Nombres enters u1
Transcript of Nombres enters u1
NOMBRES ENTERS
Tipus de nombresEls nombres naturals ( ) s’utilitzen per
ordenar, comptar i codificar
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....
Els nombres enters ( ) estan formats pels
nombres naturals precedits del signe – o + .
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....
Exemples:
Saldo del banc: -1500€ o +200€
Temperatura: -3ºC o 18ºC
Planta d’un edifici: -2 o 15
Representació nombres enters
Valor absolut d’un nombre enter és el nombre prescindint del signe.
|+a| = a i |-a| = a
|-8| = 8 valor absolut de -8 és el 8
|+2| = 2 valor absolut de +2 és el 2
Suma de nombres enters• Per a sumar dos nombres de mateix signe:
– S’escriu el mateix signe dels sumands
– Se sumen els valors absoluts dels sumands• Exemple:
» (+2) + (+3) = +5
» (-1) + (-3) = - 4
• Per a sumar dos nombres de diferent signe:– S’escriu el mateix signe del sumand que té valor absolut
més gran
– Es resten els valors absoluts dels sumands• Exemple:
» (-2) + (+9) = +7
» (+1) + (-8) = - 7
Suma de nombres enters
• Opció A: S’efectuen les sumes en ordre que
apareixen
(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) =
(- 8) + (+4) + (-1) =
(- 4) + (-1) = - 5
• Opció B: Reordenem els sumands. Els positius junts i
els negatius junts i després efectuem les sumes
corresponents.
(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) = (- 3) + (- 5) + (- 1) + (+4)=
(-9) + (+4) = - 5
Restes de nombres entersQuan trobem el signe – pot tenir dos significats:• Indica l’operació de resta• Indica un nombre enter negatiu
Ex: (+ 5) – (- 2) =
Quan volem fer una resta d’un nombre enter negatiu, podem fer-ho de dues maneres:
• Convertim el signe - +
Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 + 2 = + 7
• Substituïm el subtrahend (el que va restat) pel seu oposat:
Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 +op(- 2) = +5 + 2 = 7
Practica sumes i restes de nombres enters
(-6) + (+5) = (-3) + (-4) =
(+4) + (-2) = (+1) + (+3) =
(+3) + (+7) = (-5) + (-9) =
(+7) + (-4) = (-8) + (+2) =
(-6) - (+5) = (-5) - (-9) =
(+4) - (-2) = (-8) - (+2) =
(-4) - (-7) = (+7) - (-4) =
(-15) + (-7) - (-4) + (+4) =
(+9) - (-3) - (+8) + (-12) =
(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) =
Solucions(-6) + (+5) = -1 (-3) + (-4) = -7
(+4) + (-2) = +2 (+1) + (+3) = +4
(+3) + (+7) = +10 (-5) + (-9) = -14
(+7) + (-4) = +3 (-8) + (+2) = -6
(-6) - (+5) = -11 (-5) - (-9) = +4
(+4) - (-2) = +6 (-8) - (+2) = -10
(-4) - (-7) = +3 (+7) - (-4) = +11
(-15) + (-7) - (-4) + (+4) = -14
(+9) - (-3) - (+8) + (-12) = -8
(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) = +8
Multiplicacions de nombres enters
Per multiplicar dos nombres enters:
• Es multipliquen els valors absoluts del
diferents valors
• S’utilitza la regla del signe:
(+) · (+) = + (+4) x (+5) = +20
(-) · (-) = + (-4) x (-3) = +12
(+) · (-) = - (+4) x (-2) = -8
(-) · (+) = - (-5) x (+2) = -10
Propietats de la multiplicació
Propietat commutativa a · b = b · a
3 · (-2) = (-2) · 3
Propietat associativa (a · b) · c = a · (b · c)
(-3 · 2) · 5 = -3 · ( 2 · 5)
- 6 · 5 = -3 · 10
Element unitat a · 1 = a
-5 · 1 = -5
Propietat distributiva a · (b + c) = a · b + a · c IMP
-2 · (5 + 3) = -2· 5 + (-2) · 3
-2 · 8 = -10 - 6
Factor comú
Treure factor comú significa trobar un element comú a
un conjunt de sumands
(4 · 3 ) + (3 · 8) = 3 · (4 + 8)
(-4 · 6) + (-4 · 2) – (5 · (-4)) = -4 · (6 + 2 – 5)
(5 · 2 · 4) - (10 · (-3)) = 10 · (4 – (-3))
Exercici. Treu factor comú:
6 · 4 + 4 ·3=
-5 · 3 + 3 · 4 – 3 · 2 · 7=
4 . (-7) – (-7) · 3 =
Divisió de nombres enters
Per dividir dos nombres enters:
• Es divideixen els valors absoluts dels diferents
valors
• S’utilitza la regla del signe:
(+) : (+) = + (+40) : (+5) = +8
(-) : (-) = + (-45) : (-3) = +15
(+) : (-) = - (+44) : (-2) = -22
(-) : (+) = - (-50) : (+2) = -25
Exercicis multiplicacions i divisions d’enters
56 : (-4) =
(-24) : 4=
-30 : (-6) =
60: (-5) =
(+44) : (+2)=
12 : (-3) =
(-51) : (-3) =
-44 : (-11) =
(-40) : 4=
5 · (-4) =
-2 · (4)=
-3 ·(-6)=
(+4) · 2=
(-5) · (-3) =
-4 · 4=
(-2) · (-7) =
(+3) · (-2)=
-10 · 5=
Descomposició
La descomposició d’un nombre en factors primers consisteix en expressar el nombre com a multiplicació
de nombres primers.
30 = 2 · 3 · 5
45 = 32 · 5
80 = 24 · 5
Operacions combinades• Ordre de les operacions:
– En primer lloc, s’efectuen les operacions de dins els
parèntesis.
– A continuació, efectuem calculem les multiplicacions i les
arrels, seguidament fem les multiplicacions i les divisions
en l’ordre que apareixen.
– Finalment, es fan les sumes i restes
• Exemple:
- [5 + 7 x (-3)] + 21 : 7 – 4=
- [5 + (-21)] + 21 :7 – 4=
- (-16) + 21 :7 – 4=
+16 + 3 – 4= +15
Exemple 1: +3 – (+4) x (-2)=
1. Multiplicar +3 – (-8)=
2. Eliminar parèntesis +3 +8=
3. Sumar +11
Exemple 2: +1+ (-6): (+4-7)=
1. Operar el parèntesi +1 + (-6): (-3)=
2. Divisió +1 + (+2)=
3. Treure parèntesis +1 + 2 =
4. Sumar +3
Exemple 3: -4 +[-3 – (-14):(+2)]=
1. Operar el parèntesis petit - 4 + [-3 – (-7)]=
2. Treure parèntesis -4 + ( -3+7)=
3. Suma parèntesis -4 + (+4)=
4. Sumar 0
Potenciació i radicació
• Una potència és una multiplicació de nombres iguals
• El factor que es repeteix és la base
• El nombre de vegades que es repeteix és l’exponent
-3 · (-3) = (-3)2 es llegeix -3 al quadrat
5 · 5 · 5 = 53 es llegeix 5 al cub
6 · 6 · 6 · 6 = 64 es llegeix 6 elevat a quatre
COMPTE!
No és el mateix - 22 que (- 2)2
-22 = - (2 · 2) = - 4
(-2)2 = (-2) · (-2) = 4
Operacions amb potènciesUna potència d’exponent 1 és igual a la base a1 = a
41 = 4
(-5)1 = -5
Una potència d’exponent 0 és igual a 1 a0 = 1
30 = 1
(-2)0 = 1
Si l’exponent és parell, la potència sempre serà positiva
42 = 16
(-5)2 = -5 · (-5) = 25
Si l’exponent és imparell, la potència tindrà el mateix signe que la
base positiva
53 = 5 · 5 ·5 = 125
(-5)3 = -5 · (-5) · (-5)= -125
Operacions amb potènciesMultiplicació de potències – mateixa base am · an = a m+ n
72 · 73 = 7 2 + 3 = 75
(-7)2 · (-7)3 = (-7) 2 + 3 = (-7)5
Divisió de potències – mateixa base am : an = a m- n
35 : 33 = 3 5 – 3 = 32
(-3)5 : (- 3)3 = (-3) 5 – 3 = (-3)2
Potència d’un producte (a · b)n = an · bn
( 3 · 6)2 = 32 x 62
( -3 · 6)2 =(-3)2 · 62
Potència d’una potència (am)n = a m·n
(45)3 = 45·3= 415
[(-7)3]2 = (-7)3·2= (-7)6
Potències d’exponent negatiu
6
6
4
14
1n
n
aa
Una potència d’exponent negatiu expressa l’invers de la corresponent potència ambexponent positiu.
Operacions amb exponent negatiu:
43 · 4-5 = 43 + (-5) = 4-2
25353
5
3
5
353 444:44
4
4
1·44·4
Exercicis de potències
Expressa el resultat en forma d’una sola potència:
(-5)2· (-5)3 = 153 · 154=
3 · 33 · 3-2 = (-2)4 · 23=
46 : 43 = 78 : 710 =
106: 106 = (-9)6 : (-9)8 =
(102)3 = (5-3)4 =
[(-11)3]3 = [(-4)4]-2 =
(33 · 3)4= (52 · 5-4)-2=
47 · 44 (-2)4 · (-2)5
42 · 43 (-2) · (-2)3
Exercicis resolts
Expressa el resultat en forma d’una sola potència:
(-5)2· (-5)3 = (-5)5 153 · 154= 157
3 · 33 · 3-2 = 32 (-2)4 · 23=24·23=27
46 : 43 = 43 78 : 710 = 7-2
106: 106 =100=1 (-9)6 : (-9)8 = (-9)-2
(102)3 = 106 (5-3)4 = 5-12
[(-11)3]3 = (-11)9 [(-4)4]-2 =(-4)-8
(33 · 3)4= (34)4= 316 (52 · 5-4)-2= (5-2)-2= 54
47 · 44 = 411 = 46 (-2)4 · (-2)5 = (-2)5
42 · 43 45 (-2) · (-2)3
Exercicis
Operacions combinades:
25:5)9(:45)2·(2
)2(10
)23()3·(5)104)·(3(
)7·(62:2)21·(5)2·(3
332
4
22
2423
Potències de 10
Qualsevol nombre seguit de zeros es pot expressar com el producte d’aquest nombre per una potència de 10 d’exponent positiu
90.000 = 9·104
-4.500.000 = -45· 105
Qualsevol nombre decimal on la part entera és nul·laes pot expressar com el producte de la xifra decimal per una potència en base 10 d'exponent negatiu
0,00004 = 4· 10-5
0,0025 = 25 · 10-4
Descomposició polinòmica
Qualsevol nombre pot escriure’s com una
suma de naturals que multipliquen a potències
de base 10, és el que es coneix com
descomposició polinòmica d’un nombre:
975 = 9·102 + 7·101 + 5·100
18067 = 1·104 + 8·103 + 0·102 + 6·101 + 7·100
Factors de conversió• Quants mm són 150cm?
mmcm
mmcm 1500
1
10150
• Quants cm són 37 nanòmetres?
nmm
cm
nm
mnm 7
9
10·371
100·
1
1037
Tera- (T) 1012
Giga- (G) 109
Mega- (M) 106
Quilo- (K) 103
Hecto- (H) 102
Deca- (D) 101
------------
deci- (d) 10-1
centi- (c) 10-2
mil·li- (m) 10-3
micro- (μ) 10-6
nano- (n) 10-9
pico – (p) 10-12
Notació científica
• Quan es fan servir quantitats molt grans o molt
petites, és convenient utilitzar l'anomenada notació
científica.
• Consisteix a utilitzar potències de 10, la qual cosa
evita fer servir nombres amb molts zeros.
• Un nombre en notació científica consta d’una única
xifra no nul·la davant de la coma decimal, multiplicada
per una potència de deu
2,689 ·106 = 2 689 000
3,742 · 10-5 = 0,00003742
Arrels quadrades
• S’anomena quadrat perfecte quan un nombre
natural és el quadrat d’una altre
– Exemple: 64 és un quadrat perfecte (quadrat de 8)
• Les arrels quadrades d’un nombre negatiu no
tenen solució
• Qualsevol arrel té dues solucions, una de
positiva i l’altre de negativa
(-7)2 = 49 i (+7)2 = 49
7;7749
Arrels
228
224
8587
645849
645849
3 33
2
En els exercicis, només considerem el resultat positiu de l’arrel
Arrels
Expressa cada arrel com a producte de dues arrels
quadrades exactes i calcula
490000)
36)
1600)
5010·5100·252500:
c
b
a
Exemple
Operacions combinades
• En primer lloc, efectuarem potències i arrels en l’ordre
que apareixen
• Seguidament, multiplicacions i divisions
• I finalment, sumes i restes.
818668132
25:150)8·(1024
625:150)53·()4(
625:1505)6(:18·)4(
625:1505)6(:324·)4(
5
5
5
Càlcul d’arrels quadrades
Càlcul d’arrels quadrades
Operacions combinades
Calculadora
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quincena1/1quincena1_contenidos_5b.htm