NÚMEROS COMPLEJOS Y ÁLGEBRA LINEAL - Sistema de … · trabajo con ejercicios de práctica para...
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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA NÚMEROS COMPLEJOS Y ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES Material de Apoyo para el Curso de Matemáticas IV M. en C. Antonio Silva Martínez 2007
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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEJOS
Y
ÁLGEBRA LINEAL
CON APLICACIONES
Material de Apoyo para el Curso de
Matemáticas IV
M. en C. Antonio Silva Martínez
2007
2
INTRODUCCIÓN
Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas IV, del plan de estudios DGEST2004 de la carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Números Complejos yÁlgebra Lineal, resultado del compromiso profesional hacia la institución para una sólidaformación académica de los estudiantes en Ingeniería Electrónica.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería engeneral, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detalladopara la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparadoeste nuevo trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hastasu solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de IngenieríaElectrónica sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica:ejemplos y ejercicios prácticos de circuitos eléctricos estables. Complementándose estetrabajo con ejercicios de práctica para el estudiante y sus respuestas a los impares.
Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, alcontrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, seespera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, lamayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las basescognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenoselectrónicos mediante esta importante herramienta.
Para la compilación de este trabajo se ha contado con la valiosa ayuda de LobsangJavier Mendoza Licea y César Martín García Prado, egresados de la carrera deIngeniería Electrónica, quienes se han dado la tarea de revisar minuciosamente losejemplos y ejercicios propuestos en este problemario, para una mejor calidad yaprovechamiento del mismo por parte de los alumnos.
Finalmente, este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y laAcademia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática delTESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por partede los profesores y estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZDOCENTE DE LA DIVISIÓN
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
3
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICEPágina
1. Números Complejos1.1 Origen de los números complejos.1.2. Los números complejos y su Algebra.1.2.1 Operaciones elementales con números complejos.1.2.2 Conversión de forma rectangular a forma polar de un numerocomplejo1.2 Ejemplos1.2 Ejercicios1.3 Potencia real de un número complejo.1.3 Ejemplos.1.3 Ejercicios.1.4 Raíces de un número complejo.1.4 Ejemplos.1.4 Ejercicios.1.5 Logaritmo complejo.1.5 Ejemplos.1.6 Exponencial compleja.1.6 Ejemplos.1.6 Ejercicios.
5677
8131415192021242527303134
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales2.1 Introducción a los sistemas de Ecuaciones Lineales.2.2 Interpretación geométrica de las soluciones de los sistemas deecuaciones lineales.2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales en 2R2.2.2 Sistemas de ecuaciones lineales en 3R2.3 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales “Eliminación deGauss”.2.3 Ejemplos.2.3 Ejercicios.2.4 Eliminación por “Gauss-Jordán”.2.4 Ejemplos.2.4 Ejercicios.2.5 Aplicaciones. Circuitos Eléctricos (redes)2.5 Ejemplos.2.5 Ejercicios.
3536
363840
4045464749515258
4
3. Matrices y Determinantes.3.1 Introducción.3.2 Operaciones con matrices.3.2.2 Multiplicación de matrices.3.2 Ejemplos.3.2 Ejercicios.3.3 Clasificación de Matrices.3.4 Matriz inversa.3.4 Ejemplos.3.4 Ejercicios.3.5 Determinante de una matriz.3.6 Propiedades de los determinantes.3.6 Ejemplos.3.6 Ejercicios.3.7 Adjunta de una matriz.3.7 Ejemplos.3.7 Ejercicios.3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa.3.8 Ejemplos.3.8 Ejercicios.3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer.3.9 Ejemplos.3.9 Ejercicios.
595960626566707377788082858688939495
100101102106
4. Espacios Vectoriales4.1 Definición4.1 Ejemplos4.1 Ejercicios4.2 Subespacios Vectoriales4.2 Ejemplos4.2 Ejercicios4.3 Independencia lineal4.3 Ejemplos4.3 Ejercicios4.4 Bases vectoriales4.4 Ejemplos4.4 Ejercicios4.1.1 Cambio de Base4.1.1 Ejemplos4.1.1 Ejercicios
107108113115115123124124126127127130131134143
5. Transformaciones5.1 Transformaciones Lineales5.1 Ejemplos5.1 Ejercicios
6. Apéndice. Algebra Lineal con Scientific Word Place (Versión 5.0)
145147154
156
7. Bibliografía Consultada 167
5
1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el
matemático italiano Girolamo Cardaco, en un tratado monumental acerca de la
solución de la ecuación cúbica y cuártica titulado Ars Magna. Para apreciar la
dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de
números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia
en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron
ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl
Friedich Gauss les dio el nombre actual y las utilizó para demostrar el Teorema
Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea
constante tiene al menos un cero. En esta sección se explorarán las propiedades
de los números complejos y sus operaciones elementales, Además de algunas
funciones con valores complejos, que en la teoría de funciones de una variable
compleja extiende los conceptos del cálculo al plano complejo y por consiguiente
la derivación y la integración complejas adquieren una nueva profundidad y
elegancia, y por lo tanto la naturaleza bidimensional del plano complejo produce
muchos resultados útiles en Matemáticas Aplicadas en la Ingeniería. En particular
a la Ingeniería de Circuitos Eléctricos Transitorios y Análisis de Señales,
simplificando notoriamente los cálculos que llevan a la interpretación de su
comportamiento.
6
1.2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA
Un número complejo es un número de la forma bia + donde a y b son números
reales e i es un símbolo con la propiedad de que 12 −=i . El número real a se
considera como un tipo especial de número complejo, de razón de que .0iaa +=
Si biaZ += es un número complejo, entonces la parte real de Z denotada por Re
Z es a y la imaginaria de Z denotada por Im z es b. Dos números complejos bia +
y dic + son iguales si sus partes reales e imaginaria son iguales, es decir si,
ca = y db = . Un número complejo bia + puede identificarse con el punto ( )ba,
graficado en un plano, denominado plano complejo o plano de Argand., como se
muestra en la siguiente figura. En el plano complejo, el eje horizontal se le conoce
como el eje real, mientras que el eje vertical se conoce como eje imaginario.
Figura 1.2 Representación de un número complejo z en el plano complejo
Re
z = a + i b
a
b
Im
7
1.2.1 OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números complejos
ibaZ 111 += y ibaZ 222 += dan como resultado un número complejo y se definen
de la siguiente manera:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) iaa
babaaa
bbaaibaibaibaiba
ZZiv
iabbabbaaZZiii
ibbaaZZii
ibbaaZZi
22
21
211222
21
2121
2222
2211
2
1
2121212121
212121
212121
++
+++
=−+−+
=
++−=
−+−=−
+++=+
En otras palabras, al sumar o restar dos números complejos simplemente se
suman o se restan las partes reales y las imaginarias correspondientes. Para
multiplicar dos números complejos aplicamos la ley distributiva y el hecho de que
12 −=i . Finalmente, para el cociente de dos complejos se aplica la regla del
binomio conjugado.
1.2.2 CONVERSION DE FORMA RECTANGULAR A FORMA POLAR DE UNNÚMERO COMPLEJO
Sea:ibaZ 111 +=
De donde:
=Θ
+=
−
1
11
21
211
abtg
baZ
Entonces:
Forma Polar de un Número Complejo:
11 ZZ = Θ
8
[ ]Θ+Θ= iSenCosZZ
1.2 EJEMPLOS. Realizar las siguientes operaciones con los números complejos
que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
Donde:
42
31
34
21
3ZZ)d
ZZ)cZZ)bZZ)a
−−+
231
14
3
3
1
))(
)
)
ZZZg
ZZZ
f
ZZe
−
+
iZ
iZiZiZ
74
31
723423
4
3
2
1
+=
−−=−=+=
Forma rectangular:
i
i
i
iii
iiZZd
iiii
iiZZc
i
i
iiZZb
iiiiZZa
−=
−=
−+−=
−+−=
+−=
+=+++=+++=
−−−+=−
+=
+++=
−−−+=−
−=−++=
−++=+
316
719
2176
712
716
34
)74(*)34()
31(*)34(
)74
31(*)34()
1311)76()29(
)72()69()72()23(33)
753
37
)774()2
31(
)72()74
31()
7)32()43(
)34()23()
42
31
34
21
9
ii
iiZZZii
iiiiiiiZZZg
i
i
iiZZZ
ii
iii
ii
iiii
iiii
iiiZ
ZZ
f
i
iiiiii
iiii
ii
ZZe
224)325()48(
34258)(258)214()146(
142146)72(*)23()34()72(*)23()()
)2()3(
)23()(
0)()()()4(
4)(*)()(*)72(
)23(72)
5317
5320
494214146
4914144142146
)72(*)72()72(*)23(
7223)
231
231
193139
1931479
193525
1932058
193525
1932058
14
3
193525
1932058
4411932125
441193314
441193
2125
314
441193
2125
314
214
214
4916
91
78
37
32
4916
214
214
91
78
37
32
74
31
74
31
74
31
74
311
3
3
1
−=+−+−=
+−−=−−=−−++−=
+−−−=−−+=−−−−+=−
−−=
+−++=
++−=+
−−=−=
−=
+
−=
−++
++−=
+−+
−+−=
−+
−−−=
+++−−
=+
+−
=
++−−−
=
+−+−+−−
=+−−−+−+
=
−−+
=
−
−
−
−−−−
−
10
Forma polar:
( ) 0711
2221
21
21
07.8.1418.0
50149)1()7(
7)34()23()
−=−=−=Θ
=+=−+=+=
−=+−++=+
− radstg
ZZZ
iZZiiZZa
3.1416 rads 0180 -0.1418 rads Θ 007.8−=
Θ
50=Z rads1418.0− .
0
37753
1
22
34
87.72.2718.1
92.7753
37
753
37)72()
74
31()
==
=Θ
=
+
=
+=−−−+=−=
− radstg
Z
iiiZZZb
ΘForma polar:
92.7=Z 1.2718 rads
( ) ( )01
22
31
76.498685.01113
02.171311
13113)
==
=Θ
=+=
+=−=
− rdstg
Z
iZZZc
11
ΘForma polar:
02.17=Z rads8685.0
( ) ( )0
216479
1
792
2164
42
76.213992.0
30.3
79
2164)
2
==
=Θ
=+=
+==
− radstg
Z
iZZZd
Θ
Forma polar:
3077.3=Z rads3992.0
rads
radstg
Z
iZZZe
42.21.13990.40180
8663.090.40
4952.05317
5320
5317
5320)
0
0
53205317
1
22
3
1
==−=Θ
−=−=
−=
=
+
−=
+−==
−β
β ΘForma polar:
4952.0=Z rads42.2
12
rads
radstg
Z
iZZZZf
23.336.18536.5180
36.5093.0
696.7193139
1931479
193139
1931479)
0
0
1931479193139
1
22
14
3
==+=Θ
==
=
=
−+
−=
−−=+=
−β
Θ
βForma polar:
69.7=Z rads23.3
( )( ) ( )
01
22
231
69.79390.14
22
360.22224
224*)
−=−=
−=Θ
=+=
−=−=
− radstg
Z
iZZZZg
Forma polar: Θ
36.22=Z rads390.1−
13
1.2 EJERCICIOS. Realice las siguientes operaciones con los números complejos
que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
4
6
51
64
32
26
42
3
1
Z
Z)g
ZZ)f
ZZ)e
ZZ)d
ZZ)c
ZZ)b
Z
Z)a
+
−−
+
iZiZ
iZiZiZiZ
Donde
32
51265423
:
81
6
5
4
3
2
1
+−=
−−=−=+=+=
−=
RESPUESTAS:
Forma rectangular:
ig
ie
iZc
iZa
20819
208121)
829
8119)
8831)
209
207)
+−=
+=
−−=
−=
Forma Polar
a) Z= 0.57 -0.909 rads
c) Z= 8.88 4.2613 rads.
e) Z=15.31 0.2390 rads.
g) Z=0.58 2.9858 rads.
14
1.3 POTENCIA REAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
TEOREMA DE DE´ MOIVRE
La potencia enésima de ( )[ ]Θ+Θ= iSenCosww , está dada por:
( )[ ]nn iSenCoswwZ Θ+Θ== = ( )Θ+Θ niSennCosw n .
Y se verifica para todo valor real de la Exponente n
En el caso de un exponente racional de la forma 1/n, se tiene:
( ) ( ) ( )nn SeniCoswSeniCoswibaw nn
nnn ΘΘ +=
Θ+Θ=+=
11
111
Donde:
=Θ
+=
−
1
11
2211
abtg
y
baw
15
1.3 EJEMPLOS. Calcule las potencias que se indican con los números
complejos que se dan a continuación.
( )( ) ( )
radsw
tg
Z
iZa
7853.0;2
457853.011
211
1)
01
22
29
=
==
=Θ
=+=
+=
−Θ
( ) ( )[ ][ ]( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( ) ( )
00
01
22
36
229
229
229
29
22592.345180
457853.011
211
1)
176.164417096.07096.02
773.22773.222
297853.0297853.02
7853.07853.02
==+=Θ
==
−−
=
=−+−=
−−=
+−=−−=
+=
+=
+=
−
rads
radstg
w
iZb
iZiZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
β
( ) ( )[ ][ ]( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )iZ
xiZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
73.1483856.261881066.5999.02
28.28281.282
367853.0367853.02
7853.07853.02
3236
236
236
36
−−=−−=
+=
+=
+=
−
Θ
16
( )( ) ( )
.63.149.9351.86180
51.8651.11
17
290171
171)
0
01
22
17
rads
radstg
Z
iZc
==−=Θ
−=−=
−=
=+−=
+−=
−β β Θ
( ) ( )( )[ ][ ]( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( )
ixxZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
2020
217
217
217
17
10555.410193.7
5348.08444.0290
71.2771.27290
1763.11763.1290
63.163.1290
+−=
+−=
+=
+=
+=
( )( ) ( )
01
22
15
305235.03
1
241313
3)
==
=Θ
==+=+=
+=
− radstg
Z
iZd
Θ
( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )( )[ ]
( ) ( )( )
( )
iZ
ixZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
232.32735529.48
999.010481.12
8525.78525.72
155235.0155235.02
5235.05235.02
315
15
15
15
+=
+=
+=
+=
+=
−
17
( )( ) ( )
01
22
12
457853.022
84422
22)
==
=Θ
=+=+=
+=
− radstg
Z
iZe
Θ
( ) ( )( )[ ][ ]
( )( ) ( )( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )
iZ
xiZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
99.4638.261881
1077.1999.08
423.9423.98
127853.0127853.08
7853.07853.08
36
6
6
12
+−=
+−=
+=
+=
+=
−
( )( ) ( )
rads
radstg
Z
iZf
447.22.14080.39180
80.396947.065
61253656
56)
0
01
22
9
==−=Θ
−=−=
−=
=+=+−=
+−=
−β
β Θ
[ ] ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
iZ
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
8.10635517332.19508361
9835.01804.061
40318..0999.061
9447.29447.261
6947.06947.061
29
29
29
9
−−=
−−=
−−=
+=
+−=
18
( )( ) ( )
rads
radstg
w
iZg
01139.21302.114159.3
76.641302.17
3
169737
37)
01
22
18
=−=Θ
−=−=
−=
=+=+−=
+−=
−β
( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( )
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
633.323132.413
63209.08069.02
205.36205.362
181139.2181139.22
01139.201139.22
9
9
9
18
+=
+=
+=
+=
+=
0
7494
1
22
6
46.336610.0
723.094
74
94
74)
==
=Θ
=
+
=
+=
− radstg
Z
Zh
Θ
( )( ) ( )[ ][ ]
( )( ) ( )( )( )[ ]
( ) ( )( )
( )
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
5260.06756.0
683.373.4605.1
966.3966.3605.1
66610.066610.0723.0
6610.06610.0723.0
6
6
6
6
+=
+=
+=
+=
+=
Θ
19
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 32
75
28)10
6)9
4)8
36)7
2)6
10)5
)4
3)3
)2
8)1
474
21
3
8
210
2241
157
1
10
21
1883
51
2523
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
+=
−=
+=
+=
−=
+=
−=
+=
+=
−=
1.3 EJERCICIOS. Calcule las potencias que se indican con los números
complejos que se dan a continuación.
RESPUESTAS
iZ
iZ
ixxZ
iZ
ixxZ
454.489488.1225)9
97.29603.54)7
10244.51059556.8)5
02.11882.342)3
108.5106435.4)1
2121
2221
+=
+=
+=
+−=
+−=
20
1.4 RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO
El teorema de De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de
un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w, a partir
de:
wZ n = .Para encontrar z, se tiene:
( )Θ+Θ= SeniCosZZ y ( )Φ+Φ= SeniCosww
Donde wyZ argarg =Φ=Θ . De tal forma que con el teorema De Moivre se
tiene:
( ) ( )Φ+Φ=Θ+Θ= SeniCoswnSeninCosZ n .
Así, se puede tomar:
nwZ1
=
y
( ) Κ2,1,0,21arg1±±=+==Θ kkwArg
nw
nπ
Aunque la ecuación proporciona un número infinito de valores para Θ , sólo se
obtienen n ángulos polares diferentes, ya que:
( ) ,222π
ππ+=
+n
kn
nk
Ya que los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, se limitará
la atención en los ángulos n-polares
( ) 12,1,0,21−=+=Θ nkkwArg
nΚπ
21
1.4 EJEMPLOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por
medio del teorema de De´ MOIVRE.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
7860.02719.15256.08506.05
2107.12107.15
:1
7860.02720.1107.1107.15
:0
2107.12107.15
42.63.107.112
521
21)
1
2/11
21
212/1
1
0
21
212/1
0
21
212/1
01
22
2/1
iZiZ
isenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZa
−−=−−=
+++=
=
+=
+=
=
+++=
==
=Θ
=+=
+=
−
ππ
ππ
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]144.2366.0
4063.14063.1106
:2
3895.16738.12063.12063.1106
:1
7548.00403.2063.1063.1106
:0
2063.12063.1106
90.60.063.159
10695
95)
2
31
313/1
2
1
31
313/1
1
0
31
313/1
0
31
313/1
01
22
31
iZisenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZb
−−=
+++=
=
+−=
+++=
=
+=
+=
=
+++=
==
=Θ
=+=
+=
−
ππ
ππ
ππ
22
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
4572.15731.09305.03660.018.36
6499.16499.118.36
:3
5731.04572.13660.09305.018.36
4499.14499.118.36
:2
00227.056057.100145.09965.018.36
2499.12499.118.36
:1
5731.04572.1366.09305.018.36
499.1499.118.36
:0
2499.12499.118.36
91.85.499.16
18.366
6)
3
4/13
41
414/1
3
2
3/12
41
414/1
2
1
4/11
41
414/1
1
0
4/10
41
414/1
0
41
414/1
0
73
1
2273
4/173
iZiZ
isenCosZ
kpara
iZiZ
isenCosZ
kpara
iZiZ
isenCosZ
kpara
iZiZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZc
+−=−−=
+−++−=
=
+−=+−=
+−++−=
=
−=−=
+−++−=
=
−=−=
−+−=
=
+−++−=
−=−=
−=Θ
=+=
−=
−
ππ
ππ
ππ
ππ
23
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]2534.15695.0
42914.042914.081.6
:2
119.1800.022914.022914.081.6
:1
1335.03702.181.6
2914.02914.081.6
:0
22914.022914.081.6
69.16.2914.0
81.6
)
2
31
313/1
2
1
31
313/1
1
3/10
31
313/1
0
31
313/1
0
2543
1
2
432
25
3/1
43
25
iZisenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZd
−−=
+++=
=
+−=
+++=
=
+=
+=
=
+++=
==
=Θ
=+=
+=
−
ππ
ππ
ππ
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]776.13227.0
27188.027188.0113
:1
227.3776.17188.07188.0113
:0
27188.027188.0113
185.41.7188.087
11378
78)
1
41
414/1
1
0
41
414/1
0
41
414/1
01
22
4/1
iZisenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZe
+−=
+++=
=
+=
+=
=
+++=
==
=Θ
=+=
+=
−
ππ
ππ
24
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]7765.13227.0
67188.067188.0113
:3
3227.0776.147188.047188.0113
:2
3
41
414/1
3
2
41
414/1
2
iZisenCosZ
kpara
iZisenCosZ
kpara
−=
+++=
=
−−=
+++=
=
ππ
ππ
1.4 EJERCICIOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por
medio del teorema de De´ MOIVRE.
RESPUESTAS
1) ( ) 2/11 iZ +=4549.00985.1
4549.00985.1)1
1
0
iZiZ−−=
+=
2) ( ) 3/125 iZ −−=
3) ( ) 3/132 iZ −=0115.11521.1
5036.1241.04919.04521.1
)3
2
1
0
iZiZiZ
−−=+−=+=
4) ( ) 3/125
47 iZ −=
5) ( ) 4/154 3iZ +=
2568.14270.04270.02568.12568.14270.0
4270.02568.1
)5
3
2
1
0
iZiZiZ
iZ
−=−−=+−=
+=
6) ( ) 4/1237 iZ +=
25
1.5 LOGARITMO COMPLEJO
La exponencial compleja esta definida por:
( )ySeniyCoseeeee
x
iyxiyxz
+=
== +
Es una función entera con valor diferente de cero que satisface a la ecuación
diferencial.
( ) ( ) ( ) 10,´ == fzfzf
De donde 0≠ze se sigue de que ni xe ni ySeniyCos + se anulan. Además
observe que como iyxz += , la notación conduce a:
1=+= iyiy eySeniyCose
222111 iyxzyiyxzSi +=+= Entonces las fórmulas trigonométricas para las
sumas implican que:
( )( )( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) 212121
21
21
2121
2121
21212121
2211
zzyyixx
xx
xx
xxzz
eeeyySeniyyCose
ySenyCosyCosySeniySenySenyCosyCose
ySeniyCosySeniyCoseeee
+++
+
+
==
+++=
++−=
++=
Como ℜ→λ:ze es uno a uno como la superficie de Reimann, se puede definir
su función inversa que mapea ℜ en λ. Limitando el caso real, se llama a este
mapeo inverso logaritmo y se denota por
λ→ℜ:log z
Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene
que:
ℜ=
=
enztodoparazey
enztodoparaze
z
z
,
,log
log
λ
26
La única tarea pendiente es obtener una expresión para Log z en términos de
funciones conocidas.
La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y
exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:
( ) ( ),arglog
logloglog arglogarg
ziz
eezz zizzi
+=
== +
Donde zlog es el logaritmo natural del cálculo elemental.
Con estos conceptos, no es difícil verificar que zlog es continua ya que:
[ ] [ ],argargloglog
arglogarglogloglog
wziwz
wiwzizwz
−+−=
−−+=−
Y el logaritmo natural y a función argumento son continuas.
TEOREMA: ℜ+ enztodoparaanalíticaeszargizlogfunciónla
El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:
.logloglog
,logloglog
212
2121
1 zzzz
zzzz
−=
+=
Note que en estas dos identidades suponemos que 21 zz son puntos de la
superficie de Reimann
27
1.5 EJEMPLOS. Realice las siguientes operaciones con los complejos dados
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
.,
,4
694.06556arg
615656
56)3
919.0840.447
34
919.047
34arg
840.447
34
47
34)2
180,2
850.225.27235
850.2291.0
291.052
35arg
25.275235
235)1
0
1
22
3447
1
2472
34
0
0
23
1
2232
positivosrealeslosdeejealrespectoconmideseéstenegativoseaánguloelquedepesaray
cuadranteelenencuentrasevectorelqueaDebido
radstgi
i
iLn
iiLn
radstgi
iLn
radsosumardebesecuadranteelenencuentrasevectorelqueaDebido
iiLn
rads
tgi
iLn
−=
−=−
=−+=−
−
+=+
=
=
+
=+=+
+
+=+−
=+−
−=
−=
+−
=+−=+−
+−
−
−
−
π
π
28
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )20.1528.1320.1528.13
4444
)6
21.17383
21.13883arg
738383
83)5
180,3:
64.416.36652
64.494.26594.85180
50.16652arg
16.366652
652)4
33
3
4343
1
22
0
0
0
52
1
2252
ii
SeneiCoseSeniCose
eee
iiLn
radstgi
iLn
radsoaumentarquetienenlesecuadranteelenencuentrasevectorelqueadebidoNota
iiLn
rads
tgi
i
iLn
ii
+−=−−−=
−=
−=
=
+=+
=
=+
=+=+
+
+=−−
==+
=
−−
=
−−
=−+−=−−
−−
−−
−
−
π
29
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
432.0277.011
11
*)10
277.830.1899
99*)9
020.0079.0
*)8
026.0132.0
*)7
32
32
32
32
32
25
25
25
82
25
82
25
51
51
33
3
9393
82
82
82
82
512
512
51
512
22
iSenieCose
SeniCose
eee
iSeneiCose
SeniCoseeee
iSenieCose
SeniCose
eee
iSenieCose
SeniCoseeee
ii
ii
ii
ii
+=+=
+=
=
+−=+=
+=
=
−=
+=
−=
=
+=
+=
+=
=
−−
−
−+−
+
−−
−
−−+−
−−
−
−+−
30
1.6 EXPONENCIAL COMPLEJA
Las funciones exponenciales y logaritmo compleja se pueden usar para definir
las funciones potencias.
Definición:
Sea: 0,log ≠= complejoaez zaa
La función ℜ→ℜ:zz es analítica y uno a uno porque la composición de
funciones de esos tipos. Por regla de la cadena.
( ) 1log * −== azazaa zaez
El valor principal de la función potencia esta dado por:zaa ez log=
A menudo existe el interés en el caso en donde son enteros positivos factores
comunes. Considere ahora el conjunto de números ( ) .....,2,1,0,2log ±±=ℜℜ+ ize π
esto es que aquellos puntos en R situados directamente arriba y abajo del
punto loge . Entonces ( )( ) ( ) ( ) inmzLognmnmizLog eee ℜℜ+ = ππ 2///2 y si se escribe
,nq,enterosqypconqpn <≤+=ℜ 0 se tiene:( ) niqmniqmnpmiinm eeee /2/222/ ππππ ==ℜ ,
De tal forma que hay únicamente n respuestas con valores complejos
diferentes. Así el mapeo ℜ→ℜ:/ nmz conduce a cada n copias de { }0−λ a una
copia de { }0−λ y se repite a partir de ahí. Este hecho permite simplificar el
modelo usado para describir el mapeo nmzw /= . Para simplificar suponga que
m=1. Entonces,( ) 1,........,2,1,0,/211
−=== nqeezw niqzLognn π
Puede visualizarse como un mapeo de { }[ ]n0−λ en { }[ ]0−λ , donde { }[ ]n0−λ
consiste en n copias de { }0−λ pegadas” una después de la otra a lo largo del
eje real negativo, como en R excepto que el bordaje superior de la rama de
arriba de pega al borde inferior de la rama de abajo.
31
1.6 EJEMPLOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números
complejos.( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )5163.22360.0
66.166.1*
:9272.066.1
11
:1)3
49.99438.12412.1112.11
:54.083.53535
:35)2
1749.01123.011cos
:10
0110)0arg(0
:)1
9272.09272.066.1
9272.066.19272.066.1
112
342
34
1134
91.612.1191.6
12.1191.654.083.521
53122
3521
10
2
122
01)0()0(
34
34
34
21
222
)0(
iSeniCoseee
eeEntonces
i
tgiiLn
Dondeeei
iSeniCoseee
eeEntonces
itgiiLn
Dondeei
iiseneee
EntoncesiiLn
tgiiiiLn
Dondeeei
i
iii
iLniiLni
i
iii
iLni
iii
iLniiLni
i
i
i
−−=−=
=
+=
++=+
==+
−=+=
=
−=
−+−+=−
=−
+=+==
+=+
++=++=+
==
−
+−+−
−
−−−−
+−+
−
−+
−+−++
−
+++
−
+
+
πππ
π
32
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )4.15137895.355715
34.134.1*
:4650.1016.3
33
:3)6
164.18658.09316.09316.0*
:130.1611.0
:
)5
026.0080.032.032.0*
:39.1435.1
22
:2)4
257.1434.1257.14
34.1257.144650.1016.34
312211
3431
3725.09316.03725.0
9316.03725.0130.1611.0
12
212
31
21
31
21
31
47.232.047.2
32.047.239.1435.11
2122
41
41
21241
23
1
123
234
1234
53
21
312
1
21
31
53
21
53
21
21
315
321
43
41
41
43
431
414
31
iSeniCoseee
ee
Entoncesi
tgiiLn
Dondeeei
iSeniCoseee
ee
Entoncesi
tgiiLn
Donde
eei
iSeniCoseee
ee
Entoncesi
tgiiLn
Dondeeei
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
i
ii
iLniLn
ii
i
i
ii
+=+=
=
+=
++=+
==+
−=−=
=
+=
+−+−=−−
==−−
−=−=
=
+=
++=+
==+
++−
−
+−+
−
−+−−
−
−−
−−−−
−−
−−−
−−++−
−
++−+
−
−
−−
−−
+−
+−
π
ππ
ππ
π
33
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )34
81.6783.1381.6
783.1381.648.3343.33
12782
78
378
2828
98.6402.5198.64
02.5198.64922.2219.938
92122
293829
699.0222.2699.0
222.2669.0249.1825.1
31223
13
1
33
31
1003.11082.3783.13783.13*
:48.3343.3
:)9
1037.110210.102.5102.51*
:922.2219.92929
:29)8
407.0310.0222.2222.2*
:249.1825.1
33
:
3)7
78
78
3
783
3838
1
31
311
1
31
1
−−
−−
+−−+−
−
−−+−−−
+++
−
+−++−
−−
+−++
−
+++
+=
+=
=
−=
−+−+−=−−
==−−
+=
+=
=
+=
−++−=+−
==+−
+−=+=
=
+=
++=+
==+
+−+−
++
+
+
xxSeniCoseee
eeEntonces
itgiiLn
Dondeeei
xxSeniCoseee
eeEntonces
itgiiLn
Dondeeei
iSeniCoseee
ee
Entoncesi
tgiiLn
Donde
eei
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
ii
ii
ii
π
ππ
ππ
π
π
π
ππ
34
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
−−
+
+
+
−−
−−
+−
+−
+
+−
−
−−
−−
+−
−
+
−
−
+−
+
2
5
62
214
43
31
32
2
26
34
251
241)10
7)9
331)8
96)7
81
74)6
41
23)5
83
5)4
427)3
623)2
32
1)1
π
ππ
π
π ( )( )
( )
( )
( )( ) ixxi
ixxi
ii
ixxi
ii
i
i
i
i
i
47475
181721
4
32
6626
251
1056.310923.17)9
10021.21079.296)7
2013.025.141
23)5
10112.31013.22)3
0139.00343.032
1)1
−−=−−
+=+−
+=
+
+=−
−=
+
+
+
−−
−−+−
+−
ππ
1.6 EJERCICIOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números
complejos.
RESPUESTAS
35
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1 INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La ecuación general de una recta en 2ℜ es de la forma:
cbyax =+
y la ecuación general de un plano en 3ℜ es de la forma:
dczbyax =++
Las ecuaciones de esta forma se denominan ecuaciones lineales.
Definición: una ecuación lineal en las n variables nxxx ...,, 21 es una ecuación
que puede escribirse en la forma:
bxaxaxa nn =+++ .....2211
Donde los coeficientes an y el término constante b son constantes.
Sean, por ejemplo las siguientes ecuaciones lineales:
4321 235,93
1521,143 xxxxtsryx +−=+=−−−=−
Observe que en la tercera ecuación es lineal porque puede reescribirse en la
forma 325 4321 =−++ xxxx También es importante advertir que, aunque estos
son ejemplos (y que en la mayoría de las aplicaciones) los coeficientes y
términos constantes son números reales, en algunos ejemplos y aplicaciones
serán números complejos o miembros de pΖ para algún número primo p.
Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones no lineales:
023,154
2
2,3,12
321
32
21
=+−=
−+
=+=−=+
xxxSenzSenyx
zyxxxzxy
ππ
De este modo, las ecuaciones lineales no contienen productos, recíprocos u
otras funciones de las variables; éstas presentan únicamente a la primer
potencia y están multiplicadas sólo por constantes.
36
2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES DESISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
2.2.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R2
Los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones pueden ser mapeadas
en los espacios 2ℜ y 3ℜ en un principio, y generalizarse para un espacio nℜ .
Por ejemplo, las sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en 2ℜ:
( ) ( ) ( )34223121
=−=−=+=−=−=−
yxyxyxyxcyxbyxa
Resolviendo tales sistemas, se tiene:
(a) La suma de las dos ecuaciones da 2x=4, de manera que x=2, de lo que
se desprende que y=1. una rápida verificación confirma que [ ]1,2 es en
realidad una solución de ambas ecuaciones. Ésta es la única solución
que se puede ver al examinar que corresponde al (único) punto de
intersección (2, 1) de las rectas con ecuaciones 31 =+=− yxyyx ,
como se muestra en la figura 2.2.a. De este modo [ ]1,2 es sólo una
solución única.
Figura 2.2.a. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones
lineales con solución única.
-
(a)
x
-
(a)
-24
-2
-4
2 4
2
4
y-24
-2
-4
2 4
2
4
y
x
37
(b) La segunda ecuación de este sistema es exactamente dos veces la
primera, de modo que las soluciones son las mismas de esta ultima, a
saber, los puntos sobre la recta 2=− yx . Estos pueden ser
representados paramétricamente como [ ]tt,2 + . De esta manera, este
sistema tiene un número infinito de soluciones, figura 2.2.b.
Figura 2.2.b Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales
con infinidad de soluciones.
(c) Dos números x y y no pueden tener simultáneamente una diferencia de 1
y 3. por consiguiente este sistema no tiene soluciones (un enfoque más
algebraico sería resaltar la segunda ecuación a la primera, con lo cual se
llegaría a la igualmente absurda conclusión de que 0=-2) como se
muestra en la figura 2.2.c., en este caso las ecuaciones de la rectas son
paralelas.
Figura 2.2.c. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales
sin solución
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(b)
y
x
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(b)
y
x
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(c)
y
x
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(c)
y
x
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(c)
y
x
-2-4
-2
-4
2 4
2
4
(c)
y
x
38
2.2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R3
Cuando las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el sistema de
ecuaciones lineales tiene solución única; si coinciden, existe un número infinito
de soluciones; si son paralelas, no existe una solución, y por lo tanto el sistema
es inconsistente.
Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas, la
grafica de la ecuación dczbyax =++ en el espacio de tres dimensiones es un
plano.
Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
mlzkyjxhgzfyexdczbyax
=++=++=++
en donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l, y m son constantes y al menos una de ellas
en cada ecuación es diferente de cero.
En este sistema de ecuaciones, cada ecuación, representa a un plano. Cada
solución (x, y, z) al sistema de ecuaciones debe de ser al menos un mismo
punto en cada uno de los tres planos. Existen tres posibilidades:
(a) Los tres planos se intersecan en un solo punto P(x,y,z). Entonces existe una
solución única para el sistema lineal de ecuaciones.
P(x,y,z)
39
(b) Los tres planos coinciden en un número infinito de puntos, formando una
recta o inclusive coincidiendo dos o más planos. Entonces en cada punto sobre
el plano es una solución del sistema de ecuaciones lineales y por lo tanto se
tiene infinidad de soluciones para el sistema de ecuaciones lineales.
(C) Dos o más planos que representan al sistema de ecuaciones lineales no
coinciden mediante puntos o rectas (planos paralelos) de tal manera que
ningún punto plano se interfecta con los otros. Por lo tanto no existe soluciónal sistema de ecuaciones lineales, y el sistema es inconsistente.
40
2.3 MÈTODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.“ELIMINACION DE GAUSS”
Cuando se aplica la reducción de renglón a la matriz aumentada de un sistema
de ecuaciones lineales, se crea un sistema que puede ser resuelto mediante
sustitución hacia atrás. El proceso completo es conocido como Eliminación
Gaussiana .
1. Escriba una matriz aumentada de sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales de renglón para reducir la matriz
aumentada a la forma escalonada del renglón.
3. Mediante la sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que
corresponda a la matriz del renglón reducido.
2.3 EJEMPLOS. Por el método de eliminación Gaussiana resuelva los
siguientes sistemas de ecuaciones.
525323)1
321
321
321
−=−−=++=++
xxxxxxxxx
SOLUCIÓN:
−−
→
−−
−− →
−−
−−− →
−−−
−++−+−
213
100110111
101
3
500110
111
81
3
320110
111
553
211132111
332231212
51 RRRRR
RR
El sistema correspondiente es ahora:
21
3
3
32
321
=−=−
=++
xxxxxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 0,1,2 123 === xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
41
→x =
210
4402932)2
321
321
321
=+−=+−=−+
xxxxxxxxx
−−
→
−−
→
−−
−−
− →
−−
−+
−+−+−
1
9
10010
3219
0010
321
32189
1390750321
409
114112321
518
5732
5
525
18
52
57329
251
314212 RRR
RRRRR
El sistema correspondiente es ahora:
1
932
3
518
357
2
321
=
=−
=−+
xxxxxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 2,5,1 123 === xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
=
→
152
x
06420023)3
321
321
321
=++=++−=−−
xxxxxxxxx
−−→
−− →
−−−−
→
−
−−+−
−+−
+
000
10010
231
000
40010
231
000
880120231
000
642111231
213
21328
2312
21412
1
RRRR
RRRR
El sistema correspondiente es ahora:
00023
3
321
2
321
=
=−
=−−
xxxxxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 0,0,0 123 === xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
=
→
000
x (Solución trivial)
42
6842213343282)4
4321
4321
4321
=−+−−=+−+=+−+
xxxxxxxxxxxx
−−
→
−−
− →
−−−−
−
−−
++−
610
215
615
2213
1
312213
2
1001
812
001
10152
15602102812
001
6212
184334812
231
6121
RR
RRRR
( )
txtttx
tttxtxxxxxxxtx
xxxxxxxxtxSiandoParametriz
221
356
1
25
35
1
615
610
221
215
1221
215
2
43214221
215
2615
610
3
4321215
4221
2610
4615
3
4
282115282
28202820
:
+=
+−−++=
+−−+−−−=−−=
+−+−=−−−=−=
=+−+−=++=+
=
Nota:
Donde: “t”= 1, 2, 3……., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
243130432)5
4321
421
4321
=−+−=+−=+−+
xxxxxxxxxxx
txSiandoParametriz
RRRR
RRRR
R
=
−−−
→
−−−
→
−−−−
− →
−−−
−+
−
+−+−
4
25
112
1110
11321
23
3
115
112
118
112
1110
11321
23
322
25
217
23
211
21
23
313213
1
:0
4101
2
001
0
01
2
001
210
752
001
210
114101413
332
211
217
1122
1
( ) ( ) ( )
txtxtttxttx
tttxttxxxxxxxxtx
xxxxxxxxx
113
21
1112
21
2
45
113
43
11110
1112
2215
112
2
25
21
112
21
23
11110
25
113
112
2
4321
223
141110
3113
112
225
3
4321
223
1112
41110
3113
225
43
22244
24024
−=+=
−++−−=−++−=
−+++−=−++−=
−+−=−+−=+=
=+−+−=+−=−
Donde: = 1, 2, 3 ., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
43
5527432)6
21
21
21
=−=−=+
xxxxxx
−− →
−−− →
−− +−
−+−+−
601
001
41
63
001
573
51
1
242
3123
21
32622
321
312214
1312
1
RRR
RRRR
R
El sistema correspondiente es ahora:
31
2
23
221
1
35
61
23
1
−=
=+
=+=
xxx
x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 60 −≠
54932857)7
21
21
21
=−=−−=+
xxxxxx
→
−− →
−−− ++−
+
492442
33778
75
322
7377
3778
7737375
319212
1
01
001
001
538
41
5
92
7773377
1
RRR
RRRR
R
El sistema correspondiente es ahora:
492442
337
2
78
275
1
323
21185
78
1
0 =
=
=+
−=−=
xxx
x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 4924420 ≠
.
7942863)8
321
321
=+−−=++−
xxxxxx
44
−−→
−− →
−−
− +−−
211332
2159
38
2
31332
359
38
2141
12
01
72
01
72
98
16
43
713
1
RRRR
( )
txttx
ttxxxxtx
xxxxxtxSiandoParametriz
2162
2140
1
38
21118
2126
32
1
38
2159
2113
32
1
338
232
12159
2113
2
32
338
212113
32159
2
3
2
2:
−=
+−+=
+−+=
++=−=
=−−=+
=
Nota:
Donde: = 1, 2, 3 ., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
8842442)9
321
321
−=+−−=−+
xxxxxx
− →
−
−−−
+
04
04
02
01
84
84
42
21 212 RR
El sistema correspondiente es ahora:
00442 321
==−+ xxx
Con x2=t1 y x3=t2
Donde: tn = 1, 2, 3 ., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
45
2.3 EJERCICIOS. Por el método de Eliminación Gaussiana, resuelva los
siguientes sistemas de ecuaciones.
24244652)10
036054
0)9
21
31
32
321
321
321
−=+=−=+
=++=+−
=−+
xxxxxx
xxxxxx
xxx
RESPUESTAS:
solucionesdeinifinidadtienesistemaelxaandoParametriz
sistemaesteparasolucionexisteNo
x
solucionesdeinifinidadtienesistemaelxaandoParametriz
x
,)9
)7
.1430
9)5
,)3
.221
)1
3
3
−=
−=
→
→
032044032)8
2036454
7)7
18366547)6
0322454
7)5
82628564529663)4
3141664529663)3
310231685
1862)2
1032441132)1
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
31
321
321
321
321
=+−=−+=+−
=++=+−
=−+
=++=+−=−+
=−+
=+−=−+
−=−+=+−=−+
−=−+−
=+−=−+
−=−+−=+
=++−
=+−
=++=+−
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
46
2.4 ELIMINACIÓN POR GAUSS-JORDAN
Una modificación de la Eliminación Gaussiana simplifica en gran medida la fase
de sustitución hacia atrás, y es particularmente útil cuando se hacen los
cálculos a mano en un sistema que tiene un número infinito de ecuaciones.
Esta variante conocida como la eliminación de Gauss-Jordan, depende de
reducir aún más la matriz aumentada.
Definición. Una matriz se encuentra en forma reducida del renglón
escalonado si satisface las propiedades siguientes:
1. Cualquier renglón conformado completamente por ceros se encuentra
en la parte inferior
2. La entrada principal en cada renglón distinto de cero es un 1
(denominado 1 principal)
3. Cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en cualquier otro
sitio.
Eliminación de Gauss-Jordan
1. Escriba una matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales del renglón para reducir la matriz
aumentada a la forma reducida del renglón escalonado.
3. Si el sistema resultante es consistente, resuelva para las variables
principales en términos de cualquier variable libre restante.
47
2.4 EJEMPLOS. Resuelva el sistema por medio de la eliminación Gauss-
Jordán
42324654
18642)1
321
321
321
=−+=++
=++
xxxxxx
xxx
− →
−−
− →
−−
−−−− →
−
++−
−
++−
−
+−+−
32
4
100010001
341
100210101
23129
1150630
321
42418
213654642
13232
3
325122
2
313214
131
21
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
R
−=
→
324
x
16355223532)2
321
321
321
=−−=+−=−−
xxxxxxxxx
−−
→
−−−
−− →
−−−
−−++
−
+−+−
655
0001310801
001
1655
135223312
3212
22
27
25
25
213
21
213
21
23
21
315213
1
21212
1
RRRR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 60 ≠
117234832332)3
321
321
321
=++=++=++
xxxxxxxxx
− →
−
−− →
−−
−−− →
+−
+−
++−
−
+−+−
021
100010001
021
1000210
701
82
3
240210321
143
723832321
137232
3
324122
2
313212
101
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
−=
→
021
x
48
72352332)4
21
21
21
=+=−=+
xxxxxx
− →
−− →
− +
+−−
+−+−
01
3
010
001
001
753
22
3
312
3212
2
252723
2527
23
31321
1
25
2372
21
RRRR
R
RRRR
R
−
=→
13
x
753841076)5
21
21
21
=+=+−=−
xxxxxx
− →
− →
−− +−
+
+−+
27010
001
2001
78
10
547
31
6
17581796
3212
2
3296
10
2176
1767
31321
1
217
67176
61
RRRR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 270 −≠
375132)6
21
21
=+=+
xxxx
−
→
− →
+−−
+−
12
1001
01
31
7532 12
12
2121
21
23
2151
232
1
RRR
RRR
−
=→
12
x
49
143222523
31345)7
4321
4321
4321
=−++=++−
=−++
xxxxxxxx
xxxx
→
−− →
−−
−−−−
− →
−−
−+−+−
−
+−+−
−
+−+−
1323
3
23
167
1613
1644
1610
43
87
328125
12
312213
87161641
161
00010
001
57
3
22584410161345
001
123
4325211345
231
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 230 −≠
2.4 EJERCICIOS. Resuelva el sistema por medio de la eliminación Gauss-
Jordán
22315)1
31
4321
431
431
−=+−=+++−=+−
−=++
xxxxxxxxxxxx
−−
=→
5222
: xRESPUESTA
515061622420162
978)2
54321
4321
421
=+++−−=−−+−
=+−
xxxxxxxxxxxx
33462062616102
0548)3
54321
4321
4321
=++++−=−−−−
=++−
xxxxxxxxxxxxx
+−
−=
→
160429
4
803
40417
4
3
7:
t
txRESPUESTA
1244216662
0446)4
4321
4321
431
=−−−−=−−−
=+−
xxxxxxxxxxx
321
102)5
21
432
41
4321
−=+=−−
−=+=++−
xxxxxxxxxxx
−−−
=→
1
2
:2121
xRESPUESTA
50
2420212)6
32
4321
432
431
−=+=−−−=++
−=−+
xxxxxxxxx
xxx
4614332
33)7
4
43
432
431
−==−=++
−=++
xxxxxxxxx
−−
=→
4221
: xRESPUESTA
51
2.5 APLICACIONES. CIRCUITOS ELECTRICOS (REDES)
Las redes o circuitos eléctricos son un tipo especializado de red que
proporciona información acerca de fuentes de poder o alimentación, tales como
las bombillas eléctricas o los motores. Una fuente de poder “obliga” a una
corriente de electrones a fluir a través del circuito, donde encuentra varios
resistores, casa uno de los cuales requiere que cierta cantidad de fuerza sea
aplicada a fin de que la corriente fluya a través de ellos.
La ley fundamental de la electricidad es la ley de Ohm, que establece
exactamente cuánta fuerza Electromotriz E es necesaria para conducir una
corriente I a través de un resistor con una resistencia igual a R.
FUERZA ELECTROMOTRIZ = RESISTENCIA X CORRIENTE
E = RI
La Fuerza Electromotriz (E) se mide en volts, la Resistencia (R) se mide ohms
y la Corriente (I) en amperios. Así, en términos de estas unidades, la ley de
ohm se convierte en “voltios = ohms X amps”, y nos dice que la caída de voltaje
se establece cuando una corriente pasa a través de un resistor; es decir,
cuanto voltaje se gasta.
LEYES DE KIRCHHOFF
Ley de la corriente (nodos)
• La suma de las corrientes que fluyen hacia cualquier nodo es igual a la
suma de las corrientes que fluyen hacia fuera de este nodo.
Ley del voltaje (mallas)
• La suma de las caídas de voltaje en cualquier circuito es igual al voltaje
total del circuito (proporcionado por las baterías).
52
2.5 EJEMPLOS. Determine las corrientes indicadas en los siguientes circuitos
eléctricos
1) Determine las corrientes 321 ,, III del circuito eléctrico que se presenta en la
siguiente figura.
En el nodo A la ley de la corriente se obtiene:
0321 =+− III
De manera semejante se obtiene la misma ecuación para la malla CDABC,
pero aplicando la ley de voltajes se tiene que:
84048
0228:
21
21
121
=+=−−
=−−−
IIII
IIICDABCMalla
Observando la Malla BAEFB se obtiene que:
.
1640164
:
32
32
=+=−+
IIII
BAEFBMalla
2
1
2
4
16 v
A B
V1
V2
I1I1
I2 I2
I3 I3
8 vCD
E F
53
Con estas tres ecuaciones podemos construir un sistema de ecuaciones:
164840)3
32
21
321
=+=+=+−
III
III
→
− →
−
− →
−+−
+
+−+
+−
341
100010001
001001
1680
210450111
1680
410014111
1323
5725858
524
54
51
3212
2
214 51
545
1
RRRR
RRRR
R
RR
Es decir:
=
→
341
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 3;4;1 321 ===
54
2)
0:
321 =+− IIIBNodo
134134
0413:
32
32
32
=+−=−−
=−+−
IIII
IIBEDCBMalla
808:
21
12
=+=+−−
IIIIABEFAMalla
8:134:0:
21
32
321
=+=+=+−
IIABEFAmallaIIBEDCBmallaIIIBnodo
→
−− →
−
− →
−+−+−
−
+−+
+−
253
100010001
181313
900410501
8130
120410111
8130
011410111
135234
3
32212
31
91
RRRR
R
RRRR
RR
=
→
253
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 2;5;3 321 ===
1
4
E=13V
B
E=8V
I1
I2
I3
A
C
1
E
D
F
55
3)
5252
025:
21
21
21
=+−=−−
=−+−
IIII
IIDCBADMalla
8420284:
32
23
=+=+−
IIII
AFEDAMalla
0:
321 =+− IIIANodo
0:842:
52:
321
32
21
=+−=+
−=−−
IIIAnodoIIAFEDAmalla
IIDCBADmalla
→
−− →
−− →
−
++−
++−
+−
121
100010001
743
700210401
585
130420021
085
111420021
134232
3
323122
2
31
71
21
RRRR
R
RRRR
R
RR
=
→
121
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 1;2;1 321 ===
2
4
8Vv
A
E=5V
D
I1
I2
I3
1
C
D
EF
B
56
4)
12451245
51245031224
:
21
21
21
112
=+−=−−
−=+−−=−+−−
IIIIII
IIIBEFABMalla
01540864
:
32
3332
=+=+++
IIIIII
BEDCBMalla
0:
321 =+− IIIBNodo
0:0154:1245:
321
31
21
=+−=+=+
IIIBnodoIIBEDCBmalla
IIBEFABmalla
− →
−
− →
−− →
−
++−
++−
+−
15548
3136
155228
13323
3
512
512
4314
153212
2
512
512
59
54
311
100010001
00010
3010
10154001
00
12
1111540045
415
314
59
54
41
51
RRRR
R
RRRR
R
RRR
−
=→
15548
3136
155228
I
AIAIAI 15548
33136
2155228
1 ;; −===
4
8
B
D
I1
I2
I3
2 3
1
6
12 VA
C D
F
E
57
5
0:05.88:1386:
321
32
21
=+−=+−=+
IIIAnodoIIAFEDAmalla
IIDCBADmalla
13861386
01386081324
:
21
21
21
111
=+−=−−
=+−−=−+−−
IIIIII
IIIDCBADMalla
08087
:
3217
2
33321
3
=+
=+++
IIIIII
AFEDAMalla
0:
321 =+− IIIANodo
− →
−
− →
−− →
−
+−+−
++−
−
+−
167104334221334429
132
3
613
613
4816716171217
3212
2
613
613
37
217
68
311
217
100010001
0001001
010
8001
00
13
11180
08612171617
16748
37
6881
61
RRRR
R
RRRR
R
RRR
−
=→
167104334221
334429
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es:
AIAIAI 6227.0;661.0;284.1 321 −===
Nota: el signo negativo de la corriente 3I es porque es tomado en sentido contrario la
polarizacion.
7
A
E=13V
D
I1
I2
I3
4
C
D
EF
B
0.5
2
58
.94.3.11.4.17.0:Re 321 AmIAmIAmIspuesta ===
2.5 EJERCICIOS. Determine las corrientes indicadas en los siguientes circuitos
eléctricos
1)
2)
3)
Nota: El signo negativo de la corriente 3I es porque es tomado en sentido contrario la
polarizacion.
28
1
2
12 v
A B
C
D
I1I1
I2 I2
I3 I3
10 v
2
12 v
A B
C
D
I1I1
I2 I2
I3 I3
12 v
0.5
4
A
E=12V
D
I1
I2
I3
9
C
D
EF
B
1
.41.0.91.1.33.2:Re 321 AmIAmIAmIspuesta −===
.39.0.44.0.84.0:Re 321 AmIAmIAmIspuesta −===
59
3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 INTRODUCCIÓN.
Ahora se estudiará la matriz por su propio valor. Anteriormente se han utilizado
matrices (en la forma de matrices aumentadas) para registrar información y
para ayudar a racionalizar los cálculos con ellas, por ejemplo en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Ahora se verá que las matrices tienen propiedades algebraicas propias, que
permiten hacer cálculos con ellas, sujetas a las reglas algebraicas de matrices.
Además, se observará que las matrices no son objetos estáticos, que recopilan
información y datos; en lugar de ello, representan varios tipos de funciones que
“actúan” como vectores, transformándolos en otros vectores. Estas
transformaciones matriciales comenzaran a jugar un papel preponderante en el
estudio de algebra lineal y emitirán una nueva luz sobre lo que ya se ha
aprendido acerca de los vectores y sistemas de ecuaciones lineales. Además
de que las matrices se presentan en muchas otras formas aparte de las
versiones aumentadas.
Definición. Una matriz es el arreglo rectangular de números determinados a las
entradas o elementos de una matriz
3.2 OPERACIONES CON MATRICES
3.2.1 Suma de matrices.
Generalizando a partir de la adición de vectores, se define la adición de
matrices por componentes. Si ( ) ( )ijij bByaA == son matrices de ,nxm su
suma BA + es la matriz de ,nxm obtenida mediante la suma de las entradas
correspondientes, de esta manera,
( )ijij baBA +=+
De igual manera, se podría haber definido BA + en términos de la adición de
vectores especificando que cada columna (o renglón) de BA + fuera de la
suma de las columnas (o renglones) correspondientes de BA + . Si no son del
mismo tamaño, entonces BA + no está definida.
60
3.2.2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A diferencia de las definiciones de adición de matrices y la multiplicación por un
escalar, la conceptualización del producto de dos matrices no es una definición
por componentes. Naturalmente, no hay nada que nos detenga para definir un
producto de matrices en forma de componentes; desafortunadamente tal
definición tiene pocas aplicaciones y no es tan natural como la que ahora se
muestra:
Definición. Si A es una matriz de dimensiones nxm y B una matriz de
dimensiones rxn , entonces el producto C=AB es una matriz de nxm . La
entrada del producto se calcula como sigue:
njinjijiij bababac +++= .....2211
Observaciones: nótese que A y B no necesitan ser del mismo tamaño. Sin
embargo el número de columnas de la matriz A debe de ser el mismo que el
número de renglones de la matriz B. Si se escriben los tamaños de A, B y AB
en orden, se puede apreciar de un vistazo si este requerimiento es satisfecho.
Además se puede predecir el tamaño del producto antes de hacer cualquier
cálculo, puesto que el número de renglones de AB es el mismo que el de los
renglones de A, mientras que el número de de las columnas de AB es el mismo
que el de las columnas de B como se muestra a continuación:
rxmrxnnxmABBA =
La fórmula para las entradas del producto se asemejan a un producto punto y
en realidad lo es. Se dice que la entrada (i y j de la matriz AB es el producto
punto de el i-enésimo renglón de A y de la j-enésima columna de B.
nrnjn
rj
rj
mnmm
inii
n
bbb
bbbbbb
aaa
aaa
aaa
ΛΛΛΛΜΜΜ
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ
ΛΛΜΜΜ
ΛΛΜΜΜ
ΛΛ
1
2221
1111
21
21
11211
61
Nótese que en la expresión njinjijiij bababac +++= ΛΛ2211 los subíndices
exteriores en cada término ab de la suma son siempre i y j mientras que en los
subíndices interiores siempre concuerdan y se incrementan desde 1 hasta n.
Se observa este patrón claramente si se escribe mediante el empleo de la
notación de sumatoria, tal como se muestra a continuación
kjik
n
kij bac ∑
=
=1
La transpuesta de una matriz A de ,nxm es la matriz de TA de ,nxm que se
obtiene cuando se intercambian los renglones y columnas de A. Es decir la i-
enésima columna de TA es el i-enésimo renglón de A para toda i.
62
3.2 EJEMPLOS. Realice las operaciones entre las matrices indicadas de los
siguientes ejercicios. (Si es posible)
[ ]
( )
( )DFF)
AFE)
BB)
BCD)
BD)
AB)
CB)
CB)
AD)
DA)
F,E,D
C,B,A
T
T
10
9
8
7
6
5
4
3
232
21
21
241230
642
531
320124
5103
+
−
−
−
+
−==
−
−=
=
−=
−
=
63
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
=
+++++−+−
=
+++++−++−+
=
−=
=
+
−
−=
−+
−
−=+
−
−
−=
−
−=
+−+−−+−++−+
=
−
−
=
−−−−−
=
−
−=−
−
−=−
−
−=
−
−−
−
−=
−
−
−
−=−
−
−=
−
−+
−
=
−
−+
−
=+
262163
18801560688564
634220533210614224513214
642
531
320124
271933
262163
1230
642
531
320124
1230
7
1230
320124
6
141243612
351125210541301320230043
320124
5103
5
322453
642531
320124
4
642
531
320124
3
13896
10206
3690
5103
21230
3232
7563
2460
5103
1230
25103
21
BC
BC
:Donde
.BCD)
"operaciónlarealizarposibleesNo"BD)
AB
AB)
CB)
"operaciónlarealizarposibleesNo"CB)
AD)
DA)
T
64
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) [ ] [ ] ( )( ) ( )( )[ ] [ ] [ ]
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
−=
+−
=
+−−−+−
=
−
−
−=
−
−=
−
−
−
−=
−=
+
+−=
+−−
+−=
−
−
=
=+−=+−=
−=
−
−
=
−
−=
+++−+−++
=
+++−++−++−−+
=
−
−=
46
2260
21122310
21
1230
46
21
21
1230
21
10
113
10103
25112013
21
5103
1022121123411
324
21
5103
249
131121
9403403401416
332200132240312204112244
320
124
320124
8
DF
:Donde
"operaciónlarealizarposibleesNo"DFF)
AF
:Donde
AFE)
BB
BB)
T
T
65
3.2 EJERCICIOS. Realice las operaciones entre las matrices indicadas de los
siguientes ejercicios. (Si es posible)
[ ]
−==
−
−=
=
−=
−
=
21
,24,1230
642
531
,320124
,5103
FED
CBA
( )
( )
T
T
T
TTT
CD
spuestaDA
FE
spuestaA
CBCB
spuestaFE
AFE
spuestaBCD
AB
operaciónlarealizarposibleesNospuestaCB
82)10
510102
:Re)9
)8
12549027
:Re;)7
)6
4824
:Re;)5
)4
271933
:Re;)3
)2
:Re;)1
3
+
−
−
+
−
−
−−
+
−
66
3.3 CLASIFICACIÓN DE MATRICES
a) Triangular Superior
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas las entradas
por debajo de la diagonal principal son cero. De este modo la forma de una
matriz triangular superior es:
*000**
00***0****
ΛΛΜΜ
ΜΜΟΛΛΛΛ
Donde las entradas marcadas con un * son arbitrarias. Una definición más
formal de una matriz [ ]ijaA = de esta clase, es que jisiaij >0= .
b) Triangular Inferior.
Una matriz cuadrada se denomina triangular inferior si todas las entradas
por arriba de la diagonal principal son cero. De este modo la forma de una
matriz triangular inferior es:
****0*
**00**000*
ΛΛΜΜ
ΜΜΟΛΛΛΛ
Donde las entradas marcadas con un * son arbitrarias. Una definición más
formal de una matriz [ ]ijaA = de esta clase, es que jisiaij <0=
c) Diagonal.
Una matriz cuadrada ( )ijaA = se llama diagonal si todos sus elementos
fuera de la diagonal principal son cero. Esto es .0 jisiaij ≠= De este modo
una matriz diagonal es:
44
33
22
11
0000
00000000
aa
aa
ΛΛΜΜ
ΜΜΟΛΛ
ΛΛ
67
d) Escalar.
Una matriz diagonal en la cual todas sus entradas diagonales son las
mismas se les conoce como matriz escalar. Si el escalar de la diagonal es
1, la matriz escalar se le llama matriz identidad, por ejemplo sean:
=
=
=
−
=100010001
,200060003
,5413
,141052
DCBA
Las entradas diagonales de A son 2 y 4, pero A no es cuadrada: B es una
matriz cuadrada de 2x2 con entradas diagonales 3 y 5; C es una matriz
diagonal: D es una matriz identidad de 3x3. La matriz identidad de nxn se
denota mediante el símbolo nI (o simplemente I si sus dimensiones son
obvias).
e) Nilpotente.
Una matriz cuadrada A se denomina nilpotente (de potencia nula) si 0=A
para algún .1>m La palabra nilpotente proviene del latín nihil que significa
“nada” y potere, que quiere decir “poder”. Una matriz nilpotente es,
entonces una que se convierte en nada (es decir la matriz cero) cuando se
eleva alguna potencia.
f) Idempotente
Una matriz cuadrada A se denomina idempotente si AA =2 (la palabra
idempotente proviene del latín Idem, que significa “lo mismo” y potere que
quiere decir “tener poder”, “tener potencia”. De esta manera algo que es
idempotente tiene la “misma potencia” cuando se eleva al cuadrado.
g) Potencia
Cuando A y B son dos matrices de nxn su producto AB también será una
matriz de nxn . Un caso especial se presenta cuando A= B. tiene sentido
definir AAA =2 y en general, definir kA como
AAAAk Λ=
Si k es un entero positivo. De esta forma y A es conveniente para definir.
68
Antes de hacer demasiadas suposiciones deberíamos preguntarnos hasta
que punto las potencias de matrices se comportan como potencias de
números reales.
Las propiedades que se presentan a continuación se siguen
inmediatamente de las definiciones que se acaban de dar y son los
análogos matriciales de las correspondientes propiedades de las potencias
de los números reales
Si A es una matriz cuadrada y r y s son enteros no negativos, entonces
( ) rssr
srsr
AA
AAA
=
= +
.2
.1
h) Transpuesta
Hasta ahora todas las operaciones con matrices que se han definido son
análogas a las correspondientes con números reales, aunque pueden no
comportarse siempre de la misma manera. La operación siguiente no tiene
un análogo así.
La transpuesta de una matriz A de ,nxm es la matriz de TA de ,nxm que
se obtiene cuando se intercambian los renglones y columnas de A. Es decir
la i-enésima columna de TA es el i-enésimo renglón de A para toda i.
En ocasiones, la transpuesta es empleada para proporcionar una definición
alternativa del producto punto de dos vectores en términos de la
multiplicación de matrices.
Una definición alternativa útil de la transpuesta se proporciona en términos
de sus componentes:
( ) jyitodaparaAA jiT
ij =
i) Simétrica
La transpuesta también se utiliza para definir un tipo muy importante de
matriz cuadrada: una matriz simétrica. Una matriz cuadrada es simétrica
si es igual a su propia transpuesta, sea:
−
=
=
3121
402053231
ByA
69
Entonces A es simétrica, puesto que AAT = pero B no es simétrica,
puesto que BBT ≠
−=
3211
Una matriz simétrica tiene la propiedad de que es su propia imagen
(como un espejo) con respecto a su diagonal principal.
Una matriz simétrica cuadrada A es simétrica si y solo si ijij AA = para
toda i y j.
j) Antisimétrica
Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si AAT −= (es decir jiij aa −= ).
Lo que quiere decir que la transpuesta de una matriz es igual a la negativa
de la matriz original.
k) Hermitiana
La matriz A se llama Hermitiana si AA =* donde *A es la matriz transpuesta
conjugada de A, denotada como *A , y que esta definida por el elemento
jiaAdeij * =
l) Ortogonal
Una matriz Q de n x n cuyas columnas forman un conjunto orto-normal se
denomina matriz ortogonal.
El hecho más importante acerca de las matrices ortogonales es señalado
por el siguiente teorema:
Una matriz cuadrada Q es ortogonal su y solo si .1 TQQ =−
70
3.4 MATRIZ INVERSA
En esta parte se regresará a la descripción de la matriz A x=b de un sistema de
ecuaciones lineales y se investigará maneras para utilizar el algebra de
matrices para resolver el sistema. A modo de analogía considere la ecuación
bax + donde xyba ,, representan números reales y queremos resolverla para
x . Rápidamente se puede comprender que se quiere abx /= como la solución
Pero se debe recordar que ello es cierto si y solo si 0≠a , se alcanzará la
solución mediante la siguiente serie de pasos:
( ) ( ) ( )( ) ab
ab
ab
aaa xxxabaxbax =⇒=⋅⇒=⇒=⇒= 1111
Para imitar este procedimiento para la ecuación matricial A x=b ¿Qué es lo que
se necesita? Se necesita hallar una matriz ´A tal que ´A A =I, una matriz
identidad. Si una matriz así existe entonces se puede efectuar la siguiente
secuencia de cálculos:
A x=b ⇒ ´A ( A x)= ´A b⇒ ( ´A A )x= ´A b⇒ Ix= ´A b⇒ x= ´A b
Definición: Si A es una matriz de n x n, una inversa de A es una matriz ´A de
n x n con la propiedad de que
A ´A =I y ´A A =I
Donde nII = es la matriz identidad de n x n. si tal ´A existe, entonces A se
dice que es invertible.
Teorema 1:
Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única.
Teorema 2:
Si A es una matriz de n x n, entonces el sistema de ecuaciones lineales dado
por A x=b tiene solución única x= 1−A b para cualquier b en ℜ .
Teorema 3:
.,0
1
,0,
1
invertibleesnoAentoncesbcadSiacbd
bcadA
casocuyobcadsiinvertibleesAentoncesdcba
ASi
=−
−
−−
=
≠−
=
−
71
Teorema 4:
•( ) AA
yinvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi
=−−
−
11
1 :,
•
( ) 111
:,,
−− = AcAyinvertibleesAB
entoncescerodediferenteescalarunescyinvertiblematirizunaesASi
c
•
( ) 111
:,
−−− = ABAB
yinvertibleesABentoncestamañomismodelsinvertiblematricessonByASi
•( ) ( )TT
T
AA
yinvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi11
:,−−
=
•
( ) ( )nn
n
AA
ynnegativosenteroslostodosparainvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi
11
:,
−−=
Teorema 5:
Sea E la matriz elemental que se obtiene cuando se efectúa una operación
elemental por renglón sobre nI . Si la misma operación elemental por renglón
se realiza sobre una matriz de A de n x r, el resultado es el mismo que el de la
matriz EA .
Teorema 6:
Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz elemental del
mismo tipo.
Teorema 7:
Sea una matriz de n x n. las declaraciones siguientes son equivalentes:
• A es invertible
• A x=b tiene una solución única para toda b en nℜ
• A x=0 tiene únicamente una solución trivial.
• La forma reducida escalonada por renglón de A es nI
• A es un producto de matrices elementales.
72
Teorema 8:
Sea A una matriz cuadrada. Si B es una matriz cuadrada tal que
,IBAoIAB == entonces A es invertible y 1−= AB .
Teorema 9:
Sea A una matriz cuadrada. Si una sucesión de operaciones elementales por
renglón reduce a A a I , entonces la misma sucesión de operaciones
elementales por renglón transforma a I en 1−A
73
3.4 EJEMPLOS. Calcular la matriz inversa de los siguientes ejercicios (si es
posible)
e)
=
−
−
−−
→
− →
− →
=
−
−
− →
−−
→
−
−
=
−
−
−
− →
− →
+−+−
+−
++−
+−+−
1001
2123
:
1001
10
01
1001
2123
2123
)4
.,
:
120
001
1001
8643
8643
)3
1001
10
0224
:
10
1001
10
101
1001
0224
0224
)2
1001
4172
2174
:
4172
1001
10
01
1001
2174
2174
)1
43
41
21
21
43
41
21
21
121
3131
3432
211
31
34
2161
21
21
21
21
12
2141
21
2121
1214
4141
4147
211
32
43
31
31
214
1
474
1
oComproband
invertiblematriztienenomatrizestaquedecirquierecerounaparecerenglonsegundoelenComo
Nota
oComproband
oComproband
RRR
RRR
RRR
RRRRR
RRR
RRR
74
=
−−−
−
−−−
−−−
− →
−−−
−
−
→
−−
−−−− →
−−−
−−−
=
−
−
−−
→
− →
++−
−
++−
−
+−+−
++−
100010001
764221332
102121032
:
764221332
100010001
100
001001
1010100
1301001
100010001
102121032
102121032
)6
1001
4457
:
1001
10
01
1001
4457
4457
)5
1323
37
76
74
72
142
146
72
7172146
32312
2
2121
2723
31221
1
87
84
85
21
87
84
85
21
122
7471
7875
2141
146
72
2372
21
7587
71
oComproband
oComproband
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
R
RRR
RRR
75
.112011012
000010101
103011001
010010111
100010001
343121111
343121111
)8
100010001
333123231
:
100010001
100
001001
103013001
360570
231
100010001
333123231
333123231
)7
3212
31321
97
32
33
95
31
32
91
31
31
97
32
33
95
31
32
91
31
31
1323
3
76
73
71
73
73
72
797571
326123
2
313213
717597
71
matrizestaparainversaexisteNo
oComproband
RRRR
RRRR
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
−−−
−−
→
−−
− →
−−−
−−−
=
−−−
−
−−−
− →
−−−
−−
→
−−
−−−− →
+−+−
+−+−
++−
++−
−
+−+−
76
=
−−
−
−−−−−
−−
− →
−−
−
→
−
−−− →
−−−−−
−−−−−
=
−
−
→
−−−
→
−−−
→
−
−
−
−
+−+−
−
−
−
++
++−−
−
−
−
100010001
00110
0
200210102
:
00110
0
100010001
10001000
200210
01
10001000
200210
01
100010001
200210102
200210102
)10
100010001
233133232
1101
101:
233133232
100011001
10001
0010
101
100011001
1100
101
100010001
1101
101
1101
101)9
21
41
21
21
41
21
13232
321
21
221
21
1
34
32
1323
32
23
23
23
23
2121
322
31
3221
1
34
32
34
32
21
21
21
21
23
oComproband
oComproband
RRRR
R
RR
RRRR
R
RRR
RRR
77
3.4 EJERCICIOS. Calcular la matriz inversa. (si es posible)
−
−
−−−
−
−
−−
−
−−
−
−−
−−
−−
−
−
−−
−
−
−−
0147876542
)10
:Re;111211013
)9
3719501412
)8
111122110
:Re;210211321
)7
4127532261
)6
:Re;)5
2132
)4
1:Re;
6844
)3
)2
:Re;42
21)1
21
41
41
43
83
81
41
81
83
7118
7160
71120
7145
21
32
34
51
2121
43
31
32
31
31
81
41
41
21
spuesta
spuesta
spuesta
spuesta
spuesta
78
3.5 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.
Dada una matriz cuadrada de orden n:
A =
Se llama Determinante de A y se representa por |A| ó también det (A), al
número que se obtiene de la siguiente forma:
Son las distintas permutaciones de n elemento (es decir, n! elementos)
Por tanto, el determinante de una matriz de orden n estará formado por la
suma de n! Sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los
que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada
columna de la matriz.
Es conveniente combinar un menor con un signo de + o de -. Para este fin,
definimos el cofactor (i, j) se A como:
( ) ijji
ij AC det1 +−=
Con esta notación la definición se convierte en:
jCaA j
n
jij 11
1det
=∑=
La definición anterior se conoce a menudo como el desarrollo por cofactores a
lo largo del primer renglón. Es un hecho sorprendente que se tenga
exactamente el mismo resultado a desarrollar a o largo de cualquier renglón (o
incluso se cualquier columna).
79
Se resume este hecho como un teorema pero se pospone la demostración
hasta el final de esta sección (puesto que es algo larga e interrumpiría la
exposición si se presenta en este momento).
Teorema de expansión de Laplace
El determinante de una matriz de n x n, [ ],ijaA = donde 2≥n puede ser
calculado como:
ijij
n
jininiiii CaCaCaCaA
12211det
=∑=+++= ΛΛ
(La cual es la expansión por cofactores a la largo del i-esimo renglón) y
también como:
ijij
n
injnjjjjj CaCaCaCaA
12211det
=∑=+++= ΛΛ
(La cual es la expansión por cofactores a la largo del j-ésima columna)
Debido a que ( ) ,det1 ijji
ij AC +−= cada cofactor es el menor correspondiente
con signos: + o -, con el signo correcto dado por el término ( ) ji+−1 una manera
rápida para determinar si el signo es + o – es recordar que los signos
conforman un patrón “tablero de Ajedrez”:
+−+−−+−++−+−−+−+
ΟΜΜΜΜΛΛΛΛ
80
3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
La manera más eficiente de calcular determinantes es mediante el empleo
de la reducción por renglones. Sin embargo, no todas las operaciones
elementales por renglones dejan el determinante de una matriz sin cambios.
El teorema siguiente resume las propiedades principales que necesita
entender a fin de utilizar de manera eficiente la reducción por renglones.
[ ] .cuadradamatrizunaaSeaA ij=
• Si A tiene un renglón (columna) cero, entonces 0det =A
• Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (columnas) de A, entonces
0det =B = 0det =− A
• Si A tiene dos renglones (columnas) idénticos, entonces. 0det =A
• Si B se obtiene al multiplicar un renglón (columna) de A por k, entonces
0det =B = k 0det =A
• Si A, B y C son idénticas excepto que i-ésimo renglón (columna) de C
sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces
0det =C = BA detdet +
• Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón () de A a otro renglón
(columna), entonces =Bdet 0det =A columna
2221
1211
aaaa
SeaA = Una matriz de 2 x 2 se define el determinante de A por:
21122211det aaaaA −=
Con frecuencia se denotará Adet por:
2221
1211
aaaa
óA
El Determinante de una matriz n x n se definirá de manera inductiva. En otra
palabras se usaran lo que se sabe de un determinante de 2 x 2, para definir un
determinante de 3 x 3, esto a su vez se usará para definir un determinante de
4 x 4, etc.
81
Se comienza por definir un determinante de 3 x 3:
.
det
:.
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
derecholadodeltermínosegundodelantesmenossignoelobserveaaaa
aaaaa
aaaaa
aAA
Entoncesaaaaaaaaa
ASea
+−==
=
82
3.6 EJEMPLOS. Calcular los siguientes determinantes.
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )
47482669664103615183
321645266151633
1236
46256
16153
3612536413
)6
68149081141
110041212061115204162145611
5112
06142
16541
1651412011
)5
1064238041
121032400041011
1210
30240
00141
1012410301
)4
66
1410)(710147
)3
1
)1)(1()100)(0(1001
10)2
3
)6)(4()7)(3(7463
)1
=−+=−−+−++=
−−+−+−−=
−++
−=
−
−
=−=−+−−−=
−+−−−−=−+−−−−=
+−−=−
−=−−=−+−−−=
−+−−−=
+−=
=
−=
−=
−−−=−
−
−=
−=
+−+
+−+
+−+
83
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
00000
0419030700250001
:tan0130
70123500917039472314050
1907
04937
24130
50419307025
0
0007000050
0917009072010050
1907
00907
20100
50019007025
0
00015000050
4937009070030450
3947
00907
0.0304
50039047005
0
0013000021
3140001000040321
4130
00100
00403
21041030002
1
:
419307025
0019007025
0039047005
0041030002
1
0419030700250001
)7
=−+−=
−
=−=−+−−=
−−+−−−−−=
−
+−−
=−
==−+−=
−−+−−−−=
−
+−−
=−
=−=+−−=
−+−−−−=
+−=
==+−=
−−+−−−−=
−
+−
−=−
−−
−+−
−=
−
−+−+
+−+
+−+
+−+
+−+
+−++−++−++−+−+−+
toloPor
donde
84
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( )( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( )( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ][ ]( )
56115042
0321510024101302
:tan1
110120411301323001
2100
43110
13210
01321100410
1
1553
0120251001520003
2100
20150
10250
03021500210
3
018022000
1130251004530100
3110
20150
40351
00031510240
0
42212440152
1230252004530112
3210
20250
40351
12032510241
2
:
321100410
1021500210
3031510240
0032510241
2
0321510024101302
)8
=−++=
−=−=
−+−−−−=
+−−=−
==
−+−−−=
+−=
==−+=
−+−−−=
+−−=−
==−+−=
−+−−−=
+−=
−+−=
−+−+
+−+
+−+
+−+
+−+
+−++−++−++−+−+−+
toloPor
donde
85
3.6 EJERCICIOS. Calcular los siguientes determinantes
0324510341217002
)10
1:Re
0100001010000001
)9
500043021
)8
15:Re030201
153)7
2030720111
)6
10:Re403050201
)5
)4
38:Re;5426
)3
4185
)2
3:Re;3469
)1
56
43
75
21
−−
−
=
==
=
−=−−
=
−=
−==
=
−=−
=
−−=
=−−−−
=
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
86
3.7 MATRIZ ADJUNTA
Sea una matriz de 2 x 2:
=
2221
1211
aaaa
ASea
Entonces su matriz adjunta se define como:
−
−=
=
1121
1222
2212
2111
aaaa
AAAA
AAdj
Al calcular la adjunta de una matriz, no olvide transponer la matriz de
cofactores.
Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j) sobre un cuerpo K. El adjunto de
A, denotado por Adj. A, es la transpuesta de la matriz de cofactores de A:
Por ejemplo:
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
87
La transpuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto
de A:
Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa
de una matriz.
Reconsidera la matriz:
Así pues, aplicando la propiedad anterior:
)(11 AadjA
A =− Se obtiene:
88
3.7 EJEMPLOS. Calcular la matriz inversa por el método de la Matriz Adjunta.
( )
( )
( )
−−−−
=
−−−−
==
−−−−
=
−−
−−=
−=+−=
−−
+=
=−−=
−=
=+−=
−−
+=
−=+−=
−−==+=
−+=
=−=
+=−=−−=
−=
=−−−=
−−=−=−−=
−+=
−=−+−−+−−=−−
−−
=−
−
=
−−
=
−
−=
=
−=
−
=
−
+−+
+−+
−+−
+−+
+−+
−+−
157
52
3023
32
35
58
53
3037
1
33
32
31
2313
2212
2111
1141223203050161837
301
det1
:141223203050161837
142016123018235037
:
1416305826
2032122846
162042542
12)66(1326
231581358
3012427346
506567328
18)414(7142
372357125
3011212603212210152
386
713258426
713258426
713258426
)3
5967
:22,7965
)2
6342
:22,2346
)1
AAdjA
A
Finalmente
AdjA
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
Y
ASea
A
AdjAxmatricesparadefiniciónPorA
AdjAxmatricesparadefiniciónPorA
T
89
( )
( )
( )
−−
−−=
−−
−−==
−−
−−=
−−
−−=
=−=
+=
=−−−=
−
−=
−=−−=
−
+=
=−−=
−=−=−=
+=
=−=
+=−=+−=
−−=
−=−−=
−==+=
−+=
=+−−+−=−=
−=
−
+−+
+−+
−+−
32
32
32
35
37
313
1
33
32
31
2313
2212
2111
114
22325371312
31
det1
:
22325371312
2272513
3312
:
2021042
20210
32
73411
34
2)1210(5342
3305310
59147332
3307310
13)1528(7534
12577511
3010901214514
302
753110
342
753110
342)4
AAdjA
A
Finalmante
AAdj
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
ASea
A
T
90
−
−−=
−−−
−−==
−−−
−=
−−−
−=
=
+=
−=
−=
=−=
+=
=
−==
+=
−=
−
+=−=
−
−=
−=−−=
−
−=−=−−=
−
+=
−=−−=−
=
−
=
−
−
+−+
−+−
+−+
21
41
21
41
61
41
31
1
1
33
32
31
2313
2212
2111
00
630630234
121
det1
:630630234
662333
004
:
62023
62013
2242212
31023
01020
310
130
1020
31211
12422
1122
1266122
003
110220123
110220123
)5
AAdjA
A
Finalmante
A
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
ASea
A
T
91
( )
2)2(0200
101
221100001
2)20(200
101
021100101
3)21(021
0
101
021110101
2))2(0(21
0
200
022110100
4)22(202
101
221100
121
4)2(2202
101
021100021
1)21(211
101
021110011
6442211
202
222110112
1046)4(100)6(1))2(2(100))4(2(1
202
101
221100
1211
202
101
021100021
0
211
101
021110011
0211
202
222110112
1
0221110001211001
)6
24
23
22
21
14
13
12
11
=−−=
−−+=
=−−=
−=
=−−−=
−−
−−+=
−=−−−=
−−
−−−=
=−−−=
−
−−
−−=
=−−=
−−+=
=−−=
−−
−
−−
−−=
=−−=
−−
−−−+=
=+=−−+−=−−−+−−−=
−
−−
−−
−−+
−−
−
−−
−−
−−
−−−=
−
−−
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
A
A
A
A
A
A
A
A
92
−−−
−−−
=
−−−
−−−
==
−−−
−−−
=
−−−−−
−=
−=
−
−−+=
−=−−=
−−−=
=−+=
−−
−−+=
=−−−=
−−−=
=−−−=
−
−−−=
−=−−=
−−+=
−=−−=
−−
−−−=
−=−−=
−−+=
−
−
51
53
51
52
51
52
51
52
51
101
103
101
51
53
51
53
1
1
44
43
42
41
34
33
32
31
26242424
21312626
101
det1
;
26242424
21312626
2222641622324416
2020
011
100121001
2)02(020
011
100021101
2011110
011
110011101
2)02(110
020
110012100
6)24(220
111
221121001
422220
111
021021101
1)12(210
111
021011101
6242
10
220
022012100
AAdjA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
93
3.7 EJERCICIOS. Calcule la matriz inversa por el método de la Matriz Adjunta.
−−−−−−−
−−
−=
=
−=
−=
−−−
−=
−
−=
−−−−
−=
−=
−
=
−
−=
=
−
−
−
−
166791446067743615
12513430962295881129
:Re
2632106409874536
)7
020608463
)6
21:Re416)5
835432126
)4
58301945675312397
:Re831327368
)3
62)2
3564
:Re4563
)1
65111
78
98145
14117
730
1457
211
294187
1429
193981
25
78
23
79
31
76
31711
23
92
1
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
94
3.8 SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A TRAVES
DE LA INVERSA.
Teorema. Si A es una matriz invertible de nxn , entonces para cada matriz Bde lxn , el sistema de ecuaciones BAX = tiene exactamente una solución,dada por:
BAX 1−=
Ejemplo: Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
1783352532
31
321
321
=+=++=++
xxxxxxxx
En su forma matricial, el sistema se puede escribir como BAX = , donde
=
=
=
1735
801352321
3
2
1
Bxxx
XA
Una vez que se muestre que A es invertible, que:
−−−−
−=−
1253513
916401A
Por el anterior teorema, la solución del sistema es
−=
−−−−
−== −
211
1735
1253513
916401BAX
Es decir, 2,1,1 321 =−== xxx .
95
3.8 EJEMPLOS. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a
través de la inversa.
=
−+
==
−
=
− →
−−
→
−
=−=+
=
++
=
−==
−−
=
−−
→
−−
→
−−
=−−=−
−
=
−
=
−−
=
−
==
=
→
− →
−
−
−=+−=−
−→
−
+−−
+−
−→
−
++−
→
−→
−
++
515
19
57
58
57
512
1
51
52
51
53
1
51
52
51
53
122
212
21
21
9146
19
98
96
38
63
1
91
92
31
61
1
91
92
31
61
1232
21
241
21
21
727
11
727
11
76
74
79
720
72
71
73
75
1
72
71
73
75
1
72
71
73
75
122
2121
2723
211
21
21
74
1001
1201
5011
1001
3211
7324)3
83
1001
120
9031
1001
3462
834362)2
:
34
:,
:tantoloPor
1001
10
01
1001
5132
:35
432)1
51
91
21
2372
21
bAx
A
xxxx
bAx
A
xxxx
x
tieneseFinalmente
bAx
entoncesA
ientecorrespondescoeficientdematrizlaDexxxx
RRR
RR
RRR
RRIR
RRR
RRR
96
−=
−+−+−−
+−=
−+−+−−
+−==
−−−−−
=
−−−−−
→
−−−
−
→
−−
−− →
−−−
−−
=−−=+−
=−−
=
+−++−
−−=
−
−−−−
−==
−−−−
−=
−−−−
− →
−−
−
−−
→
−−
−−− →
−−
−=−−=++
=++
−→
−
+−+−
−
+−+
+−+−
−→
−
+−+
−
++−
+−+−
2525
29
245
292451
21
21
21
25
23
211
21
21
21
25
23
21134
2353
3212
312213
321
321
321
51
52
51
53
52
51
1
51
52
51
53
52
51
1
51
52
51
53
52
51
13223
3
32212
31212
321
321
321
2
81241
18160
9162
81241
18160
210
210
100010001
111013012
200510401
102013001
310510111
100010001
112223111
92162232)5
210
123133
213
553
111
111
111
100010001
125012013
500110201
101012001
320110111
100010001
211132111
52532
3)4
21
51
bAx
A
xxxxxxxxx
bAx
A
xxxxxx
xxx
RRRR
R
RRRR
RRRR
RRRR
R
RRRR
RRRR
97
=
−−
−−−==
−−
−−−=
−−− →
−−−
−
→
−−
−−
− →
−−
−
−=+−−=+−
=−+
−→
−
++
−
++−
−
+−+−
241837241901241662
24126
24111
2413
24111
24151
2418
2413
2418
24146
1
24126
24111
2413
24111
24151
2418
2413
2418
24146
1
24126
24111
2413
24111
24151
2418
2413
2418
24146
1323
3
2611
262
265
261
261
265
262412611
263
3212
2
515151
551
511
511
526
51
51
3121
1
321
321
321
309
14
309
14
100010001
100
001001
100100
001
100010001
1021251115
30102925145)6
2632611
24126
511
51265
51
bAx
A
xxxxxxxxx
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
R
98
−
−=
−−−−
−−−−
==
−−−−
−−−−
=
−−−−
−−−−
→
−−
−−−
−
− →
−−−
−
−−
−−
→
−−
−−−
−−− →
−−−−
−
=−+−−=−+=−+=++
−
−
+−+
+−
−
++−+
+−+
+−−
++−+−
18301655181859
110
1813
611
94
95
61
21
31
32
185
67
95
94
92
34
94
95
1
1813
611
94
95
61
21
31
32
185
67
95
94
92
34
94
95
1
1813
611
94
95
61
21
31
32
185
67
95
94
92
34
94
95
1424
344
1333
138
1310
131
133
137
136
135
133
1310
134
135
1318133135
134
13102364333
3
427323
1222
414312213
4321
321
421
321
452
10
452
10
1000010000100001
1000
000100010001
10717013700130025
9330031300161021001
1004010200130001
2970053016100221
1000010000100001
2114011210530221
424522531022)7
134
135
133
1813
131
bAx
A
xxxxxxx
xxxxxx
RRRR
RRR
RRRRRR
R
RRRR
RRR
RRRRRR
99
−
=
−−−−−−
−−
==
−−−−−−
−−
=
−−−−−−
−−
→
−
−−−−
−−−
→
−−
−−
−−−−−
→
−−−−−
− →
−−−
=+++=−+=+−−=+++
−→
−
+−++
−
+−++
++−
+−−
+−+
261517
261937297126141
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
1
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
1
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
142434
4
1959
196
1954
197
192
191
1912
192
191
1913
191
199
1926119111927
1953
132343
3
74
723
72
71
72
71
71
74
772
759
711
719
146
712
712
713
42232
122
2121
23
27
23
21
41621
1
4321
432
321
4321
51084
1000010000100001
1000
000100010001
10010000
00001001
10030100001000
85202110
6011
1000010000100001
11162110
05413212
5461028544322)8
1953
19271911
26119
713
712759197
2172
21
bAx
A
xxxxxxx
xxxxxxx
RRRRRR
R
RRRRRR
R
RRRR
RRR
RRRR
R
100
3.8 EJERCICIOS. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales através de la inversa.
5248698761202236594588195541223426305113)8
78523369719641
255636,,:Re4521278)7
3010925598245236145)6
9625152116258713
,,:Re14632384)5
25315438201412)4
65,:Re42)3
887369)2
45,:Re856)1
4321
4321
4321
4321
4321
4321
101679108998
4421
13557211447339
3101679163417
2406716746485
1321
321
321
321
321
321
6294680
32692086
26294186
1321
321
321
321
21
9516
2926
121
21
21
2165
205104
24171
121
−=+++=−++−=++−=−−−−
−=−+−−=+−+−
=−=−+
−=−==−=++
=++−−=++−
=−+
=+−=−−
=−=−==−+−
−=++−−=−+
=++−
=+−
=−=−=+−
=+=+
=−−
−=−==+−
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxspuestaxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxxspuestaxxx
xxxxxxxxx
xxxxspuestaxx
xxxx
xxxxspuestaxx
101
3.9 SOLUCIÓN DE DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR LAREGLA DE CRAMER
Regla de Cramer: Sea una matriz de n x n y suponga que det 0≠A Entoncesla solución única al sistema bAx = esta dada por:
DDx.................
DDx...,.........
DDx,
DDx n
ii
i ==== 22
2
11
Demostración. La solución Pero.bAxesbAx 1−==
==−
nnnn
n
n
b
bb
AAA
AAAAAA
DbAadj
DbA
ΜΛ
ΜΜΜΛΛ
2
1
213
22212
12111
1 1)(1
Ahora bien (Adj A) b es un n-vector cuya componente j es:
njnjj
n
njjj AbAbAb
b
bb
AAA +++=
ΛΛΜ
Κ 22112
1
21 ).(
Considere la matriz jA :
=
nn
n
n
nn
j
a
aa
baa
baabaa
AΜ
Λ
ΛΛ
ΛΜΜΜ
ΛΛ
2
1
213
22212
12111
Si se expande el determinante jA respecto a su columna j, se obtiene:
( ) ( ) ( )nnj bdecofatorbbdecofatorbbdecofactorbD +++= ΛΛ2211
Pero para encontrar el cofactor de 1b se elimina el renglón i y la columna de jde jA . pero la columna j de jA es b, y se elimina se tendrá simplemente elmenor ij de A entonces:
ijji AAenbdeCofactor =
102
3.9 EJEMPLOS. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla
Cramer.
−=
===−=−==
=−=−
−=−=−−=
−==+=
−=
=+−−=+
−−
=
−=−==−=−==
−=−−=−
=
−=−=−
−=
=+=−
=
−=+
=−
=
======
=−===+=−
==+=−
=
−=+=−
→
→
→
35
329875
29145
87794477
121451414
44731
292184732
47471323
5011648103
50117611
103310010810
1124310
8
303
10
1038102
23
1015
21
105
150155403
5502510
10462413
324031
22
11
21
21
21
5011648501176
16501
22
16501
11
832
2702
7
1
16501
1621
83
27
2183
227
1
2321
22
11
21
21
21
X
,AAx,
AAx
AAA
xxxx)
X
,AAx,
AAx
A
A
A
xxxx)
X
,AAx,
AAx
AAA
xxxx)
103
( )
( )
( )
( )
−=
==−=====
=+=+−−+=−−
=
−=−−=+−+−=−−
=
=−=+−+==
=−=++−−−=−−
=
=++−=++
=++
→
523529
13
22
11
3
2
1
321
321
321
7
523,
529,7
535
23121121474107
112
311021722
2923621217107
112
311101172
3594472242122
107
311120127
5611622212122
112
311121122
1302722)4
X
AA
xAA
xAA
x
A
A
A
A
xxxxxxxxx
104
( )
( )
( )
( )
−=
−=−===−−
===−−
==
=++−−++−=−−=
−=+−−+−=−=
−=+−−−+−−=−−−=
−=+−−−+−−=−−−=
=+=−−
=++
→
352
3575,5
25125,2
2520
7533209636404422
1
832
1128523612
12590664033144501156
832
5118356
162
5025362210336022
1
1156
5211325
116
251512166242022
1
832
528323
112
11528523
62)5
13
22
11
3
2
1
321
321
321
X
AA
xAA
xAA
x
A
A
A
A
xxxxxx
xxx
105
( )
( )
( )
−=
−=−===−−
===−−
==
=++−−++−=−−=
−=+−−+−=−=
−=+−−−+−−=−−−=
−=−+=+−−++=−−
−=
=+−=+
=−+
→
352
3575,5
25125,2
2520
7533209636404422
1
832
1128523612
12590664033144501156
832
5118356
162
5025362210336022
1
1156
5211325
116
2521)520(1001
01
012
510101112
15242)6
13
22
11
3
2
1
32
31
321
X
AA
xAA
xAA
x
A
A
A
A
xxxxxxx
106
3.9 EJERCICIOS. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla
Cramer.
8926723233825745633)6
:Re
3082491597101657424035)5
152784319562)4
:Re
4218645251230974)3
2293575)2
2148
:Re3062
2484)1
4321
321
4321
421
8424011
842933
4211500
4213749
4321
432
4321
4321
321
31
321
8202631
4139
16404677
321
321
321
21
21
21
21
=−−+=++−=++−=−−
−
−=
−=−−−−=−+
=++−=+−−
=−+=+=−−
−=
=−−
=−+=−+
=+=−
−
==−−
=+
→
→
xxxxxxx
xxxxxxx
Xspuesta
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Xspuesta
xxxxxxxxx
xxxx
Xspuestaxx
xx
107
4. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos,llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicaciónpor un escalar que satisfacen los 10 axiomas o propiedades siguientes.
Propiedades de un Espacio Vectorial.
1) Si Vx∈ y Vy ∈ , entonces Vyx ∈+ (cerradura bajo la suma).
2) Para todo yx, y z en )()(, zyxzyxV ++=++ (ley asociativa de lasuma de vectores).
3) Existe un vector V∈0 tal que para todo xxxVx =+=+∈ 00, (el 0 sellama vector cero o idéntico aditivo).
4) Si Vx ∈ , existe un vector x− en V tal que 0)( =−+ xx ( x− se llamainverso aditivo de x ).
5) Si x y y están en V , entonces xyyx +=+ (ley conmutativa de lasuma de vectores).
6) Si Vx ∈ y α es un escalar, entonces Vx ∈α (cerradura bajo lamultiplicación por un escalar).
7) Si x y y están en V y α es un escalar, entonces xyyx ααα +=+ )((primera ley distributiva).
8) Si Vx ∈ y α y β son escalares, entonces xxx βαβα +=+ )( (segundaley distributiva).
9) Si Vx ∈ y α y β son escalares, entonces xx )()( βαβα = (leyasociativa de la multiplicación por escalares).
10) Para cada vector Vx ∈ , xx =1
Nota: no es difícil demostrar que el idéntico aditivo y el inverso aditivo en unespacio vectorial son únicos.
En la práctica, verificar los diez axiomas puede ser tedioso. En adelante severificarán solo aquellos axiomas que no son obvios.
108
4.1 EJEMPLOS. Determine si el conjunto dado, junto con las operacionesespecificadas de multiplicación y adición por escalares son un espaciovectorial.
1) El conjunto de todos los vectores en 2R de la forma
xx
en las operaciones
vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares.
Solución:
.,,tan
1)10
)9
)()8
)7
)5
0)4
0)3
)2
)6
)1
:
;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoelcomotoloPor
xx
xx
xx
dcxx
dc
xx
dxx
cxx
dc
xx
cxx
cxx
xx
c
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
cxcx
xx
ccu
xxxx
xx
xx
vu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicandoxx
vxx
u
=
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
−+
=+
+
+
=
+
+
=
=
++
=
+
=+
=
=
109
2) El conjunto de todos los vectores
yx
en 2R con 0,0 ≥≥ yx con las
operaciones vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalar.
Solución:
.
0,0)0(,
)6
)1
:
;
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesnoqueconcluyesequeloPor
yxcondicionlacumplesenoycuadranteprimerelenubicasenoyaresultadoelcnegativosvalorestomacsiqueYa
cumplelanocycx
yx
ccu
cumplelasiyyxx
yx
yx
vu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicandoyx
vyx
u
≥≥<
=
=
++
=
+
=+
=
=
110
3) El conjunto de todos los vectores
yx
en 2R con ,0≥xy (es decir en el
primer o tercer cuadrante) con las operaciones vectoriales habituales deadición y multiplicación por escalar.
Solución:
..,,tan
1)10
)(
)9
)(
)()8
)7
)5
0)4
0)3
)2
00
)6
)1
:
;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoelcomotoloPoryx
yx
cuadranteterceroprimerelenubicaseresultadoelnegativoopositivaescddecionmultiplicalasi
yx
dcyx
dc
cuadranteterceroprimerelenubicaseresultadoelnegativoopositivaesdcdesumalasi
yx
dyx
cyx
dc
yx
cyx
cyx
yx
c
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
cuadrantetercerelenubicaseresultadoelcSicuadranteprimerelenubicaseresultadoelcSi
cycx
yx
ccu
cuadranteterceroprimerelenubicaseresultadocomoyyxx
yx
yx
vu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicandoyx
vyx
u
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
−+
=+
+
+
=
+
+
<>
=
=
++
=
+
=+
=
=
111
4) El conjunto de todos los vectores en 2R de la forma
zz
con la operaciones
habituales de adición y multiplicación por escalares.
Solución:
vectorialespaciounesnotolopornteoriginalmedadoconjuntoalrespectoconformasuCambia
zz
icbcaicbca
icbcaicbca
cu
cconpero
cumplesesiicbcaicbca
ibacibac
zz
ccu
cumplesesibbiaabbiaa
ibaiba
ibaiba
zz
zz
vu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicandozz
vzz
u
tan,
)()(
0)()(
)6
)()()()(
)1
:
;
1
1
2121
2121
22
22
11
11
2
2
1
1
2
2
1
1
−−
=
−−+−
=
+−−−
=
<
−+
=
−+
=
=
+−++++
=
−+
+
−+
=
+
=+
=
=
5) El conjunto de matrices de la forma
+
+10
01a
aen 22M . Con las
operaciones vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares.
Solución:
.tan.
2)(002)(
2002
1001
1001
)1
1001
;10
01
21
21
21
21
2
2
1
121
2
22
1
11
vectorialespaciounesnotoloPornteoriginalmedadasmatricesdeconjuntoaloconrespectcambiaestructuratalqueloPor
aaaa
aaaa
aa
aa
MM
aa
Ma
aM
++
++=
++
++=
+
++
+
+=+
+
+=
+
+=
112
6) El conjunto de matrices diagonales de 33x bajo la suma y multiplicación dematrices por escalares.
Solución:
+
=
+
=
−+
=+
+
+
=
=
+
+
=
=
++
+=
+
=+
=
=
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
000000
000000
000000
000000
)5
000
0000
000000
)4
000000
000
0000
)3
000000
000000
000000
000000
000000
000000
)2
000000
000000
)6
000000
000000
000000
)1
000000
;00
0000
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
caca
ca
aa
accM
aaaa
aa
aa
a
aa
aMM
aa
aM
aa
aM
113
.tan
000000
000000
1)10
000000
000000
)9
000000
000000
000000
)()8
000000
000000
000000
000000
)7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
vectorialespaciounesyaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoeltoloPor
aa
a
aa
a
aa
adc
aa
adc
aa
ad
aa
ac
aa
adc
aa
ac
aa
ac
aa
a
aa
ac
=
=
+
=
+
+
=
+
4.1 EJERCICIOS. Determine si el conjunto dado, junto con las operacionesespecificadas de multiplicación y adición por escalares son un espaciovectorial.
1) { }realesyxyyx ,;0:),( ≤ con la suma de vectores y multiplicación porescalares usuales.
RESPUESTA: No constituye un espacio vectorial porque no cumple laspropiedades (4) y (6), solo se cumple si 0<c para la propiedad (6).
2) El conjunto de todos los vectores
yx
en 2R con yx ≥ con las operaciones
vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares.
3) El conjunto de los vectores en 3R de la forma
xxx
con la operaciones
habituales de suma y multiplicación por un escalar.
114
RESPUESTA: Si constituye un espacio vectorial porque cumple con las diezpropiedades.
4) Los vectores en el plano que están en el primer cuadrante con laoperaciones habituales de suma y multiplicación por un escalar.
5) El conjunto de todas las matrices triangulares superiores de 22x con lasoperaciones matriciales habituales de adición y multiplicación por escalares.
RESPUESTA: Si constituye un espacio vectorial porque cumple con las diezpropiedades.
6) El conjunto de las matrices de 22x que tienen la forma
0
0b
a bajo la suma
y multiplicación por escalares usuales.
115
4.2 SUBESPACIOS VECTORIALES
Definición. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V ysuponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma ymultiplicación por un escalar definidas en V . Entonces se dice que H es unsubespacio de V .
Nota: se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espaciovectorial “padre” V .
Propiedades de un Subespacio Vectorial
1) Si Hx∈ y Hy ∈ , entonces Hyx ∈+
2) Si Hx∈ , entonces Hx ∈α para todo escalar α .
Las propiedades anteriores contienen un hecho que por su importancia mereceque se le haga mención explícitamente:
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0 o elementonulo.
Este hecho con frecuencia facilita ver si un subconjunto de V en particular noes un subespacio de V . Es decir si un subconjunto no contiene al 0 , entoncesno es un subespacio. Note que el vector cero en H , un subespacio de V , es elmismo que el vector cero en V .
4.2 EJEMPLOS. Determine en los siguientes ejercicios si W es un subespaciode V .
1)
3
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
21
2
2
2
1
1
1
3
tan,
000
0;0)3
00)2
000)1
0;0
0;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
a
aacon
ca
ca
a
accW
aa
aa
a
a
a
aWW
a
aW
a
aW
a
aWRV
=
=
=
=
=
+
+=
+
=+
=
==
116
2)
cerraduraladepropiedadlaconcumplenoaa
aaaa
aaaa
aa
aaaa
aa
aaa
aaa
WW
aaa
Wa
aa
W
aaa
WRV
+++−
+=
+++−
+=
+++−−
+=
+−+
+−=+
+−=
+−=
+−=
2)(2)(
222)(
)12()12(1212)1
12;
12
12;
21
21
21
21
21
21
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
3
( )
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
tan
.100
;0)3
121212)2
RVdesubespaciounesnoWtolopor
nuloelementoelconcumpleNoacon
caccaca
accaca
aaa
ccW
=
=
+−=
+−=
+−=
3)
{ }
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
211
211
212
212
222
1121
2222
2111
22
tan,000;0)3
)2
)1
;
;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontienexxcbcon
xccxcbxcxbccW
ccxbbxxcxbxcxbWW
xcxbWxcxbW
cxbxWPV
==+==
+=+=
+++=+++=+
+=+=
+=
117
4)
( ) ( )
( ) ( )
( )
3
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
2121
21
21
2211
21
21
2211
21
21
22
2
2
11
1
1
21
22
2
2
2
11
1
1
1
3
tan
.100
1;0)3
111)2
.2,
22
1111)1
1;
1
1;
RVdesubespaciounesnoWtolopor
nuloelementoelconcumpleNoba
ba
bacon
ccbcacbca
baccbca
baba
ccW
originalosubconjuntdelelementoaligualesnoqueyacerraduraladepropiedadlaconcumpleno
bbaabbaa
bababbaa
bababbaa
baba
baba
WW
baba
Wba
ba
W
baba
WRV
=
=
++==
++=
++=
++=
++++++
=
++++++
=
+++++++
=
+++
++=+
++
++=
++=
118
5)
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
3
tan,
000
;0)3
)2
)1
;
;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
aba
bacon
accbca
aba
ccW
aabbaa
aba
aba
WW
aba
Waba
W
aba
WRV
=
=
==
=
=
+++
=
+
=+
=
=
=
6)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2121
2121
22
22
11
1121
22
222
11
111
22
tan
0000
2;0)3
22)2
2
2222)1
2;
2
2;
MVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
abba
bacon
accbcbca
abba
ccW
aabbbbaa
aabbbbaa
abba
abba
MM
abba
Mabba
M
abba
WMV
=
=
==
=
=
++
++=
++++
=
+
=+
=
=
119
7) Determine si W es un subespacio de V .
{ }
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2111
2111
2111
2111
2111
2
2
222111
212
2121
2222
211121
22222
21111
22
tan,
0000;0)3
,224
2,2,4:)2
tan;05510:,,
5510323264
:0tan3,3,6;2,2,4:
)1
;
0;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
xxcbaconxcxba
cdevalorcualquierporndomultiplicainicialcondicionlaconcumpliendosigue
cxcxccbapara
xccxcbcaxcxbaccW
cerraduraladepropiedadlaconcumpletolopordeinicialcondicion
laconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdandoxx
xxtienesecbacondicionladorespe
cbacbaparaccxbbxaa
xcxbaxcxbaWW
xcxbaWxcxbaW
cbaparacxbxaWPV
=
=++===++
−−=
−=−==++=++=
=−−
−−=
−−+−−++=
=++−=−==−=−==
+++++=
=+++++=+
++=++=
=++++=
120
8)
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2
11
11
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2211
2211
22
22
11
1121
22
222
11
111
2
tan,
00
2;0)3
222)2
2
2222)1
2;
2
2;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
baba
bacon
cbcacbca
bacbac
baba
ccW
bbaabbaa
babababa
baba
baba
WW
baba
Wba
baW
baba
WRV
=
=
+
−==
+−
=
+−
=
+−
=
+++
+−+=
+++
−+−=
+−
+
+
−=+
+−
+−
=
+
−=
121
9)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
4
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2121
2121
2211
2211
2211
2211
22
22
22
22
11
11
11
11
21
22
22
22
22
2
11
11
11
11
1
4
tan,
0000
;0)3
)2
)1
;
;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
addccbba
dcbacon
cacdcdcccccbcbca
adcdcccbcbac
addccbba
ccW
aaddddccccbbbbaa
adaddcdccbcbbaba
addccbba
addccbba
WW
addccbba
W
addccbba
W
addccbba
WRV
=
=
−−−−
====
−−−−
=
−−−−
=
−−−−
=
+−++−++−++−+
=
−+−−+−−+−−+−
=
−−−−
+
−−−−
=+
−−−−
−−−−
=
−−−−
=
122
10)
{ }
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2111
2111
11
22111111
2111
2111
21212
21
2
2222111
21
2
2
222111
212
2121
2222
211121
22222
21111
22
tan,
0000;0)3
0,
3043403,0,4:3,4,0:
)2
.20:
0tan;0)8)(0)(7(:
,,807
5300435,0,4;3,0,3:
0tan;0)8)(7)(0(:
,,870
5334005,3,0;3,4,0:
)1
;
0;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
xxcbaconxcxba
badevalorcualquierporndomultiplicainicialcondicionlaconcumpliendosigue
cxcxccxcxccbaconycbapara
xccxcbcaxcxbaccW
gradodepolinomiounserianoyaqueporccdevalordarpuedesenoccxconNOTA
bbconcerraduraladepropiedadlaconcumpletolopordeinicialcondicion
laconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdandox
xxcbacbapara
aaconcerraduraladepropiedadlaconcumpletolopordeinicialcondicionlaconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdando
xxxx
cbacbaparaccxbbxaa
xcxbaxcxbaWW
xcxbaWxcxbaW
abcparacxbxaWPV
=
=++===++
==
++=++=
======++=++=
==+
===
++=
+++++=
========
=
++=
+++++=
======+++++=
=+++++=+
++=++=
=++=
123
4.2 EJERCICIOS. Determine en los siguientes ejercicios si W es unsubespacio de V .
bcadpara
MVdesubespaciounesnoWspuestadcba
WMV
aa
WRV
RVdesubespaciounessiWspuestaa
aWRV
ccbca
WRV
RVdesubespaciounessiWspuestaa
WRV
≥
=
=
+=
=
−=
+−
=
=
=
2222
2
33
3
22
:Re;)5
1;)4
:Re20;)3
5;)2
:Re0
;)1
)6 El conjunto de todos los vectores 3R cuyo primero y último componente soncero.
)7 El conjunto de todos los vectores 4R cuyos primeros tres componentes soncero.
4:Re RVdesubespaciounessiWspuesta =
+=
001
;)8 22
aaWMV
)9 El conjunto de todos los polinomios de grado 3; WPV ;3=
3:Re PVdesubespaciounesnoWspuesta =
)10 El conjunto de las matrices diagonales de nxn ; WMV nn ;=
124
4.3 INDEPENDENCIA LINEAL
Definición. Un conjunto de vectores
→→→
kvvv ....., 21 de un espacio vectorial V
es linealmente dependiente si existen escalares kccc ....., 21 , al menos uno de loscuales no sea 0 , tal que:
→→→
=+++ 0........2211 kk vcvcvc
Un conjunto de vectores no linealmente dependiente se dice que eslinealmente independiente (linealmente dependiente: al menos uno de losvectores es combinación lineal de los otros).
4.3 EJEMPLOS. Determine si los siguientes conjuntos son linealmenteindependientes o dependientes.
1)
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )edependientelinealmentesconjuntoelaigualesresultadoelcomo
xxxxxxinspeccionporomnescalaresstales
xxxxxx
xxcxxcxxcqueformatalde
cccescalaresexistenqueyaedependientelinealmentesvvvsea
0031311
:,31,31,1
031311:
,,,,
222
222
23
22
21
321321
=−+−+−−++=
−++−++=
=−+++−+++
→→→
2){ }
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
nteindependieelinealmenteslconjuntoedediferenteesanteerelcomo
cccimplicaestocc
cccc
implicaEsto
xccxccccagrupandoxcxxcxcentonces
nteindependieelinealmentesxxxxsieDeter
,0mindet
2011011110011101
0:000
:
0:
011:
1,,1min
321
32
21
31
2322131
23
221
22
=−+−=
======
+++
+
=+++++
=+++++
+++
125
3)
( ) ( ) ( ) ( )edependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
dcba
cccc
dcba
cccccccc
ccccc
dcba
cccc
nteindependieelinealmentessieDeter
,0mindet041216418043161
112312
2011
712112
0010
712132
0213
711131
0201
71121312
02011031
72322
3
7101
1320
1103
2211
7101
,1320
,1103
,2211
min
4
3
2
1
4321
4321
31
421
4321
=−−=−++−−−=
−−+
−−+
−−−−
−−−=
=
−−−
−−
====
+++−−+−
+−+−
=
−−
+
−
+
+
−−
−−
−
−−
−+−+
4)
{ }
( )
nteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelcomo
cc
x
matricialformaEncbxa
generalformaEn
PVenxx
,0mindet
1101110
11110
:
:
1,
2
1
1 1
−=−=
=
=+
=+
126
5){ }
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
nteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelcomo
cba
ccc
cba
ccccccc
cxbxaxccxcccccxcxccxccxcc
xxcxcxcPVenxxxx
,0mindet1111
0110111011001
11011
11110
1
110101111
1
1111,1,1
3
2
1
32
31
321
223231321
2333
22211
23
221
222
=+−=
=−+−−−−=
+
−−
−=
=
−
===
++−++
++=++−+++=
+−++++=
+−++++
=+−++
+−+
4.3 EJERCICIOS. Determine si los siguientes conjuntos es linealmenteindependiente o dependiente.
{ }
{ }edependientelinealmentesspuesta
PVenxxxxx
PVenxxxxxx
edependientelinealmentesspuesta
RennteindependieelinealmentessieDeter
MennteindependieelinealmentessieDeter
nteindependieelinealmentesspuesta
MennteindependieelinealmentessieDeter
:Re23,2,)5
2,1,,2)4
:Re
724
,412
min)3
5131
,3311
,2432
min)2
:Re
2301
,0111
,10
11min)1
222
33232
3
22
22
=+−
=+−+−
−
−
−
−
−
−
−
127
4.4 BASES VECTORIALES.
Definición. Un subconjunto β de un espacio vectorial V es una base para Vsi:
1.- β genera a V2.- β es linealmente independiente.
4.4 EJEMPLOS. Determine si los siguientes conjuntos constituyen una base.
1){ }
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
32
21
31
22322131
223
221
222
tan,,0mindet
2011011110011101
:
:
11
1,,1
PVparabaseunaestolopornteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelomoc
dondede
cba
cccc
cc
ladosambosenpotenciasIgualando
cxbxaxccxcccc
cxbxaxcxxcxc
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
=
=−+−=
===
+++
+
++=+++++
++=+++++
=+++=
β
β
128
2)
( ) ( ) ( ) ( )
22
4
3
2
1
431
432
432
431
4321
22
tan,0mindet
422421210041101110110
1101
110110
1111
110110
0110
111111
1
1101111011101101
1111
1111
0110
1001
1111
,1111
,0110
,1001
MVparabaseunaestolopornteindependieelinealmenteselconjuntodediferenteesanteerelcomo
dcba
cccc
dcba
cccccccccccc
dcba
cccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
=
=+−=−−−+−=
−−
−
−+
−−
−
−=
=
−
−
====
−++++++−++
=
−
+
+
−+
=
−
−
=
−+−+
β
β
3)
( ) ( ) ( ) ( )
22
4
3
2
1
431
42
32
431
4321
22
tan,0mindet
011211111021
101010110
1101110010
1111100010
0110101011
1
1101101001101101
1101
1011
0110
1001
1101
,1011
,0110
,1001
MVparabaseunaesnotoloporedependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
dcba
cccc
dcba
ccccc
ccccc
dcba
cccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
=
=++−=−−+−−=
−
+
−
=
=
====
++++
+++
=
+
+
+
=
=
−+−+
β
β
129
4)
( ) ( ) ( ) ( )
22
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
4321
22
tan,0mindet
007050301
642531642
7842731842
5862751862
3864753864
1
8642753186427531
86427538642753
8787
6565
4343
2121
8787
,6565
,4343
,2121
MVparabaseunaesnotoloporedependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
dcba
cccc
dcba
cccccccccccccccc
dcba
cccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
=
=−+−=
−
+
−
=
=
====
++++++++++++
=
+
+
+
=
=
−+−+
β
β
5){ }
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
32
31
21
22323121
2233
22211
223
221
222
tan,0mindet
0011
010011101110101011
:
11
,1,1
PVparabaseunaesnotoloporedependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
ò
cba
cccc
ccladosambosenpotenciasIgualando
cxbxaxccxcccccxbxaxcxcxccxcc
cxbxaxxcxcxc
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
=
=+−=
−+−−+=
−−−
===
−−+−
+
++=−−++−++
++=−+−+−
++=−+−+−
=−−−=
β
β
130
4.4 EJERCICIOS. Determine si los siguientes conjuntos constituyen una base.
{ }
{ }
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
PVparabaseunaesxxqueDemuestre
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
MVparabaseunaesqueDemuestre
MVparabaseunaesqueDemuestre
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
MVparabaseunaesqueDemuestre
:Re
2,3,2,1)5
321,1)4
:Re
1010
,0101
,0110
,1001
)3
1111
,0110
,1011
)2
:Re
1332
,1331
,2112
,1221
)1
222
22
22
22
22
=+−−=
=++=
=
=
=
−
−
=
=
−
=
β
β
β
β
β
131
4.4.1 CAMBIO DE BASE.
En 2RV = se expresan vectores en término de la base ( )
=
10
,01
, ji . Así
como también, para 3RV = se expresan vectores en términos de la base
( )
=
100
,010
,001
,, kji .
Pero en ocasiones se puede trabajar en alguna otra base y para lo cual existein numero infinito de bases para escoger, ya que en un espacio vectorial dedimensión n cuales quiera n vectores linealmente independientes forman unabase.
Para el caso de 2RV = , sean
=
=
10
01
21 uyu . Entonces { }211 ,uu=β es una
base canónica en 2R . Sean
−=
=
→→
21
31
21 vyv . Como→→
21 vyv son linealmente
independientes (por que→
1v no es múltiplo de→
2v ), entonces
=
→→
212 ,vvβ es
una segunda base en 2R . Sea
=
→
2
1
xx
x un vector en 2R . Esta notación
significa que:
2211212
1
10
01
uxuxxxxx
x +=
+
=
=
→
Es decir→
x esta expresado en términos de los vectores de la base 1β . Es decir:
=
→
2
11 x
xx β
Como 2β es otra base en 2R , existen escalares 21 cyc tales que:
2211
→→→
+= vcvcx
Encontrando a 21 cyc , se tiene:
=
→
2
1
2cc
xβ
Lo que significa que→
x esta expresado en términos de los vectores en 2β .
132
Para encontrar 21 cyc se escribe la base anterior ( )21 ,uu en términos de la
nueva base
→→
21 ,vv . Es decir:
( )
( )Bccu
Accu
−−−−−−
−+
=
=
−−−−−−
−+
=
=
21
31
10
21
31
01
212
211
Entonces:
( )
( )
−=
+−
+=
=
+−=
+=
+−+
+=
++
−=+=
==
+=∴=→=
+=+=+−=
+=−=
=−=+=
−=∴−=→=−
+=−+=+−=−
+=−=
→
→→
→→→→→
→→
→→
2
1
1
21
2
1
212
211
221121
2122112211
21
21222
2
21
21
21
21
21
21122
2
21
21
21
21
51
53
51
52
51
53
51
52
:51
53
51
52:
51
53
51
52
51
51
53
52:
51
51
51
5151
501231330
;Re2310:
52
5311
53
52
5353
503230333
;Re2301:
2 xx
xx
xx
cc
x
tambieno
xxc
xxcEntonces
vxxvxx
vvxvvxuxuxxEntonces
cc
vvucc
ccccc
solviendoccccBDe
cc
vvucc
ccccc
solviendoccccADe
β
133
( )b
x
y
−
=−→→
43
513
52
21 vv
→
− 2513 v
→
152 v
→
1v→
2v
−=
−
−=
−
=
→
→
51352
43
51
53
51
52
:,4
3
2
1
β
β
x
entoncesxsiejemploPor
FIGURA (a) Expresión de→
v =
− 4
3 en términos de
=
10
,01
1β
FIGURA (b) Expresión de→
v =
− 4
3en términos de
−
=
21
,31
2β
A la matriz
−=
51
53
51
52
A se le llama matriz de transición de 21 ββ a .
En general, el procedimiento para encontrar la matriz de transición de una base1β a la base 2β
1) Se escribe la matriz21 ββ ←P cuyas columnas son nVVV .....,, 21
2) Se calcula ( ) 12112
−←=
← ββββPP . Esta es la matriz de transición que se busca.
x
( )a
2u
1u
y
134
4.4.1 EJEMPLOS.
1) Sea ( ) 221 xxxP −+= con { }21 ,,1 xx=β . Encuentre el vector coordenada de
( )xP con respecto a { }222 1,,1 xxxx +++=β
Los vectores coordenados de ( )xP en términos de 2β son:
( ) ( ) ( )
=+
=+
=+
101
1,110
,011
1111
22βββ xxxx
Entonces, la matriz de transición de 1β a 2β se obtiene a partir de:
=←
110011101
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−−
−=
−−
− →
−−− →
−− →
=
==
+−+
+−
+−
−
−←←
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1
100010001
111011001
200110
101
100011001
110110
101
100010001
110011101
110011101
1323
321
32
21
2112
RRRR
R
RR
RR
PP ββββ
Entonces:
( ) ( )
−=
−−−+−
++=
−
−−
−==
→−
←
102
11
1
121
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
11212
ββββ xPxP
Finalmente: ( ) 222
xxP −=β
135
2) Sea
=
=
=
→
111
,011
,101
;100
,010
,001
,513
211 βββx
Calcular 2β
→
x
Los vectores coordenados de 1β
→
x términos de 2β se obtienen de las siguientescombinaciones lineales:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
111
011
101
100
111
011
101
010
111
011
101
001
987
654
321
ccc
ccc
ccc
Este procedimiento dará a resolver 3 sistemas linealmente independientes para
encontrar a 2β
→
x . Pero es mucho más fácil utilizar el hecho de que.( ) 1
2112
−←← = ββββ PP
Los vectores coordenados de 1β en términos de 2β son:
=
=
=
111
100
;011
010
;101
001
222 βββ
Entonces:
=←
101110111
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
136
( )
−−
−=
−−
− →
−
− →
−− →
=
==
+−+−+
+−
−
−←←
111101
011
111101
011
100010001
111010011
100110001
101010001
010110111
100010001
101110111
101110111
231232
31
2112
1
1
RRRRRR
RR
PP ββββ
Finalmente:
( )
−=
++−−++−
=
−−
−==
→−
←
→
32
2
513503013
513
111101
011
1212
1ββββ xPx
137
3) Sea ( ) 2241
xxxP −−=β con { }21 ,,1 xx=β . Encuentre el vector coordenada de
( )xP con respecto a { }2222 ,,1 xxxxx +++=β .
Los vectores coordenados de ( )xP en términos de 2β son:
( ) ( ) ( )
=
=+
=++
100
,110
,111
1111
222βββ xxxxx
Entonces, la matriz de transición de 1β a 2β se obtiene a partir de:
=←
111011001
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−−=
−− →
−− →
=
==
+−
+−+−
−
−←←
110011001
110011001
100010001
101011001
110010001
100010001
111011001
111011001
32
3121
2112
1
1
RR
RRRR
PP ββββ
Entonces:
( ) ( )
−=
−++−−
++=
−−
−−==
→−
←
16
4
120024
004
12
4
110011001
1212
1ββββ xPxP
Finalmente: ( ) 2642
xxxP +−=β
138
4) Sea
−
=
=
−=
→
100
,111
,101
;100
,010
,001
,041
211 βββx
Calcular 2β
→
x( ) 1
2112
−←← = ββββ PP
Los vectores coordenadas de 1β en términos de 2β son:
=
−=
=
100
100
;111
010
;101
001
222 βββ
Entonces:
−=←
111010011
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−−=
−− →
−
− →
−=
−==
+−+
+−
−
−←←
121010011
121010011
100010001
101010001
120010011
100010001
111010011
111010011
3212
31
2112
2
1
1
RRRR
RR
PP ββββ
Finalmente:
( )
−=
+−++++−
=
−
−−==
→−
←
→
743
081040041
041
121010011
1212
1ββββ xPx
139
5) Sea
−
=
−
=
−=
→
001
,1
10
,101
;21
0,
124
,231
,241
211 βββx
Calcular 2β
→
x
Partiendo de2222
321321 2424ββββ
+
+
−=
++−=
→→→→→→→
uuuuuux
Ordenando:
−
=
→→→→
241
222
2 321βββ
β uuux
Donde:222
12321
βββββ
=
→→→
← uuuP
Por lo tanto:
435
231
001
110
101
231
3
2
1
21
2
31
3211
−===
−
+
===
+
−+
=
=
→
ccc
dondedeccc
cc
cccu
Entonces: 3211 435→→→→
−+= vvvu
123
124
001
110
101
124
3
2
1
21
2
31
3212
===
−
+
===
+
−+
=
=
→
ccc
dondedeccc
cc
cccu
Entonces: 3212 23→→→→
++= vvvu
11
1
210
001
110
101
21
0
3
2
1
21
2
31
3213
−=−=
=
−
+
==−=
+
−+
=
−=
→
ccc
dondedeccc
cc
cccu
Entonces: 3213
→→→→
−−= vvvu
140
Ordenando:
−−−=←
114123
135
12 ββP
Finalmente:
=
−+−+−++−
=
−
−−−=
→
639
2442832125
241
114123
135
2βx
6) Encuentre el vector coordenados de x con respecto a la base 2β .
221 1
111
10
01
:32
1Rendondex
−
=
=
=
→
βββ
Entonces, la matriz de transición de 1β a 2β se obtiene a partir de:
−
=← 1111
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−
=
−
→
−−
→
−
=
−
==
+−+−
+−
−−
←←
21
21
21
21
21
21
21
21
11
1001
1101
2011
1001
1111
1111
12
3221
21
2112
RRRR
RR
PP ββββ
Finalmente:
( )
−
=
−+
=
−
==→
−←
→
21
25
2323
21
21
21
21
1
11
32
1212 ββββ xPx
141
7) Sea 321
100
,110
,111
;100
,010
,001
,1
01
Renx
=
=
−=
→
ββ
Calcular 2β
→
x( ) 1
2112
−←← = ββββ PP
Los vectores coordenados de 1β en términos de 2β son:
=
=
=
100
100
;110
010
;111
001
222 βββ
Entonces:
=←
111011001
21 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−−=
−− →
−− →
=
==
+−
+−+−
−
−←←
110011001
110011001
100010001
101011001
110010001
100010001
111011001
111011001
32
2131
2112
1
1
RR
RRRR
PP ββββ
Finalmente:
( )
−−=
−+++−
++=
−
−−==
→−
←
→
11
1
100001
001
101
110011001
1212
1ββββ xPx
142
8) Sea ( ) xxP −= 21β con { }x,11 =β . Encuentre el vector coordenado de ( )xP
con respecto a { }xx += 1,2β .Los vectores coordenadas de ( )xP en términos de 2β son:
( ) ( )
=+
=
11
101
11 ββ xx
Entonces, la matriz de transición de 1β a 2β se obtiene a partir de:
=← 10
1121 ββP
Para determinar21 ββ ←P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
( )
−=
− →
=
==
+−
−−
←←
1011
1011
1001
1001
1011
1011
12
2112
11
RR
PP ββββ
Entonces:
( ) ( )
−
=
−+
=
−
−==
→−
← 13
112
12
1011
1212
1ββββ xPxP
Finalmente: ( ) xxP −= 32β
143
4.4.1 EJECICIOS. Encuentre la matriz de cambio de base21 ββ ←P de los
siguientes ejercicios.
1) Sea 221 1
1,
11
;10
,01
,32
Renx
−
=
=
=
→
ββ
Calcular 2β
→
x
− 2
125
:Re spuesta
2) Sea 221 3
2,
10
;11
,01
,1
4Renx
=
=
−
=→
ββ
Calcular 2β
→
x
3) Sea 321
510
,1
21
,003
;101
,1
10
,01
1,
41
2Renx
−
=
−
−=
−=
→
ββ
Calcular 2β
→
x
−
1171120
3386
:Re spuesta
4) Sea 321
101
,110
,011
;001
,100
,010
,523
Renx
=
=
=
→
ββ
Calcular 2β
→
x
5) Sea ( ) 211
xxP +=β con { }21 ,,1 xx=β . Encuentre el vector coordenado de ( )xP
con respecto a { }2222 ,,1 xxxxx +++=β .
2111
1:Re xxspuesta +−=
−
6) Sea ( ) xxP 311
+=β con { }xx −+= 1,11β . Encuentre el vector coordenado de( )xP con respecto a { }.4,22 x=β .
144
7) Sea ( ) 6532 231
−+−= xxxxPβ con { }321 ,,,1 xxx=β . Encuentre el vector
coordenado de ( )xP con respecto a ( ) ( ){ }322 1,1,1,1 xxx −−−=β .
( ) ( ) ( ) 1611052:Re 223 −+++−+ xxxxxspuesta
8) Sea ( ) 2321
xxxP ++=β con { }1,3,1 21 −−−= xxxxβ . Encuentre el vector
coordenado de ( )xP con respecto a { }22 ,1,23 xxxx ++−=β .
145
5. TRANSFORMACIONES
5.1 TRANSFORMACIONES LINEALES.
Las matrices pueden ser utilizadas para transformar vectores cuando actúan en
funciones de la forma
=
→→
vTw .
Una función es una transformación lineal de los números reales quetransforman números reales en números reales, por ejemplo: ( ) 2xxf = .En el caso de matrices, éstas pueden transformar un vector en 2R a 3R , porejemplo:
=
−=
→
52
340131
vyA
Entonces:
−=
++−
+=
−==
→→
232
17
15802
152
52
340131
vAw
Esto demuestra que A transforma a→
v en→
w .
De manera más general:
++−
+=
−
yxx
yx
yx
340
3
340131
La matriz A transforma un vector arbitrario
yx
de 2R en un vector
++−
+
yxx
yx
340
3
de 3R .Tal transformación se escribe como:
+−+
=
yxx
yx
yx
TA
34
3
Una transformación (o mapeo o función) T de nR a mR es una regla que
asigna a cada vector→
v de nR un vector único
→
vT de mR . El dominio de T
es nR , mientras que el contradominio de T es mR . Escribiéndose de lasiguiente forma mn RRT →: . En el ejemplo anterior, el dominio de AT es 2R ysu contradominio es 3R .
146
Definición. Una transformación mn RRT →: se denomina transformación linealsi:
1.
+
=
+
→→→→
vTuTvuT para todo→
u y→
v en nR
2.
=
→→
vcTvcT para todo→
v en nR y todo escalar c
La definición de transformación puede ser racionalizada mediante lacombinación de las dos propiedades anteriores, de la siguiente manera:
mn RRT →: es transformación lineal si
+
=
+
→→→→
22112211 vTcvTcvcvcT para
todo 1
→
v y 2
→
v en nR y escalares 1c y 2c .En el caso de las transformaciones matriciales, todas son lineales.
Definición. Sea A una matriz de nxm . Entonces la transformación matricialmn
A RRT →: definida por→→
=
xAxTA (para
→
x en nR ) es una transformación
lineal.
147
5.1 EJEMPLOS.
1) Suponer que T es una transformación lineal de 2R en 2P tal que:
22 132
3211
xTyxxT −=
+−=
Encuentre
−ba
TyT21
Ya que
=
32
,11
β es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
37
Re23
1221
32
11
2
1
21
2121 =
−==+
−=+→
−=
+
cc
solviendocccc
cc
Por lo tanto:
( ) ( )2
22
10211113327
32
311
732
311
721
xxxxx
TTTT
−+−=
−++−−=
+
−=
+
−=
−=
De manera similar:
abcbac
solviendobccacc
ba
cc−=−=
=+=+
→
=
+
2
1
21
2121
23Re
32
32
11
Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2
22
346935
13223
32
11
2332
11
23
xbaxbababa
T
xabxxba
TabTbaabbaTba
T
−++−+−=
=
−−++−−=
−+
−=
−+
−=
=
Cuando 1−=a y 2=b se tiene:
210211121
xxT −+−=
−
148
2) Sea 22: PPT → una transformación lineal para la cual:
[ ] [ ] [ ] 222 224231 xxTxxxTxT +=−=−=
Encuentre: [ ] [ ]2246 cxbxaTxxT ++−+
Ya que { }2,,1 xx=β es una base para 2P (son linealmente independientes), porlo tanto:
( ) ( ) ( ) 22321 461 xxxcxcc −+=++
Igualando coeficientes en potencias de "" x :
4;1;6 321 −=== ccc
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
[ ] 2222
22
2
22
9810884121846
2244236416411646
xxxxxxxxT
xxxxxTxTT
xxTxxT
−−=−−−+−=−+
+−−+−=
−+=
−+=−+
De manera similar:
( ) ( ) ( ) 22321 1 cxbxaxcxcc ++=++
Igualando coeficientes en potencias de "" x
ccbcac === 321 ;;
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ] 22
22
22
22
2
22
9810464;1;6
24223
2242322423
11
xxxxTcbaCuando
xcbxbacacxbxaT
cxcbxbxaxaxcxxbxa
xcTxbTTaxcxbaTcxbxaT
−−=−+
−===+−++−++=++
++−+−=
++−+−=
++=
++=++
149
3) Sea 23: RRT → una transformación lineal para la cual:
−
=
−=
=
35
100
41
010
32
001
TTT
Calcule
−54
3T
Dado que:
=
100
,010
,001
β constituyen una base (linealmente
independientes), entonces:
−=
+
+
54
3
100
010
001
321 ccc
Resolviendo:543 321 =−== ccc
Entonces:
−=
−
+
−
+
−=
−
+
−−
−=
+
−
−=
+
−
54
3
1525
164
96
54
3
35
541
432
3
54
3
100
5010
4001
3
54
3
100
5010
4001
3
T
T
TTTT
TT
−
=
−−++
=
−
2235
151692546
54
3T
150
( )( ) 3238423844
823723773211
2
4321
432
43
4
−=−+−=−−−−=−−−==−+=−−−=−−=
−=−−=−−==
ccccccc
ccc
4) Sea RMT →22: una transformación lineal para lo cual:
31111
20111
10011
40001
=
=
−=
=
TTTT
Encuentre:
− 21
74T
Dado que:
=
1111
,0111
,0011
,0001
β Constituyan una base (linealmente
independientes), entonces:
−
=
+
+
+
2174
1111
0111
0011
0001
4321 cccc
Entonces: Resolviendo:
21
74
4
43
432
4321
=−=+
=++=+++
cccccccccc
Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )
20668122174
2174
32231843
2174
1111
20111
30011
80001
3
2174
1111
20111
30011
80001
3
−=+−−−=
−
−
=+−−+−
−
=
+
−
+
−
−
=
+
−
+
−
T
T
TTTTT
TT
151
5) Sea 22: PPT → una transformación lineal para la cual
[ ] [ ] [ ] 2222 111 xxxTxxxTxT ++=−=+=
Encuentre: [ ]234 xxT +−
Ya que { }2,,1 xx=β es una base para 2P (son linealmente independientes) porlo tanto:
( ) ( ) ( ) 22321 341 xxxcxcc +−=++
Igualando coeficientes en potencias de "" x :
3;1;4 321 =−== ccc
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ] 22
22222
222
2
22
82734
8273334434
1314314311434
xxxxT
xxxxxxxxxT
xxxxxxTxTT
xxTxxT
++=+−
++=++++−+=+−
+++−−+=
+−=
+−=+−
6) Sea RMT →22: una transformación lineal para lo cual:
41111
30111
20011
10001
=
=
=
=
TTTT
Encuentre:
2431
T
Dado que:
=
1111
,0111
,0011
,0001
β Constituyen una base (son linealmente
independientes), entonces:
=
+
+
+
2431
1111
0111
0011
0001
4321 cccc
152
( ) 222112211112233
22442
4321
432
43
4
−=−−+=−−−−=−−−=−=−−=−−=
=−=−==
ccccccc
ccc
Resolviendo:
2431
4
43
432
4321
==+=++=+++
cccccccccc
Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )
1086222431
2431
42322112
2431
1111
20111
20011
10001
2
2431
1111
20111
20011
10001
2
=++−−=
=++−−
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
T
T
TTTTT
TT
7) sea 22: PRT → una transformación lineal para la cual
221
321
11
xxTyxT +=
−
−=
Encuentre
−97
T
Ya que
−
=
13
,11
β es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
45
Re9
7397
13
11
2
1
21
2121 −=
==−
−=+→
−=
−
+
cc
solviendocccc
cc
Por lo tanto:
( ) ( )
2
2
2
814597
8410524215
13
411
51
34
11
597
xxT
xxxxxx
TTTT
−−=
−=
−−−=
+−−=
−
−
=
−
−
=
−=
153
8) Sea 22: RRT → una transformación lineal tal que:
−=
−
=
− 4
922
85
11
TyT
Encuentre
− 11
715
10TyT
Ya que
−
=22
,1
1β es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
45
2
225
1
21
2121 Re
152102
1510
22
11
−==
−=+−=+
→
−
=
+
− c
csolviendo
cccc
cc
Por lo tanto:
−
=
−−
+=
−
=
−
+
−
=
−−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
10551001510
5100
49
85
22
11
22
11
1510
4295
445
2125
445
2125
45
225
45
225
45
225
T
TTTT
De manera similar:
29
2
1
21
2121
2Re
11272
117
22
11
=−=
=+−=+
→
=
+
− c
csolviendo
cccc
cc
Por lo tanto:
−=
+−−
=
=
−+
−=
−+
−
−=
+
−
−=
+
−
−=
=
34181610
117
181610
49
85
2
22
11
222
11
2117
2101
281
281
29
29
29
T
TTTT
154
5.1 EJECICIOS. Encuentre las transformaciones lineales de los siguientesejercicios.
1) Sea 12: PPT → una transformación lineal tal que:( ) ( ) ( ) xxxTxxxTxxxT 211231311 222 +=+−+−=−++−=++
Encuentre ( ) ( )22 101525 xxTycxbxaT −+−++
( ) ( )xyxcbacbaspuesta 295
21
212:Re −++++−−
2) Sea 11: PPT → una transformación lineal tal que:( ) ( ) xxTyxxT 9422581 −=++−=+−
Encuentre ( ) ( ) ( )axbTyxTbxaT ++−+ 1015,
3) Sea 23: RRT → una transformación lineal tal que:
( ) ( ) ( )
=+−
−
=++−
−
=++12
32
13
321321321 eeeTeeeTeeeT
Encuentre ( )
−
−
251510
TyxT
−
−−++
02
:Re 295
21
21
yzyx
zyxspuesta
4) Sea 32: RRT → una transformación lineal tal que:
=
−=
403
10
121
01
TyT Encuentre
ba
TyT25
5) Sea 22: PPT → una transformación lineal para la cual:( ) ( ) ( ) 22222 1111 xxxTxxxxTxxT ++=+−=++=+
Encuentre ( ) ( )2234 cxbxaTyxxT +++−
( )
−−
++++ 22
23534:Re xcbacxayxxspuesta
6) Sea RMT →22: una transformación lineal para lo cual:
10101
51010
41100
30011
=
=
−=
=
TTTT
155
Encuentre:
dcba
TyT2351
7) Sea 32: RRT → una transformación lineal tal que:
−=
=
504
10
321
01
TyT Encuentre
−
73
42
TyT
−−
−
26631
26414
:Re yspuesta
8) Sea PPT →: una transformación lineal que satisface:
( ) 01
1 1 ≥+
= + nxn
xT nn
Encuentre: ( ) ( ) ( )( )2232 11 xTxTxxT ++−+
156
6. APENDICE. Algebra Lineal con SCIENTIFIC WORD PLACE (Versión 5.0)
En la actualidad, el apoyo de Software para la motivación, cálculo y verificación
de resultados obtenidos en las Matemáticas y sus aplicaciones en la Ingeniería
en general, y en especial en la Ingeniería Electrónica, es de vital importancia.
Por lo cual, se anexan una serie de ejercicios de algebra Lineal y operaciones
con Números Complejos, con sus instrucciones de cálculo respectivas con el
programa SCIENTIFIC WORD PLACE. Programa compatible con Microsoft, ya
que utiliza una hoja de trabajo, ventanas, simbología y dinámicas de trabajo en
general similares. Por lo hace un paquete muy factible y versátil, aún cuando se
tengan bajos conocimientos en programación; sólo con pocas y sencillas
instrucciones para los respectivos cálculos en varias ramas de las
Matemáticas: Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de Varias Variables,
Análisis Numérico, Probabilidad y Estadística, Transformadas de Laplace,
Transformadas de Fourier, etc.
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.
• Derrick, William R. “Variable compleja con Aplicaciones”. Editoral
Iberoamérica. 1987.
• Spiegel Murray. “Variable Compleja”. Schaum, Editorial Mc Graw Hill,
México.
• Poole, David. “Algebra Lineal, una Introducción Moderna”. Editorial
Thomson. 2004.
• Grossman, Stanley I. “Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw Hill. Quinta
Edición. 1996.
• Nakos, George / Joyner, David. “Algebra Lineal con Aplicaciones”.
Editorial Thomson. 1998.
• Howard, Anton. “Introducción al Algebra Lineal”. Editorial Limusa,
Primera Edición. 1976.
