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Nmeros complejos o imaginarios Unidad imaginaria
Se l lama as a l nmero y se designa por la let ra i .
Nmeros imaginarios
Un nmero imaginario se denota por b i , donde :
b es un nmero real
i es la unidad imaginar ia
Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negat ivo.
x2 + 9 = 0
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Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = 1
i3 = i
i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro , por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i , se divide e l exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i2 2
i2 2 = ( i4 )5 i2 = 1
i2 7 = i
Nmeros complejos en forma binmica Al nmero a + b i le l lamamos nmero complejo en forma binmica .
E l nmero a se l lama parte real del nmero complejo .
E l nmero b se l lama parte imaginaria del nmero complejo .
S i b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0 i = a.
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Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi , y se dice que es un nmero imaginario puro .
E l conjunto de todos nmeros complejos se designa por .
Los nmeros complejos a + b i y a b i se l laman opuestos .
Los nmeros complejos z = a + b i y z = a b i se l laman conjugados .
Dos nmeros complejos son iguales cuando t ienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
Representacin grfica de nmeros complejos Los nmeros complejos se representan en unos ejes car tesianos. El
eje X se l lama eje real y e l Y , eje imaginario . El nmero complejo a + b i se representa:
1Por el punto (a,b) , que se l lama su afi jo ,
z
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2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b) .
Los af i jos de los nmeros reales se s i tan sobre el e je real , X . Y los imaginarios sobre el e je imaginar io, Y .
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Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica
Suma y diferencia de nmeros complejos
La suma y di ferencia de nmeros complejos se real iza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s .
( a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
( a + b i ) (c + d i ) = (a c) + (b d) i
( 5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2 i ) =
= (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i = 7 + 7 i
Multiplicacin de nmeros complejos
El producto de los nmeros complejos se real iza apl icando la propiedad distributiva de l producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1 .
( a + b i ) (c + d i ) = (ac bd) + (ad + bc) i
( 5 + 2 i ) ( 2 3 i ) =
=10 15 i + 4 i 6 i2 = 10 11 i + 6 = 16 11 i
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Divisin de nmeros complejos
El cociente de nmeros complejos se hace racional izando el denominador ; esto es, mul t ip l icando numerador y denominador por e l conjugado de ste.
Nmeros complejos en forma polar
Mdulo de un nmero complejo
El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su af i jo . Se designa por |z | .
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Argumento de un nmero complejo
El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real . Se designa por arg(z) .
.
Expresin de un nmero complejo en forma polar.
z = r
|z | = r es el mdulo .
arg(z) = es el argumento .
Ejemplos
Pasar a la forma polar :
z = 26 0
-
z = 21 2 0
z = 22 4 0
z = 23 0 0
z = 2
-
z = 20
z = 2
z = 21 8 0
z = 2 i
z = 29 0
z = 2 i
z = 22 7 0
-
Pasar a la forma binmica :
z = 21 2 0
Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en pr imer lugar a la forma tr igonomtrica :
r = r (cos + i sen )
z = 2 (cos 120 + i sen 120)
z =10 = 1
z =11 8 0 = 1
z =19 0 = i
z =12 7 0 = i
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Nmeros complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos
Nmeros complejos iguales
Dos nmeros complejos son iguales s i t ienen el mismo mdulo y e l mismo argumento .
Nmeros complejos conjugados
Dos nmeros complejos son conjugados s i t ienen el mismo mdulo y opuestos sus argumentos .
Nmeros complejos opuestos
Dos nmeros complejos son opuestos s i t ienen el mismo mdulo y sus argumentos se diferencian en radianes .
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Nmeros complejos inversos
El inverso de un nmero complejo no nulo, t iene por mdulo el inverso del mdulo y por argumento su opuesto .
Multiplicacin de complejos en forma polar
La multipl icacin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:
Su mdulo es el producto de los mdulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
64 5 31 5 = 186 0
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Producto por un complejo de mdulo 1
Al mult ipl icar un nmero complejo z = r por 1 se gira z un ngulo alrededor del origen.
r 1 = r +
Divisin de complejos en forma polar
La divisin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:
Su mdulo es el cociente de los mdulos.
Su argumento es la di ferencia de los argumentos.
64 5 : 31 5 = 23 0
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Potencia de nmero complejo
La potencia ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:
Su mdulo es la potencia n-sima del mdulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
(23 0 )4 = 161 2 0
Nmeros complejos en forma trigonomtrica a + b i = r = r (cos + i sen )
Binmica z = a + b i
Po lar z = r
t r igonomtr ica z = r (cos + i sen )
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Pasar a la forma polar y tr igonomtrica :
z = 26 0
z = 2 (cos 60 + i sen 60)
z = 21 2 0
z = 2 (cos 120 + i sen 120)
z = 22 4 0
-
z = 2 (cos 240 + i sen 240)
z = 23 0 0
z = 2 (cos 300 + i sen 300)
z = 2
z = 20
z = 2 (cos 0 + i sen 0)
z = 2
z = 21 8 0
-
z = 2 (cos 180 + i sen 180)
z = 2 i
z = 29 0
z = 2 (cos 180 + i sen 180)
z = 2 i
z = 22 7 0
z = 2 (cos 270 + i sen 270)
Escr ibe en forma binmica:
z = 21 2 0
z = 2 (cos 120 + i sen 120)
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z =10 = 1
z =11 8 0 = 1
z =19 0 = i
z =12 7 0 = i
Frmula de Moivre
Raz de nmeros complejos
La raz ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:
Su mdulo es la en raz ensima del mdulo.
Su argumento es:
k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)
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Coordenadas cartesianas y polares Conversin de coordenadas polares a cartesianas
x = r cos
y = r sen
Ejemplos
21 2 0
10 = (1, 0)
11 8 0 = (1, 0)
19 0 = (0, 1)
12 7 0 = (0, 1)
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Conversin de coordenadas cartesianas a polares
Ejemplos
26 0
21 2 0
-
22 4 0
23 0 0
(2, 0)
20
(2, 0)
21 8 0
-
(0, 2)
29 0
(0, 2 )
22 7 0