ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

ONDAS ELECTROMAGNTICAS

LUIS FRANCISCO GARCA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FSICA BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

ONDAS ELECTROMAGNTICAS

LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FSICA BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

Contenido1

3.1 3.2 3.3

INTRODUCCION CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES ONDAS ELECTROMAGNETICAS VIAJERAS EN LINEAS DE TRANSPORTE Y CABLES COAXIALES.

3.3.1 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE 3.3.2 IMPEDANCIA CARACTERISTICA 3.3.3 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN PUNTOS DE DISCONTINUIDAD 3.3.4 EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO 3.4 ECUACIONES DE MAXWELL

3.4.1 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO . ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE 3.4.2 ONDAS ELECTROMAGNTICAS PLANAS 3.4.3 POLARIZACION DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS 3.4.4 . 3.5 . 3.6 3.7 3.8 3.8.1 3.8.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE LOS CAMPOS ELECTRICO MAGNETICO Y LA DIRECCION DE PROPAGACION Y

ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS VECTOR DE POYNTING MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA RADIACION DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS ANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE POTENCIALES RETARDADOS

3.8.3 CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN DIPOLO 3.8.4 CAMPO MEGNETICO DEBIDO A UN DIPOLO 3.8.5 VECTOR DE POYNTING PROMEDIO 3.8.6 POTENCIA TOTAL RADIADA POR UNA ANTENA DE DIPOLO1

3.9 3.10 . 3.11

PRESION DE RADIACION RELEXION Y TRANSMISION DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS EN DIELECTRICOS TRANSPARENTES PROBLEMAS.

Pasos fundamentales para el estudio de las ondas electromagnticas

A partir de : LAS ECUACIONES DE MAXWELL

Se deduce la ecuacin diferencial de una onda electromagntica

Su solucin es una onda electromagntica plana progresiva o viajera

Al aplicar las ecuaciones de MAXWELL a las ondas ELECTROMAGNETICAS se demuestra la perpendicularidad entre los vectores de campo elctrico E, de campo magntico B, y de propagacin K.

LA INTENSIDAD DE LA ONDA ELECTROMAGNETICA

Se determina a partir de la definicin de

VECTOR DE POYNTING

Flujo de energa por unidad de rea y de tiempo, potencia por unidad de rea

Pasos fundamentales para determinar el estado de polarizacin de las ondas electromagnticas

Tomar las ondas del CAMPO ELECTRICO de dos ondas electromagnticas

Superponer las dos ondas de CAMPO ELECTRICO teniendo en cuenta el principio de SUPERPOSICION

Tener en cuenta si las amplitudes de las dos ondas son iguales o diferentes

Determinar la diferencia de fase entre las dos ondas

Clasificar el ESTADO DE POLARIZACION DE LA ONDA con base en la diferencia de fase, en :

POLARIZACION LINEAL O ESTADO P

POLARIZACION CIRCULAR A DERECHA O ESTADO R

POLARIZACION CIRCULAR A IZQUIERDA O ESTADO L

POLARIZACION ELIPTICA A DERECHA O ESTADO ER

POLARIZACION ELIPTICA A IZQUIERDA O ESTADO EL

Pasos fundamentales para estudiar la radiacin del dipolo elctrico oscilante

Usar las definiciones de:

POTENCIAL ESCALAR V POTENCIAL VECTORIAL

Obtener los campos ELECTRICO y MAGNETICO a partir de las siguientes expresiones

OBTENER EL VECTOR DE POYNTING DE ACUERDO A SU DEFINICION

Obtener la POTENCIA PROMEDIO RADIADA mediante:

CAPITULO 3ONDAS ELECTROMAGNTICAS3.1 INTRODUCCION Las ondas electromagnticas predichas por James Clerk Maxwell (1831-1879), fueron obtenidas experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), quien comprob la existencia de ondas electromagnticas de longitud de onda larga, cuando cre el primer emisor y receptor de radio en 1887, ocho aos despus de la muerte de Maxwell. Las ondas electromagnticas se deducen de las ecuaciones de Maxwell y por tanto se puede decir que las ecuaciones de Maxwell se transforman en dos expresiones vectoriales extremadamente concisas que corresponden a las ecuaciones diferenciales que relacionan los campos elctricos y magnticos y sus derivadas respecto del espacio y del tiempo en cualquier punto, estas son:

La figura (3.1) muestra el espectro electromagntico, el cual cubre una amplia gama de frecuencias, cuya clasificacin no tiene lmites precisos ya que fuentes diferentes pueden producir ondas en intervalos de frecuencia superpuestos parcialmente. Como puede observarse en la figura el espectro electromagntico abarca desde los rayos gamma hasta las ondas de radiofrecuencia, pasando por los rayos X, los rayos ultravioleta, la luz o espectro visible, el espectro infrarrojo y las microondas.

Fig. 3.1 Espectro electromagntico

Para una persona promedio, las diferentes sensaciones que la luz produce en el ojo, se denominan colores, dependen de la frecuencia ( de la longitud de onda) de la onda electromagntica y corresponden a los siguientes intervalos:

Color Violeta Azul Verde Amarillo Naranja Rojo

(m) 3,90 4,55 x 10-7 4,55 4,92 4,92 5,77 5,77 5,97 5,97 6,22 6,22 7,80

F (Hz) 7,69 6,59 x 1014 6,59 6,10 6,10 5,20 5,20 5,03 5,03 4,82 4,82 3,84

Aunque Maxwell concluy que la luz era una onda electromagntica, se sabe que los fotones tienen manifestaciones de partculas, por tal motiva la pregunta Qu es la luz? Contina inmutable. En este captulo analizaremos las ondas electromagnticas planas, la energa y el momentum de una onda electromagntica, el vector de Poynting, la intensidad, la radiacin y la presin de radiacin de las ondas electromagnticas.

3.2 CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES: Las caractersticas fundamentales de las ondas electromagnticas podemos sintetizarlas en: -Las ondas electromagnticas son transversales. -Los campos -El producto cruz son perpendiculares. apunta en la direccin de propagacin.

-La velocidad de propagacin de las ondas electromagnticas en el espacio libre es igual a la velocidad de la luz.

3.3 ONDAS ELECTROMAGNTICAS VIAJERAS EN LINEAS DE . TRANSPORTE Y CABLES COAXIALES

Lnea de transmisin: Una lnea de transmisin se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energa de un punto a otro. El uso principal de una lnea de transmisin consiste en transmitir seales (palabras, imgenes, datos, msica) y potencia. Una lnea de transmisin consta bsicamente de dos terminales en los que se suministra potencia (o informacin) y dos terminales en los que se recibe la potencia o informacin, es decir una lnea de trasmisin se puede considerar como un dispositivo de cuatro terminales permite conectar los distintos dispositivos elctricos. Las guas de onda, las fibras pticas y los enlaces de radio con antenas pueden considerarse lneas de transmisin. La figura (3.3-1) muestra algunos ejemplos de lneas de transmisin

Vista longitudinal

seccin transversal

Batera

Lnea Bifilar (cc)

Generador

Lnea Bifilar (ca)

Lnea Coaxial (cc, ca, RF)

Lnea de Microcinta (RF)

Gua de onda rectangular (RF)

Fibra ptica (luz)

Radio enlace Con antenas

Figura (3.3.1) Ejemplos lneas de transmisin.

Clasificacin de las lneas de transmisin: Las lneas de transmisin pueden clasificarse de la siguiente manera Tipo de modo TEM (electromagntico transversal): son enteramente transversales. La potencia fluye a lo largo de los conductores y entre ellos, como sucede con las lneas bifilares y las lneas coaxiales. Tipo de modo superior: , o ambos, tienen componentes en la direccin de transmisin. La potencia fluye en el interior del conductor, tal como ocurre con las fibras pticas. Los patrones como el campo elctrico y magntico para el modo TEM en una lnea coaxial circular se muestran en la figura (3.3-2)

Figura (3.3-2) Patrn de campo electromagntico para el modo TEM (modo electromagntico transversal) en una lnea de transmisin coaxial.

3.3.1 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE: Las ecuaciones diferenciales de las ondas de voltaje y corriente en el dominio del tiempo, de una lnea de transmisin uniforme se hallan considerando el circuito equivalente a una porcin infinitesimal de una lnea de transmisin uniforme, como se muestra en la figura (3.3.1-1)

s

Figura (3.3.1-1) Circuito equivalente, de una porcin infinitesimal de una lnea de transmisin uniforme, en el dominio del tiempo.

La seccin infinitesimal de la lnea de la longitud , localizada en la coordenada sobre la lnea, tiene una serie , una capacitancia en paralelo y una conductancia en paralelo Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene: (3.3.1-1)

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes, se obtiene: (3.3.1-2)

Dividiendo por y haciendo que tienda a cero, las ecuaciones (3.3.1-1) y (3.3.1-2) pueden escribirse mediante:

Las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) forman la base del estudio de las lneas de transmisin desde el punto de vista de su representacin mediante un circuito con parmetros distribuidos.

Lnea sin prdidas Una lnea de transmisin sin prdidas, puede considerarse como una lnea ideal en la que , por tanto las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) se reducen a:

Derivando la ecuacin (3.3.1-5) respecto de

se obtiene: (3.3.1-7)

Derivando la ecuacin (3.3.1-6) respecto de se obtiene: (3.3.1-8)

Teniendo en cuenta que:

Reemplazando la ecuacin (3.3.1-8) en la ecuacin (3.3.1-7) se sigue que:

Anlogamente se obtiene:

(3.3.1-11)

Las ecuaciones (3.3.1-10) y (3.3.1-11) son ecuaciones unidimensionales correspondientes a las ondas de voltaje y de corriente que se propagan en la lnea de transmisin con velocidad

V = Las soluciones para V e I en todo punto de la lnea es una combinacin de las ondas incidente y reflejada,

V = Vi

I = Ii

La corriente I puede expresarse en funcin de los voltajes de las ondas incidente y reflejada sustituyendo la ecuacin (3.3.1-12) en la ecuacin (3.3.1.5), as:

=

Siendo:

La impedancia caracterstica de la lnea. Si R y G son grandes respecto a L y C respectivamente, las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) se transforman en:

Derivando la ecuacin (3.3.1-16) respecto a z, se obtiene:

Reemplazando (3.3.1-17) en (3.3.1-18) se sigue que:

La solucin de (3.3.1-20) es de la forma:

Que corresponde a un decrecimiento exponencial y no a una onda armnica.

3.3.2 IMPEDANCIA CARACTERISTICA: Podemos excitar un extremo de una lnea de transmisin conectando los conductores interior y exterior a una fuente de voltaje sinusoidal de frecuencia Esto causa una onda electromagntica que viaja a lo largo de la lnea con campos dados por

Las amplitudes son funciones de la coordenada radial r. La perturbacin puede ser representada en trminos de las ondas de voltaje y de corriente dadas por:

V=

I=Donde es la velocidad de fase, de magnitud

Para el caso de una lnea sin prdidas V e I estn relacionadas mediante las siguientes dos ecuaciones diferenciales:

Sustituyendo (3.3.2-1) y (3.3.2-2) en (3.3.2-3) se sigue que:

Efectuando la derivacin indicada se obtiene:

Sustituyendo (3.3.2-1) y (3.3.2-2) en (3.3.2-4) se sigue que:

Efectuando la derivacin indicada se obtiene:

Dividiendo la ecuacin (3.3.2-7) por la ecuacin (3.3.2-10) se sigue que:

Las amplitudes de voltaje y corriente estn conectadas con un parmetro importante denominado impedancia caracterstica de la lnea.

Donde: Z = impedancia caracterstica, L = inductancia por unidad de longitud, H C = capacidad por unidad de longitud, F Por tanto, la impedancia caracterstica se obtiene tomando la razn de la tensin V a travs de la lnea a la corriente I a travs de la lnea para una sola onda viajera, es decir, la razn de voltaje a la corriente de una onda individual en la lnea.

Para la onda incidente:

Para la onda reflejada:

Donde el signo menos denota que la corriente se dirige hacia el sentido negativo del eje z. Las ecuaciones (3.3.2-1) y (3.3.2-2) pueden volverse a escribir mediante:

V =

I=

CALCULO DE LA IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE UNA LINEA COAXIAL: El modo TEM (electromagntico transversal) de una lnea coaxial, tiene un campo elctrico puramente radial y un campo magntico que es puramente acimutal como se muestra en la figura (3.3.2-1)

Fig. (3.3.2-1) Seccin de una lnea de transmisin coaxial, ilustrando la configuracin del campo elctrico ( ) y del campo magntico (- - -) del modo TEM principal.

De la ley de Ampere

El flujo de una lnea de longitud es:

De la ley de induccin de Faraday FEM =

El campo elctrico a una distancia r entre los conductores se deduce de la ley de Gauss: si Q es la carga instantnea en alguna posicin z a lo largo del conductor interior, entonces:

La diferencia de potencial entre los cilindros coaxiales es:

Y por definicin la capacitancia es:

C

C=

Luego la capacitancia por unidad de longitud es:

C Usando las expresiones (3.3.2-24) y (3.3.2-30) se obtiene la impedancia caracterstica de la lnea de la transmisin coaxial, la cual est dada por:

Si el medio que llena la lnea es diferente de vaco, entonces:

Para el caso de una lnea de dos hilos (tambin llamada bifilar), como se muestra en la figura (3.3.2-2), si , se tiene:

Fig. (3.3.3-2) Lnea de transmisin bifilar o de dos hilos.

POTENCIA TRANSMITIDA: La potencia instantnea transmitida se encuentra tomando las partes reales de las ecuaciones para V e I dadas por (3.3.2-16) y (3.3.2-17), y efectuando su multiplicacin as:

La potencia promedio viene dada por:

Bajo condiciones ms generales, una onda reflejada viajar a la izquierda, as que las expresiones para el voltaje y la corriente son:

V =

I =

Deseamos encontrar cmo las condiciones de la carga gobiernan las amplitudes e de las ondas reflejadas.

En la figura (3.3.2-3) se muestra una lnea de transmisin con el generador situado a la izquierda y el receptor o carga situado al lado derecho.

Figura (3.3.2-3) Lnea de radiofrecuencia mostrando el generador y el receptor (o carga), asumiendo que la carga es una resistencia pura.

La amplitud est dada por / donde es la impedancia caracterstica de la lnea de la transmisin. En forma similar se puede demostrar que la amplitud de la onda reflejada es . Por consiguiente las ecuaciones (3.3.2-37) y (3.3.2-38) pueden

escribirse en la forma:

V = I =

Consideremos que la carga est situada en y que en este punto el voltaje toma el valor y la corriente el valor . Con estas condiciones de frontera, las ecuaciones (3.3.2-39) y (3.3.2-40) se convierten en:

VL =

IL =

Denotando por ZL la Impedancia de carga, tomando la razn de VL a IL se obtiene:

ZL

=

z0

3.3.3 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: 3.3.3.1 Coeficiente de reflexin de voltaje:

Se designa por rv = ( r) y representa la fraccin de la onda de voltaje incidente reflejada en la carga. Este valor es:

rv =

=

(3.3.3.1-1)

La expresin (3.3.3.1-1) se obtiene de la ecuacin (3.3.2-43), dividiendo el miembro de la derecha por Vi, as:

ZL =

Z0

(3.3.3.1-2)

ZL =

Z0

(3.3.3.1-3)

ZL (1 - v)

=

Zo (1 + v)

(3.3.3.1-4)

v (Z0 + ZL) =

ZL - Z0)

(3.3.3.1-5)

v =

(3.3.3.1-6)

3.3.3.2 Coeficiente de reflexin de corriente:

Puesto que

Ii

=

e

Ir = -

, se deduce que el

coeficiente de reflexin de corriente es:

I =

=

= -

= -

(3.3.3.2-1)

Comparando (3.3.3.1-6) con (3.3.3.2-1), podemos concluir que:

I =

- v =

- ,

(3.3.3.2-2)

Donde puede tener valores comprendidos entre - 1 y 1, o sea, -1 1, siendo = -1 para una lnea de transmisin cortocircuitada, es decir, cuando ZL = 0, y = 1 para una lnea de circuito abierto, es decir, cuando ZL = .

3.3.3.3 Coeficiente de transmisin de voltaje:

El coeficiente de transmisin de voltaje v ( ) se define como la razn del voltaje en la carga al voltaje incidente, y viene dado por:v

=

=

(3.3.3.3-1)

v

= =

1+ 1+

= 1 + v =

(3.3.3.3-2) (3.3.3.3-3)

v

3.3.3.4 Coeficiente de transmisin de corriente: El coeficiente de transmisin de corriente I se define como la razn de la corriente en la carga a la corriente incidente, as:

I

= = =

=1 + I = 1-

= 1+

(3.3.3.4-1) (3.3.3.4-2) (3.3.3.4-3)

I

I

3.3.4

EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO:

3.3.4.1 Extremo libre o lnea en circuito abierto: La figura (3.3.4.1-1) muestra una lnea de transmisin abierta en el extremo receptor.

Fig. (3.3.4.1-1) Lnea de transmisin a la que se conecta bruscamente una batera y una resistencia R.

En el extremo distribuidor se conecta a la lnea una batera en serie con una resistencia R en el instante t = 0. Nuestro propsito consiste en hallar la variacin de corriente y de voltaje. La impedancia de entrada de la lnea es la impedancia caracterstica Z0. Durante el intervalo de tiempo 0 t 2T el voltaje en el extremo distribuidor es: Vs =

Is Z0 =

Z0 =

(3.3.4.1-1)

La onda de voltaje Vs que se origina, se propaga hacia el extremo abierto donde se refleja con el coeficiente de reflexin.

=

= 1

(3.3.4.1-2)

Y vuelve al extremo distribuidor donde se refleja con el coeficiente: s = (3.3.4.1-3)

La figura (3.3.4.1-2) muestra la onda en la lnea para tres instantes. La lnea de transmisin en circuito abierto es un problema parecido al de la carga de un condensador mediante una batera a travs de una resistencia. Si consideramos la lnea en circuito abierto como un condensador de capacidad C = C donde C es la capacidad por unidad de longitud de la lnea, la constante de tiempo del circuito equivalente que se carga es:

RC = (3 Z0) (C

) = 3

(C

) = 3

(3.3.4.1-4)

RC =

= 3T,

(3.3.4.1-5)

Donde T es el tiempo empleado por la onda para recorrer una distancia .

Figura (3.3.4.1-2) Voltaje y corriente total en lnea, en circuito abierto. La curva de trazos es la onda de corriente reflejada. La relacin de corriente entre las ondas incidente y reflejada es Ir = - Ii.

La expresin para el voltaje del condensador es:

Vs

=

Vb

= =

Vb

(3.3.4.1-6)

Que se representa en la figura (3.3.4.1-3)

Figura (3.3.4.1-3) Representacin del voltaje y la corriente en el extremo distribuidor en una lnea en un circuito abierto. Las curvas a trazos son el voltaje y la corriente del circuito equivalente concentrado RC.

3.3.4.1 Extremo cortocircuitado: Consideremos una lnea de transmisin de longitud cortocircuitada en el extremo receptor, como se indica en la figura (3.3.4.2-1). En el instante t = 0

Figura (3.3.4.2-1) Lnea de transmisin cortocircuitada a la que se conecta bruscamente un voltaje Vb. T es el tiempo empleado por una onda que se propaga con velocidad v para alcanzar el extremo receptor.

Se cierra el interruptor, conectado a una batera de voltaje V b al extremo distribuidor de la lnea de transmisin. Nuestro propsito consiste en: a) Determinar el voltaje y la corriente de las ondas incidentes y reflejada. b) Determinar el voltaje y la corriente en los extremos distribuidor y receptor. ( a ) Si la batera permanece conectada debe circular una corriente infinita. La forma en que se establece la corriente es la siguiente:

Para una lnea infinita.

avanza una onda en la lnea que es idntica a la de

En el instante , la onda incidente alcanza el cortocircuito que da por resultado la emisin de una onda reflejada, ya que el voltaje total en el cortocircuito debe ser nulo, es decir

VR = Vi + Vr = 0 Vi = -Vr v = = - 1

(3.3.4.2-1) (3.3.4.2-2)

La corriente en la onda reflejada se obtiene teniendo en cuenta que:

I =

= - v = - (- 1) = 1

(3.3.4.2-3)

Ir

=

Ii

(3.3.4.2-4)

Por tanto, la corriente en la onda reflejada se suma a la corriente de la onda incidente.

La corriente total en ZL es:

IL = Ii + Ir

(3.3.4.2-5)

Pero de (3.3.4.2-4) Ir

=

Ii, entonces:

IL = Luego para T corriente

2Ii

= 2

= 2

(3.3.4.2-6)

2T, la onda reflejada deja atrs el voltaje nulo y la

en la lnea de transmisin.

En el instante 2T, la onda reflejada llega a la batera que hemos supuesto que tiene una resistencia interna nula y por esto tiene un coeficiente de reflexin s = -1. Por tanto, la onda se refleja en la batera como se refleja en el corto circuito y contina oscilando adelante y atrs en la lnea durante el establecimiento de la corriente, mientras que el voltaje de la lnea flucta entre cero y el voltaje de la batera Vb.

La figura (3.3.4.2-2) muestra las ondas de voltaje y corriente para tres instantes.

(b) La figura (3.3.4.2-3) muestra el voltaje total y la corriente en funcin del tiempo, tanto en el extremo distribuidor como en el extremo receptor.

Onda de voltaje reflejada

Figura (3.3.4.2-2) Voltaje y corriente total en la lnea cortocircuitada. La corriente en las ondas incidente y reflejada est relacionada por Ir = v Ii.

Figura (3.3.4.2-3). Voltajes y corrientes en el extremo distribuidor y en el extremo receptor de una lnea cortocircuitada. La figura central muestra el voltaje pulsante en el punto medio de la figura.

3.4

ECUACIONES DE MAXWELL.

Las cuatro ecuaciones llamadas tradicionalmente ecuaciones de Maxwell, para un medio isotrpico, homogneo, lineal (no ferroelctrico ni ferromagntico), considerado en reposo, se pueden escribir mediante:

(3.3.4.1)

(3.3.4.2)

(3.3.4.3)

(3.3.4.4)

Teniendo en cuenta que la ley de Ohm puede escribirse como:

=

(3.3.4.5)

La ecuacin (3.4.4) puede volverse a escribir mediante:

(3.3.4.6)

3.4.1 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE: Para obtener la ecuacin de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell, debemos formar las segundas derivadas respecto a las variables del espacio. Para tal efecto, aplicando el rotacional de la ecuacin (3.4-6) es obtiene:

x(

)=

(

)+

)

(3.4.1-1)

Sustituyendo (3.4-3) en (3.4.1-1) se sigue que:

x(

)=

-

(3.4.1-2)

Haciendo uso de la siguiente identidad de operadores:

x(

)=

(

2

(3.4.1-3)

Se concluye que:

x(

)=

(

2

(3.4.1-4)

Insertando (3.4-2) en (3.4.1-4), se obtiene que:

x(

)=

2

(3.4.1-5)

Reemplazando (3.4.1-5) en (3.4.1-2):

-

=0

(3.4.1-6)

En forma similar, tomando el rotacional de (3.4-3):

x(

)=-

(

)

(3.4.1-7)

Insertando (3.4-4):

x(

)=-

(3.4.1-8)

Usando (3.4.1-3):

(

)-

2

=

-

(3.4.1-9)

Insertando (3.4-1) en (3.4.1-9), se obtiene:

2

=

-

(3.4.1-10)

2

-

=

(3.4.1-11)

Para un medio sin carga (p = 0), por lo tanto:2

-

=0

(3.4.1-12)

Las ecuaciones (3.4.1-6) y (3.4.1-12) son conocidas como ecuaciones de la telegrafa.

En medios no conductores = 0 y las ecuaciones (3.4.1-6) y (3.4.1-12) se reducen a:

2

= 0

(3.4.1-13)

2

= 0

(3.4.1-14)

En el espacio libre o medio no conductor del vaco

P =0 ,

=0 ,

=

y

=

0

,

Entonces las ecuaciones (3.4.1-13) y (3.4.1-14) se convierten en:

2

=

0

(3.4.1-15)

Y2

=

0

(3.4.1-16)

Que corresponden a las ecuaciones diferenciales de los campos describen una onda electromagntica en el espacio libre.

que

3.4.2 ONDAS ELECTROMAGNTICAS PLANAS: Consideremos que las tres componentes de las tres componentes de solamente una depende del tiempo y de una coordenada espacial, digamos La ecuacin (3.4-1) para el espacio libre es:

= 0

(3.4.2-1)

(3.4.2-2)

Pero como hemos supuesto que

no vara con

e

, se sigue que:

(3.4.2-3) Lo cual significa que la componente del campo elctrico en direccin de una constante. es

La ecuacin (3.4-4) para el espacio libre, puede escribirse de la siguiente manera:

=

0

(3.4.2-4)

Tomando la componente

del rotacional de la ecuacin (3.4.2-4) se tiene:0

(3.4.2-5)

Puesto que

no vara con

e

se sigue que:

(3.4.2-6)

Lo cual significa que es constante en el tiempo. Por tanto la componente es independiente tanto del espacio como del tiempo y decimos que el campo es constante si se tratara del campo entre las placas de un capacitor de placas paralelas conectado a una batera de corriente continua. Este campo no es de inters por cuanto en estudio de las ondas se busca campos que varan dinmicamente. As, que estamos en libertad de tomar . Usando los mismos argumentos para el campo magntico podemos darnos cuenta que tambin es cero. Al asumir que t se concluye que: y varan solamente con respecto de y de

(3.4.2-7) (3.4.2-8)

Las dos ecuaciones rotacionales pueden escribirse con nuestro postulado inicial as:

( a ) (3.4.2-9)

0

( b )

( a ) (3.4.2-10)0

( b )

Hemos encontrado dos conjuntos de ecuaciones. El primero relaciona solamente las variables y , y el segundo relaciona solamente las

. Manipulando las dos ecuaciones de (3.4.2-9) podemos eliminar una de las dos variables o . Para este propsitovariables y diferenciemos ambos miembros de la ecuacin (3.4.2-9) ( a ) con respecto de

(3.4.2-11)

Intercambiando el orden de diferenciacin con respecto a de la ecuacin (3.4.2-9), se sigue que:

y

, y sustituyendo

0

(3.4.2-12)

En forma similar se obtiene que: (3.4.2-13)

Las ecuaciones (3.4.2-12) y (3.4.2-13) son conocidas como ecuaciones de onda unidimensionales, una para y otra para . Ellas representan ondas planas viajando en la direccin de ms o menos con una velocidad de fase

v

=

Esta onda electromagntica es totalmente

transversal, es decir, no tiene componentes longitudinales . Adems, el campo elctrico y el campo magntico se encuentran en ngulo recto uno de otro.

ONDA VIAJERA SINUSOIDAL PLANA: Consideremos una onda sinusoidal de frecuencia que viaja a lo largo de la direccin positiva de La ecuacin (3.4.2-12) demanda que la solucin sea de la forma

(3.4.2-14)

Donde es la amplitud y es la fase del campo elctrico de la onda; las cantidades = v = . Las soluciones del campo magntico determinadas por (3.4.2-13) sern de forma similar:

(3.4.2-15)

Puesto que y estn relacionadas por las ecuaciones de Maxwell; las amplitudes y las fases de los campos pueden determinarse sustituyendo las ecuaciones (3.4.2-14) y (3.4.2-15) en (3.4.2-9) ( a ) y (3.4.2-9) ( b ) , obtenindose como resultado las siguientes ecuaciones:

(3.4.2-16)

(3.4.2-17)

Las cuales deben cumplirse para todo tiempo puede cumplirse solamente si:

y en todos los lugares

. Esto

Demostrando que el campo elctrico y el campo magntico estn exactamente en fase uno con otro.

Dividiendo (3.4.2-17) en (3.4.2-16) se obtiene:

(3.4.2-18)

(3.4.2-19)

La relacin (3.4.2-19) da la magnitud del campo magntico en trminos de magnitud del campo elctrico. Por tanto, el resultado obtenido para la onda viajera sinusoidal plana, que viaja a lo largo de + z, es:

(3.4.2-20)

(3.4.2-21)

En la figura (3.4.2-1) se muestra la onda electromagntica viajera sinusoidal plana.

Figura (3.4.2-1). Onda electromagntica viajera sinusoidal plana mostrando las direcciones instantneas de los vectores de los campos elctrico y magntico.

Si la onda se propaga en la direccin negativa de y si en un instante apunta a lo largo de + , entonces apunta a lo largo de . Esto es debido a que los vectores , y el vector de propagacin de una onda electromagntica plana en el espacio libre son siempre ortogonales (perpendiculares) el uno con el otro y tienen direcciones especificadas por la regla de la mano derecha o regla del tornillo, donde el tornillo apunta a lo largo de , como se muestra en la figura (3.4.2-2). Las ecuaciones (3.4.2-20) y (3.4.2-21) son un caso especial de una onda plana, uniforme y transversal. Es un caso especial porque la onda se propaga solamente a lo largo del eje , adems respectivamente. y solo tiene componentes e

Figura (3.4.2-2). Los vectores de campo y y el vector de propagacin plana en espacio libre, son mutuamente ortogonales en todo instante.

de una onda

Para el caso ms general, se dice que la onda es transversal porque y no tienen componentes a lo largo del vector de propagacin . La onda es uniforme porque ni ni varan sobre un plano normal a la direccin de propagacin. Sin embargo, el campo magntico siempre puede ser obtenido del campo elctrico por medio de la relacin:

B =

E v

(3.4.2-22)

Donde v es la velocidad de fase de la onda.

3.4.3 POLARIZACION DE ONDASELECTROMAGNTICAS: Cuando se superponen los campos elctricos de dos ondas electromagnticas, el campo elctrico resultante no est situado necesariamente en un plano fijo, pues es posible que este gire con el tiempo. El estado de polarizacin de la onda resultante depende de las amplitudes y fase relativa de las ondas interactuantes. Los siguientes son los posibles estados de polarizacin: -POLARIZACION LINEAL -POLARIZACION CIRCULAR

-POLARIZACION ELIPTICA

3.4.3.1 Polarizacin lineal: Consideremos dos ondas planas sinusoidales ortogonales, dadas por:

(3.4.3.1-1) Y (3.4.3.1-2)

Siendo la diferencia de fase relativa entre las dos ondas que viajan en la direccin . El movimiento ondulatorio resultante es: (3.4.3.1-3)

Si con , , las dos ondas estn en fase y la onda resultante de acuerdo a (3.4.3.1-3) est dada por:

(3.4.3.1-4)

La cual tiene una amplitud fija dada por y corresponde a una onda linealmente polarizada, como se muestra en la figura (3.4.3-1)

Si 2 , con , , las dos ondas estn 180 fuera de fase y la onda resultante de acuerdo a (3.4.3.1-3) est dada por:

(3.4.3.1-5)

Que corresponde a una onda polarizada linealmente con un plano de vibracin rotado, como se ilustra en la figura (3.4.3-2)

Figura (3.4.3-1). La superposicin de las ondas linealmente cuando 2

x

y

y

dan la onda resultante

polarizada

Figura (3.4.3-2). Cuando de superponen dos ondas x y y con diferencia de fase relativa 2 se obtiene una onda polarizada linealmente.

3.4.3.2 Polarizacin circular: Este caso de polarizacin se representa cuando las amplitudes de las ondas constituyentes son iguales, es decir y adems, su diferencia de fase relativa

,

con

,

,

POLARIZACION CIRCULAR DERECHA: Esta clase de polarizacin corresponde a la diferencia relativa de fase

, por tanto:

(3.4.3.2-1) Y

(3.4.3.2-2)

(3.4.3.2-3)

Por consiguiente la onda resultante est dada por:

(3.4.3.2-4) En la que puede apreciarse que Consideremos la figura (3.4.3-3), vara con el tiempo.

Figura (3.4.3-3). Rotacin del vector elctrico en una onda circular derecha. hlice circular.

barre una

Para

,

est ubicado sobre el eje de referencia, y est dada por:

(3.4.3.2-5) Un tiempo despus

, ,

est ubicado sobre el eje

, es decir:

Luego el campo elctrico resultante rota en la direccin de las manecillas del reloj con una frecuencia visto por un observador hacia quien la onda dirige (mirando hacia la fuente), como se muestra en la figura (3.4.3-4)

Figura (3.4.3-4). Sentido de rotacin del vector en una onda polarizada circularmente a derecha. La amplitud de la onda rota en sentido de las agujas del reloj trazando una hlice en el espacio.

POLARIZACION CIRCULAR IZQUIERDA: Esta clase de polarizacin se presenta cuando la diferencia de fase relativa

, siendo(3.4.3.1-1) y (3.4.3.1-2) se sigue que:

,

,

por tanto de

(3.4.3.2-7)

(3.4.3.2-8)

(3.4.3.2-9) Por tanto: (3.4.3.2-10) La amplitud no cambia, pero ahora rota en sentido contrario a las manecillas del reloj (mirando hacia la fuente), como se muestra en la figura (3.1.3-5)

Figura (3.4.3-5). La magnitud de es y tiene una magnitud constante, pero ahora gira en sentido contrario al de las agujas del reloj.

POLARIZACION ELIPTICA: Esta clase de polarizacin se obtiene para cualquier valor de . Segn esto, la polarizacin lineal y circular son casos particulares de la polarizacin elptica. De las ecuaciones (3.4.3.1-1) y (3.4.3.1-2) se sigue que:

(3.4.3.2-11)

(3.4.3.2-12) La curva que describe el vector resultante se obtiene eliminando la dependencia de la posicin y del tiempo, es decir, la dependencia de , de las ecuaciones (3.4.3.2-11) y (3.4.3.2-12), as:

De (3.4.3.2-12): (3.4.3.2-13)

De (3.4.3.2-11): (3.4.3.2-14)

Multiplicando (3.4.3.2-14) por

:(3.4.3.2-15)

Restando (3.4.3.2-15) de (3.4.3.2-13) (3.4.3.2-16)

Pero:

(3.4.3.2-17)

(3.4.3.2-18)

(3.4.3.2-19)

Que corresponde a la ecuacin de una elipse que forma un ngulo con el sistema de coordenadas ( , ) como se muestra en la figura (3.4.3-6).

Figura (3.4.3-6). Polarizacin elptica.

Donde

se puede determinar a partir de la ecuacin:

(3.4.3.2-20)

Si en la ecuacin (3.4.3.2-19),

se sigue que:

0

(3.4.3.2-22)

(3.4.3.2-23)

Que corresponde a una lnea recta de pendiente Si la ecuacin (3.4.3.2-19) se transforma en: 0 (3.4.3.2-24)

(3.4.3.2-25)

Que corresponde a una lnea recta de pendiente Sabiendo que la luz se puede tratar como una onda electromagntica transversal, diremos que la luz lineal luz polarizada en un plano, est en un estado , la luz circular derecha est en un estado , la luz circular izquierda est en un estado y la luz polarizada elpticamente est en un estado . El sentido general de rotacin del vector de campo elctrico podemos resumirlo del modo siguiente:

0

3.4.4 PERPENDICULARIDAD ENTRE CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO . Y LA DIRECCION DE PROPAGACION: Consideremos una onda electromagntica plana viajando en la direccin , con un campo elctrico especificado por un vector que no es funcin del tiempo ni de coordenadas espaciales. Tomemos especficamente: (3.4.4-1) (3.4.4-2) Substituyendo en la ecuacin (3.4.1-15) se sigue que:

2

=

0

(3.4.4-3)

Usando (3.4.4-1), el miembro de la izquierda de (3.4.4-2) puede escribirse mediante:

2 2

= = = = = =

2

2

2

2 2

(3.4.4-4)

Tomando el miembro de la derecha de (3.4.4-3) y reemplazando expresin dada en (3.4.4-1) se sigue:

por la

0

= = =

0

0

0

0

0

(3.4.4-5)

Substituyendo (3.4.4-4) y (3.4.4-5) en (3.4.4-3) se obtiene:0

(3.4.4-6)

Que expresa la magnitud del vector de propagacin frecuencia angular y de la velocidad de la luz La ecuacin (3.4.1) para el espacio libre se escribe mediante:

en funcin de la

(3.4.4-7)

Insertando (3.4.4-1) en (3.4.4-7) se sigue que:

=

0

=

0 =0

0

0

0

(3.4.1-8)

En forma anloga, de la ecuacin: 0 Se obtiene que: 0 (3.4.4-10) (3.4.4-9)

Luego de (3.4.4-8) y de (3.4.4-10) se concluye que y . Para establecer la relacin entre ecuaciones da Maxwell, a saber: y

es perpendicular a usamos las otras dos

(3.4.4-11) (3.4.4-12)

0

Insertando (3.4.4-1) y (3.4.4-2) en (3.4.4-11) se sigue que: (3.4.4-13)

(3.4.4-14)

+

+

+ +

Simplificando por

, se obtiene:

(3.4.4-15) Anlogamente, insertando (3.4.4-1) y (3.4.4-2) en (3.4.4-12), se obtiene que:

(3.4.4-16) De (3.4.4-15) se sigue que es perpendicular al plano formado por es perpendicular a

,

pero como fue demostrado que

, entonces se

concluye que , y son mutuamente ortogonales ( perpendiculares). Por tanto, teniendo en cuenta que , de la ecuacin (3.4.4-16) se sigue que: (3.4.4-17)

(3.4.4-18) Para el caso del espacio libre , entonces: (3.4.4-19)

3.5 ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS. La densidad de energa almacenada en el campo elctrico es:

E = Donde E2 =

julios/m3

(3.5-1)

denota el cuadrado de la magnitud del vector de campo el valor instantneo del campo elctrico de una onda

elctrico , siendo electromagntica.

La densidad de energa almacenada en el campo magntico es:

M = La DENSIDAD DE ENERGIA total

julios/m3

(3.5-2)

energa por unidad de volumen es:

=

E +

M =

+

(3.5-3)

Teniendo en cuenta que B = escribirse mediante:

E/c la densidad de energa magntica puede

M = Pero:

=

(3.5-4)

(3.5-5) Insertando (3.5.5) en (3.5.4) se sigue que: M = (3.5-6)

Por tanto la densidad de energa magntica M es igual a la densidad de energa elctrica E, as que (3.53) puede escribirse mediante: = 2 E = 2 = (3.5-7)

La INTENSIDAD de una onda electromagntica se define como la energa que pasa a travs de la unidad de rea en la unidad de tiempo y es igual a la densidad de energa multiplicada por la velocidad de la onda, (3.5-8)

La intensidad media viene dada por: (3.5-9) Para el caso de una onda electromagntica armnica,

Reemplazando (3.5-10) en (3.5-9) se obtiene:

(3.5-10)

(3.5-11) Teniendo en cuenta que la intensidad dada por: de una onda electromagntica est

(3.5-12) La POTENCIA P puede determinarse mediante: (3.5-13)

Siendo A el rea a travs de la cual pasa la energa de la onda electromagntica. La POTENCIA P tambin puede ser obtenida a partir del vector de Poynting el cual est dado por: (3.5-14) (3.5-15) (3.5-16) Es decir, el mdulo del vector Poynting es igual a la intensidad (densidad de flujo radiante, irradiacin potencia por unidad de rea que cruza una superficie en el vaco cuya normal es paralela a ) por lo tanto la POTENCIA viene dada por el flujo del vector de Poynting a travs de una superficie A, as: P= (3.5-17) (3.5-18) En la expresin (3.5-17), U es la ENERGIA instantnea total de la onda electromagntica. Si consideramos un cubo elemental de volumen = , de dimensiones menores que la longitud de onda de la radiacin, que contiene radiacin electromagntica que se propaga en la direccin de , la energa instantnea total en el volumen del cubo es: U = UE + UM = Teniendo en cuenta que escribir como: (3.5-19) la ecuacin (3.5-19) se puede volver a

U =

(

(3.5-20) del campo electromagntico es:

Por tanto, la densidad de energa

=

(

(3.5-21)

3.6

VECTOR DE POYNTING.

El vector de Poynting llamado as en honor de su descubridor John Henry Poynting (1.852 1.914), se expresa en forma general mediante: (3.6-1) Teniendo en cuenta que (3.6-1) se puede volver a escribir mediante:

(

(3.6-2)

El mdulo del vector de Poynting o vector flujo de energa electromagntica, es la energa transportada por la onda por unidad de tiempo y por unidad de rea perpendicular a la direccin de propagacin. Tambin podemos decir que la magnitud es, igual a la intensidad, o sea, la potencia por unidad de rea que cruza una superficie cuya normal es paralela a Para el caso de una onda plana armnica, polarizada linealmente, que viaja a travs del espacio libre en la direccin (3.6-3) (3.6-4) (3.6-5) La expresin (3.6-5) indica que es una funcin dependiente del tiempo que oscila entre mximos y mnimos. El valor promedio de la magnitud del vector de Poynting, simbolizado por corresponde al valor promedio de la intensidad y esta cantidad es conocida como irradiancia. (3.6-6) (3.6-7) La rapidez de flujo de la energa radiante es la potencia o flujo radiante, generalmente expresada en vatios. La densidad de flujo radiante, expresado en vatios/m 2, corresponde al flujo radiante que incide o sale de una superficie, dividido por el rea de la superficie.

Al vector de Poynting se le conoce como vector de flujo, densidad de flujo de energa electromagntica, flujo de energa por unidad de rea por unidad de tiempo simplemente flujo de energa. La direccin de de acuerdo a (3.6-1), est dada por la regla de la mano derecha, es independiente de las coordenadas escogidas y debe ser colineal con el vector de propagacin La expresin (3.6-1) se deduce del principio de la conservacin de la energa escrito en forma similar a la relacin tpica que expresa la conservacin de la carga, pues, como cualquier otra magnitud que se conserva, la energa debe obedecer a una ecuacin de continuidad. Denotando por la densidad de flujo de energa ( flujo de energa por unidad de rea por unidad de tiempo) que sale del cubo elemental de volumen y por la variacin con el tiempo de la densidad de energa dentro del volumen, la ecuacin de continuidad se expresa mediante: (3.6-8) En donde se ha tenido en cuenta el teorema de Gauss:

(3.6-9) El miembro de la izquierda de (3.6-8) se obtiene derivando (3.5-21):

(3.6-10)De la ley de Ampere:

(3.6-11)

De la ley de Faraday-Henry:

(3.6-13)

-

=

(3.6-14)

Substituyendo (3.6-12) y (3.6-14) en (3.6-10), se obtiene:

En donde se ha hecho uso de la identidad vectorial

-

(3.6-16)

Que se demuestra haciendo producto mixto =

+ , as:A

B

y utilizando la identidad del

= = = =

(

A

+

B)

. +B.

A .

(

A

). ( ) -

- (

B

). )

(

Que luego comparando (3.6-8) con (3.6-15) se concluye que:

(3.6-17)

3. 7 MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA: Una onda electromagntica transporta, adems de su energa, un cierto momentum lineal, que puede determinarse haciendo la consideracin de la

teora cuntica que dice que la luz acta como un grupo de partculas llamadas fotones cuya energa est relacionada con el momentum por: W 2 = p2 c2 + c2 (3.7-1)

Puesto que la masa en reposo del fotn es cero, se sigue que: P = (3.7-2)

En donde se muestra que el momentum p es igual a la energa W, dividida por la velocidad de la luz c. Esta expresin es vlida para cada fotn individual y debe ser valida para la onda completa. Como la energa de cada fotn es w = h f , el momentum del fotn es:

P = En forma vectorial es:

(3.7-3)

(3.7-4) Donde Planck. es el vector de propagacin y = , siendo la constante de

El resultado simple dado por (3.7-2) puede ser obtenido de la teora electromagntica clsica de la luz. Consideremos una lmina de material perfectamente absorbente, situada en el camino de una onda electromagntica plana polarizada linealmente, que se propaga a lo largo del eje , como se muestra en la figura (7.3-1).

Figura (3.7-1). Lamina perfectamente absorbente situada en el origen de coordenadas, formando un ngulo recto con una onda electromagntica incidente. Una carga q de la lmina experimenta una fuerza q debido a y adquiere una velocidad . La fuerza magntica q dirigida a lo largo de +z es la responsable de la presin de radiacin.

Analicemos un electrn de esta lmina situado en Inicialmente el electrn se encuentra en reposo pero como la onda pasa cerca de l, sucede lo siguiente: El vector de campo elctrico de la onda pone al electrn en movimiento y le imparte una velocidad . Puesto que la carga est ahora movindose, el campo magntico puede ejercer una fuerza magntica m sobre este, de magnitud q dirigida a lo largo de la direccin positiva de es decir en la direccin de la velocidad de propagacin de la onda. Esta fuerza es la que se tiene en cuenta para calcular la presin de radiacin de la luz. La oscilacin transversal que sufre el electrn, se considera despreciable. La ecuacin diferencial de movimiento del electrn, situado en formado por la onda a moverse est dado por:

Pero

= q

entonces:

En donde 2 es el coeficiente de amortiguamiento y natural de las oscilaciones armnicas simples.

es la frecuencia angular

La solucin de (3.7-6) est dada por:

(3.7-7)

Siendo:

Derivando (3.7-7) respecto del tiempo se obtiene:

La frecuencia magntica tiene de magnitud:

m

sobre la carga q debida al campo magntico (3.7-10)

Fz = q

Pero: (3-7-11) Substituyendo (3.7-9) y (3.7-11) en (3.7-10) se obtiene:

(3.7-12)

La mxima energa absorbida por el electrn se obtiene en la resonancia, es decir, cuando por consiguiente:

(3.7-13)

La rapidez con que la onda realiza trabajo sobre la carga q es igual a donde la fuerza total que acta sobre el electrn es = E + m, por tanto: = q( Puesto que ). = q Por lo tanto: ) ). = 0, se sigue que:

,

(3.7-14)

(3.7-15)

Con la condicin de resonancia

se obtiene: (3.7-17)

Comparando las ecuaciones (3.7-13) y (3.7-17) se sigue que:

Pero de la segunda ley de Newton la fuerza es igual a la rapidez de cambio del momentum p, entonces:

p =

Kg-m/s

Que se interpreta como el momentum transportado por la onda. En algunos casos la transferencia de energa de la onda al cuerpo, es acompaada por una transferencia de momentum angular. Esto sucede

cuando la onda est polarizada circularmente o elpticamente. Si una lmina absorbente se sita en el camino de esta onda, adquirir un momentum angular alrededor del eje paralelo a la direccin de propagacin de la onda. Consideremos una onda polarizada circularmente a derecha, propagndose a lo largo del eje positivo, dada por:

En el origen de coordenadas, donde se asume que est localizado el electrn, el vector de campo elctrico tiene la forma:

Esta onda produce un desplazamiento del electrn dado por:

En donde

e

vienen dadas por las expresiones:

Teniendo en cuenta que , se sigue que:

=

q

y que para el caso de resonancia

Derivando con respecto del tiempo se obtiene la velocidad inducida por la onda dada en (3.7-22) as:

Para el caso de resonancia tan = , por tanto:

siendo

el factor de fase dado por

El torque ejercido por la fuerza elctrica est dado por:

En la resonancia

= 1, entonces:

La rapidez con la que la onda electromagntica polarizada circularmente a la derecha realiza trabajo sobre la carga q es:

Efectuando el producto escalar entre (3.7-22) y (3.7-28) se obtiene:

Teniendo en cuenta que

se sigue que:

Comparando (3.7-33) y (3.7-37) se concluye que:

Siendo la magnitud del momento angular impartido por la onda electromagntica; es el trabajo realizado por la onda electromagntica sobre la carga, y es la frecuencia de la onda electromagntica, f. Por consiguiente, de la ecuacin (3.7-40) se deduce que un fotn de una onda polarizada circularmente o elpticamente transporta un momentum angular igual a:

Obsrvese que en el clculo del torque no se tuvo en cuenta la fuerza magntica, porque el torque producido por esta es despreciable para velocidades no relativistas, adems su promedio sobre un ciclo es cero.

3. 8 RADIACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS: Las ecuaciones de Maxwell nos dicen cmo los campos elctricos y magntico son generados por cargas en movimiento, es decir por corrientes. Heinrich Hertz logr generar y detectar las ondas de naturaleza electromagntica que predijo Maxwell. Hertz determin claramente las propiedades ondulatorias de esta radiacin y descubri que las ondas de radiofrecuencia se comportan prcticamente igual que las de luz ordinaria. El circuito usado por Hertz consista en una sola espira conductora, en la que haba un estrecho espacio de descarga entre dos electrodos esfricos pequeos. El circuito funcionaba como un circuito LC ordinario, en el que la capacitancia es debida principalmente al espacio de descarga, y la inductancia es la de la espira. Hertz obtuvo una elevada frecuencia angular de la corriente en el circuito, debido a los valores pequeos de la capacitancia y de la inductancia.

La radiacin de energa como ondas electromagnticas se debe a las intensas aceleraciones que experimentan las cargas libres en la espira, por la rpida oscilacin de la corriente. El campo elctrico de una carga en reposo se puede representar como en la figura (3.8-1), por una distribucin radial y uniforme de las lneas de campo.

Figura (3.8-1). Campo elctrico de un electrn estacionario.

Para una carga que se mueve con velocidad constante , son aun radiales y rectas pero ya no estn uniformemente distribuidas, como puede apreciarse en la figura (3.8-2). Una carga en movimiento uniforme no rada ninguna perturbacin electromagntica. Para un electrn que se acelera uniformemente hacia la derecha, las lneas de campo son curvadas, como puede observarse en la figura (3.8-3); los puntos 01, 02, 03 y 04 son posiciones del electrn para intervalos iguales de tiempo.

Figura (3.8-2). Campo elctrico de un electrn que se mueve con velocidad constante

.

Figura (3.8-3). Campo elctrico de un electrn uniformemente acelerado.

Si consideramos una carga positiva en reposo en el punto 0, como se muestra en la figura (3.8-4), que se mueve repentinamente al punto 0 , en donde se detiene durante un tiempo , se propagar alejndose una perturbacin elctrica con la forma de una onda escaln.

Figura (3.8-4). Carga positiva que se desplaza repentinamente de 0 hasta 0 , y se detiene en 0.

Cuando la onda pasa por cada punto, las lneas de campo se van distorsionando y su densidad local vara, por tanto , dando por resultado una corriente de desplazamiento que origina una perturbacin magntica asociada que conlleva a la obtencin de una perturbacin electromagntica que se propaga radialmente hacia afuera. Si la partcula regresa inmediatamente de 0 a 0 se obtiene un pulso que se propaga hacia fuera como se ve en la figura (3.8-5)

Figura (3.8-5). Si la carga regresa inmediatamente de 0 hasta 0, se forma un pulso.

La construccin geomtrica mostrada en la figura (3.8-5) ilustra el hecho de que la perturbacin es un mximo en el plano perpendicular al desplazamiento de la carga y cero a lo largo de dicho desplazamiento.

3.8.1 ANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE La antena es un dispositivo cuya funcin es radiar energa e interceptarla. Una antena transmisora puede ser empleada para recepcin y viceversa. Podemos decir tambin que la antena es un dispositivo de transicin, o transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre o viceversa. Segn esta definicin la antena maneja electrones en los conductores y fotones en el espacio. El ojo es uno de estos dispositivos. Entre las distintas clases de antenas se encuentran las antenas de dipolo, de espira, de hlice, de reflector, de lente, de red, y de interfermetro. El dipolo corto es la forma bsica y a el nos referimos seguidamente. Si se conecta un potencial oscilante a una simple antena (dipolo corto) como la mostrada en la figura (3.8.1-1), impulsar carga de un extremo del hilo al otro. Cuando estas cargas oscilen harn que se propaguen ondas electromagnticas hacia fuera en todas direcciones.

Figura (3.8-1-1). (a) Dipolo elctrico oscilante antena de dipolo corto alimentada por lnea de transmisin de dos conductores, de momento mximo p0 = ,y (b) su equivalente.

La figura (3.8.1-2) muestra una configuracin simplificada de la distribucin del campo elctrico en la regin de un dipolo elctrico, en donde se observa una carga positiva oscilando linealmente con movimiento armnico simple alrededor de una carga negativa estacionaria y de igual magnitud.

Figura (3.8-1-2). Secuencia de patrones de lneas de campo cuando el desplazamiento, y por consiguiente el momento dipolar, disminuye, llega a cero y finalmente cambia de direccin.

Si la frecuencia angular de oscilacin es tiempo p (t) tiene la forma escalar: p = p0 cos ,

, el momento dipolar dependiente del

Donde p podra representar el momento colectivo de la distribucin de carga oscilante en la escala atmica an una corriente en una antena lineal de televisin. El momento dipolar elctrico es, en realidad, un vector dirigido de -q a +q. La figura (3.8.1-2) (a) muestra el dipolo en el instante en el que p = p0 = q0 , siendo la separacin mxima entre las dos cargas. Cuando las cargas se superponen, la figura (3.8.1-2) (c), p = 0 y las lneas de campo se deben cerrar a s mismas. Una ilustracin esquemtica de la radiacin de campos de un dipolo oscilante se puede apreciar en la figura (3.8.1-3)

Figura (3.8-1-3). Ilustracin esquemtica de la radiacin de campos de un dipolo elctrico oscilante. Las lneas slidas representan el flujo elctrico, mientras que las cruces y los crculos representan las lneas de flujo magntico entrante y saliente del papel respectivamente.

Obsrvese que las lneas de campo magntico forman cilindros cerrados alrededor del dipolo.

3.8.2 POTENCIALES RETARDADOS: Si una corriente alterna est fluyendo en el elemento corto de la figura (3.8.2-1), el efecto de la corriente no se siente de manera instantnea en el punto p, sino slo despus de un intervalo de tiempo igual al requerido por la perturbacin para propagarse hasta p, situado a la distancia r.

Figura (3.8-2-1). Elemento corto por el que fluye corriente.

A cambio de escribir la corriente I como: I = I0 cos (3.8.2-1)

Que implica la propagacin instantnea del efecto de la corriente, puede hacerse lo que hizo Lorentz, introducir el tiempo de propagacin (o tiempo de retardo), y escribir: [ I ] = I0 cos (3.8.2-2)

Donde [ ] indica en forma explcita que se trata de una corriente retardada. En forma compleja la expresin (3.8.2-2) puede escribirse mediante: [ I ] = I0

( A )

(3.8.2-3)

La densidad de corriente retardada en un punto puede escribirse:

(3.8.2-4)

El potencial escalar V en el punto p debido a una distribucin de carga puede escribirse en forma retardada mediante:

Donde

= potencial escalar retardado, = P0

= densidad de carga retardada, Cm-3

tambin:

Siendo

en elemento de volumen. puede escribirse mediante:

Similarmente el potencial vectorial retardado

O tambin:

El cual se aplica a situaciones que cambian con el tiempo, en donde las distancias includas son significativas en trminos de la longitud de onda. Las ecuaciones (3.8.2-6) y (3.8.2-8) son soluciones de las ecuaciones diferenciales generales para los potenciales escalar y vectorial, dadas respectivamente por:

Para un dibujo oscilante como el mostrado en la figura (3.8.2-2), consistente en dos esferas metlicas cuyos centros estn separados una distancia y unidos por un alambre conductor, se pueden calcular los potenciales en

Figura (3.8.2-2) Dipolo elctrico oscilante, donde +q = q0 cos

El punto p determinado por las coordenadas esfricas r y , escogiendo r mayor que y asumiendo que entre las dos esferas existe una corriente sinusoidal, que las est cargando y descargando. La carga sobre la esfera superior puede escribirse como la parte real de + q = q 0 y la carga sobre la esfera inferior como la parte real de - q = - q0 La corriente es por lo tanto la parte real de:

El potencial escalar en el punto p debido a las dos esferas pequeas es:

Puesto que r

,

= r-

cos , por tanto:

Factorizando:

Tomando el desarrollo en serie de potencias:

El trmino puede expresarse por los dos primeros trminos de la serie de potencias (3.8.2-15), as:

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de potencias del binomio de Newton:

-1 El trmino puede escribirse usando los dos primeros trminos de la expansin binomial, como:

De (3.8.2-16) y (3.8.2-18) se sigue que:

Teniendo en cuenta que se puede despreciar el ltimo trmino de (3.8.2-19), obteniendo de (3.8.2-14)

Simplificando, Factorizando y teniendo en cuenta que p0 = qo

se sigue que:

En la determinacin del potencial vectorial, la ecuacin (3.8.2-8) se reduce a una integral sobre la longitud del alambre entre las dos esferas, puesto que la densidad de corriente es cero en las dems partes. La expresin: (3.8.2-22) Se convierte en :

Donde por:

es el vector unitario paralelo al eje . El vector potencial est dado

Aunque en realidad r vara entre r y r1 puede tomarse como constante y sacarlo del signo de la integral, resultando expresin:

Pero:

Donde (3.8.2-26) se obtiene derivando:

Con respecto del tiempo.

Substituyendo (3.8.2-26) en (3.8.2-25) se obtiene:

:

Donde

.

3.8.3 CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN DIPOLO: El campo elctrico de un dipolo oscilante puede calcularse directamente de los potenciales escalar y vectorial a partir de la relacin:

El gradiente del potencial escalar en coordenadas esfricas es:

Como V no depende de

(

= 0 entonces:

Calculando cada componente por separado se sigue que:

Simplificando:

Evaluando la segunda componente de (3.8.3-3) se sigue que:

Substituyendo (3.8.3-4) y (3.8.3-5) en (3.8.3-3) se obtiene:

Evaluando el segundo trmino de (3.8.3-1) se sigue que:

Teniendo en cuenta que

= 1/

, se obtiene que:

Substituyendo (3.8.3-6) y (3.8.3-7) en (3.8.3-1) se sigue que:

Para condiciones estticas

, de (3.8.3-8) se obtiene:

que corresponde al dipolo elctrico estacionario.

3.8.4 CAMPO MAGNETICO DEBIDO A UN DIPOLO: El campo magntico de un dipolo oscilante puede calcularse directamente del potencial vectorial, usando la relacin: (3.8.4-1) Pero en coordenadas curvilneas el rotor de un vector es:

Rotor de

=

=

En donde los factores de escala para coordenadas esfricas estn dados por:

Adems, los vectores unitarios respectivamente, Entonces:

corresponden a los vectores

3.8.5 VECTOR POYNTING PROMEDIO: El vector de Poynting se obtiene a partir de la expresin:

Teniendo en cuenta que los trminos de que dependen de (1/r2) se pueden despreciar para grandes distancias, tomaremos solamente las partes reales de , dadas por (3.8.3-8) y (3.8.4-3), hasta trminos de orden (1/r), as:

Y

Luego para grandes distancias, el vector de Poynting est dado por:

El vector de Poynting promediado en el tiempo es:

La ecuacin (3.8.5-2) puede expresarse en trminos de la corriente y de la longitud de onda, teniendo en cuenta que la corriente efectiva se define mediante:

Siendo

la amplitud de corriente o corriente mxima. Adems p0 = ; y ( , donde es la longitud de la onda electromagntica. Por lo tanto:

3.8.6 POTENCIA TOTAL RADIADA POR UNA ANTENA DE DIPOLO: La potencia radiada promedio puede encontrarse integrando sobre una gran esfera alrededor del dipolo:

En donde se ha tenido en cuenta que el diferencial de rea en coordenadas esfricas es:

Luego,

Pero,

Substituyendo (3.8.6-3) en (3.8.6-2), se obtiene:

La expresin (3.8.6-4) corresponde a la potencia radiada del espacio, la cual debe ser suministrada al dipolo por alguna fuente de potencia si se desean mantener las oscilaciones de corriente. Adicionalmente a esta prdida por radiacin, la prdida de potencia por calentamiento de los conductores est dada por: donde debe ser mayor que la resistencia de corriente directa p /A, porque existe la tendencia para corrientes de alta frecuencia de concentrarse en la superficie o piel del alambre. La prdida total de potencia en el dipolo est dado por:

3. 9 PRESIN DE RADIACIN: La presin de radiacin p se define como la fuerza por unidad de rea equivalentemente como la velocidad promedio de transferencia de momentum por unidad de rea. Para el caso de incidencia normal, es decir, cuando una onda electromagntica plana incide perpendicularmente sobre una superficie perfectamente absorbente (figura 3.9-1), la presin de radiacin est dada por:

Figura (3.9-1). Presin de radiacin para incidencia normal.

Pero de acuerdo a (3.7-18)

En donde

es la energa de la onda electromagntica.

Puesto que la fuerza es igual a la rapidez de cambio del momentum p de la carga, la ecuacin (3.9-2) puede escribirse como:

Que se interpreta como el momentum transportado por la onda. Como la densidad de energa es una cantidad ms apropiada para asociar a una onda, dividimos ambos miembros de (3.9-4) por el volumen, as:

Pero , es la densidad de energa , entonces denotando por de momentum asociado con la onda se obtiene:

la densidad

Puesto que est dirigido en direccin del vector de propagacin de la onda , de la relacin entre el vector de Poynting y la densidad de energa = c, el momentum por unidad de volumen puede escribirse como un vector:

En el anlisis anterior hemos asumido que la onda es perfectamente absorbida cuando interacta con los electrones de la lmina absorbente. En caso de reflexin, no podemos despreciar el momentum transportado por la onda reflejada. En tal caso, el momentum transferido a la lmina est dado por:

En donde y respectivamente.

son energas de la onda absorbida y reflejada,

De (3.9-8) nos damos cuenta que para un espejo perfecto superficie totalmente reflectora, el momentum transferido es dos veces la energa de la onda dividida por la velocidad de la luz Determinemos ahora la presin, es decir, la fuerza por unidad de rea ejercida por la onda incidente sobre una lmina totalmente absorbente. Tomemos una seccin cilndrica de onda de seccin transversal A y longitud como lo muestra la figura (3.9-1). La cantidad de momentum A contenido en el cilindro debe pasar a travs de su superficie frontal (donde est localizada la lmina absorbente) en un tiempo segundos. Por consiguiente la presin que iguala al cambio de momentum por unidad de rea por segundo es , y est dada por:

Teniendo en cuenta que mediante:

=

, la expresin (3.9-10) puede escribirse

Por consiguiente, la presin de radiacin sobre un absorbente perfecto es igual ala densidad de energa. Si la superficie es perfectamente reflectora, la radiacin reflejada tiene un momentum de mdulo igual al de la incidente pero en direccin opuesta. Por lo tanto la variacin del momentum por unidad de volumen es , y la presin de radiacin sobre la superficie totalmente reflectora es:

Para el caso de incidencia oblicua (figura 3.9-2) sobre una superficie totalmente reflectora, el cambio de momentum por unidad de volumen es , y para este caso la presin de radiacin es:

Figura (3.9-2). Presin de radiacin para incidencia oblicua.

Cuando la radiacin se propaga en todas las direcciones, se debe integrar sobre todas las orientaciones, obteniendo como resultado:

Si la lmina es totalmente absorbente, la variacin del momentum normal a la superficie se reduce a la mitad del valor obtenido anteriormente, resultando:

La presin ejercida por la luz fue medida por primera vez por el experimentador ruso Pyotr Nikolaievich Lebedev en 1.901 e independientemente por los americanos Edward Leamington Nichols y Gordon Ferrie Hull, quienes

utilizaron una balanza de torsin en la que estaba montado el espejo, sobre el cual se reflejaba un haz muy brillante de luz. La presin de radiacin solar es despreciable en el caso de cuerpos grandes como los planetas, pero es muy importante cuando acta sobre cuerpos pequeos. Sir William Crookes invent el radimetro, que es un instrumento que sirve para determinar la intensidad de la energa radiante, compuesto por cuatro paletas, plateadas por una cara y negras por la otra, montadas sobre un eje, alrededor del cual pueden girar (Figura 3.9-3), el cual permite comprobar las frmulas de la presin de radiacin y de la cantidad de movimiento.

3. 10 REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS EN DIELECTRICOS TRANSPARENTES: La reflexin y refraccin de las ondas electromagnticas en una superficie plana que separa dos medios de propiedades dielctricas distintas, presenta diferentes propiedades que se dividen en cinemticas y dinmicas.

Propiedades cinemticas:

-

El ngulo de reflexin es igual al de incidencia. Ley de Snell: , donde y son,

Respectivamente, los ngulos de incidencia y refraccin; y son los ndices absolutos de refraccin del medio de incidencia y del medio de refraccin.

Propiedades dinmicas: - Intensidades de las radiaciones reflejada y refractada. - Cambios de fase y de polarizacin Las propiedades cinemticas son consecuencia de la naturaleza ondulatoria del fenmeno, mientras que las propiedades dinmicas dependen de la naturaleza especfica de los campos electromagnticos y de sus condiciones de contorno. En resumen las tres leyes bsicas de la reflexin y la refraccin son: 1. Los rayos incidente, reflejado y refractado estn todos en el plano de incidencia. 2. . 3. Cuando incide un rayo luminoso en la superficie de separacin entre dos medios dielctricos, parte de la energa incidente es reflejada y el resto es transmitida (refractada) al segundo medio. Las regiones a cada lado de la superficie lmite estn caracterizadas por los ndices de refraccin y como se ilustra en la figura (3.10-1). Consideremos una onda plana de luz monocromtica de frecuencia y vector de onda que incide procedente del medio caracterizado por las constantes dielctricas dada por:

o simplemente: (3.10.1) Donde se supone constante en el tiempo.

Figura (3.10.1). Ondas planas incidentes en la superficie lmite entre dos medios dielctricos.

Las ondas reflejada y transmitida se pueden escribir mediante:

ONDA REFLEJADA: (3.10.2)

ONDA TRANSMITIDA: (3.10.3)

Siendo y las constantes de fase con respecto a debido a que la posicin del origen no es nica.

, que se introducen

Las condiciones de frontera para los vectores elctricos y magnticos pueden escribirse como: Las componentes normales de tangenciales de ni corriente. y y son continuas, y las componentes

son continuas, en una superficie que no contenga carga

Teniendo en cuenta que el vector es normal a la interfase, la ecuacin que expresa la condicin de continuidad de la componente tangencial de la intensidad del campo elctrico, vlida para cualquier instante de tiempo y en todo punto de la interfase , puede escribirse mediante:

Como , y deben tener la misma dependencia funcional de las variables , se sigue que:

Con esta expresin se anulan los cosenos de (3.10-4), obtenindose la siguiente relacin:

De donde se sigue que:

Adems los coeficientes de en (3.10-5) deben ser iguales, entonces:

Que indican claramente que la frecuencia de la onda incidente es igual a la frecuencia de la onda reflejada e igual a la frecuencia de la onda transmitida. Teniendo en cuenta (3.10-8), la ecuacin (3.10-5) se reduce a:

De los dos primeros trminos de (3.10-9) se obtiene que: (3.10-10) Que al ser comparada con la ecuacin de un plano perpendicular a ,

= constante Nos indica claramente que barre un plano (la interfase) siendo

(3.10-11)

es un vector perpendicular al plano. Podemos decir entonces que paralelo a por tanto:

es

(3.10-12)

(3.10-13)

Pero como las ondas incidente y reflejada estn en el mismo medio por consiguiente de (3.10-13) se obtiene la ley de reflexin:

(3.10-14) Adems los tres vectores se encuentran en el mismo plano.

Del primero y tercer trmino de (3.10-9) se sigue que:

(3.10-15)

(3.10-16) Como las componentes tangenciales de deben ser iguales:

(3.10-17) Teniendo en cuenta que el ndice absoluto de refraccin se escribe mediante:

Entonces:

Luego multiplicando (3.10-17) por

sin olvidar que

se obtiene:

Donde (3.10-19) es conocida como Ley de Snell.

Deduccion de las ecuaciones de Fresnel: Caso 1. perpendicular al plano de incidencia y incidencia (Figura 3.10-2) paralelo al plano de

Figura (3.10.2). Onda incidente cuyo campo

es perpendicular al plano de incidencia.

Para este caso se cumple que:

Y adems:

Es decir

y el vector de propagacin

forman un sistema derecho.

La relacin entre las amplitudes de las ondas monocromticas planas , correspondientes a las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente, se obtiene de la condicin de continuidad del campo elctrico en la frontera o superficie de separacin (interfase) entre dos medios dielctricos e isotrpicos. Esta condicin para cualquier punto de la interfase y para cualquier tiempo es:

La condicin de continuidad de la componente tangencial de requiere que:

Donde los miembros de la izquierda y la derecha, son las magnitudes totales de paralelas a la interfase en los medios incidente y transmitido. La direccin positiva es aquella en la que aumenta componentes de son negativas. De acuerdo a la ecuacin (3.10-20) , por tanto las

Como = y escribir de la siguiente manera:

la ecuacin (3.10-23) se puede volver a

Insertando (3.10-1), (3.10-2) y (3.10-3) en (3.10-27) y teniendo en cuenta que los cosenos que aparecen son iguales a 1 en multiplicando por y recordando que se obtiene:

Multiplicando (3.10-22) por

se obtiene:

Restando (3.10-29) de (3.10-28) se sigue que:

Factorizando

y

se obtiene:


se obtiene:

Sumando (3.10-28) y (3.10-32) se sigue que:

El subndice , usado en (3.10-33) sirve para recordar que se trata del caso en el que es perpendicular al plano de incidencia. Las ecuaciones (3.10-31) y (3.10-33) se aplican a cualquier medio homogneo, isotrpico y lineal, y son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel. Para el caso en el que toman la forma: las ecuaciones (3.10-31) y (3.10-33)

Caso 2. Paralelo al plano de incidencia y incidencia (figura 3.10-3)

perpendicular al plano de

La continuidad de los componentes tangenciales del campo de la frontera conduce a:

en ambos lados

(3.10-36)

La continuidad de las componentes tangenciales de interfase a:

en la

Figura (3.10.3). Onda incidente cuyo campo

es paralelo al plano de incidencia.

Haciendo uso de (3.10-24), (3.10-25) y (3.10-26) se obtiene:

Insertando (3.10-1), (3.10-2) y (3.10-3) y recordando que los cosenos que apaarecen ah son iguales a uno en se obtien que:

Teniendo en cuenta que se puede volver a escribir como:

la ecuacin (3.10-39)

Multiplicando por

y recordando que

se sigue que:


y recordendo que

se obtiene:


se obtiene:

Sustrayendo (3.10-41) de (3.10-43) se sigue que:


y recordendo que

se obtiene:


se obtiene:

Sumando (3.10-45) y (3.10-46) se sigue que:

El subndice usado en (3.10-44) y (3.10-48), sirve para recordar que se trata del caso en el que es paralelo al plano de incidencia. Las ecuaciones denominadas Ecuaciones de Fresnel. Si se trata de dielctricos para los cuales amplitud vienen dados por: los coeficientes de

Para incidencia normal, se obtiene:

Usando la ley de Snell, las ecuaciones de Fresnel dadas por (3.10-34), (3.1035), (3.10-49) y (3.10-50), pueden escribirse en forma simplificada mediante:

Para obtener (3.10-53) de (3.10-34) se procede as:

Pero de la ley de Snell: 57) se sigue que:

=

, entonces substituyendo

en (3.10-

Para obtener (3.10-54) de (3.10-35) se procede as:

De la segunda Ley de Snell: este valor en (3.10-61), se obtiene:

por tanto, reemplazando

En forma anloga se obtienen (3.10-55) y (3.10-56). Las direcciones de los campos en las figuras (3.10-2) y (3.10-3) fueron seleccionados muy arbitrariamente. El signo menos que aparece en la ecuacin (3.10-53) significa que no se escogi correctamente la direccin de en la figura (3.10-2). Por tal motivo, para evitar confusin, las ecuaciones de Fresnel deben estar relacionadas con las direcciones especficas de los campos de las que fueron diducidas. Demostracin de las leyes de la reflexin y la refraccin: Refirindonos a la figura (3.10-4), consideramos las siguientes superficies de onda: en la onda incidente; en la onda refractada; y en la onda reflejada.

Figura (3.10.4). Ondas incidente, reflejada y transmitida, cuya geometra permite demostrar las leyes de reflexin y de la refraccin.

Sea el tiempo que tarda la onda incidente en propagarse de a a lo largo del rayo R2. En el mismo tiempo la onda reflejada se mueve de a a lo largo del rayo R1 y en el mismo tiempo la onda refractada se desplaza de a a lo largo del rayo R1. Por lo tanto:

De la geometra de la figura se deduce:

De las relaciones primera y segunda concluimos que:

que indica que el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. Dividiendo la primera relacin por la tercera, se sigue que:

Que corresponde a la Ley de Snell. Este fenmeno se presenta cuando toda la energa incidente se refleja al medio incidente. La reflexin total interna se aplica en las fibras pticas que conducen la luz despus de sucesivas reflexiones en su superficie. A travs de estas fibras se puede transmitir la imagen de un objeto a lo largo de una trayectoria curvada, como ocurre con los endoscopios, utilizados para explorar el interior del cuerpo humano. Tambin podemos decir que cuando toda la luz que incide sobre una superficie que separa un medio de otro de menor ndice de refraccin (por ejemplo, del agua al aire) es reflejada y devuelta al agua, se produce el fenmeno de reflexin total. La condicin para la reflexin total es:

Que slo se puede satisfacer si

.

El ngulo ms pequeo, crtico, para que exista reflexin ocurre cuando:

La figura (3.10-5) ilustra el ngulo crtico de reflexin total interna.

Figura (3.10.5). Angulo crtico para que exista reflexin.

En la superficie de separacin agua-aire, el ngulo crtico, sabiendo que el ndice de refraccin del agua es 1,33, se obtiene:

Tngase en cuenta que en la mayora de los casos se ha tratado con la reflexin externa La situacin opuesta se conoce como reflexin interna. Cuando , la ley de Snell exige que .

3.11 PROBLEMAS: 1. (5.51 E H) Describir las caractersticas principales del estado de polarizacin de la onda:

SOLUCIN: El desfasaje es cero, por tanto el estado de polarizacin es lineal. La amplitud de la onda resultante se encuentra haciendo uso del teorema de Pitgoras, as:

El ngulo del plano de polarizacin se determina a partir de:

Es decir el plano de polarizacin forma un ngulo de 60 con el plano

2. (19.9 F) La radiacin electromagntica del sol cae sobre la superficie terrestre a razn de 1.4 x 103 W m-2. Suponiendo que esta relacin puede considerarse como una onda plana, estimar el mdulo de las amplitudes de los campos elctricos y magnticos de la onda. SOLUCION: La expresin correspondiente a la intensidad promedio de una onda electromagntica es:

Despejando

se obtiene:

Reemplazando numricamente:

Haciendo operaciones:

Usando la expresin:

Se obtiene el valor numrico de la amplitud de campo magntico

Por tanto:

3. (19.11 F) Un transmisor de radar emite su energa dentro de un cono que abarca un ngulo slido de 10-2 sterad. El campo elctrico tiene una amplitud de 10 v m-1 a una distancia de 103 m. Encontrar la amplitud del campo magntico y la potencia del transmisor. SOLUCIN: La amplitud del campo magntico est dada por la expresin:

Por tanto:

La potencia promedio se obtiene a partir de la expresin:

Pero el rea se obtiene de la expresin para un ngulo slido:

Despejando

y reemplazando numricamente, se sigue que:

Sustituyendo los valores de

y de A, se obtiene:

(0.0013 x Haciendo operaciones:

) (

4. (19.13 F) Las ondas de radio recibidas en un radio receptor tienen un campo elctrico de amplitud mxima igual a 10 -1 V m-1. Suponiendo que la onda se puede considerar plana, calcular: a) La amplitud del campo magntico. b) La intensidad media de la onda. c) La densidad media de la energa. d) Suponiendo que el receptor est a un kilmetro de la radio emisora y que sta irradia energa en forma istropa, determinar la potencia de la estacin.

SOLUCION: a) A partir de la expresin:

Se sigue que:

Efectuando operaciones:

b) La expresin correspondiente a la intensidad promedio de una onda electromagntica es:



c) La densidad de energa promedio est dada por la expresin:


Por tanto: Julios/m3

d) La potencia promedio se obtiene a partir de:

Teniendo en cuenta el rea de la esfera:

Se obtiene: ( Efectuando operaciones: 163,28 vatios

5. (2.26 E H) Dada una onda electromagntica plana en el vaco cuyo campo se denota por: ; ;

Hallar la expresin para el campo . Cules son la longitud de onda, velocidad y direccin del movimiento de la perturbacin? SOLUCION: De la ecuacin de Maxwell:

Se sigue que:

Derivando el

dado, respecto a , se tiene:

Igualando las componentes escalares:

Teniendo en cuenta que si tiene solamente una componente en y se propaga en sentido del eje entonces debe ser perpendicular a y desplazarse en sentido del eje , es decir, no tendr componente en y por tanto:

Por tanto:

Separando variables:

Integrando se obtiene:

Luego:

Simplificando:

Haciendo operaciones:

6. (2.27 E H) La figura anexa describe el campo elctrico (en la direccin ) de una onda electromagntica plana que se propaga en la direccin positiva de en el vaco. Determinar el campo correspondiente.

SOLUCION: La ecuacin general de una onda de campo elctrico que se mueve en direccin positiva de es:

Del grfico se ve que:

Por tanto, teniendo en cuenta que:

Se tiene:

Usando la ecuacin de Maxwell:

Se sigue que:

Como el campo elctrico est en direccin de entonces el campo magntico se encontrar en la direccin de , as que la expresin anterior se reduce a:

Pero:

Puesto que el campo no tiene componente en

sino en , entonces:

Por tanto

Derivando:

Integrando respecto del tiempo , se obtiene:

Evaluando la integral:


Adems:

7. (02.29 E H) Considere una onda luminosa armnica plana de longitud de onda 500nm que se propaga en el vaco en la direccin positiva del eje . Si el campo se confina en el plano y la densidad del flujo radiante es 1,197 2 w/m determinar el campo . SOLUCION: La expresin general para la onda de campo elctrico que se propaga en la direccin positiva del eje es:

El vector de Poynting est dado por la siguiente expresin:

Por tanto, el valor promedio de su magnitud est dado por:

(Nota:

Producto vectorial).

Teniendo en cuenta que:

Y,

Se sigue que:

Despejando

:



Adems, el nmero de onda est dado por:

Reemplazando los valores de las cantidades halladas se obtiene:

8. (2.34 E H) Un haz luminoso colinado de densidad de flujo 10 vatios/cm 2 incide normalmente sobre una superficie perfectamente absorbente de rea 1 cm2. Si esto ocurre durante 1.000 seg. Cunta energa se imparte a la superficie? SOLUCION: La densidad de flujo est dada por:

La definicin de intensidad es:

Despejando el valor promedio de la energa, se obtiene:


Efectuando operaciones: J.

9. (2.35 E H) Un haz laser de CO2 enfocado que emite una onda contina de 3 Kw ( 0= 10.600 m) es capaz de perforar un hueco de una lmina de acero inoxidable de un cuarto de pulgada de cerca de 10 seg. Determinar la irradiancia cuando tal haz se enfoca sobre una pequea porcin de rea de 10-5 cm2. Cul es la amplitud del campo elctrico? SOLUCION: De acuerdo a la definicin de intensidad promedio:


Adems:

Despejando

:



10. (2.40 E H) La densidad de flujo electromagntico que incide normalmente sobre una superficie justamente afuera de la atmsfera terrestre es alrededor de 2 cal cm-2 min-1. Suponiendo reflexin perfecta, determinar la presin de radiacin correspondiente al sol. (1 J = 0,239 cal) SOLUCION: La presin de radiacin promedio est dada por:rad

= 2

(1)

La densidad de flujo se expresa en funcin de la densidad de energa mediante: (2) Por tanto, reemplazando la ecuacin (2) en la ecuacin:rad

Reemplazando numricamente:rad

Haciendo la conversin de unidades correspondiente, se sigue que:


11. (2.42 E H) Una linterna emite 1 mW de luz colimada. Cul es el empuje promedio que ejerce la linterna? SOLUCION La fuerza est dada de acuerdo a la segunda ley de Newton, por:

La presin de radiacin est dada por:

Por tanto:

La densidad de flujo promedio est dado por:

Por tanto:

Luego:

Simplificando:



12. (2.46 E H) Considrese las energas radiantes de longitudes de onda m (rayos ) (luz verde) y (micro-ondas). Cuntos fotones de cada una se necesitarn para que transporten una energa de 1 ergio? (1J = ergios). SOLUCION: La energa de N fotones est dada por:

Despejando el nmero de fotones

, se sigue que:

Para los rayos:


Para la luz verde:


Para las microondas:


13. (2.27 E H) Comparar la energa de un fotn de microondas de 10cm. A la de un haz laser He Ne ( SOLUCION: La energa del fotn de microondas est dada por:



La energa del fotn de haz laser He Ne, est dada por:



La razn de las dos energas es:


14. (3.1 F G) Determinar las expresiones para los coeficientes de amplitud de reflexin r y de amplitud de transmisin t en funcin solamente de i y t. SOLUCION: Sabemos que: r = Pero de la ley de Snell: entonces:

Reemplazando (2) en (1) se obtiene:

Haciendo comn denominador y simplificando por

se sigue que:

Teniendo en cuenta las siguientes identidades: ( Y ( El coeficiente de amplitud de reflexin se puede escribir mediante:

El coeficiente de amplitud de transmisin

est dado por:

Usando la ley de Snell:

se obtiene:

Pero: sen cos

sen (

cos (

entonces:

15. (24.33 M) El ndice de refraccin de un bloque rectangular de material transparente es . Un rayo de luz incide sobre la parte superior, formando un ngulo y emerge por un lado formando un ngulo , como se muestra en el siguiente diagrama. (a) Demuestre que:

(b) Si el ndice de refraccin del bloque es 1,50, se puede transmitir el rayo de luz como se ilustra? (c) Para qu el ndice incidencia es de 30 ? el rayo emergente ser paralelo al lado si el ngulo de

SOLUCION: a) Aplicando la ley de Snell a la parte superior , se obtiene:

Aplicando la ley de Snell al lado, se obtiene:

Pero de (1):

Reemplazando (4) en (3):

b) De (5):

Para

se obtiene:

Que no es cierto, por cuanto el mximo valor de la suma de los cuadrados del seno de dos ngulos es 2. Por tanto, no es posible transmitir el rayo de luz como se ilustra en la figura

c) De (5):

16. (24.37 M) Las fibras pticas de un tubo de luz son filamentos de vidrio cilndricos, paralelos y delgados, incrustados en una matriz de plstico de menor refractividad. Si el ndice de refraccin de esas fibras es halle una expresin para el mximo ngulo al que pueda entrar la luz a la fibra y recorrer toda su longitud sin que se transmita al plstico. El caso est ilustrado en el diagrama siguiente:

SOLUCION

17. (23.31 M) Los tableros solares de un satlite artificial absorben totalmente la luz solar. La intensidad de la luz es de 100 w/m 2 y el rea total de los paneles es de 16 m2. (a) Calcule la cantidad de movimiento total que se entrega a los tableros en un perodo de 24 horas. (b) Determine se la cantidad de movimiento o mpetu entregado aumenta o disminuye, si los tableros reflejaran parcialmente la luz. SOLUCION:

a)

0,4608 kg-m/s b) La cantidad de movimiento entregada a los tableros solares si estos reflejan parcialmente la luz, est dada por:

Siendo la energa absorbida y la energa reflejada. En este caso la energa absorbida es una fraccin f de la energa para el caso de l absorcin total, es decir . Adems por el principio de conservacin de la energa, la energa reflejada es entonces:

Por tanto la cantidad de movimiento entregada aumentar.

18. (3.2 F G) Determinar las expresiones para la reflectancia R y para la transmisin T, sabiendo que la reflectancia se define como la razn del flujo (o potencia) reflejado al incidente y que la transmitancia se define como la razn del flujo transmitido al incidente. Demuestre adems que R + T = 1.

SOLUCION

Reflexin y transmisin de un haz incidente.

De acuerdo a las definiciones dadas:

Pero en el vaco: Entonces:

=

=

En donde se ha tenido en cuenta que (suponiendo i = t = o)

y

de la misma forma

Teniendo en cuenta que la energa total que llega al rea por unidad de tiempo debe ser igual a la energa por unidad de tiempo que fluye de ella se sigue que:

Con lo cual queda demostrado.

19. (4.21 R) Sobre un espejo y formando un ngulo con la normal al plano del mismo est incidiendo luz de intensidad S. (a) Cul es la presin de la luz sobre el espejo? (b) Cul es la presin si el espejo absorbe una fraccin a de la energa luminosa incidente? SOLUCION: a) b)

NDICE ANALTICOANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE .............................................................................. 72 CALCULO DE LA IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE UNA LINEA COAXIAL .................................. 20 CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES ......................................................................................... 10 Coeficiente de reflexin de corriente ......................................................................................... 26 Coeficiente de transmisin de corriente .................................................................................... 27 Coeficiente de transmisin de voltaje........................................................................................ 26 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN PUNTOS DE DISCONTINUIDAD ................................................................................................ 25 Deduccion de las ecuaciones de Fresnel ..................................................................................... 96 Demostracin de las leyes de la reflexin y la refraccin ......................................................... 105 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE ................................................................ 13 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE ..... 35 ecuaciones de Fresnel ............................................................................................................... 100 ECUACIONES DE MAXWELL ......................................................................................................... 34 ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS. ........................................................................................................... 56 Extremo cortocircuitado ............................................................................................................. 30 EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO ...................................................................... 27 IMPEDANCIA CARACTERISTICA ................................................................................................... 17 INTRODUCCION ............................................................................................................................. 8 Lnea sin prdidas........................................................................................................................ 14 MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA ................................................................... 62 ONDA VIAJERA SINUSOIDAL PLANA ............................................................................................ 40 ONDAS ELECTROMAGNTICAS PLANAS ...................................................................................... 37 ONDAS ELECTROMAGNTICAS VIAJERAS EN LINEAS DE . TRANSPORTE Y CABLES COAXIALES .................................................................................................................. 10 PERPENDICULARIDAD ENTRE CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO Y LA DIRECCION DE PROPAGACION ........................................................................................................................ 52 Polarizacin circular .................................................................................................................... 46 POLARIZACION CIRCULAR DERECHA ...................

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

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