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Ejercicios resueltos

OCW 2019: Curso práctico para el

análisis e inferencia estadística con

Mathematica

Bloque III: Variables aleatorias

Equipo docente del curso

Arrospide Zabala, Eneko

Martín Yagüe, Luis

Unzueta Inchaurbe, Aitziber

Soto Merino, Juan Carlos

Durana Apaolaza, Gaizka

Bikandi Irazabal, Iñaki

Departamento de Matemática Aplicada

Escuela de Ingeniería de Bilbao, Edificio II-I

OCW2019: Curso práctico para el análisis e inferencia estadística con Mathematica

EJERCICIOS DEL BLOQUE 3. VARIABLES ALEATORIAS

Ejercicio nº1

Enunciado

El diámetro interior, medido en centímetros, de ciertas arandelas fabricadas en un taller de

matricería es una variable aleatoria X que se distribuye según la función de densidad:

f �x� � c � �x� 1� � �3� x� si x � �1, 30 si x �1, 3

� a) Calcule el valor del parámetro c � � y represente gráficamente la función de densidad

� b) Obtenga la correspondiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X y

represéntela gráficamente

� c) Calcule el diámetro esperado de las arandelas y su desviación estándar

� d) �Qué percentil supone el valor x � 2.5112cm?

� e) Una empresa que compra al taller necesita, para uno de sus procesos productivos, arandelas

con un diámetro interior entre 1.7cm y 2.4cm; calcule la probabilidad de que una de las arandelas

fabricadas en el taller sea válida para ese proceso productivo

Resolución

� a) Calcule el valor del parámetro c � � y represente gráficamente la función de densidad

� Para que f �x� sea una función de densidad, el área limitada bajo la curva tiene que ser la

unidad:

dist1 � ProbabilityDistribution�c��x � 1��3 � x�, �x, 1, 3�;

Solve�Integrate�PDF�dist1, x, �x, 1, 3� 1

c �3

4

� Solución: c � 34

� Utilizando el método “Normalize”:

dist1 � ProbabilityDistribution�c��x � 1��3 � x�, �x, 1, 3�, Method � "Normalize";

PDF�dist1, x �� TraditionalForm

3

4�3� x� �x� 1� 1� x� 3

0 True

� Representación gráfica de la función de densidad:

PlotPDF�dist1, x, �x, 0, 4�, Filling � Axis, AxesLabel � HoldForm�"x", HoldForm" f �x�"

1


� b) Obtenga la correspondiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X y

represéntela gráficamente

CDF�dist1, x �� TraditionalForm

1 x 31

4�x3 � 6 x2 � 9 x� 4 1 � x � 3

� Solución: F �x� �0 si x� 1

14� 4� 9 x� 6 x2 � x3

1

si x � �1, 3�si x� 3

Plot�CDF�dist1, x, �x, �1, 6�, Filling � Axis,

PlotRange � �0, 1�, AxesLabel � �HoldForm�"x", HoldForm�"F�x�"�

� c) Calcule el diámetro esperado de las arandelas y su desviación estándar

Expectation�x, x � dist12

StandardDeviation�dist1 �� N

0.447214

� Solución: E�X � 2cm

SD�X � 0.4472cm

� d) �Qué percentil supone el valor x � 2.5112cm?

CDF�dist1, 2.51120.850003

� Se trata del percentil 85: P85� 2.5112cm

2


� e) Una empresa que compra al taller necesita, para uno de sus procesos productivos, arandelas

con un diámetro interior entre 1.7cm y 2.4cm; calcule la probabilidad de que una de las arandelas

fabricadas en el taller sea válida para ese proceso productivo

Probability�1.7 � x � 2.4, x� dist10.50225

� Solución: P �1.7� X � 2.4� � 0.50225

Ejercicio nº2

Enunciado

Una bolsa de tela contiene siete bolas, de las cuales tres son negras y cuatro blancas. Se extraen tres

bolas sin reemplazamiento.

� a) Represente gráficamente la función de masa de probabilidad

� b) Calcule la probabilidad de extraer dos bolas negras

� c) Calcule la probabilidad de extraer, al menos, una bola negra

� d) Calcule la probabilidad de sacar, a lo sumo, una bola negra

� e) �Cuál es el valor esperado y la desviación estándar para las bolas blancas?

Resolución

Se define la variable aleatoria X � ”número de bolas negras entre las tres extraídas de la bolsa”. La

variable X sigue una distribución hipergeómetrica: X � H 7, 3, 37

� Introducción de parámetros: tamaños de la población (tp) y muestral (n) y número de éxitos

iniciales (r)

n � 3; r � 3; tp � 7;

� Definición del modelo de distribución de probabilidad

dist2 � HypergeometricDistribution�n, r, tp;

� a) Represente gráficamente la función de masa de probabilidad

DiscretePlotPDF� dist2, x, �x, 0, 3�, PlotRange � ��0, 3�, �0, 0.5��, PlotMarkers � Automatic,

PlotLabel � "H�7,3,3

7�", AxesLabel � �HoldForm�"x", HoldForm�"p�x�"�

3


� b) Calcule la probabilidad de extraer dos bolas negras

PDF�dist2, 212

35

N�PDF�dist2, 2, 40.3429

� Solución: P �X � 2� � 1235

� 0.3429

� c) Calcule la probabilidad de extraer, al menos, una bola negra

1 � CDF�dist2, 031

35

PDF�dist2, 1 � PDF�dist2, 2 � PDF�dist2, 331

35

Probability�x � 1, x � dist231

35

N�31�35, 40.8857

� Solución: P �X 1� � 3135

� 0.8857

� d) Calcule la probabilidad de sacar, a lo sumo, una bola negra

CDF�dist2, 122

35

PDF�dist2, 0 � PDF�dist2, 122

35

Probability�x � 1, x � dist2 �� N

0.628571

� Solución: P �X � 1� � 2235

� 0.6286

� e) �Cuál es el valor esperado y la desviación estándar para las bolas blancas?

� Se define la variable aleatoria Y � ”número de bolas blancas entre las tres extraídas de la bolsa”.

La variable Y sigue una distribución hipergeómetrica: X � H 7, 3, 47

� Introducción de parámetros: número de éxitos iniciales (rb), los tamaños de la población y

muestral ya fueron definidos

4


rb � 4;


dist2b � HypergeometricDistribution�n, rb, tp;

� Valor esperado

�Mean�dist2b, Expectation�x, x � dist2b�

12

7,12

7

� Desviación estándar

StandardDeviation�dist2b �� N

0.699854

� Solución: E�X � 127

SD�X � 0.69985

Ejercicio nº3

Enunciado

La altura del alumnado de un centro de enseñanza se distribuye de forma normal, con una media

de 173cm y una desviación típica de 15cm.

� a) Calcule el primer cuartil de la población e interprete el resultado obtenido

� b) Se considera un individuo cuya altura es 160cm; �a qué porcentaje del alumnado es menor en

altura?

� c) Se considera un individuo cuya altura es 178cm; �a qué porcentaje del alumnado es mayor en

altura?

� d) Halle la probabilidad de que en un grupo de 100 estudiantes haya, al menos, 70 que midan

menos de 178cm

Resolución

Sea la variable aleatoria X � ”altura, en cm, del alumnado del centro de enseñanza”. La variable X sigue

una distribución normal: X � N �173, 15�.� Definición del modelo de distribución de probabilidad

dist3 � NormalDistribution�173, 15;

� a) Calcule el primer cuartil de la población e interprete el resultado obtenido

Para calcular el primer cuartil, Q1, se debe obtener el valor de la variable que deja el 25% de los

valores de la muestra a su izquierda (menores que él).

InverseCDF�dist3, 0.25162.883

� Primer cuartil: Q1 � P25� 162.8830cm

En conclusión, el 25% del alumnado del centro de enseñanza mide, a lo sumo, 162.88cm; por tanto,

el 75% restante mide, al menos, esa altura.

5


� b) Se considera un individuo cuya altura es 160cm; �a qué porcentaje del alumnado es menor en

altura?

1 � CDF�dist3, 160 �� N

0.806938


0.806938

� Percentil correspondiente: P80.69� 160cm

Este individuo es más bajo que el 80.69 % del alumnado del centro de enseñanza

� c) Se considera un individuo cuya altura es 178cm; �a qué porcentaje del alumnado es mayor en

altura?

CDF�dist3, 178 �� N

0.630559


0.630559

� Percentil correspondiente: P63.06� 178cm

Este individuo es más alto que el 63.06 % del alumnado del centro de enseñanza

� d) Halle la probabilidad de que en un grupo de 100 estudiantes haya, al menos, 70 que midan

menos de 178cm

� En el apartado anterior se ha calculado que la probabilidad de que un individuo mida menosde 178cm es 63.06 %.

� Se define la variable aleatoria Y � “número de individuos que miden menos de 178 cm al escoger alazar a cien estudiantes del centro de enseñanza”. La variable Y sigue una distribución binomial

con n � 100 intentos y una probabilidad de éxito p � 0.6306: Y � B �100, 0.6306� � Definición del modelo de distribución de probabilidad

pB � Probability�x � 178, x � dist3 �� N; nB � 100;

dist3B � BinomialDistribution�nB, pB;

1 � CDF�dist3B, 690.0895516

Probability�x � 70, x � dist3B �� N

0.0895516

� Solución: P �Y 70 Y � B �100, 0.6306�� 0.08955

� Utilizando la convergencia a la normal

� Una variable aleatoria Y � B �n , p� converge a la distribución Y ' � N n� p , n� p�q mu � nB�pB63.0559

sig � Sqrt�nB�pB��1 � pB�4.82654

6


� En este caso, Y � B �100, 0.6306� converge a la distribución Y ' � N �63.0559, 4.82654�

dist3N � NormalDistribution�mu, sig;

� Se superpone la gráfica de la función de densidad de la distribución normal a la de la

función de masa de la binomial

Show�DiscretePlot�PDF�dist3B, x, �x, 40, 90�,PlotRange � Full, PlotLabel � "B�100,0.6306��N�63.06,4.83�",

AxesLabel � �HoldForm�"x", HoldForm�"p�x�, f �x�"�, PlotMarkers � Automatic,Plot�PDF�dist3N, x, �x, 40, 90�, PlotRange � Full, PlotStyle � Orange

1 � CDF�dist3N, 69.50.0909141

Probability�x � 69.5, x � dist3N �� N

0.0909141

� Solución: P �Y ' 69.5 Y ' � N �63.0559, 4.82654�� 0.0909

Ejercicio nº4

Enunciado

La duración media, desde su venta hasta que son dados de baja, de los coches vendidos en un

concesionario oficial sigue una distribución exponencial con una vida media de 15.7 años.

� a) Represente la función de densidad de la variable X � “duración media, en años, de los cochesvendidos en un concesionario oficial”

� b) Calcule la probabilidad de que un coche dure mas de 7 años

� c) Calcule la probabilidad de que un coche dure mas de 15 años sabiendo que se compró hace, al

menos, 12 años

Resolución

� a) Represente la función de densidad de la variable X � “duración media, en años, de los cochesvendidos en un concesionario oficial”

7


� Definición del parámetro Λ

Λ � 1�15.70.0636943


dist4 � ExponentialDistribution�1�15.7;PDF�ExponentialDistribution�Λ, x �� TraditionalForm

0.0636943��0.0636943x x 00 True

PlotPDF�dist4, x, �x, 1, 50�, Filling � Axis, PlotRange � All,

PlotLabel � "��0.0637�", AxesLabel � HoldForm�"x", HoldForm" f �x�"

� b) Calcule la probabilidad de que un coche dure mas de 7 años

Probability�x � 7, x � dist40.640273

� Solución: P X � 7 X � � �0.0637� � 0.6403

� c) Calcule la probabilidad de que un coche dure mas de 15 años sabiendo que se compró hace, al

menos, 12 años

� Cálculo de la probabilidad condicionada:

Probability�x � 15 � x � 12, x � dist40.826064

� Solución: P X � 15 X � 12� X � � �0.0637� � 0.8261

� Utilizando la propiedad de “falta de memoria”, exclusiva de la distribución exponencial setiene que la probabilidad de que un coche dure mas de 15 años sabiendo que se compró hacemas de 12 años coincide con la probabilidad de que el coche dure mas de 3 años:

Probability�x � 3, x � dist40.826064

� Solución: P X � 3 X � � �0.0637� � 0.8261

8


Ejercicio nº5

Enunciado

Sea una variable aleatoria X cuya función de masa de probabilidad viene dada por:

� a) Calcule y represente la función de distribución

� b) Calcule P �X � 5�� c) Calcule P �X � 3 X � 7�� d) Calcule P �X � 7 X � 3�

Resolución

� a) Calcule y represente la función de distribución

� Se define la función de masa de probabilidad de la variable X:

dist5 � ProbabilityDistribution�Piecewise��0.3, 1 � x � 2�, �0.05, 2 � x � 3�, �0.1, 3 � x � 4�,�0.15, 4 � x � 5�, �0.2, 6 � x � 7�, �0.1, 7 � x � 8�, �0.1, 8 � x � 9��, �x, 0, 15, 1�;

PDF�dist5, x �� TraditionalForm

0.05 2 � x� 30.1 3� x� 4 � 7 � x� 90.15 4� x� 50.2 6 � x� 70.3 1 � x� 2

� Función de masa: f �x� �

0.300.05

0.10

0.150.200.100.10

si 1 � x � 2si 2 � x � 3

si 3� x� 4

si 4� x� 6si 6 � x � 7si 7 � x � 8si 8 � x � 9

� Usando EmpiricalDistribution:

dist5ED �EmpiricalDistribution��0, 0.3, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.1, 0.1� � �1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9�;

PDF�dist5ED, x �� TraditionalForm

0.3 Boole�2� x � 0.05 Boole�3� x � 0.1 Boole�4� x �0.15 Boole�5� x � 0.2 Boole�7� x � 0.1 Boole�8� x � 0.1 Boole�9� x � 0.

9


� Representación gráfica de la función de masa de probabilidad de la variable X:

DiscretePlot�PDF�dist5, x, �x, 1, 9�,AxesLabel � �HoldForm�"x", HoldForm�"p�x�"�, PlotMarkers � Automatic

� Función de distribución de probabilidad y su representación gráfica:

CDF�dist5, x �� TraditionalForm

0. x � 20.3 2� x� 30.35 3� x� 40.45 4 � x� 50.6 5 � x� 70.8 7 � x� 80.9 8 � x� 91. True

� Función de distribución: F �x� �

00.30

0.35

0.450.600.800.90

1

si x� 2si 2 � x � 3

si 3� x� 4

si 4� x� 5si 5 � x � 7si 7 � x � 8si 8 � x � 9

si x� 9

Plot�CDF�dist5, x, �x, 0, 10�, Filling � Axis,

PlotRange � �0, 1�, AxesLabel � �HoldForm�"x", HoldForm�"F�x�"�

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� b) Calcule P �X � 5�Probability�x � 5, x � dist50.4

� Solución: P �X � 5� � 0.4

� c) Calcule P �X � 3 X � 7�Probability�Conditioned�x �� 3, x � 7, x� dist50.0833333

Probability�x �� 3 � x � 7, x� dist50.0833333

� Solución: P �X � 3 X � 7� � 0.0833

� d) Calcule P �X � 7 X � 3�Probability�x � 7 � x � 3, x� dist50.692308

� Solución: P �X � 7 X � 3� � 0.69233

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