-tamente con la potenciación y radicación completaran los contenidos a tratar en este curso con números naturales.

4. Pedir a los estudiantes que expliquen con sus palabras lo que entienden por división en sentido general y en el contexto de las matemáticas.

Para terminar...

5. Pedir a los estudiantes que hagan una re-visión de los temas a tratar en la unidad y hagan una lista de los conceptos que más re-cuerdan de cursos anteriores y que escriban sus expectativas con respecto a los temas nuevos. Al final de la unidad volver sobre la lista y evaluar si las expectativas fueron cumplidas.

6. Comentar con los estudiantes la definición que se presenta de la palabra verdad, su re-lación con valores como la honestidad, amis-tad, respeto entre otros.

7. Explicar que decir la verdad a veces nos causa problemas con los demás, pero que cuando actuamos de manera correcta nos da una gran satisfacción, nos permite estar en armonía con nosotros mismos, sentir una paz espiritual enorme.

8. Al final de la unidad se realizará una activi-dad donde se debatirá sobre la importancia de decir la verdad.

Soluciones

1. a. Respuesta libre

b. Una parte de las obreras se dedica a la búsqueda del alimento de la reina, otras al transporte, y otras a la prole.

2. Respuesta libre

3. Opción d. Para repartir


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1. División. Prueba de la división ............................. p. 40

Competencias específicas

∙ Comprende, reconoce y utiliza los números mayores que 1, 000,000 sus formas de re-presentación y realiza operaciones con ellos.

Indicadores de logro

∙ Resuelve divisiones utilizando el algoritmo convencional.


Para empezar...

1. Leer la actividad inicial y preguntar acerca de la operación que hay que hacer para re-solverla, asocial la división con la acción de repartir algo.

2. Preguntar algunos productos y después pre-guntar la división asociada. Ejemplo: 5 x 6 = 30, entonces 30 ÷ 6 = 5.

3. Hacer énfasis en que para poder resolver divisiones debe saber restar y multiplicar.


4. Resolver la división de la actividad inicial u otra división para recordar cómo se hace.

5. En cada paso verificar que el resultado de la resta es menor que el divisor, hacer én-fasis en que de no ser así la división no está correcta.

6. Preguntar quién recuerda el nombre de los términos de una división, de no recordarlos presentarlos y colocarlos encima de la divi-sión realizada.

Para terminar...

7. Señalar que operación matemática se realiza en cada caso:

a. Hallar el total de manzanas si tengo 4 ca-jas y en cada caja 12 manzanas.

b. Cuando dinero me queda si tengo 2,540 pesos y gasto 1,250.

c. Se desea entregar el resultado de una co-lecta realizada a 15 damnificados.

Soluciones

1. a. 237 ÷ 4 = 59, r = 1

b. 563 ÷ 9 = 62, r = 5

c. 842 ÷ 11 = 76, r = 6

d. 825 ÷ 25 = 33, r = 0

e. 515 ÷ 5 = 103, r = 0

f. 2,631 ÷ 24 = 109, r = 15

g. 56,353 ÷ 51= 1,104, r = 49

h. 967 ÷ 16 = 60, r = 7

2. a. 136 ÷ 2 = 68, r = 0; 2 × 68 = 136

b. 6,768 ÷ 16 = 423, r = 0; 16 × 423 = 6,768

c. 5,827 ÷ 35 = 166, r = 17; 35 × 166 + 17 = 5,827

d. 4,215 ÷ 13 = 324, r = 3; 324 × 13 + 3 = 4,215

3. 43,059 ÷ 7 = 6,151, r = 2

43,059 ÷ 17 = 2,532, r = 15

43,059 ÷ 27 = 1,594, r = 21

4. 19 × 2015 + 12 = 3,907 sí

26 × 82 + 2 = 2,134 sí

15 × 401 + 4 = 6,019 no

5. Actividad resuelta

6. 2,783 ÷ 23 = 121 Se colocan 121 hormigas en cada terrario.


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2. División exacta e inexacta .... p. 42


∙ Comprende el significado de la operación de división y su efecto al operar con números naturales.


∙ Aplica el algoritmo de la división de números naturales en la solución de problemas de mi contexto.


Para empezar...

1. Pedir a dos estudiantes que resuelvan cada uno una división, una que de exacta y una que no. Ejemplo: 564 ÷ 5 (no exacta) y 564 ÷ 8 (exacta).

Sobre las mismas preguntar: ¿Cuál es el di-videndo? ¿Y el divisor? ¿Y el cociente? ¿Y el residuo?

2. Clasificar dichas operaciones en exactas e inexactas haciendo énfasis en el residuo.


3. Resolver la actividad inicial haciendo la ob-servación del significado de la división exac-ta, la misma significa que no sobre nada de lo que estoy repartiendo.

4. Hablar de parejas de operaciones inversas que conocen, como una operación contra-rresta el efecto de la otra (Suma y resta, multiplicación y división) y lo importante que es tomar en cuenta la pertinencia de los resultados matemáticos, haciendo que se cuestionen cada operación que realicen como preguntas de si es posible ese resul-tado.

Para terminar...

5. Pedir a los estudiantes que elaboren un pro-blema de su entorno que requiera la aplica-ción de divisiones enteras y con resto.

Soluciones

1. 7,850 ÷ 25 = 314; r = 0. En divisiones exactas la prueba corresponde a: D = d × c

2. a. 324 ÷ 4 = 81 r = 0

b. 324 ÷ 5 = 64 r = 4

3. 325 ÷ 5 = 65; r = 0; exacta

813 ÷ 2 = 406; r = 1; entera

2,324 ÷ 28 = 83; r = 0; exacta

2,100 ÷ 34 = 61; r = 26; entera

1,938 ÷ 19 = 102; r = 0; exacta

4. 5,639 ÷ 3; resto: 2; inexacta

3,848 ÷ 52; resto: 0; exacta

12,765 ÷ 73; resto: 63; inexacta

5. Se pueden repartir de 8 formas. 1 grupo de 30; 2 grupos de 15; 3 grupos de 10; 5 grupos de 6; 6 grupos de 5; 10 grupos de 3; 15 grupos de 2; 30 grupos de 1.

6. 119 ÷ 17 = 7 y 107 ÷ 17 = 6; r = 5. En atletismo

7. 5,459 ÷ 12 = 454, r = 11; Añadir 1, así el r = 0

5,459 ÷ 15 = 363, r = 14; Añadir 1, sí el r = 0

5,459 ÷ 21 = 259, r = 20; Añadir 1, así el r = 0

5,459 ÷ 39 = 139, r = 38; Añadir 1, así el r = 0

8. 43,940 ÷ 52 = 845, r = 0, exacta

87,462 ÷ 121 = 722, r = 100, entera

25,641 ÷ 63 = 407, r = 0, exacta

75,264 ÷ 114 = 660, r = 24, entera

9. 1,860 ÷ 15 = 124. Sí las puede colocar.


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2

3. Estimación de productos y cocientes .................................. p. 44




∙ Estima productos y cocientes usando núme-ros naturales.


Para empezar...

1. Para recuperar saberes previos indagar so-bre:

∙ ¿Qué es una estimación?

∙ ¿Con que operaciones hemos usado esti-maciones?

∙ ¿Qué significa redondear un número?

∙ ¿Es útil usar estimaciones en algún mo-mento?

∙ ¿Habrá diferencia en las estimaciones de suma y resta y en las de multiplicación y división?


2. Usar la actividad inicial para mostrar lo útil que puede resultar las estimaciones con di-visiones, teniendo en cuenta cómo proceder para el producto y la división.

3. La discusión y reflexión se debe centrar en las decisiones tomadas al momento de re-dondear. Los estudiantes deben visualizar que el proceso es flexible, ya que mientras que en la multiplicación la mejor forma pue-de ser aproximar un factor hacia arriba y el

otro factor hacia abajo, es decir, la aproxima-ción toma lugar en direcciones opuestas, en la división lo mejor es aproximar el dividendo y el divisor en la misma dirección, pues la dis-tancia se debe mantener lo más constante posible.

Para terminar...

4. Pedir que conjuntamente con sus padres elaboren una estimación del presupuesto del hogar para 1 mes. Al final del mes verifi-car cuan cerca estuvieron del valor real.

Soluciones

1. Respuesta libre

2. 1,303 x 11, 1,303 x 10 = 13,030, redondeando el 11 a la decena, recordar que se hace muy sencilla la multiplicación por una potencia de 10.

3. a. 423 · 27 ≈ 400 x 30 ≈ 12000, Valor real: 11, 421

b. 14,970 · 5 ≈ 15,000 x 5 ≈ 75,000, Valor real: 74, 850

c. 81,999 ÷ 99 ≈ 82,000 ÷ 100 ≈ 820 Valor real: 828 r = 27

d. 567 ÷ 6 ≈ 600 ÷ 6 ≈ 100, Valor real: 94 r = 3

Con respecto a los cambios dejar que hagan sus propuestas.

4. 120 ÷ 11 ≈ 11, entonces 360 ÷ 11 ≈ 33, La altura será de aproximadamente 33 mm, 1,000 ÷ 11 ≈ 91. La altura será de unos 91 mm.

5. Le tomará aproximadamente 16 semanas tener el dinero. 2,550 x 6 = 15,300, lo divido entre el ahorro semanal y da 16 semanas con un poco de dinero extra.

6. Cada amigo recibió aproximadamente 3,200,000 pesos.

7. Sí. Porque ocupan menos de 5 Gb.

8. Si la vende a 99 ganará 700 pesos aproxi-madamente, si la vende a 129 ganará 910 aproximadamente.


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4. Prioridad de las operaciones ......................... p. 46


∙ Comprende, reconoce y utiliza los números mayores que 1,000,000.


∙ Resuelve problemas y operaciones utilizan-do combinación de operaciones, como adi-ción, sustracción, multiplicación y división de números naturales.


Para empezar...

1. Usa la actividad de entrada para que por pa-rejas determinen quien realmente tiene la razón, y expliquen el porqué de su resultado, prestar atención para corregir en caso de ser la opinión de la joven, explicar que ella no hizo las operaciones en el orden que debía.


2. Explicar acerca de la existencia de las priori-dades en las operaciones matemáticas, las cuales debemos usar y respetar a la hora de resolver ejercicios combinados.

3. Usar el ejemplo que se presenta en el texto para demostrar el orden en que se deben hacer las operaciones haciendo énfasis en ir de izquierda a derecha, primero las multipli-caciones y las divisiones, luego la suma y la resta. Proponer estos pasos para evitar los errores como muestra el esquema:

I. Sin realizar cálculos, establecer una casilla para el primer valor que se calculará, según la prioridad de las operaciones.

II. Los elementos que no han sido resueltos (números y casillas) se bajan al mismo ni-vel de la casilla creada.

III. Continuar estableciendo la segunda ca-silla correspondiente al segundo valor a calcular, según la prioridad.

IV. Los elementos que no han sido resueltos se bajan al mismo nivel de la segunda ca-silla hasta terminar con el ejercicio, que-dando una sola casilla al final.

4. Usar el ejemplo para hacer las operaciones de derecha a izquierda para demostrar que no será el mismo resultado.

Para terminar...

5. Pedir que investiguen sobre el significado de la palabra prioridad, escriban una lista de co-sas prioritarias en su vida y la consecuencia de no respetarlas.

Soluciones

1. a. 166

b. 609

c. 113

d. 286

2. En la tercera línea de la resolución no se si-guió la prioridad de las operaciones, ya que se resolvió primero la sustracción en vez de la multiplicación.

3. No es posible, no serían las mismas opera-ciones.

4. a. 2 x 6,700 + 3 x 2,100 = 13,400 + 6,300 = 19,700.

b. No son suficientes necesita 19,700 y hasta mayo solo ha ahorrado 9,000.

5. 40 x 25 x 7 – 12 x 7 = 7000 – 84 = 6,916. Quedan 6,916 postalitas.


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5. Uso del paréntesis ................... p. 48


∙ Describe ideas y procesos de razonamiento de forma oral y escrita utilizando los térmi-nos matemáticos pertinentes y valora los de sus compañeros y compañeras.


∙ Resuelve problemas y operaciones utilizan-do combinación de operaciones, como adi-ción, sustracción, multiplicación y división de números naturales.


Para empezar...

1. Para recuperar saberes previos usar los si-guientes ejercicios:

25 – 36 ÷ 6 + 8 x 3 27 ÷ 3 + 6 + 21 ÷ 7

Pedir que expliquen los pasos que dieron y por qué. Luego preguntar cuál será la dife-rencia si: 27 ÷ (3 + 6) + 21 ÷ 7

¿Cambiará el resultado?


2. Explicar que el orden que ya conocen puede verse alterado por la presencia de signos de agrupación y presentar la estrategia nemo-técnica PAMUDAS, que tiene como objetivo recordar la prioridad de resolución de ejer-cicios combinados. Invitar a los estudiantes a recordarla y repetirla a lo largo de la clase, ya que probablemente es la primera vez que la escuchan. Es importante mencionar que, dentro de un paréntesis, la prioridad se si-gue respetando. Es recomendable que los estudiantes tomen nota de esto y usted lo reitere en varias ocasiones durante la clase.

Recordarles ser ordenados y metódicos a la hora de resolver, pues el desorden en la resolución seguramente desembocará en errores.

Para terminar...

3. Pedir que resuelvan el siguiente problema planteando una sola operación:

Ana compró cinco empanadas y una bebida. Si cada empanada tenía un valor de $ 35 y la bebida costaba $ 20, ¿cuánto recibió de vuelto si canceló con $ 1,000?

1,000 – 35 x 5 – 20 = 805

Soluciones

1. Respuesta libre

2. a. 64

b. 1

No se obtuvo el mismo resultado porque los paréntesis cambiaron el orden de las opera-ciones.

3. Las expresiones en las que el uso de parén-tesis no alteran el orden de prioridad de las operaciones son: (10 ÷ 2) + 3 / (6 + 11) – 8 / (7 · 2) + (7 · 3) / 9 – (16 ÷ 9)

4. a. 122

b. 323

c. 118

5. Al final del trayecto hay 220 pasajeros en el tren.

Taller de matemática manipulativa

En este taller, los estudiantes aprenderán a resolver con la calculadora de un smartphone mediante un algoritmo una operación com-binada.


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6. Divisores de un número y máximo común divisor ....... p. 50




∙ Identifica los divisores de un número natural y obtiene el máximo común divisor entre dos o más números.


Para empezar...

1. Usar la actividad inicial para explicar qué son los divisores de un número y cómo obtener-los. Luego de hallados y conjuntamente con los estudiantes escribir conclusiones:

∙ Los divisores de un números son los que al hacer la división da residuo 0.

∙ Los divisores de un número son menor que dicho número.

∙ La cantidad de divisores de un número no es infinita.

∙ En cada conclusión puede comparar con los múltiplos.


2. Colocar en la pizarra los números 24 y 36 (u otro para de números). Pedir que escriban los divisores de ambos números, coloreen los divisores comunes, y de los comunes se-ñalen el más grande.

24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

m.c.d. (24, 36) = 12

3. Hacer énfasis en el significado de las siglas m.c.d., de los divisores comunes de 2 o más números usare el más grande (máximo).

Para terminar...

4. Pedir a los estudiantes establecer una com-paración entre el m.c.m. y el m.c.d de 2 nú-meros.

Soluciones

1. a. De 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20; De 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

b. El mayor divisor común es 10.

c. Los divisores de un número son menores.

2. a. 7 es divisor de 98, Verdadero, 98 ÷ 7 = 14, r = 0

b. 6 es divisor de 34, Falso, 34 ÷ 6 = 5, r = 4

3. Divisores de 60 y 72: 2, 3, 4, 6 y 12

4. De 8: 1, 2, 4 y 8; de 10: 1, 2, 5 y 10; de 16: 1, 2, 4, 8 y 16; de 19: 1 y 19; de 25: 1, 5 y 25; de 28: 1, 2, 4, 7, 14 y 28; de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30; de 35: 1, 5, 7 y 35. Respuesta modelo: Se descompone un número como producto de dos números naturales.

5. Los divisores de un número son menores o iguales que él, por tanto, podemos encon-trarlos todos.

6. a. m.c.m.(25, 30) = 5

b. m.c.m.(5, 21) = 3

c. m.c.m.(20, 50, 90) = 10

d. m.c.m.(21, 49) = 7

e. m.c.m.(12, 28) = 4

f. m.c.m.(6, 28, 12) = 2

7. El m.c.m. de dos números distintos es mayor o igual que el más grande de esos números. Y el m.c.d. es menor o igual que el menor de esos números. Si m.c.m. = m.c.d., entonces los dos números deberían ser iguales.

8. El precio es $ 44, 520.


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2

7. Criterios de divisibilidad ....... p. 52




∙ Aplica los criterios de divisibilidad en la so-lución de operaciones de división.


Para empezar...

1. Usar la actividad inicial para intentar que los estudiantes descubran qué números de los planteados son divisibles, de forma exacta, por 2 y por 5. La elección de estos dos divi-sores cumple con el objetivo de identificar de forma simple, la generalidad a partir de la actividad (los divisibles por 2 son números pares y los divisibles por 5 terminan en 0 o 5).


2. A partir de lo anterior explicar la existencia de criterios para otros números, explicar cada criterio de divisibilidad usando suficien-tes ejemplos, puede comenzar poniéndolos usted y motivar a que los estudiantes pon-gan sus propios ejemplos.

La práctica correspondiente a este tema tie-ne el objetivo de ejercitar el reconocimiento de los mismos en distintos números.

3. No verá una aplicación matemática al res-pecto en esta unidad, ya que los estudiantes de este nivel lo aplicarán en la simplificación de fracciones en la próxima. De todas for-mas, es importante que comentar las utili-dades de estos criterios y lo importante de su comprensión y aprendizaje.

Para terminar...

4. Pedir a los estudiantes que elaboren adivi-nanzas usando los criterios de divisibilidad y que las hagan en el curso. Deben explicar el porqué de cada número que planteen usan-do los criterios correspondientes.

Soluciones

1. Respuesta libre. Propuesta: en una división no intentaríamos dividir por un número que no cumpla el criterio, y eso nos ahorra tiem-po.

2. 452: 2, 4

356: 2, 4

675: 3, 5, 9

894: 2, 3, 6

230: 2, 5

999: 3, 9

1,000: 2, 4, 5, 8

5,880: 2, 3, 4, 5, 6, 8

3. Respuesta libre. Verificar que los números cumplen con el criterio pedido.

4. Sí, se puede, porque el 1048 es divisible por 8.

5. a. r = 0

b. r = 0

c. r ≠ 0

d. r = 0

6. Respuesta libre. Pueden ser: 518,400 / 259,200 / 1,036,800

7. a. Tiene razón Fernando, ya que se cumple que su número es divisible por 2, 3, 4 y 9. En cambio el número de Sofía no es divi-sible ni por 3, ni por 9.

b. Porque al ser divisible por 2 y 3 a la vez, se considera a la vez divisible por 6.

8. Hay 72 naranjas.


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8. Números primos y compuestos ............................. p. 54




∙ Aplica los criterios de divisibilidad en la de-terminación de números primos y compues-tos.


Para empezar...

1. Para recuperar saberes previos indagar:

∙ ¿Qué son los divisores de un número?

∙ ¿Son mayores o menores que el número?

∙ ¿El número de divisores es finito o infinito?

∙ ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número?

Explicar que a partir del número de divisores podemos saber si es primo o compuesto.


2. Usar la actividad inicial para comprobar cuantos divisores tiene el 7, explicar que como el 7 solo tiene 2 divisores, el 1 y el pro-pio 7 es primo, poner ejemplos de otros nú-meros que sean compuestos.

3. Elaborar una lista de los primeros 20 núme-ros primos y destacar que el único número primo par es el 2, usar esta lista para demos-trar cómo puedo descomponer un número en factores primos. Puede usar divisiones sucesivas para obtener la descomposición.

Para terminar...

4. Pedir que hagan parejas de números primos cuya distancia entre ellos sea de 1, de 2, de 3 unidades, etc.

Soluciones

1. 5, d: 1 y 5, primo

27, d: 1, 3, 9 y 27, compuesto

7, d: 1 y 7, primo

16, d: 1, 2, 4, 8 y 16, compuesto

11, d: 1 y 11, primo

2. Números primos: 13, 2, 17, 3; números com-puestos: 9, 21.

3. 18 = 2 × 9; 25 = 5 × 5; 33 = 3 × 11

4. Números primos entre 10 y 20: 11, 13, 17 y 19. Pablo tiene 11 años y Pedro 19.

5. Números primos entre 30 y 50: 31, 37, 41, 43 y 47

6. a. F, 2 es primo y es par. Todos los números primos salvo el 2 son impares.

b. F, m.c.m. (6 y 9) = 3. El mínimo común múltiplo de dos números puede ser primo o compuesto.

7. Parejas de primos gemelos: 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, 41 y 43.

8. No, porque 23 es primo.

9. 9 y 10, 20 y 3


11. a. 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

b. 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3

c. 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5

d. 24 = 2 x 2 x 2 x 3


43

2

9. Potencia de un número natural ......................... p. 56


∙ Comprende el significado de la operación de potenciación y su efecto al operar con nú-meros naturales.


∙ Eleva números naturales hasta la quinta po-tencia.


Para empezar...

1. Para explicar este tema, se podrían llevar a la clase varios cuadrados y varios cubos, y calcular visualmente el cuadrado y el cubo de diferentes números, de manera similar a los ejemplos dados.


2. Usar la actividad introductoria para mostrar la aplicación de la potenciación, en este caso se multiplica 60 x 60 = 602, hacer énfasis en que se lee al cuadrado, y que significa mul-tiplicar un número por sí mismo dos veces, si lo hacemos 3 veces obtenemos el cubo.

3. Presentar la potenciación como una multi-plicación abreviada, donde la base se repite la cantidad de veces que indica el exponente. Hacer énfasis en los nombres de las partes de una potencia, pedir que se usen al refe-rirse con la finalidad de crear un vocabulario matemático.

52 Se lee 5 al cuadrado.

53 Se lee 5 al cubo.

54 Se lee 5 elevado a la 4, etc.

Para terminar...

4. Hacer un glosario con los términos aprendi-dos en la potenciación.

Soluciones

1. Producto: 11 × 11, se expresa: 112, se lee: 11 elevado al cuadrado

Producto: 13 × 13, se expresa: 132, se lee: 13 elevado al cuadrado

Producto: 36 × 36 × 36, se expresa: 363, se lee: 36 elevado al cubo

2. a. F, 33 = 27

b. F, 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45

c. V

d. V

e. 6 + 6 = 2 × 6

3. Misma base: 34 < 36; 23 < 27. A mayor expo-nente, mayor resultado.

Mismo exponente: 43 < 53; 132 > 112. A mayor base, mayor resultado.

4. 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82= 64; 92 = 81; 102 =100 13 = 1; 23= 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729; 103 = 1,000

5. a. 25 = 32

b. 34 = 81;

c. 53 = 125

d. 73 = 343


7. 10 × 10 × 10 = 103 = 1,000. Necesita 1,000 latas en total.


44

10. Potencias de base 10 .............. p. 58


∙ Comprende el significado de la operación de potenciación y su efecto al operar con nú-meros naturales.


∙ Conoce y aplica la potencia de base 10.


Para empezar...

1. Para indagar saberes previos preguntar:

∙ ¿Qué es la potenciación?

∙ ¿Para que la aplicamos?

∙ ¿Qué nombre reciben sus elementos?


2. Usar la actividad introductoria para mostrar cómo expresar el número en cuestión como una potencia de 10, y que este procedimien-to es algo muy común, explicar la tabla que se presenta y la relación que se da entre el exponente y el número de ceros que sigue a la unidad.

3. Insistir en que al escribir potencias en base 10, añadimos al número 1 tantos ceros como indica el exponente, no al número 10. Es de-cir, 104 es 10,000 y no 100,000.

4. Explicar cómo podemos descomponer un número en potencias de 10, teniendo en cuenta el valor de posición de cada cifra.

5. Comentar que este procedimiento nos per-mite expresar números en notación científica.

Para terminar...

6. Pedir a los estudiantes que investiguen las reglas para escribir cantidades en notación científica y que circunstancia se usa.

Soluciones

1. a. 105= 100,000

b. 107= 10,000,000

c. 109= 1,000,000.000

d. 103 = 1,000. El exponente coincide con el número de ceros del resultado.

2. 100,000,000,000 = 1 × 1011

10,010,000,000 = 1,001 × 107

100,100,000,000 = 1,001 × 108

3. a. 90 = 9 × 10

b. 10,000 = 104

c. 300 = 3 × 102

d. 700,000,000 = 7 × 108

e. 500,000 = 5 × 105

f. 8,000,000 = 8 × 106

4. a. 7,231 = 7 × 103 + 2 × 102 + 3 × 10 + 1

b. 34,867 = 3 × 104 + 4 × 103 + 8 × 102 + 6 × 10 + 7

c. 925,412 = 9 × 105 + 2 × 104 + 5 × 103 + 4 × 102 + 1 × 10 + 2

5. a. 202 = 22 × 102

b. 703 = 73 × 103

c. 6004 = 64 × 108

d. 8002 = 82 × 104

e. 1105 = 115 × 105

f. 258 = 258 × 108

6. a. 6,370,000 = 6 × 106 + 3 × 105 + 7 × 104

b. 324,000 = 3 × 105 + 2 × 104 + 4 × 103

c. 384,000 = 3 × 105 + 8 × 104 + 4 × 103

7. Luciano gastó 100,000 pesos. 100,000 = 105


45

2

11. Raíz cuadrada y aproximada ............................. p. 60


∙ Comprende el significado de la operación de radicación y su efecto al operar con números naturales.


∙ Calcula raíces cuadradas exactas de cua-drados perfectos y estima raíces cuadradas inexactas.


Para empezar...

1. Para recuperar saberes previos indagar: ¿Qué operaciones matemáticas conocen? ¿Cuáles son inversas entre si? ¿Qué significa que sean inversas? ¿Tendrá la potenciación una operación inversa?

2. Explicar la relación de este tema con el ante-rior recordando cómo se calcula el cuadrado de un número. Escribir el cuadrado de los diez primeros números naturales.


3. Explicar que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, que significa buscar que número se elevó a la dos para que me diera esa cantidad subradical.

4. Presentar las partes de una raíz, y que en este caso el índice no se marca porque cuan-do el índice es 2 se sobreentiende.

5. Explicar a los estudiantes que los números cuya raíz cuadrada es un número natural se llaman cuadrados perfectos, por ejemplo 9, porque 9 = 32 y √9 = 3.

6. Retomar la lista anterior y sacar las raíces en ese mismo orden, explicar que se pueden calcular raíces por aproximación, explicar el ejemplo que presenta el libro.

Para terminar...

7. Pedir a los estudiantes resuelvan el siguiente problema: El aula de música tiene un total 121 losas en el piso, ¿Cuántas losas tiene por cada lado el aula?

Soluciones

1. a. 42 = 16

b. √49 = 7

c. 72 = 49

d. √121 = 11

e. 252 = 625

f. √16 = 4

g. 112 = 121

h. √625 = 25

2. a. √36 = 6

b. √25 = 5

c. √100 = 10

d. √4 = 2

e. √64 = 8

f. √16 = 4

3. 52 = 25 y 62 = 36. Los números que tienen la raíz cuadrada comprendida entre 5 y 6 son los números mayores que 25 y menores que 36. (26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35)

4. √1 = 1, porque 12 = 1 × 1 = 1. Ocurre también con el 0, ya que 02 = 0 × 0 = 0.

5. a. Entre 5 y 6

b. Entre 10 y 11

c. Entre 6 y 7

d. Entre 8 y 9

e. Entre 3 y 4

f. La raíz es 6.

6. √ 4 = 2; √ 9 = 3; √16 = 4; √25 = 5


8. Sí, es posible colocarlos. Debe colocar 5 di-bujos en cada lado.

9. Pedro tiene 36 fotografías contando la suya.

10. 5 < √30 < 6; 52 = 25; 30 – 25 = 5. No es po-sible colocar 30 postales formando un cua-drado. Pondrá 5 postales en cada lado del mayor cuadrado posible. Sobran 5.


46

Resolución de problemas ............ p. 62

1. Paso 1. En esta resolución de problemas se proponen una serie de pasos que permiti-rán a los estudiantes aplicarlos a cualquier problema que se les presente para hallar su solución.

Paso 2. Propuesta: Escribir los números en-tre 70 y 80, verificar cuál de ellos se divide entre 6, de los obtenidos verificar cuál se divide entre 4.

Paso 3. 71, 72, 73 74, 75, 76, 7, 78, 79, se dividen por 6: 72 y 78, Se dividen entre am-bos: 72

Paso 4. El número es el 72.

Paso 5. Se verifica que cumpla con las 3 con-diciones.

2. a. Respuesta modelo: Me piden encontrar un número entre 30 y 40 que sea divisible por 4 y no por 8, y además sea múltiplo de 5.

b. Múltiplos de 4 mayores de 30 y menores que 70: 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68. Múltiplos de 5: 40, 60, no divisible por 8: 60

c. El número es el 60.

d. Verificar usando los criterios.

3. m.c.m. (5, 8) = 40, Dentro de 40 km encon-traran el teléfono y el anuncio juntos.

4. Respuesta libre. Pedir que luego lo inventen, usen los pasos descritos para encontrar su solución. Puede pedir que los creen y se los intercambien para obtener la solución.

Repaso ............................................... p. 64

1.

2. Cociente 70, r = 8

Cociente 12, r = 6

Cociente 647, exacta

3. 500 ÷ 5 = 100

3,000 ÷ 6 = 500

30,000 ÷ 100 = 300

4. 936 ÷ 6 = 156, r = 0

1,206 ÷ 21 = 57, r = 9

4,215 ÷ 13 = 324, r = 3

3,627 ÷ 17 = 213, r = 6

5. 433,433 ÷ 325 = 1, 333, r = 208. El mayor resto que se puede obtener es 324.

6. a. 800 ÷ 200 = (800 ÷ 100) ÷ (200 ÷ 100) = 8 ÷ 2 = 4

b. 12,000 ÷ 100 = (1,200 ÷ 100) ÷ (100 ÷ 100) = 120 ÷ 1 = 120

c. 23,500 ÷ 50 = (23,500 ÷ 10) ÷ (50 ÷ 10) = 2,350 ÷ 5 = 470

7. a. 15: 1, 3, 5, 15; 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

b. m.c.m. (15, 20) = 5

c. La longitud máxima es de 5 metros.


47

2

8. 27 ÷ 3 = 9 / 45 ÷ 5 = 9 / 63 ÷ 7 = 9. Sí se cumple.

9. a. Números compuestos menores que 13: 4, 6, 8, 9, 10, 12

b. Primos: 2, 7, 19 Compuestos: 9, 22, 25.

c. El 97 es primo.

10. a. 92 9 es la base y 2 el exponente. Resul-tado: 81

b. 32 3 es la base y 2 el exponente. Resulta-do: 9

c. 44 4 es la base y 4 el exponente. Resulta-do: 256

d. 27 2 es la base y 7 el exponente. Resulta-do: 128

e. 53 5 es la base y 3 el exponente. Resulta-do: 125

f. 106 10 es la base y 6 el exponente. Resulta-do: 1,000,000

11. a. 100 = 10

b. 10,000= 104

c. 100,000 = 105

12. El número presentado es 389,604.

13. 151,800,000 = 1 x 108 + 5 x 107 + 1 x 106 + 8 x 105

14. a. √4 = 2

b. √36 = 6

c. √81 = 9

d. √25 = 5

15. a. Se reúnen 270,000 pesos.

b. Se reúnen 285,000 pesos.

c. La diferencia es de 15,000 pesos.

Cálculo mental ................................. p. 66

Explicar cómo hacer la división de números ter-minados en 0, aquí se aplica la propiedad fun-damental de la división, hacer énfasis en que esta forma hace más sencilla la operación final y motivar a que la usen. Mostrar la comprobación usando la descomposición con potencias de 10.

1. a. 5

b. 30

c. 64

d. 13

e. 50

f. 101

g. 731

h. 4,260

Entretenidos .................................... p. 66

El largo viaje

Leer y comentar los datos aportados sobre la vida del pingüino emperador, explicar que hallar un tercio es lo mismo que dividir entre 3, 39 x 1/3 = 13, el pingüino pierde 13 kg.

Ponte a prueba ................................p. 67

Leer y comentar con los estudiantes los datos que se aportan sobre el uso de la tecnología en la creación de videos a partir de imágenes.

1. Se necesitan 1,700 imágenes.

2. Se utilizaron 15 fotografías por segundo.

¡Qué importante es... ................... p. 67

Decir la verdad!

Realizar la actividad que se describe, provocar una lluvia de ideas acerca de la implicación que tiene la falta de honestidad, que puede suceder con una persona que se acostumbra a no decir la verdad.


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