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Nuevas ideas sobre la granulometría por difractometría láser

Esteban Calvo

Introducción

• La medida del tamaño de partícula/gota clave en múltiples aplicaciones – Deposición de líquidos en superficies (pintura, deposición de

medicamentos en alveolos pulmonares) – Transferencia de masa y energía ∝ Sup / Vol ∝ 1 / Dpart – Pulvimetalurgia (tenacidad, límite elástico ↑ si Dpart ~ Dgrano ↓) – Flujo de líquido en medios porosos (arenas, etc.)

• Difractometría láser: un método ampliamente extendido – Ventajas

• Rápido (casi en tiempo real), cómodo y, en el límite, on-line – Desventajas

• Precisa de acceso óptico

2 Nuevas ideas sobre la granulometría por difractometría láser

Introducción

• Principio de funcionamiento – Dispersión de un haz de luz coherente y colimado que incide

sobre la población de partículas a medir

– Patrón de dispersión función de la distribución de tamaños I(R) = F[fV(d)]

– Detección de patrón de dispersión I(r) e inversión fV(d) = F-1[I(r)]


Introducción

• Hipótesis habituales – Partículas esféricas → geometría fijada – Se detecta la luz dispersada en direcciones cercanas a la del haz

láser → difracción, efecto despreciable de n = índice de refracción – Plano de detección en el infinito → difracción de Fraunhoffer,

distancia partículas – detectores irrelevante


Amplitud del campo eléctrico:

𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝑧𝑧 = 𝐶𝐶� exp 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑥𝑥′ + 𝛽𝛽𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑Σ

con 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥 𝑧𝑧⁄ ; 𝛽𝛽 = 𝑦𝑦 𝑧𝑧⁄ ;𝐶𝐶 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐸𝐸0 exp −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑖𝑖

Intensidad:

𝐼𝐼 𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝑧𝑧 =12

𝜀𝜀𝜇𝜇 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐸𝐸𝐶𝐶

∗

Introducción

• Principio de Fresnel – Huygens – Cada punto al que llega una onda luminosa se convierte a su

vez en un reemisor de ondas esféricas • La onda luminosa final es la suma de las ondas reemitidas por

cada punto. – La difracción no es más que la aplicación de este principio


Campo eléctrico suma de los campos de emisores “puntuales”

𝐸𝐸 𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝑧𝑧 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐸𝐸0 exp −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑖𝑖

𝐶𝐶

∬ exp 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑥𝑥′ + 𝛽𝛽𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑Σ con 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥 𝑧𝑧⁄ ; 𝛽𝛽 = 𝑦𝑦 𝑧𝑧⁄

Patrón de difracción generado

• Montaje óptico – Todos los haces difractados en la misma dirección interfieren en el

mismo punto del plano focal • Se proyecta el infinito sobre los detectores (Fraunhofer)

– Patrón de difracción generado por una esfera sobre el plano focal

𝐼𝐼 𝑟𝑟 = 𝑊𝑊0

𝜋𝜋4𝐷𝐷

2

𝜆𝜆2𝑓𝑓22𝐽𝐽1 𝑖𝑖𝑖𝑖

2 con:

𝑊𝑊0 = 𝐼𝐼0𝜋𝜋4𝐷𝐷2 = potencia de luz incidente en la esfera

𝑧𝑧 = 𝜋𝜋𝐷𝐷𝜋𝜋𝜆𝜆𝑓𝑓

= variable adimensional

J1(z) = función de Bessel de 1ª especie


Patrón de difracción generado

• Para una población de partículas – Hipótesis

• Esferas distribuidas aleatoria e independientemente • Spray/dispersión ópticamente poco densa (no difracción multipart.)

– Intensidad difractada total = suma de la intensidad difractada por cada partícula (problema lineal)

– Luz recogida por el anillo detector i - ésimo • Una partícula de diámetro d:

𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑 = ∬ 𝐼𝐼 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖= −𝑊𝑊0

2𝐽𝐽02 𝑧𝑧 + 𝐽𝐽12 𝑧𝑧 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖

• Una población de N partículas (o un volumen V de partículas) 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑁𝑁∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑

∞0 𝑓𝑓𝑁𝑁 𝑑𝑑 d𝑑𝑑 con 𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑 = pdf numérica de tamaños

𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 ∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑∞0

𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑 con 𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑 = pdf en volumen ⇒ d𝑁𝑁 = 𝑉𝑉 𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑


Medida de la distribución de tamaños

• Proceso de medida – Se mide el patrón de difracción: vector de energías W = [Wi]N x 1

• con Wi = energía en cada anillo detector, N = número de detectores – Se calcula la distribución de tamaños fV(d) que genera el patrón de

difracción medido W ⇒ inversión – W es discreto ⇒ la distribución de tamaños debe discretizarse – Esquema clásico:

• Se toman N tamaños discretos D = [D1, D2, ..., DN] = [Dj]N x 1 • Se calcula el patrón de difracción generado por estas partículas

𝑊𝑊𝑖𝑖 = ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑗𝑗1

𝜋𝜋6𝐷𝐷𝑗𝑗

3 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑁𝑁𝑗𝑗=1 con vj = volumen total de las partículas de tamaño Dj

𝐖𝐖 = 𝐌𝐌𝐌𝐌 siendo 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑗𝑗1

𝜋𝜋6𝐷𝐷𝑗𝑗

3 ; 𝑣𝑣𝑗𝑗 = distribución de tamaño en volumen

• Cuestión abierta: ¿Qué clases de tamaños Dj se toman?

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Criterios de discretización de tamaños

• Criterio 1, de Máxima Densidad Radial de Energía – Criterio “clásico” implementado en los Malvern de los 80’s

Dj tal que haga máximo 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜋𝜋

= 𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑗𝑗 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑗𝑗 = 𝑊𝑊02 𝜋𝜋𝐷𝐷𝜆𝜆𝑓𝑓

𝐽𝐽12 𝑖𝑖𝑖𝑖

con �𝑧𝑧 =

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜋𝜋𝑗𝑗𝜆𝜆𝑓𝑓

𝑟𝑟𝑗𝑗 = radio anillo 𝑗𝑗−ésimo

Derivando: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜋𝜋


= 𝜋𝜋𝐷𝐷𝜆𝜆𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖


= 0 ⇒ 𝑧𝑧 = 1.356 ⇒ 𝐷𝐷𝑗𝑗 = 1.356 𝜆𝜆𝑓𝑓𝜋𝜋𝜋𝜋𝑗𝑗

– Se busca hacer al anillo j – ésimo muy sensible al tamaño Dj

• Los anillos detectores de luz más externos están “asociados” a las partículas más pequeñas


¡Que este máximo caiga en el centro del detector es arbitrario!


• Alternativa C2: máxima eficiencia de detector Energía total difractada por la partícula: 𝑊𝑊0 = 𝜋𝜋

4𝐷𝐷2𝐼𝐼0

Energía recogida por el detector j – ésimo: 𝑤𝑤𝑗𝑗 = ∫ 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗= −𝑊𝑊0

2𝐽𝐽02 𝑧𝑧 + 𝐽𝐽12 𝑧𝑧 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑗𝑗

Eficiencia del detector j – ésimo: 𝑒𝑒𝑗𝑗 =𝑑𝑑𝑗𝑗

𝑊𝑊0= −1

2𝐽𝐽02 𝑧𝑧 + 𝐽𝐽12 𝑧𝑧 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑗𝑗 con 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑗𝑗 =𝜋𝜋𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝐷𝐷

𝜆𝜆𝑓𝑓

– Se busca Dj que maximice la eficiencia ej del detector j – ésimo

– No coincide con el criterio anterior • Para semi – anillos detectores delgados:

𝑤𝑤𝑗𝑗 = 𝑊𝑊0 ∫𝐽𝐽12 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑧𝑧𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗

∼ 𝑊𝑊0𝐽𝐽12 𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗

∆𝑧𝑧𝑗𝑗 = 𝑊𝑊0𝐽𝐽12

𝜋𝜋𝐷𝐷𝑟𝑟𝑗𝑗𝜆𝜆𝑓𝑓

𝜋𝜋𝑗𝑗∆𝑟𝑟𝑗𝑗 ⇒ 𝑒𝑒𝑗𝑗 ∼

𝐽𝐽12 𝑖𝑖𝑗𝑗𝜋𝜋𝑗𝑗

∆𝑟𝑟𝑗𝑗

• En el criterio C1 “clásico”, se maximiza J12(z) / z. Ahora J1

2(z) • Este nuevo criterio sigue siendo arbitrario



• Alternativa C3: criterio de condicionamiento óptimo de la matriz de transferencia – Se busca el condicionamiento óptimo de la matriz de

transferencia M del sist. de ec. W = MV • Número de condición: cond 𝐌𝐌 = 𝐌𝐌 𝐌𝐌−1 • El número de condición establece una cota a los errores de medida

– Si se comete un error δW en la medida de energías, se demuestra

error rel. pdf tamaños = 𝛿𝛿𝐌𝐌𝐌𝐌

≤ cond 𝐌𝐌 𝛿𝛿𝐖𝐖𝐖𝐖

⇜ error rel. medida energías

– En este criterio, se busca [Dj]N x 1 que minimiza cond(M) » Recordatorio: 𝐖𝐖 = 𝐌𝐌𝐌𝐌 siendo 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑗𝑗

1𝜋𝜋6𝐷𝐷𝑗𝑗

3 y 𝑤𝑤𝑖𝑖 = energía incidente sobre

el detector i – ésimo. » Es decir, M = M(rint i , rext i , Dj)

– No arbitrario – Muy caro computacionalmente


Criterios de discretización de tamaños: comparación

• Comparación de clases de tamaños obtenidos

• Comparación de números de condición de matriz M

• Conclusión: se usa el criterio #2, de máxima eficiencia de detección


Criterios 2 y 3 ofrecen clases de tamaño similares. Mayores que el criterio 1

Criterio Cond(M)

C1, máx. dens. radial energía 1.63e+08

C2, máx. efic. detección 1.30e+08

C3, cond(M) óptimo 4.55e+07

¡Valores muy elevados! ¿Resolución del Sª de ec’s W = MV? El criterio 1 tiene el peor comportamiento

Discretización alternativa de la pdf de tamaños

• El proceso visto puede generalizarse – La dispersión luminosa producida por el spray se calcula como la

suma de la dispersión luminosa producida por partículas de tamaño “discreto” • Esto equivale a descomponer la pdf de tamaños en una Combinación

Lineal de Deltas de Dirac: 𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑 = ∑ 𝑣𝑣𝑖𝑖𝛿𝛿 𝑑𝑑 − 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑁𝑁𝑖𝑖=1

– Generalización: 𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑 = ∑ 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑖𝑖=1

• con 𝑓𝑓𝑖𝑖 = base de funciones tal que – ∫ 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑 d𝑑𝑑 = 1∞

0 Conveniente: las bases se convierten en pdfs elementales

– vi = volumen de fluido asociado a la pdf elemental fi


Ejemplo: base de funciones triangulares

• Puede definirse una base de funciones triangulares solapadas

𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑 =

2𝐷𝐷𝑖𝑖−1 − 𝐷𝐷𝑖𝑖+1

𝑑𝑑 − 𝐷𝐷𝑖𝑖+1𝐷𝐷𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖+1

si 𝑑𝑑 ∈ 𝐷𝐷𝑖𝑖+1,𝐷𝐷𝑖𝑖

2𝐷𝐷𝑖𝑖−1 − 𝐷𝐷𝑖𝑖+1

𝐷𝐷𝑖𝑖−1 − 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑖𝑖−1 − 𝐷𝐷𝑖𝑖

si 𝑑𝑑 ∈ 𝐷𝐷𝑖𝑖 ,𝐷𝐷𝑖𝑖 − 1 con 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑁𝑁

– ¡La pdf final es continua! • Puede reproducir mejor la pdf real de las gotas • El cálculo del patrón de difracción generado es más preciso


Formulación matricial

• Cálculo del patrón de difracción » 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 ∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑

𝑓𝑓𝑉𝑉 𝑑𝑑𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑∞0 con 𝑓𝑓𝑉𝑉 = ∑ 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑓𝑓𝑗𝑗𝑁𝑁

𝑗𝑗=1 y 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑 = energía sobre

detector 𝑖𝑖 por partícula 𝑑𝑑

» 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 ∑ ∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑗𝑗 𝑑𝑑𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑∞0 ∙ 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑁𝑁

𝑗𝑗=1 ⇒ 𝐖𝐖 = 𝐌𝐌𝐌𝐌

con 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑗𝑗 𝑑𝑑𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑∞0

» El cálculo de M = [mij]N x N requiere evaluar una integral

• Discretización de tamaños – La definición de las funciones triangulares la da {Di}


Elementos de la base solapados {Di + 1, Di, Di – 1} definen el elemento fi {Di , Di – 1, Di – 2} definen el elemento fi – 1 Se requieren {D0, D1, …, DN, DN + 1} para definir los N elementos de la base

Elección de las clases de tamaño

• Se aplica el criterio de máxima eficiencia de detección – Dado el elemento fi = fi(d; Di + 1, Di, Di – 1) de la base, se define

• w0 i = energía total difractada por un volumen V de partículas con distribución de tamaño fi(d)

𝑤𝑤0𝑖𝑖 = � 𝐼𝐼0𝜋𝜋4𝑑𝑑2𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑;𝐷𝐷𝑖𝑖+1,𝐷𝐷𝑖𝑖 ,𝐷𝐷𝑖𝑖−1

𝜋𝜋6 𝑑𝑑

3d𝑑𝑑

∞

0

• wi i = energía recogida por el detector i – ésimo difractada por un volumen V de partículas con distribución de tamaño fi(d)

𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑;𝐷𝐷𝑖𝑖+1,𝐷𝐷𝑖𝑖 ,𝐷𝐷𝑖𝑖−1

𝜋𝜋6 𝑑𝑑

3d𝑑𝑑

∞

0

con 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑 = energía recogida por el detector i difractada por una partícula de tamaño d

• Se busca {Di + 1, Di, Di – 1} que maximice la eficiencia de detección del detector i-ésimo ei = wi i / w0 i – Con esto, queda definido el elemento de la base fi


Elección de las clases de tamaños

– Un problema… • Sean {Di + 1, Di, Di – 1} que maximiza ei = eficiencia del detector i-ésimo • Sean {D’i + 2, D’i + 1, D’i } que maximiza ei + 1

• En general Di ≠ D’i Di + 1 ≠ D’i + 1 • Es decir, 𝑓𝑓𝑉𝑉 = ∑ 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑁𝑁

𝑖𝑖=1 no es continua

– Solución: optimización multiobjetivo • Se define la eficiencia media de los detectores

𝑒𝑒𝑚𝑚 =∑ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝑁𝑁

• Se busca {Di}i=0N+1 que maximice la eficiencia media em

• De esta forma, se conserva una base con elementos solapados – Las pdf de tamaño son continuas


Comparación de resultados

• Comparación de clases de tamaños

– Mayor grado de detalle en tamaños pequeños – Las clases de diámetros se desplaza a tamaños mayores para la

nueva discretización • De (5.72, 550) μm para el tratamiento clásico a (6.96, 749) μm

– El rango dinámico aumenta de 96 a 108


Comparación de resultados

• Matrices similares

• Pero diferentes 𝑀𝑀𝑑𝑑𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗 =

𝑀𝑀𝑑𝑑𝜋𝜋𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖𝑗𝑗−𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗


Diferencias por debajo de la diag. Ppal Rizado más atenuado

Verificación de funcionamiento

• Verificación – Se prescribe una distribución log-normal fLN (d; μ, σ2) – Se evalúa el patrón de difracción de forma exacta

» con 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 ∫ 𝑤𝑤𝑖𝑖 𝑑𝑑∞0

𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑;𝜇𝜇,𝜎𝜎2𝜋𝜋6𝑑𝑑

3 d𝑑𝑑

– Se invierte con la formulación matricial W = MT·V » Usando el algoritmo de resolución de Malvern

– Resultados


Real (LN)

Medida (invers)

μ (μm) 62.1 62.7

σ (μm) 12.5 11.8

skw 0.614 1.19

D10 (μm) 53.1 54.1

D50 (μm) 68.6 67.1

D90 (μm) 88.7 88.8

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