Obtención de modelos matematicos de manipuladores robóticos

8/17/2019 Obtención de modelos matematicos de manipuladores robóticos

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Capítulo 5

Obtención de modelos matemáticos de

manipuladores robóticos

5.1. Introducción

El análisis cinemático de la estructura mecánica de un robot se re…ere a la descripción

del movimiento con respecto a un sistema de referencia cartesiano …jo al ignorar las fuerzasy momentos que causa el movimiento de la estructura [21]. Es signi…cativo distinguir entre

la cinemática y cinemática diferencial. Con referencia a un robot manipulador, la cinemática

describe la relación analítica entre las posiciones de las articulaciones y la posición del efector

…nal y la orientación. La cinemática diferencial describe la relación analítica entre el movimiento

de la articulación y el movimiento del efector …nal en términos de las velocidades, a través del

manipulador Jacobiano.

La formulación de la relación cinemática permite el estudio de dos problemas fundamentales

de la robótica, a saber, el problema de la cinemática directa y el problema de la cinemática in-versa. La primera se re…ere a la determinación de una sistemático, método general para describir

el movimiento del efector …nal como una función del movimiento de las articulaciones por medio

de herramientas de álgebra lineal. Este último se re…ere al problema inverso, su solución es de

importancia fundamental para transformar el movimiento deseado, naturalmente prescrito para

el efector …nal en el espacio de trabajo, en el movimiento de la articulación correspondiente [21].


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24 Obtención de modelos matemáticos de manipuladores robóticos

La disponibilidad del modelo cinemático de un manipulador es también útil para determinar

la relación entre las fuerzas y torques aplicados en las articulaciones y las fuerzas y momentosaplicados al efector …nal en las con…guraciones de equilibrio estático.

El modelado de robots móviles requiere un análisis preliminar de las restricciones cinemáticas

impuestas por la presencia de ruedas. Dependiendo de la estructura mecánica, tales limitaciones

pueden ser integrables o no, esto tiene una consecuencia directa sobre la movilidad de un robot. El

modelo cinemático de un robot móvil es en esencia la descripción de los movimientos instantáneos

admisibles en relación con las restricciones. Por otra parte, los modelos dinámicos describen la

relación entre los movimientos y las fuerzas generalizadas que actúan sobre el robot [21]. Estos

modelos se pueden expresar en una forma canónica que es conveniente para el diseño de técnicasde plani…cación y control.

5.2. Método propuesto para obtener los modelos matemáti-

cos

El método Euler Lagrange es usado para obtener los modelos matemáticos de los brazos

robóticos.

El primer paso de este método es encontrar la energía cinética K i, y esta es la suma de la

energía cinética lineal y la energía cinética rotacional, esto es formulado con la siguiente ecuación:

K i = 1

2miv

2

i + 1

2Ji

nXi=1

_2

i (5.1)

Donde i = 1, ..., n, n es el número de enlaces, vi es la velocidad del movimiento lineal

para la junta i, mi es el centro de masa de la junta i y el enlace i, si la junta i es rotacional

J i es su inercia, i es la posición angular de la junta i: v2

i = _x2

i + _y2

i +

z2

i donde _xi, _yi, y _zi

son las derivadas de xi, y

i, y z

i, respectivamente. Si las posiciones angulares tienen diferentes

direccionesnP

i=1

_2

i = _2

1 + _

2

2 + ::: + _

2

n o si las posiciones son angulares tienen la misma dirección

nPi=1

_2

i =

_1 + _2 + ::: + _n

2.

El segundo paso es para encontrar la energía potencial, como sigue:

V i = mighi (5.2)


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5.2 Método propuesto para obtener los modelos matemáticos 25

Donde i 2 1, ..., n, hi es la altura del centro de masa de la junta y el enlace i, g es la

aceleración gravitacional.El tercer paso, es obtener el Lagrangiano como sigue:

L =nX

i=1

(K i V i) (5.3)

El cuarto paso, se utilizará la siguiente ecuación para obtener cada ecuación dinámica para

el modelo matemático:d

dt

@L

@ _q i

@L

@q i= i (5.4)

Donde i 2 1,....,n, q i = i para una junta de rotación y q i = lci para una juntura prismática,

ies la fuerza de torsión para una junta de rotación o es la fuerza para una junta prismática.

El modelo matemático obtenido con el método Euler Lagrange puede ser rescrito en el espacio

de estados como sigue:

M (q )•q + C (q; _q ) _q + G(q ) =

M (q ) =

2664

M 11 M 12 M 13

M 21 M 22 M 23

M 31 M 32 M 33

3775 C (q; _q ) =

2664

C 11 C 12 C 13

C 21 C 22 C 23

C 31 C 32 C 33

3775 G(q ) =

2664

G11

G12

G13

3775 =

2664

1

2

3

3775

(5.5)

Donde q 2


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La matriz de inercia es simétrica y positiva de…nida, según [15][25]:

m1 jxj2 xT M (x1)x m2 jxj

2 (5.6)

Donde m1 , m2 son constantes escalares positivas conocidas.

5.3. Obtención del modelo matemático de un brazo de

robot de un enlace rotacional único.

El método para obtener el modelo matemático del brazo de robot de un enlace único …gura(5.1) es el método de Euler-Lagrange ecuaciones (5.1-5.4).

Figura 5.1: Brazo de robot de un enlace único rotacional y de un grado de libertad.

Donde:

l y m denotan los ángulos del eslabón y el eje del motor

J m1 ! Inercia rotacional del motor.

J l1 ! Inercia rotacional del eslabón.

Con una relación de l = 1

nm

El primer paso de este método es obtener la energía cinética K i, del brazo de robot de un

enlace único, la cual es la suma de la energía cinética lineal K l y la energía cinética rotacional

K m, y es calculada como sigue:

K i = 1

2miv

2

i + 1

2J i

nXi=1

2

i (5.7)


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5.3 Obtención del modelo matemático de un brazo de robot de un enlace rotacional único. 27

K m = 1

2

J m

2

m (5.8)

donde v2i = _x2

i + _y2

i +

z2

i

x = l sin l

x = l cos l

l

x2

= l2 cos2 l

2

l

y = l cos l

y = l sin l

l

y2

= l2 sin2 l

2

l

K l = 1

2ml2

2

l (5.9)

Como m = l entonces

K 1 = 12

J m + ml2

2

m

Ahora obtendremos la energía potencial del brazo de robot de un enlace único como sigue:

V 1 = mgh (5.10)

V 1 = mgl cos l (5.11)

El lagrangiano queda entonces como:

L = K 1 V 1 = 1

2

J m + ml2

2

+ mgl cos l (5.12)

Usando el método Euler Lagrange de las ecuaciones (??) en (5.12) nos da:

@L

@

=

J m + ml2

(5.13)

d

dt

@L

@

=

J m + ml2

(5.14)

@L

@ = mgl sin() (5.15)d

dt

@L

@

@ L

@ = (5.16)

Por lo tanto la expresión para el sistema dinámico del brazo de robot de un enlace único es:

J m + ml

2

+ mgl sin() = (5.17)


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La fuerza generalizada representa las fuerzas externas y momentos que no son derivables de

una función potencial. Para este ejemplo, consiste en el torque del motor _

= n m, que sere‡eja hacia el enlace, y los (no conservativos) torques de amortiguación Bm

my Bl

l. El re‡ejo

de amortiguación del motor hacia el rendimiento del enlace es:

= _ C

l (5.18)

Donde C = Bm. De esta forma la expresión completa para el sistema dinámico del brazo de

robot de un enlace único es:

(J m + ml2)

+ C

+ mgl sin = _ (5.19)

5.4. Obtención del modelo matemático de un brazo robóti-

co con un enlace prismático.

El método Euler-Lagrange es usado para obtener el modelo matemático del enlace prismático

…gura (5.2).

Figura 5.2: Brazo robótico de un solo enlace prismático

El primer paso de este método es encontrar la energía cinética K i, la cual es la suma de la

energía cinética lineal y la energía cinética rotacional, esta es calculada como sigue:


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5.4 Obtención del modelo matemático de un brazo robótico con un enlace prismático. 29

K i = 12

miv2i + 12J i

nXi=1

2

i (5.20)

donde v2i = _x2

i + _y2

i +

z2

i

x = 0

x = 0

x2

= 0

y = l

y =

l

y2

=

l2

K 1 = 1

2m

l2

(5.21)

Ahora obtendremos la energía potencial como sigue V 1 = mgh:

V 1 = mgl (5.22)

El Lagrangiano queda como sigue:

L = K 1 V 1 = 1

2m

l2

+ mgl (5.23)


@L

@

l= m

l

d

dt

@L

@

l= m

l (5.24)

@L

@l = mg (5.25)

d

dt

@L

@

l

@ L

@l = (5.26)

La expresión para el sistema dinámico del enlace prismático es:

m

l mg = (5.27)


una función potencial. Para este ejemplo, consiste en el torque del motor _ =n m, que se re‡eja


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hacia el enlace, y los (no conservativos) torques de amortiguación B

l. El re‡ejo de amortiguación

del motor hacia el rendimiento del enlace es:

= _ B

l (5.28)

Donde C = B Coe…ciente de fricción viscosa. De esta forma la expresión completa para el

sistema dinámico del enlace prismático es:

m

l + C

l mg = _ (5.29)

5.5. Obtención del modelo matemático de un péndulo

simple.

El tercer modelo matemático que se obtendrá es el sistema de un péndulo simple …gura (5.3).

Figura 5.3: Péndulo simple.

La energía cinética K i, es la suma de la energía cinética lineal y la energía cinética rotacional.

y es dada por la ecuación siguiente:

K i = 1

2miv

2

i + 1

2J i

nXi=1

2

i (5.30)


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5.5 Obtención del modelo matemático de un péndulo simple. 31

x = l sin

x = l cos

x2

= l2 cos2

2

y = l cos

y = l sin

y2

= l2 sin2 l

2

K 1 = 1

2ml2

2

Ahora obtendremos la energía potencial V 1 = mgh:

V 1 = mgl cos (5.31)

Por lo tanto el lagrangiano será:

L = K 1 V 1 = 1

2ml2

2

+ mgl cos() (5.32)


@L

@

= ml2

(5.33)

d

dt

@L

@

= ml2

(5.34)

@L

@ = mgl sin() (5.35)

d

dt

@L

@

@L

@m = (5.36)

La expresión para el sistema dinámico del péndulo simple queda entonces como:

ml2

+ mgl sin() = (5.37)


una función potencial. Para este caso, es el torque del motor _ = n m, el cual es re‡ejado hacia

el enlace, y los (no conservativos) torques de amortiguación B

. El re‡ejo de amortiguación del

motor hacia el desempeño del enlace es:

= _ C

l (5.38)

Donde C = B Coe…ciente de fricción viscosa. De esta forma la expresión completa para el

sistema dinámico del péndulo simple es:

ml2

l + C

l + mgl sin l = _ (5.39)


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5.6. Modelo matemático de un manipulador de dos gra-

dos de libertad (R,R)

En esta sección se obtiene el modelo dinámico de un robot manipulador de 2 grados de

libertad, formado con eslabones rígidos conectados por articulaciones libres de elasticidad en

cadena cinemática abierta. Un método estándar para obtener el modelo dinámico de un robot

está basado en las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange. [?]

La dinámica de mecanismos es un campo sobre el cual se podríamos pasar años estudiando; no

obstante, ciertas formulaciones del problema dinámico parecen especialmente adecuadas para

aplicarse, en especial los métodos que hacen uso de la aplicación de las ecuaciones de Euler-

Lagrange. A continuación se desarrolla el modelo:

1. Para el modelo de cinemática directa, las coordenadas respecto al centro de

masa de cada eslabón:

eslabón 1


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5.6 Modelo matemático de un manipulador de dos grados de libertad (R,R) 33

" x1y1# = "lc1 cos(q 1)

lc1 sin(q 1)#

eslabón 2:" x2

y2

# =

"l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2)

l1 sin(q 1) lc2 sin(q 1 + q 2)

#

2. La velocidad con respecto al centro de masa de cada eslabón.

eslabón 1

v1 = d

dt

"x1

y1

# =

d

dt

"lc1 cos(q 1)

lc1 sin(q 1)

#

=

" lc1 sin(q 1)

lc1 cos(q 1)

# _q 1

eslabón 2

v2 = d

dt

"x2

y2

# =

d

dt

"l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2)

l1 sin(q 1) lc2 sin(q 1 + q 2)

#

=

" l1 sin(q 1) + lc2 sin(q 1 + q 2) lc2 sin(q 1 + q 2)

l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2) lc2 cos(q 1 + q 2)

#"_q 1

_q 2

#

v2 =

" l1 sin(q 1) + lc2 sin(q 1 + q 2) _q 1 + lc2 sin(q 1 + q 2) _q 2

l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2) _q 1 lc2 cos(q 1 + q 2) _q 2

#

La rapidez al cuadrado de cada eslabón es:

Para el eslabón 1

vT 1 v1 =

hlc1 sin(q 1) _q 1 lc1 cos(q 1) _q 1

i " lc1 sin (q 1) _q 1lc1 cos(q 1) _q 1

#

= l2c1 sin2 (q 1) _q

2

1 + l2c1 cos

2 (q 1) _q 2

1

= l2c1

sin2 (q 1) + cos2 (q 1)

_q 21

= l2c1 _q 2

1 Ok


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Para el eslabón 2

vT 2 v2 =

h l1 sin(q 1) + lc2 sin(q 1 + q 2) _q 1 + lc2 sin(q 1 + q 2) _q 2 l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2) _q 1 lc2 cos(q

vT 2 v2 = ((l1 sin (q 1) + lc2 sin (q 1 + q 2)) _q 1 + lc2 sin (q 1 + q 2) _q 2)

2 +

((l1 cos (q 1) lc2 cos (q 1 + q 2)) _q 1 lc2 cos (q 1 + q 2) _q 2)2

vT 2 v2 = (l1 sin(q 1) + lc2 sin(q 1 + q 2))

2 _q 21

+ l2c2 sin2(q 1 + q 2) _q

2

2 + 2[(l1 sin(q 1) + lc2 sin(q 1 + q 2)) lc2 si

(l1 cos(q 1) lc2 cos(q 1 + q 2))2 _q 2

1 + l2c2 cos

2(q 1 + q 2) _q 2

2 + 2[(l1 cos(q 1) + lc2 cos(q 1 + q 2)) lc2

vT 2 v2 =

l21 sin2(q 1) + l

2

c2 sin2(q 1 + q 2) + 2l1lc2 sin(q 1)sin(q 1 + q 2)

_q 21

+ l2c2 sin2(q 1 + q 2) _q

2

2 + 2l1lc2 si

l21 cos2(q 1) + l

2

c2 cos2(q 1 + q 2) + 2l1lc2 cos(q 1)cos(q 1 + q 2)

_q 21

+ l2c2 cos2(q 1 + q 2) _q

2

2 + 2l1lc2 c

vT 2 v2 =

l21 sin2(q 1) + l

2

c2 sin2(q 1 + q 2) + 2l1lc2 sin(q 1)sin(q 1 + q 2)

_q 21 +

l2c2 sin2(q 1 + q 2) _q

2

2 + 2l1lc2 sin(q 1)sin(q 1 + q 2) _q 1 _q 2 +

2l2c2 sin2(q 1 + q 2) _q 1 _q 2

l2

1 cos2

(q 1) + l2

c2 cos2

(q 1 + q 2) + 2l1lc2 cos(q 1)cos(q 1 + q 2)

_q 2

1 +

l2c2 cos2(q 1 + q 2) _q

2

2 + 2l1lc2 cos(q 1) cos(q 1 + q 2) _q 1 _q 2 +

2l2c2 cos2(q 1 + q 2) _q 1 _q 2

vT 2 v2 =

l21

sin2(q 1) + cos

2(q 1)

+ l2c2

sin2(q 1 + q 2) + cos2(q 1 + q 2)

+ 2l1lc2 [sin(q 1)sin(q 1 + q 2) +

l2c2

sin2(q 1 + q 2) + cos2(q 1 + q 2)

_q 22

+ 2l1lc2 [sin(q 1)sin(q 1 + q 2) + cos(q 1) cos(q 1 + q 2)] _q 1 _q 2

2l2c2

sin2(q 1 + q 2) + cos

2(q 1 + q 2)

_q 1 _q 2

vT 2 v2 =

l21 + l2c2 + 2l1lc2 [sin(q 1)sin(q 1 + q 2) + cos(q 1)cos(q 1 + q 2)]

_q 21

l2c2 _q 2

2 + 2l1lc2 [sin(q 1)sin(q 1 + q 2) + cos(q 1)cos(q 1 + q 2)] _q 1 _q 2 +

2l2c2 _q 1 _q 2 REV


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vT 2 v2 = l

2

1 + l2c2 + 2l1lc2 cos (q 2) _q

2

1 + l2c2 _q

2

2 + 2 l1lc2 cos (q 2) + l

2

c2 _q 1 _q 23. La energía cinética k(q; _q ) correspondiente está dada por la siguiente expresión:

k(q; _q ) = 1

2m1v

2

1 +

1

2I 1 _q

2

1 +

1

2m2v

2

2 +

1

2I 2 _q

2

2

k(q; _q ) = 1

2m1l

2

c1 _q 2

1 +

1

2I 1 _q

2

1 +

1

2

m2 l21 + l2c2 + 2l1lc2 cos (q 2) _q 21 + l2c2 _q 22 + 2 l1lc2 cos (q 2) + l2c2 _q 1 _q 2 + 12

I 2 [ _q 1 + _q 2]2

= 1

2m1l

2

c1 _q 2

1 +

1

2I 1 _q

2

1 +

1

2

m2l

2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2)

_q 21

+ m2l2

c2 _q 2

2 + 2

m2l1lc2 cos (q 2) + m2l

2

c2

_q 1 _q 2 +

1

2I 2 [ _q 1 + _q 2]

2

= 1

2[m1l

2

c1 + I 1 + I 2 + m2l2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2)] _q 2

1 +

1

2[I 2 + m2l

2

c2] _q 2

2 +


2

c2 + I 2

_q 1 _q 2

4. La energia potencial u (q ) asociada a la masa de los eslabones está dada como:

u (q ) = g (m1h1 + m2h2) = g (m1y1 + m2y2)

= g [m1lc1 sin(q 1) + m2l1 sin(q 1) + m2lc2 sin(q 1 + q 2)]

5. Para el lagrangiano del manipulador:

L (q; _q ) = k (q; _q ) u (q )

= 1

2[m1l

2

c1 + I 1 + I 2 + m2l2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2)] _q 2

1 +

1

2[I 2 + m2l

2

c2] _q 2

2 +

m2l1lc2 cos (q 2) + m2l2

c2 + I 2

_q 1 _q 2

g [m1lc1 sin(q 1) + m2l1 sin(q 1) + m2lc2 sin(q 1 + q 2)]


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6. Empleando las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange se obtienen:

@ L (q; _q )

@ _q 1=

m1l

2

c1 + m2l2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2) + I 1 + I 2

q 1 +


d

dt

@ L (q; _q )

@ _q 1

=

m1l

2

c1 + m2l2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2) + I 1 + I 2

•q 1 +


[2m2l1lc2 sin (q 2)] _q 1 _q 2 [m2l1lc2 sin (q 2)] _q 2

2

@ L (q; _q )

@ _q 2= [m2l

2

c2 + I 2] _q 2 +


c2 + I 2

_q 1

d

dt

@ L (q; _q )

@ _q 2

= [m2l

2

c2 + I 2]•q 2 +


c2 + I 2

•q 1 m2l1lc2 sin (q 2) _q 2 _q 1

Derivadas respecto de q i:

@ L

@q 1 = g [m1lc1 cos(q 1) + m2l1 cos(q 1) + m2lc2 cos(q 1 + q 2)]

= g [(m1lc1 + m2l1)cos(q 1) + m2lc2 cos(q 1 + q 2)]

@ L

@q 2= [m2l1lc2 sin(q 2)] _q

2

1 [m2l1lc2 sin(q 2)] _q 1 _q 2 gm2lc2 cos(q 1 + q 2)

7. La expresión de Lagrange :

1 =

m1l

2

c1 + m2l2

1 + m2l

2

c2 + 2m2l1lc2 cos (q 2) + I 1 + I 2•q 1 +


2

c2 + I 2[2m2l1lc2 sin (q 2)] _q 1 _q 2 [m2l1lc2 sin (q 2)] _q

2

2 +g [(m1lc1 + m2l1)cos(q 1) + m2lc2 cos(q 1 + q 2)]

2 =


c2 + I 2

•q 1 + [m2l2

c2 + I 2]•q 2 +

m2l1lc2 sin (q 2) _q 2

1 + gm2lc2 cos(q 1 + q 2)


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En conjunto estas expresiones pueden escribirse en la forma matricial, como:" 1

2

# =

"m1l

2

c1 + m2l2

c2 + m2l2

1 + 2m2l1lc2 cos (q 2) + I 1 + I 2 m2l1lc2 cos (q 2) + m2l

2

c2 + I 2


c2 + I 2 m2l2

c2 + I 2

#"•q 1

•q 2

#

+

"2m2l1lc2 sin (q 2) _q 2 m2l1lc2 sin (q 2) _q 2

m2l1lc2 sin (q 2) _q 1 0

#"_q 1

_q 2

#

+g

"(m1lc1 + m2l1)cos(q 1) + m2lc2 cos(q 1 + q 2)

m2lc2 cos(q 1 + q 2)

#

5.6.1. Efecto inercialLa ecuación, está compuesta de todos los términos que multiplican a ( •q ) y es una función de

(q ). por lo tanto, tenemos que:

"M 11 (q ) M 12 (q )

M 21 (q ) M 22 (q )

#"•q 1

•q 2

# =

"m1l

2

c1 + m2l2

c2 + m2l2

1 + 2m2l1lc2 cos (q 2) + I 1 + I 2 m2l1lc2 cos (q 2) + m


c2 + I 2 m2l2

c2 + I 2(5.41)

5.6.2. Fuerza centrípeta y de Coriolis

Un término como el de [m2l1lc2 sin (q 2) _q 2] se produce por la fuerza centrífuga y se reconoce

como tal, debido a que depende de la raíz cuadrada de una velocidad de la articulación. Un

término como [2m2l1lc2 sin (q 2) _q 2] se produce por la fuerza de Coriolis y siempre contiene el

producto de dos velocidades de articulación distintas.

"C 11 (q; _q ) C 12 (q; _q )C 21 (q; _q ) C 22 (q; _q )

#" _q 1_q 2#

="2m2l1lc2 sin (q 2) _q 2 m2l1lc2 sin (q 2) _q 2

m2l1lc2 sin (q 2) _q 1 0#" _q 1

_q 2#

(5.42)

5.6.3. Par gravitacional

El término de gravedad contiene los términos en los que aparece la constante gravitacional g.

Se toma en cuenta que el término de gravedad depende solamente de (q ) y no de sus derivadas.


16/17


"g1 (q )g2 (q )

# = g

"(m1lc1 + m2l1)cos(q 1) + m2lc2 cos(q 1 + q 2)

m2lc2 cos(q 1 + q 2)

# (5.43)

5.6.4. Fenómeno de fricción

La fricción presente en el robot manipulador es modelada como una combinación lineal de

las fricciones viscosa, de Coulomb y estática:

f f ( _q; ) =

"b1 _q 1 + f c1signo( _q 1) + [1 jsigno( _q 1)j]sat( 1; f 1)

b2 _q 2 + f c2signo( _q 2) + [1 jsigno( _q 2)j]sat( 1; f 2)

# (5.44)

donde, b1;f c1; f 1; b2; f c2 y f 2 son los coe…cientes de fricciones viscosa, de Coulomb

y estática de las articulaciones, respectivamente. En tanto sat(x; ) signi…ca:

sat(x; ) =

8>><>>:

si, x >

x si, x

si, x <

5.6.5. Modelo general

La estructura del modelo es importante y para propósitos prácticos, es necesario

sustituir numericamente.

Eslab on 1

V ariable V alor SI

m1 0;800 kg

l1 0;19 m

lc1 0;095 m

I 1 9;62 103 Kg m2

Eslab on 2

V ariable V alor N otacion

m2 0;200 Kg

l2 0;08 m

lc2 0;04 m

I 2 4;266 104 Kg m2


17/17


gravedad 9;81 m=seg2

La matriz de inercia, fuerzas centrípetas y de Coriolis y gravedad, respectiva-

mente:

" 1

2

# =

"2: 4807 102 + 0;00304cos(q 2) 7: 466 10

40;00152cos(q 2)

7: 466 104 + 0;00152cos(q 2) 7: 466 104

#"•q 1

•q 2

#+

+

"3;04 103 sin(q 2) _q 2 1 ;52 10

3 sin(q 2) _q 2

1 ;52 103 sin(q 2) _q 1 0

#"_q 1

_q 2

#+

+

"1: 6481cos(q 1) + 0;07848cos(q 1 + q 2)

0;07848cos(q 1 + q 2)

#

Obtención de modelos matematicos de manipuladores robóticos

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