CLASE 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS

DIAGRAMA CONJUNTOS NUMÉRICOS● IN: Naturales● IN0: Cardinales● Z: Enteros ● Q: Racionales ● Q*: Irracionales ● R: Reales● II: Imaginarios● C: Complejos

IN: NÚMEROS NATURALES

03Todo número natural

tiene sucesor, es decir:N + 1

Este conjunto de números corresponde a: IN: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Todo número natural tiene antecesor, es decir:

N - 1

Paridad e imparidad: N° pares: n - 2 (antecesor par)

n + 2 (sucesor par)N° impares: n - 1(antecesor impar)

n + 1 (sucesor impar)

01 02

04

EJEMPLO: 11 es un número primo, ya que sus factores son exactamente el 1 y el 11.

→ Dentro de los números naturales podemos encontrar a los números primos.→ Los números primos son aquellos números que se pueden descomponer en dos factores: el uno y en sí mismo.

EJEMPLO:150 se puede expresar como 2 x 3 x 5 x 5 o escrito como potencias: 2 x 3 x 52

Esta descomposición se llama factorización prima y es importante para calcular el M.C.D (máximo común divisor) y el M.C.M (mínimo común múltiplo).

IN: NÚMEROS NATURALES

→ Los números primos son de gran importancia, debido a que cualquier número natural mayor que 1 es primo o se puede expresar como producto de números primos.

EJEMPLO → Se desea descomponer el número 700 en factores primos:

→ Para descomponer un número en factores primos, en primer lugar se debe dividir el número sucesivamente por los números primos con el fin de llegar al último factor primo.

35

7

Por lo tanto, la descomposición de 700: 2 x 2 x 5 x 5 x 7 → 22 x 52 x 7

IN: NÚMEROS NATURALES

700

350

2

2175 5

571

. .

EJEMPLO:Se desea conocer los múltiplos de 15, M(15): {15, 30, 45, 60, 75…} Supongamos que se quiere saber si 180 pertenece o no al conjunto de múltiplos de 15, para esto se debe saber si 15 divide exactamente a 180 o no.Efectivamente 180 = 15 x 12, por lo tanto, 180 es un múltiplo de 15 y también se puede decir que 180 es divisible por 15.

Entonces, los conceptos de múltiplo y divisor están directamente relacionados: “si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a, y visceversa.

Para determinar de manera rápida si un n° es divisible por otro se consideran las siguientes reglas de divisibilidad: - Divisible por 2 si su última cifra es número par o 0. - Divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.- Divisible por 4 si las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 o ambos son 0.- Divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.- Divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 a la vez.- Divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.- Divisible por 10 si su última cifra es 0

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

EJEMPLOS: 6.000= 24 X 3 X 53

10.000= 24 X 54

12.000= 25 X 3 X 53

M.C.M: se puede calcular desarrollando la descomposición prima de todos los n° y multiplicando todos los factores distintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tengan las descomposiciones

M.C.D: se puede calcular desarrollando la descomposición prima y multiplicando posteriormente los factores comunes elevados cada uno al menor exponente que tengan estas descomposiciones.

M.C.M Y M.C.D

Se puede observar que el mayor n° que divide simultáneamente ambos n° es 12 el cual correspondería al M.C.D

84 108 12

7 9 7

1 9 9

1 1

PROPIEDADES DE LOS N° NATURALES

EJEMPLOS- CLAUSURA: 7 + 3 = 10- CONMUTATIVA: 4 + 6 = 6 + 4 → 10 = 10- ASOCIATIVA: 2 + (5 + 4) = (2 + 5) + 4→ 11 = 11

- CLAUSURA: (a + b) ∈ IN ∀ a, b ∈ IN- CONMUTATIVA: a + b = b + a, ∀ a, b ∈ IN- ASOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b ,c ∈

IN

OPERACIONES EN LOS N° NATURALES

DIVISIÓN

Sean dos números naturales a y b, la sustracción de estos se expresa

por: a - b

Sean dos números naturales a y b, la división de estos se

expresa por: a : b

SUSTRACCIÓNSean dos números naturales a

y b, la adición de estos se expresa por:

a + b

ADICIÓN

Sean dos números naturales a y b, la multiplicación de estos

se expresa por: a x b

MULTIPLICACIÓN

Z: NÚMEROS ENTEROS

Este conjunto de números corresponde tanto a números positivos como negativos, es decir: Z: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}

Al sumar, restar o multiplicar números enteros, el resultados es siempre un número entero a excepción de la división que no siempre será así

01 02

PROPIEDADES DE LOS N° ENTEROSEJEMPLOS

- CLAUSURA: 7 + 3 = 10- CONMUTATIVA: 4 + -6 = -6 + 4 → -2= -2- ASOCIATIVA: 2 + (5 + 4) = (2 + 5) + 4→ 11 = 11- NEUTRO ADITIVO: -2 + 0 = 0 + -2 → -2- INVERSO ADITIVO: el opuesto de 5 es -5 y el

opuesto de -8 es 8.- VALOR ABSOLUTO: |-6| = 6 ; |7| = 7 ; |0| = 0

- CLAUSURA: (a + b) ∈ Z ∀ a, b ∈ Z - CONMUTATIVA: a + b = b + a, ∀ a, b ∈ Z- ASOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b , c ∈

Z- ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: a + 0 = 0 + a, ∀ a,

∈ Z- ELEMENTO INVERSO ADITIVO: (- a) es el inverso

aditivo de a. a + (-a)= (-a) + a = 0 - VALOR ABSOLUTO: | x | = x, si x es > o igual a 0 y

-x, si x es < a 0 REGLA DE SIGNOS

OPERACIONES EN LOS N° ENTEROS

DIVISIÓN

Sean dos números enteros a y b, la sustracción de estos se expresa

por: a - b

Sean dos números enteros a y b, la división de estos se

expresa por: a : b

SUSTRACCIÓNSean dos números enteros a y

b, la adición de estos se expresa por:

a + b

ADICIÓN

Sean dos números enteros a y b, la multiplicación de estos

se expresa por: a x b

MULTIPLICACIÓN

Q: NÚMEROS RACIONALES

Este conjunto de números corresponde a los que pueden ser escritos de la forma a/b, a ∧ b ∈ Z ∧ b es distinto de 0.a: numerador (dividendo)b: denominador (divisor)

Están conformados por números enteros y todos los n° pueden ser escrito como fracciones, cuyo numerador y denominador son números enteros.

01 02

03 EJEMPLOS:

-0,25 ; - ¾ ; 11, 6

PROPIEDADES DE LOS N° RACIONALES

EJEMPLOS: AMPLIFICACIÓN: 3/5 amplificado por 2→ 3 x 2 y 5 x 2 = 6/10 SIMPLIFICACIÓN: 24/36 simplificado por 12 → 24: 12 y 36: 12 = 2/3

- AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR: se multiplica por un mismo n° en el caso de la amplificación y se divide por el mismo n° en la simplificación.

- INVERSO MULTIPLICATIVO: a/b es b/a, siempre que a y b sean distintos de 0.

TRANSFORMACIÓN N° RACIONALES

- DE FRACCIÓN A DECIMAL: solo se divide el numerador por el denominador.- DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN COMÚN: la fracción tiene por numerador un n° sin la coma y como

denominador una potencia de 10, cuyo exponente será el n° total de decimales.- DE DECIMAL PERIÓDICO A FRACCION COMUN: la fracción tiene como numerador el periodo y como

denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.- DE DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN COMÚN: la fracción tiene como numerador un n°

formado por el n° sin coma menos lo que está antes del periodo y como denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo seguido de tantos 0 tenga el anteperiodo.

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Significa ordenarlas en forma creciente o decreciente, existen 3 métodos comunes:

- Multiplicación cruzada: 2/11 y 3/17→ 2 x 17 y 11 x 3 = 34 y 33 como 34 > 33 entonces 2/11 > 3/17.

- Igualar denominadores: 7/9 ; 71/90 y 77/100, se debe sacar el M.C.M → 700/900 ; 710/900 y 770/900, por lo tanto, 693 < 700 < 710

- Transformar a decimal: 7/9 = 0,7777... ; 71/90= 0, 788888… por lo tanto, 71/90 > 7/9

EJERCICIOS

EJERCICIOS

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HOJA DE RESPUESTAS