Notas Bloque 1 Mate 1

Matemáticas I L.E.M. Gaspar Arceo

1

BLOQUE 1

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS

Para leer y escribir números se debe tomar en cuenta que hay ciclos de tres dígitos que se

van repitiendo conformando las llamadas unidades, decenas y centenas.

C D U

3 5 8

Así el número escrito se lee trecientos cincuenta y ocho.

Sin embargo hay que tomar en cuenta que esta estructura (C-D-U) puede continuar

formando así los millares (miles), posteriormente los millones, los millares de millón, los

billones, los millares de billón y así sucesivamente conformando una estructura de la forma

Millares de

billón Billones

Millares de

millón Millones Millares

C D U C D U C D U C D U C D U C D U

Así entonces los números 2569264901 y 37204825156494 se leerían:

Millares de

billón Billones

Millares de

millón Millones Millares

C D U C D U C D U C D U C D U C D U

2 5 6 9 2 6 4 9 0 1

Dos mil

Quinientos

sesenta y

nueve

millones

Doscientos

sesenta y

cuatro mil

Novecientos

uno

3 7 2 0 4 8 2 5 1 5 6 4 9 4

Treinta y

siete

billones

Doscientos

cuatro mil

Ochocientos

veinticinco

millones

Ciento

cincuenta y

seis mil

Cuatrocientos

noventa y

cuatro

Podemos notar que las palabras claves para leer y escribir son MIL, MILLONES y

BILLONES


2

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Todos los números que conocemos pertenecen a los llamados números reales, sin embargo,

de acuerdo a sus características los números pueden agruparse en categorías más

particulares, estas son:

Naturales: Son aquellos números que no tienen parte decimal (exactos) y todos son

positivos, comienzan en el 1 y no tienen un fin. Se simbolizan con una letra N estilizada

“ ”

* +

Enteros: Son aquellos números que no tienen parte decimal pero ya no importa el signo,

pueden ser positivos, negativos o incluso el cero, de ahí que los números naturales estén

contenidos en los números enteros. Se simbolizan con “ ” y no tienen inicio ni fin

* +

Racionales: En este conjunto no podemos colocar todos sus elementos uno por uno como

en los grupos anteriores, sin embargo para llamarse racional un número debe cumplir con

tres condiciones: poder ser reescrito como una fracción de dos números, estos números

deben ser enteros (exactos), y el de abajo no puede ser el número cero; también son los

números que tienen decimales en una forma cíclica ( ̅, ̅̅̅̅ ). Los números

enteros se encuentran contenidos dentro de los racionales y por lo tanto los naturales

también. Se simbolizan con la letra “ ”

{

}

Irracionales: Son todos los números que NO son racionales, es decir que no pueden ser

reescritos como la división de dos números exactos. Se simbolizan de las siguientes

maneras “ ” ó “ ”. Un número o es racional o es irracional, no puede estar en ambas

clasificaciones a la vez. Generalmente son el numero pi y las raíces que no dan resultado

exacto


3

Reales: Son todos los número conocidos en la realidad, contienen a todos los grupos

anteriores de números. Se simbolizan con “ ”

Estos grupos pueden verse en el siguiente esquema:

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

Cero

Exactos negativos

División no

exacta

Positivos

Negativos

Irracionales Positivos

Negativos

Podemos ver que si un número fuera natural automáticamente seria entero (por estar dentro

de su llave) pero no viceversa, igual si es entero automáticamente es racional.

Propiedades de los números

Los números tienen ciertas propiedades aplicables a la operación suma y a la operación

multiplicación:

Cerradura: Dados dos números reales su suma y su multiplicación da como resultado un

número real

{

Conmutativa: Dados dos números reales, no importa el orden en que se sumen o se

multipliquen, el resultado no se altera

{


4

Asociativa: Dados tres números reales, da lo mismo hace la suma del primer número con el

segundo y el resultado sumarlo al tercer número a hacer la suma del segundo número con el

tercero y el resultado sumarlo con el primero, también aplica para la multiplicación

{( ) ( )( ) ( )

Existencia de Neutros: Los neutros son dos números, para la adición (neutro aditivo = 0) y

para la multiplicación (neutro multiplicativo = 1), que al sumarlo o multiplicarlo por otro

número no modifican el valor de este último

{

Existencia de Inversos: Son números que al sumarlos o multiplicarlos por algún otro

generan a los neutros

{ ( )

Distributiva: Dados tres número, uno de ellos multiplicando a la suma de los otros dos, da

lo mismo hacer primero la suma y el resultado multiplicarlo por el número restante, a hacer

la multiplicación del primer número con los otros dos y los resultados sumarlos

( ) ( ) ( )

OPERACIÓN SUMA Y RESTA

Para sumar y restar hay que tener en cuenta que si se está operando números con el mismo

signo (ambos positivos o ambos negativos) los valores se sumaran, pero si se está

operando números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) los valores se

restarán, y siempre se conserva el signo del número más grande.

Con base en estas reglas al realizar operaciones de números con signo podemos sumar

todos los positivos y aparte todos los negativos para tener uno solo de cada signo y estos

últimos por ser de signos contrarios restarlos, por ejemplo:


5

Sumando Positivos Sumando Negativos

Resta Final

Por lo tanto:

OPERACIÓN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

En el caso de estas operaciones las reglas de los signos son otras: Si se multiplican o

dividen números con el mismo signo se operan los números y el resultado es positivo, si los

signos son diferentes el resultado es negativo.

En ambos casos pueden operarse primero los signos y después los números, por ejemplo:

( )( )( )( )( )

Tomando los primeros dos signos (diferentes) da resultado negativo, el cual con el siguiente

negativo (iguales) da resultado positivo, que con el siguiente negativo (diferentes) da

negativo y con el último positivo (diferentes) al final da negativo. Multiplicando los

números se obtiene 288. Por lo tanto:

( )( )( )( )( )

ELEMENTOS DE LAS OPERACIONES

Cada una de las operaciones antes mencionadas consta de diferentes partes:

Operación Ejemplo Elementos y su función

Suma

5

8

1 3

Sumandos: Son los números que se van a juntar (5 y

8)

Suma: Es el resultado de la operación (13)


6

Resta

1 2

5

7

Minuendo: Es el número al cual se le va a quitar un

determinado valor (12)

Sustraendo: Es la cantidad que se le va a quitar al

minuendo (5)

Resta: Es el resultado de la operación (7)

Multiplicación

3

8

2 4

Factores: Son el número que se va a sumar repetidas

veces (3) y el número de veces que se deba sumar

(8)

Producto: Es el resultado de la operación (24)

División

2

3 7

1

Dividendo: Es el número que se va a seccionar (7)

Divisor: Partes iguales en las que se debe seccionar

al dividendo (3)

Cociente: Es el resultado de la operación y el

número de veces que cabe el divisor en el dividendo

(2)

Residuo: El la cantidad que sobra después de dividir

al dividendo (1)

POTENCIACIÓN

La potenciación es la operación en la cual un número llamado base se multiplica por sí

mismo tantas veces como indique otro número llamado exponente. El resultado de la

operación se denomina potencia.

Potenciación

Base: Es el número que se va a multiplicar por sí

mismo varias veces (2)

Exponente: Es el número de veces que se va a

multiplicar por sí misma la base (3)

Potencia: Es el resultado de la operación (8)

Por ser una operación posee sus propiedades:

Propiedad Descripción

1 Cuando se tiene una multiplicación con bases iguales se

conserva dicha base y los exponentes se suman

2

Cuando se tiene una división con bases iguales se

conserva dicha base y los exponentes se restan, el del

dividendo menos el del divisor


7

3 ( ) Cuando se tiene una base con su exponente y esta elevado

a otro exponente se conserva dicha base y los exponentes

se multiplican

4 Cualquier cantidad elevada al exponente cero da como

resultado uno

5 Cualquier cantidad elevada al exponente uno da como

resultado la mima cantidad

6

Cualquier cantidad elevada a un exponente negativo

genera una fracción cuyo numerador es el número uno y

el denominador es la misma cantidad pero con el

exponente positivo

7 ( ) Si se tiene una multiplicación de dos bases afectadas por

un solo exponente, dicho exponente afecta por separado a

las dos bases y los resultados se multiplican (no

confundir con la primera propiedad)

8 .

/

Si se tiene una división de dos bases afectadas por un

solo exponente, dicho exponente afecta por separado a las

dos bases y los resultados se dividen (no confundir con la

segunda propiedad)

9 ( ) Si se tiene una cantidad negativa elevada a un exponente

par se desarrolla la potencia y el resultado será positivo,

pero si el exponente es impar el resultado será negativo

Basándonos en estas propiedades podemos desarrollar potencias más elaboradas, por

ejemplo:

Hallar el valor de .

/

Aplicando las propiedades anteriores tenemos los siguientes pasos

(

)

Por la propiedad 8 separamos el numerador del denominador

cada uno con el exponente 2

( )

( )

Por la propiedad 7 separamos los factores tanto del

numerador como del denominador cada uno con su

exponente 2

( ) ( )

( ) ( )

Observamos que tenemos bases con exponentes elevados a

otro exponente, entonces por la propiedad 3 conservamos las

bases y multiplicamos los exponentes

Por la propiedad conmutativa de los números reales

reordenamos los factores del numerador y del denominador

Vemos que tanto a la derecha como a la izquierda de la

fracción tenemos divisiones de bases iguales, por la

propiedad 2 restamos los exponentes


8

Como queda un exponente negativo aplicamos la propiedad 6

y generamos una fracción de nuevo

Desarrollando las expresiones finales tenemos el resultado

Resultado final

RADICACIÓN

Esta es la operación opuesta a la potenciación. El objetivo es hallar un número llamado raíz

que al multiplicarse por si mismo las veces que indique otro número llamado índice de

como resultado otro número ya establecido llamado radicando.

Radicación

3

64 4

Raíz: Es el resultado de la operación y el número

que se debiera multiplicar por sí mismo varias veces

(4)

Índice: Es el número que indica las veces que se

multiplicaría por sí misma la raíz (3)

Radicando: Es el número del que se parte y al que

se debiera llegar a través de la raíz (64)

Para hallar la raíz de un número podemos probar con algunos valores hasta que nos resulte

el deseado, por ejemplo: √

significa hallar un valor que multiplicado por si mismo de

243

El 1 por si mismo siempre dará 1 así que no tiene caso probarlo

El 2 y todos los números pares por si mismos darán un número par y el 243 es

impar así que no tiene caso probarlo

Probando el tres: 3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 243

Por lo tanto la raíz es: √

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Dentro de las operaciones ya mencionadas se da una jerarquía en cuanto al orden de

operarlas, primero se deben realizar las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y

las divisiones y de último las sumas y las restas, todas de izquierda a derecha:


9

Potenciación y radicación

→

Multiplicación y división

Adición y sustracción

Por ejemplo, al resolver la operación √ se obtiene lo siguiente:

√ 4

→

→ Resolviendo potencias y raíces

4

Resolviendo multiplicaciones y divisiones

Resolviendo sumas y restas

28

Existen además tres signos para representar agrupaciones de operaciones, estos son los

paréntesis “( )”, los corchetes “[ ]” y las llaves “{ }”. Se acostumbra colocar a los paréntesis

dentro de los corchetes y estos dentro de las llaves para representar “niveles” o prioridades

al realizar ciertas operaciones. En caso de estar presente alguno de estos signos de

agrupación dentro de una secuencia de operaciones primero se deben eliminar estos

realizando las operaciones que contengan siguiendo la jerarquía ya mencionada y una vez

desaparecidos todos realizar las operaciones finales siguiendo la jerarquía de operaciones

nuevamente, por ejemplo, al resolver la operación ,( ) ( )-

obtenemos:

Como podemos ver tenemos paréntesis dentro de corchetes, entonces tenemos que eliminar

primero a dichos paréntesis, realizando las operaciones dentro de ellos tenemos

Primer

paréntesis

Segundo

paréntesis

( ) ( )

→

Realizando primero la

multiplicación y luego

la suma por la jerarquía

de las operaciones

obtenemos

→

Realizando únicamente

la suma tenemos


10

La operación inicial quedaría de la siguiente forma:

,( ) ( )- , -

Tenemos aún un corchete, procedemos a eliminarlo:

Corchete

, -

→

Realizando las sumas y

restas tenemos

La igualdad quedaría ahora: , - , puesto que nos queda un signo negativo dentro del

corchete y le precede un signo positivo, de acuerdo con la ley de los signo quedaría un

signo negativo finalmente resultando:

,( ) ( )- , - , -

Por lo tanto la operación inicial tiene un valor de:

,( ) ( )-

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Existen reglas para saber si un número se puede dividir entre otro con solo analizarlo y sin

realizar la operación:

Entre Criterio

2 Si el número termina en 0, 2, 4, 6 u 8

3 Si al suma de las cifras que forman el número es divisible entre 3

4 Si el número formado por las últimas dos cifras es divisible entre 4

5 Si el número termina en 0 o 5

6 Si es divisible entre 2 y 3 al mismo tiempo

8 Si el número formado por las últimas tres cifras es divisible entre 8

9 Si al suma de las cifras que forman el número es divisible entre 9


11

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Divisor: Número que puede dividir de manera exacta a otro. 3 es divisor de 12 porque lo

divide de manera exacta y resulta 4

Múltiplo: Número que puede ser dividido de manera exacta entre otro. 15 es múltiplo de 5

porque puede dividirse de manera exacta entre el y da a 3

Número primo: Número que solo puede dividirse de manera exacta entre si mismo y entre

el uno (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …)

Número compuesto: Número que además de sí mismo y el uno tiene algún otro divisor (4,

6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, …). El número 1 ni es primo ni es compuesto

Teorema fundamental de la aritmética: Todo número compuesto puede ser representado

como la multiplicación de dos o más número primos y esta representación es única

independientemente del orden de los números primos. Por ejemplo, el 20 puede verse como

la multiplicación 2 x 2 x 5 y estos número son primos, y el orden no importa por la

propiedad conmutativa da lo mismo que sea 2 x 5 x 2 o 5 x 2 x 2, siempre el resultado es el

20, (20 = 2 x 2 x 5), a esto se le conoce como descomposición en factores primos

Todos los números tienen sus propios múltiplos y sus propios divisores pero en algunos

casos coinciden, entonces definimos los conceptos de esta sección como:

Mínimo común múltiplo (m.c.m): Es el múltiplo más pequeño perteneciente a dos o más

números al mismo tiempo, por ejemplo entre 12 y 18 el múltiplo de menor valor común a

ambos es 36, es decir, es el primer número que puede ser dividido entre 12 y entre 18 al

mismo tiempo

Máximo común divisor (M.C.D.): Es el divisor más grande perteneciente a dos o más

números al mismo tiempo, por ejemplo entre 12 y 18 el divisor de mayor valor común a

ambos es 6, es decir, es el mayor número que puede dividir a 12 y 18

Para hallar el m.c.m o el M.C.D. de dos o más número se lleva a cabo la descomposición en

factores primos simultánea de los números establecidos, para el m.c.m se seleccionan


12

números primos que dividan a alguno de los números establecidos y se continua hasta que

todos los números tengan el valor uno, para el M.C.D. se dividen los números establecidos

entre números primos que dividan a todos al mismo tiempo y se continúa hasta no poder

dividirlos a todos simultáneamente, en ambos casos los números primos empleados se

multiplican para dar el resultado final, por ejemplo

m.c.m. M.C.D

12 18 2 12 18 2

6 9 2 6 9 3

3 9 3 2 3 6

1 3 3

1 1 36

FRACCIONES

Fracción: Es una representación de las partes iguales seleccionadas de un todo .

/, consta

de dos elementos, el denominador que representa la cantidad de partes iguales en las que

fue dividido un entero (9) y el numerador que representa la cantidad de partes tomadas del

todo seccionado (4). Existen tres tipos de fracciones:

Fracción propia: Es aquella donde el valor del numerador es más pequeño que el del

denominador .

/

Fracción impropia: Es aquella donde el valor del numerador es más grande que el del

denominador .

/

Fracción mixta: Es aquella que consta de una parte entera y una parte fraccionaria, siendo

esta una fracción propia .

/

Las fracciones representan divisiones del numerador entre el denominador, por lo tanto dan

como resultado número reales que pueden operarse y hacérseles ciertos procesos, por

ejemplo:


13

Convertir una fracción impropia a una fracción mixta: En este proceso se divide el

numerador entre el denominador y el cociente de la división equivale a la parte entera de la

fracción mixta, el residuo de la división equivale al numerador de la parte fraccionaria y el

denominador se conserva igual, por ejemplo

Fracción impropia Fracción mixta

→

1

7 12

5

Convertir una fracción mixta a una fracción impropia: En este proceso se multiplica el

denominador de la parte fraccionaria con la parte entera y el resultado se suma con el

numerador de la parte fraccionaria, este resultado final equivale al numerador de la fracción

impropia y el denominador se conserva igual, por ejemplo

Fracción mixta Fracción impropia

→

( )

Simplificar una fracción: Simplificar una fracción significa hallar una fracción cuyo valor

sea el mismo que otra ya establecida pero con números menores a los originales tanto en el

numerador como en el denominador, para esto se divide tanto el numerador como el

denominador entre un mismo número las veces que se pueda, en caso de no poder seguir

realizando esto se dice que la fracción ya está simplificada a su mínima expresión, por

ejemplo

Fracción

original Simplificación

→

→


14

Si se va a convertir una fracción impropia a una mixta o viceversa se recomiendo primero

simplificar en caso de ser posible.

En cuanto a las operaciones con fracciones se pueden realizar cualquiera de las seis

operaciones básicas:

Suma y resta: Para sumar y/o restar fracciones se consideran dos opciones, si el

denominador de todas las fracciones es el mismo se mantiene dicho denominador en el

resultado y únicamente se suman o se restan los numeradores dependiendo de los signos y

el resultado final se simplifica y/o se convierte a fracción impropia en caso de ser posible,

por ejemplo:

Si alguno los denominadores de las fracciones que se deben sumar y/o restar es diferente de

los demás o todos son diferentes entre sí, lo primero es hallar el m.c.m. de todos los

denominadores el cual se conoce como denominador común, este se divide entre cada

denominador y los resultados se multiplican por los respectivos numeradores, estos

resultados finales se suman o restan dependiendo de los signos y el resultado final se

simplifica y/o se convierte a fracción impropia en caso de ser posible, por ejemplo:

Fracciones a operar

Hallando el m.c.m. de los denominadores se

obtiene

Dividendo el denominador común entre

cada denominador y multiplicando por cada

numerador

Haciendo las operaciones resulta


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Obteniendo el resultado final y convirtiendo

a fracción mixta dado que no se puede

simplificar

Multiplicación y división: Para multiplicar dos o más fracciones basta con multiplicar de

manera lineal, es decir, numeradores con numeradores y denominadores con

denominadores y los resultados de dichas operaciones serán el numerador y el denominador

respectivamente de la fracción final. En cuanto a la división se realiza una multiplicación

de manera cruzada, es decir, el numerador y el denominador de la fracción dividendo se

multiplican por el denominador y el numerador respectivamente de la fracción divisora y

los resultados serán el numerador y el denominador de la fracción final. Tanto en la

multiplicación como en la división si hay necesidad de simplificar y/o convertir a fracción

mixta se debe realizar, por ejemplo:

Multiplicación

División

Potenciación y radicación: En ambas operaciones basta con elevar al exponente indicado o

hallar la raíz solicitada tanto del numerador como del denominador por separado y los

resultados serán los numeradores o denominadores de las fracciones finales, como en las

operaciones anteriores se debe simplificar y/o convertir de fracción impropia a mixta en

caso de ser posible, por ejemplo:

Potenciación

(

)

( )

( )


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Radicación

√

√

√

Para las seis operaciones, en caso de operarse fracciones mixtas primero se deben convertir

a fracciones impropias y proceder según la operación y los resultados simplificarlos y

convertirlos de nuevo a fracciones mixtas en caso de ser posible.

PERÍMETROS Y ÁREAS

El perímetro de una figura es la medida de su contorno en determinada unidad, se obtiene

al sumar las medidas de todos sus lados (en el caso del círculo se obtiene multiplicando el

valor de pi por la medida del diámetro).

Por otra parte el área es la medida de la superficie que abarca la figura en unidades

cuadradas. Dependiendo de la figura es la fórmula para hallar su área:

Figura Descripción Fórmula

Triángulo Base por altura entre dos

Cuadrado Lado al cuadrado

Rectángulo Base por altura

Rombo Diagonal mayor por

diagonal menor entre dos

Trapecio Base mayor más base

menor, por altura entre dos

( )

Paralelogramo Base por altura

Polígono regular Perímetro por apotema entre

dos

Círculo Pi por, radio al cuadrado

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