No se puede enseñar nada a un hombre; sólo se le puede...

Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnologico José Mario Molina Pasquel y Henríquez 1

“No se puede enseñar nada a un hombre; sólo se le puede ayudar a descubrirlo en

su interior.” Galileo Galilei

“Al igual que las ciencias, la Matemática es una especie de juego donde el universo hace de contrario. Los mejores matemáticos, y los mejores profesores de Matemáticas, son evidentemente quienes mejor comprenden las reglas del juego y gozan experimentando la emoción de jugar” Martin Gardner A todos los Estudiantes de nuevo ingreso les saludo y les doy la más cordial de las bienvenidas a esta red de Campus en Jalisco del Instituto Tecnológico José Mario Molina Pasquel y Henríquez (TecMM), deseándoles éxito en esta etapa universitaria. Estamos comprometidos en formar profesionales capacitados para la nueva economía del conocimiento y la realidad tecnológica actual y futura de nuestro entorno, para lograr estos objetivos es necesario contar con el compromiso de todos quienes integramos esta gran comunidad; estudiantes, padres de familia, profesores, investigadores, trabajadores administrativos y directivos, un compromiso centrado en la mejora continua, con visión de futuro y una gran identidad de responsabilidad social. Las matemáticas juegan un papel importante en los descubrimientos hechos por el hombre, por tal motivo es de suma importancia que nuestros estudiantes cuenten con una excelente preparación en esta área, la cual les permitirá desarrollar la capacidad de identificar, interpretar, representar y modelar problemas planteados en cualquier entorno. Mi reconocimiento a los docentes que diseñaron este trabajo, el cual contribuirá a elevar el nivel de conocimientos, logrando aminorar la deserción de estudiantes. Igual reconocimiento merecen el cuerpo académico de nuestra red, por su entrega y contribución al objetivo; formar excelentes profesionistas. Contamos con el apoyo del Tecnológico Nacional de México, de la Secretaría de Innovación Ciencia y Tecnología y del Gobierno del Estado de Jalisco, para tener la mejor infraestructura educativa de punta, por lo que tenemos también el gran compromiso de entregar los mejores resultados. Somos una excelente opción de Educación Superior pública, somos Tecnológico Mario Molina. ¡Bienvenidos! Dr. Héctor Enrique Salgado Rodríguez Director General del TecMM


El Manual del Curso de Nivelación de Matemáticas para el Nivel Superior es considerado como un material de apoyo para el curso propedéutico destinado a estudiantes de nuevo Ingreso de las distintas Licenciaturas e Ingenierías de la red de Campus del Instituto Tecnológico José Mario Molina Pasquel y Henríquez. Para el diseño de este manual se tomó como base el manual del curso de inducción del ITS Tamazula de Gordiano versión 2014 y se realizó la actualización en base a las necesidades presentadas en el presente año 2019. Para ello se comisionaron a los siguientes docentes del Instituto Tecnológico José Mario Molina Pasquel y Henríquez para su corrección y actualización: Mtro. Christian Alejandro Quiroz Hernández Mtro. Edgar Samid Limón Villegas Mtro. Jorge Alberto Cárdenas Magaña Mtro. Moisés Rodríguez Morales Mtro. Quetzalcoatl Ornelas García Mtro. Raúl García Magaña Mtro. René Gudiño Venegas Ing. Carlos Antillón Villalobos Ing. Jonathan Iván Castañeda Amezcua Ing. José de Jesús Hernández Martínez Ing. Talia Castillo Hernández Así mismo participaron en la revisión técnica los siguientes Docentes: Dra. Luz Cecilia López Urueta Mtra. Edith Alonso Hernández Ing. José Antonio Avila Dávila


DIRECTORIO

Mtro. Alfonso Pompa Padilla

Secretario de Innovación Ciencia Y Tecnología

Mtro. José Rosalío Muñoz Castro Director General de Educación Superior, Investigación Y Posgrados de la SICYT.

Dr. Héctor Enrique Salgado Rodríguez

Director General del TECMM

Mtro. Martín Villaseñor Flores Director Académico de Investigación e Innovación del TECMM

Ing. Juan Manuel Cuevas García

Coordinador de Ciencias Básicas

Mtro. Raúl García Magaña Presidente de la Academia Estatal de Ciencias Básicas

Mtra. Angélica Fabiola Hernández Arellano

Secretaria de la Academia Estatal de Ciencias Básicas

DIRECTORES DE CAMPUS

Lic. Juan Pablo Cerrillo Hernández

Arandas

Mtro. Luis Eduardo Jiménez Herrera Chapala

Ing. Sergio Arturo Martínez Méndez

Cocula

Lic. Roberto Durán Michel El Grullo

Ing. Gualberto Castro Moreno

La Huerta

Dra. Ma. Eugenia Amador Murguía Lagos De Moreno


Mtro. Emmanuel Pablo Saldaña Castillón Mascota

Mtro. Oscar Daniel Zamora Cuevas

Puerto Vallarta

Mtra. Gloria Luz Rodríguez Gil Tala

Dr. Felipe Alfonso Ordoñez García

Tamazula

Dr. Ernesto Rosales Castañeda Tequila

Mtro. Juan Antonio Gonzalez Arechiga Wiella

Zapopan

Mtro. Héctor Davalos Tinajero Zapotlanejo


Índice

Pag.

Presentación.

6

Sección I Aritmética.

7

1.1 Números reales y su clasificación. 8

1.2 Leyes de los signos. 10

1.3 Jerarquía de las operaciones. 13

1.4 Operaciones con números racionales. 15

1.5 Operaciones con desigualdades. 19

1.6 Uso de la calculadora científica. 22

1.7 Perímetros, áreas y volúmenes. 24

Sección II Álgebra elemental

32

2.1 Conceptos algebraicos. 33 2.2 Leyes de los exponentes y radicales. 34 2.3 Operaciones con monomios y polinomios. 40 2.4 Productos notables. 51 2.5 Factorización 64 2.6 Ecuaciones de 1er y 2do grado 65

Sección III Trigonometría. 75

3.1 Ángulos y triángulos. 76 3.2 Teorema de Pitágoras 81 3.3 Razones trigonométricas 84

Sección IV Geometría analítica. 89 4.1 El plano cartesiano 90

4.2 Gráficas de las ecuaciones con dos variables. 94 4.3 Pendiente y ecuación de la recta. 96 4.4 Secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e

hipérbola. Fuentes de consuta

100

117


1. Presentación.

El presente Manual surge con la intención de proporcionar a los estudiantes de nuevo ingreso una

herramienta de estudio en el área de las matemáticas.

Los Docentes de la academia de ciencias básicas que imparten las materias de cálculo diferencial,

cálculo integral, álgebra lineal, cálculo vectorial y ecuaciones diferenciales, han reunido el material

básico necesario para reforzar los conocimientos que requieren las materias mencionadas.

Las matemáticas representan la base de todo un conjunto de conocimientos que la humanidad ha

adquiro durante su desarrollo y evolución, es difícil realizar alguna actividad sin tenerlas presentes. De

igual forma representan un lenguaje universal porque todo el mundo entiende los números, la forma

en que los interpretamos y razonamos es lo que nos lleva a una ventaja competitiva en el mundo

actual.

El aprendizaje de las matemáticas hace que los estudiantes razonen y sean ordenados en el

planteamiento y solución de problemas.

Esta guía de estudio parte de un enfoque con aplicaciones prácticas, una herramienta que dé las bases

para que nuestros estudiantes resuelvan problemas, y tomen las matemáticas como un apoyo para su

desarrollo profesional.

El presente manual contiene una parte teórica con los conceptos básicos del tema, ejercicios resueltos

que serán repasados junto con el maestro dentro del aula en el curso propedéutico o remedial, así

como una serie de ejercicios propuestos que el estudiante resolverá en sus horas de estudio extra-

clase.

Bienvenidos…


Sección I

Aritmética.

1.1 Números reales y su clasificación.

1.2 Leyes de los signos.

1.3 Jerarquía de las operaciones.

1.4 Operaciones con números racionales.

1.5 Operaciones con desigualdades.

1.6 Uso de la calculadora científica.

1.7 Perímetros, áreas y volúmenes.


1. Aritmética.

Es la rama de las matemáticas que fundamenta el estudio de los números y sus operaciones realizadas

con ellos, considerando su valor y jerarquía, la Aritmética es utilizada en cualquier hecho o ejercicio,

en donde se relacionen los números, principalmente en las cuatro operaciones básicas, con las

diferentes ramas de los números reales.

Competencias específicas.

1.- Identificar los números reales, su clasificación y relacionarlos en una recta numérica.

2.- Desarrollar operaciones básicas con números racionales e irracionales y desigualdades,

respetando la jerarquía de operaciones y leyes de los signos.

3.- Interpretar y comprobar resultados de diferentes operaciones mediante el uso de la calculadora

científica.

4.- Desarrollar e interpretar problemas de la vida cotidiana en donde se apliquen los cálculos de

perímetros, áreas y volúmenes.

1.1 Números reales y su clasificación.

Conocimientos básicos.

El conjunto de números reales designados comúnmente por la letra ℝ, representan el conjunto de

todos los números utilizados en cálculos matemáticos, con excepción de la radicación de índice par y

radicando negativo, así como la división por el número cero.

Los números reales incluyen al conjunto de números racionales designados por la letra ℚ y por otro

lado a los números irracionales, designados por la letra ℚ’.

Los siguientes esquemas muestran la clasificación de los números reales:


El conjunto de números racionales ℚ está formado por los números enteros y fraccionarios, positivos

o negativos incluyendo el cero, así mismo se pueden definir como la unión de todos los números, cuya

expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

El conjunto de números irracionales ℚ’ está formado por todos los números que no se pueden expresar

mediante una fracción, tiene infinitas cifras decimales no periódicas, a su vez lo son los números que

se generan de la raíz cuadrada de un numero primo positivo.

Actividad de aprendizaje 1.

Considerando la información expuesta de los números reales y su clasificación, escribe sobre el

espacio, el tipo de número que corresponde:

3

8 √5

√−643

−9

4

0

2 𝜋

0.25 7

3

−2

7 𝑒

A su vez los números reales pueden ser representados en la recta numérica, que está dividida en dos

mitades simétricas por el origen, es decir por el número cero.

Una vez representados los números en la recta numérica, podemos determinar si el número es

mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la misma.



Ubica en la recta numérica los siguientes números o expresiones en donde corresponda:

𝒆 √−𝟔𝟒𝟑

− 𝟏

𝟒 -2 −𝝅 -√𝟗

𝟓

𝟑 √𝟒 −

𝟕

𝟓 −𝟏𝟐

Aplicación del conocimiento 1.

Mediante una línea del tiempo representa y resuelve las siguientes situaciones:

1. Carlos nació en 1978, a la edad de 26 años se graduó en la carrera de Ingeniería en Administración

y dos años después se casó. ¿En qué años se verificaron estos dos sucesos?

2. Efraín nació en 1960, se casó a los 28 años, a los 3 años de matrimonio nació su único hijo. Sí

Efraín falleció cuando su hijo tenía 14 años, ¿En qué año ocurrió su fallecimiento?

1.2 Leyes de los signos.


Para realizar operaciones que incluyan números, tanto positivos como negativos, es necesario conocer

las leyes de los signos, estas leyes se aplican en cualquier operación; suma, resta, multiplicación o

división.

Suma de 2 números.

Si los números tienen el mismo signo se suman y se deja el mismo signo:

Ejemplos:

3 + 4 = 7 5 + 4 = 9 11 + 3 = 14

(-7) + (-2) = -9 (-2) + (-5) = -7 (-12) + (-3) = -15

Ahora bien, si los números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del

número con mayor valor absoluto.

Ejemplos:

- 3 + 7 = 4 - 5 + 4 = -1 -11 + 3 = -8

7 + (-2) = 5 2 + (-5) = -3 12 + (-3) = 9


Nota: El valor absoluto de un número real, es su valor en unidades recorridas en la recta sin tener en

cuenta su signo, a su vez desde el valor cero hasta el número estudiado sin tener en cuenta su sentido,

teniendo en cuenta lo anterior se puede decir que: |𝑎| = 𝑎 ; |−𝑎| = 𝑎.


Sin el uso de la calculadora realiza las siguientes operaciones considerando la información expuesta

con anterioridad:

a) -1 - 4 =

b) -5 + 12 =

c) 5 + 3 =

d) -5 +(-9) =

e) 2 – 8 =

f) -3 + 5 =

g) (-3) + (-3) =

h) -18 + 21 =

i) 14 – 12 =

j) -12 + 5 =

Con respecto a la multiplicación y división se utilizan las siguientes reglas:

(+) ∙ (+) = + (+)/(+) = +

(−) ∙ (−) = + (−)/(−) = +

(+) ∙ (−) = − (+)/(−) = −

(−) ∙ (+) = − (−)/(+) = −

Ejemplos:

(8) (4) = 32 (-6) (-2) = 12 (-6) (3) = -18 (4) (-2) = -8

(8) / (4) = 2 (-6) / (-2) = 3 (-6) / (3) = -2 (4) / (-2) = -2




con anterioridad:

a) (-1) (-4) =

b) (-5) (12) =

c) (1) / (-4) =

d) (-6) / (12) =

e) (2) (-3) =

f) (-3) (3) =

g) (15) / (-5) =

h) (24) / (12) =

i) (-20) / (-5) =

j) (2) (7) =


Resuelve los siguientes problemas:

1. Cada tren del metro de la Ciudad de México tiene 9 vagones, cada uno de ellos con 8 puertas

y cada una de 2 hojas corredizas. Si se desea cambiar las hojas de los 120 trenes existentes

en la ciudad, ¿Cuántas hojas se van a cambiar?

2. Una empresa de productos lácteos ocupa, para vender y distribuir leche, camiones con una

capacidad de carga de 250 cajas, cada una de ellas contiene 12 litros y el precio de litro es de

$10, si un supermercado realiza un pedido de 4 cargas, ¿Cuánto debe pagar por la compra del

lácteo a la empresa?


Leyes de los signos en potencias.

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

par

par


Ejemplos:

42

42

2

2

7293

7293

6

6

2564

2564

4

4

Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

impar

impar

Ejemplos:

82

82

3

3

2433

2433

5

5

44

44

1

1



con anterioridad:

a) - (-3)2 + (-7)2 + (-4) =

b) (2)2 =

c) (-3)3=

d) - (-10) (7)3 =

e) (-10) + (-3) + (-2)6 =

f) (-8)3 + (-6)2 =

g) (7)2 – (-6)3=

h)

4

2

53

2

i)

4

5

33

2

j) - (-5)3 =


1.3 Jerarquía de las operaciones.


Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que

deben resolverse para obtener un resultado correcto.

1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

Cuando no hay paréntesis, se efectúan las operaciones en el siguiente orden:

2. Calcular las potencias y raíces.

3. Efectuar los productos y cocientes.

4. Realizar las sumas y restas.

Al evaluar una expresión, si hay dos operadores con la misma jerarquía, se evalúa de izquierda a

derecha. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de adentro hacia fuera.

Nota: Las calculadoras tradicionales o normales no respetan la jerarquía de operaciones, pero las

científicas sí.

Ejemplo de operación con combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.

23 + 10 / 2 + 5 • 3 + 4 - 5 • 2 - 8 + 4 • 22 - 16 / 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

8 + 10 / 2 + 5 • 3 + 4 - 5 • 2 - 8 + 4 • 4 - 16 / 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =

Efectuamos las sumas y restas = 26


Sin el uso de la calculadora, realiza las siguientes operaciones considerando la información expuesta

con anterioridad:

a) 23 62543

b) 2537

c) 242772

d) 4100252487 22

e) 644822623 223



Ejemplo de operaciones combinadas con paréntesis:

14 − {7 + 4 • 3 - [(-2)2 • 2 - 6]}+ (22 + 6 - 5 • 3) + 3 - (5 - 23 / 2) =

Primero operamos con las potencias:

14 − [7 + 4 • 3 -(4 • 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 • 3) + 3 - (5 - 8 / 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis:

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) = 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

1.- Si el paréntesis va precedido del signo +, se suprimirá manteniendo su signo los términos que

contenga.

2.- Si el paréntesis va precedido del signo −, al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todos

los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6


Sin el uso de la calculadora, realiza las siguientes operaciones considerando la información expuesta

con anterioridad:

a) (7 + 3) ∙ 5 − 2 =

b) (7 + 3) ∙ (5 − 2) =

c) 7 + 3 ∙ (5 − 2) =

d) 93)24(21043 22

e) 2124348640310432 2222


Resuelve los siguientes problemas:

1.- En un estadio hay 3 tipos de ubicaciones con diversos costos cada una: 25,000 lugares en

preferente especial, 15,000 en la sección de preferente y 30,000 en general. Si el costo de un boleto

en preferente especial es de $150, el de preferente $100 y el de general de $80, ¿Cuál es el ingreso

de la taquilla si hay un lleno total en el estadio?


2.- Se desea realizar un viaje a Mazamitla de 4 días y 3 noches todo incluido, y se tienen contempladas

232 personas, el costo por persona es de $780 en habitación doble y $865 en habitación individual. Si

sólo 15 personas no realizan el viaje y se sabe que se alquilaron 75 habitaciones dobles, ¿Cuántas

habitaciones individuales se alquilaron y cuál fue el monto total del viaje?

1.4 Operaciones con números racionales.


Una fracción es un número escrito en la forma 𝑎

𝑏 , de tal modo que 𝑏 no sea igual a cero. Todo número

que se puede escribir de esta forma se llama número racional.

El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la 𝑎.

El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la 𝑏.

El denominador es el número de partes en que está dividido el numerador y se representa con un

entero, conjunto o grupo.

b

a

Tipos de Fracciones.

Las fracciones propias: Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor

comprendido entre 0 y 1.

Ejemplos: 2

1

7

4

10

7

Las fracciones impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es

mayor que 1.

Ejemplos: 2

3

7

8

10

13

Fracción mixta: Está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.

Ejemplos: 2

12

4

33

10

34

Fracciones equivalentes: 2 Fracciones son equivalentes si el producto de sus extremos es igual al

producto de medios.

d

c

b

a Si (𝑎)*(𝑑) = (𝑏)*(𝑐)

𝑎 y 𝑑 son los extremos; 𝑏 y 𝑐, los medios.

NUMERADOR

DENOMINADOR


Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto

de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.

Ejemplo:

6

4

23

22

3

2

6

4

3

2 Comprobando: (2)*(6) = (3)*(4)

El segundo caso es simplificar una fracción, y consiste en transformarla en una fracción

equivalente más simple. Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por

un mismo número.

3

2

26

24

6

4

3

2

6

4 Comprobando: (4)*(3) = (6)*(2)

Fracciones irreducibles: Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto

sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.

5

2

7

5

13

6

Operaciones básicas.

Si deseamos sumar 2 fracciones podemos seguir la siguiente regla:

bd

bcad

d

c

b

a

Ejemplo:

6

7

)3)(2(

)2)(2()3)(1(

3

2

2

1


En base a la fórmula expuesta resuelve las siguientes operaciones:

a) 3

2

2

3

b) 9

6

3

5

(Se multiplica cruzado y los productos de suman) (Se multiplican los denominadores)


c) 4

82

8

51

d) 10

8

7

4

e) 4

63

5

71

Si deseamos restar 2 fracciones podemos seguir la siguiente regla:

bd

bcad

d

c

b

a

Ejemplo:

10

1

)5)(2(

)2)(2()5)(1(

5

2

2

1



a) 5

2

2

31

b) 7

6

3

5

c) 4

8

8

5

d) 5

8

7

42

e) 2

5

5

7

Si deseamos multiplicar 2 fracciones podemos seguir la siguiente regla:

bd

ac

d

c

b

a

Ejemplo:

5

1

10

2

)5)(2(

)2)(1(

5

2

2

1

(Se multiplica cruzado y los productos de restan) (Se multiplican los denominadores)

(Se multiplica los numeradores) (Se multiplican los denominadores)




a) 5

2

2

3

b) 7

62

3

52

c) 4

8

8

5

d)

5

8

7

4

e)

2

5

5

7

Si deseamos dividir 2 fracciones podemos seguir la siguiente regla:

bc

ad

d

c

b

a

Ejemplo:

4

5

)2)(2(

)5)(1(

5

2

2

1



a) 5

2

2

3

b) 7

61

3

52

c) 4

8

8

5

d)

5

8

7

4

e)

2

5

5

7

(Se multiplica el numerador de la 1era fracción por denominador de la 2da) (Se multiplica el denominador de la 1era fracción por numerador de la 2da)


1.5 Operaciones con desigualdades.


Existen diferentes propiedades de los números reales, una de ellas es la propiedad de tricotomía la

cual afirma que dados dos números reales a y b, entonces se tiene exactamente una de las tres

posibilidades: 𝑎 < 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑎 = 𝑏

En otras palabras, dos números reales son iguales o desiguales entre sí.

Esta propiedad permite establecer un orden dentro del conjunto de los números reales.

Dada la expresión 3𝑥 − 2 < 8, donde 𝑥 es una variable, su solución es encontrar el conjunto de

valores que la satisfagan, si esto ocurre recibe el nombre de conjunto solución de la desigualdad.

Ejemplo: Verifica cuál de los siguientes elementos del conjunto {−3, 2, 4, 5} son soluciones de la

desigualdad 3𝑥 − 2 < 8.

Solución:

Se sustituye cada valor del conjunto en la desigualdad con la finalidad de comprobar su veracidad.

Para 𝑥 = −3

3(−3) − 2 < 8

−9 − 2 < 8

−11 < 8 Desigualdad verdadera.

Para 𝑥 = 2

3(2) − 2 < 8

6 − 2 < 8

4 < 8 Desigualdad verdadera.

Para 𝑥 = 4

3(4) − 2 < 8

12 − 2 < 8

10 < 8 Desigualdad falsa.

Para 𝑥 = 5

3(5) − 2 < 8

15 − 2 < 8

13 < 8 Desigualdad falsa.

En estos ejemplos los valores que hicieron verdadera la desigualdad son soluciones de la expresión,


mientras los que la hicieron falsa no lo son.


a) Verifica cuál de los siguientes elementos del conjunto {−1, 2, 4, 5} son parte de la solución de

la desigualdad 2𝑥 + 2 < 10

b) Verifica cuál de los siguientes elementos del conjunto {−1, 0, 2, 3} son parte de la solución de

la desigualdad −3𝑥 + 5 > 1


Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada

miembro. Esto es, si 𝑎 > 𝑏, entonces se cumple que 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐.

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican o dividen sus dos miembros por

un mismo factor positivo. Esto es, dado un número 𝑐 > 0, si 𝑎 > 𝑏 entonces se cumple que

𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 y que 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐.

3. Una desigualdad cambia de

sentido cuando se multiplican o

dividen sus dos miembros por

un mismo factor negativo. Esto

es, dado un número 𝑐 < 0, si

𝑎 > 𝑏 entonces se cumple que

𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 y que 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐.

En la tabla de esta página se

muestran desigualdades,

donde se puede observar la

representación de una

desigualdad en forma de

intervalo y gráfica.


Ejemplo:

Resuelve la siguiente desigualdad: 6𝑥 − 10 > 3𝑥 + 5

Para despejar a 𝑥 se agrupan todos los términos que contengan la variable en uno de sus miembros

y los términos independientes en el otro, finalmente se simplifica,

6𝑥 − 3𝑥 > 5 + 10

3𝑥 > 15

𝑥 >15

3

𝑥 > 5

La desigualdad 𝑥 > 5, tiene la forma 𝑥 > 𝑎 de la tabla, por lo tanto, el intervalo que representa el

conjunto solución es (5, ∞) y su representación gráfica es:


Resuelve las siguientes desigualdades, considerando su representación en intervalo y gráfica.

a) 2𝑥 − 6 + 3𝑥 ≥ 8𝑥 + 21

b) 12𝑥 − 4 > 7𝑥 + 11

c) 𝑥 − 9 ≤ 8𝑥 − 1

1.6 Uso de la calculadora científica.


Hay muchos modelos diferentes de calculadora científica. En estos apuntes sólo se explican algunos

usos de la calculadora científica (los que necesitas conocer por ahora), pero hay muchos más que irás

aprendiendo más adelante.

La primera actividad consiste en comprobar cada una de las actividades de aprendizaje desde la 3 a

la 7.

Para poder realizar estas operaciones debes de considerar el pasar correctamente cada uno de los

números y signos en la calculadora, a su vez introduce los paréntesis en donde se pide, en la mayoría

de las calculadoras la función paréntesis, sustituye a los corchetes y llaves. En algunas otras no tiene

esta función.


La calculadora posee diversos modos de cálculo. Según los cálculos que vayas a realizar deberás

poner la calculadora en el modo de trabajo adecuado.

Las funciones más utilizadas son:

Aplicación Nombre del modo

Cálculos de desvíos estándar SD

Cálculos Normales COMP

Cálculos usando grado sexagesimales DEG

Cálculos usando Radianes RAD

Cálculos usando grados centesimales GRA

Especificación del número del lugar de decimales FIX

Especificación del número de dígito significante SCI

Cancela los ajustes FIX y SCI NORM

En la pantalla se indica el modo actual. Recuerda que siempre debes seleccionar el modo de operación

adecuado y la unidad angular (DEG, GRA, RAD) antes de comenzar los cálculos. Para los cálculos

básicos selecciona modo COMP y unidad DEG.

Las funciones utilizadas en matemáticas cuando se calculan ángulos son; seno, coseno y tangente,

mediante su inversa que comprobaremos a continuación:


Calcula los siguientes valores de las funciones trigonométricas, así mismo transforma en grados,

minutos y segundos las funciones inversas, ya que estas son las que representan los ángulos:

sin−13

4 sin 30

cos−12

5 cos 0

tan−13

3 tan 0


Realiza las siguientes indicaciones y operaciones:

a) Reinicia (reset) la memoria de tu calculadora.


b) (2𝜋+4𝑒2

log 2) − 55.942𝑥10−3 =

c) Identifica como puedes transformar una fracción mixta en impropia y punto decimal y representa

tu respuesta a las siguientes operaciones.

d) (4+|−33|+ √729

3

4!) =

e) (√40966

+24

3!) =

1.7 Perímetros, áreas y volúmenes.


Perímetro. Es la suma de los lados de un polígono. Se expresa en unidades lineales.

Área. Conocida también como superficie, es la región del plano limitada por una figura en 2

dimensiones. Se expresa en unidades cuadradas.

Volumen. Conocida también como capacidad, es la cantidad de espacio tridimensional que ocupa un

objeto. Se expresa en unidades cúbicas.

A continuación, se presentan las fórmulas para determinar el perímetro y área de las figuras más

usuales:

Triángulos

Propiedades de los triángulos:

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.


Cuadriláteros.

Polígonos regulares:

Perímetro. El perímetro se define como el producto del número de lados por la medida de cada lado

del polígono.

Área. Es el semiproducto del perímetro por la apotema.

Apotema. Es la longitud del segmento que une el centro del polígono y el punto medio de uno de los

lados.


Círculo.

El perímetro de un círculo se define como el doble producto de su radio por 𝜋 o el producto del diámetro

por 𝜋.

El área o superficie del círculo se define como el producto de 𝜋 por el radio al cuadrado.


En base a las fórmulas expuestas con anterioridad determina el perímetro y la superficie de las

siguientes figuras:


1. Se quiere empastar un terreno rectangular que es 10 metros más largo que ancho y su

perímetro es de 100 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitan comprar para

empastarlo?

2. Por impermeabilizar el techo de una casa rectangular de 12.5m por 15m, se pagaron $ 500.

¿Cuál es el precio por metro cuadrado?



A continuación, se presentan las fórmulas para determinar el volumen de las figuras más usuales:


En base a las fórmulas expuestas con anterioridad determina lo solicitado:

a) Calcula el volumen de un cubo cuyo lado es igual a la mitad de cm3

12.

b) Calcula el volumen de un cilindro que tiene como altura 15 cm y su radio es 3

1en razón de su

altura.

c) Calcula el volumen de un cono cuyo radio es 8 cm y su altura es 3

5 en razón del radio.

d) Calcula el volumen de una esfera que tiene 4 cm de radio.

e) ¿Qué radio tendrá una esfera que tiene la mitad de volumen de la esfera anterior?


SOLUCIÓN A LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.


Considerando la información expuesta de los números reales y su clasificación, escribe sobre el

espacio, el tipo de número que corresponde:

3

8

Racional, Fracción propia, Positiva. √5 Irracional, Algebraico

√−643

Racional, Entero negativo. −9

4

Racional, Fracción impropia, Negativa.

0

2 Racional, Cero 𝜋 Irracional, Trascendente

1.25 Racional, Fracción impropia,

Positiva.

7

3

Racional, Fracción impropia, Positiva.

−2

7

Racional, Fracción propia, Negativa.

𝑒 Irracional, Trascendente


Interpreta en la recta numérica los siguientes números o expresiones, colocando en donde

corresponde:

𝒆 √−𝟔𝟒𝟑

− 𝟏

𝟒 -2 −𝝅 -√𝟗

𝟓

𝟑 √𝟒 −

𝟕

𝟓 −𝟏𝟐


a) -5 b) 7 c) 8 d) -14 e) -6 f) 2 g) -6 h) 3 i) 2 j) -7


a) 4 b) -60 c) −1

4 d) −

1

2 e) -6 f) -9 g) -3 h) 2 i) 4 j) 14

√𝟒

𝒆

1 2 3 4 -4 -3 -2 -1

√−𝟔𝟒𝟑

−𝟏

𝟒 −𝟐

−𝝅

−√𝟗

𝟓

𝟑

−𝟏𝟐

−𝟕

𝟓

𝟐



a) 36 b) 4 c) -27 d) 3430 e) 51 f) -476 g) 265 h) 2500

9 i)

32

3 j) 125


a) 290 b) 20 c) -58 d) 96 e) 393


a) 48 b) 30 c) 16 d) 34 e) 825


a) 6

13 b)

3

7 c)

8

45 d)

35

48 e)

10

69


a) 10

21 b)

21

17 c)

8

11 d)

35

34 e)

10

11


a) 5

3 b)

21

220 c)

4

5 d)

35

32 e)

2

7


a) 4

15 b)

39

77 c)

16

5 d)

14

5 e)

25

14


a) Para 𝑥 = −1, Verdadera; Para 𝑥 = 2, Verdadera; Para 𝑥 = 4, Falsa Para 𝑥 = 5, Falsa

b) Para 𝑥 = −1, Verdadera; Para 𝑥 = 0, Verdadera; Para 𝑥 = 2, Falsa Para 𝑥 = 3, Falsa


a) 2𝑥 − 6 + 3𝑥 ≥ 8𝑥 + 21 𝑥 ≤ −9; (−∞, −9]

b) 12𝑥 − 4 > 7𝑥 + 11; 𝑥 > 3; (3, ∞)


c) 𝑥 − 9 ≤ 8𝑥 − 1; 𝑥 ≥ −8

7; [−

8

7, ∞)


sin−13

4 48°35´25.36´´ sin 30

1

2

cos−12

5 66°25´18.56´´ cos 0 1

tan−13

3 45°0´0´´ tan 0 0


Realiza las siguientes indicaciones y operaciones:

a) Reinicia la memoria de tu calculadora.

b) 119.

c) Identifica como puedes transformar una fracción mixta en impropia y punto decimal y

representa tu respuesta a las siguientes operaciones.

d) (4+|−33|+ √729

3

4!) =

5

3; 1

2

3; 1.666

e) (√40966

+24

3!) =

10

3; 3

1

3; 3.333


En base a las fórmulas expuestas con anterioridad determina el perímetro y la superficie de las

siguientes figuras:

a) Rectángulo; Perímetro = 8.4m; Área = 4.25m2

b) Triángulo equilátero; Perímetro = 24.9m; Área = 29.4m2

c) Trapecio isósceles; Perímetro = 38.6m; Área = 82.5m2

d) Pentágono regular; Perímetro = 40.0m; Área = 110m2

e) Cuadrado; Perímetro = 36m; Área = 81m2

f) Rombo; Perímetro = 10m; Área = 6m2



a) 8 cm3

b) 1178.097cm3

c) 893.609 cm3

d) 268.083 cm3

e) 3.175 cm3

SOLUCIÓN A LAS APLICACIONES DEL CONOCIMIENTO.


1.- 2004 y 2006.

2.- Falleció en 2005.


1.- 17,280 es el número de hojas a cambiar.

2.- $120,000.


1.- 7,650,000.

2.- 67 habitaciones individuales y un monto de $524,865.


1.- 600 m2.

2.- $2.66 por m2.


Sección II

Álgebra elemental.

2.1 Conceptos algebraicos.

2.2 Leyes de los exponentes y radicales.

2.3 Operaciones con monomios y polinomios.

2.4 Productos notables.

2.5 Factorización.

2.6 Ecuaciones de 1er y 2do grado.


2. Algebra.

Es la rama de la matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a

múltiples operaciones aritméticas.


1. Representar expresiones algebraicas, para resolver problemas concernientes a la vida

cotidiana.

2. Identificar datos característicos, provenientes de situaciones cotidianas traduciéndolos en

lenguaje algebraico.

3. Construir modelos algebraicos de diferentes representaciones para la situación que le ayudan

a explicar y describir su realidad.

2.1 Conceptos algebraicos.


Signo: Puede ser negativo o positivo, cuando no aparece el signo en un término algebraico,

automáticamente se considera de signo positivo.

Coeficiente: Es un factor multiplicativo numérico (2, −5,3

4, 23, −

2

7, 3, … ). Si no se especifica valor en el

coeficiente automáticamente se le da el valor de1.

Literal: Es cualquier letra minúscula que representa una cantidad desconocida (𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, 𝑧…)

Exponente: Es la potencia a la que se eleva la literal. Si no se especifica el exponente de un término,

se le asigna el valor de uno.

Término: Es la expresión algebraica que representa cuatro elementos (signo, coeficiente, literal y

exponente).

Término

Un monomio es un solo término y en el que no aparecen ni la adición ni la sustracción.

Un binomio es una expresión algebraica compuesta por dos términos.

Un trinomio se compone por tres términos.

Un polinomio está formado por dos o más términos.

Signo

−𝟓 𝒙 𝟑

Exponente

Coeficiente Literal


Ejemplos:

Monomio Binomio Trinomio Polinomio

32𝑦2𝑧3 𝑥2– 4𝑦3 2𝑥2 – 5𝑥 + 6 49𝑚4 – 151𝑚2𝑛4 + 81𝑛8 3y

4𝑥

−2𝑚5𝑛 + 4𝑚4𝑛2 8𝑎5 + 13𝑏4 – 𝑐3 2𝑥2 – 4𝑥 + 8

−3𝑥4 𝑥 − 𝑦 4𝑎4 + 8𝑎2𝑏2 + 9𝑏4 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Término semejante: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas literales,

elevadas a los mismos exponentes. Aquí, los signos y los coeficientes pueden ser diferentes.

Ejemplos:

5𝑥2 y 5𝑥5 No son términos semejantes.

2𝑥2𝑦3 y − 𝑥2𝑦3 Si son términos semejantes.

−4𝑎𝑏3 y 4𝑎3𝑏 No son términos semejantes.

𝑏 y 3𝑏 Si son términos semejantes.

Actividad de aprendizaje 2.1.

Indica si los siguientes términos son semejantes:

(−6

8 𝑓3𝑔2) y (9 𝑓² ℎ² 𝑗³)

(6 𝑥5𝑦² 𝑧⁶) y (3

4 𝑥5𝑦² 𝑧⁶)

(2 𝑥3 𝑦2) y (2 𝑥2 𝑦3)

(𝑛6 𝑝4) y (– 4 𝑛6 𝑝4)

(𝑥4) y (𝑥2)

2.2 Leyes de los exponentes y radicales.


Exponente: a la expresión 𝒂𝒏 se le conoce como potencia de un número 𝒂 o expresión exponencial,

en donde “𝒂” es la base y “𝒏” es el exponente. La potencia de un número es igual al producto de la

base multiplicada por sí misma “𝑛” cantidad de veces.

Matemáticamente:

Exponente o potencia

𝒂𝒏 =

𝑛 veces

Base 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎


A las cantidades que se multiplican se llaman factores y al resultado de una multiplicación se le llama

producto.

Ejemplo:

𝒙𝟓 = 𝒙 ∙ 𝒙 ∙ 𝒙 ∙ 𝒙 ∙𝒙

= 𝒙𝟓

Factores

Producto

(𝑥

𝑦)

3

= 𝑥3

𝑦3

2.2.1 Leyes de los exponentes.


1a Ley (Producto de potencias de bases iguales): La multiplicación de dos cantidades de la misma

base, es igual a tomar la misma base y sumar los exponentes.

(𝑎𝑚 ) (𝑎𝑛) = 𝑎𝑚+𝑛

(𝑥2)(𝑥3) = 𝑥2+3 = 𝑥5

2a Ley (Cociente de potencias de bases iguales): La división de dos cantidades de la misma base,

es igual a tomar la misma base y restar los exponentes.

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛

𝑦 8

𝑦4= 𝑦8−4 = 𝑦4

3a Ley (Potencia de un producto): Si la multiplicación de dos o más cantidades cualesquiera esta

elevada a una potencia, todos los factores toman el mismo exponente.

(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚

(𝑥 ∙ 𝑦) 3 = 𝑥3 ∙ 𝑦3

4a Ley (Potencia de un cociente): Si la división de dos cantidades cualesquiera esta elevada a una

potencia, tanto el numerador como el denominador toman el mismo exponente.

(𝑎

𝑏)

𝑚 =

𝑎 ͫ

𝑏 ͫ

(𝑦

𝑧)

3=

𝑦 ³

𝑧 ³


5a Ley (Potencia de una potencia): si una potencia se eleva a otra potencia, se toma la misma base

y se multiplican los exponentes.

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

(𝑏3)2 = 𝑏3∙2 = 𝑏6

6a Ley: Toda expresión con exponente negativo, es igual a su reciproco.

𝑎−𝑚 =1

𝑎 ͫ

𝑥−2 =1

𝑥²

7a Ley: Toda cantidad elevada a la potencia cero, es igual a 1.

𝑎0 = 1

𝑥0 = 1

8a Ley: cual número elevado a la potencia 1 su resultado será ese mismo número.

𝑎1 = 𝑎

𝑚1 = 𝑚

Ejemplo 1: simplifica las siguientes expresiones utilizando las leyes de los exponentes.

a) (𝑎𝑥+1 𝑏𝑥+2)(−3𝑎𝑥+2𝑏3) = − 3 𝑎𝑥+1+𝑥+2𝑏𝑥+2+3 = − 3 𝑎2𝑥+3𝑏𝑥+5

b) (−𝑎𝑏2)(4𝑎𝑚𝑏𝑛𝑐3) = −4𝑎𝑚+1𝑏𝑛+2𝑐3

c) (3𝑎)(4𝑏) = 12𝑎𝑏

d) (2𝑎2)(2𝑎3) = (2𝑎)2+3 = (2𝑎)5 = 32𝑎5

e) (𝑥4𝑔−5𝑓)(𝑥−5𝑔+5𝑓) = 𝑥4𝑔−5𝑓−5𝑔+5𝑓 = 𝑥−𝑔 =1

𝑥𝑔

f) 𝑎3𝑏+2𝑐

𝑎2𝑏−5𝑐= 𝑎3𝑏+2𝑐−(2𝑏−5𝑐) = 𝑎3𝑏+2𝑐−2𝑏+5𝑐 = 𝑎𝑏+7𝑐

g) 2

3𝑎2𝑏 (−

3

4𝑎3𝑚) = −

1

2𝑎5𝑏𝑚

Actividad de aprendizaje 2.2.1.

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las leyes de los exponentes:

a) (3𝑥6𝑦3)(4𝑥𝑦2)


b) 5𝑎⁶𝑏⁵

−10𝑎⁴𝑏¯⁵

c) (−2 𝑥

𝑦⁵)

3

(−4 𝑦

𝑥⁴)

2

d) (75 𝑥4𝑦8𝑧9

(5 𝑥2𝑦3𝑧8)2 )

3

e) (5𝑥𝑦)(10𝑥⁸𝑦⁹־)

2.2.2 Leyes de los radicales.


La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente

conociendo las potencias y el exponente.

El símbolo radical, √ , se utiliza para la escritura de raíces.

1. La potencia pasa a ser exponente del radicando y se convierte en fracción, el índice será el denominador y el exponente el numerado.

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛⁄

√(5𝑎)23= (5𝑎)

23⁄

√4𝑥 = (4𝑥)1

2⁄

2. Producto de raíces con el mismo índice.

( √𝑎𝑛

)( √𝑏𝑛

) = √𝑎𝑏𝑛

(√𝑥23) (√𝑥

3) = √𝑥2𝑥

3= √𝑥33

= 𝑥

3. Cociente de raíces con el mismo índice.

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

√2𝑎5

√4𝑎35 = √2𝑎

4𝑎3

5

= √1

2𝑎2

5

𝑛 par dos soluciones reales: ± √𝑎𝑛

𝑛 impar una sola solución real: √𝑎𝑛


4. Potencia de una raíz.

( √𝑎𝑚𝑛)

𝑝= √𝑎(𝑚)(𝑝)

𝑛

(√2𝑥37)

4

= √24𝑥(3)(4)7= √24𝑥127

= 𝑥 √24𝑥57

5. Raíz de una raíz.

√ √𝑎𝑚

𝑛

= √𝑎𝑛𝑚

√√𝑥52

= √𝑥10

6. Multiplicar o dividir radicales con índices diferentes.

√𝑎𝑚𝑘𝑛𝑘= √𝑎𝑚𝑛

√723∗ √245

= √72∗53∗5∗ √24∗35∗3

= √71015∗ √21215

= √71021215

Ejemplos 1: Realiza las siguientes operaciones con radicales.

a) √9𝑎2𝑏4 = ±3𝑎𝑏2

b) √−8𝑎3𝑥6𝑦93= −2𝑎𝑥2𝑦3

c) √16𝑎4𝑚8𝑥4𝑥4= ±2𝑎𝑚2𝑥𝑚

d) √9𝑎3 = √32 ∗ √𝑎2 ∗ √𝑎 = ±3𝑎√𝑎

e) √√𝑎12𝑏2423

= √𝑎12𝑏246= 𝑎2𝑏4

El grado de un radical lo indica su índice:

√2𝑎 Radical de segundo grado.

√5a23 Radical de tercer grado.

√3𝑥4

Radical de cuarto grado.

Si la raíz indicada es exacta, la expresión es

racional; si no es exacta es irracional.



Resuelve las siguientes operaciones aplicando las leyes de los radicales.

a) (8√𝑎2𝑏3

) (4√ 𝑎𝑏3)

b) √𝑥𝑦34 √𝑥5𝑦46

c) (3√𝑥𝑦)(−2√𝑥2𝑦)(−3√𝑥𝑦4)

d) √32𝑥4𝑦12𝑧434

e) √𝑘29𝑙374÷ √𝑘13𝑙93

Aplicación del conocimiento.

Un parque situado en el centro de la ciudad tiene 6 árboles. En cada árbol hay 6 ramas y cada rama

tiene 6 hojas. ¿Podrás decir cuántas hojas hay en el parque?

Para resolver el problema se puede hacer un esquema de representación de la situación.

Hoja 1 Hoja 2 Rama 1 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6

Hoja 1 Árbol 1 Hoja 2

Rama 2 Hoja 3

Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6

Rama 3

…

Rama 4 … Rama 5 … Rama 6 … Árbol 2 … Árbol 3 … . . .

Árbol 6 …

Después de hacer el esquema tendrías que sumar cada una de las hojas. ¿Te gustaría hacer todo esto? Mejor utilizaremos potencias: Tenemos que hay 6 árboles, 6 ramas y 6 hojas. Entonces tenemos lo siguiente.

63 = 6 * 6 * 6 = 216 ramas árboles hojas Por lo tanto sabemos que en el parque hay 216 hojas.


2.3 Operaciones con monomios y polinomios. Para realizar sumas y restas entre polinomios es necesario que los términos sean semejantes.

2.3.1 Suma algebraica de polinomios.


En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de tal

modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados

unos de otros con sus respectivos signos.

Ejemplo 1: Resuelve las siguientes sumas de polinomios tomando en cuenta la notación de

polinomios (del exponente mayor al menor).

a) (4𝑤4 − 2𝑤3 − 7𝑤 + 9) + (−15𝑤4 − 10𝑤3 + 13𝑤 − 12) =

4𝑤4 – 2𝑤3 – 7𝑤 + 9

– 15𝑤4 – 10𝑤3 + 13𝑤 – 12

– 11𝑤4 – 12𝑤3 + 6𝑤 – 3

b) (−5

12𝑦 −

7

15) + (

5

9𝑦 −

9

10) =

−5

12𝑦 −

7

15

5

9𝑦 −

9

10

Si deseas realizar una suma o resta de polinomios, debes sumar o restar los coeficientes, mientras que las literales se mantienen con sus exponentes.

En la notación de los polinomios, primero debe de ir el término de mayor exponente, después el del segundo mayor exponente y así sucesivamente.


Realizaremos la suma de los coeficientes:

−5

12+

5

9=

−45 + 60

108=

15

108=

5

36

−7

15−

9

10=

−70 − 135

150=

−205

150= −

41

30

Teniendo como resultado de la suma:

5

36y −

41

30

c)


Realiza las siguientes sumas de polinomios.

a) (9𝑥 − 3𝑦 + 5) + (−𝑥 − 𝑦 + 4) + (−5𝑥 + 4𝑦 − 9)

b) (3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐) + (2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐)

c) (6𝑥2 − 5𝑥 − 2𝑥3) + (7𝑥 + 6𝑥3 − 9𝑥2) + (−2𝑥 − 𝑥2 − 15𝑥3)

d) 6𝑥

3𝑥+3+

2𝑥

𝑥2+𝑥

e) (−9𝑥 + 5𝑥2 − 10 + 6𝑥3) + (−7𝑥2 − 5 + 8𝑥3 + 5𝑥)

3𝑥 +

6

𝑥 + 2 𝑥 + 2

3𝑥 +

6 =

3𝑥 + 6 =

3 (𝑥 + 2) = 3 𝑥 + 2 𝑥 + 2 𝑥 + 2 𝑥 + 2

Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores

debes obtener un común denominador y después tratar de

simplificar. 𝑎

𝑏±

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑±𝑏𝑐

𝑏𝑑

Se suman los numeradores y los denominadores se mantienen por ser el mismo en ambos lados.

Si se puede se debe de simplificar, por lo cual hay que factorizar.


2.3.2 Resta algebraica de polinomios. Conocimientos básicos.

Ejemplo 1.

a) Resta – 8 + 6𝑧2 + 4𝑧 de 3𝑧2 + 6 − 5𝑧

Al término que se va a restar lo multiplicamos todo por (–).

3𝑧2 – 5𝑧 + 6

– (6𝑧2 + 4𝑧 – 8 )

Ordenando nos queda:

3𝑧2 – 5𝑧 + 6

– 6𝑧2 – 4𝑧 + 8

– 3𝑧2 – 9𝑧 + 14

b) A 5

6𝑥 − 9 restar −

3

4𝑥 +

1

6

5

6𝑥 − 9

3

4𝑥 −

1

6

19

12𝑥 −

55

6


Restas de polinomios:

a) A 6𝑧2 + 4𝑧 − 8 restar – 5𝑧 + 6 + 3𝑧2

b) (9𝑦2– 3𝑦 + 2) − (−8𝑦2 + 6𝑦 + 5)

c) (−12𝑏3– 3𝑏2 − 2𝑏4) − (11𝑏4 − 33𝑏2 + 22𝑏3)

d) 5𝑥

𝑥−1−

15𝑥−5

𝑥²+𝑥

e) (−12𝑥4 − 10𝑥2 − 15𝑥) − (6𝑥4 + 15𝑥2 + 13𝑥)

Para resolver una resta entre dos o más polinomios es necesario multiplicar el signo negativo (–) por la totalidad de términos que se vayan a restar.


2.3.3 Multiplicación.


Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro monomio, se empieza por aplicar

la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las

literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios

exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se conserva

la misma base y se suman los exponentes.

2.3.3.1 Multiplicación monomio por monomio.

Ejemplo: Resuelve los siguientes productos.

a) (x) (x) = x1+1 = x2

b) (a b) (a b) = a1+1 b1+1 = a2 b2

c) ( – 8 x5 y6 ) ( 6 x y-8) = (-8) (6) x5+1 y6-8 = – 48 x6 y2־ = −48 𝑥⁶

𝑦²

d) ( – am+1 bn-2 ) ( – 4 am-2 b2n+4 ) = ( – 1) (– 4 ) am+1+m-2 bn-2+2n+4 = 4 a 2m-1 b3n+2

e) ( 3 a x ) ( 5 a y ) = 15 a2 x y

f) ( 2a ) (– 3 a2 b) ( – a b3) = 6 a4 b4

Actividad de aprendizaje 2.3.3.1.

a) (−5

6 𝑥² 𝑦³) (−

3

10 𝑥 ͫ 𝑦 ᵑ⁺²)

b) (2

3 𝑎² 𝑏) (−

3

4 𝑎³ 𝑚)

c) ( 3 ax+2 ) ( 5 ax+7 )

d) ( 6 x2 y4 z3 ) (4 x y z4 )

e) (9 a3 b c2 ) ( 8 d3 e4 g )

Para multiplicar dos monomios es necesario que utilices las leyes de los exponentes, particularmente la ley (producto de potencias de bases iguales):

𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛


2.3.3.2 Multiplicación de monomio por polinomio.


Ejemplo 1: Realiza la siguiente multiplicación:

(2 x5 y6) (3 x4 y-6 – 2 x3 y5 + 6 x-2 y4 – 8 x y3 – y4)

Paso 1: Multiplicamos el monomio por el primer término del polinomio. Es necesario que

respetemos las leyes de los exponentes en la suma de las literales iguales. (2 x5 y6) (3 x4 y-6 – 2 x3 y5 + 6 x-2 y4 – 8 x y3 – y-4)

(2 x5 y6) (3 x4 y-6) = (2) (3) x5+4 y6-6 = 6 x9 y0 = 6 x9

Paso 2: Seguimos multiplicando el monomio por cada uno de los siguientes cuatro términos restantes del polinomio.

(2 x5 y6) (– 2 x3 y5) = – 4 x8 y11 (2 x5 y6) (6 x-2 y4) = 12 x3 y10

(2 x5 y6) (– 8 x y3) = – 16 x6 y9 (2 x5 y6) (– y-4) = – 2 x5 y2

Paso 3: Obtenemos el resultado del producto del monomio por el polinomio. (2x5y6)(3x4y-6 – 2x3y5 + 6x-2y4 – 8xy3 – y-4) = 6x9 – 4x8y11 +12x3y10 – 16x6y9 – 2x5y2 Ordenando. = 6x9 – 4x8y11– 16x6y9 – 2x5y2+12x3y10

Ejemplo 2: Multiplica −5

6 x4 por

3

5 x3 – 8 x2 – 9 x +

3

4

(−5

6 𝑥⁴) (

3

5 𝑥³ − 8𝑥² − 9𝑥 +

3

4) =

= (−5

6 𝑥⁴) (

3

5 𝑥³) + (−

5

6 𝑥⁴) (−8𝑥²) + (−

5

6 𝑥⁴) (−9𝑥) + (−

5

6 𝑥⁴) (

3

4)

= −15

30 𝑥7 +

40

6 𝑥6 +

45

6 𝑥5 −

15

24 𝑥⁴

= −1

2 𝑥7 +

20

3 𝑥6 +

15

2 𝑥5 −

5

8 𝑥⁴


Actividad de aprendizaje 2.3.3.2.

Resuelve las siguientes operaciones de multiplicación.

a) (−2

9 𝑎² 𝑥³ 𝑦²) (

2

3 𝑥4𝑦² −

3

5 𝑥² 𝑦4 +

5

6 𝑦⁶)

b) (3 𝑥² − 6𝑥 + 7)(4 𝑎 𝑥²)

c) (−2 𝑎² 𝑥) (𝑎³ 𝑥 − 4 𝑎² 𝑥² + 5 𝑎 𝑥³ − 𝑥⁴)

d) (𝑥²−9

3𝑥−9) (

𝑥²+6𝑥+9

𝑥²+3𝑥)

e) 5x2 (6x3 + 2x – 9)

2.3.3.3 Multiplicación de polinomio por polinomio.


Ejemplo 1: Multiplicar 6x – 5 por 5x2 – 7x + 8. Aquí es necesario que realices tres pasos para obtener el producto; se requiere que multipliques 6x por cada uno de los términos del segundo polinomio; a continuación harás lo mismo con -5 y por ultimo reducirás los términos semejantes.

(6x – 5) (5x2 – 7x + 8) = 6x (5x2 – 7x + 8) – 5(5x2 – 7x + 8)

= 30x3 – 42x2 + 48x – 25x2 + 35x – 40 = 30x3 – 67x2 + 83x – 40 Otra forma de resolver la operación anterior es utilizando un arreglo como el siguiente, de forma que acomodes los productos obtenidos con sus términos semejantes para poder realizar las sumas o restas algebraicas más fácilmente:

Para multiplicar un monomio por un polinomio se tiene que multiplicar

el monomio por todos los términos del polinomio y en las literales

aplicar las leyes de los exponentes.

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio es necesario que cada uno de los términos del primer polinomio se multiplique por los términos delo otro. Tomando en cuenta las leyes de los signos, y se suman algebraicamente los resultados, si existen términos semejantes, habrá que reducirlos.


5x2 – 7x + 8 X 6x – 5

30x3 – 42x2 + 48x – 25x2 + 35x – 40

30x3 – 67x2 + 83x – 40 Actividad de aprendizaje 2.3.3.3.

a) Multiplica 3x3 – 4x2 + 5x + 4 por 2x3 + 6x – 9

b) Multiplica 3x5 + 5x4 – 2x2 – 4x + 4 por 5x3 – x + 2.

c) (am+2 – 4am – 2am+1) por (a2 – 2a)

d) Multiplicación combinada: x (a – b)2 – 4x (a + b)2

e) (3m – 4n2) (2m3 – 6m2n + 7n4)

2.3.4 División algebraica.

2.3.4.1 División de monomios.


Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después

se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales.

Ejemplo 1: Realiza la siguiente división 16 x3y entre 4x2.

16 𝑥³ 𝑦

4𝑥²= 4𝑥³¯2𝑦 = 4 𝑥 𝑦

Ejemplo 2: – 35mn2 ÷ 7mn

− 35 𝑚 𝑛²

7 𝑚 𝑛= −5 𝑚1−1 𝑛2−1 = −5 𝑛

Cuando las literales son diferentes pueden

conservarse en el mismo lugar, pero cuando se trata

de potencias con la misma base se restan los

exponentes.


2.3.4.2 División de polinomio entre un monomio.


División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el

monomio, separados los cocientes parcialmente con sus propios signos.

Ejemplo 1:

34

𝑥³ 𝑦 − 23

𝑥² 𝑦² + 56

𝑥 𝑦³ − 12

𝑦4

56

𝑦

=

34

𝑥³ 𝑦

56

𝑦 −

23

𝑥² 𝑦²

56

𝑦 +

56

𝑥 𝑦³

56

𝑦 −

12

𝑦4

56

𝑦

9

10 𝑥³ −

4

5 𝑥² 𝑦 + 𝑥 𝑦² −

3

5 𝑦³

Ejemplo 2:

3 𝑎³ − 6 𝑎² 𝑏 + 9 𝑎 𝑏²

3𝑎= 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 3𝑏²

2.3.4.3 Division de polinomio entre polinomio.


Una división independientemente si es de cantidades numéricas o de polinomios, consta de un

divisor, dividendo, cociente y residuo.

Dividendo

= Cociente

Cociente

Divisor Divisor Dividendo

Residuo


La metodología para la base de la división entre polinomios, es la siguiente:

1) Ordenar los términos del numerador y del denominador con relación a una letra.

2) Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para obtener

el primer término del coeficiente.

3) Se multiplica el coeficiente por cada término del denominador, colocando el resultado en

columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el

numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de

potencias), para poder sustraerlo del denominador al producto se le cambia de signo.

4) Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 2 y 3 para

encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.

5) Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del

denominador.

La división la podemos representar de la siguiente manera:

Ejemplo 1: Determina el cociente y el residuo de la división 𝟑𝒎³−𝟖𝒎²+𝟖

𝒎−𝟐 .

m – 2

3m2 – 2m – 4

3m3 – 8m2 + 8

-3m3 + 6m2

– 2m2

2m2 – 4m

– 4m + 8

+ 4m – 8

0

Por lo tanto el resultado de la división queda expresado de la siguiente manera:

3𝑚³ − 8𝑚² + 8

𝑚 − 2 = 𝟑𝒎² − 𝟐𝒎 − 𝟒

Este tipo de divisiones que no tienen residuo se les llama división exacta.


Ejemplo 2: Realiza la siguiente operación (m3 + 3m2 + 7m + 3) ÷ (m2 + 2)

m + 3

m2 + 2 m3 + 3m2 + 7m + 3

– m3 – 2m

3m2 + 5m +3

– 3m2 – 6

5m – 3

El ejercicio se termina aquí, puesto que ya no se puede dividir 5m ÷ m2 y el resultado es:

𝒎³ + 𝟑𝒎² + 𝟕𝒎 + 𝟑

𝒎² + 𝟐 = (𝒎 + 𝟑) +

𝟓𝒎 − 𝟑

𝒎² + 𝟐

Actividades de aprendizaje 2.3.4.

Realiza las siguientes divisiones algebraicas.

a) Obtener el resultado de la siguiente operación (x2 + 2x – 7) / x – 2

b) Divide − 7x + 6x2 − 19 entre −5 + 2x.

c) 78 x2 / 26 x y

d) (37m3 – 15m – 8m2 – 20m5) ÷ (4m2 – 5)

e) (3x3 – 5x – 4x2 + 2) ÷ (x – 2)

Aplicación del conocimiento.

La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto de Alejandría, notable matemático de

la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su

sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático:

“¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh

milagro!, cuan fue su vida, cuya sexta parte constituyo su infancia. Había transcurrido además una

duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrió su barbilla (se casó). Y la séptima parte de su

existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento

Dividendo Cociente Residuo

Divisor


de su precioso primogénito, que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad

de la de su padre a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido

cuatro años al deceso de su hijo”.

¿Cuál era la edad de Diofanto cuando murió? ¿A qué edad se casó? ¿Cuántos años tenía cuando

fue padre? ¿A qué edad perdió a su hijo?

La ecuación que representa el texto anterior es:

𝑥 = 𝑥

6+

𝑥

12+

𝑥

7+ 5 +

𝑥

2+ 4

Ahora sumaremos los enteros:

𝑥 = 𝑥

6+

𝑥

12+

𝑥

7+

𝑥

2+ 9

Sumando las fracciones obtenemos que:

𝑥 = 75 𝑥

84+ 9

Despejando tenemos: 𝑥 − 75 𝑥

84 = 9

9 𝑥

84 = 9

𝑥 = 99

84

∴ 𝑥 = 84

Así pues, ahora sabemos que Diofanto tenía 84 años cuando se murió:

𝑥 = 84

Se casó a los 21 años:

𝑥

6+

𝑥

12=

84

6+

84

12 = 14 + 7 = 21

Fue padre a los 38 años:

𝑥

6+

𝑥

12+

𝑥

7+ 5 =

84

6+

84

12+

84

7+ 5 = 14 + 7 + 12 + 5 = 38

Y perdió a su hijo a los 80 años:

𝑥

6+

𝑥

12+

𝑥

7+ 5 +

𝑥

2=

84

6+

84

12+

84

7+ 5 +

84

2= 80




Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores

que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y

que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso a paso.

También se les conoce como productos especiales precisamente porque son muy utilizados.

A continuación, veremos algunas expresiones algebraicas de productos notables:

2.4.1 Cuadrados de binomios.

Cuadrado del binomio de las formas:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Desarrollando la primera fórmula para comprobarla:

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a*a + a*b + b*a + b*b

= a2 + 2ab + b2

Ejemplo 1: (2x + 3y)2

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 ∗ (2x ∗ 3y) + (3y)2

= 4x2 + 2 * (6xy) + 9y2

= 4x2 + 12xy + 9y2

Ejemplo 2: (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x2y6

Ejemplo 3: (3a6 – 5a2b4)2 = 9a12 – 30a8b4 + 25a4b8

Ejemplo 4: (𝑥³

10−

5𝑦²

6𝑥⁵)

²

= 𝑥⁶

100−

10 𝑥³ 𝑦²

60+

25 𝑦⁴

36 𝑥ⁱ⁰ =

𝑥⁶

100−

𝑥³ 𝑦²

6+

25 𝑦⁴

36 𝑥ⁱ⁰


2.4.2 Binomios conjugados.

Producto del binomio conjugado, es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de

la segunda.

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Ejemplo 1: (3a6 + 5a2b4) (3a6 – 5a2b4) = 9a12 – 25a4b8

Ejemplo 2: (𝑥³

10+

5𝑦²

6𝑥⁵) (

𝑥³

10−

5𝑦²

6𝑥⁵) =

𝑥⁶

100−

25 𝑦⁴

36 𝑥ⁱ⁰

2.4.3 Binomios con un término común.

Producto de dos binomios con un término común, de las formas:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + a) (x – b) = x2 + (a – b) x – ab

(x – a) (x – b) =x2 – (a + b) x + ab

Ejemplo 1: (x + 5) (x +3) = x2 + (5 + 3) x + 15 = x2 + 8x + 15

Ejemplo 2: (x + 2) (x - 1) = x2 + (2 - 1) x – (2)(1) = x2 + x - 2

Ejemplo 3: (x - 7) (x - 4) = x2 - (7 + 4) x + (7)(4) = x2 - 11x + 28

Producto de dos binomios con un término común de la forma:

(mx + a) (nx + b) = mnx2 + (mb + na) x + ab

Ejemplo 1: (2

3 𝑥 + 1) (

3

4 𝑥 + 3) =

1

2 𝑥² + 2

3

4𝑥 + 3

Ejemplo 2: (2x + 3) (4x + 5) = 8x2 + 22 x + 15

2.4.4 Cuadrado de polinomios.


El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de un trinomio al cuadrado. El desarrollo

se puede obtener con la siguiente fórmula:

(a + b +c)2 = a2 + b2 + c2+ 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo 1:

(5x – 8y – 6z)2 = (5x)2 + (-8y)2 + (-6z)2 + 2(5x)(-8y) + 2(5x)(-6z) + 2(-8y)(-6z)

= 25x2 + 64y2 + 36z2 – 80xy – 60xz + 96yz


Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos se puede obtener de la

siguiente forma:

(a + b + c+ d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2cd + d2

Triángulo de Pascal.


Con el triángulo de pascal podemos desarrollar binomio elevado a la potencia 𝑛.

(𝒂 + 𝒃)𝒏

El triángulo de Pascal nos da los coeficientes que van en el desarrollo del binomio y se construye de

la siguiente manera:

En el desarrollo del binomio si es la suma de dos cantidades, los signos de todos los términos serán

positivos, en caso contrario se alterna un positivo y un negativo.

Ejemplo 1: Desarrollar (x2 – 3y5)6

(x2 – 3y5)6 = (x2)6 – 6(x2)5(3y5) + 15(x2)4(3y5)2 – 20(x2)3(3y5)3 + 15(x2)2(3y5)4 – 6(x2)(3y5)5 + (3y5)6

= x12 – 18x10y5 + 135x8y10 – 540x6y15 + 1215x4y20 – 1458x2y25 + 729y30

2.4.5 Cubos de binomios.


El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del

primero número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto del primer número por el

cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3(a2b) + 3(ab2) + b3


Ejemplo 1: (x +1)3 = (x)3 + 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 + (1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Ejemplo 2: (4a3 + 5a2b2)3 = 64a9 + 240a8b2 + 300a7b4 + 125a6b6

También el cubo del binomio se presenta en cubo de su diferencia lo que cambiará será solo el

signo de suma por resta.

(a – b)3 = a3 – 3(a2b) + 3(ab2) – b3

Ejemplo 1: (x – 1)3 = (x)3 – 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 – (1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1

Ejemplo 2: (4x3 – 8y2)3 = 64x9 – 384 x6y2 + 768 x3y4 – 512y6

2.4.6 Cubo de un trinomio.

La fórmula para desarrollar el cubo de un trinomio es la siguiente:

(a + b + c)3 =

a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc

Ejemplo:

(4ª + 2b + 5c)3 = (4a3) + (2b)3 + 5(c)3 + 3(4a)2 (2b) + 3(4a)(2b)2 + 3(4a)2(5c) + 3(4a)(5c)2 + 3(2b)2(5c)

+ 3(2b)(5c)2 + 6(4a)(2b)(5c)

= 64a3 + 8b3 + 125c3 + 3(16a2)(2b) + 3(4a)(4b2) + 3(16a2)(5c) + 3(4a)(25c2) +

3(4b2)(5c) + 3(2b)(25c2) + 6(4a)(2b)(5c)

= 64a3 + 8b3 + 125c3 + 96a2b + 48ab2 + 240a2c + 300ac2 + 60b2c + 150bc2 + 240abc


Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (a + b)4

b) (𝑥 + 1

3)

2

c) (𝑥2 + 2

3𝑦)

3

d) (x – 2y)2


e) (a + 1)3

f) (1

3𝑥 +

2

5) (

1

3𝑥 −

2

5)

g) (x – 2)3

2.5 Factorización.


Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. Factorizar una expresión significa escribir una expresión

equivalente expresada como la multiplicación de dos o más números.

Ejemplo 1: el procedimiento de factorizar se puede ilustrar mediante la siguiente tabla comparativa.

Ejemplo 2: Factoriza la siguiente expresión ab2 + 3cb – b3.

ab3 + 3cb2 – b4

= abbb + 3cbb – bbbb (b es la variable que se repite en los tres

términos ∴ la sacamos, y la ponemos fuera del paréntesis para indicar que es la que estamos factorizando)

= bb (ab + 3c – bb) = bb (– bb + ab + 3c) (reordenando nos quedaría así) pero lo

que nos resulta dentro del paréntesis se observa que aún se puede seguir factorizando.

= b2 (3c + (b (a – b))

Los procedimientos principales de factorización son tres:

Factorización por factor común,

Diferencias de cuadrado y,

Trinomio cuadrado perfecto.

MULTIPLICACIÓN FACTORIZACIÓN

12a2

(12a) (a)

(6a) (2a)

(4a) (3a)

(-3a) (-4a)

(2a) (6a)


2.5.1 Factorización por factor común.


Recuerda que en la multiplicación se llama producto al resultado de multiplicar por lo menos dos

números, y a estos números que se multiplican se les denomina factores.

Al aplicar el producto inverso de la multiplicación, se dice que se está sacando factor común. Su

nombre lo dice es el factor que está en todos sus términos. Los polinomios que tienen factor común

pueden tener alguna de las siguientes características, o ambas:

Sus términos son divisibles en un número común y/o

Cuentan con una letra presente en cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo 1:

10m3n2 – 15m5n + 20m3 = 5m3 (2n2 – 3m2n + 4)

Factor común

Existen tres casos de factorización por factor común:

Un monomio como factor común.

Un polinomio como factor común.

Factor común por agrupación.

2.5.1.1 Un monomio como factor común.


El monomio está presente en cada uno de los términos que se va a factorizar.

Ejemplo 1: Factorizar el polinomio 18x2 – 45x + 27y

A simple vista en el monomio factorizador no va a estar presente ninguna variable ya que en los

términos no contienen todos los términos la misma variable.

18x2 – 45x + 27y = 9 ( – + )

= 9 (2x2 – 5x + 3y)

Ejemplo 2: Encuentra el factor común en el polinomio 6x2y – 9xy2 + 3xy

6x2y – 9xy2 + 3xy = 3xy (2x – 3y + 1)


2.5.1.2 Un polinomio como factor común.


Un factor común de este tipo es un polinomio que aparece en cada término de la expresión que se va

a factorizar.

Ejemplo 1: factorizar xn (a + b) + ym (a + b)

xn (a + b) + ym (a + b) = (a + b) (xn + ym)

Ejemplo 2. Factorizar 2a (m – 2n) – b (m – 2n)

2a (m – 2n) – b (m – 2n) = (m – 2n) (2a – b)

Ejemplo 3: Encuentra el factor común de (2x + 3) (3 – r) – (2x – 5) (3 – r)

(2x + 3) (3 – r) – (2x – 5) (3 – r) = (3 – r) [(2𝑥 + 3) − (2𝑥 − 5)]

2.5.2 Factor común por agrupación.


En este tipo de factorización se intenta extraer un doble factor común.

Ejemplo 1: factorizar ax + ay + bx + by

En este polinomio “a” es factor común de los dos primeros términos, y “b” es factor común de los

últimos dos términos, por lo que podemos escribir como sigue:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)

En esta primera factorización se puede observar que la podemos seguir factorizando ya que nos queda

como resultado en ambos lados de la suma un nuevo factor común.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x+y)

= (x + y) (a + b)

Ejemplo 2: Factoriza la siguiente expresión 6ab + 9a + 4b + 6

6ab + 9a + 4b + 6 = 2b (3a + 2) + 3 (3a + 2)

= (3a + 2) (2b + 3)


2.5.3 Factorización de una diferencia de cuadrados.


Recuerda que al multiplicar dos binomios conjugados obtienes una diferencia de cuadrados.

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Pero ahora conoces la diferencia de cuadrados y deseas factorizar, es decir, obtener los binomios

conjugados.

Los pasos que debes realizar para factorizar una diferencia de cuadrados son:

a2 – b2

1. Escribe dos paréntesis: ( ) ( ).

2. En el centro de uno de los paréntesis pon el signo positivo, y en el centro del otro pon el signo

negativo, de manera que estos signos van a separar a los dos términos de cada binomio

conjugado: ( + ) ( – ).

3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis.

√𝑎² = a ∴ ( a + ) ( a – ).

4. Obtén la raíz cuadrada del segundo término y anótalo dentro de los paréntesis.

√𝑏² = b ∴ ( a + b ) ( a – b ).

Ejemplo 1: Factoriza la siguiente diferencia de cuadrados 9x2 – 4b2

( ) ( )

( + ) ( – )

√9𝑥2 = 3x (3x + ) (3x – )

√4𝑏² = 2b (3x + 2b) (3x – 2b)

Ejemplo 2: Factoriza la diferencia de cuadrados 81m8 – 64n10

(9m4 + 8n5) (9m4 – 8n5)

Para que un binomio sea la diferencia de cuadrados, se deben cumplir

tres condiciones:

1. Debe tener dos términos.

2. Debe haber un signo negativo entre los dos términos.

3. Que se pueda obtener la raíz cuadrada exacta de ambos términos.


2.5.4 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Recuerda que un binomio al cuadrado te da el siguiente trinomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Pero ahora conocemos el trinomio y lo deseamos factorizar para que un trinomio cuadrado sea perfecto

se deben cumplir las siguientes condiciones:

Los pasos que debe realizar para la factorización de un trinomio cuadrado perfecto son los siguientes:

a2 + 2ab + b2

1. Escribe un paréntesis ( ).

2. El signo que tendrá el binomio será el signo que tenga el segundo término del trinomio ( ± ).

3. Obtén la raíz cuadrada del primer término del trinomio y anótala dentro de paréntesis:

√𝑎² = a ∴ (a ± ).

4. Obtén la raíz cuadrada del tercer término del trinomio y anótala dentro del paréntesis:

√𝑏² = b ∴ (a ± b).

5. Eleva al cuadrado el binomio resultante: (a ± b)2.

Ejemplo1: factoriza el siguiente trinomio 81z2 – 180z + 100

( – )

√81𝑧² = 9z (9z – )

√100 = 10 (9z – 10)

(9z – 10)2

Ejemplo 2: factoriza el siguiente trinomio 8

3𝑥 +

16

9 + 𝑥²

8

3𝑥 +

16

9 + 𝑥² = x2 +

8

3𝑥 +

16

9

(𝒙 + 𝟒

𝟑)

𝟐


2.5.5 Factorización de trinomio de segundo grado.


Factorización de un trinomio de la forma:

x2 + bx + c

Es posible factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c de la siguiente manera:

x2 + bx + c = (x +m) (x + n)

Siempre y cuando se tenga que:

b = m + n

c = mn

Los pasos que debes de realizar en esta factorización son los siguientes:

1. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el primer término.

2. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término.

3. Multiplica cruzado los factores de los pasos anteriores y súmalos algebraicamente para que den

como resultado el segundo término.

4. Anótalos dentro de dos paréntesis los binomios resultantes.

Ejemplo 1: Factoriza x2 – 5x + 6

1. Buscas dos factores que multiplicados den como resultado el primer término:

X

x

Multiplicar x

x2

2. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término:

x – 2

x Multiplicar X – 3

x2 6

Un trinomio de segundo grado es el resultado de multiplicar dos binomios con un término común. Hay que resaltar que este término no es un cuadrado perfecto


3. Multiplica cruzado los factores de los pasos anteriores y súmalos algebraicamente para que den

como resultado el segundo término:

Multiplicar

x

x

– 2

– 3

sumar

+

– 2x

– 3x

x2 6 – 5x

4. Anota dentro de dos paréntesis los binomios resultantes:

( x – 2) (x – 3) ∴

x2 – 5x + 6 = ( x – 2) (x – 3)

Ejemplo 2: Factoriza el siguiente trinomio x2 – x – 6

x2 – x – 6 = (x – 3) (x + 2)

2.5.6 Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.


Los pasos que debes realizar en esta factorización son los mismos que para un trinomio de segundo

grado de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo 1: Factoriza 6x2 + 7x – 5

Multiplicar

2x

3x

– 1

+ 5

sumar

10x

+

– 3x

6x2 – 5 7x

6x2 + 7x – 5 = (2x – 1) (3x – 5)

Un trinomio de la forma ax2 + bx + c, tiene como característica que

el coeficiente de x2 es diferente de cero y de uno.

ax2 + bx + c con a ≠ 0 y 1


Ejemplo 2: Factoriza completamente la siguiente expresión: 6x2 + x – 15

6x2 + x – 15 = (3x + 5) (2x – 3)

Ejemplo:

Un ingeniero civil construirá un centro comercial en un predio de dimensiones desconocidas al poniente

de Tamazula, Jalisco, dependiendo del tamaño del predio, el ingeniero dividirá cada uno de los locales

como se muestra en la figura. Ten en cuenta que la cantidad anotada en cada división representa su

área.

Por su parte el diseñador de interiores desea saber cuál es el área total de cada local para comprar el

azulejo necesario. El ingeniero le dice solo sume las 8 áreas de las divisiones y obtendrá el área total

del local.

¿Es cierto lo que dice el ingeniero? Demuéstralo matemáticamente.

Largo

x 1 1 1

ancho

X2

x

x

x

Si sumanos las ocho áreas del rectángulo obtenemos la siguiente expresión:

Área = x + 1 + 1 + 1 + x2 + x + x + x

Área = x2 + 4x + 3

Ahora vamos a demostrar si el ingeniero tiene razón.

Si el largo del rectángulo es de x + 3 y el ancho x+1, entonces el área del rectángulo por fórmula es:

Área = (largo) (ancho)

Área = (x + 3) (x + 1)

Si verificamos que las expresiones x2 + 4x + 3 y (x + 3) (x + 1) son equivalentes, entonces quedará

demostrado que la suma de las divisiones del rectángulo si representa el área total.

Debido a que la primera expresión es un trinomio de segundo grado de la forma x2 + bx + c y éste

a su vez se escribe como:

x2 + bx + c = (x + m) (x + n)


Con b = m + n y c = mn

Entonces:

x

x

+3

+1

3x

+

1x

x2 6 4x

Con la operación anterior tenemos que efectivamente el ingeniero tiene razón, y queda demostrado

que la suma de las áreas de las ocho divisiones, es el área total del local.

x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1)


Factoriza los siguientes polinomios.

a) 3m2 – 6mn + 4m – 8n

b) 2x2 – 3xy – 4x + 6y

c) (𝑎

2+

𝑏

3) (

𝑎

2−

𝑏

3)

d) a2 – 13a + 40

e) 6x2 – 7x – 3

2.5. Aplicación del conocimiento

a) Un grupo de amigos participó en la lotería y se ganaron un premio de $60,000.

Se tiene que repartir este premio entre el número de amigos de manera exacta.

Pero alguien nota que, si hubiera dos amigos menos, a cada uno le tocaría $2.500 más.

Considerando lo anterior:


Conoce la forma de las ecuaciones de primer grado con una ó más

incógnitas para su uso en problemas reales.

Resuelve ecuaciones de primer grado.

Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de 1er grado.

¿Cómo le harías para determinar el número de amigos entre los que se repartirá el premio?

1. Piensa un número, elévalo al cuadrado y multiplícalo por 2.

2. Al número que pensaste multiplícalo por 6 y súmalo con el resultado del paso 1.

3. Divide el resultado del paso 2 entre el número que pensaste multiplicado por 2.

4. Al resultado del paso 3 réstale el número que pensaste.

Cuando haya terminado, tú, con toda seguridad le dirías: “El resultado es ¡tres!” ¿Cómo puedes estar

tan seguro de que ese es el resultado?

b) Calcula tres números sabiendo que el primero es 38 unidades menores que el segundo, el tercero

es igual a la suma de los dos primeros y entre los tres suman 160.

2.6 Ecuaciones de 1er y 2do grado.

2.6.1 Ecuaciones de primer grado.



Una ecuación de primer grado es aquella igualdad que presenta variables de una sola potencia,

como por ejemplo:

x + 4 = 6

x+2x=10-x

10x=20

Las ecuaciones están formadas de la siguiente manera:

1er miembro = 2do miembro

La solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se cumpla.

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable.

También existen ecuaciones de primer grado que muestran dos variables, como por ejemplo:


2x + y = 30

x – y = x + 4x

x + x – y + 2y = 14

Ejemplo 1. Resolver x+2=4

Procedemos a despejar la variable, introduciendo valores en los 2 miembros de la ecuación: x + 2 -2

= 4 -2; realizando las operaciones aritméticas:

x = 2

Ejemplo 2. Resolver 2x + y = 4

En éste caso podemos despejar cualquiera de las 2 variables, dependerá del contexto y de otras

situaciones la variable a despejar.

Primeramente, despejamos para “x”:

2x + y – y = 4 – y

Por lo tanto:

2x = 4 – y

2x

2=

4−y

2; por lo tanto: x = 2 -

y

2

Actividad de aprendizaje: Sección 2.6.1 Parte A.

Para las siguientes ecuaciones, encontrar el valor de la variable x:

1 - x + 2 = 8

2 - 3x + 7 = 10

3 - 2x – 4 = 24

4 - 4𝑥

2 + 12 = 20

5 - 20x – 14 – 11x = 8 – 6x + 2

Aplicación del conocimiento 2.6.1.

Ejemplo 1. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

Solución: Si llámanos al número desconocido x, tenemos que:

2 x = el doble del número

𝑥

2 = la mitad del número


Entonces: 2x - 𝑥

2 = 54

4𝑥−𝑥

2 = 54

3𝑥

2 = 54 3x = 54 (2)

3x = 108 x = 108

3 = 36 x = 36

Ejemplo 2. La suma de tres números enteros consecutivos es 312. Encuentra dichos números.

Si x = primer número

x + 1 = segundo número consecutivo

x + 2 = tercer número consecutivo

Entonces: x + (x +1) + (x + 2) = 312

3 x + 3 = 312 3 x = 312 – 3

3 x = 309 x = 309

3 = 103

x = 103 x + 1 = 104 x + 2 = 105

Actividades de aprendizaje: Sección 2.6.1 parte B.

Resuelve los siguientes problemas.

1. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de

hombres y mujeres juntos.

¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión es de 96 personas?

2. Una granja tiene vacas y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas.

¿Cuántas vacas y pavos hay?

3. La edad de Carla excede en tres años a la de Daniel y el doble de la edad de Carla más 12

años equivale al triple de la de Daniel. Determinar ambas edades.

4. Un tanque contiene 80 lts. de agua al 5% de sal. ¿Cuánta agua deberá agregarse para tener

agua al 2% de sal?

2.6.2 Ecuaciones de segundo grado. Competencias específicas.

Conocerá y aplicará las ecuaciones cuadráticas y sus métodos de

resolución en problemas específicos.



Una ecuación de segundo grado es aquella igualdad que presenta sus variables con exponentes

máximos de 2. Por ejemplo:

3x2 + 2x = 4

x2 + 2 = 2 – 4x2

Para resolver éste tipo de ecuaciones, se usa la llamada “fórmula cuadrática” que expresa:

El símbolo ± significa que la ecuación tiene 2 soluciones, las cuales son:

Ejemplo 1. Dada la ecuación cuadrática x2 - 2x - 48 = 0, los coeficientes son a = 1, b = -2 y c = - 48

Al sustituir estos coeficientes en la fórmula cuadrática, las raíces de la ecuación se calculan así:

𝑥 =−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−48)

2(1)

𝑥 =2 ± √4 + 192

2

𝑥 =2 ± 14

2

Al usar el signo más, se obtiene:

𝑥 =2+14

2 =

16

2 = 8

Al utilizar el signo menos, se tiene:

𝑥 =2−14

2 =

− 12

2 = - 6

Por consiguiente, 8 y - 6 son los dos valores reales de x que satisfacen la ecuación cuadrática.


Ejemplo 2. Resolver la ecuación x2 – 5 x + 6 = 0

Ejemplo 3. Resolver la ecuación 2x2 – 7x + 3 = 0

Ejemplo 4. Resolver la ecuación x2 + (7 – x)2 = 25

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

Ejemplo 5. Resolver la ecuación 4x2 – 6x + 2 = 0

Interpretaciones del discriminante.

Para una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0.

I Si b2 - 4ac > 0, hay dos raíces reales.

II Si b2 - 4ac = 0, hay una raíz real.

III Si b2 - 4ac < 0, no hay raíces reales.

Una alternativa de solución para las ecuaciones cuadráticas es la factorización, donde se puede


determinar las raíces de la ecuación, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

Para la ecuación x2 + 6x + 9 = 0

Se puede factorizar el lado izquierdo de la ecuación obteniendo como resultado:

(x + 3) (x + 3) = 0

Al establecer cada factor igual a 0, se descubre que hay una raíz para la ecuación y ésta ocurre

cuando x = - 3.

Actividad de aprendizaje: Sección 2.6.2 Parte A.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1 - - x2 + 7x – 10 = 0

2 - x2 - 2x + 1 = 0

3 - x2 - 7

6x +

1

3 = 0

4 - 1

5 x2 + 2x + 5 = 0

5 - 36 x2 – 60x + 25 = 0

Aplicación del conocimiento 2.6.2.

Ejemplo 1. Un campo rectangular mide 3149 m2 de superficie. Si el largo es 20 m más que el ancho.

¿Cuáles son las dimensiones del campo?

Solución:

X + 20 Área = 3149 = x (x+20)

3149 = x2 + 20x

X x2 + 20x – 3149 = 0

x = 47 y x = - 67

El valor de – 67 se desprecia porque no es razonable para una dimensión de longitud, por lo que el

valor de 47 resuelve el problema de conocer las dimensiones del campo.

3149 m2


Ejemplo 2. Si el radio de un circulo aumenta 3 cm, su área se cuadriplica. ¿Cuál es el radio del círculo

original?

𝐴 = 𝜋𝑟2

r 4A = 𝜋 (r + 3)2

r + 3 4 (𝜋𝑟2) = 𝜋 (r + 3)2

4 r2 = r2 + 6 r + 9

3 r2 – 6 r – 9 = 0

r = 3 y r = -1 (se desprecia).

Ejemplo 3. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla

la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

1er lado (base) = 3x

2º lado (altura) = 4x

3er lado = 5x

1er lado 6 m 2do lado 8 m 3er lado 10 m


Actividades de aprendizaje: Sección 2.6.2 Parte B.

Resuelve los siguientes problemas.

1. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

2. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas

menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

3. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840

cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las

dimensiones de la caja.

4. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13

años. Calcula la edad de Pedro.

5. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las

dimensiones de la finca.


SOLUCIONARIO.

RESPUESTAS DE ÁLGEBRA ELEMENTAL.

2.1 Término semejante.

a) Término no semejante b) Término semejante c) Término no semejante

d) Término semejante e) Término no semejante

2.2.1 Leyes de los exponentes.

a) 12𝑥7𝑦5 b) −

𝑎2𝑏10

2 c)

− 128

x5 y13

d) 27𝑥8𝑦18𝑧11 e) 50 𝑥9

𝑦8

2.2.2 Leyes de los radicales.

a) 32𝑎𝑏 √𝑎𝑏56 b) 𝑥𝑦 √𝑥𝑦512

c) 18𝑥2𝑦3

d) 2𝑥𝑦3𝑧10 √2𝑧³4

e) 𝑘3𝑙6 √

𝑙3

𝑘

12

2.3.1 Suma algebraica de polinomios.

a) 3𝑥 b) 5𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 c) −11𝑥3 − 4𝑥2

d) 2 e) 14𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 − 15

2.3.2 Resta algebraica de polinomios.

a) 3𝑧2 + 9𝑧 − 14 b) 17𝑦2 − 9𝑦 − 3 c) −13𝑏4 − 34𝑏3 + 30𝑏2

d) 5 (𝑥−1)

𝑥+1

e) −18𝑥4 − 25𝑥2 − 28𝑥

2.3.3.1 Multiplicación monomio por monomio.

a) 1

4 xm+2 yn+5 𝑏 )

1

4 𝑎5𝑏𝑚

c) 15 a2x + 9

d) – 24 x3 y5 z7 e) 72 a3 b c2 d3 e4 g


2.3.3.2

a) −4

27 𝑎² 𝑥7𝑦4 +

215

𝑎² 𝑥5 𝑦6 − 5

27 𝑎² 𝑥³ 𝑦⁸

𝑏) 12 𝑎 𝑥4 − 24 𝑎 𝑥³ + 28 𝑎 𝑥²

c) −2 𝑎5𝑥² + 8 𝑎4𝑥³ − 10 𝑎³ 𝑥4 + 2 𝑎² 𝑥⁵

𝑑) (𝑥+3)2

3𝑥

e) 30x5 + 10x3 – 45x2

2.3.3.3

a) 6x6 – 8x5 + 28x4 – 43x3 + 66x2 – 21x – 36

b) 15x8 + 25x7 – 3x6 –9x5 –10x4 + 22x3 – 12x +8

c) am+4 – 4am+3 + 8am+1

d) – 3a2x – 10abx – 3b2x

e) 6m4 – 18m3n + 21mn4 – 8m3n2 + 24m2n3 – 28n6

2.3.4 División.

𝑎) 𝑥 + 4 + 1

𝑥 − 2

b) 3𝑥 + 4 + 1

2𝑥−5

𝑐)3 𝑥

𝑦

𝑑) − 5𝑚³ + 3𝑚 − 2 − 10

4𝑚² − 5

𝑒) 3𝑥² + 2𝑥 − 1


a) a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 𝑏) 𝑥² +

2𝑥

3+

1

9 𝑐) 𝑥⁶ − 2𝑥⁴ +

4

3 𝑥²𝑦² −

8

27 𝑦³

d) x2 – 4xy + 4y2 e) a3 + 3a2 + 3a +1 𝑓)

1

9 𝑥² −

4

25

g) x3 – 6x2 + 12x - 8

2.5 Factorización.

a) (3m + 4) (m – 2n) b) (2x – 3y) (x – 2) 𝑐) (

𝑎

2+

𝑏

3) (

𝑎

2−

𝑏

3)

d) (a – 8) (a – 5) e) (2x – 3) (3x +1)


Aplicación del conocimiento:

a) 8 b) 3 c) 21, 59 y 80

2.6.1 Ecuaciones de primer grado.

Actividad de aprendizaje (2.6.1 Parte A).

1. x = 6

2. x = 1

3. x = 14

4. x = 4

5. x = 8

5

Actividad de aprendizaje (2.6.1 Parte B).

1. 8 hombres, mujeres 16, niños 72.

2. Vacas 23, pavos 12.

3. Carla 21, Daniel 18.

4. Se deberán agregar 120 litros de agua pura.

2.6.2 Ecuaciones de segundo grado.

Actividad de aprendizaje (2.6.2 Parte A).

1. 2 y 5.

2. 1.

3. 2/3 y ½.

4. -5.

5. 5/6.

Actividad de aprendizaje (2.6.2 Parte B).

1. 16 y 18.

2. 3 y 6.

3. 26 y 22.

4. 21.


Sección III

Trigonometría.

3.1 Ángulos y triángulos.

3.2 Teorema de Pitágoras.

3.3 Razones trigonométricas.


3. TRIGONOMETRÍA.


La trigonometría es una rama de las matemáticas, cuyo significado etimológico es "la medición de

los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο (trigono) que significa triángulo y

μετρον (metron) cuyo significado es medida.

La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría y en muchos casos una complementa a la

otra para abarcar así un campo más amplio de aplicación. Entre los usos más comunes se encuentran

la medición de distancias entre estrellas y entre puntos geográficos.

En la realización de las operaciones es necesario tener en cuenta varios conceptos entre los que

destacan hipotenusa, esta es el lado más largo de un triángulo rectángulo y se ubica opuesta al ángulo

recto, cateto opuesto que se encuentra del lado contrario a un ángulo agudo y el cateto adyacente que

se encuentra al lado del ángulo agudo en cuestión.



Se conoce como ángulo a la medida comprendida entre dos líneas que comparten un punto en común.

Se puede decir también que el ángulo mide la “cantidad de giro” de un segmento de recta respecto a

otra.

Conoce el concepto de ángulo para su aplicación dentro de la

trigonometría.

Construye ángulos para conocer sus medidas.

Clasifica los ángulos de acuerdo a su medida.


Comúnmente los ángulos se miden en grados (0) o radianes (rad).

Hay 3600 en una vuelta completa. Generalmente se usa un transportador para poder medir los ángulos

en grados (0).

Transportador para medición de ángulos en grados.

Los radianes son una medida que nos dice la cantidad de giro que hay entre dos líneas formadas por

una parte de la circunferencia que equivale al radio de ésa circunferencia.

Determinación de radian.


Hay 2π radianes en un círculo completo, esto significa que: 2 π radianes = 3600.

1 rad = 57.2957795130.

10 = 0.01745329251996837214 rad.

Los ángulos los podemos clasificar de acuerdo a sus medidas como a continuación se muestra:

Cuando dos ángulos suman 1800 (ángulo llano) se dice que son ángulos suplementarios.

Cuando dos ángulos suman 900 (ángulo recto) se dice que son ángulos complementarios.


Ejemplos:

Un ángulo mide 930, ¿cuántos mide el mismo ángulo en radianes?

Para efectuar ésta transformación, debemos recordar las equivalencias entre ambas medidas que se

vieron anteriormente, éstas son:

1 rad = 57.2957795130.

10 = 0.01745329251996837214 rad.

Con ello podemos efectuar la operación con una sencilla regla de 3:

1 rad = 57.2957795130

x rad = 930

Esto es:

(93)(1)

57.2957= 1.6231 rad.

Convertir 4 rad a grados.

Nuevamente usamos la misma regla:

1 rad = 57.2957795130

4 rad = x0

Esto es:

(4)(57.2957)

1= 229.18280.


1. Realiza las siguientes conversiones:

a) 2220 a rad.

b) 2.7 rad a 0.

c) 1800 a rad.

d) 5 rad a 0.

e) 450 a rad.


2. Clasifica los siguientes ángulos según su medida:

Aplicación del conocimiento 3.1.

1. El ángulo de inclinación de la calle Morelos es de 0.5 rad. ¿Cuál es su inclinación en grados y

que tipo de ángulo es?

2. Una cometa se atora en las ramas de la copa de un árbol que tiene 3 metros de alto, la longitud

del hilo de la cometa es de 5 metros, el ángulo que forma el hilo de la cometa con la horizontal

(el suelo) es de 36.860. ¿Cuál es la medida en radianes y que tipo de ángulo es?

3. Se corta una tabla formando un bisel de 0.436 rad. ¿Cuál es la medida de este bisel en grados

y que tipo de ángulo es?





El teorema de Pitágoras establece que dado un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de los

dos lados menores es igual al cuadrado de la longitud del lado más largo.

Un triángulo rectángulo es aquel triángulo que contiene un ángulo de 900. Los dos lados menores se

conocen como catetos y el lado mayor como hipotenusa.

A continuación se muestra el teorema de Pitágoras junto con algunas ecuaciones que se aplican:

Sean:

c = Hipotenusa.

a = Cateto.

b = Cateto.

El teorema de Pitágoras expresa que:

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2; 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2; 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2

Conoce el teorema de Pitágoras para su aplicación en la trigonometría.

Resuelve triángulos rectángulos que conllevan la aplicación del teorema

de Pitágoras.


Ejemplos:

Se conocen las medidas de los catetos a y b de un triángulo rectángulo, éstas son 22 y 46

respectivamente. Calcular el valor de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras indica que a2 + b2 = c2, siendo “c” la hipotenusa.

Si tenemos los datos:

a = 22, b = 46, c = ?; debemos proceder a despejar “c” que es el valor de la hipotenusa que buscamos.

Por lo tanto:

𝑐 = √(a2 + b2)

Esto es:

𝑐 = √222 + 462

Entonces,

𝑐 = √484 + 2116 = √2600 = 50.99

En un triángulo se tienen las siguientes medidas: Hipotenusa = 80 y un cateto = 48. Calcular la

medida del otro cateto.

Nuevamente al recurrir a la fórmula c2 = a2 + b2, y teniendo los datos: c = 80, a = 48, b = ?; procedemos

nuevamente a despejar la variable deseada, en éste caso,

c2 – a2 = b2

Entonces,

𝑏 = √(c2 − a2).

Ahora sustituyendo los valores y realizando las operaciones pertinentes:

𝑏 = √(𝑐2 − 𝑎2)

𝑏 = √(802 − 482) = √6400 − 2304) = √4096 = 64


1. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m

de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

2. Se construye una rampa de acceso que tiene una longitud de 12 m y tiene un ángulo de elevación

de 140. Determine la altura que tiene esta rampa.


3. Calcule la altura de una torre si una persona situada a 7.5 m de la base de la torre emplea un poste

de observación que tiene una altura de 1.2 m y el ángulo de elevación que se forma entre la línea

horizontal (altura del poste de observación) y la línea visual (cúspide de la torre) es de 650.

Aplicación del conocimiento 3.2

1. El gobierno de Tamazula de Gordiano requiere saber los costos de un nuevo tramo de carretera

que creará una ruta alterna para llegar al ITS Tamazula. Si el costo de construcción es de $5,000

pesos por cada 5 metros de carretera, ¿A cuánto ascenderán los gastos totales de la construcción

del tramo de carretera? Los planos se muestran a continuación:

2. Desde la cima de un peñasco con una altura de 20 m, se observa una lancha con un ángulo de

depresión de 90. Si se sabe que un dron se desplaza a 32 m/s, en cuánto tiempo llegará de la cima

del peñasco a la lancha.





Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.

Como se ha visto en el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas dan la relación de los catetos

y la hipotenusa. Su usarán para determinar valores de los lados del triángulo rectángulo o los ángulos

formados por éstos.

Las razones trigonométricas más usuales se muestran a continuación.

SENO.

Es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

COSENO.

Es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

Conoce las razones trigonométricas más usuales para su uso en

triángulos rectángulos y sus inversas correspondientes.

Resuelve problemas que relacionan ángulos y distancias.


TANGENTE.

Es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Otras relaciones trigonométricas comunes son cosecante, secante y cotangente. A continuación se

muestra la relación que guardan.

COSECANTE.

Es la razón inversa de seno.

SECANTE.

Razón inversa de coseno.

COTANGENTE.

Razón inversa de tangente.

Ejemplos:

Se tiene un triángulo rectángulo de las siguientes características:


Si b = 30, c = 46, calcular:

a) La hipotenusa.

b) El ángulo α.

c) El ángulo β.

a) Tenemos las medidas de dos catetos, por lo que el teorema de Pitágoras se usa en éste caso:

a = √(b2 + c2)

a = √(302 + 462) = √900 + 2126) = √3016 = 54.918.

b) En éste caso, tenemos las medidas de todos los lados, debemos seleccionar una razón

trigonométrica que nos relacione el ángulo α:

Tan α = c

b ;

Sustituyendo los valores de c y b,

Tan α = 46

30;

Por lo tanto,

Tan α = 1.53;

Ahora, despejamos el ángulo α:

α = 1.53

Tan;

Entonces:

α = Tan-1 (1.53)

Usamos la calculadora para obtener el valor:

α = 56.830.

Nota: Para calcular el ángulo α podemos utilizar también la función Seno y Coseno, ya que tenemos


las medidas de todos los lados del triángulo. Lo puedes comprobar tú mismo.

c) Para el ángulo β también podemos usar varias funciones, en éste caso utilizaremos la función

Seno:

Sen β = b

a ;

Sustituyendo los valores de b y a,

Sen β = 30

54.918 ;

Por lo tanto,

Sen β = 0.5462 ;

Despejando β:

β = 0.5462

Sen ; β = Sen-1 (0.5462), por lo tanto: β = 33.1060.


1. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que el lado más largo mide 130 m, y forman

junto con otro de sus lados un ángulo de 70°.


1. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión

de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?


SOLUCIONARIO. RESPUESTAS DE TRIGONOMETRÍA.



1.

a) 3.87 rad.

b) 154.6980. c) 3.141592 rad. e) 286.4790. f) 0.785 rad.

2. a) Agudo. b) Agudo. c) Recto. d) Agudo. e) Agudo. f) Obtuso o convexo.


1. 28.640. Ángulo agudo.

2. 0.643 rad. Ángulo agudo.

3. 250. Ángulo agudo.



1. 8 m. 2. 2.9 m. 3. 17.28 m.

Aplicación del conocimiento 3.2. 1. 250,000 pesos. 2. 3.94 segundos.



1. 2715.6168 m2.

Aplicación del conocimiento 3.3. 1. 3763.7 m.


Sección IV

Geometría Analítica.

4.1 El plano cartesiano. 4.2 Gráficas de las ecuaciones con dos variables. 4.3 Pendiente y ecuación de la recta. 4.4 Secciones cónicas: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola.


4. Geometría analítica.


1. Conoce el plano cartesiano y ubica coordenadas en el mismo.

2. Representa gráficamente la ecuación de una recta e interpreta su pendiente.

3. Dadas las condiciones analíticas, obtiene la ecuación del lugar geométrico.

4. Analiza las ecuaciones de las secciones cónicas.

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras

en el plano o en el espacio, y dentro de la geometría existe la clasificación de geometría descriptiva,

plana, del espacio, proyectiva y analítica.

Para nuestros fines nos concentraremos únicamente en la geometría analítica, la cual se encarga del

análisis de las figuras geométricas a partir de un sistema de coordenadas y empleando los métodos

del álgebra y del análisis matemático. Su principal objetivo es obtener la ecuación de los sistemas de

coordenadas a partir de su lugar geográfico y viceversa, es decir, dada la ecuación del sistema de

coordenadas, establecer el lugar geométrico de los puntos que satisfagan la ecuación.

Un punto en el plano corresponde a un sistema de coordenadas, es decir, a dos números ordenados

conocidos como abscisa y ordenada del punto, de igual manera, a todo par ordenado de números le

corresponde un punto en el plano, por lo que podemos afirmar que existe una regla de correspondencia

entre el concepto geométrico de los puntos en el plano y el concepto algebraico de los pares de

números ordenados, aplicándose de esta manera las bases de la geometría analítica. Dicha relación

nos permite determinar figuras geométricas planas, mediante ecuaciones con dos incógnitas.

4.1 El plano cartesiano.


El plano cartesiano es el escenario donde se relacionan el álgebra y la geometría, en éste podemos

trazar gráficas de ecuaciones algebraicas y mediante las gráficas podemos encontrar la relación entre

las variables de la ecuación.

Si trazamos dos rectas numéricas perpendiculares entre sí haciendo coincidir el punto de corte con el

cero común, obtenemos un sistema de ejes coordenados rectangular, conocido como Plano

cartesiano.


La línea horizontal, se conoce como eje 𝒙, o eje de las abscisas y la línea vertical, se conoce como

el eje de las 𝒚 o eje de las ordenadas. Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes

I, II, III y IV, en el orden como los indica la figura anterior.

El origen, representado por el 0 en el plano cartesiano, divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo

y el otro negativo. Cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las 𝑥 de 0 hacia la derecha es

positiva y de 0 hacia la izquierda es negativa. Similarmente, cualquier distancia o posición medida

sobre el eje de las 𝑦 de 0 hacia arriba es positiva y de 0 hacia abajo es negativa.

La distancia de un punto al eje de las ordenadas se llama abscisa del punto y su distancia al eje de

las abscisas se llama ordenada del punto. La abscisa y la ordenada del punto son las coordenadas

cartesianas del punto. Las abscisas medidas del eje 𝑦 hacia la derecha son positivas y hacia la

izquierda, negativas. Las ordenadas medidas del eje 𝑥 hacia arriba son positivas y hacia abajo son

negativas.

Ubicación de un punto por sus coordenadas.

Dadas las coordenadas de un punto lo podemos ubicar en el plano cartesiano. Por ejemplo, ubicar los

siguientes puntos: 𝑃(1,6), 𝑄(−2, −2), 𝑅(−3,4), 𝑆(5, −3). Sabemos que el primer número de las

coordenadas corresponde al eje 𝑥 y el segundo al eje 𝑦.

I IIIIII

III IV


Distancia entre dos puntos y punto medio.

Dados dos puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) en el plano cartesiano se determina un segmento al cual le

podemos calcular su distancia denotada por 𝑑(𝑃, 𝑄) y el punto medio mediante las siguientes fórmulas:

𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑷 𝒚 𝑸: 𝒅(𝑷, 𝑸) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑷 𝒚 𝑸: (𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐,

𝒚𝟏+𝒚𝟐

𝟐)

Ejemplo 1: Encuentra la distancia y el punto medio del segmento determinado por los puntos 𝑃(1,6),

𝑄(−2, −2).

Solución:

𝑃(1,6)

𝑄(−2, −2)

𝑅(−3,4)

𝑆(5, −3)

𝑃(𝑃(1,6)

𝑄(−2, −2)

La distancia es:

𝑑(𝑃, 𝑄) = √(−2 − 1)2 + (−2 − 6)2

= √(−3)2 + (−8)2

= √9 + 64

= √73

≈ 8.54

El punto medio es:

(1 + (−2)

2,6 + (−2)

2) = (

−1

2,4

2) = (−

1

2, 2)

Punto medio (−1/2,2)


Ejemplo 2: Demuestra que los puntos 𝐴(−4,0), 𝐵(1,5), 𝐶(6,0)𝑦 𝐷(1, −5) son los vértices de un cuadrado y encuentra el punto donde se cortan sus diagonales. Solución:


1. Realiza un plano cartesiano en tu cuaderno y ubica las siguientes coordenadas, e indica en qué

cuadrante se encuentran:

A(2,1), 𝐵(−1,7), 𝐶(4, −6), 𝐷(−2, −5), 𝐸(0, −3), 𝐹(5,0), 𝐺(−3,0)

2. Grafica los puntos siguientes en el plano cartesiano y encuentra los puntos medios y la distancia

entre cada par de puntos:

a) 𝐴(−2, −7), 𝐵(6, −1)

b) 𝐶(0,2), 𝐷(7,3)

c) 𝐸 (3,1

2) , 𝐹 (

4

3, −1)

d) 𝐺(−1,0), 𝐻(−5,5)

e) 𝐼(4,2), 𝐽(−5,0)

3. Calcula el perímetro de los triángulos, cuyos vértices son los siguientes puntos:

a) 𝐴(3,1), 𝐵(2,7), 𝐶(−1,6)

b) 𝐴(1,2), 𝐵(5,3), 𝐶(−3, −6)

4. Demuestra que el triángulo con los vértices 𝐴(0,2), 𝐵(−3, −1)𝑦 𝐶(−4,3) es isósceles.

5. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 𝐴(−2,3) 𝑦 𝐵(5, −8), ¿cuál es su

perímetro y área?

𝑑(𝐴, 𝐵) = √(1 − (−4))2 + (5 − 0)2 = √50

𝑑(𝐵, 𝐶) = √(6 − 1)2 + (0 − 5)2 = √50

𝑑(𝐶, 𝐷) = √(1 − 6)2 + (−5 − 0)2 = √50

𝑑(𝐷, 𝐴) = √(1 − (−4))2 + (−5 − 0)2 = √50

Vemos que todos los lados tienen la misma longitud por lo tanto se trata de un cuadrado. El punto medio de cualquiera de las diagonales

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ o 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , corresponde al punto donde éstas se cortan, y dicho punto es el siguiente:

(1 + 1

2,5 + (−5)

2) = (

2

2,0

2) = (1,0)

𝐴 𝐶

𝐷

𝐵



Dos amigos viven en una ciudad, uno en la esquina de la 3ª calle y la 7ª avenida, y el otro en la esquina

de la 27ª calle y la 17ª avenida. Con frecuencia se encuentran en un café que está a mitad del camino

de sus casas.

a) ¿En qué intersección está situado el café?

b) ¿Cuánto tiene que caminar cada uno de ellos para llegar al café? (Supón que caminan en

línea recta)

4.2 Gráficas de las ecuaciones con dos variables.


Una ecuación de dos variables representa una relación entre dos cantidades, donde una cantidad

dependerá de la otra, por ejemplo, en la ecuación 𝑦 = 5𝑥 − 2 el valor de 𝑦 (variable dependiente)

dependerá del valor que se le asigne a 𝑥 (variable independiente), y ese par de valores se puede

expresar como una coordenada (𝑥, 𝑦).

La gráfica de una ecuación con dos variables 𝑥 y 𝑦 es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) del plano

cartesiano que satisfacen la ecuación, de manera que para graficar una ecuación trazamos tantos

puntos como podamos y posteriormente los unimos mediante una curva suave.

Ejemplo 1. Traza la gráfica de la ecuación −3𝑥 + 𝑦 = 4.

Solución.

Despejamos la ecuación para encontrar el valor de 𝑦.

𝑦 = 3𝑥 + 4

Empleamos una tabla de valores en la cual le asignamos algunos valores a 𝑥, y calculamos los de 𝑦

correspondientes sustituyendo en la ecuación dada.

𝑥 𝑦 = 3𝑥 + 4 (𝑥, 𝑦)

−2 −2 (−2, −2)

−1 1 (−1,1) 0 4 (0,4) 1 7 (1,7) 2 10 (2,10)


Como los puntos que satisfacen la ecuación son infinitos, únicamente ubicamos unos cuantos y los

unimos mediante una curva suave, como se muestra en la gráfica.

Ejemplo 2. Traza la gráfica de la ecuación 𝑦 = 2𝑥2 − 1

Solución:


Elabora una tabla de valores y traza las gráficas de las siguientes ecuaciones:

a) 2𝑥 − 𝑦 = 6

b) 𝑦 = 1 − 𝑥2

c) 𝑥 + 𝑦 = 3

d) 𝑦 = √𝑥 + 4

e) 4𝑦 = 𝑥2


Por el alquiler de un coche cobran 100 euros diarios más 0.30 euros por kilómetro recorrido. La

siguiente ecuación representa la relación que hay en el costo del alquiler ( 𝑦) y los kilómetros recorridos

(𝑥).

𝑦 + 0.30𝑥 = 100

a) Grafica la ecuación.

b) Si en un día se han recorrido un total de 300 km, ¿Qué importe se debe abonar?

𝑥 𝑦 = 2𝑥2 − 1 (𝑥, 𝑦)

−2 7 (−2,7) −1 1 (−1,1)

0 −1 (0, −1) 1 1 (1,1) 2 7 (2,8)


4.3 Pendiente y ecuación de la recta.


Una recta es una sucesión infinita de puntos ubicados en una misma dirección, esta se puede

determinar únicamente con cualquiera dos de ellos.

Para obtener la ecuación de la recta es necesario conocer su inclinación y con ello obtener su

pendiente.

La inclinación de una recta es el ángulo que la recta forma con respecto al eje 𝑥 positivo, el cual se

denota con 𝜃, y se mide a partir del eje 𝑥 girando en sentido opuesto a las manecillas del reloj.

La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación que tiene una recta

y se representa por 𝑚.

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 (𝟏)

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(𝑚) 𝑠𝑖 𝑚 > 0 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(𝑚) + 180 𝑠𝑖 𝑚 < 0

En base a la ecuación (𝟏) podemos hacer las siguientes afirmaciones; si el ángulo de inclinación de

la recta es menor a 90° se dice que la recta tiene pendiente positiva, si el ángulo de inclinación es

mayor a 90° se dice que tiene pendiente negativa, si el ángulo de inclinación es 0° se dice que su

pendiente es 0, y si el ángulo de inclinación es de 90° se dice que no tiene pendiente.

Lo anterior se muestra en la siguiente figura.

Pendiente Tipo de recta

Positiva recta ascendente

Negativa recta descendente

Cero recta horizontal

no definida recta vertical

𝑚 > 0 𝑚 = 0 𝑚 < 0 𝑚 No existe


La pendiente 𝒎 de una recta no vertical que pasa por dos puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑄(𝑥2, 𝑦2) se define como:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 (𝟐)

La ecuación de la recta que pasa por un punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y tiene una pendiente dada 𝒎 (forma punto pendiente) es

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) (𝟑) Ejemplo 1: Dibuja la recta que pasa por los puntos 𝑃(−3,4) y 𝑄(6, −2), halla su pendiente y su ecuación. Solución:

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Ecuaciones de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 donde 𝒎 representa la pendiente y 𝒃 el intercepto en 𝑦 (punto

donde la recta corta al eje 𝑦, y cuya coordenada es (0, 𝑏)) se conocen como ecuaciones de la forma

pendiente-intercepto.

Por ejemplo, la ecuación 𝑦 = −2

3𝑥 + 2 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la

pendiente (𝑚) es −2

3 y el intercepto en 𝑦 es 2 correspondiente a la coordenada (0, 2).

Nota: Una ecuación de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 representa una recta que pasa por el origen porque el

intercepto viene siendo 0 correspondiente a la coordenada (0,0).

Ejemplo 2: ¿Cuál es la ecuación de la recta cuya pendiente es −3, y el intercepto en el eje −1, es

decir, en la coordenada (0, −1)?

Solución:

Pendiente de la recta:

𝑚 =−2 − 4

6 − (−3)=

−6

9= −

𝟐

𝟑

Ecuación de la recta:

𝑦 − 4 = −2

3(𝑥 − (−3))

𝒚 = −𝟐

𝟑𝒙 + 𝟐


La ecuación es 𝑦 = −3𝑥 − 1, y su gráfica correspondiente la siguiente:

Ejemplo 3: Encuentra la ecuación de la siguiente recta:

Solución: Vemos que el intercepto corresponde a la coordenada (0,4), para encontrar la pendiente buscamos

dos puntos por los cuales pase la recta y usamos la ecuación (𝟐), así que tomamos los puntos (−4, −3) y (0,4), y obtenemos

𝑚 =4 − (−3)

0 − (−4)=

7

4

Por lo tanto, la ecuación de la recta es:

𝑦 =7

4𝑥 + 4


1. Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos, e indica si es una recta ascendente,

descendente, horizontal o vertical.

a) 𝑃(−3 , −3), 𝑄(2, −3)

b) 𝑃(0, 4), 𝑄(2, −4)

Vemos que su pendiente es negativa

y su intercepto −1, así que su grafica

es una recta descendente que corta

al eje y en −1.


c) 𝑃(−2, −1), 𝑄(1, 2)

d) 𝑃(2, 4), 𝑄(4, −1)

e) 𝑃(−1, −4), 𝑄(6,0)

2. Calcula las pendientes y las ecuaciones de las rectas 𝑙1, 𝑙2, 𝑙3 𝑦 𝑙4 en la figura siguiente:

3. Calcula la ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas.

a) Pasa por (2,4) y pendiente 1.

b) Pasa por (2,1) 𝑦 (−2,7).

c) Pendiente 3, y pasa por el punto (0,8).

d) Pasa por el punto (4,7) y es paralela al eje 𝑥.

e) Pasa por el punto (4,7) y es paralela al eje 𝑦.

4. Determina la pendiente y el punto de intercepto de la recta y traza la gráfica.

a) 𝑥 + 𝑦 = −1

b) 3𝑥 − 2𝑦 = 12

c) −𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0

d) 𝑥 = −3

e) 𝑦 = 2

Aplicación del conocimiento 4.3. (Presión y profundidad)

En la superficie del mar, la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua,

15 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta 4.34 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2por cada 10 pies que

se descienden.

a) Determina una ecuación para la relación entre presión y profundidad debajo de la superficie

del mar.


b) Traza una gráfica de esta ecuación lineal.

c) ¿Qué representa la pendiente y la ordenada en el origen (intercepto con eje y) de la gráfica?

4.4 Secciones cónicas: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola.


Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono, es decir, son las curvas obtenidas al

realizar un corte recto a un cono, como se muestra en la siguiente imagen.

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

En nuestro entorno constantemente vemos estructuras que poseen la forma de alguna sección cónica,

por ello, la importancia de estudiar cada una de ellas. Por ejemplo, la trayectoria de un planeta que se

mueve alrededor del sol es una elipse, la trayectoria de un proyectil (cohete, pelota de baloncesto o el

agua que brota de una fuente) es una parábola, la forma de una torre de enfriamiento es una hipérbola,

y del círculo podríamos citar una infinidad de cosas como pelotas, llantas, etc.


Circunferencia. Es el lugar geométrico que describe un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que se mueve en el plano de tal manera que su

distancia 𝑟 a un punto fijo llamado centro 𝐶(ℎ, 𝑘), siempre es constante.

Ecuación de la circunferencia. Ecuación en su forma ordinaria. Ecuación de la circunferencia con centro en el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟.

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 (𝟒) Ecuación en su forma general. Se obtiene al desarrollar los binomios de la ecuación anterior e igualando a cero.

𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 𝐜𝐨𝐧 𝑨 = 𝑪 (𝟓) Ecuación en su forma canónica. Ecuación de la circunferencia centrada en el origen del plano

cartesiano y con radio 𝑟.

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 (𝟔) Ejemplo 1: Obtener la ecuación ordinaria y general de la circunferencia centrada en (2,1) con radio 5 unidades. Solución: Sustituyendo 𝑟 = 5 y 𝐶(ℎ, 𝑘) = (2,1) en la ecuación (𝟒), obtenemos la forma ordinaria como sigue:

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 52

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟐𝟓 Para la forma general desarrollamos los binomios e igualamos a cero.

𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 25

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 Ejemplo 2. Encuentra la ecuación general de la circunferencia centrada en (7, −4) y que pasa por el punto (−5,1). Solución: Para poder sustituir en la ecuación (𝟒) necesitamos conocer el radio, el cual no se da explícitamente pero se puede obtener calculando la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia, para nuestro caso, es calcular la distancia entre los puntos (7, −4) y (−5,1).

La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝐶 está dada por

𝑑 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

Y como esa distancia es igual al radio de la circunferencia, entonces

𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

Es decir

𝑟2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2


𝑟 = √(7 − (−5))2 + (−4 − 1)2 = √144 + 25 = 13

Entonces tenemos que el centro es 𝐶(7, −4) y el radio es 𝑟 = 13, sustituyendo en la ecuación (𝟒), obtenemos:

(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − (−4))2 = 132

(𝑥 − 7)2 + (𝑦 + 4)2 = 169

𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 + 8𝑦 + 16 − 169 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟎

Elipse. Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

Ecuaciones y gráficas de la elipse con centro en el origen

ECUACIÓN

𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 𝐜𝐨𝐧 𝒂 > 𝑏 > 0

𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 𝟏 𝐜𝐨𝐧 𝒂 > 𝑏 > 0

VÉRTICES

(±𝑎, 0)

(0, ±𝑎)

EJE MAYOR

Horizontal, longitud 2𝑎 Vertical, longitud 2𝑎

EJE MENOR

Vertical, longitud 2𝑏 Horizontal, longitud 2𝑏

FOCOS

(±𝑐, 0), 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 (0, ±𝑐), 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

GRÁFICA

𝐹1(−𝑐, 0) 𝐹2(𝑐, 0)

0 𝑎 −𝑎

𝑏

−𝑏

𝑥

𝑦

𝐹1(0, −𝑐)

𝐹2(0, 𝑐)

−𝑎

𝑎

−𝑏 𝑏

𝑦

𝑥


Ejemplo 3. Una elipse tiene la ecuación: 𝑥2

9+

𝑦2

4= 1

Encuentra los focos, vértices y longitudes de los ejes mayor y menor, y bosqueja la gráfica.

Solución:

Puesto que el denominador de 𝑥2 es más grande, la elipse tiene eje mayor horizontal. Esto da 𝑎2 =

9 y 𝑏2 = 4, por lo tanto 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 9 − 4 = 5. Así que 𝑎 = 3, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = √5.

Focos: (±5,0)

Vértices: (±3,0)

Longitud del eje mayor (en este caso, en eje 𝑥): 6

Longitud del eje menor (en este caso en eje 𝑦): 4

Parábola.

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan

de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.

Directriz

Foco


Ecuación y gráfica de la parábola con vértice en el origen.

Parábola con eje vertical Parábola con eje horizontal La gráfica de la ecuación

𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 Es una parábola con las siguientes propiedades Vértice 𝑉(0,0)

Foco 𝐹(𝑜, 𝑝)

Directriz 𝑦 = −𝑝 La parábola abre hacia arriba si 𝑝 > 0 o hacia abajo si

𝑝 < 0.

𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑝 > 0

𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑝 < 0

La gráfica de la ecuación

𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Es una parábola con las siguientes propiedades Vértice 𝑉(0,0)

Foco 𝐹(𝑝, 0)

Directriz 𝑥 = −𝑝 La parábola abre hacia la derecha si 𝑝 > 0 o a la izquierda si

𝑝 < 0.

𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑝 > 0

𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑝 < 0

Ejemplo 4. Una parábola tiene la ecuación 6𝑥 + 𝑦2 = 0

Encuentra el foco y la directriz de la parábola y bosqueja la gráfica.

𝑥

𝑦

𝑦 = −𝑝

𝐹(0, 𝑝)

𝑥

𝑦

𝑦 = −𝑝

𝑭(𝟎, 𝒑)

𝑥

𝑦

𝑥 = −𝑝

𝐹(𝑝, 0)

𝑥

𝑦

𝑥 = −𝑝

𝐹(𝑝, 0)


Solución:

Si escribimos la ecuación en la forma 𝑦2 = −6𝑥 comparamos con las ecuaciones de la tabla anterior y

vemos que es una parábola que abre hacia la izquierda porque 4𝑝 = −6 (es un número negativo), de

lo cual también obtenemos que 𝑝 = −3

2. En consecuencia, el foco está en (𝑝, 0) = (−

3

2, 0) y la ecuación

de la directriz es 𝑥 =3

2. A continuación tenemos su gráfica.

Hipérbola.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,

llamados focos, es una constante.


Hipérbola con centro en el origen.

ECUACIÓN

𝒙𝟐

𝒂𝟐−

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

𝒂 > 0, 𝑏 > 0

𝒚𝟐

𝒂𝟐−

𝒙𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

𝒂 > 0, 𝑏 > 0 VÉRTICES (±𝑎, 0) (0, ±𝑎)

EJE TRANSVERSAL

Horizontal, longitud 2𝑎

Vertical, longitud 2𝑎

ASÍNTOTAS 𝑦 = ±

𝑏

𝑎𝑥 𝑦 = ±

𝑎

𝑏𝑥

FOCOS (±𝑐, 0), 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 (0, ±𝑐), 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

GRÁFICA

Las intersecciones con el eje 𝑥 o 𝑦 en los puntos (±𝑎, 0) o (0, ±𝑎) respectivamente son los vértices

de la hipérbola. La hipérbola consiste en dos partes llamadas ramas. El segmento que une los dos

vértices en las ramas separadas es el eje transversal de la hipérbola, y el origen se llama centro. Las

asíntotas son las líneas punteadas a las que se aproxima la hipérbola para valores grandes de 𝑥 y 𝑦.

Ejemplo 5. Una hipérbola tiene la ecuación

9𝑥2 − 16𝑦2 = 144

Encuentra los vértices, focos y asíntotas, y bosqueja la gráfica.

Solución:

Se divide a ambos lados entre 144, obtenemos

𝑥2

16−

𝑦2

9= 1

En la cual vemos que el coeficiente de 𝑥2 es positivo y el de 𝑦2 negativo, así que es una hipérbola con

eje transversal horizontal, con 𝑎 = √16 = 4, 𝑏 = √9 = 3. Y como 𝑐2 = 16 + 9 = 25, entonces 𝑐 = 5.

Vértices: (±4,0)

Eje transversal horizontal de longitud: 2(4) = 8

Asíntotas: 𝑦 =3

4𝑥 y 𝑦 = −

3

4𝑥


Focos: (±5,0)

Ejemplo 2. Localiza los focos y deduce la ecuación de la hipérbola cuyos vértices están en (0, ±1) y

una asíntota tiene la ecuación 𝑦 = 2𝑥.

Solución:

De acuerdo a los vértices, sabemos que es una hipérbola con eje transversal vertical y de longitud 2,

con 𝑎 = 1, y como la ecuación de una asíntota es 𝑦 = 2𝑥 y se obtiene de 𝑦 =𝑎

𝑏𝑥, entonces

𝑎

𝑏= 2,

sustituyendo a 𝑎 = 1 y despejando a 𝑏 obtenemos 𝑏 =1

2, así que 𝑐2 = 12 +

1

2

2=

5

4. Los focos están en

(0, ±√5/2) y la ecuación de la hipérbola es

𝑦2

1−

𝑥2

14

= 1

𝑦2 − 4𝑥2 = 1


1. Encuentra la ecuación ordinaria y general de la circunferencia en cada caso.

a) Centrada en el origen y de radio 3 unidades.

b) Centrada en el punto 𝐶(1, −3) y radio de 6 unidades.

c) Centrada en 𝐶(2,5) y que pasa por el punto 𝑃(5,7).

d) Centrada en 𝐶(5, −2) y pasa por el origen.

e) Cuyo diámetro es el segmento formado por los puntos 𝐴(−4,7) y 𝐵(6, −1).


2. Encuentra los focos, vértices y longitudes de los ejes mayor y menor, y bosqueja la gráfica de las

siguientes elipses:

a) 𝑥2

25+

𝑦2

9= 1

b) 𝑥2

16+

𝑦2

25= 1

c) 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36

d) 2𝑥2 + 𝑦2 = 3

e) 20𝑥2 + 4𝑦2 = 5

3. Encuentra el foco, la directriz y grafica las siguientes parábolas:

a) 𝑦2 = 4𝑥

b) 𝑥2 = 9𝑦

c) 𝑥 = −8𝑦2

d) 5𝑥 + 3𝑦2 = 0

e) 𝑦 = −2𝑥2

4. Localiza los vértices, focos, asíntotas y grafica las siguientes hipérbolas:

a) 𝑥2

144−

𝑦2

25= 1

b) 𝑦2

16−

𝑥2

36= 1

c) 𝑥2 − 𝑦2 = 1

d) 9𝑦2 − 𝑥2 = 9

4 e) Deduce la ecuación con focos en (0, ±3) y asíntotas 𝑦 = ±2.


El punto de una órbita lunar más cercano a la superficie de la luna se llama perilunio y el más lejano,

apolunio. La sonda Apolo 11 se puso en una órbita lunar elíptica, con 110 km de altura en el perilunio

y 314 km de altura en el apolunio (sobre la superficie de la Luna). Deduce una ecuación de esa

elipse, si el radio de la Luna es 1728 km y su centro está en uno de los focos.


SOLUCIONARIO. Actividad de aprendizaje 4.1. 1.

2.

3. a) perímetro = √37 + √10 + √41 u b) perímetro = √17 + √145 + 4√5 u

4. 𝑑(𝐴, 𝐵) = 3√2, 𝑑(𝐵, 𝐶) = √17 𝑦 𝑑(𝐶, 𝐴) = √17, tiene dos lados iguales por lo tanto es un

triángulo isósceles.

5. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = √170𝜋 u, Á𝑟𝑒𝑎 = 852⁄ 𝜋 u2


a) (15,12) b) 13 u

a) 𝑑(𝐴, 𝐵) = 10 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (2, −4)

b) 𝑑(𝐶, 𝐷) = √50 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (7

2,

5

2)

c) 𝑑(𝐸, 𝐹) = √1816

⁄ 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (13

6, −

1

4)

d) 𝑑(𝐺, 𝐻) = √41 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (−3,5

2)

e) 𝑑(𝐼, 𝐽) = √85 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (−1

2, 1)



a) 𝑦 = 2𝑥 − 6 b) 𝑦 = 1 − 𝑥2

c) 𝑦 = 3 − 𝑥 d) 𝑦 = √𝑥 + 4

𝑥 𝑦

-2 5

-1 4

0 3

1 2

2 1

e) 𝑦 =1

4𝑥2

Aplicación del conocimiento 4.2 a) b) 10 euros

𝑥 𝑦

-2 -10

-1 -8

0 -6

1 -4

2 -2

𝑥 𝑦

-2 -3

-1 0

0 1

1 0

2 -3

𝑥 𝑦

-2 1.41

-1 1.73

0 2

1 2.23

2 2.44

𝑥 𝑦

-2 1

-1 14⁄

0 0

1 14⁄

2 1



1. a) 𝑚 = 0 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 b) 𝑚 = −4 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 c) 𝑚 = 1 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 d) 𝑚 = −5

2

𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 e) 𝑚 =4

7 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒

2. 𝑙1: 𝑚 = 1, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = 𝑥 𝑙2: 𝑚 = −3

4, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = −

3

4𝑥 +

7

2

𝑙3: 𝑚 = −5

2, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = −

5

2𝑥 + 1 𝑙4: 𝑚 = 0, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = −4

3. a) 𝑦 = 𝑥 + 2 b) 𝑦 = −3

2𝑥 + 4 c) 𝑦 = 3𝑥 + 8 d)𝑦 = 7 e) 𝑥 = 4.

4. a) 𝑚 = −1, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 = −1 b) 𝑚 =3

2, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 = 6

c) 𝑚 =1

4, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 =

1

4 d) 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜


e) 𝑚 = 0, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 = 2.


a) 𝑦 = 0.434𝑥 + 15; donde 𝑦 representa la presión y 𝑥 la profundidad.

b)

c) La pendiente representa la rapidez de incremento en la presión del agua, el intercepto es la

presión del aire en la superficie.

Actividad de aprendizaje 4.4

1.

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 9, 𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0

b) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 36, 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦 − 26 = 0

c) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 13, 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 16 = 0

d) (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 2)2 = 29, 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 = 0

e) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 41, 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 31 = 0


2. a) b) c) d)

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (±5,0)

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 10 𝑢

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 6 𝑢

𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (±√34, 0)

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ±5)

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 10 𝑢

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 8 𝑢

𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ±√41)

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ±3)

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 6 𝑢


𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ±√13)

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ±√3)

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 2√3 𝑢

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 2√32⁄ 𝑢,

𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ± 3√2

⁄ )


e) 3.

a) 𝐹𝑜𝑐𝑜: (1,0), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = −1 b) 𝐹𝑜𝑐𝑜: (0, 94⁄ ), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = − 9

4⁄

c) 𝐹𝑜𝑐𝑜: (− 132⁄ , 0), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 1

32⁄ d) 𝐹𝑜𝑐𝑜: (− 512⁄ , 0), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 5

12⁄

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ± √52

⁄ )

𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 √5 𝑢


𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ±√32⁄ )


e) 𝐹𝑜𝑐𝑜: (0, − 18⁄ ), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = 1

8⁄

4.

a) 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (±12,0), 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (±13,0), 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 = ± 512⁄ 𝑥

b) 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ±4), 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ±2√13), 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 = ± 23⁄ 𝑥

c) 𝑉é𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (±1,0), 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (±√2, 0), 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 = ±𝑥


d) 𝑉é𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: (0, ±1), 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠: (0, ±10), 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 = ± 13⁄ 𝑥

e) 5𝑦2

36−

5𝑥2

9= 1


𝑥2

3763600+

𝑦2

3753196= 1


Fuentes de consulta. Aguilar Márquez Arturo et. al., Matemáticas Simplificadas, segunda edición, PEARSON

EDUCACIÓN, México 2009. Baldor Aurelio (2007). Ed. Grupo Editorial Patria, Aritmética de Baldor, Págs 639. México 2ª

ed. Becerra, J. (s/f). Trigonometría. Consultado 02/dic/2013, sitio web:

www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/15.%20Trigonometria.pdf Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Ed. Pearson Educación, Matemáticas simplificadas,

Págs 1640. México 2ª ed. Pearson Prentice Hall.

James Stewart, Cálculo multivariable, cuarta edición, editorial Thomson, México 2002. James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson, PRECÁLCULO Matemáticas para el

cálculo, quinta edición, editorial Tomson, México 2007. Universidad Autónoma Metropolitana (2013). Canek: Portal de Matemáticas, Calculo

Diferencial, Los números reales [Documento electrónico]. Disponible en: http://canek.uam.mx/?secc=1&tema=32

http://canek.uam.mx/?secc=1&tema=32


APÉNDICE

ALFABETO GRIEGO

No se puede enseñar nada a un hombre; sólo se le puede...

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