UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV: CUARTO CICLO “A” Y “B”

I. HALLAR EL ORDEN Y GRADO DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS:

1) (

)

(

)

SOLUCIÓN:

( ) ( ) (

) (

)

( (

)

)

( (

)

)

(

) (

) (

)

( )(

)

(

)

(

)

ORDEN: 5

GRADO: 18

2) ( ) ⁄ { ( ) }

( )

3)

(

)

( )

SOLUCIÓN:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ORDEN: 6

GRADO: 2

4) ( )

SOLUCIÓN:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ORDEN: 3

GRADO: 2

5) ( ) ( )

SOLUCIÓN:

(

)

⁄

(

)

(

)

(

)

( (

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ORDEN: 3

GRADO: 5

III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada

una de las relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.

1). ( ) ( )

√ (

√ ( )

√ ( ))

{ ( ) ( ) ( ) ( )} ( )

Derivando

( )

( ) ( )

( ) ( )

Derivando:

( ( ) ( ))

( )

Derivando:

(( ) ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2). ( )

( )

( ) ( ) √ (

√ ( )

√ ( ))

( ) ( ) √ ( (

))

(

) (

) √ ( (

))

(

) ( )

Sumamos x y x’

( ) ( ( ) ( )))

√ (

)

√ ( (

) (

))

√ √ ( )

( )

( )

Derivando:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3).

Derivando

4). | |

(

) ( )

(

)

Derivando:

( (

) ( ) ( (

))

( )

( ) ( ( )( ))

( )( )

Derivando

( ( )( ))( ) ( ( )( )) ( )

( )

{ ( ) ( )( )}{( )}

{ ( )( )}{ }

5).

( )

6).

𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑏

Derivando

𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑦

𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑦

Derivando

Derivando

(( )

) ( )

( )

7). ;

( )

Derivando

( ) ( )

( ) ( )

8). ( ) ( )

{ ( ) ( )}……(1)

{ ( ) ( )} { ( )

( )}……………(2)

Reemplazando ( ) ( )

{ ( ) ( )}………………(3)

{ ( ) ( )} { ( ) ( )}

……….(4)

Reemplazando ( ) ( ) ( ) ( )

( )

La ecuación resultante es:

10. ( ) ( )

Solución

( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( )

(1)+ (2)

( )

( )

2(3)+(4)

( )

( )

-2(5)+(6)

IV Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias

de las curvas en el plano :

1. Todas las rectas con pendiente igual a 1.

( )

( )

( )

⇒

( )

⇒

⇒

3. Rectas con pendiente y la intersección con el eje y iguales

( )

Derivando (1)

( )

Reemplazando (2) en (1)

( )

4. Rectas con pendiente y la intersección con el eje x iguales

( )

Derivando (1)

( )

Reemplazando (2) en (1)

( )

( )

5. Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k.

Solución

Sea y=Ax+B la familia de rectas

Si y=0

Por condición

⇒ ( )

( )( )

6. Circunferencias con el centro en el origen.

SOLUCIÓN:

( ) ( )

( ) ( )

⇒ ( )

( )

( ) ⇒ ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

⇒

⇒

⇒

⇒ ( ) ( )( )

( ) ( ) ⇒

⇒ ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ⇒

( )( )

( ) ( ) ( )( ) [ ( )

]

( ) ( )( ( ) )

9. Circunferencias con centro sobre la recta

que pasen por el

origen.

SOLUCION

( ) ( ) ( )

Remplazando:

(

)

( )

Derivando

(

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

( )

Remplazando

(

( )

)

( ( )

)

( ( )

)

( ( )

)

( ( )

)

( ( )

)

(

)

( ( )

)

( ) ( ( ))

( )

10.circunferencias con centro el punto arbitrario P(C,D) Y radio igual a r

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Derivando (1)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Reemplazando (2) en (1)

( ( )) ( )

( ) (( ) ) ( )

Derivando (2)

( )

( )

( )

Reemplazando (2) en (3)

( ( )

)

(( ) )

( )

( ) (( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

9. Parábolas con el eje paralelo al eje “y” y con la distancia del vértice al

foco igual a “A”

Ecuación de la parábola:

𝑦

𝑎 𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎

𝑦

𝑎 𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎

( ) ( )

( ) ( )

: ( ) ( )

( )

10. parábolas con el eje y foco sobre el eje x

( ) ( )

( )

:

( )

11. Parábolas con el eje paralelo al eje X.

Solución

La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Pero de (2)

( ) ( )

Reemplazando en (3)

( )

( ( )

)

( ) ( )

V) determinar para que valores de “m” cada una de las siguientes ecuaciones

diferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma .

1).

Derivadas de

( )

( )( )

2). ( )

( )

( )( )

{ }

3).

( )( )

( )( )( )

{

}

𝑦 𝑚 𝑒𝑚𝑥

𝑦 𝑚𝑒𝑚𝑥

𝑦 𝑚 𝑒𝑚𝑥

VI. resuélvase cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables

separables:

1)

2)

∫

∫

3).

(

) (

)

[ (

) (

)]

(

) (

)

(

) (

)

∫ (

)

∫ (

)

| (

) (

)| (

)

| (

) (

)| (

)

4). ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

)

∫ ∫ ∫

∫

( ) | |

5). ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ( ))

∫( )

( ) ∫

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

8).

SOLUCIÓN:

{

( )

{

{

⁄

⁄

( )( )

( ( ))( ( ) ( ))

( )( )

11) ( ) ( )

Solución

Sea

Reemplazando

( (

)

(

)

(

)) ( (

)

(

) ) (

)

(

) (

) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

∫

∫

( )

| | | |

| | | |

⇒ | |

12) ( )

SOLUCIÓN:

[(

)

]

[(

)

]

( )

( )

( )

∫

∫

( )

( ) √

(

√ )

( ) √

(

√ )

( ) √

(

√ )

√

(

√ )

√

(

√ )

√

(

√ )