Notacin cientfica

La notacin cientfica es un recurso matemtico empleado para simplificar clculos y representar en forma concisa nmeros muy grandes o muy pequeos. Para hacerlo se usan potencias de diez. Bsicamente, la notacin cientfica consiste en representar un nmero entero o decimal como potencia de diez. En el sistema decimal, cualquier nmero real puede expresarse mediante la denominada notacin cientfica. Para expresar un nmero en notacin cientfica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el nmero a convertir es mayor que 10, en cambio, si el nmero es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el nico dgito que quede a la izquierda de la coma est entre 1 y 9 y que todos los otros dgitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es ms fcil entender con ejemplos: 732,5051 = 7,325051 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda) 0,005612 = 5,612 103 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Ntese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendr la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y as sucesivamente. Nota importante: Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 ser positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 ser negativo.

Otro ejemplo, representar en notacin cientfica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella slo quede un dgito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 La coma se desplaz 3 lugares.

2. El nmero de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notacin cientfica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 103Operaciones con nmeros en notacin cientfica

Multiplicar Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones cientficas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10. Ejemplo: (5,24 106) (6,3 108) = 5,24 6,3 106 + 8 = 33,012 1014 = 3,301215 Veamos el procedimiento en la solucin de un problema: Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, qu distancia recorrer en 1.300 s? 1. Convierte las cantidades a notacin cientfica. 26,83 m/s = 2,683 101 m/s 1.300 s = 1,3 103 s 2. La frmula para calcular la distancia indica una multiplicacin: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo (t). d = Vt Reemplazamos los valores por los que tenemos en notacin cientfica d = (2,683 101 m/s) (1,3 103 s) 3. Se realiza la multiplicacin de los valores numricos de la notacin exponencial, (2,683 m/s) x 1,3 s = 3,4879 m. 4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicacin de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes. (101) (103) = 101+3 = 104

5. Del procedimiento anterior se obtiene: 3,4879 104 Por lo tanto, la distancia que recorrera el ferrocarril sera de 3,4879 104 m La cifra 3,4879 10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.

Dividir Se dividen las expresiones decimales de las notaciones cientficas y se aplica divisin de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notacin cientfica. Hagamos una divisin: (5,24 107) (6,3 104) = (5,24 6,3) 1074 = 0,831746 103 = 8,31746 101 103 = 8,31746 102

Suma y resta Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notacin cientfica, como en este ejemplo:

5,83 109 7,5 1010 + 6,932 1012 = lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la ms pequea de las potencias de 10, en este caso el factor ser 109 (la potencia ms pequea), y factorizamos:

109 (5,83 7,5 101 + 6,932 103) = 109 (5,83 75 + 6932) = 6.862,83 109 Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notacin cientfica y nos queda:

6,86283 1012, si eventualmente queremos redondear el nmero con solo dos decimales, este quedar 6,86 1012. Ver: PSU: Matemtica, Pregunta 06

Potenciacin Si tenemos alguna notacin cientfica elevada a un exponente, como por ejemplo (3 106)2 qu hacemos? Primero elevamos (potenciamos) el 3, que est al cuadrado (32) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo: 9 1012

NOTACIN CIENTFICA

La Notacin Cientfica nos ayuda a poder expresar de forma ms sencilla aquellas cantidades numricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeas.

Se conoce tambin como Notacin Exponencial y puede definirse como el Producto de un nmero que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicndose por la potencia de 10.

Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad: 139000000000 cm. Ahora lo llevamos a la mnima expresin y tenemos como respuesta:

Cmo lo llevamos a la mnima expresin? 1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada nmero de derecha a izquierda, hasta llegar al ltimo nmero entero. 2. Antes de llegar a dicho nmero, separamos la cantidad con un punto dejando como compaa dos decimales ms, (en ste caso 3 y 9). 3. Por ltimo, multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada nmero). Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm. En ste caso, el procedimiento ser de la siguiente manera: 1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer nmero diferente de cero (en ste caso 9). 2. Separamos el nmero seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante. 3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, ser negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta nicamente los nmeros enteros. Es decir, que tenemos como resultado:

O bien:

Aproximado, en donde la respuesta tambin sigue siendo vlida.

Cabe mencionar, que se seleccionaron nicamente los nmeros enteros, debido a que en trminos matemticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos.

La Notacin Cientfica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Bsicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicacin y Divisin. Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones.

Notacin cientficaSaltar a: navegacin, bsqueda La notacin cientfica (o notacin ndice estndar) es una manera rpida de representar un nmero utilizando potencias de base diez. Esta notacin se utiliza para poder expresar fcilmente nmeros muy grandes o muy pequeos. Los nmeros se escriben como un producto:

siendo: un nmero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente. un nmero entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud. La notacin cientfica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en pases de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Contenido[ocultar]

1 Historia 2 Escritura 3 Usos 4 Operaciones matemticas con notacin cientfica o 4.1 Suma y resta o 4.2 Multiplicacin o 4.3 Divisin o 4.4 Potenciacin o 4.5 Radicacin 5 Discrepancia de nomenclatura 6 Vase tambin 7 Enlaces externos

[editar] Historia

Arqumedes, el padre de la notacin cientfica. El primer intento de representar nmeros demasiados grandes fue emprendido por el matemtico y filsofo griego Arqumedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ide un sistema de representacin numrica para estimar cuntos granos de arena existan en el universo. El nmero estimado por l era de 1063 granos. Ntese la coincidencia del exponente con el nmero de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el nmero de dgitos, siendo la ltima casilla la N 64 el exponente sera 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al ltimo casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos). A travs de la notacin cientfica fue concebido el modelo de representacin de los nmeros reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

[editar] Escritura

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 107 = 10 000 000 108 = 100 000 000 109 = 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n1 ceros) 1:

101 = 1/10 = 0,1 102 = 1/100 = 0,01 103 = 1/1 000 = 0,001 109 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un nmero como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,562341029, y un nmero pequeo como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrn) puede ser escrito como 9,109391031kg.

[editar] UsosPor ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,61026 m y la masa de un protn es 1,6710-27kg. La mayora de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeos en notacin cientfica; la base 10 se omite generalmente y se utiliza la letra E (mayscula o minscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,56234E29. Ntese que esto no est relacionado con la base del logaritmo natural tambin denotado comnmente con la letra e. La notacin cientfica es altamente til para anotar cantidades fsicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos lmites de error y al anotar slo los dgitos significativos se da toda la informacin requerida de forma concisa. Para expresar un nmero en notacin cientfica debe expresarse en forma tal que contenga un dgito (el ms significativo) en el lugar de las unidades, todos los dems dgitos irn entonces despus del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238 294 360 000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.

[editar] Operaciones matemticas con notacin cientfica[editar] Suma y restaSiempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicndolo o dividindolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente. Ejemplo: 2105 + 3105 = 5105 3105 - 0.2105 = 2.8105 2104 + 3 105 - 6 103 = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 105 + 3 105 - 0,06 105 = 3,14 105

[editar] MultiplicacinPara multiplicar cantidades escritas en notacin cientfica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes. Ejemplo: (41012)(2105) =81017

[editar] DivisinPara dividir cantidades escritas en notacin cientfica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Ejemplo: (4810-10)/(12101) = 410-11

[editar] PotenciacinSe eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (3106)2 = 91012.

[editar] RadicacinSe debe extraer la raz del coeficiente y se divide el exponente por el ndice de la raz. Ejemplos:

Notacin CientficaEl ms notable hombre de Ciencia de la antigedad griega fue sin duda Arqumedes, quien naci en Siracusa, Sicilia, en el ao 287 a.C. Adems de sus contribuciones geniales a la Matemtica y la Fsica de su poca, dise maquinaria de guerra totalmente original que permiti a su ciudad natal resistir por dos aos los ataques de los romanos, quienes por va martima, mantenan un cerco a la ciudad. Espejos que, a distancia, hacan prender fuego a los navos romanos, catapultas de increble precisin, y muchas otras ingeniosas armas de gran originalidad impresionaron al general romano Marcelo, quien tena a su cargo los ataques contra Siracusa.

Arqumedes

An hoy los hombres y mujeres de Ciencia se asombran al estudiar los trabajos cientficos de Arqumedes. Todos los clculos fueron realizados por l con gran precisin, en una poca en que el sistema decimal de numeracin no exista. En aquel entonces, en Grecia los nmeros eran representados por letras. Cada letra del alfabeto griego representaba un nmero. Al igual que el sistema de numeracin romano, el sistema de los griegos ofreca dificultades para los clculos con nmeros grandes. Los contemporneos de Arqumedes pensaban que el nmero de elementos de un conjunto slo poda ser expresado hasta un cierto lmite. A partir de all, las cantidades eran consideradas "no calculables''. Pero Arqumedes se propuso demostrar que, toda cantidad, por muy grande que fuese, poda ser calculada. Con ese fin, escribi un libro llamado Psammit, que significa "computador de arena''. En l, responde a la pregunta siguiente: Cuntos granos de arena son necesarios para llenar todo el Universo? Para hacer sus clculos, Arqumedes cre un sistema de numeracin apropiado para hacer operaciones con nmeros muy grandes. Llam a una mirada, y a , una mirada de miradas.

Los nmeros eran agrupados, en el sistema de Arqumedes, en intervalos (llamados octavas) de en , de la siguiente manera:

y as sucesivamente. Arqumedes tom como ciertas las ideas que tena el astrnomo Aristarco de Samos sobre el Universo. De acuerdo a esta concepcin del Universo, ste era una esfera, en cuyo centro estaba el Sol, y la Tierra giraba en torno al Sol. El radio del Universo sera la distancia entre el Sol y las estrellas inmviles. Despus de una serie de clculos complicados, Arqumedes llega a la conclusin de que en el Universo caben aproximadamente granos de arena. En palabras, ese nmero era expresado as: "mil miradas de nmeros octavos''. Los "nmeros octavos'' eran aquellos que pertenecan a la 8va octava, es decir, que estaban entre y . Tomando el ms pequeo de los "nmeros octavos'', que es , se tiene

De manera que mil miradas de nmeros octavos sera:

Galaxia Para los cientficos que se ocupan de estudiar fenmenos y objetos de dimensiones muy grandes, como los que se estudian en astronoma, por ejemplo, es muy til la potenciacin, porque les permite trabajar y operar con nmeros muy grandes con cierta facilidad. La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrmeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a: Kms la cual se puede escribir tambin como Ms an, este nmero se puede escribir como , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. .

Todas estas expresiones representan la misma cantidad, y la llamada Notacin Cientfica es aquella que escoge la expresin , por la razn siguiente: el nmero que multiplica a la potencia de 10 es un nmero entre 1 y 10. Para obtener esta expresin a partir del nmero original que es:

se coloca una marca entre el 9 y el 5

y luego se cuentan los dgitos a la derecha del 9. En este caso, son 19, y esto significa que si se multiplica a 9,5 por se obtiene exactamente el nmero dado. Otro ejemplo: La masa del Sol en kilogramos es:

para expresar este nmero en notacin cientfica, basta con contar los dgitos que hay a la derecha del 1, que son 30 en total, y se escribe:

El nmero de molculas en 22,4 litros de un gas es:

es decir,

.

Claramente, la notacin cientfica permite, al menos, escribir de manera ms breve los nmeros muy grandes. A continuacin se realizarn algunas operaciones con nmeros en notacin cientfica para mostrar que tambin los clculos con nmeros muy grandes se facilitan al usar esta notacin. Si se quieren multiplicar los siguientes nmeros, por ejemplo:

se usan las propiedades asociativa y conmutativa del producto, para escribir, equivalentemente,

se multiplica, por un lado y por otro, al multiplicar obtiene , usando las propiedades de la potenciacin.

se

Finalmente, se obtiene Si se realiza una divisin, por ejemplo:

.

Puede escribirse la operacin indicada como una expresin fraccionaria:

y esto es igual a

Por lo tanto, el resultado de la operacin planteada es Esto es ms sencillo que operar directamente con los nmeros:

.

Si se trata de sumas y restas de nmeros en notacin cientfica, debe primero observarse si los exponentes de 10 que intervienen en los nmeros en cuestin son nmeros cercanos o no. Por ejemplo, si se quiere sumar:

hay que observar que el segundo sumando es mnimo en comparacin con el primero, y en ese caso se considera despreciable esa cantidad; y la suma resulta, de manera aproximada, igual al primer sumando:

Si se trata de la suma de dos nmeros escritos en notacin cientfica, como los siguientes:

(Obsrvese que los exponentes, 28 y 26 son nmeros cercanos).

se escribe, entonces:

Ahora se suman, usando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto:

se regresa a la notacin cientfica:

Si has realizado estas operaciones correctamente, has comprendido lo necesario para hacer clculos en notacin cientfica adecuadamente. Si has cometido errores, regresa a la lectura del texto anterior y asegrate de comprender bien cada lnea leda. sta es una clave para la excelencia en Matemticas: comprender a cabalidad cada detalle ledo.

Orden de magnitudComo se acaba de ver, es til, a la hora de realizar operaciones con nmeros en notacin cientfica, observar el exponente de 10, esto es, tener claro qu tan grande es un nmero en relacin a otro con el que se deba operar. Esto es lo que se denomina determinar el orden de magnitud de un nmero expresado en notacin cientfica. Por ejemplo, el orden de magnitud de 4.500.000.000 es entre y . En efecto, , porque es un nmero que est

Si se escribe en notacin cientfica, el nmero en cuestin es

.

en general, el orden de magnitud de un nmero escrito en notacin cientfica

es igual a

.

Otros ejemplos: La distancia entre el Sol y la Tierra es de

en notacin cientfica, esto es este nmero es .

m., y el orden de magnitud de

La distancia aproximada de Plutn al Sol es de 5.910.000.000 Km., es decir, km. El orden de magnitud de este nmero es .

Los astrnomos usan el trmino "ao-luz'' para representar la distancia recorrida por la luz en 1 ao.

La velocidad de la luz es de km/seg. para calcular, en kilmetros, la distancia que representa un ao-luz, hay que conocer la cantidad aproximada de segundos que tiene 1 ao. Sabiendo que esta cantidad es , en un ao la luz recorre:

Notacin cientfica para nmeros extremadamente pequeos.As como los cientficos usan nmeros gigantescos, tambin utilizan nmeros muy pequeos, como el que representa la masa de un protn, una de las partculas del tomo:

como las potencias con exponente negativo representan inversos de potencias positivas, es decir, por ejemplo:

y el inverso de es un nmero muy pequeo, son las potencias con exponente negativo precisamente las que permiten expresar nmeros como la masa de un protn de manera ms breve:

El exponente -24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el nmero en cuestin hasta llegar al primer dgito distinto de cero (contando este dgito).

La carga de un electrn es

en notacin cientfica:

Coulomb.

A continuacin se realizarn algunas operaciones usando notacin cientfica para nmeros muy pequeos.

Lo nico que se ha utilizado son las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicacin, as como las propiedades de la potenciacin. Para realizar la siguiente divisin:

se puede escribir as:

, y

por lo tanto, el resultado es

. Un nmero extremadamente grande!

Este resultado podra parecer extrao: al dividir un nmero muy pequeo entre otro ms pequeo an, se obtiene un nmero muy grande. Sin embargo, no es tan extrao como parece. Ms bien es lgico: Si se comparan las fracciones

Si n < m, se sabe que