Notas Cimentaciones

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UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO APUNTES PARA LA CLASE DE DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Dr. HUGO HERNÁNDEZ BARRIOS DICIEMBRE DE 2008

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UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS

DE HIDALGO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

APUNTES PARA

LA CLASE

DE DISEÑO ESTRUCTURAL DE

CIMENTACIONES

Dr. HUGO HERNÁNDEZ BARRIOS

DICIEMBRE DE 2008

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CAPÍTULO I

CARACTERÍSTICAS DE LAS CIMENTACIONES

1.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de una cimentación es transmitir las cargas de la superestructura y el

peso propio de ellas al terreno. Pero además tiene las siguientes funciones: proporcionar apoyo a la estructura distribuyendo las descargas considerando un factor de seguridad adecuado entre la estructura de cimentación y el suelo, limitar los asentamientos totales y diferenciales, con la finalidad de controlar los daños en la construcción y construcciones adjuntas, y además mantener la posición vertical de la estructura ente las acciones.

Se emplean diversas formas o tipos de cimentación, dependiendo de la magnitud de las cargas que soporta, del tipo y dimensiones de la superestructura, y del espesor, resistencia, deformabilidad y permeabilidad de los suelos o rocas sobre los que se apoya la cimentación.

Se acostumbra clasificar las cimentaciones en dos grupos: las someras y las profundas, según se apoyen directamente en los estratos cercanos a la superficie o transmitan las cargas a capas profundas del subsuelo.

No existe un límite definido de profundidad que distinga a cada uno de estos grupos, pero se acostumbra clasificarlas como (Fig. 1.1):

Superficiales: Zapatas aisladas Zapatas corridas Losas de cimentación

Intermedias: Cajones de cimentación

Profundas: Pilotes de punta Pilotes de fricción Pilotes mixtos con mecanismos de control Pilas y cilindros Cajones profundos

De acuerdo a su nivel de desplante:

1. Superficiales 2. Profundas

Según su distribución superficial:

1. Continuas 2. Aisladas

Según su proceso de construcción:

1. Construidas in situ 2. Prefabricadas 3. Mixtas

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Fig. 1.1 Diferentes tipos de cimentaciones. 1.1.1 ZAPATAS AISLADAS Las zapatas son losas de cimentación, normalmente de concreto reforzado con dimensiones: largo L y ancho B , con relación L / B que no excede a 1 5. . La cimentación debe soportar la carga de las columnas. En este caso cada zapata puede ser independiente una de otra, por lo que, se requiere que los asentamientos diferenciales entre ellas no excedan los asentamiento totales o diferenciales permitidos. Los asentamientos diferenciales pueden reducirse seleccionando el área apropiada de contacto de la zapata, y en ocasiones usando la rigidez de la superestructura. Generalmente las zapatas aisladas se usan sólo en suelos de baja compresibilidad y en estructuras donde los asentamientos diferenciales entre columnas pueden ser controlados por la flexibilidad de la superestructura, o incluyéndolos en el diseño de los nodos de la base del la estructura o articulando los nodos de manera que puedan tomar los asentamientos diferenciales y/o rotaciones, sin dañar la estructura.

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Fig. 2.1 Zapatas aisladas 1.1.2 ZAPATAS CORRIDAS Las zapatas corridas se recomiendan cuando es necesario controlar con cierto límite la magnitud de los asentamientos diferenciales entre columnas que soportan las zapatas o cuando el suelo tiene baja compresibilidad. Se pueden definir como elementos formados por losas y vigas de cimentación, que resisten los elementos mecánicos de los nodos de las columnas. Normalmente unen dos o más columnas por medio de vigas. Los asentamientos diferenciales verticales se controlan por medio de la rigidez de la viga. Las vigas pueden colocarse en una o en dos direcciones, dependiendo de las cargas en las columnas y de la longitud del claro entre columnas. Cuando las carga en las columnas son muy grandes o cuando es necesario proporcionar rigidez a la estructura en ambas direcciones, se puede formar una retícula de trabes en ambas direcciones. En este caso, podría ocurrir que las losas de las zapatas cubran casi toda el área de la cimentación. Este tipo de cimentación es ventajosa en suelos de mediana compresibilidad, donde es necesario controlar los asentamientos diferenciales entre columnas. Las vigas de cimentación se diseñan con la suficiente rigidez como para cumplir con asentamientos diferenciales permitidos.

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Fig. 1.3 Zapatas corridas 1.1.3 CIMENTACIONES CORRIDAS Cundo las cargas sobre las columnas son muy grades y las zapatas corridas ocupan casi el 50% del área proyectada de la cimentación, es recomendable utilizar losas continuas que cubran toda el área. La carga total se puede suponer uniformemente distribuida sobre toda el área. Los asentamientos diferenciales son controlados por la rigidez de la losa de cimentación, por lo que la flexibilidad de la misma es importante para obtener diseños económicos, sin embargo, en ocasiones será necesario colocar vigas o contratrabes sobre las losa para aumentar su rigidez o muros con pequeño espesor. Las vigas se diseñan de forma que resistan los asentamientos diferenciales. Este tipo de cimentaciones se recomienda en suelos de mediana compresibilidad, sin embargo, los cajones de cimentación pueden usarse en suelos de alta compresibilidad. 1.1.4 CIMENTACIONES COMPENSADAS Las cimentaciones compensadas normalmente dan lugar a cajones de cimentación formados por muros perimetrales en la losa. Se utilizan en suelos de baja, mediana y muy alta compresibilidad. En su diseño se puede contemplar que el suelo se comporte en sus fases sólida y líquida. Por tanto, en una cimentación compensada el diseño se hace tomando en cuenta dos efectos: (1) sustitución del peso del sólido que emerge y (2) efectos del peso del líquido desplazado. Ambos efectos son usados para igualar el peso total del edificio, el volumen del cajón podría desplazar el peso del líquido que según el principio de Arquímedes, puede contribuir en la flotación de la cimentación, reduciendo la carga aplicada en la fase sólida del suelo.

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Fig. 1.4 Losa de cimentación.

Fig. 1.5 Cimentaciones compensadas. 1.1.5 CIMENTACIONES COMPENSADAS SOBRE PILOTES DE FRICCIÓN Cuando los cajones de cimentación no son suficientes para soportar la carga cumpliendo con los asentamientos verticales permitidos, la cimentación debe ser lo suficientemente rígida para lo cual se pueden colocar pilotes de fricción. La aplicación de este tipo de cimentación se puede realizar en suelos con alta compresibilidad en sus estratos superiores, y media o baja compresibilidad en los estratos inferiores. Los asentamientos totales en este tipo de cimentación dependen de la forma en que se coloquen los pilotes de fricción, su espaciamiento y longitud, el procedimiento para realizar la excavación y el control de las condiciones hidráulicas del suelo.

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Se obtienen un mejor comportamiento en los pilotes cuando se construyen antes de realizar la excavación, haciéndolos que trabajen en tensión durante la excavación, así se conserva el estado original de esfuerzos del subsuelo.

Fig. 1.6 Cimentación compensada sobre pilotes de fricción. 1.1.6 CIMENTACIÓN SOBRE PILOTES DE PUNTA Cundo las cargas sobre una cimentación compensada apoyada sobre pilotes de fricción son muy grandes para ser resistidas por ella, se podría recurrir a apoyar el cajón de cimentación en un estrato duro con muy baja compresibilidad y con alta resistencia al esfuerzo cortante, por medio de pilotes de punta.

Fig. 1.7 Cimentación apoyada sobre pilotes de punta.

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Otro tipo de cimentación apoyada sobre pilotes de punta se presenta cuando los pilotes se apoyan sobre un estrato firme y profundo con baja compresibilidad. Se pueden colocar los pilotes de punta debajo de zapatas aisladas, desarrollando fricción lateral y contribuyendo a tomar la capacidad de carga total sobre la cimentación. En el diseño de los pilotes se debe tomar en cuenta el efecto de la fricción negativa sobre el fuste del pilote y el efecto que este produce en el confinamiento de los depósitos de suelo sobre los cuales se apoyan.

Fig. 1.8 Zapata aisladas apoyadas sobre pilotes de punta. 1.1.7 CIMENTACIONES APOYADAS SOBRE PILAS Las cimentaciones apoyadas sobre pilas se utilizan para soportar cargas muy grandes y apoyadas sobre estratos profundos de muy alta compresibilidad. La capacidad de carga de las pilas se determina como si fueran zapatas aisladas, las pilas normalmente soportan cargas de 500 t ó más. Las pilas pueden tener una campana en su parte inferior con el fin de aumentar el área de contacto, dicha campana puede ser de un metro o mayor.

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Fig. 1.9 Cimentación apoyada sobre pilas. 1.1.8 CIMENTACIÓN APOYADA SOBRE PILAS DE ARENA O GRAVA Este tipo de cimentación se usa para incrementar la capacidad de carga de suelos reduciendo se compresibilidad e incrementando su resistencia al esfuerzo cortante.

Fig. 1.10 Pilas formadas por arena Las NTC-2004 -cimentaciones clasifica las construcciones ligeras o medianas de poca extensión y con excavaciones someras, aquellas que cumplan los siguientes tres requisitos:

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1. Peso unitario medio de la estructura w ≤ 40 kPa (4 t/m2) 2. Perímetro de la construcción P ≤ 80 m en las zonas I y II. P ≤ 120 m en la zona III. 3. Profundidad de desplante Df ≤ 2.5 m Las construcciones pesadas, extensas o con excavaciones profundas son aquellas que tienen al menos una de las siguientes características: 1. Peso unitario medio de la estructura w > 40 kPa (4 t/m2) 2. Perímetro de la construcción P > 80 m en las zonas I y II. P > 120 m en la zona III. 3. Profundidad de desplante Df > 2.5 m La elección del tipo más adecuado a cada caso particular debe hacerse teniendo en cuenta varios factores:

• La magnitud y distribución de las cargas de la estructura, así como sus dimensiones y rigidez.

• El perfil estratigráfico del terreno de apoyo y la resistencia, compresibilidad y permeabilidad de los materiales que forman cada uno de los estratos del perfil del subsuelo del sitio. La elección de la cimentación debe estar basada en los conocimientos técnicos y en el criterio del ingeniero. En algunas referencias sugieren que cuando las zapatas aisladas sobre suelo compresible ocupan más del 30% del área de la planta del edificio, o cuando los asentamientos diferenciales permisibles no son satisfechos, resulta más económico usar zapatas continuas. En el caso de tener zapatas continuas muy anchas debido a la descarga y la baja capacidad de carga del suelo resulta conveniente usar losas con o sin contratrabes. Deberá tomarse esta decisión cuando el área de la zapata continua ocupe arriba del 50% del área de la planta del edificio. En suelos de alta resistencia y baja compresibilidad, o en rocas inalteradas (sanas), la cimentación sobre zapatas aisladas o continuas es adecuada, aun para cargas de gran magnitud; mientras que en suelos muy blandos y muy compresibles se requieren cajones y/o pilotes aun para estructuras ligeras, con el fin de evitar su agrietamiento por asentamientos diferenciales excesivos. Cualquiera que sea el tipo de cimentación seleccionada, el diseñador debe dimensionar los elementos estructurales que componen a la cimentación, de manera que se satisfaga los siguientes requisitos básicos:

• Los esfuerzos que transmita la cimentación al terreno de apoyo deben de ser compatibles con la resistencia al corte, dentro de un factor de seguridad. Esto implica determinar la capacidad de carga admisible del terreno de apoyo, para la cimentación elegida.

• Las deformaciones que sufran el terreno y la estructura por la aplicación de estos esfuerzos deben ser tolerables para la estructura misma y para las estructuras o instalaciones municipales colindantes. Esto requiere determinar los asentamientos que sufrirá el suelo, o la roca, en la que se apoye la cimentación. Con frecuencia el ingeniero debe considerar varias alternativas de cimentación antes de elegir la más adecuada y económica de entre las que satisfagan los requisitos de seguridad y deformaciones tolerables, necesita para ello determinar, en cada alternativa propuesta:

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1. La capacidad de carga del cimiento. 2. La magnitud de los asentamientos totales y diferenciales que se producirán

en la estructura a corto y largo plazo.

1.2 ACCIONES DE DISEÑO

Según el NTC-DF-2004 las combinaciones de acciones a considerar en el diseño de cimentaciones serán las siguientes:

1. Primer tipo de combinación: Acciones permanentes más acciones variables incluyendo la carga viva. Con este tipo de combinación se revisarán tanto los estados límite de servicio como los de falla. Las acciones variables se considerarán con su intensidad media para fines de cálculo de asentamientos u otros movimientos a largo plazo. Para la revisión de los estados límite de falla, se considerará la acción variable más desfavorable con su intensidad máxima y las acciones restantes con intensidad instantáneas. 2. Segundo tipo de combinación: Acciones permanentes más acciones variables con intensidad instantánea y acciones accidentales (viento o sismo). Con esta combinación se revisarán los estados límite de falla y los estados límite de servicio asociados a las deformaciones transitorias y permanentes de suelo bajo carga accidental.

Acciones de diseño

Permanentes Variables Accidentales Carga muerta. Carga viva

W maxima Wa instantánea Wm media

Sismo Viento Explosiones Incendios

Empuje estático de tierras. Efectos de temperatura Empuje estático de líquidos. Deformaciones con intensidad

variable con el tiempo, debidas a movimientos diferenciales.

Empuje estático de material granular en depósitos.

Efectos debidos al funcionamiento de maquinaria y equipo.

Deformaciones permanentes, o que varían

muy poco con el tiempo.

Toda aquella acción que obra

sobre la estructura con intensidad

que varía significativamente con el

tiempo.

Todas aquellas que no se

deben al funcionamiento

normal de la construcción y

que pueden alcanzar

intensidades significativas

solo durante lapsos breves.

Deformaciones permanentes debidas a presfuerzo.

Toda acción que obre en forma continua sobre la estructura.

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Para el caso de cimentaciones profundas en las zonas II y III se incluirá entre las acciones la fricción negativa que puede desarrollarse en el fuste de los pilotes o pilas por consolidación del terreno circundante.

1.3 DISEÑO ESTRUCTURAL DE LA CIMENTACIÓN

Los elementos mecánicos (presiones de contacto, empujes laterales, etc) requeridos para el diseño estructural de la cimentación deberán determinarse para cada combinación de acciones señaladas. En la siguiente figura se observan los resultados de bajadas de cargas para el diseño de una cimentación. El ejemplo corresponde a un edificio de concreto de siete niveles de 6.5m de altura de entrepiso, su altura incluyendo la planta baja es de 45 m. Puede observarse lo siguiente: cuando se aplica la carga estática la mayor concentración se tiene en el centro del área con 399.5 t en esa columna. Con fuerza sísmica actuando al 100% en el eje Y más el 30 en dirección X, se tiene una carga de +729.3 t en K-9 y -220.0 t en K-1. Con la fuerza sísmica 100% en X más 30% en Y, se tiene +734.0 t en K-9 y -192.0 t en K-1.

Y

X

C

B

A

2 3 4

298.88 354.67 299.78

399.50 399.50 331.00

212.30 245.90 206.30

Área total=145.60 m2

Descarga total=2687.33 t

Descargas a la cimentación por carga vertical

K-1 K-2 K-3

K-4 K-5 K-6

K-7 K-8 K-9

6.20 m

6.48 m Cg

Y

X

C

B

A

2 3 4

+628.15 +446.42 +729.29

+328.85 +398.33 +341.65

-220.03 +166.43 -23.65

K-7 K-8 K-9

K-4

K-1 K-2 K-3

K-5 K-6

Carga vertical+sismo Y+30%sismo X

CT=10 538.6 t

+ compresión- tensión

Cg

9.37 m

7.24 m

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Carga vertical+sismo X+30%sismo YY

X

C

B

A

2 3 4

+359.97 +427.97 +735.94

+303.99 +399.15 +366.51

-192.31 +207.56 +130.05

K-7 K-8 K-9

K-4

K-1 K-2 K-3

K-5 K-6

CT=10 538.6 t

+ compresión- tensión

Cg 8.78m

7.53 m

Fig. 1.11 Cargas para el diseño de la cimentación

WTCM WORLD TRADE CENTER

CD. DE MÉXICO CUERPO 1 TORRE

CARGAS EN CIMENTACIÓN PROYECTO DEFINITIVO (CON ESPECTRO DE SITIO)

SEPTIEMBRE DE 1992 Objetivo: La finalidad de este trabajo es proporcionar al especialista en mecánica de suelos los parámetros necesarios para que proceda a la revisión de la cimentación del edificio de a cuerdo a los requerimientos del nuevo proyecto arquitectónico. Antecedentes: El edificio cuenta con:

1. Apéndice con planta circular con seis niveles y azotea. 2. Cuerpo principal con 39 niveles incluyendo azotea. 3. Cimentación constituida por cinco niveles. 4. Cajón de cimentación. Su estructura es a base de marcos ortogonales con muros cabeceros y un cubo de elevadores excéntrico. El sistema de piso es de concreto reforzado hasta el nivel N+44.50 (piso 9), los niveles superiores se construyeron con tridilosa (armadura metálica espacial con doble capa de concreto). La cimentación se resolvió con un cajón a base de cascarones invertidos y apoyado sobre pilas a una profundidad aproximada de 20 m. Las consideraciones básicas para el análisis estructural son las siguientes.

a) Por su importancia se ha clasificado a la estructura como del grupo A. b) De acuerdo con el plano de zonificación geotécnica y el informe de

mecánica de suelos el edificio se localiza en zona II. c) Por las características de la estructura se adopta un factor de

comportamiento sísmico Q=2.4 para ambas direcciones de análisis. d) El espectro de diseño empleado en el análisis dinámico se presenta la figura

1.12 (espectro de sitio).

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e) Se adiciona un nuevo eje de columnas (K) que cuenta con cuatro niveles así como muros de concreto en los ejes 3 y 25.

Fig. 1.12 Espectro de Sitio zona II

1.3.1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Se efectúa el análisis estructural gravitacional y sísmico dinámico del edificio considerando las cuatro posiciones del centro de masa de acuerdo con las excentricidades que especifica el Reglamento de Construcciones para el DF (figura 1.13).

Fig. 1.13 Posición del centro de masa para el análisis dinámico.

Además para cada caso en general se elaboraron las combinaciones de efectos bidireccionales que son los siguientes: Combinación 1 CM+CV+SX+30% SY Combinación 2 CM+CV+SX-30% SY Combinación 3 CM+CV-SX+30% SY Combinación 4 CM+CV-SX-30% SY

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Combinación 5 CM+CV+30% SX+SY Combinación 6 CM+CV-30% SX+SY Combinación 7 CM+CV+30% SX-SY Combinación 8 CM+CV-30% SX-SY Donde: CM es la carga muerta CV es la carga viva accidental SX fuerzas sísmicas dinámicas actuando en la dirección X. SY fuerzas sísmicas dinámicas actuando en la dirección Y. De modo que al final se tendrán 4x8=32 combinaciones de acciones gravitacionales y accidentales y un caso de efectos gravitacionales que corresponde a la carga muerta más la carga viva. Se presentan únicamente cuatro envolventes para cada posición de carga y una envolvente general. En las siguientes figuras de presentan las combinaciones para el primer análisis, es decir cuando el centro de masa se localiza en la posición 1 (figura 1.13). Cabe aclara que los valores obtenidos son hasta el nivel -8.10 (tapa del cajón de cimentación) y las unidades están en toneladas.

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Fig. 1.15 Cargas sobre la cimentación, combinaciones E-3 y E-4

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1.4 PROCEDIMIENTO En el diseño de una cimentación puede seguirse el siguiente procedimiento (Manual de diseño de Obras Civiles, Estructuras CC2):

1) Calcúlense las fuerzas y momentos trasmitidos a la cimentación por la superestructura.

2) Supónganse unas dimensiones para la cimentación (el área de cimentación debe ser tal que bajo las cargas y momentos que la estructura trasmite a la subestructura, afectados por el factor de carga correspondiente, no se exceda la resistencia del terreno calculada.

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3) Bajo las cargas sin afectar por factores de carga, supóngase una distribución de presiones de contacto entre la subestructura y el suelo o, en su caso, el sistema formado por el suelo y los pilotes, que cumpla con las condiciones siguientes:

i. Existe equilibrio local y general entre las presiones de contacto, las fuerzas internas

en la subestructura y las fuerzas y momentos trasmitidos a ésta por la superestructura.

ii. Los hundimientos diferenciales, inmediatos más diferidos, calculados con la presión de contacto supuesta actuando sobre el terreno y pilotes, son menores o iguales a los definidos en la tabla II.

iii. Las deformaciones diferenciales, inmediatas más diferidas, calculadas con la presión de contacto supuesta actuando sobre la combinación de superestructura y subestructura, son menores o iguales que las permisibles definidas en la tabla II.

4) Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, debe suponerse otra distribución de presiones de contacto y repetirse el proceso. La distribución supuesta que satisfaga los tres requisitos mencionados puede usarse para el diseño estructural de la cimentación.

Este procedimiento es aplicable a cimentaciones a base de zapatas, losas, cajones, pilas o pilotes. Como opción, el diseño puede basarse en esfuerzos admisibles en el terreno bajo cargas de trabajo. Una vez que se ha determinado el esfuerzo admisible en el terreno, sea por falla en el terreno o sea por control de hundimientos, puede valuarse el área de cimentación y las rigideces de la subestructura de modo que no se exceda ese valor admisible. Para lo anterior, será aceptable suponer que el suelo es elástico y continuo, o que está formado por resortes elásticos independientes.

1.5 INTERRELACIÓN PROFESIONAL ENTRE LA GEOTÉCNIA Y LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

Esta comunicación técnica es un problema complejo que fácilmente se dificulta cuando surge la incomprensión, desinterés o desconfianza; encontrar los caminos de la comunicación franca y cooperativa es la meta de un comportamiento maduro. Las siguientes etapas facilitan esta comunicación (TGC, Perfil del Director Responsable de Obra, 1992): 1. Identificación de los problemas geotécnicos. 2. Realización del estudio geotécnico. 3. Supervisión de los trabajos de campo.

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4. Proyecto estructural, anteproyecto de la cimentación y análisis de los procedimientos constructivos. 5. Diseño de la cimentación (interacción suelo-estructura) 6. Construcción de la cimentación, construcción de la superestructura, comportamiento de la cimentación y de la superestructura.

1. 6 PROYECTO ESTRUCTURAL Y ANTEPROYECTO DE LA CIMENTACIÓN

Esta es la etapa más crítica de la interacción entre estructurista y geotécnico. El estructurista definirá el sistema estructural de acuerdo con los problemas del suelo y conocerá su comportamiento probable ante las acciones estáticas y dinámicas producidas por el viento y el sismo. El geotécnico, conociendo el suelo y sus características, orienta al primero a seleccionar el tipo de estructura. Entonces, ambos discuten las diferentes posibilidades de la cimentación a emplear y sus respectivos procedimientos constructivos, seleccionando el más adecuado. El geotécnico estima la magnitud de los hundimientos y el estructurista estudia el efecto de los mismos en la estructura. Se plantean los ajustes correspondientes y la necesidad de realizar interacción suelo-estructura de común acuerdo. Se concluye esta etapa con un anteproyecto de la cimentación realizada por el geotécnico y una definición de los métodos constructivos discutidos por ambos.

1.7 VERIFICACIÓN DE SEGURIDAD DE LAS CIMENTACIONES

La revisión de la cimentación ante estados límite de servicio se hará tomando en cuenta los límites indicados en la Tabla II. Los asentamientos instantáneos de las cimentaciones bajo solicitaciones estáticas se calcularán en primera aproximación usando los resultados de la teoría de la elasticidad, previa estimación de los parámetros elásticos del terreno, a partir de la experiencia local o de pruebas directas o indirectas. Cuando el subsuelo esté constituido por estratos horizontales de características elásticas diferentes, se podrá despreciar la influencia de las distintas rigideces de los estratos en la distribución de los esfuerzos. Los asentamientos son el resultado de varias o una de las causas siguientes: deformaciones elásticas (asentamientos inmediatos), consolidación del terreno, desplome minero y otras. Los asentamientos diferenciales son más importantes que los asentamientos totales, por ejemplo, se producirá un efecto de mayor trascendencia en la estructura si cede 5 cm más que las próximas a ellas, que si toda la estructura se hundiera 15 cm uniformemente. Cuando una estructura se ve sujeta a hundimientos diferenciales, se generan acciones en ella acciones internas o elementos mecánicos que pueden tener gran importancia. Generalmente los hundimientos diferenciales se efectúan con relativa lentitud, de manera que para evaluar su efecto deben considerase módulos de elasticidad bajos, que tomen en cuenta los efectos de flujo plástico del concreto. La revisión de seguridad de una cimentación ante estados límite de falla consistirá en comparar la capacidad de carga del suelo con las acciones de diseño, afectando la

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capacidad de carga neta de la cimentación con un factor de resistencia y las acciones de diseño con sus respectivos factores de carga. Se llama capacidad de carga a la máxima intensidad de presión que una estructura transmite al suelo que lo soporta, sin llegar a causar asentamientos que pongan en peligro la estabilidad de la construcción o se presente falla del suelo por cortante. Se ha observado que la falla por capacidad en las construcciones suceden como producto de una rotura por corte del suelo de desplante de la cimentación. Los tres tipos de fallas principales bajo las cimentaciones son:

1. Falla por cortante general. 2. Falla por punzonamiento. 3. Falla por corte local.

Tabla II Límites máximos para movimientos y deformaciones originados en la cimentación a) Movimientos verticales

(hundimiento o emersión)

Concepto

Límite

Valor medio en el predio Construcciones aisladas 30 cm**

Velocidad del componente diferido

Construcciones colindantes 15 cm

30 cm**

1 cm/semana

b) Inclinación media

Tipo de daño Límite Observaciones

Inclinación visible 100/(100+3H) por ciento H altura de la construcción, en m

Mal funcionamiento de grúas viajeras 0.3 por ciento En dirección longitudinal.

c) Deformaciones diferenciales en la propia estructura y sus vecinas

Tipo de estructura Variables que se limita Límite

Marcos de acero Relación entre el asentamiento diferencial

y el claro

0.006

Marcos de concreto Relación entre el asentamiento diferencial

y el claro

0.004

Muros de carga de ladrillo recocido o

bloque de cemento

Relación entre el asentamiento diferencial

y el claro

0.002

Muros con acabados muy sensibles

como yeso, piedra ornamental, etc

Relación entre el asentamiento diferencial

y el claro

0.001 Se tolerarán valores

mayores en la medida en que la

deformación ocurra entes de

colocar los acabados.

Paneles móviles o muros con

acabados poco sensibles

Relación entre el asentamiento diferencial

y el claro

0.004

Tuberías de concreto con juntas Cambios de pendiente en las juntas 0.015

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Falla por cortante general: La falla por corte general se caracteriza por la existencia, dentro del terreno, de una superficie de deslizamiento continuo, que se inicia desde el borde de la cimentación hasta la superficie del terreno.

Falla por punzonamiento: La falla por punzonamiento se identifica por un movimiento vertical de la cimentación, debido a la compresión del suelo, inmediatamente debajo de dicha cimentación. El terreno que queda fuera del área de carga presenta pequeñas alteraciones, quedando el equilibrio de la cimentación tanto vertical como horizontal.

Falla por corte local: La falla por corte local presenta una marcada tendencia al bufamiento del suelo a los lados de la cimentación, presentándose compresiones verticales fuertes debajo de ella, las superficies de deslizamiento terminan en algún punto dentro de la misma masa de suelo. Este tipo de falla es una transición entre las dos anteriores.

1. 8 MODELO ESTRUCTURAL DE LA CIMENTACIÓN Cuando se tiene una cimentación por medio de una zapata que recibe un muro que forma parte de una estructura continua a base de muros, que trabaja como marco en la dirección normal a la zapata, se recomienda que al analizar la estructura bajo carga muerta y viva se suponga el muro articulado en su base.

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Marco en la dirección Y,

articulado

En estructuras formadas por marcos en dos direcciones, cuando la cimentación está formada por contratrabes sobre zapatas en los ejes de columnas paralelas a una dirección, se recomienda que al analizar la estructura bajo carga muerta y viva los marcos transversales a las contratrabes se suponga que sus columnas están articuladas en sus extremos inferiores.

Y

Y

x

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Se sugiere suponer articulaciones en los casos anteriores por que lo más probable es que en una zapata bajo las condiciones descritas ocurran giros que anulen los momentos en los extremos inferiores, ya que el giro necesario para pasar a la condición de articulación en el extremo inferior de una columna de un marco es muy pequeño. Bajo cargas de corta duración, como el sismo o el viento, si el suelo es poco deformable, puede considerarse cierta restricción al giro en los extremos inferiores en cuestión (Manual de Diseño de Obras Civiles, Estructuras C22, CFE-IIE, 1981).

Marco en la dirección x

Marco en la dirección Y

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CAPÍTULO 2

PROPIEDADES DEL SUELO

2.1 MÓDULO DE ELASTICIDAD ESTÁTICO DE LOS SUELOS

Los suelos no son elásticos, sin embargo, existen algunas situaciones en las que la relación esfuerzo deformación es prácticamente lineal como son los asentamientos de cimentaciones desplantadas sobre suelos gruesos limpios (arenas y/o gravas con menos de 15% de finos), o desplantadas sobre suelos finos preconsolidados con una presión de preconsolidadación superior al esfuerzo normal inducido por la propia cimentación. Los suelos también tienen un comportamiento casi elástico cuando se les sujeta a cargas de corta duración como son la excitación sísmica o la vibración de maquinaria. En estos casos resulta conveniente determinar el módulo de elasticidad del suelo elástico o dinámico, según sea el caso. El módulo de elasticidad estático se determina en pruebas triaxiales para niveles de esfuerzo semejantes a los que existirán en el sitio de la obra. ( ), ,z z P B zσ γ σ= +

x o zkσ σ=

1ok νν

=−

suelo fino

1ok senφ= − suelo grueso

El módulo de elasticidad se obtiene aprovechando el comportamiento elástico del suelo.

B

z zσ

P

Page 26: Notas Cimentaciones

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26

z aε Δ

=

y suponiendo un comportamiento elástico: 1

z z x yEε σ ν σ σ⎡ ⎤⎡ ⎤= − +⎣ ⎦⎣ ⎦

como: x y cPσ σ= =

[ ]1 2z z cPE

ε σ ν= −

despejando, E, ( ) ( )1 12 1 22 c c cz c

z

P P P P PPE

a a

ν νσ νε

+ − + −−= = =

Δ Δ

[ ]1 (1 2 ) caE P Pν= + −Δ

si 0.50ν = , 1aE P=Δ

En general, los suelos tienen distinto módulo de elasticidad para distintos niveles de esfuerzo ( )1, cP P . El módulo de elasticidad dinámico es mayor que el estático y se determina con la prueba del péndulo de torsión (Zeevarert). El módulo de elasticidad estático de suelos gruesos ha sido estimado a partir de pruebas de penetración con conos estáticos (Meyerhof, 1956; Schmertman, 1970), se acepta que:

2 cE q= donde cq es la resistencia a ala penetración de un cono estándar hincado estáticamente

2

kgcm

.

Vesic (1968) sugiere emplear una relación: ( )22 1 r cE D q= +

donde rD es la densidad relativa del suelo grueso. El módulo de elasticidad de los suelos gruesos también puede obtenerse a partir de los resultados de pruebas triaxiales en muestras reconstruidas en el laboratorio.

a

Δ

cP

1c cwP P PA

+ = +

Page 27: Notas Cimentaciones

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27

Considerando que el módulo de elasticidad de suelos gruesos depende del nivel de esfuerzos y que la relación esfuerzo-deformación no es lineal, Chang y Duncan (1970) han establecido una relación entre el módulo de elasticidad tangente, tE , un módulo de elasticidad inicial, iE , y los esfuerzos efectivos principales, 1σ y 3σ .

( )( ) 23 1

1

11

2f

t i

R senE E

senφ σ σ

σ φ− −⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

1i e a

a

E k PP

ασ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

donde: tE es el módulo de elasticidad tangente, cuando 3σ σ= . iE es el módulo de elasticidad inicial (Janbu, 1963); φ es el ángulo de fricción interna; ( )3 1,σ σ son los esfuerzos principales: 3 1σ σ⟩ . fR es la relación entre la resistencia a compresión determinada en el laboratorio y el valor de la diferencia asintótica de esfuerzos de la curva esfuerzo-deformación de tipo hiperbólico que mejor se acerca a los datos experimentales.

Pa es la presión atmosférica, expresada en las mismas unidades que 21.033 kgcm

σ ≈ .

ek y α son parámetros experimentales. Algunos valores típicos de los parámetros son según Kulhawy (1964) son:

φ Clasificación SUCS 1σ pequeño 1σ grande ek α fR

GW 47° 35° 500 0.30 0.70 GP 46° 38° 1800 0.30 0.80 SW 50° 35° 300 0.50 0.70 SP 40° 30° 1200 0.50 0.80

Según Bjerrum (1964), el módulo de elasticidad no drenado de arcillas normalmente consolidado es del orden de:

(250 a 500)E c=

Page 28: Notas Cimentaciones

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28

12 cc q=

Ladd (1964) ha demostrado que la relación ( )E E c= de las arcillas preconsolidadas es dependiente de la historia de esfuerzos a que ha estado sometido el suelo, al método de prueba y que es muy sensitiva a pequeñas alteraciones de E a partir de pruebas rutinarias de laboratorio puede ser, muy engañosa. En las ocasiones que se han comparado los valores de E medidos en el campo con los estimados burdamente en el laboratorio, se ha observado que los valores de E de campo son consistentemente mayores. En el caso particular de cimentaciones someras, es posible estimar el módulo de elasticidad de los suelos gruesos aprovechando la relación aproximada propuesta por Skempton:

1 3(250 a 500)( )E σ σ= − en donde:

3σ es la presión de confinamiento media.

1σ es el esfuerzo principal mayor correspondiente a la presión lateral 3σ , en la condición de equilibrio plástico de Ranking. 0 1k senφ= − es el

coeficiente de empuje en reposo.

1

1senNsenφ

φφ

+=

1 3Nφσ σ=

3 okσ σ=

P

23

B

H 2B B

σ

D

Zona activa

zσxσ

φ

σ

τ

3σ σ 1σ

Page 29: Notas Cimentaciones

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29

Entonces:

(250 a 500)(N )o oE k kφ σ σ= − (250 a 500)(N )o oE k kφ σ= −

1-(250 a 500) (1- ) - (1- )1-

senE sen sensen

φ φ φ σφ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

[ ](250 a 500) 1 1E sen senφ φ σ= + − + (250 a 500)2E senφσ=

(500 1000)E a senφσ= Para zapatas cuadradas:

2

PqB

=

2 2

493

2

P PH HB

Bσ γ γ= + = +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

49

H qσ γ= +

sustituyendo, se tiene el módulo de elasticidad de un suelo grueso bajo una zapata cuadrada.

4(500 1000)9

E a sen H qφ γ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

Para el caso de una zapata corrida el módulo de elasticidad de un suelo grueso bajo una zapata corrida es,

PqB

=

23 32

P PH HBB

σ γ γ= + = +

2(500 1000)3

E a sen H qφ γ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 30: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

30

Valores típicos del módulo de elasticidad estático (Bowles) Suelo E psi E 2/kg cm

Arcilla Muy suave 50-400 3.5-28 Suave 250-600 17-42 Media 600-1200 42-84 Dura 1000-2500 70-176 Arenosa 4000-6000 282-423 Limosa 1000-3000 70-211 Limo 20-200 Arena Suelta 1500-3500 106-247 Densa 7000-12000 493-854 Grava y arena densa 14000-28000 986-1973 Loess 14000-18000 986-1268

Valores típicos del módulo de elasticidad (Barkan)

Suelo E 2/kg cm Arcilla limosa plástica con arena y limo orgánico 310

Arcilla café saturada, con arena 440 Arcilla limosa densa con algo de arena 2950 Arena media húmeda 540 Arena gris con grava 540 Arena fina saturada 850 Arena media 830

2.2 CONDICIONES DE APOYO DE MARCOS DESPLANTADOS SOBRE ZAPATAS CUADRADAS

El análisis convencional de los marcos de edificios considera que las columnas pueden estar empotradas o articuladas en la base. La condición de apoyo de los marcos reales desplantados sobre zapatas cuadradas depende de las dimensiones de la zapata y de la rigidez del suelo. Para desarrollar un criterio simple que permita evaluar la condición de apoyo de marcos reales, se puede aprovechar uno de los resultados obtenidos por Dawson (1977), quién estudio algunos de los problemas de interacción suelo-estructura obteniendo una relación de momentos flexionantes en el apoyo de un marco sujeto a carga lateral y desplantado sobre resortes elásticos, como se muestra en la figura.

Page 31: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

31

Considerando que 0 0 0, y TM Δ , son el momento de empotramiento en la base de la columna, el desplazamiento lateral y el periodo fundamental del marco, respectivamente, si el marco estuviera empotrado, se tiene:

b

c

kkk

=

0

1 1.061

1 6c

Mk kMk kθ

= ≤+

+

1

0

612 33 1 3 1.0

6 1 21 6 1 6 12 3

c

c

k kk kk kk kk k

k k

θ

θ

−⎡ ⎤

−⎢ ⎥+Δ +⎢ ⎥= + ≥+Δ + +⎢ ⎥+⎢ ⎥+⎣ ⎦

12

0 0

1.0TT

⎡ ⎤Δ= ≥⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

La mayoría de los marcos de los edificios son estrechamente acoplados por lo que se cumple la relación:

8c

b

EIh

EI ⟨

por tanto: 8k ⟩

Δ

Fb

bEIk =

cc

EIkh

= h

M M

Page 32: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

32

por lo que el término: 6 (6)(8) 48 0.9791 6 1 (6)(8) 49

kk

= = =+ +

, es decir:

si 8k ⟩ entonces: 6 0.9791 6

kk

⟩+

; por lo que se puede escribir:

0

1

1 c

MkMkθ

=+

o en forma alternativa:

0

1 1ckMM kθ

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

01 ck M

k Mθ

+ =

0 01ck M M Mk M Mθ

−= − =

0

cM Mk k

Mθ−

=

La rigidez angular, kθ , de la zapata cuadrada desplantada sobre un medio elástico (Dowrick, 1977) es:

3

2(1 )sGk Bθ ν

=−

donde el módulo de rigidez al corte (elástico) del suelo es:

2(1 )S

sEG

ν=

+

Sustituyendo, se tiene:

324(1 )

sEk Bθ ν=

Page 33: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

33

CAPÍTULO 3

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 3.1 Determinar las condiciones de apoyo de una columna de 40 x 40cm, desplantada sobre un estrato de arcilla suave, como se muestra en la figura. Considerando que las propiedades de la arcilla son:

20.30 kgccm

=

(250 a 500) sE c= (Skempton)

31.8 tm

γ =

'2250c

kgfcm

= del concreto.

Descarga de la columna: Para estimar la descarga que por carga permanente podría tener esta columna, se utiliza la fórmula de predimensionamiento:

'0.35cc

PAf

=

'0.35 c cP A f= 2(0.35)(40) (250) 140,000P kg= =

140 P t=

40x40 h=400

BxB

50

325

100

Page 34: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

34

Dimensiones de la zapata: La capacidad de carga de una zapata cuadrada desplantada sobre arcilla es:

( )1.3 2F cq cπ σ= + donde cσ es la presión de confinamiento. Como se trata de una arcilla suave, es probable que falle por corte local o punzonamiento, entonces:

2 2

2 2 (0.3) 0.20 23 3lab

kg tc ccm m

= = = =

2(1.3)(2 )(2) (1)(1.8) 18.14Ftq

mπ= + =

y la capacidad de carga admisible es:

263

F Fa

q q tqFS m

= = =

y el ancho de la zapata es: 140 4.83

6a

PB mq

= = =

4.85B m=

Rigidez de la columna:

' 62 214000 14000 250 221,360 2.21 10c

kg tE f xcm m

= = = =

44 3 41 (0.40) 2.133 10

12 12cI b x m−= = =

4.0h m= 6 32.21 10 2.133 10 1,178

4c

cEI x x xk t mh

= = = −

Rigidez angular de la zapata:

(250 a 500)sE c= tomando un valor medio, de 350,

2 2(375)(0.30) 112.5 1125skg tE

cm m= = =

0.50ν =

4.85B m=

31125 (4.85) 42,781 4(1 0.25)

k t mθ = = −−

Condición de apoyo:

Page 35: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

35

0

1 0.9731178142781

MM

= =+

Es decir, el momento en el apoyo elástico es el 97% del momento que ocurriría si el marco estuviera empotrado. Puede suponerse que la zapata se capaz de empotrar a la columna del marco. Debe notarse que conforme aumenta la altura del primer entrepiso o aumenta la profundidad de desplante, la columna se flexibiliza y aumenta el grado de sujeción que proporciona la zapata, es decir:

Si 0ck → , 0

1.0MM

→ .

EJEMPLO 3.2 Determinar la condición de apoyo de la misma columna del ejemplo 1.1, desplantada sobre

un estrato de arcilla rígida, con cohesión 23.0 kgccm

= .

Descarga de la columna:

140 P t= Dimensiones de la zapata: Siendo una arcilla rígida, es de esperarse una falla por corte general. La capacidad de carga es,

( )1.3 2 1.3(2 (30)) (1)(1.8) 246.8F ctq cm

π σ π= + = + =

la capacidad de carga admisible es,

282.33F

aq tq

m= =

El ancho mínimo de la zapata es: 140 1.30 82.3

B m= =

Rigidez de la columna: Del ejemplo 1.1,

1,178 cc

EIk t mh

= = −

Rigidez angular de la zapata:

(250 a 500)sE c= según Skempton, tomando un valor medio:

Page 36: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

36

2 2(375)(3) 1125 11,250skg tE

cm m= = =

0.5ν = 1.30B m=

( )311250 1.30 8,239 t-m4(1 0.25)

kθ = =−

8, 239 t-mkθ =

Condición de apoyo:

0

1 0.875117818239

MM

= =+

Es decir, el momento que da proporciona el apoyo elástico es el 88% del momento que ocurriría si el marco estuviera empotrado. Si se considera, arbitrariamente, que el apoyo puede considerarse empotrado cuando:

0

0.90MM

la dimensión de la zapata capaz de empotrar a la columna debe ser:

0

1 0.901 c

MkMkθ

= =+

0.90 0.9 1ckkθ

+ =

0.90 0.10ckkθ

=

9 ck kθ =

y como en este ejemplo, 1,178 cc

EIk t mh

= = −

(9)(1178) 10,602 t-mkθ = = , es decir,

311250 10602 t-m4(1 0.25)

k Bθ = =−

1.41 1.40 mB m= ≈

Si la zapata desplantada sobre arcilla rígida (que soporta la columna de 40x40) es de 1.4 x 1.4m, ó mayor; es capaz de empotrar a dicha columna. Esta dimensión es un poco mayor que el 1.20 m, necesario por capacidad de carga.

Page 37: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

37

EJEMPLO 3.3 Calcular el tamaño de la zapata que permitiría considerar que las columnas de los ejemplos anteriores estuviesen articuladas. Si se considera que el apoyo puede aproximarse a una articulación cuando,

0

0.10MM

entonces,

0

1 0.101 c

MkMkθ

= =+

0.10 0.10 1ckkθ

+ =

0.10 0.90ckkθ

=

19 ck kθ =

y como en este caso 1,178 cc

EIk t mh

= = − , entonces:

1178 130.8 9

k t mθ = = −

a) arcilla suave: 3 31125 375

4(1 .25)k B Bθ = =

3375 130.8 t-mB = 0.70B m=

b) arcilla rígida:

3 311250 37504(1 .25)

k B Bθ = =−

33750 130.8 t-mB =

0.32 0.40 B m m= ⟨ de la columna.

En el caso de la columna desplantada sobre arcilla suave (B=0.70 m), sería necesario que la columna estuviera soportando una carga de 2(0.70) (6) 2.94 t= que es un valor muy pequeño. En el caso de la arcilla rígida, solo la columna sin zapata, funcionaría como articulación.

Page 38: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

38

Los tres ejemplos anteriores permiten concluir que cuando las dimensiones de columnas y zapatas son congruentes con su resistencia, el apoyo brindado por las zapatas aisladas, desplantadas sobre arcilla, puede considerarse como un empotramiento, solamente en el caso de zapatas muy pequeñas en relación con la columna que soportan podría presentarse el caso de un apoyo articulado.

Para situaciones intermedias 0

0.10 0.90MM

⟨ ⟨ el análisis del marco debe hacerse tomando en

cuenta la flexibilidad del apoyo. EJEMPLO 3.4 Se considera ahora que la columna de 40x40cm, de los ejemplos anteriores, se desplanta sobre arena suelta, con un ángulo de fricción interna de 028φ = , y peso específico de

31.6 tm

.

Descarga de la columna:

140 P t= Dimensiones de la columna:

La capacidad de carga es: 12F c q qq N B Nγ γσ ϕ γ ϕ= +

Siendo una arena suelta, la falla podría ocurrir por corte local o punzonamiento y debe reducirse el valor nominal de φ , según la recomendación (conservadora) de Terzaghi.

2tan tan3 labφ φ=

en este ejemplo: 0 02tan tan 28 19.51 203

φ = = ≈

Los parámetros de capacidad de carga son, para 020φ = , 14.83cN = 6.40qN = 5.39Nγ =

Los factores de forma: 6.401 1 1.432

14.83q

cc

NBL N

ϕ = + = + =

01 tan 1 tan 20 1.364qBL

ϕ φ= + = + =

1 0.4 0.60BLγϕ = − =

La presión de confinamiento:

Page 39: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

39

2(1)(1.6) 1.6ct

mσ = =

y la capacidad de carga: 1(1.6)(6.40)(1.364) (1.6)(5.39)(0.60)2Fq B= +

213.97 2.59 Ftq B

m= +

La capacidad de carga admisible es: 24.66 0.86 3F

aq tq B

m= = +

El ancho mínimo necesario de la zapata cuadrada: 140

4.66 0.86a

PBq B

= =+

,

despejando B, 2 34.66 0.86 140B B+ =

3 25.42 162.8 0B B+ − = resolviendo la ecuación:

4.13 B m= Rigidez de la columna: Del ejemplo 1.1,

1,178 cc

EIk t mh

= = −

Rigidez angular de la zapata: Como se demostrará más adelante, el módulo de elasticidad de las arenas que soportan zapatas aisladas es del orden de:

lab4(500 a 1000)sen9sE H qφ γ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Para este ejemplo: 028 0.4695sen senφ = =

11 (3.77) 2.892

H m= + =

2(1.6)(2.89) 4.62 tHm

γ = =

2BH D= +

BxB

D

NTN

Arena con ángulo de fricción f

Page 40: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

40

2 2

140 9.85(3.77)

P tqA m

= = =

así:

( ) 2

4(750)(0.4695) 4.62 9.85 3,1689s

tEm

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

y tomando para la arena una relación de Poisson de 0.30ν = , se tiene: 3

2

3168 (4.13) 74,390 4(1 0.3 )

k t mθ = = −−

Condición de apoyo:

0

1 0.9841178174390

MM

= =+

El momento flexionante en el apoyo es el 98% del momento correspondiente a un empotramiento. Por lo anterior, se puede considerar que la columna está empotrada. EJEMPLO 3.5 Considerar ahora que la zapata se desplanta sobre arena densa, con un ángulo de fricción

interna de 35° y peso específico de 31.8 tm

.

Descarga de la columna:

140 P t= Dimensiones de la columna:

La capacidad de carga es: 12F c q qq N B Nγ γσ ϕ γ ϕ= +

Si la arena es densa y la zapata superficial, puede considerase que la falla ocurriría por corte general. Por tanto, los parámetros de capacidad de carga son, para 035φ = ,

46.12cN = 33.30qN = 48.03Nγ =

Los factores de forma: 33.301 1 1.72246.12

qc

c

NBL N

ϕ = + = + =

01 tan 1 tan 35 1.70qBL

ϕ φ= + = + =

Page 41: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

41

1 0.4 0.60BLγϕ = − =

La presión de confinamiento:

2(1)(1.8) 1.8ct

mσ = =

y la capacidad de carga, 12F c q qq N B Nγ γσ ϕ γ ϕ= +

1(1.8)(33.30)(1.70) (1.8)(48.03)(0.6)2Fq B= +

2101.9 25.94 Ftq B

m= +

La capacidad de carga admisible es: 233.97 8.65 3F

aq tq B

m= = +

El ancho mínimo necesario de la zapata cuadrada:

2

140 33.97 8.65BB

= + 2 3140 33.97 8.65B B= +

3 23.9272 16.18 0B B+ − = 1.70B m=

Rigidez de la columna: Del ejemplo 1.1,

1,178 cc

EIk t mh

= = −

Rigidez angular de la zapata: El módulo de elasticidad del suelo:

47509sE sen H qφ γ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

035 0.5736sen senφ = = 11.8(1 1.55) 3.22

tHm

γ = + =

2 2

140 58.271.55

tqm

= =

2

4750(0.5736) 3.2 (58.27) 12,5189s

tEm

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Rigidez de la cimentación: 3

2

12518 (1.70) 16,896 4(1 0.3 )

k t mθ = = −−

Condición de apoyo:

Page 42: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

42

0

1 0.931178116896

MM

= =+

El momento en apoyo es el 93% del momento correspondiente al empotramiento y puede suponerse que el marco está empotrado en la cimentación. Las zapatas aisladas desplantadas sobre arenas y cuyas dimensiones son congruentes con la resistencia de la columna y el suelo, son capaces de empotrar a los marcos correspondientes. EJEMPLO 3.6 ¿Cuál será el efecto en el desplazamiento y en el periodo de vibrar de la estructura, si se considera empotrada o articulada la cimentación? En términos generales, si se logra:

10.901 co

MkMkθ

= =+

19

ckkθ

=

y para marcos estrechamente acoplados 8k ≥ entonces:

1

0

1 48124 1 24 9 2 246 1 161 48 1 48 19 2 24

−⎡ ⎤−⎢ ⎥Δ + += +⎢ ⎥+Δ + +⎢ ⎥+

+⎣ ⎦

0

1.29Δ=

Δ

Es decir, el desplazamiento lateral del marco más flexible ( 8)k = es 29% mayor que el desplazamiento del mismo marco empotrado en la base. Si ahora consideramos el caso del marco rígido ( )k = ∞ , la relación de desplazamientos resulta:

1

0

11 21 1 96 22 2 19 3

−⎡ ⎤−⎢ ⎥Δ

= +⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥+⎣ ⎦

0

1.30Δ=

Δ

Puede decirse que, el desplazamiento real de los marcos estrechamente acoplados, apoyados sobre zapatas aisladas, es del orden del 30% mayor que el calculado suponiendo que el marco estuviera empotrado.

Page 43: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

43

La variación en el periodo de vibrar es:

( )1

122

0 0

1.3 1.14TT

⎡ ⎤Δ= = =⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

0

1.14TT

=

El periodo de vibrar de los marcos estrechamente acoplados, apoyados en zapatas aisladas, es del orden del 14% mayor que el calculado suponiendo que el marco está empotrado. En los resultados anteriores deben considerase que la hipótesis básica es que el suelo se comporta como un sólido elástico, sin embargo, los suelos reales son inelásticos.

Page 44: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

44

CAPÍTULO 4

RIGIDEZ RELATIVA

4.1 RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Y DE LA CIMENTACIÓN

La distribución de presiones bajo la cimentación depende de la rigidez de la estructura y la cimentación, y en general, son difíciles de calcular con precisión. En la práctica de la ingeniería de cimentaciones se suelen considerar los siguientes tres casos extremos:

1. La estructura y la cimentación son perfectamente rígidos.

En éste primer caso no hay hundimientos diferenciales entre columnas, y la distribución de presiones sobre el suelo es lineal.

2. La estructura es perfectamente flexible y la cimentación posee cierto grado de rigidez.

Page 45: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

45

Es posible que se presenten asentamientos diferenciales entre columnas, sin que la estructura contribuya con su rigidez a reducirlos. La distribución de presiones depende de la rigidez relativa de la cimentación al suelo.

3. La estructura es perfectamente rígida y la cimentación posee cierto grado de flexibilidad.

Tampoco ocurren asentamientos diferenciales, pero la flexibilidad de la cimentación impide que la distribución de presiones sea uniforme.

Los edificios reales no son ni perfectamente rígidos, ni perfectamente flexibles, por lo que su análisis exacto es muy complejo. Debe tenerse en cuenta que conforme aumenta la rigidez de la estructura y la cimentación, disminuyen los asentamientos diferenciales de las columnas pero aumentan los elementos mecánicos en la cimentación. La estructura y cimiento rígidos generan los momentos flexionantes máximos en la cimentación.

Por lo tanto, conviene flexibilizar el cimiento tanto como sea compatible con los hundimientos diferenciales permitidos por la estructura.

En numerosas ocasiones se analizan trabes de cimentación suponiendo una distribución lineal de presiones, es decir, suponiendo que la estructura y el cimiento son rígidos, sin verificar si la hipótesis es válida. Estos análisis son sistemáticamente antieconómicos y tal vez peligrosos, ya que se pueden presentar asentamientos diferenciales no previstos.

Page 46: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

46

4.2 ECUACIÓN DE UNA VIGA DE EJE RECTO SOBRE RESORTES ELÁSTICOS

Sea una viga sobre un medio elástico de sección constante, sujeta a cargas verticales que actúan en el plano principal de la sección transversal. Las hipótesis de Winkler son:

1. Al actuar las cargas sobre la viga, se produce una distribución continua de presiones del medio sobre la viga.

2. La intensidad de carga "q" en cualquier punto es proporcional al desplazamiento de la viga "y" en esos puntos.

kyq = 3. Se supone que el terreno no es capaz de soportar fuerzas o esfuerzos

de tensión.

Si B es el ancho de la viga, sBkk = (kg/cm2)

yBkq s=

Consideremos un elemento de viga, "dx"

Donde: V, es la fuerzas cortante, M, el momento flexionante, dV, la diferencial de cortante y dM la diferencial de momento, entonces:

q dx=k Por equilibrio, V-(V+dV) + ky dx - w dx =0 - dV + ky dx - w dx =0 ó bien:

wkydxdV

−=

Como, dM Vdx

=

wkydx

Md2

2−=

De la ecuación:

M M+dM V V+dV

w dx

q dx

Page 47: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

47

Mdx

ydEI2

2−=

kywdx

ydEI4

4−=

Que es la ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden de coeficientes constantes de la elástica de una viga sobre un medio elástico. Si w =0,

0EIky

dx

yd4

4=+

La solución es: mxey =

derivándola cuatro veces, mx4iv emy =

sustituyendo en la ecuación diferencial,

0eEIkem mxmx4 =+

0EIkme 4mx =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

cuya ecuación característica es:

0EIkm4 =+

Usando la siguiente fórmula,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+θ

+π+θ

=n

k2isenn

k2cosrm n/1

para k=0,1,,,,; n=1,2,3, ...

Tomando n=4, k=0,1,2,3; EIkr = ;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

+π+π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

21i

21

EIk

4)0(2isen

4)0(2cos

EIkm 4

4/1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

21i

21

EIkm 42

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

21i

21

EIkm 43

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

21i

21

EIkm 44

Las raíces se pueden expresar como:

)i1(m1 +λ= )i1(m2 +−λ=

Page 48: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

48

)i1(m3 +λ−= )i1(m4 +−λ−=

donde:

44

4 4sk Bk

EI EIλ = = en unidades (1/Longitud).

Sustituyendo en la solución:

x4m4

x3m3

x2m2

x1m1 eAeAeAeAy +++=

Tomando términos comunes y del teorema de Moivre,

( ) ( )xisenxcose xi λ+λ=λ

( ) ( )xisenxcose xi λ−λ=λ−

La solución de la ecuación es: [ ] [ ]xsenCxcosCexsenCxcosCey 43

x21

x λ+λ+λ+λ= λ−λ donde Cn son constantes de integración definidas por condiciones de frontera de la viga. Para el caso en que, w ≠ 0 = W= constante, la solución de la ecuación es,

[ ] [ ]xsenCxcosCexsenCxcosCekWy 43

x21

x λ+λ+λ+λ+= λ−λ

De las expresiones de Mecánica de Materiales,

dxdy

=θ pendiente

2

2

dx

ydEIM −= momento flexionante

3

3

dx

ydEIV −= fuerza cortante.

yBkq s= reacción del suelo. Entonces,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xcosCCxsenCCexcosCCxsenCCedxdy

4343x

2121x λ−+λ+−λ+λ++λ−λ= λ−λ

[ ] [ ]xcosCxsenCe2xcosCxsenCe2dx

yd34

x212

x22

2λ−λλ+λ+λ−λ= λ−λ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xcosCCxsenCCe2xcosCCxsenCCe2dx

yd4343

x32121

x33

3λ++λ−λ+λ−+λ+−λ= λ−λ

Page 49: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

49

4.3 VIGA CON LONGITUD FINITA Un caso de mayor interés es el de una viga con una carga concentrada, P, a una distancia "a" medida a partir del origen de la viga,

La solución es:

( ) ( )2cosh cos cosh coss

Py x x xsen x senh x xk B

λ λ λ λ λ λ λ= Σ +Μ + Ψ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )cosh cosV P xsen x senh x x senh xsen xλ λ λ λ λ λ= Ψ+ Σ +Μ ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )2 cosh cos2PM sen xsen x xsen x senh x xλ λ λ λ λ λλ

= ΨΣ + −Μ ⎡ ⎤⎣ ⎦

2 2

1senh L sen Lλ λ

⎡=−

Μ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )bcosacoshLsenbcoshacosLsenh λλλ−λλλ=Σ ( ) ( )cosh cos cos coshsenh L sen a b asenh b sen L senh a b asen bλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ= − + −⎡⎣Ψ ]

El método analítico es mucho más difícil de aplicar que los métodos numéricos, especialmente si el número de cargas es mayor a dos. Si las columnas tienen momento en su base, la solución se complica. No es posible incluir el peso propio de la cimentación o modelar separación de la viga del suelo, esto es importante ya que cuando la cimentación tiende a separarse del suelo, su peso propio tiende a evitar tal separación.

-x x

a b

P

L

Page 50: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

50

Definiendo el parámetro adimensional: 44

sEI4BLk

L =λ es posible determinar la

solución correcta de una viga sobre suelo compresible, tal que,

0.8Lλ ⟨ solución convencional (rígido)

0.8 Lλ π⟨ ⟨ viga finita sobre una cimentación elástica

Lλ π⟩ viga infinita sobre una cimentación elástica. La anterior clasificación se debe a M. Helényi, quién propone también:

0.8Lλ ⟨ vigas cortas.

0.8 Lλ π⟨ ⟨ vigas intermedias

Lλ π⟩ vigas largas La deflexión de las vigas cortas es muy pequeña y puede despreciarse en comparación con la deformación del suelo, es decir, pueden considerarse como rígidas. La carga aplicada en un extremo de una viga intermedia tiene efecto importante en el extremo opuesto y debe analizarse como una viga flexible con longitud finita. La carga aplicada en un extremo de una viga larga, tiene muy poca influencia en el extremo opuesto y la viga puede considerarse como flexible de longitud infinita, simplificándose el cálculo. La separación entre columnas es un factor importante en la distribución de presiones sobre el suelo. Apoyándose en la clasificación de M. Helényi, el Comité ACI-436 propone que se consideren cimientos rígidos a los que satisfacen simultáneamente los siguientes requisitos:

1. Dos claros adyacentes soportan columnas cuyas descargas no difieren más del 20%.

2. La longitud de dichos claros vecinos tampoco difieren más del 20%. 3. El mayor de los claros cumple con:

1.75L

λ≤

Si alguna de estas condiciones no se cumple, el cimiento debe considerase como flexible. Schultze propone estimar la rigidez relativa de una cimentación como:

3

12c

rs

E HkE L

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 51: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

51

donde H es el peralte del cimiento. Cuando 0.25rk ≥ , el cimiento debe considerarse rígido. Las condiciones de definición de cimiento como rígido se agrupan en dos tipos: rigidez estructural empírica y rigidez relativa. La definición de criterios de rigidez depende de la longitud elástica, eL ,

44

es

EILBk

= en unidades de longitud

4.4 CRITERIOS DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL EMPÍRICA La rigidez estructural empírica de una zapata aislada se define por los criterios de tipo geométrico de la figura. Esta definición fue planteada por J. Antonio Jiménez S (Geotecnia y Cimientos,). Teniendo en cuenta que para la determinación de la rigidez se toma el peralte total de la zapata, en el caso de zapatas armadas es necesario incluir en los cálculos el término 0.05 m , que es la distancia mínima de recubrimiento. En el caso de zapatas no reforzadas, la limitación corresponde a la formación de una biela cuya inclinación no debe ser menor de 045 . Resultan así las siguientes expresiones para una zapata armada:

( ) 0.054

B bH m

−≥ +

Para una zapata sin armar: ( )

2B b

H−

Donde B es el ancho de la zapata (m), b en el ancho de soporte que carga sobre la zapata (m), y H es el peralte total de la zapata (m), 0.05H d= + Para las definiciones basadas en la rigidez relativa, para el caso de una zapata aislada debe verificarse:

2 eB b Lπ− ≤

Page 52: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

52

4.5 MÓDULO DE REACCIÓN DEL SUELO

Cuando un suelo se modela por medio de resortes elásticos, se conoce como cimentación Winkler. La constante elástica de esos resortes supuestos se denomina módulo de reacción del suelo o coeficiente de balasto.

Si una cimentación de ancho B está sometida a una carga por área unitaria, q, ésta sufrirá un asentamiento, Δ, por lo que el coeficiente de reacción del suelo se define como:

Δ=

qk s

El valor del coeficiente de reacción del suelo no es una constante para un suelo dado. Éste depende de varios factores como la longitud, L; el ancho de la cimentación, B y de la profundidad de empotramiento de ésta. Terzaghi (1955) realizó un amplio estudio de los parámetros que influyen en el coeficiente de reacción del suelo. El modelo de Winkler es similar a considerar que la cimentación flota sobre un líquido cuyo peso volumétrico es similar al módulo de reacción, por lo que este modelo se le conoce como "viga flotante". Una debilidad de este modelo es que supone que el hundimiento es proporcional a la presión ejercida e independiente del área cargada. El módulo de reacción tiene unidades (kg/cm3) y se determina mediante una prueba de placa en la que se somete a carga una placa cuadrada de 30 cm de lado, la cual se apoya sobre el estrato de suelo en cuestión y se determina la relación esfuerzo-deformación del suelo que normalmente es no lineal.

q 1q 2

Page 53: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

53

Para pequeños tramos de placas 450, 600 y 750 mm de diámetro, es difícil obtener Δ , ya que la placa tiende a ser menos rígida tal que la deformación es constante, por lo que sk es difícil de definir. Por lo anterior, se define la deflexión media (P/A). Normalmente sk se toma en función de la deflexión máxima de la placa, Xmáx.

El valor de la presión del suelo se tiene como un valor constante:

qconstante=ks (Xmáx)

Al nivel medio de presiones a la cual estará sujeta la cimentación se determina el módulo de rigidez tangente, la cual se toma como módulo de reacción unitario. Terzaghi (1955) propone las siguientes expresiones para poder aplicar el módulo de reacción a una cimentación de un área cualquiera.

Para arcillas:

Bk

k 1ss =

Para arenas:

25.0B2

1Bkk2

1ss ⟩⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

Para una zapata rectangular sobre arena y de dimensiones b x “m”b:

m5.15.0mkk 1ss

+=

En donde Ks1 es el módulo de reacción para una placa de un pie de lado, y B (pies) es el ancho del cimiento. La ecuación propuesta por Vésic (1961) para calcular el módulo de reacción en forma simplificada y en función del módulo de elasticidad del suelo, es:

( )2s

s1B

Ek

μ−=

que también se puede escribir,

( ) w2s

sI 1B

Ek

μ−=

B

Xmáx

Δ

q

Page 54: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

54

Donde Iw es el factor de influencia que depende de la forma de la zapata y de su rigidez (Bowles). Existen tablas con valores nominales del módulo de reacción del suelo, los cuales deben de tomarse como una aproximación, ya que las propiedades elásticas de los suelos tienen grandes variaciones. La rigidez del suelo varía en forma importante según el tiempo en que permanecen actuando las cargas sobre él.

Tipo de suelo Es (kg/cm2) Ks1 (kg/cm3)

**Suelo fangoso 11.0 a 33.0 0.50 a 1.5 *Arena seca o húmeda, suelta (Ns 3 a 9) 0.16H a 0.48 H 1.20 a 3.60 *Arena seca o húmeda, media (Ns 9 a 30) 0.48 H a 1.60 H 3.60 a 12.0 *Arena seca o húmeda, densa (Ns 30 a 50) 1.60 H a 3.20 H 12.0 a 24.0 *Grava fina con arena fina 1.07 H a 1.33 H 8.00 a 10.00 *Grava media con arena fina 1.33 H a 1.60 H 10.0 a 12.00 *Grava media con arena gruesa 1.60 H a 2.00 H 12.0 a 15.00 *Grava gruesa con arena gruesa 2.00 H a 2.66 H 15.0 a 20.00 *Grava gruesa firmemente estratificada 2.66 H a 5.32 H 20.0 a 40.00 ** Arcilla blanda (qu 0.25 a 0.50 kg/cm2) 15 a 30 0.65 a 1.30 ** Arcilla media (qu 0.50 a 2.0 kg/cm2) 30 a 90 1.30 a 4.00 ** Arcilla compacta (qu 2.0 a 4.0 kg/cm2) 90 a 180 4.00 a 8.00 Arcilla dura (qu 4.0 a 10.0 kg/cm2) 180 a 480 8.00 a 21.0 Marga arenosa rígida 480 a 1000 21.00 a 44.00 Marga 500 a 50 000 22.00 a 2 200 Caliza alterada 3 500 a 5 000 150.0 a 220.0 Caliza sana 20 000 a 800 000 885.0 a 36 000 Granito sano 40 000 a 800 000 1 700 a 3 600

Ns número de golpes de la prueba de penetración estándar. H profundidad de desplante de la cimentación en cm. * En terrenos granulares si están sumergidos, los valores de la tabla se multiplican por 0.60. ** Los valores recomendados son para cargas de corta duración. Si se consideran cargas que produzcan consolidación, los valores de la tabla se multiplican por 0.25. qu resistencia del suelo.

Geotecnia y Cimientos III, Cimentaciones, excavaciones y Aplicaciones de la Geotecnia, J. A. Jiménez Salas (editor), Ed. Rueda, Madrid.

Alternativamente las ecuaciones anteriores se pueden escribir,

Para cimentaciones sobre arcillas:

s o30.30k k

B⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Para arenas:

Page 55: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

55

2

s o3B 0.3k k

2B+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Para cimentaciones rectangulares de BxL:

( )bxb

s

Bk 1 0.5Lk

1.5

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦=

lo que indica que para una cimentación muy larga con ancho B, ( )s bxbk 0.67k

En las anteriores ecuaciones, o3k se obtiene de una prueba de placa (KN/m3); B está en metros y ( )bxbk es el coeficiente de una cimentación cuadrada de lados

BXB en metros.

Tipo de suelo o3k kN/m3 Arena suelta 4800-16000 Arena con densidad media 9600-80000 Arena densa 64000-128000 Arena-arcilla con densidad media 32000-80000 Suelo arcilloso: uq 200≤ KPa (kN/m2) 12000-24000 u200 q 400⟨ ≤ KPa 24000-48000 uq 800⟩ KPa 48000⟩

Vésic (1961) propuso calcular el módulo de reacción, por medio de:

4s s12sf f

E B Ek 0.65E I 1

′ =− μ

donde sE , fE son el módulo del suelo y de la zapata, respectivamente; B es el ancho de la zapata, fI es el momento de inercia en la dirección transversal de la zapata (no en planta), el valor de, ks, se obtiene de:

ss

kkB′

=

Para casos prácticos, la ecuación de Vésic se reduce a:

( )s

s 2

EkB 1

=− μ

El módulo de elasticidad de los suelos granulares crece con la profundidad. Como el asentamiento de una cimentación depende del módulo de elasticidad, el valor de k, crece conforme aumenta la profundidad de la cimentación.

Page 56: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

56

4.6 ESTRUCTURA Y CIMIENTO RÍGIDOS En este caso no hay asentamientos diferenciales entre las columnas ni deformación por flexión. Si se considera que el suelo responde como una cimentación elástica de Winkler, entonces se concluye que la distribución de presiones es lineal, puesto que el cimiento permanece recto. Si la resultante de las cargas sobre el cimiento cae dentro del núcleo central del área de la zapata, como es lo recomendable, la distribución de presiones se calcula con la formula de la escuadría. Si la resultante de las descargas sobre el cimiento, pasa por el centro de gravedad del cimiento, la presión del suelo será uniforme. Una vez conocida las descargas y las presiones del suelo sobre el cimiento, los elementos mecánicos, de la trabe de cimentación se evaluarán a partir de su definición matemática. Este cálculo de los elementos mecánicos puede hacerse por el método de integración numérica de Newmark, que es útil cuando la distribución de presiones no es uniforme.

4.7 ESTRUCTURA FLEXIBLE En este caso, si hay hundimientos diferenciales entre las columnas y la deflexión del cimiento debe calcularse considerándola como viga Winkler, cualquiera que sea su rigidez. Es posible analizar la cimentación superponiendo los efectos de varias cargas y pares concentrados, correspondientes a cada una de las columnas de la estructura: El procedimiento de solución resulta muy laborioso, por lo que es necesario programarlo, o usar algún programa comercial de Elemento Finito (SAP-2000, ETABS, etc). Otra forma alternativa es por medio del Método de Diferencias Finitas o del Método del Elemento Finito Compuesto, que consideran que el suelo es un sólido elástico y la trabe de cimentación es una barra plana.

4.8 ESTRUCTURA RÍGIDA Y CIMIENTO FLEXIBLE La rigidez de la estructura impide los hundimientos diferenciales de las columnas, aunque el cimiento sea flexible. Por tanto, no se puede aplicar directamente el método de Winkler que supone que las cargas pueden acompañar en sus desplazamientos a la viga.

Page 57: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

57

Una única solución práctica que se dispone para este tipo de cimientos es muy simplificada y consiste en descomponer la descarga de cada columna [ ],i iP M en dos componentes:

1. La primera [ ],i iP Mβ β se le aplica a un cimiento que se considera rígido y tiene una distribución de presiones lineal.

2. La segunda [ ](1 ) , (1 )i iP Mβ β− − se le aplica al cimiento considerándolo como una viga de Winkler. Los elementos mecánicos de diseño son la suma de los producidos por cada componente.

Se recomiendan los siguientes valores de β , según sea el parámetro 15k del suelo, correspondiente a una prueba de placa de 15 cm de diámetro.

15k 3( / )kg cm 1.80⟨ 1.8 a 4.0 4.5 a 8.0 8.0⟩ β 1.00 0.75 0.50 0

Tipo de Suelo Arcilla blanda Arcilla compacta; arena suelta Arena suelta Roca, grava

densa

4.9 CIMENTACIONES SOBRE MEDIOS ELÁSTICOS Los efectos de los asentamientos diferenciales pueden despreciarse cuando se cumplan las condiciones siguientes:

a) Los hundimientos del suelo son suficientemente pequeños bajo las

cargas impuestas por la estructura. b) La cimentación tiene una rigidez muy superior a la del suelo sobre la que

se apoya, de manera que los asentamientos diferenciales son pequeños.

1) Normalmente la primera condición se cumple si los asentamientos

calculados bajo las cargas transmitidas por la estructura y despreciando la interacción con la cimentación no exceden de los límites permitidos en el código de diseño (Tabla II, Verificación de la seguridad de las cimentaciones). Como una aproximación, se sugiere que se cumpla la primera condición en edificios comunes, cuando el suelo de apoyo es uniforme con un número de golpes de 20 ó más (por cada 30 cm) en una prueba de penetración estándar, desde la superficie de apoyo hasta 1.5 veces el ancho de la cimentación. Además, debe cumplirse que el esfuerzo transmitido al suelo sea aproximadamente constante en toda el área de contacto y su valor promedio no exceda de 10 t/m2.

Cuando no se cumplan estas condiciones es necesario proporcionar a la cimentación una rigidez adicional, tal que se hunda como cuerpo rígido, evitando que se introduzcan fuerzas internas elevadas en la cimentación o en la estructura. Para lo cual se tiene que lograr que la cimentación tenga rigidez superior a la del suelo en que se apoya.

Page 58: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

58

2) Cuando una cimentación continua tiene claros uniformes y descargas de columnas aproximadamente iguales, para diseñarla ignorando los asentamientos de los apoyos en todos los claros, se debe cumplir de la teoría de vigas sobre medios elásticos:

2L π

≤λ en donde: 44

sEI4BLk

L =λ

L puede tomarse como el promedio de los claros adyacentes a cada columna, en la dirección aproximada, E es el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la cimentación. 3) Otro criterio se basa en la obtención de la medida de la rigidez relativa de la cimentación con respecto a la del suelo, a partir de un modelo simple de ambos.

Si la distribución de cargas y rigideces es aproximadamente simétrica, la cimentación se deformara también simétricamente y se puede modelar como una viga sujeta a una carga uniforme, igual a la presión del suelo, q, y empotrada en el centro de la cimentación.

La flecha de la viga en el centro y en el extremo son:

( )EI128

BLqEI82/LBq

44

ncimentació ==δ

en donde B es el ancho de la zona cargada y L la longitud total de la cimentación. Por otra parte, el hundimiento diferencial entre el centro y el extremo de una franja de suelo de longitud L y sujeta a una presión q, considerando al suelo como un medio semiinfinito con un módulo de elasticidad, Es, es:

sssuelo E4

qL2L

Eq5.0 ==δ

y

b L

x

yEI∑xEI∑

L/2

Page 59: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

59

La rigidez relativa entre la cimentación y el suelo, es el reciproco de las flecha, entre ambos bajo la carga, P.

3s

4sc

s

BLEEI32

qBLEI128

E4qLR ==

δδ

=

Si 15R ≥ los hundimientos diferenciales son menores que el 10% de los totales, por lo tanto se recomienda despreciarlos (Comité ACI 436). La desigualdad anterior puede expresarse como:

5.0BLEEI

3s

En una cimentación corrida, la viga equivalente cuyo producto EI se va a determinar puede considerase como la suma de todas las contratrabes en la dirección en estudio, además la anterior desigualdad debe revisarse en ambos sentidos. La cimentación y la superestructura están unidas a través de los elementos verticales de apoyo, por lo que la rigidez a la flexión de la superestructura contribuirá a evitar hundimientos diferenciales de la cimentación. Los peraltes de los sistemas de piso, normalmente, son menores que los de la cimentación, por lo que la contribución de los sistemas de piso a la rigidez no es muy importante. Lo que resulta siempre importante es la contribución de los muros que haya en la superestructura a la rigidez del conjunto. El ACI recomienda calcular:

∑ ∑+= VVCC IEIEEI

en donde ∑ CCIE se refiere al módulo de elasticidad y momento de inercia de la cimentación (zapata o losa y contratrabes) y la suma se refiere a todos los elementos alineados en la dirección considerada. ∑ VVIE se refiere a las propiedades de las vigas del sistema de piso y la suma se refiere a todos los pisos, y cuando corresponda a todos los ejes en la dirección considerada.

Page 60: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

60

EJEMPLO 4.1 La cimentación de un equipo industrial está formada por zapatas corridas longitudinales, apoyadas en un estrato superior de arcillas blandas con qu = 0.30 kg/cm2 Determinar si la cimentación es rígida.

Daos:t f´c = 250 kg/cm2 Centroide de la zapata : 3(350)(60)(30) (100)(60)(110) 1,290,000TyA cm= + =

2(360)(60) (100)(60) 27,000TA cm= + = (27000) 1,290,000y =

47.78y cm=

Momento de inercia centroidal

3 3

2(350)(60) (60)(100)(350)(60)(17.78) (60)(100)(62.22)12 12

I = + + + 441,166,666I cm=

Módulo de elasticidad del concreto, para cargas de corta duración, se puede colocar la mitad de su cE ,

30

60

60

100

60

110

30

350

y

6.0

4.0 6.0 4.0

Zapatas

Page 61: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

61

214 000 ´ 7000 250 110,680 /2c CE f kg cm= = =

Rigidez de la cimentación:

43(110,680 )(41,166,666 )c

kgE I cmcm

= 12 24.55632 10cE I x kg cm= −

Módulo de reacción del suelo: El ancho de la cimentación debe ser corregido:

350 11.4830.48 /

cmB piescm pie

= =

ks = B

ks1

De la tabla, los valores indicativos: 1sk = 0.65 a 1.30, que deben ser reducidos por 0.25 ya que se trata de cargas permanentes: Para 1 0.65sk =

3

(0.65)(0.25) 0.01411.48s

kgkcm

= =

Para 1 1.30sk =

3

(1.30)(0.25) 0.02811.48s

kgkcm

= =

Factor adimensional:

λL = 4

4

4 EILkB S

Para 30.014skgk

cm=

4

412

(350)(0.014)(1400)4(4.5563 10 )

Lx

λ =

1.008Lλ =

30.028skgk

cm=

4

412

(350)(0.028)(1400)4(4.5563 10 )

Lx

λ =

1.20Lλ =

Ambos valores son menores de: 2π = 1.57 por lo que la cimentación puede

considerarse como rígida, al diseñarse se puede ignorar el cálculo de los asentamientos diferenciales y se puede suponer una distribución de presiones uniformes en el terreno.

Page 62: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

62

4.10 CIMENTACIONES SOBRE MEDIOS ELÁSTICOS LOSAS DE CIMENTACIÓN

El comité 336 del ACI sugiere el siguiente método para calcular asentamientos diferenciales en losas de cimentación: 1) Se calcula el factor de rigidez, rk , como:

br 3

s

E IkE B

′=

donde: E′ es el módulo de elasticidad del material usado en la estructura; sE , es el módulo de elasticidad del suelo; B es el ancho de la cimentación, bI , es el momento de inercia de la estructura por unidad de longitud en ángulo recto con B. El término bE I′ se puede expresar como:

3

b F bahE I E I I12

⎡ ⎤′′ ′= + +∑ ∑⎢ ⎥⎣ ⎦

donde: bE I′ es la rigidez por flexión de la superestructura y cimentación por

longitud unitaria en ángulo recto con B; bE I ′′∑ es la rigidez por flexión de los

miembros enmarcados en ángulo recto con B; 3ahE

12′∑ es la rigidez por flexión de

los muros de cortante con un espesor “a” y altura “h”; FE I′ es la flexibilidad de la cimentación. 2) Conocido, kr, la relación:

asentamiento diferencialasentamiento total

δ =

se calcula con:

a) Si ⟩rk 0.50 , ésta puede calcularse como una losa rígida y 0δ = . b) Si =rk 0.50 entonces, 0.10δ =

c) Si =rk 0 , entonces: 0.35δ = para losas cuadradas B 1L

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

y

0.50δ = para cimentaciones largas B 0L

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 63: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

63

EJEMPLO 4.2 Para la siguiente losa de cimentación, determine las dimensiones de las contratrabes que garanticen una distribución uniforme de las cargas hacia el terreno de desplante y obtener la presión de diseño de la losa.

Bajada de cargas: ∑PU = 350 000 kg = 350 t Presión de diseño: qu = 7 500 kg/m2 Terreno: arcilla media qu de 0.50 a 2 kg/cm2 ∴ ES = 30 kg/cm2

Concreto clase 1: '2300c

kgfcm

=

214000 300 242,487ckgE

cm= =

Se toma 20.5 121,244ckgE

cm= , para cargas de corta duración

Área de la cimentación: A = (900) (900) = 8 100 m2

Área necesaria de cimentación:

Anec = 2/5007000350

mkgkg = 46.66 m2 < 81 m2

Relación del área 81

66.46 = 0.58 > 50 se requiere losa de cimentación.

Factor de rigidez:

A B C D

3.0 3.0 3.0

3.0

3.0

3.0 4

3

2

1

Page 64: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

64

kr , que nos permite ignorar los asentamientos diferenciales

kr = 3

´BEIE

S

b > 0.50

Donde Ib es el momento de inercia por unidad de longitud (900 cm) de la trabe.

Según las NTCC-RCDF para una trabe peraltada: hL < 3 ó 2.5

Se propone una contratrabe de un peralte total de 1.5 m,

hL =

150300 = 2 Viga peraltada

Se propone un ancho de la viga de 50 cm,

3 34(50)(150) 14,062,500

12 12bbhI cm= = =

Sustituyendo en 3

´ br

S

E IkE B

= considerando que existen 4 contratrabes en la

dirección de análisis con una longitud de 900 cm cada una,

3

(121,240)(14,062,500) 4(300)(900) 900rk ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0.35 0.50rk = ⟨ La cimentación no se considera como rígida y hay que calcular asentamientos diferenciales. En este ejemplo, tal vez, sea necesario aumentar el número de contratrabes (6) o el peralte de ellas para no calcular asentamientos.

NOTA: Sí se hubiera tomado 2242,487ckgE

cm=

150

50

Page 65: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

65

3

(242 487)(14 062 500) 4(30)(900) 900rk ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0.69 0.50rk = ⟩

Se trataría de una cimentación rígida

4.11 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS El método de Diferencias Finitas consiste en expresar las derivadas de una función continua por expresiones en funciones de intervalos discretos: El continuo se divide en intervalos o mallas, cuyos vértices son los nodos, estos intervalos pueden ser iguales o diferentes:

La derivada de una función es:

x 0 x 0

dy y y(x x) y(x)lim limdx x xδ → δ →

δ + Δ −= =

δ δ

y la segunda derivada es:

y

xxΔ

x

y

h h h

0y1y 2y

Page 66: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

66

2

2 x 0

y(x x) y(x) y(x) y(x x)d y d dy x xlimdx dx dx xδ →

+ Δ − − + Δ−⎡ ⎤ Δ Δ= =⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦

Cuando xΔ no tiende a cero, sino que tiene un valor finito h, las derivadas en un punto nx x= , son representadas en diferencias finitas:

n 1 n

n

y yyx h

+ −Δ=

Δ ó n n 1

n

y yyx h

+−Δ=

Δ

[ ]n 1 n n n 1

2

n 1 n n 12 2

y y y yy 1h h y 2y y

x h h

+ −

− +

− −−Δ

= = − +Δ

La deducción de los esquemas es más completo por medio de expansiones de series de Taylor. Existen tres formas de expresar las diferencias finitas:

a) hacia atrás

b) hacia adelante

c) centradas

Nota: Hablar sobre convergencia, error de redondeo, etc... y hacer las moléculas.

4.12 APLICACIÓN A VIGAS SOBRE APOYOS ELÁSTICOS

Una forma sencilla de calcular vigas sobre cimentaciones elásticas con cargas concentradas, consiste en concentrar la reacción distribuida de la cimentación a cada uno de los puntos nodales, de tal forma que se transforma en una viga sujeta a cargas concentradas actuando hacia abajo y hacia arriba; al aplicar la ecuación:

2

2d y Mdx EI

= −

Existen tres formas de concentrar las reacciones de la cimentación en los puntos nodales:

a) Concentración por medio de rectángulos.

b) Concentración lineal (triangular)

c) Concentración parabólica o de 2do. Grado.

4.12 .1 Concentración por medio de Rectángulos Las reacciones de la cimentación se consideran constantes e igual a:

nq ky=

Page 67: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

67

donde k es el módulo de reacción del suelo, el efecto de la reacción se transmite en una longitud h que es simétrica al punto nodal. Por tanto, todo punto particular “n” posee una reacción concentrada:

n nR ky h=

4.12.2 Concentración lineal triangular Las reacciones concentradas en los nodos se obtienen considerando a los segmentos de viga, entre estos puntos, como vigas simplemente apoyadas. Procediendo a calcular las reacciones en cada punto consecuencia de las reacciones trapezoidales de la cimentación. El problema consiste en determinar los valores de las reacciones i 1R − , iR , i 1R + , etc.

0R 1R 2R 3R 4R

0 1 2 3 4h h h h h

0ky 1ky 2ky 3ky 4ky

Page 68: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

68

0 ( , )P h a−

1(0, )P b

2 ( , )P h c

Los puntos tienen localización:

i 1 i 1P ( h,ky )− −−

i iP(0,ky )

i 1 i 1P (h,ky )+ +

Y la reacción en el punto central es:

i ii idR R R= + (1)

donde:

iiR es la reacción de i a la izquierda

idR es la reacción de i a la derecha.

Para encontrar i 1R −

i izqM 0=∑

y

x 2h

h h

x h= − 0x = x h= +

0p

1p 2p3h

ah

0 1 2

aRbR cRbaR bcR

2b a h−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 69: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

69

[ ]i 1 1 2h hR h P P 02 3−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2)

como:

[ ]1 i 1 i 1P hky khy− −= = (3)

( ) [ ]2 i i 1 i i 1h hkP ky ky y y2 2− −

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ (4)

entonces:

[ ] ( )i 1 i 1 i i 1h hk hR h hk y y y 02 2 3− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )i 1 i 1 i i 1kh khR y y y2 6− − −= + −

i 1 i 1 i i 1kh kh khR y y y2 6 6− − −= + −

i 1 i 1 ikh khR 2 y y6 6− −= +

[ ]i 1 i 1 ikhR 2y y6− −= + (5)

igualmente:

[ ]i 1 i 1 ikhR 2y y6+ += + (6)

Por otro lado:

i 1M 0− =∑

[ ]ii 1 2h 2hR h P P 02 3

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

de (3) y (4)

[ ] ( )ii i 1 i i 1h hk 2hR h hk y y y 02 2 3− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

entonces despejando, iiR ,

( )ii i i 1 i 1hk hkR y y y3 2− −= − +

ii i i 1 i 1hk hk hkR y y y3 3 2− −= − +

Page 70: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

70

[ ]ii i i 1hkR 2y y6 −= + (7)

igualmente:

[ ]id i i 1hkR 2y y6 += + (8)

De (1),

[ ]i i i 1 i i 1hkR 2y y 2y y6 − += + + +

Para los puntos centrales:

[ ]i i 1 i i 1hkR y 4y y6 − += + + (9)

para los puntos extremos:

[ ]i 1 i i 1hkR y 2y6− −= − + (10)

donde x hΔ = .

4.12.3 Concentración parabólica o de 2do. Grado

Para determinar los valores de las reacciones se calcula un polinomio de

interpolación de 2do. Grado y sus funciones de forma. Tomando la función de

aproximación: 2y Ax Bx C= + + (11)

Page 71: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

71

0 ( , )P h a−

1(0, )P b

2 ( , )P h c

Los puntos tienen localización:

i 1 i 1P ( h,ky )− −−

i iP(0,ky )

i 1 i 1P (h,ky )+ +

1) En x=-h, i 1y ky −= , en (11):

2i 1ky Ah Bh C− = − + (12)

2) En x=0, iy ky= , en (11),

iky C= (13)

3) En x=h, i 1y ky −= , en (11),

2i 1ky Ah Bh C+ = + + (14)

Sustituyendo (13) en (12) y en (14), y sumando término a término: 2

i 1 i2

i 1 i2

i 1 i 1 i

ky Ah Bh kyky Ah Bh ky

k(y y ) 2Ah 2ky

+

+ −

= − += + +

+ = +

de donde:

A = [ ]112 22 −− +− iii yyy

hk (15)

y

x 2h

h h

x h= − 0x = x h= +

0p

1p 2p

0 1 2

aRbR cRbaR bcR

dx

y

=da ydx

Page 72: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

72

Restando término a término: 2

i 1 i2

i 1 i

i 1 i 1

ky Ah Bh kyky Ah Bh ky

k(y y ) 2Bh

+

− +

= − +− = − − −− = −

despejando,

[ ]i 1 i 1kB y y2h + −= − (16)

Para encontrar el valor de la reacción i 1R −

i izqM 0=∑

h

i 10

R h xda 0−

− − =∫ (17)

como: da = y dx

da = [ ]CBxAx ++2 dx

en (17), h

3 2i 1

0R h Ax Bx Cx dx 0

− ⎡ ⎤− + + =∫ ⎣ ⎦

h3 2

i 10

R h Ax Bx Cx dx−

− ⎡ ⎤= + +∫ ⎣ ⎦

h4 3 2

i 10

Ax Bx CxR h4 3 2

− = + +

4 3 2

i 1Ah Bh ChR h4 3 2− = − +

3 2

i 1Ah Bh ChR4 3 2− = − + (18)

Sustituyendo en (18),

[ ]− += − +i 1 i i 12kA y 2y y

2h (15)

[ ]i 1 i 1kB y y2h + −= − (16)

iC ky= (13)

Page 73: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

73

[ ] [ ] [ ]i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 ikh kh khR y 2y y y y y8 6 2− − + + −= − + − − +

ordenando:

Ri-1 = [ ]− ++ −1 17 624 i i ikh y y y (19)

Similarmente: [ ]i 1 i 1 i i 1khR y 6y 7y24+ − += − + + (20)

Para encontrar la reacción: idR ,

i 1 izqM 0+ =∑

Rid h - ∫ −h

xhda0

)( = 0 (21)

como da = y dx = [ ]CBxAx ++2 dx

( )h

2id

0R h Ax Bx C h x dx⎡ ⎤= + + −∫ ⎣ ⎦

h2 3 2

id0

R h Ax h Bxh Ch Ax Bx Cx dx⎡ ⎤= + + − − −∫ ⎣ ⎦

Rid h = hChBxAxChxBhxAhx0

23423

23423−−−++

4 3 4 3 22

idAh Bh Ah Bh ChR h Ch3 2 4 3 2

= + + − − −

4 3 2id

1 1 1R h Ah Bh Ch12 6 2

= + +

3 2

idAh Bh ChR12 6 2

= + +

Sustituyendo

A = [ ]112 22 +− +− iii yyy

hk (15)

[ ]i 1 i 1kB y y2h + −= − (16)

iC ky= (13)

[ ] [ ]id i 1 i i 1 i 1 i 1 ikh kh khR y 2y y y y y24 12 2− + + −= − + + − +

ó bien:

Page 74: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

74

[ ]id i 1 i i 1khR y 10y 3y24 − += − + + (21)

de la misma manera:

[ ]ii i 1 i i 1khR 3y 10y y24 − += + − (22)

Sumando (21) y (22),

i ii idR R R= +

[ ]i i 1 i i 1khR 2y 20y 2y24 − += + + (23)

EJEMPLO 4.3 Calcular los elementos mecánicos de la cimentación de la figura.

Datos: f´c = 250 kg/cm2 L = 6 m

h = 4L = 1.50 m

1R0R2R 3R 4R

0 1 2 3 4

1.50m 1.50m 1.50m 1.50m

6L m=

1 100P t=2 75P t=

50cm

90B cm=

Page 75: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

75

m = 4 tramos EI = constante

3 34(90)(50) 937,500

12 12BhI cm= = =

214000 250 221,359 kgEcm

= =

Módulo de reacción del suelo:

37000skgk

cm= arena con grava

1. Ecuación de la viga

2

2

dxyd =

EIM−

Discretizando la segunda derivada central (tabla) segundo orden,

2

2

dxyd = 2

1h

[ ]11 2 +− +− iii yyy = EIM−

2. Condiciones de frontera

0 0M = (1)

4 0M = (2)

3. Condiciones de equilibrio.

↑ ∑ Fy = 0

R 0 + R1+R2+R4 = P1+P2 (3)

∑ M = 0

M1 = R0 h (4)

M D2 = 2 R0 h + R1 h - P1 h a la derecha (5)

+1 -2 +12

1h 2

1h

Page 76: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

76

M I2 = 2 R4 h + R3 h - P2 h a la izquierda (6)

M3 = R4 h (7)

4. Sustituyendo en la ecuación discretizada

[ ] 10 1 22

1 2 My y yh EI

− + = − (4)

2

1h

[ ]321 2 yyy +− = EIM D

2− a la derecha (5)

2

1h

[ ]321 2 yyy +− = EIM I

2− a la izquierda (6)

2

1h

[ ]432 2 yyy +− = EIM 3− (7)

5. Sustituyendo el valor de M1 , M2 ... M3

2

1h

[ ]210 2 yyy +− = [ ]01 R hEI

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( 4 )

2

1h

[ ]321 2 yyy +− = [ ]0 1 11 2R h R h PhEI

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( 5 )

2

1h

[ ]321 2 yyy +− = [ ]4 3 21 2R h R h P hEI

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( 6 )

2

1h

[ ]432 2 yyy +− = [ ]41 R hEI

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( 7 )

6. Tomando términos comunes.

[ ]210 2 yyy +− = [ ]3

0h REI

⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ( 4 )

[ ]321 2 yyy +− = [ ]3

0 1 12h R R PEI

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥

⎣ ⎦ ( 5 )

[ ]321 2 yyy +− = [ ]3

4 3 22h R R PEI

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥

⎣ ⎦ ( 6 )

Page 77: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

77

[ ]432 2 yyy +− = [ ]3

4h REI

⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ( 7 )

0 1 2 3 4 1 2R R R R R P P+ + + + = + (3)

Sustituyendo los valores de Rn del esquema “ concentración parabólica” ó de 2do grado

[ ]0 0 1 27 624hkR y y y= + −

[ ]1 0 1 22 20 2

24hkR y y y= + +

[ ]2 1 2 32 20 224hkR y y y= + +

[ ]3 2 3 42 20 224hkR y y y= + +

[ ]4 2 3 46 724hkR y y y= − + +

7. Las ecuaciones 4, 5, 6, 7 y 3 se pueden escribir :

[ ]210 2 yyy +− [ ]4

0 1 27 624h k y y y

EI⎡ ⎤

= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]321 2 yyy +− [ ] [ ]{ }4 3

0 1 2 0 1 2 114 12 2 2 20 224h k hy y y y y y P

EI EI⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − + − + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]321 2 yyy +− [ ] [ ]{ }4 3

2 3 4 2 3 4 22 12 14 2 20 224h k hy y y y y y P

EI EI⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − + + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]432 2 yyy +− [ ]4

2 3 46 724h k y y y

EI⎡ ⎤

= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0 1 2 0 1 2 1 2 3 2 3 4 2 3 47 6 2 20 2 2 20 2 2 20 2 6 724hk y y y y y y y y y y y y y y y⎡ ⎤ + − + + + + + + + + + + − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2P P+

8. Renombrando a :

7 6 -1

i 1i + 2i +

2 20 2

1i + i 1i +

-1 6 7

2i − 1i − i

Page 78: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

78

4 4

1(150) (7000) 0.7115

24 24(221,359)(937,500)h kC

EI= = =

3 35

2(150) 1.6263 10

(221,359)(937,500)hC xEI

−= = =

3(150)(7000) 43,750

24 24hkC = = =

9. Sustituyendo

y0 – 2 y1 + y2 = - 0.7115 [ ]210 67 yyy −+

y1 – 2 y2 + y3 = - 0.7115 [ ]10 3216 yy + + (1.6263 x 10-5 ) (100, 000)

y1 – 2 y2 + y3 = - 0.7115 [ ]43 1632 yy + + (1.6263 x 10-5 ) (75 000)

y2 – 2y3 + y4 = - 0.7115 [ ]432 76 yyy ++−

43 750 [ ]43210 92822289 yyyyy ++++ = (100 000) (75 000)

Multiplicando:

y0 – 2 y1 + y2 = - 4.9805 y0 - 4.269 y1 + 0.7115 y2

y1 – 2 y2 + y3 = - 11.384 y0 - 22.768 y1 + 1.6263

y1 – 2 y2 + y3 = - 22.768 y3 - 11.384 y4 + 1.2197

y2 – 2y3 + y4 = + 0.7115 y2 - 4.269 y3 - 4.9805 y4

9 y0 + 28 y1 +22 y2 + 28 y3 + 9 y4 = 4

10. Ordenando.

5.9805 y0 + 2.269 y1 + 0.2885 y2 = 0

11.384 y0 + 23.768 y1 - 2.0 y2 + y3 = 1.6263

y1 - 2 y2 + 23.768 y3 + 11.384 y4 = 1.2197

0.2885 y2 + 2.269 y3 + 5.9805 y4 = 0

9 y0 + 28 y1 +22 y2 + 28 y3 + 9 y4 = 4

Page 79: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

79

ó bien :

985.5269.22885.000384.11768.23210002885.0269.29805.5012768.23384.1192822289

−+

+−

4

3

2

1

0

yyyyy

02197.10

6263.14

=

cuya solución es:

y0 = - 0.03261 cm

y1 = + 0.083253 cm

y2 = + 0.021216 cm

y3 = + 0.061203 cm

y4 = - 0.024225 cm

11. Calculo de reacciones:

24hk = 43 750

R0 = 43 750 [ ]021216.0)083253.0(6)03261.0(7 −+− = 10,938.9 kg

R1 = 43 750 [ ])021216.0(2)083253.0(20)03261.0(2 ++− = 71,849.4 kg

R2 = 43 750 [ ])061203.0(2)021216.0(20)083253.0(2 ++ = 31,203.9 kg

R3 = 43 750 [ ])024225.0(2)061203.0(20)021216.0(2 −++ = 53,289.3 kg

R4 = 43 750 [ ])024225.0(7)061203.0(6)021216.0( −++− = 7,718.68 kg

Page 80: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

80

12. Momentos flexionantes:

M0 = 0 M1 = (10,9389)(150) = 1640.84 t.cm

M D2 = 2(10,9389)(150) + (71.8494)(150) – (100)(150) = - 940.92 t.m

M I2 = 2(7.718)(150) + (53.289)(150) – (75)(150) = - 941.25 t.m

M3 = (7.718)(150) = 1 157.7 t.cm

M4 = 0

Por lo tanto.

M1 = -1640.84 t.cm

M D2 = + 940.92 t.m

M I2 = + 941.25 t.m

M3 = - 1 157.7 t.cm

M4 = 0

13. Cortantes.

V0 = R0 = +10.938 t

V1 = R0+R1–P1= - 17.213 t

V2 = R0+R1–P1+R2= + 13.991 t

V3 = R0+R1–P1+R2+R3– P2= - 7.72 t

V4 = R4 = + 7.718 t 14. Calculo de giros.

[ ]1 112 n n x

dy y ydx h

θ+ −= − =

i = 1 [ ] 42 0 1

1 1.7942 102

y y xh

θ −− = =

i = 2 [ ] 43 1 2

1 3.1271 102

y y xh

θ −− = =

Page 81: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

81

i = 3 [ ] 44 2 3

1 1.5147 102

y y xh

θ −− = = −

1 100=P t 2 75=P t

+

+

+

-

+

0

+

0

0 1 2 3 4

210x3.2−

8.3+2.12+

6.12+

2.42−

10.939 71.849 31.204 53.289 7.718

10.938+

17.21−

13.991+

7.72−

7.718+

0

1640−

940+

1157−

0

2 cmx10desplazamientos

Reacciones t

V(t)

M(t cm)−

Page 82: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

82

CAPÍTULO 5

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO COMPUESTO

En este procedimiento se consideran por separado la viga y el suelo: la viga se flexiona debido a las cargas verticales ( )iQ y la presión de contacto del suelo ( )q ; el suelo se deforma debido a la presión ejercida por la viga ( )q . La solución del problema consiste en calcular la distribución de presiones, q, que produce deformaciones iguales en la viga y el suelo. El problema puede resolverse si se supone que la viga es una barra plana y que el suelo es un sólido elástico homogéneo. En este caso, es posible plantear fórmulas generales para la flexión de la viga y la deformación del suelo, que incluyen como incógnita a la presión de contacto, q. Introduciendo la condición de que los desplazamientos verticales de la viga y el suelo deben ser iguales a lo largo de toda la superficie de contacto, el problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones integro-diferenciales. Para simplificar la solución, se considera que la presión de contacto, q, es uniforme en tramos de viga y sólo se busca la igualdad de desplazamientos en algunos puntos seleccionados. El método se puede emplear en vigas de cualquier geometría, aún con sección variable, y con cargas aplicadas en cualquier punto.

1. Se subdivide la viga en tramos, no necesariamente iguales, en los que la presión del suelo es constate. A mayor número de tramos le corresponde una mayor aproximación.

2. Se seleccionan los puntos de contacto de la viga y el suelo donde se igualarán los desplazamientos de ambos. El número de puntos seleccionados es igual al número de ecuaciones simultáneas que habrán que resolverse.

3. En general, es recomendable seleccionar puntos en el centro de los tramos previamente considerados.

4. A continuación se calculan los hundimientos del suelo con la fórmula elástica:

( )2s

s

Bq 1 vy c

E−

=

El coeficiente, c, depende de la relación de aspecto ( )A / B del rectángulo cargado, como se muestra en la figura siguiente. El hundimiento total de cada uno de los puntos seleccionados se calcula superponiendo los efectos de varios rectángulos, de manera semejante a como se calculan los incrementos de presión efectiva al valuar el hundimiento por consolidación.

Page 83: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

83

( )2s

as

Bq 1y c

Eν−

= ( )nc 0.3234 log A / B 0.7215≈ +

( )A / B c 1.0 0.64 1.5 0.89 2.0 0.98 3.0 1.11 5.0 1.27

10.0 1.49 100.0 2.20

1000.0 2.94 10000.0 3.70

Hundimientos de un sólido elástico (Shleicher, 1927) EJEMPLO 5.1 Determinar las condiciones de rigidez de la siguiente viga, con sección constante que soporta una carga vertical concéntrica.

q

BxA

sEsν

aB

A

a

Page 84: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

84

En este ejemplo se seleccionan cuatro tramos de la misma longitud y puntos en el centro de los tramos seleccionados.

Hundimientos en el punto 1:

EI

sE sνL 8B= B

B

L 8B=

Q

Q

Q

2q 2q 1q

2B 2B 2B 2B

Q

1 2 3 4

2B 2B 2B 2B

Page 85: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

85

A / B 1; c 0.64= = A / B 7; c 1.35= = A / B 5; c 1.27= = A / B 1; c 0.64= =

Superposición de rectángulos cargados:

( ) ( )2s

1 1 1 2 1 2 1s

B(1 )y 0.64q 1.35q 1.27 q q 0.64 q qE

ν−= + + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) [ ]2s

1 1 2s

B 1y 1.36q 0.63q

Eν−

= + (a)

Hundimientos en el punto 2:

A / B 3; c=1.11=A / B 5; c=1.27= A / B 1; c=0.64= A / B 3; c=1.11=

2B 4B 2B

B

B

B

B

B

B

7B

5B

1q 2q1q

1q

( )2 1q q−

( )2 1q q−

1

1

1

1

1q

B

B

B

2B 2B4B

5B3B

2

2

2

B 3B

2q 2q 1q

1q 1q

2 1q q− 2 1q q−

Page 86: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

86

Superposición de rectángulos cargados:

( ) ( ) ( )2s

2 1 1 2 1 2 1s

B 1y 1.11q 1.27q 0.64 q q 1.11 q q

Eν−

= + + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) [ ]2s

2 1 2s

B 1y 0.63q 1.75q

Eν−

= + (b)

Si el terreno de cimentación puede sufrir asentamientos importantes por consolidación, los hundimientos 1y y 2y ; también pueden expresarse en términos

1q y 2q ; a partir de las curvas de compresibilidad del suelo. Como siguiente paso se calculan los desplazamientos de la viga. En este caso, la simetría de la viga permite calcularlos aprovechando que la pendiente de la elástica en el centro del claro es horizontal, así, se pueden usar las fórmulas:

3

AwL6EI

θ =

4

AwLy8EI

=

( )4 3 4wy 3L 4L x x24EI

= − +

Se hace el siguiente artificio:

L

EI

w

A

Page 87: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

87

Desplazamientos de la viga Para el punto 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 34 3 2 1 2 141

1

q q B 2B q q B(2B) Bq Bu 3 4B 4 4B B B24EI 8EI 6EI

− −⎡ ⎤= − + + +⎣ ⎦

( ) ( )4 4 4 5 5

1 1 2 1 2 124EIu q B 768B 256B B 48 q q B 32 q q B⎡ ⎤= − + + − + −⎣ ⎦

5 5 51 1 2 124EIu 513q B 80q B 80q B= + −

( )5 51 1 2

1u 433q B 80q B24EI

= +

( )5

1 1 2Bu 18.042q 3.33qEI

= + (c)

Para el punto 2:

( ) ( ) ( )4 3 2 14 4 3 412

q qq Bu 3 4B 4 4B 3B (3B) 3(2B) 4(2B) B B24EI 24EI

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦⎣ ⎦

Q

1q 2q 1q

1q

( )2 1q q−

1 2

1u2u

Page 88: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

88

[ ] ( ) [ ]5 52 1 2 124EIu q B 768 768 81 q q B 48 32 1= − + + − − +

5 5 5 5 5

2 1 2 1 1 224EIu 81q B 17q B 17q B 64q B 17q B= + − = +

[ ]5

2 1 2Bu 2.67q 0.71qEI

= + (d)

La primer condición que se debe cumplir es la equilibrio, entonces:

1 2 1Q 2Bq B 4Bq B 2Bq B= + +

2 21 2Q 4B q 4B q= + (e)

Las siguientes ecuaciones se obtiene por compatibilidad de desplazamientos. Es importante notar que los desplazamientos 1y y 2y del suelo son los desplazamientos reales, y los desplazamientos 1u y 2u son movimientos de la viga relativos al centro de la zapata. Por lo tanto, sabemos que los desplazamientos relativos entre los puntos 1 y 2 deben ser iguales para el suelo y la viga. ( ) ( )1 2 1 2y y u u− = −

[ ] [ ]2 2s s

1 2 1 2s s

B(1 ) B(1 )1.36q 0.63q 0.63q 1.75qE E

ν ν− −+ − + =

[ ] [ ]5 5

1 2 1 2B B2.67q 0.71q 18.04q 3.33qEI EI

+ + +

[ ] [ ]2 5s

1 2 1 2s

B(1 ) B0.73q 1.12q 20.71q 4.04qE EI

ν−− = +

[ ]2s

1 2 1 24s

EI(1 ) 0.73q 1.12q 20.71q 4.04qE B

ν−− = + (f)

Llamando a:

( )2s

4s

EI 1s

E Bν−

= (g)

1 2 1 20.73sq 1.12sq 20.71q 4.04q− = +

( ) ( )1 220.71 0.73s q 4.04 1.12s q 0− + + =

Page 89: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

89

( ) ( )1 20.73s 20.71 q 4.04 1.12s q− = +

1 24.04 1.12sq q0.73s 20.71

+=

Llamando a: 4.04 1.12sA0.73s 20.71

+=

− (h)

1 2q Aq= (i)

Si la zapata es muy rígida y/o el suelo muy deformable:

s

EI sE 0

4.04 1.12s 1.12Lim A Lim 1.530.73s 20.71 0.73→∞ →∞

+= = =

1 2q 1.53q=

Si la zapata es muy flexible y/o el suelo muy rígido:

s

EI 0 s 0E

4.04 1.12s 4.04Lim A Lim 0.1950.73s 20.71 20.71→ →

→∞

+= = − = −

1 2q 0.195q= −

Sustituyendo (i) en la ecuación de equilibrio (e),

( )21 2Q 4B q q= +

( )2 2

2 2 2Q 4B (Aq q ) 4B 1 A q= + = + Despejando 2q , multiplicando y dividiendo por 2:

2 2 2

1 Q 2 Qq1 A 4B 1 A 8B

= =+ +

Como el área de contacto de la zapata es: 28B a=

22 Qq

1 A a=

+ (j)

12A Qq

1 A a=

+ (k)

Si la zapata es rígida y/o el suelo deformable, A=1.53,

Page 90: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

90

1Qq 1.21a

=

2Qq 0.79a

=

Si la zapata es flexible y/o el suelo rígido, A=-0.195,

1Qq 0.48a

= −

2Qq 2.48a

=

Zapata rígida y/o suelo deformable Zapata flexible y/o suelo rígido Si la zapata es muy rígida o el suelo muy deformable, la distribución de presiones no es uniforme sino que aumenta cerca de los bordes y disminuye hacia el centro del claro. Si la zapata es muy flexible o el suelo muy rígido, la presión se concentra en el centro del claro y disminuye hacia los borde.

Zapata rígida y/o suelo deformable Zapata flexible y/o suelo rígido El momento flexionante máximo ocurre en el centro de la zapata:

Q

Q1.21a

Q0.79a

Q1.21a

Q Q0.48a

Q0.48a

Q2.48a

Page 91: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

91

[ ]max 1 2M q B(2B) 2B B q B(2B)B= + +

3 3

max 1 2M 6q B 2q B= +

( )3 3 3max 2 2 2M 6Aq B 2q B q B 6A 2= + = +

( )max2 QM 6A 2

1 A a= +

+

3

max12A 4 QM B

A 1 a+

=+

Si la zapata es muy rígida, A=1.53 y,

( ) 3max

12 1.53 4 QM B1.53 1 a

+=

+

3max

QM 8.84 Ba

=

Si la zapata es muy flexible, A=-0.195,

( ) ´3max

12 0.195 4 QM B0.195 1 a− +

=− +

3max

QM 2.06 Ba

=

El momento flexionante en la zapata rígida es de 4 veces más grande que en la zapata flexible. Si se compara con el momento que se obtendría con la hipótesis habitual de distribuir uniformemente las presiones:

0Qqa

=

3 3

max 0 0QM q B(4B)2B 8q B 8 Ba

= = =

Es decir, la distribución uniforme de presiones produce un momento máximo similar al de una cimentación rígida.

Q

2B

12 Qq

1 A a=

+

22A Qq

1 A a=

+

2B

Page 92: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

92

Si la cimentación es flexible o el suelo es duro, la hipótesis habitual de suponer una distribución de presiones uniforme es muy conservadora y antieconómica, puesto que se diseña para momentos flexionantes muy grandes.

Page 93: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

93

CAPÍTULO 6

CIMENTACIONES SOMERAS

6.1 ZAPATAS AISLADAS

Las zapatas aisladas son estructuras constituidas principalmente por una losa que puede tener formas diversas como cuadradas, rectangulares, circulares o cualquier otra de acuerdo a la construcción. Las fuerzas que pueden actuar sobre una zapata son la carga axial, momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Es común que este tipo de cimentaciones se use en: casas habitación, edificios de mediana altura, naves industriales, postes de alumbrado y puentes. Se recomienda su empleo de preferencia en suelos de baja compresibilidad (índice de compresión menor de 0.20) y cuando se tengan asentamientos diferenciales entre columnas que se puedan controlar por medio de la flexibilidad de la estructura o por el uso del procedimiento de asentamientos iguales en el cálculo de las áreas de las zapatas. En suelos de compresibilidad media se recomienda el uso de zapatas corridas, ligadas por medio de trabes de liga, según sea la intensidad de la carga a soportar. Por medio de análisis teóricos elásticos y observaciones se ha demostrado que la distribución de esfuerzos debajo de las zapatas cargadas simétricamente, no es uniforme. La distribución de esfuerzos depende del tipo de material debajo de la zapata y de la rigidez de la zapata misma. Para zapatas sobre material suelto y poco cohesivo, las partículas del suelo tienden a desplazarse hacia los extremos, quedando relativamente confinadas en el centro. En el caso general de zapatas rígidas sobre suelos cohesivos la distribución de presiones es máxima en los extremos y mínima en el centro.

Suelo cohesivo (arcilla) Material suelto y poco cohesivo

Page 94: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

94

Suposición de distribución de esfuerzos

En el diseño (práctica profesional) se hacen las siguientes hipótesis: 1) la distribución de presiones es lineal, 2) la losa de la zapata se considera rígida y 3) no se admiten tensiones en el terreno.

Distribución lineal de esfuerzos en el suelo

6.2 GENERALIDADES

La columna puede apoyarse sobre un dado o pedestal y éste a su vez sobre la losa de la zapata, si se utiliza un dado, se recomienda que su sección sea, como mínimo, igual a la de la columna y su altura no mayor de tres veces el lado menor del dado. El pedestal en ocasiones es necesario cuando la columna de la estructura es de acero estructural y la profundidad del desplante de la zapata es relativamente profunda. El propósito del pedestal es evitar la corrosión del acero de la columna debido al terreno. Si el pedestal es muy alto se presentan algunos problemas para proveer suficiente apoyo lateral contra el pandeo lateral. Se recomienda diseñar los pedestales como columnas cortas, con un porcentaje de acero mínimo del 0.01 Acol (ACI-318-89 art. 10.9-8).

Page 95: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

95

Consideraciones geométricas Se propone usar zapatas rectangulares cuando las zapatas cuadradas no pueden ser usadas debido a las limitaciones de espacio. También pueden usarse cuando se presenta un momento de volteo y se quiere un diseño más económico. El peralte total de la zapata puede estar controlado por el cortante, excepto cuando la acción como viga ancha lo controla, es decir para relaciones longitud a ancho, L/B, mucho mayor que uno, o cuando existe momento de volteo.

6.3 COMENTARIOS A LAS NTC-CONCRETO-2004 CONSTANTES DE CÁLCULO

CONCRETO Clase 1 f´c ≥ 250 kg/cm2 ( 25 MPa ) Clase 2 200 kg/cm2 ≤ f´c < 250 kg/cm2 (20 MPa ) (25 MPa ) VALOR NOMINAL f*c = 0.80 f´c MÓDULO DE ELASTICIDAD Clase 1 Ec = 14000 cf '

[ Ec = 4 400 cf ' ] MPa Clase 2 Ec = 8000 cf '

[ Ec = 2 500 cf ' ] MPa ESFUERZOS DE COMPRESIÓN

ancho del dado o pedestal

Cc ancho de columna

cp

Cp >Cc

h 3Cp≤

Page 96: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

96

h d

c = fc″ ab

E.N.

T = Asfy

fc″

a = β1 c

( d − a/2 )

b

c

Donde:

β1 = 0.85 sí f*c ≤ 280 kg/cm2 ( 28 MPa )

β1 = 1.05 - 1400

*fc sí f*c > 280 kg/cm2

fc´´= 0.85 f*c

fc″

c = fc″ ab

C

a = β1 c

b

E.N.

MR = FR b d2 fc´´q ( 1- 0.5 q ) (2.4)

ó

MR = FR AS fy d ( 1- 0.5 q ) (2.5) Con FR = 0.90 para flexión

q = ´´fc

Pfy índice de refuerzo ( 2.6 )

P = bdAs cuantía del acero de refuerzo a tensión

Page 97: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

97

ÁREA DE ACERO MÍNIMO

AS min = fy

fc´70.0bd (2.2)

[AS min = fy

fc´22.0 bd ]

ÁREA DE ACERO BALANCEADO

ASb = fyfc´´

600016000

+fyβ bd (2.3)

[ASb = fyfc´´

6001600

+fyβ bd ]

ÁREA DE ACERO MÁXIMA

ASmax = 0.75 ASb zona sísmica ASmax = 0.90 ASb zona no sísmica

Como Aspbd

=

pmin = fyfc´70.0

;

pb = fyfc´´

600016000

+fyβ

pmax = { 0.75 pb

{ 0.90 pb

Page 98: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

98

6.4 DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS Revisión 1) Por cortante:

• como viga ancha • por penetración

2) Por flexión 3) Por aplastamiento

Como viga ancha Por penetración

REVISIÓN POR FLEXIÓN Las secciones críticas para diseñar por flexión se localizan en la forma siguiente:

a) En zapatas que soportan columnas, pedestales o muros de concreto; al paño de la columna, pedestal o muro.

b) En zapatas que soporten muros de piedra o tabique, la sección media entre el paño y

el eje del muro.

P

Por cortante

P P

Zona Critica

Page 99: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

99

c) Zapatas que soportan columnas de acero a través de placas de base; la sección

crítica será el perímetro de la columna, a menos que la rigidez y resistencia de la placa permitan considerar una sección más alejada.

La capacidad de carga admisible es:

da

s

qqF

= ( )2t / m

la reacción neta es: u

uPqBL

=

considerando que: L cx

2−

=

el momento máximo de diseño por flexión: 22

umax

q xwxM2 2

= = con unidades por metro de profundidad 22

t m t / mm

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ó bien: ( )u 2

max

q BM x

2= en unidades ( ) 2

2

t m m t mm

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

CL

/

Zona Critica

b/2

b

b/4

Zona Critica

XPlaca base

x/2

Muro de piedra o tabique

Muro de piedra o tabique

Page 100: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

100

DISEÑO POR CORTANTE La resistencia de una zapata a fuerza cortante en la proximidad de una columna o pedestal será la menor de la correspondiente a las dos condiciones siguientes:

a) La zapata actúa como una viga ancha, tal que las grietas diagonales potenciales se extienden en un plano que abarca todo el ancho.

qu reacción neta, t/m2

L

B

x

P

Mmáx

c

u 2

tw q B mm

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

maxwxM

2=

Page 101: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

101

La sección crítica está definida por un plano vertical que se extiende en todo el ancho de la zapata y está situado a un peralte efectivo, d, del paño de la columna o pedestal. Sí la columna se apoya a través de una placa de acero y sí la rigidez y resistencia de ésta lo justifican, se puede considerar una sección crítica más alejada. La resistencia a fuerza cortante, VCR, de una zapata de no más de 600 mm de espesor, trabajando como viga ancha con relación ancho a peralte efectivo no menor que cuatro:

B ≥ 4d

y la relación VdM

≤ 2 , la fuerza cortante que toma el concreto es:

VCR = 0.5 FR b d *fc Independientemente de la cuantía de refuerzo. El refuerzo a flexión debe estar completamente anclado a ambos lados de los puntos en que cruce a toda posible grieta inclinada causada por la fuerza cortante; en zapatas de sección constante. Para lograr este anclaje basta, entre otras formas, suministrar en los extremos de las barras dobleces de 90° seguidos de tramos rectos de longitud no menor de 12 diámetros de la barra.

Sí el espesor es mayor de 600 mm, o la relación VdM > 2; la resistencia a la fuerza cortante

se calculará con: a) sí P < 0.015

VCR = FR bd ( 0.2 +20p ) *fc (2.19)

[VCR = 0.16 FR bd *fc ]

d

d

Pu

c d L c d2−⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦L

Page 102: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

102

donde: Aspbd

=

b = ancho de la sección d = peralte efectivo de la zapata (cm) As = área de acero a tensión FR = 0.80

b) Existe una acción en dos direcciones de manera que el agrietamiento diagonal

potencial se presentaría sobre la superficie de un cono o pirámide truncada en torno a la carga o reacción concentrada (por penetración).

La zona crítica se supondrá perpendicular al plano de la zapata y se localizará según: • Sí el área donde actúa la reacción o la carga concentrada no tiene entrantes, la

sección crítica formará una figura semejante a la definida por la periferia del área

cargada, a una distancia de ésta igual a 2d , donde “d” es el peralte efectivo de la

losa.

• sí el área cargada tiene entrantes, en ellas se hará pasar de modo que su perímetro sea mínimo y que en ningún punto su distancia a la periferia del área cargada sea

menor que 2d .

d2

d2

d2

d2

Page 103: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

103

• Cuando en una zapata haya aberturas que disten de una carga o reacción

concentradas menos de diez (10) veces el espesor del elemento, o cuando la abertura se localice a una franja de la columna, no se considerará efectiva la parte de la sección crítica comprendida entre las rectas tangentes a la abertura y concurrentes en el centroide del área cargada.

• La franja de la columna es (6.3.3.2)

La losa de la zapata se considerará dividida en cada dirección, en dos franjas extremas y una central:

1) Para alc

cortocarg.

. ≥ 0.5 las franjas centrales tendrán un ancho igual a la mitad del claro

perpendicular a ellas, y cada franja extrema, igual a la cuarta parte del mismo.

LB ≥ 0.50

B ≥ 0.5 L Por ejemplo, sí B =3.5m L = 6 m que es: 3.5 > 3

columna

d2

d2

Cam

Franja extrema Franja central

L

B

Franja extrema

Page 104: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

104

2) Para relaciones LB < 0.5 la franja central perpendicular al lado largo tendrá un

ancho igual a (L – B) y cada franja extrema igual 2B .

B = 2 m B < 0.5 L L = 5m 2 < ( 0.5)(5) 2 < 2.5 m

Interacción supuesta entre la fuerza cortante y el momento flexionarte a) Si no hay transmisión de momento entre la losa o zapata y la columna, o si el momento flexionante por transmitir, Mu, no excede de 0.20 V u d; el esfuerzo cortante de diseño, av , se calcula con:

ua

0

Vvb d

= (2.27)

Donde 0b es el perímetro de la sección critica, y V u la fuerza cortante de diseño en dicha sección.

B=3.5m

L/4 L/4L/2

L=6m

1.5 1.5 3.0

B/4

B/4

B/2 1.75

0.875

0.875

)B/2 B/2 (L-

B/4

B/4

B/2

1.0 1.0 3.0

L=5m

1.0

0.5

0.5

B=2m

Page 105: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

105

b) Cuando haya transferencia de un momento flexionante, se supondrá que una fracción del momento dado por:

1

2

11c d1 0.67c d

α = −+

++

(2.28)

Se transmiten por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección critica. En columnas rectangulares c1 es la dimensión paralela al momento flexionante transmitido y c 2 es la dimensión perpendicular a c1 . En columnas circulares c1 = c 2 =0.90D El esfuerzo cortante máximo de diseño, uv , se obtendrá tomando en cuenta el efecto de la carga axial y el momento, suponiendo que los esfuerzos cortantes varían linealmente. El resto del momento, es decir, la fricción 1-α, debe transmitirse por flexión en un ancho igual a c 2 +3h, centrado con el eje de la columna, para este fin puede concentrarse en dicho ancho parte del esfuerzo por flexión, respetando siempre la cuantía máxima de esfuerzo. El esfuerzo cortante máximo de diseño no debe exceder de:

FR ( 0.5+ γ ) *cf (2.29)

Ni de FR *cf

〔0.30 FR(0.05+γ ) *cf ni de 0.30 FR *cf 〕 A menos que se suministre esfuerzo por cortante. Donde:

dim. menor de la columnadim. mayor de la columna

γ =

FR = 0.70 a) columna interior

Page 106: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

106

C1 + d

C1

C2 + d C2

CCDCAB

D

CA

B

Seccion Critica

Vu

Mu

VuAB VuCD

VUab = AcrVu +

C

AB

JMuCα

VUcd = AcrVu -

C

CD

JMuCα

Acr = 2d (c1+c2 + 2d)

JC = 6

)( 31 dcd + +

31(c d)d

6+

+ 2

))(( 212 dcdcd ++

b) columna de borde

VuAB = AcrVu +

C

ABuu

JcgVM )( −α

Page 107: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

107

VuC = VuD = AcrVu -

C

ABuu

JcgVM )( −α

Acr = d (2c1+c2 + 2d)

c AB = crA

ddc 21 )2/( + ; g = (c1 +d)/2-c AB

JC = 6

)2/( 31 dcd + +

6)2/( 3

1 ddc + + (c 2 +d)d c AB2 +2(c1 +d/2)d

21

22/

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+ABcdc

c) columna de esquina

C2 + d C2

Seccion Critica

B

CA

D

C1 + d

C1

CAB CCD

g

Vu

Mu − Vu g

VuAB VuCD

Page 108: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

108

VuA = cr

u

AV

+ cx

ABxuux

JcgVM )( −α

- cy

ACyuuyy

JcgVM )( −α

VuB = cr

u

AV

+ cx

ABxuux

JcgVM )( −α

+cy

BDyuuyY

JcgVM )( −α

VuD = cr

u

AV

- cx

CDxuux

JcgVM )( −α

+cy

BDyuuyY

JcgVM )( −α

Acr = d (c x +c y +d)

c AB = cr

x

Addc

2)2/( 2

; ccr

y

Addc

2)2/( 2+

g x = (c x +d)/2 -c AB ; g y = (c y +d)/2 - c BD

J cx = 12

)2/( 3dcd x + +

12)2/( 3ddcx +

+ (c y +d/2)d c 2AB + (c x +d/2)d

2

22/

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+AB

x cdc

J cy = 12

)2/( 3dcd y ++

12)2/( 3ddcy +

+(c x +d/2)d c 2BD + (c y +d/2)d

2

22/

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+bd

y cdc

Cy + d/2gy

Seccion Critica

B

CA

D

Cx + d/2

Cx

CAB CCD

gx

gy

CBD

CAC

Page 109: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

109

VuCD

VuAB

Muy − Vu gyVu

Mux − Vu gx

APLASTAMIENTO El esfuerzo de diseño no será mayor de:

fa= FR fc* donde FR = 0.70 Cuando la superficie que recibe la carga tiene un área mayor que el área de contacto, el esfuerzo de diseño puede incrementarse en la relación:

R = 1

2

AA ≤ 2

Donde A1 es el área de contacto, y A2 es el área de la figura de mayor tamaño, semejante el área de contacto y concéntrica con ella que puede inscribirse en la superficie que recibe la carga.

Ac

2d

2d

C1

C2

2d 2d

C1 + 4d

C2 + 4d

Ac = área de la columna.

Page 110: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

110

A2 = Ac = (c1)(c2) A1 = (c1 +4d) (c2 + 4d) Área de contacto CARGA DE LA COLUMNA POR APLASTAMIENTO

P max = R fa Ac Cuando la carga máxima obtenida sea mayor que la carga ultima de diseño, será necesario utilizar varillas de anclaje que tomen la diferencia de cargas existentes. Se recomienda que el diámetro de las varillas no debe ser mayor en 4cm que el diámetro de las varillas de la columna y no poner menos de 4 varillas. ANCLAJE Se supondrá que las secciones criticas por anclaje son las mismas que por flexión, también deben revisarse todas las secciones donde ocurran cambios de sección o donde se interrumpan parte del refuerzo. ZAPATAS SOBRE PILOTES Si la zapata se apoya sobre pilotes, al calcular la fuerza cortante en una sección se supondrá que ella produce cortante la reacción de los pilotes cuyos centros queden a 0.5Dp o mas hacia fuera de dicha sección (DP es el diámetro de un pilote en la base de la zapata). Se supondrá que no produce cortante las reacciones de los pilotes cuyos centros queden a 0.5Dp o mas hacia adentro de la sección considerada. Para posiciones intermedias del centro de un pilote se interpolará linealmente. PERALTE MÍNIMO DE ZAPATAS En el borde de una zapata el espesor mínimo será de 15 cm. Cuando la zapata se apoye sobre pilotes, el espesor mínimo será de 30cm. Se recomienda un recubrimiento libre del acero de 5cm en suelos secos y de 7cm en suelos sulfatados o agresivos. DISTRIBUCIÓN DEL REFUERZO Las zapatas con refuerzo en una dirección y las zapatas cuadradas reforzadas en dos direcciones llevarán su refuerzo espaciado uniformemente. En zapatas aisladas rectangulares con flexión en dos direcciones, el refuerzo paralelo al lado mayor se distribuirá uniformemente; el paralelo al lado menor se distribuirá en tres franjas en la forma siguiente: Con la franja central, de ancho a1, una cantidad de refuerzo igual a la totalidad que debe

colocarse en esa dirección, multiplicada por 1

1 2

2aa a+

; donde a1 es el lado corto y a2 es el lado

largo de la zapata.

Page 111: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

111

El resto del refuerzo se distribuirá uniformemente en las dos franjas extremas.

6.5 DIMENSIONAMIENTO DE ZAPATAS AISLADAS Las acciones que recibe un cimiento y que a su vez debe transmitir al terreno son: (a) Las debidas a la estructura: la carga axial, P , y/o momentos en uno o dos direcciones,

xM y yM . (b) Esfuerzos cortantes en una o dos direcciones, xV y/o yV . (c) Peso propio de la zapata. (d) Peso del terreno situado sobre la zapata. En el proceso de dimensionamiento de un cimiento se pueden diferencial tres fases:

1. Cálculo de las dimensiones de la zapata en planta, es decir, del área de contacto. 2. Cálculo de estabilidad de la zapata contra volteo y deslizamiento. 3. Cálculo del peralte efectivo de la zapata, el cual debe satisfacer el diseño por

flexión, cortante (como viga ancha y por penetración), por aplastamiento y por anclaje y adherencia.

6.5.1 DIMENSIONES EN PLANTA El cálculo de las dimensiones de la superficie de contacto zapata-terreno depende de la distribución de presiones en dicha superficie. Como se ha visto anteriormente, la distribución real de las presiones y asentamiento es muy variable y depende de la rigidez de la zapata y del tipo de terreno. Esta variabilidad en la distribución de presiones y asentamientos puede simplificarse en zapatas aisladas, sin cometer un error excesivo, utilizando para su cálculo y estudio, un diagrama superficial plano de distribución de

Franjas externa Franjas central Franjas externa

acero distribuidouniformemente en franja externa

uniformemente en todo el lado a1=B

mayor distribuido

acero paralelo al lado

1a B=

2a L=

Totalidad que debe colocarse en ese sentido multiplicado por

y uniformemente repartido en esa franja

1st

1 2

2aAa a

=+

Page 112: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

112

presiones. Tal aproximación es válida en cualquier tipo de zapatas pero se ajusta más a la realidad en zapatas rígidas. Existen dos métodos para determinar las dimensiones del área de contacto de la losa de cimentación:

1. El criterio de la sección eficaz o zapata efectiva 2. El método elástico

6.5.1.1 CRITERIO DE LA SECCIÓN EFICAZ O ZAPATA EFECTIVA La distribución de presiones en el terreno cuando existe una carga axial excéntrica al centro de gravedad de la losa o cuando la carga axial está centrada y existe momento flexionante alrededor de un eje, se puede emplear el método de la zapata efectiva propuesto por Meyerhof en 1953. Este método es el propuesto en los ejemplos de los comentarios a las Normas Técnicas Complementarias del RCDF-99 de concreto reforzado y en el Manual de Cimentaciones de CFE ( ). Sea una zapata de dimensiones B x L sometida a momento flexionante, Meyerhof propuso sustituir el área efectiva de la zapata por un área ficticia de dimensiones ' 'B x L , en cuyo centro de gravedad se considera aplicado el esfuerzo, y sus dimensiones ficticias se utilizan para determinar el esfuerzo en el terreno, y la carga total es:

' 'dP B Lq=

Las dimensiones ficticias consisten en reducir el ancho efectivo de contacto una cantidad, 'L , en la dirección de la aplicación del momento flexionante, tal que:

2'xL L e= −

Si existe momento flexionante en ambas direcciones, entonces las dimensiones ficticias son:

2'yB B e= −

2'xL L e= −

Para el caso en el exista solamente momento flexionante en la dirección del lado largo, L , la capacidad de carga admisible es:

P

L

'xL L 2e= −

0.5L

x0.5L e−ex

Page 113: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

113

da

s

qqF

= ( )2t / m

Donde dq es la capacidad de carga del terreno obtenida con cualquiera de las teorías de capacidad de carga (Skempton, etc) y la reacción neta del terreno o capacidad de carga última o actuante, si no se toma en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, es:

uu '

PqB L

=

Se debe comprobar que: u aq q≤

Para el caso en que exista momento en ambas direcciones, la capacidad de carga neta del terreno, si no se toma en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, es:

u a

área de zapata ficticiaq qárea total de la zapata

=

( )( )2 2' 'x y

u a a

L e B eLBq q qLB LB

− −= =

2 421 y x yxu a

e e eeq qL B LB

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

221 1 yxu a

eeq qL B

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

En caso de que se tome en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, se suele restar de la resistencia admisible el valor de las tensiones originadas por el peso del relleno. Si se toma como peso del concreto concretoγ , 324kN m ( )32400 fkg m y un peso volumétrico del

suelo que forma el relleno, rellenoγ , tenemos:

( )u a relleno concretoq q H h hγ γ= − − −

( )u a relleno relleno concretoq q H hγ γ γ= − + − Donde H es la profundidad de desplante de la zapata y h el peralte total de la zapata. CASO 1: CARGA AXIAL uP Se considera una distribución de presiones uniforme bajo la zapata, con área de contacto,

zA ,

uz

u

PAq

=

Para zapatas de sección cuadrada, el lado es la raíz cuadrada de la superficie de contacto. Con este tipo se consigue mínimo vuelo máximo, peralte mínimo, mínimo volumen de concreto y menor área de acero, así como igualdad de armados en ambas direcciones. Para zapatas con base circular el diámetro se puede elegir como:

1 13 zD . A= Este tipo de zapatas tiene mayor vuelo que las cuadradas, lo cual supone otra desventaja añadida a la mayor complejidad de ejecución.

Page 114: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

114

CASO 2: CARGA AXIAL uP y MOMENTO FLEXIONANTE XM El área ficticia de la zapata es:

( )2z xA B L e= − Sobre esta superficie se considera una distribución uniforme de presiones de contacto con valor:

( )2u

cx

PqB L e

=−

Esta presión de contacto no toma en cuenta el peso de la zapata ni el peso del relleno. Se debe cumplir que:

c u aq q q≤ ≤

Como: uu

z

PqA

=

( )2ux

u

P L e Bq

= −

Despejando

( )12

u

u x

PBq L e

=−

Llamando a: B Lλ= , se puede escribir:

( ) ( )2 2ux x

u

P L e B L e Lq

λ= − = −

( )2ux

u

P L L eq λ

= −

Esta última ecuación corresponde a una parábola que relaciona la carga axial máxima soportada y la reacción neta del terreno, con las dimensiones de la zapata y la excentricidad ficticia de la carga.

Nota: Hacer grafica área contra u

u

Pq λ

, para valores de 1BL

λ = ⟨ , para diferentes valores de

xe . 6.5.1.2 MÉTODO ELÁSTICO Se admite una distribución plana de tensiones por lo que la presión de contacto en un punto de coordenadas ( )x, y se cálcula por medio de la ecuación de la escuadría. Sea: P la carga vertical sobre la columna W el peso de la cimentación (dado más zapata) R la carga total sobre el terreno, R=P+W V la fuerza cortante horizontal sobre la cimentación M el momento sobre la zapata q presión sobre el suelo Se pueden presentar los siguientes casos:

Page 115: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

115

Rq

BL=

Carga axial P y cortante en la columna V, la excentricidad de la reacción es:

HVeR

=

Carga axial, P, más fuerza cortante horizontal, V, y momento en la zapata, M. La excentricidad se calcula con:

HV MeR+

=

Cuando existe carga excéntrica con respecto a un eje, se pueden presentar los siguientes casos:

B

L

P

W

R

R

L

P

W

R

R

V

H

e

V B

L

P

W

R

R

V

H

e

V

M

En el plano de

Page 116: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

116

Caso 1a Caso 2a Para el Caso 1a, la excentricidad se calcula con:

PxeR

=

Para el Caso 2a, Px HVeR+

= y si la carga está a la izquierda del centro de línea:

Px HVeR

− +=

B

L

P

W R

Hx

e

B

L

P

W R

Hx

e

V

V

Page 117: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

117

Para el Caso 3a, la excentricidad se calcula con:

Px HV MeR

+ +=

En términos generales tenemos que: Px HV Me

R± ± ±

=

Para todos los casos anteriores, excepto el caso donde sólo existe carga axial, P; resulta una distribución de esfuerzos no uniforme sobre el terreno en la longitud “L”, la cual no debe exceder de L/6. Con lo cual los esfuerzos en los ejes de la base están dados por:

2R Req

BLBL6

= ±

R 6eq 1

BL L⎡ ⎤= ±⎢ ⎥⎣ ⎦

Los valores límite se presentan para: Le6

=

con:

1q 0= y 22RqBL

=

Caso 3a

B

L

P

W R

H x

V

V M

e

Plano de M

Page 118: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

118

por lo que nunca se debe exceder el valor de Le6

= ya que la hipótesis se basa en la teoría

de flexión que no considera tensión. Como no puede existir tensión entre el suelo y el bloque de esfuerzos, si llamamos a “y” la distancia de la línea de acción R al eje más cercano de la base, i.e.,

Ly e2

= − ,

entonces la distribución de esfuerzos puede ser lineal y el centroide del diagrama debe de estar en la misma línea vertical de R, a una distancia:

L3y 3 e2

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦.

Consecuentemente la máxima presión sobre el eje es:

max2Rq3By

=

B

L

P

R

H

e

L/2

CG

q1

q2

B

L

P

R

H

L/2

CG

M

y e

3y

Page 119: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

119

6.6 CARGA EXCENTRICA EN AMBOS EJES Análogamente, si xe y ye son las excentricidades de R con respecto a L y a B, respectivamente, entonces los esfuerzos en las cuatro esquinas de la base, usando la teoría de flexión (escuadría), se calculan con la expresión:

y yx x2 2

Re 6eRe 6eR Rq 1BL B LBL BL L B

6 6

⎡ ⎤= ± ± = ± ±⎢ ⎥

⎣ ⎦

para toda el área de la base bajo presión, es decir, para que no exista tensión, R, debe de actuar dentro del núcleo de presiones formado por un trapecio.

Los valores límite de los esfuerzos son: el mínimo cero y el máximo 2R/BL.

ex

L

B ey

R

CG

L

B B/3

L/3

Page 120: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

120

EJEMPLO 6.1 ZAPATA AISLADA PÉNDULO INVERTIDO Del artículo del Dr. Octavio Rascon CH, "Efectos sísmicos en estructuras en forma

de péndulo invertido", Revista de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, se tomaron

los siguientes datos para el diseño de la zapata aislada:

Suelo rígido Suelo flexible Base rígida y masa concentrada

V= 1.31 t V= 2.03 t V= 1.93 t

Mo=344 t cm Mo=361 t cm Mo=0 t cm

Mb=893 t cm Mb=1209 t cm Mb=808 t cm

a) DISEÑO DE LA ZAPATA AISLADA CASO SUELO RÍGIDO

ELEMENTOS MECÁNICOS EN EL EXTREMO SUPERIOR DE LA

COLUMNA

El RCDF establece que para péndulos invertidos se tome para diseño el resultado de

los efectos obtenidos del análisis en una dirección más el 50% de los efectos obtenidos en

la dirección perpendicular.

Dirección X:

t 955.1)31.15.0(31.1V5.0VF yxx =×+=+=

y oy oxM M 0.5M 3.44 (0.5 3.44) 5.160 t m= + = + × = ⋅

Dirección Y:

Por ser una estructura simétrica:

t 965.1Fy =

= ⋅xM 5.160 t m

Peso de la estructura (Pt)

Superestructura (cubierta + columna) = 21.710 t

Zapata 3.0 x 3.0 x 0.4 x 2.4 = 8.640 t

Relleno (3.0 x 3.0) - (0.55 x 0.55) x 0.30 x 1.6 = 4.175 t

Peso total (Pt) = 34.525 t

Revisión por volteo:

Page 121: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

121

Se revisará en la dirección X:

a) Momento de volteo respecto a la base de la zapata:

mt 610.1330.4965.116.5hFMM xyvx ⋅=×+=+=

b) Momento de equilibrio:

mt 787.515.1525.342LPtMex ⋅=×==

c) Factor de seguridad contra volteo:

1.5 8.3610.13787.51

MM

FSvx

exv ⟩===

Esfuerzos de contacto sobre el suelo (presión de contacto):

La capacidad de carga admisible del suelo, obtenido de los estudios de mecánica de

Suelos es: 2a

mt10q = . Por estar sujeta la zapata a flexión en dos direcciones el

punto A estará sujeto a la mayor compresión (Fig. 2).

Y

X

My

Mx

A150

150

150 150 Fig. 2 Punto más esforzado en la zapata

ELEMENTOS MECÁNICOS EN LA BASE DE LA ZAPATA

Pt = 34.525 t

mt 610.13MM vyvx ⋅==

Propiedades de la zapata:

Page 122: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

122

A = 3.0 x 3.0 = 9.0 m2

( ) 44

x m 75.6120.3I ==

Esfuerzo bajo el punto "A" (presión de contacto):

xAy

vyyA

x

vxc C

IM

CI

MAPtq ++=

22c t/m 10 t/m 885.95.1

75.661.135.1

75.661.13

0.9525.34q ⟨=++=

Análisis y diseño de la zapata:

Por estar la zapata sujeta a flexión en dos direcciones tomaremos para su diseño los

esfuerzos promedios, es decir, los que se presenten en los planos AB y CD de la Figura 3.

1.50 0.75 0.75

1.50

0.75

0.75

Y

X

A B

D

C

columna

q1 q2

q3

q4

Fig. 3 Distribución de los esfuerzos en la zapata

Se toma para diseño el plano AB y no el borde de la zapata, ya que daría un

resultado muy conservador. Debido a la naturaleza del movimiento sísmico en algún

momento puede ser que el cuadrante de la zapata más esforzado puede ser el menos

esforzado.

Las coordenadas de los puntos para el cálculo de las presiones de contacto son:

m750.0C m50.1C q yx1 +=−=

m750.0C m50.1C q yx2 +=+=

Page 123: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

123

Para el plano de diseño AB (dirección X),el esfuerzo menor será el q1 y el mayor q2.

El plano CD es igual al plano AB por ser una estructura simétrica, y por tanto, los esfuerzos

q3 y q4 serán iguales a q1 y q2 respectivamente, de manera que el diseño en dirección Y será

igual que en la dirección X.

Dirección X (plano AB):

El valor del momento de volteo, Mvx= 13.61 t m, la excentricidad de la carga total

(Pt) será:

m 394.0525.3461.13

PtM

e vx ===

m 5.060.3

6L

==

6L e ⟨ No hay tensiones y la ecuación para calcular los esfuerzos será con:

1xy

vy1y

x

vx1 C

IM

CI

MAPtq ++=

Si Le 6

⟩ se presentan tensiones en la base de la zapata y la formula de la escuadría

no sería aplicable debido a que no hay continuidad entre el suelo y la zapata, entonces se

sobrecarga el suelo en la zona sujeta a compresión debido a que se reduce el área de

contacto y en este caso se aplica la expresión:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=e

2LB3

Pt2q

21 t/m 324.2)50.1(

75.661.1375.0

75.661.13

0.9525.34q =−++=

2xy

vy2y

x

vx2 C

IM

CI

MAPtq ++=

22 t/m 373.850.1

75.661.1375.0

75.661.13

0.9525.34q =++=

Page 124: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

124

0.30

0.40

1.225 0.55 1.225

q2q1

Si consideramos para diseño un ancho unitario de 1.0 m:

Peso del relleno 0.30 x 1.6 x 1.0 = 0.48 t/m

Peso de la zapata 0.40 x 2.4 x 1.0 = 0.96 t/m

Peso total wt 1.44 t/m

1.225 0.55 1.225

q2=8.373 t/mq1=2.324t/m

w=1.44 t/mw=1.44 t/m

qp

Interpolando el esfuerzo al paño de la columna, tenemos:

( ) ( ) 2p

1.225 0.55q 8.373 2.324 2.324 5.903 t/m

3.0+

= − + =

( )( ) ( )( ) mt 584.43

225.1903.5373.82

225.144.1903.5M22

p ⋅=−

+−

=

( )( ) t 980.62

225.1903.5373.8)225.1)(44.1903.5(Vp =−

+−=

Factores de carga:

Debido a que la estructura está constituida por una sola columna, que aporta el

100% de la capacidad total en fuerza cortante y momento de volteo (mayor que el 20%

especificado en el RCDF) se adoptará un factor de carga 20% superior al correspondiente.

Por tanto, para cargas accidentales el factor de carga será:

Page 125: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

125

FC = 1.1 x 0.20(1.1)= 1.32

Elementos mecánicos últimos:

Mpu = 1.32 x 4.584 = 6.051 t m

Vpu = 1.32 x 6.981 = 9.214 t

Materiales:

Concreto 2kg/cm 200cf =′

Acero 2y kg/cm 4200f =

* 2Cf 0.8 200 160 kg/cm= × =

2kg/cm 13616085.0c"f =×=

Revisión por Flexión:

Se propone un peralte d= 35 cm, h= 40 cm,

Porcentaje de acero, ''

puc2 ''

y R c

2Mfp 1 1f F bd f

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦; donde FR=0.90 y b=100 cm.

00133.0136351009.0

10051.62114200136p

2

5=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

×××

××−−=

002357.04200

2007.0f

cf7.0py

min ==′

=

0.00133 pmín ⟩

m/cm 25.835100002357.0bdpmínA 2míns =××==

Considerando varillas del No. 6 (as= 2.87 cm2),

cm 8.3425.8

10087.2S =×

=

Acero: varillas No. 6 @ 30 cm

El porcentaje de acero requerido por flexión es menor que el porcentaje mínimo, por tanto,

la zapata podría tener un espesor menor que el propuesto.

Revisión por cortante (viga ancha):

= + *CR RV F bd (0.2 20p) f c Vpu = 9.214 t FR=0.80

Page 126: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

126

Si se coloca acero de refuerzo por flexión del No 6 a cada 30 cm, As = 9.5 cm2/m

002714.035100

5.9bdAsp =

×==

( )CRV 0.8 100 35 0.2 20 0.002714 160 9.006 t= × × + × =

CR puV 9.006 t V 9.214 t= ⟩ =

En este caso el cortante resistente del concreto es ligeramente menor que el cortante último,

por lo que el peralte de la zapata es No es adecuado.

Cortante por penetración:

La columna tiende a penetrar en el espesor medio de la zapata con una fuerza P igual al

peso de la superestructura y con una fracción, α, del momento flexionante en ambas

direcciones. Las expresiones para calcular el esfuerzo por penetración están especificadas

por las normas del RCDF.

C1=C2= 55 cm

C1+d= C2+d = 55 + 35 = 90 cm

Elementos mecánicos en el espesor medio de la zapata:

Superestructura (columna + cubierta) = 21.710 t

Relleno (0.9 x 0.9 - 0.55 x 0.55) x 0.30 x 1.6 = 0.244 t

Zapata (0.9 x 0.9 x 0.40 x 2.4 ) = 0.778 t

Carga vertical P = 22.732 t

En las direcciones X y Y:

mt 217.1324.09.3965.1160.5MM yx ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++==

Esfuerzo por penetración:

( ) ( )cx

xy

cy

yx

J2d2CM

J2d1CM

AcPv

+α+

+α+=

( )( )

40.0

909067.01

11

d2Cd1C67.01

11yx =+

−=

++

+−=α=α

( ) ( ) 2cm 1260035255553522dC2C1 d2Ac =×++×=++=

Page 127: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

127

2)d1C)(d2C(d

6d)d1C(

6)d1C(dJcyJcx

233 +++

++

+==

( ) ( ) ( ) 46333

CYCX m 10635.1729035

63590

69035JJ ×=++==

26

53kg/cm 5.47.28.12

10653.1729010217.134.0

1260010732.22v =+=×

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

××

×××+

×=

El esfuerzo último por penetración será:

2u 2

kgv FC v (1.32)(4.5 ) 5.94 kg/cmcm

= = =

Esfuerzo resistente del concreto:

* 2CR Rv F f c 0.8 160 10.12 kg/cm= = =

u CR vv ⟩

Por tanto, el espesor de la zapata propuesto es correcto por penetración.

1.225 0.55 1.225300

10305

40

Plantilla

No 6 @ 30No 6 @ 30

No 3 @ 20 Por temperatura

Corrección del peralte

Dirección X: Fx = Vx + 0.5Vy = 1.31 + (0.5x1.31) = 1.965 t My = Moy + 0.5Mox = 3.44 + (0.5x3.44) = 5.160 t-m Dirección Y: Por ser simétrica: Fy = 1.965 t Mx = 5.160 t-m Peso de la estructura (Pt) Superestructura (cubierta + columna) = 21.710 t

Page 128: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

128

Zapata 3.0 x 3.0 x 0.451 x 2.4 = 9.720 t Relleno [(3.0 x 3.0) – (0.55 x 0.55) ] x 0.25 x 1.6 = 3.479 t Peso total (Pt) = 34.909 t Revisión por estabilidad: Dirección X:

a) Momento de volteo respecto a la base de la zapata: Mvx = My + Fxh = 5.16 + 1.965x 4.30 = 13.6095

b) Momento de equilibrio:

Mex = =2LPt 34.909x1.5=52.3635 t-m

c) Factor de seguridad contra volteo:

5.1847.36095.133635.52

⟩===vx

exv M

MFS

La capacidad de suelo obtenida de los estudios de mecánica de suelos es 210mtqa =

Elementos mecánicos en la base de la zapata Pt = 34.909 t Mvx = Mvy = 13.6095 t-m A = 3.0 x 3.0 = 9 m2

44

75.6123 mI x ==

Esfuerzo bajo el punto “A” (presión de contacto):

xAy

vyyA

x

vxc C

IM

CI

MAPtq ++=

22 /10/927.95.175.6

6095.135.175.6

6095.139909.34 mtmt

Iqc ⟨=++=

Análisis y diseño de la zapata

150

Y

X

A

150

75

75

75 75

q1

q4

q2

q3

Las coordenadas de los puntos para el cálculo de las presiones de contacto son: q1 Cx = -1.50 m Cy = + 0.75 m q2 Cx = +1.50 m Cy = + 0.75 m

1 Desde aquí se cambió el peralte a 45 cm.

150150

Y

X

150

150

A

Page 129: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

129

Por las condiciones de simetría los esfuerzos q3 y q4 serán iguales a q1 y q2 respectivamente, de manera que el diseño en X será igual que en Y Dirección X (plano AB):

mPt

Me vx 389.0909.34

6095.13===

mL 5.063

6==

6Le⟨ no hay tensiones, y la ecuación para calcular esfuerzos será

111 xy

vyy

x

vx CI

MC

IM

APtq ++=

( ) 21 /367.25.1

75.66095.1375.0

75.66095.13

9909.34 mtq =−++=

222 xy

vyy

x

vx CI

MC

IM

APtq ++=

( ) 22 /415.85.1

75.66095.1375.0

75.66095.13

9909.34 mtq =++=

Si consideramos para diseño un ancho unitario tenemos: Peso del relleno 0.25 x 1.60 x 1.0 = 0.40 t/m Peso de la zapata 0.40 x 2.4 x 1.0 = 1.08 t/m Peso total Wt = 1.48 t/m

122.5 55 122.5

w = 1.48 t/m

q1 = 2.367 t/m

q2 = 8.415 t/m

Calculo el esfuerzo al paño de la columna:

( )( ) 2/945.5367.2367.2415.83

55.0225.1 mtq p =+−+

=

( )( ) ( )( ) mtM p −=−

+−

= 586.43

225.1945.5415.82

225.148.1945.5 22

( )( ) ( )( ) tVp 983.62

225.1945.5415.8225.148.1945.5 =−

+−=

Factores de carga:

Page 130: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

130

FC = 1.1 x 0.2(1.1) = 1.32 Elementos mecánicos últimos: Mpu = 1.32 x 4.586 = 6.053 t-m Vpu = 1.32 x 6.983 = 9.127 t Materiales: Concreto f’c = 200 kg/cm2 Acero fy = 4200 kg/cm2 F*c = 0.8 x 200 = 160 kg/cm2 F”c = 0.85 x 160 = 136 kg/cm2 Flexión: d = 40 cm, h = 45 cm, FR = 0.90, b = 100

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−=

cfFRbdM

fcf pu

y "2

11"2ρ

( )( )( ) ( )

00102.0136401009.0

10053.62114200136

2

5

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−=

00102.0002357.04200

20070.0'

70.0min ⟩===yfcf

ρ

Asmin = ρminbd = 0.002357 x 100x 40 = 9.43 cm2 /m Usando varillas del no. 6 (as = 2.87 cm2)

cmxS 44.3043.910087.2

==

Acero: varillas No.6 @ 30 cm Revisión por cortante (viga ancha) Si colocamos acero por flexión del No.6 @ 30 cm, As 9.5 cm2/m

( ) 002375.0401005.9

===bdAsρ

( ) 018.10160002375.0202.0401008.0 =+= xxxVcr Vcr = 10.018 > Vpu = 9.217 t Cortante por penetración C1 = C2 = 55 cm C1 + d = C2 + d = 55 + 40 = 95 cm Elementos mecánicos en el espesor medio de la zapata: Superestructura = 21.710 t Relleno (0.95 x 0.95-0.55 x 0.55) x 0.25 x 1.6 = 0.24 t Zapata (0.95 x 0.95 x 0.45 x 2.4) = 0.9747 t Carga vertical P = 22.9247 t En las direcciones X y Y:

Page 131: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

131

mtMM yx −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++== 167.13

245.085.3965.1160.5

Esfuerzo por penetración:

( ) ( )cx

xy

cy

yx

JdCM

JdCM

AcPv

22

21 +

++

+=αα

( )( )

401.0

959567.01

11

2167.01

11 =−

−=

++

+−==

dCdCyx αα

Ac = 2d(C1+C2+2d) = 2x40(55+55+40)=15200 cm2

( ) ( ) ( )( )2

126

16

1 233 dCdCdddCdCdJJ cycx++

++

++

==

( ) ( ) ( )( ) 46333

10877.2329035

63590

69540 mxJJ cycx =++==

( )( )( ) ( ) 2

6

5

/6.3210877.232

9510167.13401.015200

9247.22 cmkgxxv =⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

El esfuerzo último por penetración será: Vu = 1.32 x 3.6 = 4.74 kg/cm2 El esfuerzo resistente del concreto

2* /85.81607.0 cmkgfFRV ccr ===

ucr VV ⟩ Se acepta el espesor de la zapata de 45 cm

122.5122.5 55

300

5

3545

No.6 @ 30No.6 @ 30

No.3 @ 20 por tempertura

Page 132: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

132

EJEMPLO 6.2

Resolver la zapata del ejemplo anterior por medio del procedimiento sugerido por el

Manual de Obras Civiles Cimentaciones, CFE y/o en los ejemplos de las Normas Técnicas

Complementarias del DF.

Datos: CM+CV P=21.71 t (cubierta + columna)

M= 0

CA P=0

M=13.61 t m

mt 61.1330.4965.1160.5Mvx ⋅=×+=

Columna 55 x 55 cm

Resistencia última del suelo 10 t/m2

Peso Volumétrico del suelo 1.6 t/m3

Concreto 2c

cm

kg 200f =′

Acero 2cm

kg 4200fy =

Constantes de Cálculo:

2*c

cm

kg 1602008.0f =×=

2"c

cm

kg13616085.0f =×=

00236.04200

2007.0pmín ==

Dimensionamiento: Área de la zapata

Suponemos h= 40 cm con un FC= 1.1 x 1.2 = 1.32

Igualando la acción con la resistencia del suelo, con el área reducida A’ de ancho B’,

(P + pp. Zapata + peso relleno) FC = (10 t/m2) (A’)

Pu+FC(pp. Zapata + peso relleno)=10 A’

Pu=10 A’- FC(pp. Zapata + peso relleno)

Page 133: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

133

de donde

'Ap.rellenozapata pp. FC10

Pu'A+

−=

peso zapata 0.40 x 2.4 = 0.96 t/m2

peso relleno 0.30 x 1.6 = 0.48 t/m2

-------------

1.44 t/m2

2mt016.2)44.1(4.1

'Arelleno.pzapata.ppFC ==

+

sustituyendo: 2m589.3061.210

66.28'A =−

=

se supondrá una zapata de 2 x 2 m y se revisarán estas dimensiones. El ancho

reducido resulta ser:

m 795.12589.3

B'A'B ===

y el peso de la zapata y del relleno,

pp zapata 2 x 2 x 0.40 x 2.4 = 3.84 t

p. relleno 2 x 2 x 0.30 x 1.6 = 1.92 t

La fuerza de diseño por resistencia en el nivel de desplante es:

Pu=1.32 ( P + pp. Zapata + p. Relleno)

Pu=1.32 ( 21.71 + 3.84 + 1.92)

Pu=36.26 t

Y el momento:

Mu= 1.32 (13.61)

Mu= 17.965 t m

Excentricidad m 495.026.36

965.17PuMue ===

Ancho reducido: B' = B - 2e

B = B' + 2e

B = 1.795 + 2(0.495)

Page 134: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

134

B= 2.785 m

Se modifica el área de la zapata a una de 3.0 x 3.0 m

pp. zapata 3.0 x 3.0 x 0.40 x 2.4 = 8.64 t

p. relleno 3.0 x 3.0 x 0.30 x 1.6 = 4.32 t

Pu=1.32 ( 21.71 + 8.64 + 4.32)

Pu= 45.764 t

Excentricidad: m 393.0764.45965.17e ==

Ancho reducido: B' = B - 2e = 3.0 - 2(0.393)=

B' = 2.214 m

Presión actuante,

22 mt10

mt89.6

)0.3)(214.2(764.45

'APu

⟨==

0.30

0.40

1.225 0.55 1.225

2.14 m6.89 t/m2

γ =1.6 t/m3

Reacción neta, qn = 6.89 - 1.4(0.40 x 2.4 + 0.30 x 1.6)= 4.874 t/m2

Momento en la sección crítica por metro de ancho:

mt 657.32

225.1874.4Mu2

⋅=×

=

Si se considera un recubrimiento libre de 5 cm y barras No 6,

25hd φ

−−=

d=40 - 5 -1.9/2 = 34.05cm

d= 34 cm

Sustituyendo en la expresión:

Page 135: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

135

2 1 0 5"R cMu F bd f q ( . q )= −

0.5q))(136)q(1(34(0.9)(100)3.657x10 25 −=

2 2 0 051691 0q q .− + =

q = 0.02618

Porcentaje de acero, "c

y

f 136p q (0.02618)f 4200

= =

P =0.00085 ⟨ p mín, Rige p mín= 0.00236.

Revisión por cortante

Se revisará el peralte como viga ancha, la sección crítica está a un peralte, d, del

paño de la columna.

Resistencia del concreto a cortante

[ ]= + = +*CR R cV (0.2 20 p)F bd f 0.2 20(0.00236) (0.80)(100)(34) 160

CRV 8505.06 kg 8.506 t= =

Fuerza Cortante en la sección crítica

CRu V t 313.4874.4x)34.0225.1(V ⟨=−=

se acepta h=0.40 cm por este concepto.

Revisión por penetración

Perímetro de la sección crítica bo= 4( 55 + 34)= 356 cm

Área de la sección crítica Ac = d bo = 34 (356) = 12 104 cm2

Revisión para decidir si se puede despreciar el momento que se trasmite entre

columna y zapata:

Mu = 13.610 t m x 1.32 = 17.9652 t m

Con q = 6.89 t/m2

Vu = 1.32 (21.71) - (0.89 x 0.89 x 6.89) = 23.20 t

0.20 Vu d = 0.20(23.20)(0.34) = 1.57 t m ⟨ ⟨ 13.61 t m

No puede despreciarse el momento.

Fracción del momento que debe trasmitirse por esfuerzos cortantes y torsión:

Page 136: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

136

11 0.400.891 0.670.89

α = − =+

d=0.34 cm, C1+d = 89 cm, C2+d = 89 cm, CAB = 44.5 cm.

αMu = 0.40 x 17.9652 = 7.19 t m

Máximo esfuerzo cortante, por existir efectos bidireccionales,

ABcx

yAB

cy

xAB C

JMx

CJ

MyAcVv

α+

α+=

Ac = 4(89)(34) = 12 104 cm2

2)d1C)(d2C(d

6d)d1C(

6)d1C(dJJ

233

cycx++

++

++

==

2)89)(89(34

6)34)(89(

6)89(34J

233

cx ++=

4cx cm 16562307J =

sustituyendo,

2x)5.44(16562307

10x19.712104

10x20.23v53

AB +=

2ABcm

kg78.586.392.1v =+=

Esfuerzo resistente del concreto:

CR 2kgv 0.70 160 8.85

cm= =

así AB CR2 2kg kgv 5.78 v 8.85

cm cm= ⟨ =

Se acepta h=40 cm.

Refuerzo por Flexión

Pmín = 0.00236

As =pbd

As= (0.00236)(300)(34) = 24.072 cm2

Considerando barras No 6

cm76.35072.24

87.2300s =×

=

Page 137: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

137

usamos φ No 6 @ 30 cm

Una fracción 1-α debe trasmitirse por flexión en un ancho igual a C2 + 3h, centrado

con el eje de la columna,

(1-α)Mu = (1 - 0.4)(17.9652)= 10.78 t m.

C2 + 3h = 55+3(40) = 175 cm.

Para la cuantía mínima,

P mín = 0.00236

07288.0136420000236.0

f

fpq

"c

y ===

q= 0.07288

[ ])07288.0(5.01)07288.0)(136)(34)(100)(9.0(Mu 2 −=

mt 78.10mt 93.9cmkg 85.993633Mu ⋅≅⋅=⋅=

El momento debe trasmitirse en un ancho menor de C2 +3h = 175 cm.

6.3 PROCEDIMIENTO PROGRAMABLE (BOWLES) Se sugiere el siguiente procedimiento: 1.- Se obtienen las cargas y momentos últimos mediante el uso de factores de carga (RCDF- NTC- 2004).

Pu =1.4(CM +CV)

Pu = 1.1(CM+ CVA)

ó bien : Combinación 1 CM + CV + Sx + 30% Sy Combinación 2 CM + CV + Sx - 30% Sy Combinación 3 CM + CV - Sx + 30% Sy Combinación 4 CM + CV - Sx - 30% Sy

Es común revisar el cortante como losa y como viga ancha para lo cual se proponen valores para el peralte tomado al azar. (por experiencia) y luego se hacen revisiones.

En este curso se propone un peralte efectivo, d, que satisfaga ambos criterios simultáneamente. En la practica se acostumbra aumentar Pa en un 10% para tomar el peso propio de la zapata. Otro criterio es disminuir q a en un 6%.

Page 138: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

138

Cuando la zapata esta sujeta a carga axial y momento, se debe calcular B’= B-2e. Los valores de B o L obtenidos se proponen con un valor mayor de dimensiones constructivas. Se obtienen las presiones de contacto, tomando en cuenta que la losa de la zapata se ha considerado rígida, la presión del suelo o esfuerzos sobre el suelo, se calculan con la formula de la escuadria:

qc=zA

P ± yx

cI

Mx ± xy

y cI

M

qc= presión de contacto La P es sin factorizar. Se checa que qc ≤ qa ó de cómo se vio al inicio:

qc=BLR

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡±±

Be

Le BL 66

1

R= P+W

donde: e L = excentricidad en L e B = excentricidad en B P = carga W= peso de la cimentación El dimensionamiento del área de la zapata, Az, se hará de tal forma que las presiones de contacto sean menores o iguales que las admisibles del suelo.

qa= s

d

Fq

= uq

Se divide la carga de diseño entre la resistencia del suelo, lo que nos dará el área requerida para distribuir las cargas uniformemente sin rebasar el valor de resistencia del suelo.

Az = B2=aq

P zapata cuadrada

Az= BL=aq

P zapata rectangular

Las NTC y MDOC/1981 proponen usar Pu en lugar de P sin factorizar (ver ejemplo propuesto).

REVISIÓN DE LA LOSA POR CORTANTE

peralte para satisfacer el cortante por penetración

Page 139: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

139

d/2 d/2

Zona Criticac + d

c + d

c

[ ]2

'

uPq

c d=

+

Despejando:

[ ]2'uP q c d= +

Donde 'P es la fuerza de reacción en la parte de debajo de la zona crítica, debido a la carga uniformemente distribuida del suelo, uq .

Se calcula el perímetro de la zona crítica b0

0b 4(c d)= +

La fuerza que resiste la fuerza de penetración es igual al esfuerzo resistente del concreto, cv , desarrollado en toda la cara de la zona crítica, odb .

Del equilibrio: ∑ Fv = 0

0'u c oP P v db− − = (1)

2u u cP q (c d) 4v d(c d)= + + + (2)

donde uu

Z

PqA

= presión neta

u z uP A q= (3)

Page 140: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

140

sustituyendo en (2)

2 2 2z u u c cA q q c 2cd d 4v cd 4v d⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

Términos comunes:

[ ] [ ]2 2u c u c z u ud q 4v d 2cq 4v c A q q c+ + + = −

Con zA BL= área de la zapata, y multiplicando por ¼, se tiene: para columnas cuadradas

d2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

4u

cq

ν + d ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

2u

cq

ν c = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4

2cBL qu

para columnas circulares con diámetro D:

d2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

4u

cq

ν + d ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

2u

cq

ν D = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

πcABL

qu

para columnas rectangulares:

d2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4

c

uqν

- d ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+1

2 c

uqν

Per + c

uqν

As* = 0

donde :

Per = perímetro de la columna rectangular

As* = área de la Zapata – área de la columna

Ac = área de la columna

Per = 2 [ c1 + c2 ]

As* = [ BL ] – [ c1 c2 ]

Multiplicando la última ecuación por cv−

d2 [ 4 cv + qu ] + d [2 cv + qu] [c1 + c2] = [BL - c1 c2] qu

El esfuerzo que toma el concreto es :

*c R cv F f=

*c cv 0.80 f=

Page 141: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

141

Peralte para satisfacer el cortante como viga ancha

Supondremos que: P ≥ 0.015, entonces la fuerza cortante que toma el concreto (kg) es:

CRV = 0.50 FR bd *cf

El esfuerzo cortante es

CRVbd

= 0.50 FR *cf = cv ( kg/cm2 )

con FR = 0.80

El esfuerzo cortante como viga que toma el concreto es 2kg / cm :

0 40 *c cv . f=

De la zona crítica la fuerza cortante actuante,

2act uL cV q B d−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

que tiene que ser tomada por el concreto: act CRV V=

El esfuerzo cortante que resiste el concreto es: CR

cVvBd

= 2kg

cm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sustituyendo el cortante actuante, que es igual al resistente, es:

2u

cq B L cv dBd

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

2u

cq L cv dd

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

uc u

q L cv q

d−

= −

( ) ( )2

uc u

q L cv q

d−

+ =

despejando d , tenemos el peralte que satisface el cortante como viga ancha:

( )( )2u

c u

q L cd

v q−

=+

donde: 0 40 *c cv . f=

Page 142: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

142

Como se supuso que P ≥ 0.015 si resulta que no se cumple entonces:

P < 0.015 CRV = FR Bd ( 0.20 + 20p ) *cf ( kg )

Y el esfuerzo cortante CRc

VvBd

=

con FR = 0.80

Se calcula el peralte efectivo, d , que satisfaga el cortante como losa y como viga ancha, se

revisa el porcentaje de acero, P = BdAs ; sí P < 0.015 entonces se obtiene otro peralte con

esta ecuación y se toma el mayor de los peraltes efectivos.

AYUDAS DE DISEÑO POR FLEXIÓN

h d

c = fc″ ab

E.N.

T = Asfy

fc″

a = β1 c

( d − a/2 )

b

c

El momento resistente de la sección es:

2R R s yaM F A f d⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

con 0 90RF .=

Despejando la profundidad del bloque de esfuerzos:

Page 143: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

143

T C=

''s y cA f abf=

Donde b es ancho de la zapata,

ys''

c

fAab f

=

sustituyendo en la ecuación del momento resistente:

2R

sR y

M aA dF f

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2s yR

s ''R y c

A fM A dF f b f

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2yR

s s ''R y c

fM A d AF f b f

= −

ordenando : 2 02

y Rs s''

c R y

f MA A db f F f

− + =

llamando a:

R

R y

MFF f

= y 2

y''

c

fG

bf=

La ecuación es cuadrática en sA :

2 0s sA G A d F− + =

Donde: MR = Mactuante en el cantiliver = 2uq B x2×⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ (ver sección critica por flexión)

Se resuelve para As que es el área de acero requerida para flexión.

Se calcula el porcentaje de acero y se compara con el máximo y mínimo permitido:

pmin = 0.70 y

c

ff ´

pmáx = 0.75 pb ó 0.90 pb

Page 144: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

144

pb = y

c

ff ´´

1

y

6000f 6000

β+

Finalmente se revisa por aplastamiento.

EJEMPLO 6.4

Diseñar la zapata cuadrada con los siguientes datos.

P = 45500 kg

c = 45 cm lado de la columna

fy = 4200 kg/cm2

fc´= 250 kg/cm2

qu = 7 t/m2 ; qu = s

d

Fq

Constantes de cálculo Concreto clase 1 fc´= 250 kg/cm2 fc* = 0.80 ( 250 )= 200 kg/cm2 β1 = 0.85 ya que fc* ≤ 280 kg/cm2 fc´´ = 0.85 fc*= 0.85 (200) = 170 kg/cm2

Dimensión de la Zapata P = 45.5 t + 10% p.zapata P = 50.05 t Pu = (1.4) (50.05) Pu = 70.07 t

B2 = Az = u

u

qP

= 2/707.70mt

t = 10.01 m2

Az = 10.01 m2 B = 3.20 m Area = (3.20) (3.20) = 10.24 m2 Presión de contacto

Page 145: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

145

qc=zA

P =

24.1050.50 = 4.93 t/ m2 < 7 t/ m2

Presión neta, qu

qu = z

u

AP

= 24.1007.70 = 6.84 7 t/ m2

Calculo de peralte que satisface la penetración

Esfuerzo cortante que toma el concreto:

*c R cv F f=

*c c 2 2

kg tv 0.80 f 0.80 200 11.31 113.1cm m

= = = =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

4u

cq

ν = 6 84113 14..⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

= 114.85

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

2u

cq

ν c = 6 84113 12..⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.45) = 52.45

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4

2cBL qu = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −×4

)45.0()20.320.3( 2

( 6.84) = 17.16

En la ecuación de segundo grado:

114.85 d2 + 52.45 d - 17.16 = 0

d= 0.22 m por penetración d = 22 cm

Cálculo de peralte como viga ancha Esfuerzo cortante que toma el concreto:

0 40 *c cv . f=

*c c 2

tv 0.40 f 0.40 200 56.6m

= = =

d = )(2)(

uc

u

qcLq

+−

ν =

)84.66.56(2)45.020.3(84.6

+−

d = 0.15 m viga ancha d = 15 cm

Page 146: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

146

se toma el mayor de d = 22 cm y 15 cm, por lo tanto tomamos d = 22 cm Revisión por flexión

Mact = [ ]xqu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡2x

Mact = 2

2xqu

Donde : x = 2

cB −

x= 2

45.020.3 − = 1.375 m

Mact = 2 2(6.84 / )(1.375 )2

t m m = 6.47 t . m Mact = 647,000 kg . cm

Cálculo de constantes:

F = yR

R

fFM =

)4200)(90.0(647000 = 171.16

G = ´´2 c

y

fBf

= )170)(320(2

4200 = 0.0386

As

2 G – As d + F = 0 As

2 (0.0386) - 22 As + 171.16 = 0 As = 7.89 cm2/m

Cálculo del porcentaje de acero

p = bdAs con b = 100 cm

p = 7.89 0.0036(100)(22)

=

Porcentaje balanceado pb = y

c

ff ´´

1

y

6000f 6000

β+

pb = 4200170

60004200)85.0(6000

+ = 0.0202

Porcentaje máximo 0.90 pb = 0.01818

Porcentaje mínimo: pmin = 0.70 y

c

ff ´

= 4200

25070.0

pmin = 0.0026

Page 147: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

147

pmax = 0.01818 p= 0.0036

pmin = 0.0026 Pero p= 0.0036 es menor que 0.015, entonces: cortante que toma el concreto

cv = FR (0.20 + 20P ) *cf ; FR = 0.80

cv = 0.80 [0.20 + 20 (0.0036)] 200

cv = 3.08kg/cm2= 30.80 t/ m2 ************************************************************************* Nota : cuando se hace la revisión por flexión se puede usar:

Mact = 2

2xqu

qu = (6.84 t/ m2 ) (3.20 m ) = 21.888 t/m

Mact = 21.888 /2

t m (1.375)2 m2 = 20.691 t.m

Mact = 2,069,100 kg.cm Constantes

F = cmkg

cmkg/)4200)(90.0(

.2069100 = 547.38

G = ´´2 c

y

fBf

= )170)(320(2

4200 = 0.0386

As

2 G - As d + F = 0 As

2 0.0386 – 22 As + 547.38 = 0 As = 24.99 cm2 acero total en la zapata

p = bdAs =

224.99 0.0035(320)(22)

cm= = 0.0035 que es el mismo que el anterior

************************************************************************************************** Peralte efectivo

Page 148: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

148

d = )(2)(

uc

u

qcLq

+−

ν

6.84(3.20 0.45) 0.252(30.80 6.84)

d m−= =

+

25d cm= Para el nuevo peralte: As

2 (0.0386)-25 As+ 171.16 = 0 As = 6.92 cm2/m

p = bdAs = 6.92 0.00276

(100)(25)=

Como: pmáx = 0.01818

p= 0.00276 pmin = 0.0026

Acero total As total = As B

As total = 6.92 m

cm2

x 3.20 = 22.14 cm2

Usando varillas del N° 4

N° varillas = illaA

totalA

s

s

var =

2

2

22.141.27

cmcm

= 18 varillas

Separación s = illas

Bvar#

= 320 17.7818

= @ 18 cm

18 ∮ N°4 @ 18 cm Longitud de desarrollo

Ld = 0.06 ´c

ys

ffa

≥ 0.006 db fy

24.20250

)4200)(27.1(06.0´

06.0==

c

ys

ffa

0.006 db fy = 0.006 (1.27)(4200) = 32.00 20.24 ≥ 32.00 Ld = 32 cm Revisión por aplastamiento

Page 149: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

149

fa = 0.70 fc* = 0.70 (200) = 140 kg/cm2 A1 = Ac = 45 x 45 = 2025 cm2 A2 = ( c + 4d )2 = [ 45 + 4 (26) ]2 A2 = 22 201 cm2

R = 1

2

AA

= 202522201

= 3.31 ≤ 2

Por lo tanto: R= 2 Pmáx = R fa Ac Pmáx = (2) (140) (2025) = 567 000 kg = 567 t > 70.07 t Acero para la transmisión de continuidad entre losa y columna As min = 0.01 Acd As min = 0.01 (2025 ) = 20.25 cm2 Usando varillas del N° 6 ( 2.85 cm2 ) Φ = 1.90 cm

N° varillas = 785.225.20min ==

s

s

aA

7∮N° 6

Usando varillas del N° 8 (5.07 cm2) Φ = 2.54 cm

N° varillas = 407.525.20min ==

s

s

aA

4∮N° 8 60 % para ld

L d = 0.60 ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

´06.0

c

ys

ffa

≥ (0.006) (0.6) db fy

L d = 0.60 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡250

)4200)(07.5(06.0 ≥ (0.006) (0.6) (2.54) (4200)

48.48 ≥ 38.40 Por lo tanto: Ld = 48 cm

Page 150: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

150

CAPÍTULO 7

LOSAS DE CIMENTACIÓN

Las losas de cimentación son un tipo de cimentación somera que cubre toda el área bajo la

estructura; se emplea cuando la resistencia del suelo es baja o cuando es necesario limitar

en forma estricta los asentamientos diferenciales. También se consideran como una opción

cuando las cargas son grandes, tal que, más del 50% del área sería cubierta si se

consideraran zapatas aisladas.

Existen dos tipos de losas de cimentación:

a) Losas planas, en el que las columnas se apoyan sobre la losa de cimentación

directamente o por medio de capiteles, pero sin que existan vigas de unión en los

ejes de las columnas. Tienen la ventaja de una sencillez constructiva pero se

incrementa el volumen de concreto.

b) Losas con contratrabes (vigas de cimentación) se emplean cuando los claros y las

cargas son elevadas y se convierten frecuentemente en una estructura en cajón con

losas en la parte superior e inferior a la contratrabe.

El diseño estructural de losas de cimentación se efectúa por dos métodos convencionales:

1) El método rígido.

2) El método flexible aproximado.

En el método rígido la losa se supone infinitamente rígida, además la presión del suelo se

distribuye uniformemente y el centroide de la presión del suelo coincide con la línea de

acción de las cargas resultantes de las columnas.

En el método flexible, el suelo se supone equivalente a un número infinito de resortes

elásticos (cimentación tipo Winkler), la constante elástica de esos resortes es el coeficiente

de reacción del suelo, ks. La estructura se resuelve como una retícula de cimentación

(parrilla) bidimensional. En su análisis se puede despreciar la rigidez torsional de las

contratrabes y la rigidez a flexión de las columnas. Esta forma de análisis sólo es

conveniente cuando el comportamiento del suelo es aproximadamente lineal. En suelos de

alta compresibilidad en la que la mayor parte del hundimiento se presenta a largo plazo por

fenómenos de consolidación, es preferible recurrir a métodos menos refinados pero en los

que el comportamiento del suelo esté mejor representado.

Page 151: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

151

El método rígido es más sencillo de aplicar, supone que las columnas son apoyos fijos y la

losa está cargada con una presión uniforme igual a la carga total por unidad de área

transmitida por la estructura. En estas condiciones el análisis se realiza como el un sistema

de piso invertido.

Cuando se tiene una losa plana las cargas sobre la losa se obtienen por medio de franjas

imaginarias en la dirección larga de la planta.

Cuando se tiene una retícula de cimentación el análisis se puede realizar como:

1) Por medio de dos franjas ortogonales equivalentes.

2) Por medio de una retícula de contratrabes.

En ambos casos se consideran todas las contratabes que forman la retícula o la franja

equivalente, como una viga “rígida” flotando sobre el suelo y sujeta a un estado de

equilibrio entre las cargas de las columnas y las reacciones del suelo. Cuando se analiza la

cimentación por medio de dos franjas ortogonales equivalentes los elementos mecánicos

deben repartirse proporcionalmente a la rigidez de cada contratrabe real.

Cuando se tiene una retícula de contratrabes las cargas sobre cada contratrabe se puede

realizar por medio de áreas tributarias que se forman a 45°. Al analizar cada contratrabe en

forma independiente no se está respetando la compatibilidad de asentamientos bajo una

columna que pertenece a dos franjas ortogonales. Si los movimientos resultan

significativamente distintos en dos direcciones conviene hacer correcciones en la

distribución de presiones en las franjas. Se ignoran, por otra parte, las fuerzas cortantes que

existen en los extremos de las contratrabes por la interacción de las contratrabes adyacentes

y que pueden alterar las fuerzas internas (distribuidas) y los hundimientos.

Normalmente en el método rígido no se obtiene un equilibrio en la fuerza cortante

producida por las reacciones y las cargas en las columnas, por lo que hay que equilibrar el

cortante de desequilibrio.

Este método ignora los hundimientos relativos de los apoyos y considera una distribución

uniforme de presiones, por lo cual los errores que se comenten al realizar estás hipótesis no

son grandes cuando la cimentación es muy rígida y cuando la estructuración y las cargas

son regulares.

El método flexible resulta bastante más preciso que el de las franjas, ya que considera el

carácter bidimensional de la cimentación, pero presenta mayor complicación numérica.

Para losas con contratrabes se puede realizar un modelo claro, pero para losas planas se

Page 152: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

152

presentan dificultades en la determinación de las rigideces de las vigas ficticias que unen

las columnas.

Un mejor procedimiento, es el propuesto por Flores y Esteva (Análisis y diseño de

cimentaciones sobre terreno compresible, II UNAM, N° 258).

COMPARACIÓN DE RESULTADOS

ZAPATA1 Y ZAPATA 2

ZAPATA NÚMERO 1 NODO Distancia (cm) Fuerza

Resistente (t) Área T. (cm2) P (kg/cm2) Mz (t-cm)

1 0.00 -16.458 8740.0 -1.883 0.0 2 46.00 -21.392 17480.0 -1.224 2002.96 3 92.00 -11.541 17480.0 -0.660 3021.91 4 138.0 -4.357 17480.0 -0.249 3509.96 5 184.0 -0.333 17480.0 -0.019 3797.61 6 230.0 0.241 17480.0 0.014 4069.94 7 276.00 -2.887 17480.0 -0.165 4354.36 8 322.00 -9.952 17480.0 -0.569 4503.99 9 368.00 -21.042 17480.0 -1.204 4196.85 10 414.00 -35.801 17480.0 -2.048 2921.79 11 460.00 -26.483 8740.0 -3.030 0.00

ZAPATA NÚMERO 2 NODO Distancia (cm) Fuerza

Resistente (t) Área T. (cm2) P (kg/cm2) Mz (t-cm)

1 0.00 -3.173 8740.0 -0.363 0.00 2 46.00 -8.023 17480.0 -0.459 2613.58 3 92.00 -9.706 17480.0 -0.555 4856.08 4 138.0 -11.406 17480.0 -0.653 6654.13 5 184.0 -13.126 17480.0 -0.751 7927.35 6 230.0 -14.871 17480.0 -0.851 8594.92 7 276.00 -16.644 17480.0 -0.952 8576.54 8 322.00 -18.442 17480.0 -1.055 7789.51 9 368.00 -20.267 17480.0 -1.159 6158.78 10 414.00 -22.110 17480.0 -1.265 3591.78 11 460.00 -11.982 8740.0 -1.371 0.00

Page 153: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

153

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.5

0 1 2 3 4 5

Distancia (m)

Pre

sió

n k

g/c

m2

zapata2

zapata1

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 1 2 3 4 5

Distancia (m)

Mo

men

to (

t-cm

)

zapata2

zapata1

Ejemplo 7.1 El ejemplo numérico es una losa plana con zonas macizas que tienen tres

claros de 731.52 cm (24’) en cada dirección, como se muestra en la Figura 3. La losa

tiene un volado que sale más allá de la cara de la columna de 15.24cm (6”) a lo largo

de cada lateral de la estructura. Las columnas son de 30.48 x 40.64 cm (12” x 36”) con

el lado largo paralelo al eje de Y.

La losa tiene de 25.4 cm (10”) de espesor. En las zonas macizas hay un

espesor adicional de 12.7 cm (5”) de la losa, así el espesor total de la losa en la zona

maciza es de 38.10 cm (15”). Las dimensiones en planta de los tableros, las zonas

Page 154: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

154

macizas interiores son 243.84 cm x 243.84 cm (8’ x 8’), las zonas macizas de borde

dónde el borde es paralelo al eje X son 243.84 x 182.88 cm (8’ x 6’), las zonas macizas

de borde dónde el borde es paralelo al eje Y son 12.70 x 20.32 cm (5’ x 8’), y en las

esquinas los tableros son 12.70' x 15.24 cm (5’ x 6’).

El concreto tiene un peso por unidad de volumen de 2.405E-6 Ton/cm3

(150 pcf ) y un f’c de 281.48 kg/cm2 (4000 psi). La carga muerta consiste en el mismo

peso de la estructura más una adicional de 9.774E-6 ton/cm2 (20 psf). La carga viva es

3.909 Ton/cm2 (80 psf). Se usan las propiedades del plato espesas para la losa.

Cada columna en Figura 3 es referenciada con un número. Por ejemplo, la

columna en la intersección de líneas de la malla A y 1 es la número 5. Estos números

se refieren al objeto del punto ID en el modelo asociado al SAFE.

Page 155: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

155

Manual de calculo para una viga interior usando el método SAFE.

[ ] cmd 29.342/)08.51.38()54.21.38( =−+−=

En referencia a la figura 5.

cmbo 20.38177.6493.12577.6473.125 =+++=

482.0

77.6473.125

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

325.0

73.12577.64

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

Page 156: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

156

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0).

La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por

punzonamiento. Lado1, lado 2, lado 3 y lado 4 de la sección critica por punzonamiento

mostrado en la figura 5.

DATOS LADO 1 LADO 2 LADO 3 LADO 4 SUMA X2 -32.39 0 32.39 0 N.A

Y2 0 62.87 0 -62.87 N.A L 125.73 64.77 125.73 64.77 bo =381.20 D 34.29 34.29 34.29 34.29 N.A Ld 4311.28 2220.96 4311.28 2220.96 13064.48

Ldx2 -139642.36 0 139642.36 0 0 Ldy2 0 76156.72 0 -76156.72 0

048.13064

023 === ∑

LdLdx

x

048.13064

023 === ∑

LdLdy

y

DATO LADO 1 LADO 2 LADO 3 LADO 4 SUMA L 125.73 64.77 125.73 64.77 N.A. d 34.29 34.29 34.29 34.29 N.A.

X2 - X3 -32.39 0 32.39 0 N.A. Y2 - Y3 0 62.87 0 62.87 N.A. PARALELO A eje Y eje X eje Y eje X N.A. ECUACIONES 5b, 6b, 7 5a, 6a, 7 5b, 6b, 7 5a,6a,7 N.A.

Ixx 0 8778648.45 0 8778648.45 7557296.90 Iyy 4523016.01 0 4523016.01 0 9046032.02 Ixy 0 0 0 0 0

Vu = -102.47 Ton

Mux = 535.72 Ton-cm

Muy = -483.99 Ton-cm

En el punto A de la Figura 5, X4 = -32.39 cm y Y4 = 62.87

Page 157: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

157

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()02.9046032)(9.17557296()087.62)(0()039.32(9.17557296)00)(47.102(99.483324.0

)0()02.9046032)(9.17557296()039.32)(0()087.62(9046032.02)00)(47.102(72.535482.0

29.34*20.38147.102

−−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.007839+0.000925 – 0.000561= - 0.007475 t/cm2 en el punto A

En el punto B de la figura 5, X4= 32.39 y Y4= 62.87, asi:

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()02.9046032)(9.17557296()087.62)(0()039.32(9.17557296)00)(47.102(99.483324.0

)0()02.9046032)(9.17557296()039.32)(0()087.62(9046032.02)00)(47.102(72.535482.0

29.34*20.38147.102

−−−−−−−−

−−

−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.007839+0.000925 + 0.000561= - 0.006353 t/cm2 en el punto B

En el punto C de la figura 5, X4= 32.39 y Y4= - 62.87, asi:

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()02.9046032)(9.17557296()087.62)(0()039.32(9.17557296)00)(47.102(99.483324.0

)0()02.9046032)(9.17557296()039.32)(0()087.62(9046032.02)00)(47.102(72.535482.0

29.34*20.38147.102

−−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.007839-0.000925 + 0.000561= - 0.008203 t/cm2 en el punto C

En el punto D de la figura 5, X4= -32.39 y Y4= - 62.87, asi:

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()02.9046032)(9.17557296()087.62)(0()039.32(9.17557296)00)(47.102(99.483324.0

)0()02.9046032)(9.17557296()039.32)(0()087.62(9046032.02)00)(47.102(72.535482.0

29.34*20.38147.102

−−−−−−−−−−

−−

−−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.007839+0.000925 - 0.000561= - 0.009325 t/cm2 en el punto D.

Page 158: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

158

El punto D tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.009325 t/cm2 Manual de calculo para una columna de borde usando el método SAFE.

[ ] 2/)08.51.38()54.21.38( −+−=d =34.29 cm

En referencia a la figura 6

cmbo 43.31283.12377.6483.123 =++=

480.0

77.6483.123

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

325.0

83.12377.64

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0)

La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por

punzonamiento. Lado1, lado 2 y lado 3 de la sección critica por punzonamiento

mostrado en la figura 6.

Page 159: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

159

DATOS LADO 1 LADO 2 LADO 3 SUMA X2 -32.39 0.00 32.39 N.A Y2 0.95 62.87 0.00 N.A L 123.83 64.77 123.83 bo =312.42 d 34.29 34.29 34.29 N.A

Ld 4245.96 2220.96 4245.96 10712.88 Ldx2 -137505.39 0.00 137505.39 0.00 Ldy2 4044.28 139620.86 0.00 143665.13

010712.88

023 === ∑

LdLdx

x

cmLdLdy

y 41.1310712.88143665.132

3 === ∑

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos sa

muestran en la columna SUMA.

DATOS LADO 1 LADO 2 LADO 3 SUMA L 123.83 64.77 123.83 N.A. d 34.29 34.29 34.29 N.A.

X2 - X3 -32.39 0.00 32.39 N.A. Y2 - Y3 -12.83 49.07 -12.83 N.A.

PARALELO A eje Y eje X eje Y N.A. ECUACIONES 5b, 6b, 7 5a, 6a, 7 5b, 6b, 7 N.A.

Ixx 6539774.29 5348389.89 6539774.29 18427938.48 Iyy 4453112.07 994058.20 4453112.07 9900282.33 Ixy 1763781.64 0.00 -1763781.64 0.00

De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos:

Vu = -54.36 Ton

Mux = 4356.64 Ton-cm

Muy = 401.98 Ton-cm

En el punto A de la Figura 6, X4 = -32.39 cm y Y4 = 62.87

Page 160: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

160

[ ][ ]

[ ] [ ]2

2

)0()33.9900282)(48.18427938()41.1387.62)(0()039.32(48.18427938)00)(36.54(98.104325.0)0()33.9900282)(48.18427938(

)039.32)(0()41.1387.62(9900282.33)041.13)(36.54(64.4356480.029.34*43.312

36.54

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.005074-0.006552 – 0.000427= -0.012054 t/cm2 en el punto A

En el punto B de la Figura 6, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ] [ ]2

2

)0()33.9900282)(48.18427938()41.1387.62)(0()039.32(48.18427938)00)(36.54(98.104325.0

)0()33.9900282)(48.18427938()039.32)(0()41.1387.62(9900282.33)041.13)(36.54(64.4356480.0

29.34*43.31236.54

−−−−−−−

−−

−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.005074-0.006552 + 0.000427= -0.011199 t/cm2 en el punto B

En el punto C de la Figura 6, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96

[ ][ ]

[ ] [ ]2

2

)0()33.9900282)(48.18427938()41.1396.60)(0()039.32(48.18427938)00)(36.54(98.104325.0)0()33.9900282)(48.18427938(

)039.32)(0()41.1396.60(9900282.33)041.13)(36.54(64.4356480.029.34*43.312

36.54

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.005074+ 0.009852 + 0.000427= 0.005205 t/cm2 en el punto C

En el punto D de la Figura 6, X4 = -32.39 cm y Y4 = -60.96

[ ][ ]

[ ] [ ]2

2

)0()33.9900282)(48.18427938()41.1396.60)(0()039.32(48.18427938)00)(36.54(98.104325.0)0()33.9900282)(48.18427938(

)039.32)(0()41.1396.60(9900282.33)041.13)(36.54(64.4356480.029.34*43.312

36.54

−−−−−−−−−

−−

−−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.005074+ 0.009852 - 0.000427= 0.004350 t/cm2 en el punto D

Page 161: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

161

El punto A tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.012050 t/cm2

Relación de cortante = 345.00126.000435.0

==vc

vuϕ

Procedimiento de cálculo para una columna de borde paralelo al eje Y usando el método SAFE.

[ ] 2/)08.51.38()54.21.38( −+−=d =34.29 cm

En referencia a la figura 7

cmbo 47.25187.6273.12587.62 =++=

485.0

87.6243.125

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

Page 162: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

162

320.0

43.12587.62

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0)

La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por

punzonamiento. Lado1, lado 2 y lado 3 de la sección critica por punzonamiento

mostrado en la figura 7.

DATOS LADO 1 LADO 2 LADO 3 SUMA X2 0.95 32.39 0.95 N.A Y2 62.87 0.00 -62.87 N.A L 62.87 125.73 62.87 bo =251.47 d 34.29 34.29 34.29 N.A

Ld 2155.64 4311.28 2155.64 8622.56 Ldx2 2053.25 139620.86 2053.25 143727.35 Ldy2 135514.36 0.00 -135514.36 0.00

cmLdLdx

x 67.168622.56

35.14372723 === ∑

08622.56

023 === ∑

LdLdy

y

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos se

muestran en la columna SUMA.

DATOS LADO 1 LADO 2 LADO 3 SUMA L 62.87 125.73 62.87 N.A. d 34.29 34.29 34.29 N.A.

X2 - X3 -15.72 15.72 -15.72 N.A. Y2 - Y3 62.87 0.00 -62.87 N.A.

PARALELO A eje X eje Y eje X N.A. ECUACIONES 5a, 6a, 7 5b, 6b, 7 5a, 6a, 7 N.A.

Ixx 8519110.37 6101842.14 8519110.37 23140062.88 Iyy 1454018.22 1065749.49 1454018.22 3973785.93 Ixy -2130638.11 0.00 2130638.11 0.00

De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos:

Vu = -43.07 Ton

Page 163: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

163

Mux = 201.75 Ton-cm

Muy = 1688.00 Ton-cm

En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()93.3973785)(88.23140062()087.62)(0()67.1648.30(88.23140062)067.16)(07.43(00.1688320.0

)0()93.3973785)(88.23140062()67.1648.30)(0()087.62(93.3973785)00)(07.43(75.201485.0

29.34*47.25107.43

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.004994-0.000266 + 0.009135 = -0.003875 t/cm2 en el punto A

En el punto B de la Figura 7, X4 = 32.37 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()93.3973785)(88.23140062()087.62)(0()67.1637.32(88.23140062)067.16)(07.43(00.1688320.0

)0()93.3973785)(88.23140062()67.1637.32)(0()087.62(93.3973785)00)(07.43(75.201485.0

29.34*47.25107.43

−−−−−−−

−−

−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.004994-0.000266 - 0.003042 = -0.008302 t/cm2 en el punto B

En el punto C de la Figura 7, X4 = 32.37 cm y Y4 = -62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()93.3973785)(88.23140062()087.62)(0()67.1637.32(88.23140062)067.16)(07.43(00.1688320.0

)0()93.3973785)(88.23140062()67.1637.32)(0()087.62(93.3973785)00)(07.43(75.201485.0

29.34*47.25107.43

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.004994+0.000266 - 0.003042 = -0.007770 t/cm2 en el punto C

En el punto D de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = -62.87

Page 164: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

164

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()93.3973785)(88.23140062()087.62)(0()67.1648.30(88.23140062)067.16)(07.43(00.1688320.0

)0()93.3973785)(88.23140062()67.1648.30)(0()087.62(93.3973785)00)(07.43(75.201485.0

29.34*47.25107.43

−−−−−−−−−

−−

−−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.004994+0.000266 + 0.009135= 0.004406 t/cm2 en el punto D

El punto B tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.008302 Ton/cm2

Relación de cortante = 659.00126.0

008302.0==

vcvu

ϕ

Procedimiento de cálculo para una columna de borde paralelo al eje Y

usando el método SAFE.

[ ] 2/)08.51.38()54.21.38( −+−=d =34.29 cm

En referencia a la figura 8

Page 165: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

165

cmbo 70.18683.12387.62 =+=

483.0

87.6283.123

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

322.0

85.12387.62

321

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=vxγ

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0)

La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por

punzonamiento. Lado1 y lado 2 de la sección critica por punzonamiento mostrado en la

figura 8.

DATOS LADO 1 LADO 2 SUMA X2 0.95 32.39 N.A Y2 62.87 0.95 N.A L 62.87 123.83 bo =186.69 d 34.29 34.29 N.A Ld 2155.64 4245.96 6401.60 Ldx2 2053.25 137505.39 139558.64 Ldy2 135514.36 4044.28 139558.64

cmLdLdx

x 80.216401.60

64.13955823 === ∑

cmLdLdy

y 80.216401.60

139558.6423 === ∑

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos sa muestran

en la columna SUMA.

DATOS LADO 1 LADO 2 SUMA L 62.87 123.83 N.A. d 34.29 34.29 N.A.

X2 - X3 -20.85 10.59 N.A. Y2 - Y3 41.07 -20.85 N.A.

PARALELO A eje Y eje X N.A. ECUACIONES 5b, 6b, 7 5a, 6a, 7 N.A.

Ixx 3636334.93 7687594.49 11323929.42 Iyy 1858554.71 476338.15 2334892.86 Ixy -1846277.66 -937826.43 -2784104.09

Page 166: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

166

De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos:

Vu = -24.83 Ton

Mux = 2262.50 Ton-cm

Muy = 1321.15Ton-cm

En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2187.62)(09.2784104()80.2148.30(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2148.30)(09.2784104()80.2187.62(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 - 0.002209 + 0.015328 = 0.009240 t/cm2 en el punto A

En el punto B de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2187.62)(09.2784104()80.2139.32(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2139.32)(09.2784104()80.2187.62(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 + 0.005577 - 0.007517 = -0.005819 t/cm2 en el punto B

En el punto C de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2196.60)(09.2784104()80.2139.32(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)09.2784104()2334892.86)(42.11323929()80.2139.32)(09.2784104()80.2196.60(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 - 007482 + 0.003546 = -0.007617 t/cm2 en el punto C

El punto A tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = 0.009240 t/cm2

Procedimiento de calculo para una columna de borde paralelo al eje Y usando el método SAFE considerando Ixy = 0.

En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87

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Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

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[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2187.62)(0()80.2148.30(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2148.30)(0()80.2187.62(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 + 0.003015 + 0.013428 = 0.012564 t/cm2 en el punto A

En el punto B de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2187.62)(0()80.2139.32(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2139.32)(0()80.2187.62(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−

−−

−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 + 0.003015 - 0.002720 = -0.003584 t/cm2 en el punto B

En el punto C de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2187.62)(0()80.2139.32(42.11323929)080.121)(83.24(15.1321322.0

)0()2334892.86)(42.11323929()80.2139.32)(0()80.2187.62(86.3348922)080.21)(83.24(50.2262483.0

29.34*69.18683.24

−−−−−−−−

−−

−−−−−−−+

−=vu

Vu=-0.003879 - 006216 - 0.002720 = -0.012815 Ton/cm2 en el punto C

El punto C tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.0128 t/cm2

Page 168: Notas Cimentaciones

Hugo Hernández Barrios DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

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REFERENCIAS

Dawson, A. W. “Soil-Structure Interaction for footing foundations” publicación E-28 del Instituto de Ingeniería de la UNAM, Octubre 1977. Joaquín Mejía Ramírez. “Análisis Estructural de cimentaciones superficiales”, UMSNH, 1986. Manual de Diseño de Obras Civiles, Estructuras. Métodos de Análisis y Diseño, C”” Diseño de Estructural de Cimentaciones, México, 1981. Enrique Tamez González “Ingeniería de Cimentaciones, Conceptos Básicos de la práctica”, TGC Geotecnia, 2001.