Numeros complejos
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Tema 12Corriente alterna
12.1 Producción de fem alternas sinusoidales
12.2 Valores medios y eficaces
12.3 Corriente alterna en elementos de circuito
12.4 Circuitos LCR. Impedancia
12.5 Notación fasorial
12.6 Potencia en corriente alterna
12.7 Resonancia. Factor de calidad
12.8 Transformadores
BIBLIOGRAFÍA - Alonso; Finn. "Física ". Cap. 27. Addison-Wesley Iberoamericana.
- Edminister. “Circuitos eléctricos”. Cap. 8, 9 y 30. McGraw-Hill
- Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. E.T.S.I.T. Madrid.
- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 31 McGraw-Hill.
- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 39. CECSA.
- Roller; Blum. "Física". Cap. 39. Reverté.
- Serway. "Física". Cap. 33. McGraw-Hill.
- Tipler. "Física". Cap. 30. Reverté
12.1 Producción de fem alternas sinusoidales
Se dice que una corriente es alterna si cambia de sentido periódicamente.
Generador de corriente alterna
Una espira que gira con velocidad angular constante en el seno de un campo magnético uniforme
θ=Φ cos S BB
Como ot θ+ω=θ
)t cos( S B oB θ+ω=Φ
Tomando θo=π/2, para una espira con N vueltas
t sen S B NB ω−=Φ
Aplicando la ley de Faraday t cos S B Ndt
d B ωω=Φ−=ε
t cos o ωε=ε Generador de corriente alterna Aut
ores
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Fís
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cnic
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uper
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lbac
ete
(UC
LM
)
Representación gráficaRepresentación gráfica
p 2 p 3 pTHsL
-4
-2
2
4
eHVLGenerador de corriente alterna
T
εo: Amplitud de la función Fuerza electromotriz máxima
T=2π/ω: Periodo de la fem Tiempo que tarda en recorrer un ciclo completo
f=1/T: Frecuencia Ciclos realizados por unidad de tiempo (Hz)
Aut
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)
12.2 Valores medios y eficaces
Caracterización de una corriente utilizando valores medios
∫=T
0
dt fT1
f ∫=T
0
dt VT1
V
∫=T
0
dt IT1
I
ωπ=ω= 2
Tcon tcosVV Si o
[ ]∫ =ωπ
=ωπ
ω= ωπT
0
/20oo 0tsenV
21
dtt cosV2
V
[ ]∫ =ωπ
=ωπ
ω= ωπT
0
/20oo 0tsenI
21
dtt cosI2
I
Los valores medios no dan información sobre las corrientes alternas.
Aut
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LM
)
Caracterización de las corrientes alternas utilizando valores eficaces
2ef ff =
2ef VV =
2ef II =
Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o la tensión.
∫ ∫ =ωπ
πω=+ω
πω=ω
πω=
ωπT
0
202
o
/2
0
2o
22o
2
2V2
21
V2
dt2
1t2cosV
2dtt cosV
2V 2
VV o
ef =
∫ ∫ =ωπ
πω=+ω
πω=ω
πω=
ωπT
0
202
o
/2
0
2o
22o
2
2I2
21
I2
dt2
1t2cosI
2dtt cosI
2I
2I
I oef =
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)
12.3 Corriente alterna en elementos de circuito
I.I. Corriente alterna en una resistenciaCorriente alterna en una resistencia
La tensión aplicada y la corriente están en fase
p 2 p 3 pwt
-10
-5
5
10V,I Circuito con R
I
V
tcosR
)t(I o ωε= tcosI)t(I o ω=
Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V
R I=ε R Itcoso =ωε
Aut
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)
II.II. Corriente alterna en un condensadorCorriente alterna en un condensador
Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V
Cq
Vc ==εCq
tcoso =ωε
tcosC)t(q o ωε=
Dondeω
=ΧC1
c Reactancia capacitiva o capacitancia
En este caso, corriente y voltaje están desfasados: la corriente está adelantada π/2 respecto del voltaje
p 2 p 3 pwt
-10
-5
5
10V,I Circuito con C
I
V
tsen Cdt
)t(dq)t(I o ωωε−==
π+ω=
π+ω
ωε=
2tosc I
2tosc
C/1)t(I o
o
Aut
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LM
)
III.III. Corriente alterna en una bobinaCorriente alterna en una bobina
Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V
0dtdI
L =−ε dtdI
Ltcoso =ωε
Donde ω=Χ LL Reactancia inductiva o inductancia
En este caso, corriente y voltaje están desfasados: la corriente está atrasada π/2 respecto del voltaje
p 2 p 3 pwt
-10
-5
5
10V,I Circuito con L
I
V
dt tcosL
dI o ωε=
π−ω=
π−ω
ωε=
2tosc I
2tosc
L)t(I o
o
Aut
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LM
)
Circuito LCR en serieCircuito LCR en serie
12.4 Circuitos LCR: Impedancia
dtdI
LR ICq
tcoso ++=ωε
Derivando con respecto al tiempo
2
2
odt
IdL
dtdI
R CI
tens ++=ωωε−
Ángulo de faseR
tg CL Χ−Χ=δ
Corriente máxima( ) ZR
I o2
CL2
oo
ε=Χ−Χ+
ε=
CL Χ−Χ Reactancia total
( ) 2CL
2RZ Χ−Χ+= Impedancia
Esta ecuación es una ecuación diferencial, con dos constantes de integración, cuya solución se puede escribir de la forma
)tcos(II o δ−ω= constantes :,Io δ
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)
12.5 Notación fasorial
La relación entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.
Podemos representar la caída de potencial en una resistencia como un vector de módulo IoR, que forma un ángulo θ con el eje X
El valor instantáneo de la caída de tensión es la componente x del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad ω.
A cos(ωt-δ1) Fasor A ( )A
B cos(ωt-δ2) Fasor B ( )B BAC
+=
Uso de los fasoresCualquier función A cos(ωt-δ), será la componente x de un fasor que forma un ángulo (ωt-δ) con el eje x
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(UC
LM
)
Esta representación fasorial, la podemos llevar a cabo en el plano complejo
θ
r
a
b
Re
Im
Coordenadas cartesianas jbaz +=
Coordenadas polares θ= rz
Cambio de coordenadas
Cartesianas a polares
ab
tg arc
bar 22
=θ
+=
Polares a cartesianas θ=θ=
sen rb
cosra
Fórmula de Euler θ±θ=θ± sen jrcosrre j
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(UC
LM
)
Circuito: ε, R, L, C. tt ωεε cos)(max
=
ε
ω
RMK
FasorNúmero complejo
Ecuación Diferencial de 2º orden:
dt
dI
Cdt
dIR
dt
IdL
ε=++ 12
2
Solución con dos parámetros
Solución 1 Solución 2
)cos()(max
φω −= tItI C, impedancia
Ζφ
φZZ =
CA=CC+C
NO SI
Fasor
Ley de Ohm
Valores eficaces
Número complejo
φ: Defasaje ZI maxmax
ε=
ZI
ε=
Ohm
Enrique ArribasConsuelo Gallardo
Representación compleja de elementos de corriente alternaRepresentación compleja de elementos de corriente alterna
Vamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna utilizando el formalismo de los números complejos. Representaremos por ε e i las tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de interés físico serán Re(ε) y Re(i). Así, los circuitos de corriente alterna se pueden resolver considerando la ley de Ohm con el formalismo de los números complejos.
Fuente de tensión δε=ε o )tcos()Re( o δ+ωε=ε)t(joe δ+ωε=ε
Resistencia RZR = Corriente y tensión están en fase.
Condensador ω−=
C
jZC
Corriente adelantada π/2 respecto de la tensión.
Inducción ω= jLZL Corriente atrasada π/2 respecto de la tensión.
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lbac
ete
(UC
LM
)
I.I. Corriente alterna compleja en una resistenciaCorriente alterna compleja en una resistencia
RZ
e
R
tjo
=ε=ε ω
Aplicando la ley de Ohm
tjo
Re
RZi ωε=ε= tcos
R)iRe(I o ωε==
II.II. Corriente alterna compleja en un condensadorCorriente alterna compleja en un condensador
ω−=
ε=ε ω
C
jZ
e
C
tjo
Aplicando la ley de Ohm
)/t(jotjo
Ce
C/e
C/jZi 2
1π+ωω
ωε=
ω−ε=ε= )/tcos(
C/)iRe(I o 2
1π+ω
ωε==
Aut
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LM
)
III.III. Corriente alterna compleja en una bobinaCorriente alterna compleja en una bobina
ω=ε=ε ω
jLZ
e
L
tjo Aplicando la ley de Ohm
)/t(jotjo
Le
Le
jLZi 2π−ωω
ωε=
ωε=ε= )/tcos(
L)iRe(I o 2π−ω
ωε==
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LM
)
Circuito LCR en serieCircuito LCR en serie
)XX(jR)C
L(jRZ
e
CLT
tjo
−+=ω
−ω+=
ε=ε ω
1
tj
CL
o
Te
)XX(jRZi ω
−+ε=ε=
R
XXtan CL −=δ
22 )XX(RI
CL
oo
−+
ε=
)tcos(I)iRe(I o δ−ω==
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado, se obtiene
)t(j
CL
o
Te
)XX(RZi δ−ω
−+
ε=ε=22
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LM
)
Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RCL en serie, tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial, magnitudes del tipo
δ
ω
=
=j
tjo
eZZ
eVv
Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que, operando con fasores podemos escribir
)t(jo eZ
V
Z
vi δ−ω==
)tcos(Z
V)iRe(I o δ−ω==Con lo cual
)ZRe(
)ZIm(tan =δ
Z
VI oo =
Aut
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12.6 Potencia en corriente alterna
Potencia en una resistencia
Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=
Como la resistencia no introduce diferencia de fase entre corriente y voltaje, podemos escribir
tcosR
tcostcosI)t(P ooo ωε=ωωε= 2
2
Potencia media212
22
Rtcos
R)t(PP oo ε=ωε==
La resistencia disipa energía en forma de calor por efecto Joule.
Con valores eficaces I RR
P efef 22
=ε=
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LM
)
Potencia en un condensador
En un instante dado, la energía puede estar entrando o saliendo del condensador, dependiendo si en ese momento se carga o se descarga. Como la corriente oscila sinusoidalmente, la energía promedio disipada en el condensador es cero.
Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=
tsen tcosX
)/tcos(tcosI)t(PC
ooo ωωε−=π+ωωε=
22
Potencia media 02
=ωωε−== tsen tcosX
)t(PPC
o
Potencia en una bobina: Ocurre lo mismo que con el condensador, luego
Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=
tsen tcosX
)/tcos(tcosI)t(PL
ooo ωωε=π−ωωε=
22
Potencia media 02
=ωωε== tsen tcosX
)t(PPL
o
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Caso generalCaso general
Supongamos un circuito caracterizado por)tcos(II
tcosVV
o
o
δ−ω=ω=
siendoZ
VI oo =
)ZRe(
)ZIm(tan =δ
Potencia instantánea )t(I)t(V)t(P =
)tos(c tcosIV)t(P oo δ−ωω=
Potencia media
δωω+δω=δωω== sent sen tcosIVcostcosIV)-tcos( tcosIV)t(PP oooooo2
0δ== cosIV
)t(PP oo2
Con valores eficaces δ= cosIVP efef
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LM
)
Potencia complejaPotencia complejaδ
δ−ω
ω
=
=
=
j
)t(jo
tjo
eZZ
eIi
eVv
)sen j(cosIVeIV21
i v21
S efefj
oo δ+δ=== δ∗
Cada uno de los términos de esta potencia compleja tiene un significado
Potencia activa (se mide en Watios, W) δ== cosIV)SRe(P efef
Potencia reactiva (se mide en Voltio·Amperio reactivo, VAR)
δ== sen IV)SIm(Q efef
Potencia aparente (se mide en Voltio·Amperio, VA) efef IVSS ==
Factor de potencia
S
Pcos =δ
Con estos tres términos se define el triángulo de potencias, de forma que
jQPS +=δ
SQ
P
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12.7 Resonancia. Factor de calidad
En un circuito RCL en serie, tanto la corriente máxima como la diferencia de fase dependen de la frecuencia angular ω.
Respuesta máxima del circuito
Frecuencia natural de oscilaciónLa frecuencia de la fuerza impulsora (fem alterna) coincide con esta frecuencia natural
R
XXtan CL −=δ
22
oo
C1
LR
I
ω−ω+
ε=
En este caso la impedancia alcanza su valor mínimo y la corriente su valor más alto
Circuito en resonancia
δ vale cero y el factor de potencia vale 1
Io será máxima cuando CL XX =Frecuencia de resonancia
oLC1 ω==ω
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Curvas de resonancia Representan la potencia media suministrada por el generador al circuito en función de la frecuencia del generador.
La potencia media es máxima cuando ω = ωo. Cuando R es pequeña, la anchura de la curva también lo es, mientras que se ensancha a medida que R aumenta.
Anchura de resonancia
∆ω = Diferencia entre los dos puntos de la curva en que la potencia es la mitad de su valor máximo
Factor de calidad
RL
Q oω= Q alto implica curva de resonancia estrecha ω∆
ω= oQ
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12.8 Transformadores
Un transformador es un dispositivo utilizado para aumentar o disminuir el voltaje en un circuito sin pérdida apreciable de potencia. Consta de dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.
Primario Secundario
dtd
NV 11φ=
El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo, luego la tensión que aparece en el secundario es
dtd
NV 22φ=
Comparando las dos ecuaciones 1
1
22 V
NN
V =
Transformador Reductor
1212 VV NN <⇒<
Transformador Elevador
1212 VV NN >⇒>
Aut
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Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicional proporcional a N2 I2
Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1en el primario de forma que
2211 ININ −=
Si no existen pérdidas, se debe cumplir que 2ef2ef1ef IVI =ε
Uso de los transformadores
Transporte de energía eléctrica con pérdidas mínimas de energía por efecto Joule utilizando alto voltaje y baja corriente.
Aut
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Ejemplo:En Albacete, con una población de 100.000 habitantes, si suponemos que cada uno consume una potencia media de 1.5 kW, se necesita para cada persona una corriente
A 7220
1500I ==I VP =
La corriente total necesaria para Albacete sería de 700.000 A, para lo cual se necesitarían gruesos cilindros de cobre con grandes pérdidas.
Si se utilizan transformadores de alta (elevadores) para transportar la potencia, la corriente necesaria se reduce a
2ef2ef1ef IVI =ε A 250000.700000.600
220I ef2 ==
Dentro de la ciudad se sitúan transformadores que reducen el valor del voltaje hasta 10.000 V, por ejemplo. Cerca de las casa se sitúan nuevos transformadores que reducen el voltaje de nuevo hasta 220 V. Debido a esta facilidad para aumentar o reducir el voltaje de la corriente alterna, se utiliza este tipo de corriente y no la corriente continua.
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