NÚMEROS CONSTRUÍBLES

Por:Carlos Mario Cárdenas

Institución educativa Santa Teresa Medellín - Colombia

ObjetivosRecordar la importancia de “Los Elementos” de Euclides en el desarrollo lógico de la geometría y de otras ramas de las matemáticas.Elaborar de manera sistemática la teoría de “Los Números Construíbles” a partir de construcciones con regla y compás.

Agradecimientos

A Ana Celia Castiblanco, a mi Institución Educativa y a mi familia por el inmenso apoyo que me han brindado.

Tópicos

Un poco de historia: Algunos personajes de la Antigüa Grecia.Los tres primeros postulados del libro I de Euclides.¿Qué es un número construíble?Construcción de números.El subcampo de los números construíbles.

Grandes personajes de la Antigüa Grecia

Tales de Mileto (624-547 a.C.) Llevó la Geometría, conocida en

Egipto hasta Grecia. Se le acreditan algunos resultados de la geometría entre ellos el hoy conocido Teorema de Tales.

Pitágoras de Samos (569-475 a.C) A él se le acreditan pruebas de

muchos teoremas tales como: los ángulos de un triángulo suman 180° y el famoso teorema que lleva su nombre (el cual había sido conocido experimentalmente en Egipto 100 años antes).

Hipócrates de Chios (470-410 a.C) Escribió los "Elementos de la

Geometría", libro sobre el cual quizás se basó Euclides 100 años después. En este libro estudió dos problemas clásicos: El de la cuadratura del círculo y el de la duplicación del cubo.

Platón (427-347 a.C) Fundó "La Academia" en el año

387 a.C. Enfatizó la idea de demostrar e insistió en definiciones precisas e hipótesis claras, pavimentando el camino a Euclides.

Theaetetus de Atenas (417-369 a.C) Creador de la geometría de los sólidos.

Construyó los cinco sólidos regulares, trabajo que sirvió como base para el Libro XIII de “Los Elementos” de Euclides. Sus trabajos sobre cantidades racionales e irracionales le sirvieron a Euclides en la elaboración del libro X.

Eudoxus de Cnidus (408-355 a.C) Desarrolló una teoría de

proporciones (Libro V de “Los Elementos”). Eudoxus también trabajó muy tempranamente sobre métodos de integración con los que determinó el área de círculos y el volumen de pirámides y conos.

Menaechmus (380-320 a.C) Fue un pupilo de Eudoxus. Fue el

primero en mostrar que las elipses, hipérbolas y parábolas eran obtenidas cortando un cono en un plano no paralelo a la base.

Euclides de Alexandría (325-265 a.C)

Es mejor concocido por sus 13 libros "Los Elementos" (300 a.C), recogiendo los trabajos de sus predecesores, en un todo cuyas partes estaban lógicamente conectadas.

Logros de los griegos en la matemática teórica

La teoría de números.La geometría métrica.La geometría no métrica.la teoría del razonamiento, demostraciones matemáticas y en teorías axiomáticas.

Construcciones asumidas en los “Elementos”

POSTULADO 1 Dibujar una línea recta finita dados

dos de sus extremos.

POSTULADO 2 Extender o prolongar

indefinidamente la línea recta de extremos A y B.

POSTULADO 3 Describir un círculo, dado un punto A (el

centro del círculo) y otro punto B (ubicado en la circunferencia del círculo).

Tan pronto como el compás se levanta del plano, “colapsa” (compás ideal).

El punto A y el Punto B se ubican en el plano antes de aplicar este postulado.

TRANSFERIR MEDIDAS USANDO SÓLO REGLA Y

COMPÁSPROPOSICIONES 2 Y 3

Dibujar un segmento igual a uno dado con un extremo en un punto dado.

Extraer del mas grande de dos segmentos dados, un segmento igual al pequeño (Ver Dibujos).

Importante:

Estas proposiciones permiten sustraer, adicionar, comparar líneas ( ley de tricotomía para líneas).Luego sugieren teorizar alrededor de lo que podríamos llamar: “la aritmética geométrica de líneas”.Además establecen la equivalencia entre el compás ideal y el “moderno”.

Construcciones derivadas

Paralela a una recta dada y por un punto dado.Perpendicular a una recta.Construcción del triángulo equilátero.Bisectar ángulos y segmentos.

Construcciones imposibles: La duplicación del cubo

La trisección de un ángulo

La cuadratura del círculo

Estos tres problemas clásicos de la matemática griega fueron extremadamente importantes en el desarrollo de la geometría.

Los Griegos conjeturaron que estos problemas eran imposibles de solucionar con las herramientas euclideanas de regla y compás.

En el siglo XIX, Galois, Lindemann y Wantzel probaron que estos problemas son imposibles de resolver.

¿Qué hicieron?Transformaron estos problemas en problemas algebraicos que envuelven “Números Construíbles”.

Problemas algebraicos:

¿Es la raíz cúbica de 2 construíble? Dado un ángulo A, para el cual cos A es construíble, es cos A/3 construíble?¿Es √π construíble? O mejor, ¿es π construíble?

¿Qué es un Número Construible?

Un número x es construíble si y sólo si se puede construir un

segmento de longitud x, a partir de otro segmento de longitud 1,

usando sólo regla y compás.

Los Números Construíbles aparecen como resultado de un número finito de construcciones básicas y derivadas usando sólo regla y compás.

Construcción de números

Los naturales y los enteros son Números Construíbles.La raíz cuadrada también es construíble.a/b (con b≠0) es construíble, luego Q es construíble.

Construcción de la razón dorada 1/2+√5/2

El conjunto C de los números construíbles es un subcampo de R:

Las demas propiedades de un campo son inherentes a cualquier subconjunto de R.

El elemento identidad para el producto.La propiedad distributiva, asociativa y conmutativa para el producto.La propiedad asociativa y conmutativa para la suma.

BIBLIOGRAFÍAM. V. Gutiérrez, Notas de Geometría, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1992.http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.htmlhttp://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html#cons1Dev : K. Devlin, El Lenguaje de las Matemáticas, Ed. Printer Latinoamericana Ltda, Bogotá, 2003.

FIN DE LA PRESENTACIÓN