Observabilidad
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2Ing. Gabriela Ortiz León
Contenido
Observabilidad
Introducción a los observadores de estado
Ejemplos y ejercicios
3Ing. Gabriela Ortiz León
Observabilidad: definiciónPartimos del sistema
se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf ≥ t0 tal que, el conocimiento de:
u(t) para t0 ≤ t < tf
las matrices A, B, C y D la salida y(t) para t0 ≤ t < tf
sea suficiente para determinar x(t0).
x=Ax (t ) + Bu(t )y (t )=Cx (t ) + Du(t )
4Ing. Gabriela Ortiz León
Observabilidad: definiciónSi cada estado del sistema es observable para un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.
Para que el sistema descrito sea completamente observable, es necesario y suficiente que S, la matriz de observabilidad de nm x n, tenga un rango n.
S= [CCACA2
⋮
CAn−1]
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Pruebas para la observabilidad Si el sistema tiene solo una salida, C es una
matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable si S es no singular
Para un sistema SISO, el par [A,C] es completamente observable si A y C están en la forma canónica observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una transformación de similitud.
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Pruebas para la observabilidad (2) Si A está en la forma canónica diagonal
(FCD) el par [A,C] es completamente observable si todos los elementos en las columnas de C son diferentes de cero.
Si A está en la forma canónica de Jordan (FCJ), el par [A,C] es completamente observable si los elementos en las columnas de C que corresponden al primer renglón de cada bloque de Jordan no son todos cero.
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Ejemplos de Observabilidad (1)¿Son los siguientes sistemas completamente observables?
x=[−1 00 −2 ] x ; y=[1 3] x
x=[2 1 00 2 10 0 2 ] x ; y=[3 0 0
4 0 0 ] x
x=[2 1 0 0 00 2 1 0 00 0 2 0 00 0 0−3 10 0 0 0 −3
] x ; y= [1 1 1 0 00 1 1 1 0 ] x
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Ejemplos de Observabilidad (2)¿Son los siguientes sistemas completamente observables?
x=[−1 00 −2 ] x ; y=[0 1] x
x=[2 1 00 2 10 0 2 ] x ; y=[0 1 3
0 2 4 ] x
x=[2 1 0 0 00 2 1 0 00 0 2 0 00 0 0−3 10 0 0 0 −3
] x ; y= [1 1 1 0 00 1 1 0 0 ] x
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Observabilidad a partir de G(s)o G(z)
Si la función de transferencia entrada-salida de un sistema lineal tiene cancelación de polos y ceros, el sistema será o no observable dependiendo de cómo se definan las variables de estado.
Si la función de transferencia entrada-salida NO tiene cancelación de polos y ceros, el sistema siempre se puede representar mediante las ecuaciones dinámicas como un sistema totalmente observable.
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Ejemplo 3Sea la función de transferencia
Se descompone en la forma FCC
Cuya matriz de observabilidad, S, es singular y por ello el par [A,C] no es observable
Y ( s)U (s)
=s+1
(s+1)( s+2)
A=[ 0 1−2 −3 ]
B=[01 ]C=[1 1 ]
S=[ CCA ]= [ 1 1−2 −2 ]
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Ejemplo 3: continuaciónEl sistema se representa en la forma FCO
Debido a que la FCO se puede realizar, el par [A, C] es observable
A=[0−21−3 ]B=[11 ]C=[0 1 ]
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Controlabilidad y Observabilidad de sistemas en lazo cerrado con
realimentación de estado
Controlabilidad Si es x(t)=Ax(t) + Bu(t) es completamente
controlable, entonces si :
u(t)=r(t)−Kx(t)el sistema en lazo cerrado con realimentación de estado es:
x(t)=(A-BK)x(t) + Br(t)
y es también completamente controlable
•
•
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Controlabilidad y Observabilidad de sistemas en lazo cerrado con
realimentación de estado
Observabilidad Si el sistema a lazo abierto es controlable y
observable, la realimentación de estado puede destruir la observabilidad
Es decir, la observabilidad a lazo abierto y lazo cerrado no están relacionadas
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La realimentación puede alterarla observabilidad
Sea el sistema del cual puede demostrarse que es observable
Aplicamos realimentación de estado con
La matriz S tiene el determinante
x= [ 0 1−2 −3 ] x + [11 ] u
y=[1 2 ] x
u(t )=r (t )−Kx (t )
K=[k1 , k 2]
x (t )=(A−BK ) x (t )+ Br (t )
S= [ CC (A−BK )]=[ 1 2
−3k1−4 −3k2−5 ]∣S∣= 6k1−3k2+3
Por lo que si k1 y k2 se seleccionan para que S = 0, el sistema en lazo cerrado sería no observable
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Observabilidad en tiempo discreto
Partimos del sistema
Para que este sistema sea observable la matriz de nm x n debe tener rango n
x ( (k+1) T )=Ad x (kT ) + Bd u(kT )
y (kT )=Cx (kT ) + Du (kT )
S= [CCAdCAd
2
⋮
CAdn−1 ]
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Ejercicio 2
Encuentre si el sistema es observable
x (k+1)= [1,65 −0,6751 0 ] x (k ) + [10 ] u(k )
y (k )=[1 0,825 ] x (k ) T =0,01 s
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Transformación a FCO
Sea Q la matriz de transformación, con S la matriz de observabilidad
Y con
Q=(WS )−1
W= [a1 a2 ⋯ an−1 1a2 a3 ⋯ 1 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an−1 1 ⋯ 0 01 0 ⋯ 0 0
]
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Transformación a FCOSe define como un nuevo vector de estado
Si el sistema es observable, la matriz Q tiene inversa.
Utilizando la matriz Q se puede transformar el sistema a la forma canónica observable:
xx=Q x
˙x=Q−1AQ x + Q−1Buy=CQ x + Du
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Los elementos de las matrices y no están restringidos a ninguna forma especial
La forma canónica observable
A= [0 0 ⋯ 0 −a01 0 ⋯ 0 −a10 1 ⋯ 0 −a2⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 1 −an−1
]C=[0 0 ⋯ 0 1 ]
B D
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No siempre es posible medir el estado x
A veces es necesario estimar las variables de estado no medibles a partir de las variables de salida y de las variables de control
Observadores de estado
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Ejercicios
1. Encuentre si el sistema discreto mostrado, con T = 0.01s, es controlable y observable.
2. Haga que el sistema tenga los polos de lazo cerrado en µ = 0.6 +/- 0.25j y que tenga error de estado estacionario cero ante un escalón en la entrada r(k)
x (k+1)=[ 0,9319 −0,024140,03863 0,99951 ] x (k ) + [ 0,019310,0003908 ] u
y (k )= [0 1,25 ] x (k )
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Ejercicios (2)3. Considere el sistema de orden 3 y utilizando
Ackerman, ubique los polos en µ1,2 = -1 +/- j y en µ3 = -7. Haga cero el error ante una entrada escalón en r(t)
4. Resuelva los ejercicios utilizando las funciones acker y place de Matlab. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? ¿Cuál es más recomendable?
x= [0 1−22 0 00 1 0 ] x + [
0,500 ] u
y=[0 0 1 ] x
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Ejercicios (3)5. Encuentre si el sistema mostrado es
observable
6. Calcule la controlabilidad y observabilidad utilizando las funciones ctrb y obsv de Matlab.
7. Examine la ayuda de Matlab para la función canon. ¿Cuál es la diferencia entre la matriz T de Matlab y la matriz Q descrita aquí?
x=[0 1−22 0 00 1 0 ] x + [
0,500 ] u
y=[0 0 1 ] x
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Referencias[1] Kuo, Benjamin. „Sistemas de Control
Automático“,Pearson, Prentice-Hall, 1996,7ª edición, México
[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.
[3] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ª Ed., México.