Nociones Básicas de Análisis Estadístico de Muestras Ing. Rafael A. Díaz Chacón U.C.V. RAD/99...
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Nociones Básicas de Análisis Estadístico de Muestras Ing. Rafael A. Díaz Chacón U.C.V. RAD/99 Apéndice 1
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Nociones Básicas de Análisis Estadístico de Muestras
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
U.C.V. RAD/99
Apéndice 1
Uniforme Normal Exponencial Triangular Lognormal Gamma Beta
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Uniforme Discreta Binomial Negativa Hipergeométrica
Distribuciones Probabilísticas
RAD/99
Continuas Discretas
Generación de números aleatorios
RAD/99
La generación de números aleatorios en el computador es una de las bases de la simulación.
A pesar de la naturaleza estocástica se utilizan métodos basados en ecuaciones recursivas.
Esto hace que, en realidad, lo apropiado sea decir que se generan números pseudoaleatorios.
El comportamiento estadístico de una secuencia de números pseudoaleatorios debe ser similar al de una secuencia de números aleatorios.
Los números generados deben seguir una distribución uniforme en (0,1) y ser independientes desde el punto de vista estadístico.
La rutina debe ser de ejecución rápida. La rutina debe ocupar poco espacio en memoria. El ciclo de la secuencia debe ser muy grande. La secuencia debe ser reproducible.
Generación de números aleatorios
RAD/99
Método del cuadrado intermedio. Método del producto intermedio. Método del multiplicador constante. Método congruencial aditivo. Método congruencial lineal.
Generación de números aleatorios
RAD/99
Generación de números aleatorios
RAD/99
X i+1 = (AX i + C) mod mpara i=0,1,2,….
Método congruencial lineal
Pruebas estadísticas ...
RAD/99
Para verificar la distribución uniforme de la muestra.
Para verificar la simetría de los datos alrededor del valor esperado de la uniforme.
Para verificar la autocorrelación de las muestras. Para verificar la densidad de la muestra. Para verificar la independencia de los dígitos de
cada dato de la muestra.
Método de la Transformación Inversa. Método de la Transformación Directa. Método de Convolución. Método de aceptación y rechazo.
Generación de variables aleatorias
RAD/99
Transformación Inversa
RAD/99
“Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulativa de probabilidades FX(x) y
sea Y una función de X tal que, Y = F(x). Entonces la variable aleatoria Y tiene una
distribución uniforme en el intervalo (0,1).”
“Si Y tiene distribución uniforme en (0,1), entonces X = F-1(Y) tiene una distribución dada
por fX(x) = d/dx FX(x)”
Transformación Inversa
RAD/99
Ejemplo: Generar una variable aleatoria Exponencial
f x me
x y e
xm
y
Xmx
mx
( )
( )
ln( )
para x 0
F para x 0X 1
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Transformación Directa
RAD/99
“Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulativa de probabilidades FX(x) y sea Y una función de
X tal que, Y =G(x). Entonces, si se puede conocer una muestra de la variable
aleatoria X, la muestra de Y será igual a G(x).”
Transformación Directa
RAD/99
Ejemplo: Generar una variable aleatoria Normal
X
Y
Z2 = B sen
Z1 = B cos
B
B Z Z
Z
Z
12
22
2
1
arctg
Z B
Z B1
2
cos
sen
Transformación Directa
RAD/99
B Z Z
Z
Z
12
22
2
1
arctg
Z B
Z B1
2
cos
sen
Esta transformación se conoce como Transformación de Box-Muller
“Si Z1, Z2, B y están relacionadas por la transformación de Box-Muller y Z1 y Z2 son normales estándar e
independientes entonces B2 es exponencial con media 2 y es uniforme en (0,2) y además, son independientes”
Transformación Directa
RAD/99
Z R R
Z R R
1 1 2
2 1 2
2 2
2 2
ln cos( )
ln sen( )
“Ya que la transformación es biyectiva, si a partir de un par de números aleatorios R1 y R2 se obtienen B2 y
con distribuciones exponencial con media 2 y uniforme en (0,2), respectivamente, entonces Z1 y Z2 son
normales estándar e independientes”
Método de Convolución
RAD/99
“La función de densidad de probabilidades de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es
igual a la convolución de las funciones de densidad de probabilidades de cada una de ellas”
“La variable Erlang con parámetros K y m es la suma de K variables aleatorias exponenciales independientes
con media común 1/mK”
Método de Convolución
RAD/99
“Sean K números aleatorios R1, R2, R3,…entonces Xi= (-1/mK) ln Ri
es una muestra de una variable exponencial con media 1/mK, por lo tanto...”
X Xmk
Rii
K
ii
K
1 1
1ln
X es una muestra de una Erlang con parámetros K y m
Método de aceptación y rechazo
RAD/99
“Este método se basa en alguna propiedad característica de la variable aleatoria de interés que
puede expresarse en forma iterativa hasta que se cumpla la propiedad en cuestión”
Generar una muestra
Evaluar condiciones a
comparar
Comparar condiciones
CUMPLE
NO CUMPLE
Método de aceptación y rechazo
RAD/99
Ejemplo: Generar una variable aleatoria Poisson
pm
ipi i
1 1
para i 0
Generar una muestra R
Hacer i=0,p=e-m,F=p
R < F
Hacerp=mp/(i+1)
F=F+pi=i+1
X = i
SI
NO
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Ejemplo: Generación de una v. a. Exponencial y análisis estadístico de muestras
GEN,"RAFAEL DIAZ","ANALISIS ESTADISTICO",30/10/99,1,YES,YES;LIMITS,2;INITIALIZE,0.0,1,YES;INTLC,{{XX[1],2}};NET;FIN;
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Ejemplo: Muestras de una v. a. Exponencial
** OBSERVED STATISTICS REPORT for scenario MUESTRAS ** Label Mean Standard Number of Minimum Maximum Value Deviation Observations Value Value V. A. EXPONENCIAL 2.013 1.952 1000 0.001 23.481
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Ejemplo: Generación de una v. a. Normal y análisis estadístico de muestras
GEN,"RAFAEL DIAZ","ANALISIS ESTADISTICO NORMAL", 30/10/99,1,YES,YES;LIMITS,3;INITIALIZE,0.0,1,YES;INTLC,{{XX[1],0},{XX[2],1}};NET;FIN;
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Ejemplo: Muestras de una v. a. Normal
** OBSERVED STATISTICS REPORT for scenario NORMAL ** Label Mean Standard Number of Minimum Maximum Value Deviation Observations Value Value V. A. NORMAL -0.006 1.015 2000 -3.601 3.440
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Ejemplo: Análisis estadístico de muestras apoyándose en el ambiente EXCEL
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Tarjeta de datos del nodo WRITE
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
1 0.000 0.000 0.062 2 1.195 0.000 0.678 3 3.156 0.000 0.899 4 3.306 0.749 0.877 5 4.446 0.000 0.382 6 6.054 0.000 0.314 7 7.367 0.000 1.425 8 7.719 1.073 1.631 9 7.901 1.449 2.930 10 12.376 0.000 0.452 11 14.078 0.000 1.344 12 17.680 0.000 0.279 13 17.800 0.159 0.806 14 18.245 0.362 0.784 …… ……. …….. ……...
Contenido del archivo de escritura RESP3.DAT
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Modelos Aleatorios en AweSim
RAD/99
Diagrama de Dispersión
0
5
10
15
0 2 4 6 8 10
Tiempo en Cola
Tie
mp
o e
n e
l S
iste
ma
Diagrama de Dispersión en ambiente EXCEL
