Numeros complejos
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1 Santa Ana de Coro Marzo 2012
UNEFM
NUMEROS COMPLEJOS
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE POSTGRADOESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
MENCIÓN EDUCACIÓN BÁSICA
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NÚMEROS COMPLEJOS
Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
Matemáticas Básicas
Definición de un Número Complejo
Es un par ordenado de números reales.
Representación Gráfica de un Número Complejo
Para graficar un complejo en el plano real se debe tener en cuenta que el eje
de las abscisas es el Eje Real (Re) y el eje de las ordenadas Eje Imaginario (Im)
Dado el Complejo
es el Vector Posición
El punto de coordenadas es el Afijo
Ejemplo: Graficar el complejo
Ing. Adrián G. Aldama G. (Esp.) © Departamento Física y Matemática UNEFM Marzo 2012
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Matemáticas Básicas
Parte Real e Imaginaria de un Complejos
Dado un complejo el primer componente se denomina parte real
(Re(z)) y la segunda componente parte imaginaria (Im(z))
Los complejos de la forma complejos reales puros
Los complejos de la forma complejos imaginarios puros
Ejemplo: Graficar los complejos
Opuesto y Conjugada de un Complejos
Dado un complejo
Su opuesto es
Su conjugado es
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NÚMEROS COMPLEJOS
Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Ejemplo: Dado el complejo , graficarlo, hallar su opuesto y su conjugado
Complejo Nulo
es el complejo nulo si y solo si ,
Igualdad de Complejos
Dados los complejos y , , si y solo si
Ejemplo: ¿Para que valores reales de y , la ecuación siguiente será un
postulado verdadero?
Operaciones con Números Complejos
Adición
Dados los complejos y
+=
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o DefiniciónOperaciones
o Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
La sustracción se obtiene usando el opuesto del segundo:
+=
Propiedades:
Ley de composición interna:
Conmutatividad:
Existencia del elemento neutro:
Existencia del elemento opuesto:
Asociatividad:
Ejemplo: Dados los complejos encuentre:
, ,
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NÚMEROS COMPLEJOS
o DefiniciónOperaciones
o Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Producto por un escalar
Dado el complejo y ,
Propiedades:
Ley de composición externa:
Distributividad con respecto a la adición de complejos:
Distributividad con respecto a la adición de escalares:
Asociatividad mixta:
Existencia del elemento neutro:
Ejemplo: Dados el complejo encuentre
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NÚMEROS COMPLEJOS
o DefiniciónOperaciones
o Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Multiplicación de Complejos
Dados los complejos y
.=
Propiedades:
Ley de composición interna:
Conmutatividad:
Existencia del elemento neutro:
Existencia del elemento inverso:
Asociatividad:
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NÚMEROS COMPLEJOS
o DefiniciónOperaciones
o Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Ejemplo: Dados los complejos encuentre:
,
Ejemplo: Demuestre que el inverso multiplicativo de es
Ejemplo: Calcular
Potenciación
La potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve
como una multiplicación reiterada.
n veces
Ejemplo: Calcular
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o DefiniciónOperaciones
o Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Isomorfismo entre el conjunto de los números complejos reales puros y los
números reales
Existe una función biyectiva denominada isomorfismo entre el conjunto de
los números reales puros y el conjunto de los números reales de manera que
Producto de un número complejo por su conjugado
El producto entre un complejo y su conjugado es igual a la suma de los
cuadrados de sus respectivas partes reales y partes imaginarias.
Ejemplo: Calcular el producto entre un número complejo cualquiera y su
conjugado.
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o Definicióno Operaciones
Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Unidad Imaginaria
La unidad imaginaria es el complejo imaginario puro y se representa con la
letra i o j.
Potencia sucesivas de la unidad imaginaria
Se calculan algunas potencias de la unidad imaginaria i.
Ejemplo: Demuestre que ,
Ejemplo: Simplifique ,
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.
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o Definicióno Operacioneso Isomorfismo
Unidad Imaginaria
o Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Forma Binómica de los Números Complejos
Dado un complejo cualquiera se le puede escribir:
Operaciones en forma Binómica
Sean los complejos y
Adición:
Producto por un escalar:
Multiplicación:
División: si
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ImaginariaForma Binómica
o Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Ejemplo: Dado el complejo expréselo en forma binómica, hallar su parte real,
su parte imaginaria y su conjugado
Ejemplo: Dado los complejos y demuestre que
Ejemplo: Dado , y , calcular
Ejemplo: Dado y calcular
Ejemplo: Calcular
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ImaginariaForma Binómica
o Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Propiedades de los Conjugados de los Números Complejos
Dado los complejos y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
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o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
ImaginariaForma Binómica
o Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Modulo de un Complejo
El modulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de la parte real y la parte imaginaria.
Dado el complejo
Propiedades del Modulo de un Complejo
Dado los complejos y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejemplo: Calcular el modulo de y
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o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómica
Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Argumento de un Complejo
Es el ángulo determinado entre el semieje positivo de abscisas y el vector
Argumento principal (
Cuando el argumento está comprendido dentro del primer giro
Conocido el argumento principal existen infinitos ángulos congruentes con él.
Si los ángulos equivalentes en los restantes cuadrantes
Ejemplo: Hallar los argumentos de los siguientes compleos, , , , , ,
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o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Modulo
Argumentoo Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Forma Polar de un Complejo
Dado el complejo
Ejemplo: Hallar la expresión polar de , ,
Ejemplo: Hallar la expresión binómica de
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NÚMEROS COMPLEJOS
o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumento
Forma Polaro Forma
Exponencial
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Matemáticas Básicas
Forma Exponencial de un Complejo
Se define la forma exponencial compleja de la siguiente manera:
Formula de Euler
Así:
Ejemplo: Dado , ,
escribirlo en forma exponencial, luego encuentre y
Ejemplo: Dado y escribirlo en forma polar y binómica
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o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad
Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polar
Forma Exponencial