Matemáticas 2º S

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IA Notación científica.

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresar esas cantidades. La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número. Números muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los valores de posición están expresados como potencias de 10. Cálculos con números largos son más fáciles de hacer cuando se usa notación científica. La forma general de un número en notación científica es 𝑎 × 10𝑛 donde a es mayor o igual que 1 y menor a 10, y n es un entero. Veamos algunos ejemplos de notación científica:

Número ¿Es notación científica?

𝑎 × 10𝑛 Explicación

2.3 × 106 Si 2.3 es mayor o igual que

1 y menor que 10, además 6 es entero

0.455 × 1012 No 0.455 NO es mayor que

o igual que 1

6.7 × 10−4 Si 6.7 es mayor que o igual

a 1 y menor que 10, además −4 es entero.

18.3 × 105 No 18.3 NO es menor que

10.

92.4 × 101/2 No 92.4 No es menor que 10 además ½ No es entero

Qué vamos a aprender: Resolver problemas de potencias con exponente entero.

Materiales: libreta, libro de texto.

Te explico

1 SEMANA

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IA 1.4 × 1017 Si

1.4 es mayor o igual a 1 y menor que 10, además 17 es entero

Cambiando de Forma Decimal a Notación Científica

Para escribir un número grande en notación científica, primero debemos mover el punto decimal a un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de 10 que nos resulte en un valor equivalente al original. Para encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. Ese número es el exponente de la potencia de 10. Ejemplo: Para escribir 180,000 en notación científica, primero movemos el punto decimal hacia la izquierda hasta que tengamos un número mayor o igual que 1 y menor que 10. El punto decimal no está escrito en 180,000, pero si lo estuviera sería después del último cero. Si empezamos a recorrer el punto decimal un lugar cada vez, llegaremos a 1.8 después de 5 lugares:

Ahora conocemos el número (1.8) y el exponente de la potencia de 10 que preserva

el valor original (5). En notación científica 180,000 se escribe 1.8 𝑥 105.

Ejemplo: El proceso de cambiar entre notación decimal y científica es el mismo para números pequeños (entre 0 y 1), pero en este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha, y el exponente será negativo. Considera el número pequeño 0.0004:

Movimos el punto decimal hacia la derecha hasta que obtuvimos el número 4, que está entre 1 y 10 como es requerido. Lo movimos 4 lugares, pero fueron movimientos que hicieron el número más grande que el original. Entonces tendremos que multiplicar por una potencia negativa de 10 para traer de regreso el nuevo número al equivalente de su valor original. En notación

científica 0.0004 se escribe 4 × 10−4.

Cambiando de Notación Científica a Forma Decimal También podemos ir al revés — números escritos en notación científica pueden ser trasladados a notación decimal. Por ejemplo, un átomo de hidrógeno tiene un

diámetro de 5 × 10−8 mm. Para escribir este número en notación decimal,

convertimos la potencia de 10 en una serie de ceros entre el número y el punto decimal. Como el exponente es negativo, todos esos ceros van a la izquierda del número 5:

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Ten cuidado aquí y no te dejes llevar por los ceros — el número de ceros después del punto decimal siempre será 1 menos que el exponente. Por lo tanto, el equivalente decimal de 5 × 10−8 es 0.00000005. Puedes observar que la cantidad de ceros es uno menos que el exponente, es decir, hay 7 ceros.

Ejemplo: Escribir en notación decimal 3.4 × 1012

3.4 × 1012 𝟑. 𝟒

𝟑𝟒. 𝟑𝟒𝟎.

𝟑𝟒𝟎𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎.

𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎.

𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎.

𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎.

𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎.

Como el exponente es positivo el punto decimal se debe de correr 12 lugares a la derecha, y debido a que no hay más números después del 4 aparecen los ceros. De manera que, el equivalente decimal de 3.4 × 1012 es 𝟑, 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations#cc-8th-scientific-notation Se sugiere ver el siguiente video: “NOTACIÓN CIENTÍFICA Super Fácil - Para principiantes - Notación Desarrollada Super fácil”,

https://www.youtube.com/watch?v=fYBFpz3ly28

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

Para aprender más

Manos a la obra

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1.- Encierra en un círculo rojo los números que están en notación científica.

a) 56.8 × 100.8 b) 8.9 × 10−3

c) 2.5 × 1013

d) 0.13 × 102

3 e) 4

5× 109

f) 1.7 × 105

g) 4 × 1016 h) 9.456 × 108

i) 0.786 × 10−4

2.- Relaciona con líneas de colores los siguientes números con sus equivalentes en

decimal y notación científica

a) 2.3 × 106 2.3 × 10−4

b) 0.0000089 1,000,000,000

c) 0.00023 4,620

d) 8.9 × 103 8.9 × 10−6

e) 1 × 109 1.2 × 10−2

f) 0.0046 12,000,000,000

g) 4.62 × 103 1 × 10−13

h) 1.2 × 1010 2,300,000

i) 0.012 4.6 × 10−3

j) 0.0000000000001 8,900

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problema 1 ubicado en la página 99.

• Problema 2 y 3 ubicados en las páginas 100 y 101

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró determinar las características de la notación científica. o Logró convertir números en notación decimal a científica y viceversa. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Repaso y practico

Lo que aprendí

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IA Raíz cuadrada.

Definición de raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número x es aquel número y que al ser multiplicado por sí

mismo da como resultado el valor x, es decir, cumple la ecuación 𝒚𝟐 = 𝒙 En otras palabras, la raíz cuadrada de un número es otro número, si existe, que elevado al cuadrado da el primero. Por ejemplo: 35 es la raíz cuadrada de 1225, pues 352 = 1225.

Partes de la raíz cuadrada.

Cuando se trabajan con raíces se tienen dos casos: raíces exactas y raíces aproximadas. Las raíces exactas, son aquellas que surgen de radicandos cuadrados perfectos, por ejemplo:

√4 = +𝟐 y −𝟐 Porque 𝟐 × 𝟐 = 𝟒 y −𝟐 × −𝟐 = 𝟒

√225 = +𝟏𝟓 y −𝟏𝟓 Porque 𝟏𝟓 × 𝟏𝟓 = 𝟐𝟐𝟓 y −𝟏𝟓 × −𝟏𝟓 = 𝟐𝟐𝟓

√0.49 = +𝟎. 𝟕 y −𝟎. 𝟕 Porque 𝟎. 𝟕 × 𝟎. 𝟕 = 𝟎. 𝟒𝟗 y −𝟎. 𝟕 × −𝟎. 𝟕 = 𝟎. 𝟒𝟗

Qué vamos a aprender: Resolver problemas de potencias con exponente entero y

aproxima raíces cuadradas.

Materiales: libreta, libro de texto.

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Como podrás darte cuenta las raíces cuadradas tienen dos signos, uno positivo y uno negativo. Dependiendo de la naturaleza del problema es el signo que se usará. Las raíces aproximadas o inexacta son aquellas cuyo radicando no es un cuadrado perfecto, por ejemplo:

√5 = ±2.236067 … √200 = ±14.142 … √1000 = ±31.6227 …

El signo ± indica que la raíz tiene signo positivo y negativo, como se mencionó anteriormente y los 3 puntos suspensivos indican que la raíz no tiene fin. Resolviendo problemas usando la raíz cuadrada. Don Armando tiene un terreno cuadrangular de 256 𝑚2 y desea cercarlo usando malla ciclónica para evitar que los animales entren a comerse sus cultivos, ¿Cuántos metros de malla debe de comprar para lograr su cometido?

Para poder determinar los metros de malla a comprar se debe de calcular cuanto mide cada lado del terreno, se conoce la superficie y la manera de calcular dicha superficie, que es multiplicando lado por lado o lado al cuadrado, por tal motivo se debe de realizar la operación contraria para determinar la medida de un lado, y la operación contraria a elevar al cuadrado es la raíz cuadrada, de manera que:

√256 = ±16 Como se trata de medidas en la vida real se empleará la raíz positiva, es decir, cada lado del terreno mide 16 m, entonces para saber cuánto de malla se necesita se debe de multiplicar 4 × 16 que es igual a 64 𝑚.

Se sugiere revisar el siguiente link: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/raices-cuadradas-exactas-ejemplos/ Se sugiere ver el siguiente video: “RAÍZ CUADRADA Super Fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=gPV5VqQ3Ajg&index=26&list=LLwScwtu5zVqc_wHtRx9XvDA

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

256𝑚2

Para aprender más

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1.- Determina las raíces cuadradas de los siguientes números:

a) √1 = __________

b) √9 = __________

c) √121 = __________

d) √196 = __________

e) √289 = __________

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problemas 1 y 2 ubicados en las páginas 106 y 107.

• Problema 5 ubicado en la página 109.

• Problema 9 ubicado en la página 111.

• Problema 10 ubicado en la página 112

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró determinar raíces cuadradas exactas. o Logró determinar raíces cuadradas aproximadas. o Logró resolver problemas usando la raíz cuadrada. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Repaso y practico

Lo que aprendí

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IA Proporcionalidad Directa e Inversa.

En la presente ficha hablaremos acerca de la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa. Para comenzar debemos de definir lo que es una magnitud. Una magnitud es aquello que se puede medir. Por ejemplo, el peso de una persona, el número de albañiles trabajando, el número de plátanos, la cantidad de alimento que come un perro, la distancia entre dos pueblos o la velocidad de un caballo al galopar. Todas estas magnitudes se pueden relacionar con otras. Se puede relacionar:

• El peso de una persona con la talla de ropa que usa.

• El número de albañiles trabajando con el tiempo que tardan en terminar la obra.

• El número de plátanos con el número de cajas necesarias para colocarlos.

• La distancia entre dos pueblos con el tiempo que se tarda en ir de uno a otro.

• La velocidad de un caballo galopando con el tiempo que tarda el caballo en llegar de un punto a otro.

Proporcionalidad directa.

Para que dos magnitudes mantengan una relación de proporcionalidad directa tienen que estar relacionadas de tal forma que, si duplicamos una, la otra se tiene que duplicar, si la triplicamos la otra también y si la reducimos a la mitad la otra también se tiene que reducir. Se puede entender que, si aumentamos la cantidad de una, la otra tiene que aumentar también proporcionalmente. ¿Qué relación podemos ver entre el número de plátanos y el número de cajas que necesitamos para guardarlos?

Qué vamos a aprender: Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa.

Materiales: libreta, libro de texto.

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Puedes observar que mientras más plátanos tenemos más cajas necesitamos, ¿verdad? Estas dos magnitudes mantienen una relación proporcionalmente directa. Es importante saber que el cociente (razón o proporción) entre dos magnitudes directamente proporcionales es siempre constante. En nuestro ejemplo tenemos que la razón es 3.

3

1=

6

2=

9

3=

12

4=

15

5= 𝟑

Las relaciones de proporcionalidad aparecen con mucha frecuencia en nuestra vida cotidiana.

Proporcionalidad Inversa. Si tenemos 2 magnitudes (A y B) y vemos que cuando A aumenta B disminuye, entonces la proporción entre las dos magnitudes es inversa. Por ejemplo, la magnitud A representa el número de pintores y B el tiempo que tarda en pintar una casa.

Es una proporcionalidad inversa debido a que mientras más pintores (A) trabajen menos tiempo (B) les llevará terminar de pintar la casa. Al contrario que la proporcionalidad directa, la constante de proporcionalidad se calcula multiplicando los valores de la magnitud A por sus correspondientes valores de la magnitud B.

1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 24

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Otro ejemplo de proporcionalidad inversa se presenta cuando realizamos viajes en automóvil, a mayor velocidad se tarda menos tiempo en recorrer ciertas distancias. La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad. Si la proporcionalidad es directa utilizaremos la regla de tres directa. Si la proporcionalidad es inversa utilizaremos la regla de tres inversa. Ejemplo: En una granja, 20 patos tardan 10 días en comer el alimento que hay guardado. ¿Cuánto tiempo tardarán 40 patos en terminar el alimento? Primero tenemos que comprobar si la proporcionalidad es directa o inversa: 20 patos tardan 10 días. 40 patos, ¿tardarán más o menos días? Al haber más patos, se acabará antes el alimento que hay guardado, por lo que tardarán menos días Si la cantidad de patos aumenta, el número de días disminuye. Entonces es proporcionalidad inversa. Ahora aplicamos la regla de 3 inversa:

40 patos tardarán 5 días en comer todo el alimento.

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe Se sugiere ver los siguientes videos: “PROPORCIONALIDAD DIRECTA Super fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=nP9SwAqhVTI “PROPORCIONALIDAD INVERSA - REGLA DE 3 INVERSA - VARIACIONES”, ubicado en la siguiente dirección https://web.facebook.com/watch/?v=702821723793848

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

Para aprender más

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1.- Mariana fue a la frutería de la esquina y vio que el letrero de la entrada decía 3 kilogramos de uva por $78, ayúdala a completar la siguiente tabla para saber cuánto pagara por 12 kilogramos de uva.

Kilogramos Precio ($)

1

3 78

5

7

12

a) ¿Qué operación realizaste para calcular el precio de un kilogramo de uva? ______________________________________

b) ¿Cuánto pagó Mariana por los 12 kilogramos de

uva? ______________

c) ¿Qué tipo de proporcionalidad está presente en la tabla? _________________________

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ____ 2.- La siguiente tabla muestra la distancia y el tiempo que tarda viajando un automóvil.

Distancia (km) 648 504 360 216

Tiempo (h) 9 7 5 3

a) ¿A qué velocidad viajaba el automóvil? ____________________ b) ¿Se mantuvo constante? _______ c) ¿Qué tipo de proporcionalidad está representada en la tabla?

________________ 3.- La siguiente tabla contiene los ingredientes necesarios para preparar un pastel. Complétala con la información necesaria para preparar 3 y 5 pasteles.

Ingredientes 1 pastel 3 pasteles 5 pasteles

Huevos 5

Azúcar 200 gr

Esencia de vainilla 2 cucharadas

Leche entera 1 taza

Mantequilla derretida ½ taza

Aceite de maíz ¼ taza

Gramos de harina 210

a) ¿Qué tipo de proporcionalidad está presente en la tabla?

__________________

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Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problema 1 ubicado en las páginas 114 y 115.

• Problema 2 ubicado en la página 116.

• Problema 5 ubicado en la página 117 y 118.

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró resolver problemas de proporcionalidad directa. o Logró resolver problemas de proporcionalidad inversa. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Repaso y practico

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IA Reparto Proporcional.

Reparto Proporcional.

La presente ficha tiene la función de abordar el reparto proporcional, comencemos definiendo las dos palabras básicas: reparto y proporcional.

• Reparto es el acto y el efecto de repartir, es decir, proceder a la distribución de algo que se divide en fragmentos o que se envía a diferentes lugares

• Proporcional, por su parte, es aquello vinculado a una proporción (la correspondencia que existe en los componentes de un todo).

En la ficha anterior descubriste que la proporcionalidad es la razón que se registra entre magnitudes, por lo tanto, el reparto proporcional consiste en la distribución de una cantidad en partes proporcionales. En otras palabras: el reparto proporcional implica repartir una magnitud total de manera proporcional entre diversas magnitudes de una misma clase. A continuación, se explican algunos métodos para resolver los problemas de reparto proporcional: Ejemplo: Un padre quiere entregar una mensualidad a sus hijos que resulte proporcional a sus edades. El hombre dispone de 500 pesos por mes que repartirá entre los niños de 10, 12 y 14 años de edad. ¿Cuánto le corresponde a cada hijo? Método 1: usar el valor unitario. Para calcular el valor unitario se debe de dividir el dinero total entre la suma de las 3 edades:

500

12 + 13 + 15=

500

40= 12.5

A cada hijo le corresponde $13.8 por cada año cumplido, por lo tanto, para determinar cuánto le toca a cada niño bastará con multiplicar el valor unitario (12.5) por la edad de cada hijo:

12 años: 12.5 × 12 = 150

13 años: 12.5 × 13 = 162.5

15 años: 12.5 × 15 = 187.5

Qué vamos a aprender: Resolver problemas de reparto proporcional.

Materiales: libreta, libro de texto.

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Al sumar 150 + 162.5 + 187.5 obtenemos los $500 totales. Método 2: Regla de 3 simple Usar los datos para plantear la regla de 3 y resolverla. Datos: Dinero: $500 Suma de las edades: 40 años

40 años $500 12 años x

40 años $500 13 años y

40 años $500 15 años z

𝑥 =𝟏𝟐 × 𝟓𝟎𝟎

𝟒𝟎=

6000

40

𝑥 = 150

𝑦 =𝟏𝟑 × 𝟓𝟎𝟎

𝟒𝟎=

6500

40

𝑦 = 162.5

𝑧 =𝟏𝟓 × 𝟓𝟎𝟎

𝟒𝟎=

7500

40

𝑧 = 187.5

Ejemplo 2: Martin, Soledad y Sarah ganaron $25000 en una rifa, si para la compra del boleto Martin aportó 45, Soledad $50 y Sarah $30, ¿Cuánto le corresponde a cada amigo? Usando el valor unitario:

25000

45 + 50 + 30=

25000

125= 200

Por cada peso aportado se gana $200

Premios para cada amigo

Martin 200 × 45 = 9,000

Soledad 200 × 50 = 10,000

Sarah 200 × 30 = 6,000

Usando la regla de 3 simple: Datos: Premio: $25 000 Precio del boleto: $125

$125 $25000 $45 x

$125 $25000 $50 y

$125 $25000 $30 z

𝑥 =𝟒𝟓 × 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟓

𝑥 =1125000

125

𝑦 =𝟓𝟎 × 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟓

𝑦 =1250000

125

𝑧 =𝟑𝟎 × 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟓

𝑧 =750000

125

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𝑥 = 9,000

𝑦 = 10,000

𝑧 = 6, 000

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/aritmetica-pe-pre-u/xce51e392da300f11:razones-y-proporciones/xce51e392da300f11:reparto-proporcional/a/6121-artculo-reparto-proporcional Se sugiere ver el siguiente video: “REPARTO PROPORCIONAL Super fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=1uAbIb-McLo

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

1.- Tres personas abrieron una sastrería y acordaron repartirse las ganancias de cada semana en función del tiempo que trabajará cada quien. a) En la tabla se indica cuánto trabajó cada socio durante la primera semana, así como las ganancias totales. Distribuye las ganancias en función del tiempo trabajado.

Primera semana María Ana Pedro Total

Horas trabajadas (h)

20 8 12

Ganancia que le corresponde ($)

2, 000

b) Distribuye las ganancias de la segunda semana.

Primera semana María Ana Pedro Total

Horas trabajadas (h)

32 12 4

Ganancia que le corresponde ($)

2, 880

¿La suma de lo que ganan los tres juntos es igual a $2 880? ___________________ Ana trabajó el triple de tiempo que Pedro. ¿También ganó el triple? _____________ María trabajó ocho veces lo que Pedro. ¿También ganó ocho veces lo que él? ___________________

Para aprender más

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2.- El tío de Alberto murió dejando una herencia de 46 000 dólares, para que se repartan entre sus tres sobrinos en forma proporcional a sus edades que son 28, 32 y 40 años, ¿Cuánto le corresponde a cada uno de sus sobrinos?

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problemas 1, 2 y 3 ubicados en las páginas 123, 124 y 125.

•

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró resolver los problemas de reparto proporcional. o Logró determinar el valor unitario en los problemas que lo solicitan. o Realizó los problemas de manera autónoma.

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IA Representaciones de la

proporcionalidad inversa.

En la vida cotidiana se pueden encontrar diversas situaciones que implican el uso, de manera directa o indirecta, de la proporcionalidad. En la presente ficha se abordarán las distintas maneras con las que contamos para representar las situaciones de proporcionalidad. Para lograr lo mencionado anteriormente trabajáremos con los siguientes ejemplos: Ejemplo: Se sabe que 3 kilogramos de tortillas cuestan $42, en la siguiente tabla se muestra el precio que habrá que pagar con base en los kilogramos a comprar.

Kilogramos (x)

Precio (y)

1 $14

3 $42

5 $70

8 $112

9 $126

12 $168

Para determinar el precio de un kilogramo se calcula el precio unitario, el cual se obtiene dividiendo 42 entre 3:

42 ÷ 3 = 14 Con base al precio unitario (14) se puede calcular lo que hay que pagar multiplicando los kilogramos a comprar por 14.

Como podrás darte cuenta mientras más kilogramos se compren más habrá que pagar, por tal motivo en la tabla se presenta una situación de proporcionalidad directa. En esta situación el precio unitario recibe el nombre de constante de proporcionalidad (k) debido a que, al momento de calcular los precios, es un valor que no cambia, lo único que sufre cambios son los kilogramos. Empleando esa constante k, los kilogramos representados por la variable x, y el precio representado por la variable y, se puede obtener una expresión algebraica

Qué vamos a aprender: Analizar y comparar situaciones de variación lineal y

proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.

Materiales: libreta, libro de texto.

Te explico

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de la forma 𝒚 = 𝒌𝒙 que permita representar la situación, por tal motivo de la tabla

anterior se puede obtener la siguiente expresión 𝒚 = 𝟏𝟒𝒙. Usando los valores de la tabla se obtienen pares coordenados (𝑥, 𝑦): 𝐴(1, 14), 𝐵(3, 42), 𝐶(5, 70), 𝐷(8, 112), 𝐸(9, 126), 𝐹(12, 168). Los cuales se emplearán para trazar la grafica correspondiente a la situación de proporcionalidad.

Como podrás observar la gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen (0,0). Ejemplo: 6 automóviles participan en una carrera de 1200 kilómetros, la siguiente tabla muestra las velocidades a las que viaja cada auto y el tiempo que tardarán en recorrer los 1200 kilómetros.

Velocidad en km/h

(x)

Tiempo en horas

(y)

60 20

70 17.40

80 15

90 13.3

100 12

120 10

Como puedes observar mientras aumenta la velocidad disminuye el tiempo del viaje, por tal motivo en la tabla se representa una situación de proporcionalidad inversa. Y como vimos en una ficha anterior la constante de proporcionalidad de dicha situación se obtiene multiplicando los valores de “x” y “y”.

60 × 20 = 80 × 15 = 100 × 12 = 1200

Con base a las multiplicaciones se puede concluir que 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 Con base a la constante (k), la velocidad representada por x y el tiempo

representado por y, se puede obtener la expresión algebraica, de la forma 𝒚 =𝒌

𝒙

de la tabla de proporcionalidad inversa.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Precio ($)

Matemáticas 2º S

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IA

Por tal motivo tenemos la siguiente expresión: 𝑦 =1200

𝑥

Al graficar los pares coordenados de la tabla se obtiene la siguiente gráfica:

La línea curva que pueden observar recibe el nombre de hipérbola.

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:algebra-proporcionalidad-directa-e-inversa Se sugiere ver el siguiente video: “PROPORCIONALIDAD DIRECTA Super fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=nP9SwAqhVTI

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

1.- Un automóvil viaja con una velocidad constante de 95 km/h. Completa la tabla para determinar la distancia que recorre con el paso del tiempo.

Para aprender más

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Tiempo en horas

(x)

Distancia en km (y)

1 95

2

3

5

7

9

a) ¿Qué tipo de proporcionalidad está presente en la tabla? __________________________

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad

(k)? _________________________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela la situación del problema? _____________________________

d) ¿Cuántos kilómetros recorrerá el auto al cabo de 21 horas de viaje? ______________

e) Traza la grafica correspondiente a la tabla anterior.

2.- Dos trabajadores tardan 45 días en concluir una obra. Completa la siguiente tabla con el tiempo que tardaran en concluir la obra si aumentan los trabajadores.

Trabajadores (x)

Tiempo en días (y)

1

2 45

3

6

9

15

a) ¿Qué tipo de proporcionalidad está presente en la tabla? __________________________

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad

(k)? _________________________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela la situación del problema? _____________________________

d) ¿En cuánto tiempo se culminará la obra si son 12 trabajadores? ______________

e) Traza la grafica que corresponde a la tabla anterior.

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problemas 1, 2 y 3 ubicados en las páginas 130, 131, 132 y 133.

•

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

Repaso y practico

Lo que aprendí

Matemáticas 2º S

ECU

ND

AR

IA

o Logró completar las tablas de proporcionalidad directa e inversa. o Logró determinar las expresiones de las variaciones de proporcionalidad

directa e inversa. o Logró trazar las gráficas de variaciones de proporcionalidad directa e

inversa. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Matemáticas 2º S

ECU

ND

AR

IA La proporcionalidad inversa en la vida

cotidiana.

En la actividad anterior trabajaste con algunas situaciones que involucran a la proporcionalidad inversa, en la presente ficha te adentrarás un poco más en dicho tema.

Identificación de una relación de proporcionalidad inversa La relación entre magnitudes inversamente proporcionales se utiliza para modelar fenómenos de la física y otras ciencias, así como en distintos contextos sociales, económicos y empresariales. Para identificar si un problema planteado en cualquier contexto corresponde o no a una relación de proporcionalidad inversa, puedes hacer lo siguiente:

1. Analiza el enunciado hasta que lo tengas totalmente claro. 2. Identifica las magnitudes involucradas. 3. Registra los datos proporcionados. 4. Verifica si se cumple que el producto de las magnitudes es constante (o si lo

que te dan es una gráfica, verifica si el producto de los valores de las coordenadas de los puntos es constante).

Cuando un objeto recorre una distancia a velocidad constante V, la distancia d recorrida es directamente proporcional al tiempo transcurrido t: 𝑑 = 𝑉𝑡. Cuando la distancia d es la misma (es decir constante) y se recorre a distinta velocidad, entonces la velocidad es inversamente proporcional al tiempo transcurrido, y podemos calcularla en función del tiempo: 𝑉 = 𝑑/𝑡. Analicemos la siguiente situación: Un camión de carga recorrió cierta distancia a una velocidad constante de 75 kilómetros por hora (km/h) en 12 horas. Otros vehículos, viajando a velocidad constante, recorren la misma distancia en distintos tiempos, que se registran en la tabla.

Qué vamos a aprender: Interpreta y resuelve problemas que se modelan con variación

inversamente proporcional, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

Materiales: libreta, libro de texto.

Te explico

1 SEMANA

Matemáticas 2º S

ECU

ND

AR

IA

Tiempo en horas

(t)

Velocidad en km/h

(V)

6 150

7.5 120

9 100

12 75

15 60

18 50

30 30

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Primero hay que analizar la situación y se menciona en el párrafo anterior que la distancia d es igual a 𝑉𝑡 lo que indica que la situación es de

proporcionalidad inversa, de manera que la constante (k) saldrá de la siguiente forma:

12 × 75 = 900 𝑘𝑚

b) ¿Cuál es la velocidad (y) con la que viajan los demás autos si deben de recorrer la misma distancia?

Para responder esta pregunta se debe de emplear la fórmula para calcular la velocidad (𝑉 = 𝑑/𝑡)

𝑉 =900

6= 150 𝑉 =

900

7.5= 120 𝑉 =

900

9= 100

𝑉 =900

15= 60 𝑉 =

900

18= 50 𝑉 =

900

30= 30

c) Para trazar la gráfica correspondiente emplearemos los valores de la tabla

para obtener los pares coordenados.

Se puede percibir una hipérbola.

Ve

locid

ad

en

km

/h

Tiempo en horas

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ND

AR

IA

d) ¿Cuál es la expresión algebraica que se obtiene de la tabla anterior? Como es una situación de proporcionalidad inversa su expresión algebraica es de la forma 𝑦 = 𝑘/𝑥, donde la variable “y” representa la velocidad, la constante k representa la distancia recorrida y la variable x el tiempo.

𝒚 =𝟗𝟎𝟎

𝒙

Se sugiere revisar el siguiente link: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/proporcionalidad-inversa/ Se sugiere ver el siguiente video: “Reconocer variación directa e inversa: tabla”, ubicado en la siguiente dirección https://youtu.be/-Tsf5xhsolg

Resuelve en tu libreta los siguientes problemas:

1.- La presión es la fuerza que ejercen un gas, un líquido o un sólido sobre una superficie. En el caso de un gas encerrado en un recipiente, la presión es la fuerza que ejercen las partículas del gas sobre las paredes del recipiente. En ciertas condiciones, manteniendo fija la cantidad de gas (el número de partículas del gas) y a una temperatura constante, la presión del gas depende solo del volumen del recipiente. Si el volumen aumenta, las partículas se separan más entre sí y la presión que ejerce el gas disminuye. La ley de Boyle establece que, en estas condiciones, la presión que ejerce el gas es inversamente proporcional al volumen del recipiente en que se encuentra. La presión se mide en atmósferas (atm) y el volumen de un recipiente se mide en decímetros cúbicos (dm3), lo que equivale a medirlo en litros, pues 1 dm3 es equivalente a 1 L. P es inversamente proporcional a V; así, 𝑃𝑉 = 𝑘. En la siguiente tabla se dan los datos obtenidos en un experimento donde se midió la presión P que ejerce un gas en recipientes con distinto volumen.

Volumen en litros (x)

6 8 12 16 24

Presión en atmosferas (y)

20 15 10 7.5 5

a) ¿Cuál es la presión del gas en un recipiente de 10 L? _________________

Para aprender más

Manos a la obra

Matemáticas 2º S

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IA

b) ¿Yen un recipiente de 20 L? _________________

c) ¿Yen un recipiente de 30 L? _________________

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? _________________

e) Completa la expresión algebraica que permite calcular la presión P

conociendo el volumen V: P = _________________

f) ¿Cuál debe ser el volumen de un recipiente para que la presión sea de 8

atm? _________________

g) ¿Cómo estimas que es la gráfica de esta relación: creciente o decreciente?

_________________ ¿Es una curva o es una recta? _________________

h) Traza la gráfica correspondiente, escribe el nombre de los ejes y un título.

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problema 1 ubicado en la página 139 y 140.

• Problema 3 ubicado en la página 142 y 143.

Repaso y practico

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IA

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró completar las tablas de proporcionalidad inversa. o Logró determinar la expresión de las variaciones de proporcionalidad

inversa. o Logró determinar la constante de proporcionalidad inversa. o Logró trazar las gráficas de variaciones de proporcionalidad inversa. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Lo que aprendí

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AR

IA Construcción de polígonos regulares y

teselados.

En la presente ficha se explicará una manera de construir polígonos regulares inscritos: Trazando un pentágono regular (5 lados) 1.- Se traza una circunferencia con su respectivo radio.

2.- Se debe de dividir la circunferencia en 5 partes iguales, y como sabes una circunferencia tiene 360°, por tal motivo habrá que dividir 360 ÷ 5 = 72, esa es la medida de un ángulo central. 3.- Usamos el transportador para ubicar los 72°, y trazar las divisiones pertinentes. Este paso se repite hasta dividir la circunferencia en 5 partes iguales.

Qué vamos a aprender: Deducir y usar las relaciones entre los ángulos de polígonos en la

construcción de polígonos regulares.

Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.

Te explico

1 SEMANA

Matemáticas 2º S

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ND

AR

IA

4.- Una vez dividido la circunferencia se unen los puntos donde se cruzan la circunferencia y los segmentos trazados.

Listo el pentágono regular esta trazado. El método anterior se puede emplear con cualquier polígono regular, solo bastará con determinar la medida de un ángulo central y dividir la circunferencia.

Recuerda que el á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =360°

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

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IA

Teselar el plano.

Antes de nada, creo que es interesante comentar qué es eso de teselar:

Un polígono tesela el plano si podemos rellenar completamente el plano (es decir, sin que queden huecos) con copias de dicho polígono que no se superpongan entre sí.

¿Con qué polígonos podemos teselar el plano?

Aunque en principio se podría pensar que son muchos, y de muchos tipos y características, una primera exploración quizás nos lleve a concluir que en realidad no son tantos. Si nos centramos a polígonos regulares (es decir, a polígonos cuyos lados son iguales y cuyos ángulos interiores tienen la misma medida), sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular son capaces de teselar el plano. Ni el pentágono regular, ni el heptágono regular, ni ningún otro polígono regular puede aspirar a rellenar completamente el plano de la forma comentada. Es decir, en el caso de los polígonos regulares la cosa está completamente resuelta. Se pueden emplear los demás polígonos para teselar el plano, sin embargo, se deben de emplear mas figuras, tanto regulares como irregulares. En la siguiente imagen se puede observar algunos teselados usando las figuras geométricas:

Para aprender más

Matemáticas 2º S

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Se sugiere revisar el siguiente link en el cual se explica otro método para trazar polígonos regulares: https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-circles/hs-geo-inscribed-polygons/v/constructing-regular-hexagon-inscribed-in-circle Se sugiere ver los siguientes videos: “Construcción de Polígonos Regulares Inscritos”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=rgsY6h2EgQA “TESELADOS Super Fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=6rfcIeSXgQ0

1.- Ubica en tu entorno algún teselado y tómale foto para mandárselo al maestro, cuando mandes la foto menciona el tipo de figuras geométricas que lo componen.

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problema 1 ubicado en la página 147.

• Problema 2 ubicado en la página 148.

• Incisos a), b), c), d), e) y f) del problema 6 ubicado en las páginas 150 y 151

• Problema 7 ubicado en la página 152

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró trazar los polígonos solicitados usando el juego de geometría. o Logró identificar los polígonos que pueden teselar el plano. o Logró determinar las características de los polígonos que cubren el plano. o Realizó los problemas de manera autónoma.

Manos a la obra

Repaso y practico

Lo que aprendí

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IA Área de polígonos regulares e

irregulares.

Polígonos regulares.

Como has notado hasta este momento los polígonos regulares tiene sus lados y ángulos iguales y están inscritos en una circunferencia.

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella. Debido a las características mencionadas anteriormente se han establecido formulas que permiten determinar el perímetro y la superficie (área) de dichos polígonos, estas fórmulas se presentan en la siguiente tabla:

T. equilátero Cuadrado Pentágono Círculo

𝑃 = 3𝑐 𝑃 = 4𝑐 𝑃 = 5𝑐 𝑃 = 𝜋 × 𝑑

𝐴 =𝑎 × ℎ

2 𝐴 = 𝑐2 𝐴 =

𝑃 × 𝑎

2 𝐴 = 𝜋 × 𝑟2

Qué vamos a aprender: Calcular el perímetro y el área de polígonos regulares a partir de

diferentes datos.

Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.

Te explico

1 SEMANA

Matemáticas 2º S

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IA

El área de los polígonos regulares que tienen 5 o más lados se calcula a partir de la

formula 𝐴 =𝑃×𝑎

2, donde P es el perímetro y a, es la apotema, la cual se define

como el segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y siempre es perpendicular a dicho lado. A continuación, se presenta un ejemplo: Cada uno de los lados del siguiente octágono regular miden 7 unidades y la apotema es de 8.45 unidades, determina el perímetro y el área de dicho polígono:

Fórmulas: 𝑃 = 8𝑐

𝐴 =𝑃×𝑎

2

Datos: 𝑐 = 7𝑢 𝑎 = 8.45𝑢

𝑃 = 8 × 7𝑢 𝑃 = 56 𝑢

𝐴 =56𝑢 × 8.45𝑢

2

𝐴 =473.2𝑢2

2

𝐴 = 236.6 𝑢2

Polígonos irregulares.

Como sabes un polígono irregular es un polígono que no tiene todos los lados iguales ni todos los ángulos iguales. Para calcular el perímetro de estos polígonos basta con sumar todos los lados de dicha figura, y para calcular su superficie (área) hay que seccionarla en figuras que conozcamos para determinar áreas individuales y después sumarlos para obtener el área total de la figura. Ejemplo: determinar el perímetro y el área del siguiente hexágono irregular. Como se mencionó anteriormente se tiene que sumar todos los lados de la figura:

𝑃 = 4𝑢 + 10𝑢 + 14𝑢 + 10𝑢 + 10𝑢 + 16𝑢

𝑃 = 64𝑢

Ahora para determinar el área de la figura, esta se segmentará en figuras más simples, tal como se muestra en la siguiente imagen:

Matemáticas 2º S

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AR

IA

Al seccionar la figura principal obtenemos 3 polígonos: un rectángulo, un cuadrado y un triángulo. Calculamos las áreas individuales:

Área del rectángulo: 𝐴 = 𝑏 × ℎ

𝐴 = 16𝑢 × 4𝑢

𝐴 = 64𝑢2

Área del cuadrado: 𝐴 = 𝑐2

𝐴 = (6𝑢)2

𝐴 = 36𝑢2

Área del triángulo:

𝐴 =𝑏 × ℎ

2

𝐴 =8𝑢 × 6𝑢

2=

48𝑢2

2

𝐴 = 24𝑢2

Sumamos las áreas para obtener el área total:

𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 64𝑢2 + 36𝑢2 + 24𝑢2

𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 124 𝑢2

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter Se sugiere ver los siguientes videos: “ÁREA DE TODAS LAS FIGURAS Super fácil Para principiantes”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=TZDgCnfDrIE “CALCULANDO ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR | GEOMETRÍA BÁSICA”, ubicado en la siguiente

dirección https://www.youtube.com/watch?v=KkZxpcIllnc

Para aprender más

Matemáticas 2º S

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Resuelve los siguientes problemas en tu libreta: 1.- Juan tiene un rancho e instalará alambre alrededor de los pastizales para que sus animales no escapen, tal como como se muestra en la imagen izquierda.

a) ¿Cuánto alambre necesita para rodear toda su propiedad si pondrá solo dos hilos de alambre?

_______________________

b) ¿Y si pone tres? ________________

c) ¿Cuánto alambre necesita para poner tres hilos alrededor de la propiedad excepto la zona de viviendas? ________________

d) ¿Qué forma tiene la zona de las viviendas?

________________

e) ¿Cuánto alambre necesita para poner cuatro hilos alrededor de esta zona?

________________

2.- Juan quiere comprar el terreno cuyo croquis se muestra en la figura y busca conocer su superficie.

a) ¿En cuántas partes se ha seccionado el terreno? _________ b) ¿Cuáles son las figuras

geométricas que resultaron al

seccionar el terreno? ___________

____________________________

____________________________

____________________________

c) ¿Cuál es la superficie total del terreno? ____________________

Manos a la obra

Repaso y practico

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Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problemas 1 y 2 ubicados en las páginas 154 y 155.

• Problemas 4 y 5 ubicados en la página 157.

• Problema 7 ubicado en la página 159.

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró determinar el perímetro de polígonos regulares. o Logró determinar el área de polígonos regulares o Logró determinar el perímetro de polígonos irregulares. o Logró determinar el área de polígonos irregulares o Realizó los problemas de manera autónoma.

Lo que aprendí

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AR

IA Área del círculo.

Perímetro del Círculo

El perímetro de un círculo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi (𝜋). Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia es 𝑃 = 𝜋 × 2𝑟

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 La razón (división) entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia recibe el nombre de pi (𝜋) y su valor aproximado es 3.1416.

Área del círculo El área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi (𝜋)

𝐴 = 𝜋 × 𝑟2. Veamos algunos ejemplos: Un caballo está amarrado a un poste mediante una cuerda de 3 m de largo.

a) Si el caballo comienza a dar vueltas con la cuerda extendida al máximo, ¿Cuántos

metros puede caminar al dar una vuelta completa?

b) ¿Cuánto avanza al dar 7 vueltas completas?

c) ¿Cuál es la superficie que tiene para pastar?

Cuando el caballo gira se forma un círculo

Qué vamos a aprender: Calcular el perímetro y el área de polígonos regulares y del

círculo a partir de diferentes datos.

Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.

Te explico

1 SEMANA

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IA

a) Cuando el caballo da vueltas está recorriendo el contorno del círculo y como bien sabes ese contorno es el perímetro, por este motivo para responder la pregunta a) se debe de calcular la longitud de la circunferencia.

Datos:

Radio (𝑟) = 3 𝑚

Fórmula:

𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

Operaciones: 𝑃 = 2(3.1416)(3 𝑚)

𝑃 = 18.8496 𝑚

La distancia que camina el caballo al dar una vuelta es de 18.85 m

b) Como ya se sabe lo que avanza el caballo avanza al dar una vuelta, solo basta con multiplicar el resultado anterior por 7 para obtener lo que se solicita en el inciso b)

Cuando el caballo da 7 vueltas habrá recorrido 131.95 m

c) En la pregunta c) se solicita la superficie, lo que significa que habrá que determinar el área del círculo.

Datos:

Radio (𝑟) = 3 𝑚

Fórmula:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2

Operaciones: 𝐴 = 3.1416 (3 𝑚)2

𝐴 = 3.1416(9 𝑚2)

𝐴 = 28.2744 𝑚2

El caballo tiene 28.27 𝑚2 de superficie para pastar. NOTA: Al momento de calcular perímetro y área del circulo, se puede trabajar con términos de pi (𝜋). Por tal motivo las respuestas quedarían de la siguiente manera:

a) Datos:

Radio (𝑟) = 3

Fórmula:

𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟

Operaciones: 𝑃 = 2(𝜋)(3)

𝑃 = 6𝜋

b) Al dar 7 vueltas: 7(6𝜋) = 42𝜋

c)

Datos:

Radio (𝑟) = 3

Fórmula:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2

Operaciones: 𝐴 = 𝜋 (3 )2

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ND

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IA

𝐴 = 𝜋 (9 )

𝐴 = 9𝜋

Se sugiere revisar el siguiente link: https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/calcular-perimetros/#:~:text=Per%C3%ADmetro%20de%20un%20c%C3%ADrculo%20es%20igual%20a%20PI%20por%20el,Per%C3%ADmetro%20de%20un%20c%C3%ADrculo%20%3D%202. Se sugiere ver los siguientes videos: “PERIMETRO DEL CIRCULO Super fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=4MYS2vFkOc0 “ÁREA DEL CÍRCULO Super Fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=iqefaBihj7U

Resuelve los siguientes problemas en tu libreta: 1.- Completa la siguiente tabla (Considera el valor de 𝜋 como 3.14):

Radio Diámetro Circunferencia

7 m

18 cm

5 dm

75.36 km

2.- La bomba atómica de Hiroshima al explotar generó una ola de calor de más de 4.000 °C en un radio de aproximadamente 4.5 km a la redonda. ¿Cuá fue la superficie total de destrucción de dicha bomba? Considera 3.14 como el valor de 𝜋

Para aprender más

Manos a la obra

Matemáticas 2º S

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IA

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problemas 3 y 4 ubicados en la página 165.

• Problema 5 ubicado en la página 166.

• Problema 6 ubicado en la página 167.

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

o Logró determinar el perímetro del círculo. o Logró determinar el área del círculo o Realizó los problemas de manera autónoma.

Repaso y practico

Lo que aprendí

Matemáticas 2º S

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ND

AR

IA Gráficas de línea.

Gráficas de línea.

Los gráficos de líneas muestran tendencias o cambios a lo largo del tiempo mostrando una serie de puntos de datos conectados por líneas rectas. Puede mostrar una o más series en un gráfico de líneas. Las gráficas de líneas se usan para hacer un seguimiento de los cambios a lo largo de períodos de tiempo breves o extensos y para ayudar en análisis de datos predictivos. Si existen cambios pequeños y frecuentes en la serie, los gráficos de líneas son más eficaces que los gráficos de barras para visualizar el cambio a lo largo del tiempo. Los gráficos de líneas también resultan útiles para comparar los cambios a lo largo del mismo período de tiempo en varios grupos o categorías. ¿Cómo se construyen? Una forma simple de construir una gráfica de línea simple que muestre frecuencias, es partiendo de una gráfica de barras, donde un punto se coloca en la parte superior del centro de cada barra, luego todas las barras se borran y los puntos se conectan con una línea. El polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de este tipo. En general una gráfica de líneas se construye señalando puntos los cuales corresponden a cada valor de los datos ordenados de acuerdo a un criterio y luego se unen éstos mediante segmentos de rectas. Los pasos para construir el gráfico de líneas son los siguientes:

• En el eje horizontal (eje de abscisas) se colocan los períodos de tiempo (meses, años, trimestres, …)

• En el eje vertical (eje de ordenadas) se colocan las frecuencias absolutas o relativas.

• Se señalan los puntos. A cada período de tiempo le corresponde un punto en el valor de su frecuencia.

• Se unen mediante segmentos lineales los puntos consecutivos.

Qué vamos a aprender: Recolectar, registrar y leer datos en histogramas, polígonos de

frecuencia y graficas de línea.

Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.

Te explico

1 SEMANA

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IA

Ejemplo: Se quiere comparar la deuda pública en el año 2012 de ocho países: España, México, Ecuador, Guatemala, Estados Unidos, Colombia, Perú y Argentina. Para ello, se obtienen los datos de la deuda pública de los países y se divide por el PIB (Producto Interior Bruto) de cada uno de ellos. Los porcentajes de deuda respecto PIB son los siguientes:

A partir de la información de la tabla se construyó la siguiente gráfica de línea:

Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/represent-and-interpret-data/imp-line-plots/a/line-plots-review

Para aprender más

Matemáticas 2º S

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Se sugiere ver los siguientes videos: “PERIMETRO DEL CIRCULO Super fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=4MYS2vFkOc0 “ÁREA DEL CÍRCULO Super Fácil”, ubicado en la siguiente dirección

https://www.youtube.com/watch?v=iqefaBihj7U

Resuelve los siguientes problemas en tu libreta: 1.- La siguiente tabla muestra el pronóstico de temperatura de una ciudad para diferentes horas del día.

Hora 2:00 5:00 8:00 11:00 14:00 17:00 20:00 23:00

Temperatura 14° 12° 15° 25° 30° 29° 21° 16°

a) Elabora una gráfica de línea en tu libreta con la información de la tabla

anterior.

b) ¿Cuál sería la temperatura más baja y qué hora del día sería? __________________________________________

c) ¿Cuál sería la temperatura más elevada y a qué hora sería? __________________________________________

Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:

• Problema 1 ubicado en la página 171.

• Problema 2 ubicado en la página 172.

• Problema 4 ubicado en la página 174.

• Inciso a) del problema 5 ubicado en la página 175.

Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:

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Repaso y practico

Lo que aprendí

Matemáticas 2º S

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IA

o Logró construir las gráficas de línea con la información proporcionada. o Logró interpretar la información proporcionada por las gráficas o Realizó los problemas de manera autónoma.