Diego Aldair Arevalo Hernandez

Profesor. Luis Miguel Villarreal

Matematicas

“El Numero Aureo o Proporcion Aurea y La Serie de Fibonacci”

3º A

Indice

Introduccion 3

Contenido 4

Actividad 9

Bibliografia 10

Conclucion 11

Introduccion

Esta investigacion es sobre el número aureo o proporcion aurea

y la serie de Fibonacci, donde esplicaremos lo que es y su

relacion entre ellos. Ademas les daremos imágenes de este con relacion a la naturaleza y por

ultimo una actividad realizada a mano y escaneada sobre

rectangulo o triangulo y dentro de el la espiral aurea en geogebra.

El Numero Aureo o Proporcion Aurea

El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Propiedades algebraicas

es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:

Φ posee además las siguientes propiedades:

Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma , donde es cualquier número

real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es , y .

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

. Aquí , , , y .

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

En general:

.

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

El número áureo es la unidad fundamental «ε»

del cuerpo y la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:

Representación mediante ecuaciones algebraicas

El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientes ecuaciones:

Serie de Fibonacci

Serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos anteriores(0,1,1,2,3,5,8...)

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard

Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos

se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la

fracción. Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos

sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.6

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

Actividad

Bibliografia

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci

http://www.google.com.mx/search?num=10&hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=800&bih=358&q=nuemro+aureo+en+la+naturaleza&oq=nuemro+aureo+en+la+naturaleza&gs_l=img.3...5127.19718.0.20269.31.13.1.16.0.0.420.2943.0j3j5j3j1.12.0...0.0...1ac.1.kOdF328s0Qg

Conclucion

En esta investigacion habla más que nada del número infinito el número aureo y la seri de numeros infinitos conocida como la

serie de Fibonacci sema hace interezante la investigacion

sobre el tema aparte la elavoracion de espiral en un

triangulo en el programa geogebra