No3 Area de Una Región Plana 4.8

CLASE No3 AREA DE UNA REGION PLANA 4.8 UPH MM-142 PREPARÓ: ING. J. FERNANDO GAEKEL D [email protected] Whatsapp 9659-1623 ========================================================================

1

Tema: Área de una Región Plana

Partiremos expresando el área de una región como una sumatoria de Riemann

para luego plantear la integral que defina la región del plano que se desea

calcular.

Una integral se puede expresar como una sumatoria de Riemann como se

detalla a continuación:

∫(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0

∑(5𝑤𝑖 + 3)∆𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

EJEMPLO 1. Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por la

curva, el eje x y la recta x = 2 .Exprese la función como una sumatoria de

Riemann y grafique.

𝑦 = 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥

Desarrollo. El límite o intervalo de integración se obtiene del eje x y la recta x

= 2.

𝐴 = lim∆𝑥→0

∑ 𝑤𝑖√𝑤𝑖2 + 5 ∆𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

𝐴 = ∫ 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥2

0

𝐴 = ∫ (𝑥2 + 5)1 2⁄ 𝑥𝑑𝑥2

0

𝐴 =1

3(𝑥2 + 5)3 2⁄ |2

0

𝐴 =1

3{[(2)2 + 5]3 2⁄ − [(0)2 + 5]3 2⁄ }

=1

3(93 2⁄ − 53 2⁄ ) =

1

3(27 − 5√5)

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 5

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

1

2𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥

∫(𝑥2 + 5)1 2⁄

𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑢1 2⁄ ∙1

2𝑑𝑢

1

2∫ 𝑢1 2⁄ 𝑑𝑢

1

2

𝑢1 2⁄ +1

1 2 + 1⁄

1

2∙

2

3𝑢3 2⁄ =

1

3𝑢

32⁄

mailto:[email protected]


2

EJEMPLO 2. Grafique y calcule el área de la región limitada por la curva

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

El eje x y las rectas x =1 y x = 3

Desarrollo. El límite o intervalo de integración se obtiene del eje x y la recta x

= 1 y x = 3.

Como el área de la gráfica está en el 4to cuadrante se antepone el signo menos

a la expresión.


∑ −(𝑤𝑖2 − 4𝑤𝑖) ∆𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

𝐴 = ∫ −(𝑥2 − 4𝑥)3

1

𝑑𝑥

𝐴 = ∫ (4𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥3

1

𝐴 = [4 (1

2𝑥2) −

1

3𝑥3] 3

1

𝐴 = 2(3)2 −1

3(3)3 − [2(1)2 −

1

3(1)3] =

22

3𝑢𝑛𝑖𝑑2

EJEMPLO 3. Grafique y determine el área de la región limitada por la curva

𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6

El eje x y las rectas x = -1 y x = 2. Exprese como sumatoria de Riemann

𝑥 = 1

𝐸𝑗𝑒 𝑥

𝑥 = 3



3

Desarrollo. Como se aprecia en la gráfica el área

está representada por el color verde, la que está

sobre el eje x es positiva y la que está abajo del eje

x en negativa. Ahora planteemos la solución.


∑(𝑤𝑖3 − 2𝑤𝑖

2 − 5𝑤𝑖 + 6)∆𝑖𝑥

1

−1

− lim∆𝑥→0

∑(𝑤𝑖3 − 2𝑤𝑖

2 − 5𝑤𝑖 + 6)∆𝑖𝑥

2

1

𝐴1 𝐴2

Observe que lo que cambia son los límites de integración. 𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2.

Expresado como integral tenemos:

𝐴𝑇 = ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6)𝑑𝑥 − ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6)𝑑𝑥2

1

1

−1

𝐴1 =1

4𝑥4 − 2 (

1

3𝑥3) −

5

2𝑥2 + 6𝑥 |

1

−1

𝐴1 =1

4(1)4 −

2

3(1)3 −

5

2(1)2 + 6(1) − [

1

4(−1)4 −

2

3(−1)3 −

5

2(−1)2 + 6(−1)]

𝐴1 =1

4−

2

3−

5

2+ 6 − (

1

4+

2

3−

5

2− 6)

𝐴1 =32

3 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝑥 = −1

𝑥 = 2



4

𝐴2 =1

4𝑥4 − 2 (

1

3𝑥3) − 5𝑥2 + 6𝑥 |

2

1

𝐴2 =1

4(2)4 −

2

3(2)3 −

5

2(2)2 + 6(2) − [

1

4(1)4 −

2

3(1)3 −

5

2(1)2 + 6(1)]

𝐴2 = 4 −16

3− 10 + 12 − (

1

4−

2

3−

5

2+ 6) = −

29

12 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝐴𝑇 =32

3− (−

29

12) =

157


CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES CONTINUAS

Sea 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones continuas en el intervalo

cerrado [𝑎, 𝑏] tales que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) para toda

𝑥 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏]. Se desea calcular el área de la región

limitada por las dos curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑦 = 𝑔(𝑥) y

las dos rectas 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏. La suma de las

medidas de las áreas de estos n rectángulos está

determinada por la suma de Riemann siguiente:

lim∆𝑥→0

∑[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑛

𝑖=1

EJEMPLO 4. Grafique y calcule el área de la región limitada por las curvas

𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥



5

Pasos a seguir.

1. Encontrar gráficamente o por Ecuaciones

Simultáneas los puntos de intersección de

las dos curvas. En este caso los puntos son:

(0,0) y (2,4), así que los límites de

integración serán: a = 0 y b = 2

2. Identificar que función está en la parte

superior la cual denominaremos F(x) y la

inferior la denominaremos g(x). Así:

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2

3. Plantear la medida del área como la suma de Riemann e integral

definida.

lim∆𝑥→0

∑[𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2

0

𝑛

𝑖=1

4. Resolver

𝐴 = ∫ [(−𝑥2 + 4𝑥) − 𝑥2] 𝑑𝑥2

0

𝐴 = ∫ (−2𝑥2 + 4𝑥)𝑑𝑥2

0

= −2

3𝑥3 + 2𝑥2 |

2

0=

8

3 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2



6

EJEMPLO 5. Grafique y calcule el área de la región limitada por la parábola

(relación) 𝑦2 = 2𝑥 − 2 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥 − 5. Encuentre los límites de

integración.

Pasos a seguir.


Simultáneas los puntos de intersección de

las dos curvas, son los puntos: (3,-2) y (9,4).

En este caso, se divide en dos Regiones,

𝑅1 = [1,3] 𝑦 𝑅2 = [3,9], así que los límites

de integración serán en 𝑅1; 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 3

y para 𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 9.

2. Identificar que función está en la parte

superior la cual denominaremos F(x) y la

inferior la denominaremos g(x). Así:

𝑓(𝑥)1,2 = ±√2𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5


definida.

Desarrollo. Para 𝑅1; 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 3

lim∆𝑥→0

∑[𝑓1(𝑤𝑖) − 𝑓2(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)] 𝑑𝑥3

1

𝑛

𝑖=1

𝐴1 = ∫ [√2𝑥 − 2 − (−√2𝑥 − 2)] 𝑑𝑥3

1

𝐴1 = ∫ [√2𝑥 − 2 + √2𝑥 − 2] 𝑑𝑥3

1

𝐴1 = 2 ∫ (2𝑥 − 2)1 2⁄ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑢1 2⁄ (1

2𝑑𝑢)

3

1

3

1

𝐴1 = ∫ 𝑢1 2⁄ 𝑑𝑢3

1

=2

3(2𝑥 − 2)3 2⁄ |

3

1= 16

3⁄ 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2

𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

1

2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥



7


∑[𝑓1(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥9

3

𝑛

𝑖=1

𝐴2 = ∫ [√2𝑥 − 2 − (𝑥 − 5)]𝑑𝑥9

3

𝐴2 = ∫ (√2𝑥 − 2 − 𝑥 + 5)𝑑𝑥9

3

𝐴2 = ∫ (2𝑥 − 2)1 2⁄ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑑𝑥9

3

9

3

9

3

𝐴2 =1

3(2𝑥 − 2)3 2⁄ −

1

2𝑥2 + 5𝑥 |

9

3

𝐴2 =64

3−

81

2+ 45 − (

8

3−

9

2+ 15) =

38

3 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝑇 = 163⁄ + 38

3⁄

𝐴𝑇 = 18 𝑢𝑛𝑖𝑑2

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2

𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

1

2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥



8

EJERCICIO 6. Grafique y calcule el área de la región por las dos curvas 𝑦 =

𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

Pasos a seguir.


Simultáneas los puntos de intersección de las dos

curvas, son los puntos: (0,02), (3, -3) y (4,0). En

este caso, se divide en dos Regiones,𝑅1 =

[0,3] 𝑦 𝑅2 = [3,4], así que los límites de

integración serán en 𝑅1; 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 3 y para

𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 4.

2. Identificar que función está en la parte superior la cual denominaremos

F(x) y la inferior la denominaremos g(x). Así:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅1 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 𝑒𝑛 [0,3]


definida.


lim∆𝑥→0

∑[𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥3

0

𝑛

𝑖=1

𝐴1 = ∫ [𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − (𝑥2 − 4𝑥)] 𝑑𝑥3

0

𝐴1 = ∫ (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 + 4𝑥) 𝑑𝑥3

0

𝐴1 = ∫ (𝑥3 − 7𝑥2 + 12𝑥) 𝑑𝑥3

0

𝐴1 =1

4𝑥4 −

7

3𝑥3 + 6𝑥2 ⌊

3

0

𝐴1 =45

4 𝑢𝑛𝑖𝑑2



9

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒𝑛 [3,4]


lim∆𝑥→0

∑[𝑔(𝑤𝑖) − 𝑓(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥4

3

𝑛

𝑖=1

𝐴2 = ∫ [𝑥2 − 4𝑥 − (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥)] 𝑑𝑥3

0

𝐴2 = ∫ (𝑥2 − 4𝑥−𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥) 𝑑𝑥3

0

𝐴2 = ∫ (−𝑥3 + 7𝑥2 − 12𝑥) 𝑑𝑥3

0

===============================================================

EJEMPLO 8. Grafique y calcule el área de la región acotada por las gráficas de

𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 [0, 0.8767]

𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2

𝐴2 = −1

4𝑥4 +

7

3𝑥3 − 6𝑥2 |

3

0

𝐴2 =7


𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝑇 =45

4+

7

12=

71

6 𝑢𝑛𝑑2

𝑦 = 𝑥2



10

Desarrollo. Para R; 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 0.8767

lim∆𝑥→0

∑ [𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥0.8767

0

0.8767

0

𝐴 = ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥2)0.8767

0

𝑑𝑥

𝐴 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0.8767

0

𝑑𝑥 − ∫ 𝑥20.8767

0

𝑑𝑥

𝐴 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 −1

3𝑥3|0.8767

0

𝐴 = − cos(0.8767) − [− cos(0)] −1

3[(0.8767)3 + 0] 𝑒𝑛 𝑅𝑎𝑑

𝐴 = 0.1357 𝑢𝑛𝑑2

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Tarea Virtual. Ejercicios 4.8 el 3, 5, 21 o 25. Página 379 Seleccione un ejercicio, de

los indicados, a su gusto y preséntelo como tarea.


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