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$: Operaciones con 1 Segmentoscolegiomariscalcaceressurco.com/wp-content/uploads/... · Un escalar es simplemente un número entero o frac-cionario que para nuestro tema de hoy lo utilizaremos$
Geometría - 2do Sec.

Capítulo

1Operaciones conSegmentos

En el capítulo anterior estudiamos las líneas geométricas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recorde-mos amigos que el segmento es un concepto visto la clase anterior: es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

Hemos tomado los puntos A y B de la recta L, a esta por-ción de recta limitada por dichos puntos la llamamos:Segmento AB o segmento BA.

Se representa mediante la siguiente notación:

PQ : Segmento PQ oQP : Segmento QP

P Q

La longitud o medida de un segmento es un número entero “positivo”.

En los problemas que veremos la clase de hoy lo repre-sentaremos de dos maneras. Por ejemplo:

Si el segmento PQ tiene una longitud de 5 cm, enton-ces:

I. m PQ = 5 cm II. PQ = 5 cm

A BL

1. LONGITUD DE UN SEGMENTO (MEDIDA)

P Q

5 cm

Notación

2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Es el punto que divide a un segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Vemos esto en la figura.

A BM

Observación: Se dice también que “M” biseca al segmento AB.

Veamos unos ejemplos para entender mejor lo expuesto hasta ahora.

Si AB = 3 y Bc = 2, calcula “Ac”.

Si Ac = 8 y M es punto medio de Ac, calcula “AM”.

AM = Mc, pero AM + Mc = 8, AM + AM = 8 2(AM) = 8 AM = 4

OJO: Si la figura es:

Ac = AB + BcAB = AD - BDAc = AD - cDAD = AB + Bc + cDcD = AD - AcBD = Bc + cD

A B Dc

“M” es el punto medio del segmento AB mAM = mMB o AM = MB.

A M c

Ac = AB + BcAc = 3 + 2 ⇒ Ac = 5

A B c


Rpta.: d

1) En la figura mostrada:

AB = 2Bc cD = 8 AD = 20

calcula Bc.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

A B C D

Resolución:

AB = 2Bc ⇒ AB = 2x (x)

3x + 8 = 20 3x = 12 x = 4

A B C D2x x 8

20

2) En la figura mostrada:

AD = 42 Ac = 36 BD = 25

calcula Bc.

a) 12 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

Resolución:

x + 6 = 25 x = 19

A B C D

A B C D

x 636

25

42

Rpta.: e

En los problemas del día de hoy nos toparemos con situaciones como la siguiente: 2mAB = 3mcD … Y ahora!!! … ¿ qué hacemos?Pues bien, ahora sí presta muchísima atención.

Una manera sencilla de resolver este problema es la siguiente: Igualemos ese enunciado al Mínimo común Múltiplo (MCM) de los coeficientes de las longitudes de los segmentos, es decir:2mAB=3mcD=McM (2, 3)= 6a

… pero eso sí, siempre se igualará al resultado del McM de los coeficientes pero multiplicado por un escalar cualquiera, en nuestro caso pusimos el escalar “a”, de esta manera podremos trabajar las longitudes de los segmentos AB y CD con coeficientes enteros.

1. PRODUCTO DE UN ESCALAR Y LA LONGITUD DE UN SEGMENTO

Bueno muchachos, antes de empezar este capítulo te-nemos que saber la definición de la palabrita “escalar”. Un escalar es simplemente un número entero o frac-cionario que para nuestro tema de hoy lo utilizaremos para ser coeficiente de la longitud de un segmento, el cual también es un número. Veamos lo expuesto gráficamente:

Si k < 1

kx

A B

Si k > 1

mAB es una fracción de mPQ.

mcD es un múltiplode mPQ.

x

P Q

kx c D

ABBc

23

* Si = y

AB + Bc = 15, calcula Bc - AB.

⇒ 2mAB = 6a ⇒ mAB = 3a ∧ 3mcD = 6a ⇒ mcD =2a

Se emplea este método para evitar el hecho de tener que trabajar con coeficientes fraccionarios.

Veamos unos ejemplos antes de empezar con los ejer-cicios:

* Si 3m AB = 5m cD y AB + cD = 16, calcula AB.


Rpta.: e

3) En la figura AC = 30 m, halla CD.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Resolución:

Ac = 30 x + 2x = 30 3x = 30 x = 10

4) En la figura, calcula BM si "M" es punto medio de AC y Bc - AB = 32 m.

a) 16 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

Resolución:

A B M C

Rpta.: a

A B C D

2xx 5x

⇒ cD = 5(10) = 50

A B M Ca x x+a

Bc - AB = 32 (2x + a) - a = 32 2x = 32 x = 16

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, etc.Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.En la figura se puede comprobar que AB/CD= φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=φ y CD/CA=φ.

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2φ.Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor. Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plas-mó en este dibujo Leonardo da Vinci, que sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuáles han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies, y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunfe-rencia) es el número áureo.


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

6) calcula Ac, si AB=5, BD=12 y “c” es punto medio de BD.

BA Dc

1) Si AB= 3, Bc= 5 y AD= 10, calcula cD.

BA Dc

2) Si AB=Bc= 2 y “c” es punto medio de AD, calcula AD.

BA cx-1 x

3) calcula el valor de “x” si Ac = 11.

BA Dc

4) Si AB= 4, Bc= 5 y cD = 6, calcula la distancia entre los puntos medios de AB y cD.

BA Dc

1015

x

8

5) calcula “x”.

A B Dc

BA Dc

QP SR

QP Rx 2x+5

1) Si Ac= BD= 5 y AD= 8, halla mBc.

2) Si PR= QS= 7 y PS= 10, halla mQR.

3) calcular “x” si PR=20.

4) Se tiene los puntos colineales “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que PQ=2, QR= 5 y PS= 11. calcula la distancia entre los puntos medios de QR y RS.

QP SR

69

x

5

5) calcula “x”.

A B D

2 - x 6 + 3x

c

1 - 2x

6) De la figura, calcula AD.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

BA Dc

Según la figura, indica lo correcto.

a) AB = Bcb) Bc = cDc) Ac = BDd) AB + Bc = BDe) Bc + cD = BD

¿Cuántos segmentos existen en la figura?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

QP R

¿Cuántos segmentos existen en la figura?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

QR DP

De acuerdo a la figura, indica lo verdadero.

a) AQ = PRb) AP = QRc) AP+ PQ = AQd) AQ - PQ = QRe) AP = 2PQ

PA RQ

Resolución: Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

BA c

De acuerdo a la figura, halla AB si AC = 18 m y Bc = 10 m.

a) 6 b) 8 c) 3 d) 5 e) 9

BA Pc

Según la figura AP = 18 m, AB = CP = 5 m, calcula Bc.

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 9

BA c

De acuerdo a la figura halla AB si AC = 30 m y Bc = 14 m.

a) 10 m b) 12 m c) 9 m d) 13 m e) 16 m

PA DQ

Según la figura, calcula PQ si AD = 24 m. AP = QD= 10 m

a) 3 m b) 2 m c) 8 m d) 6 m e) 4 m




5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

A cB

Halla AB, si AB = 2Bc y Ac = 30 m

a) 10 m b) 12 m c) 20 m d) 18 m e) 24 m

A DcB

Halla AB si AB = Bc = 2cD. Además AD = 50 m.

a) 10 m b) 15 m c) 25 m d) 20 m e) 12 m

P RQ

calcula PQ si PQ = 3QR y PR = 40 m.

a) 20 m b) 24 m c) 32 m d) 36 m e) 30 m

A cNBM

calcula MN si M y N son puntos medios de AB y Bc, respectivamente. Además Ac = 24 m.

a) 10 m b) 12 m c) 16 m d) 18 m e) 13 m




Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

A cQBP

Halla PQ siendo P y Q puntos medios de AB y Bc, respectivamente. Además Ac = 32 m.

a) 16 m b) 18 m c) 12 m d) 14 m e) 10 m

De la la figura, QS = 8. Halla mPS.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18

P Q R S5k 3k k

Se tienen los puntos consecutivos A, B y c, tal

que = .

Si Ac = 10, calcula Bc.

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

ABBc

23

Se tienen los puntos consecutivos P, Q y R, tal

que = .

Si PR = 27, calcula PQ.

a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 24

PQQR

45



Raz. Matemático - 2do Sec.

Capítulo

1MatemáticaRecreativa

Los problemas que veremos a continuación, deben realizarse con una gran dosis de ingenio y creatividad.Veremos ejercicios sobre palitos de fósforo, ubicación de números, trazos de figuras, etc.En cuanto a los palitos de fósforo, debemos de encontrar exactamente lo que nos piden, sin que sobren o falten, ni romper los palitos. En la ubicación de números, no debemos repetir alguno de ellos, a no ser que nos lo indiquen.

1) Quita 2 palitos para que hayan exactamente 4 cuadrados iguales.

Solución:Se deben sacar dos palitos:

2) Ubica 10 fichas, de tal forma que hayan 5 filas de 4 fichas cada una.

Solución:

3) Ubica los números del 1 al 9 en la siguiente figura, de tal forma que la suma en cada línea sea de 27.

= 27

27=

Solución:7

2

9

4

5

18 3 6

4) Indica qué figuras se pueden realizar de un solo trazo sin levantar el lápiz.

a)

Sí

c)

Sí

b)

Sí


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

6) Utilizando cinco cifras “cinco”, expresa los números del 6 al 10, utilizando sólo las operaciones fundamentales.

6 = 7 = 8 = 9 = 10 =

6) Empleando cuatro cifras “cuatro”, expresa los números del 1 al 5, utilizando sólo las operaciones fundamentales.

1 = 2 = 3 = 4 = 5 =

Sí

No

1) Indica si la figura se puede realizar de un sólo trazo

I II

3) Divide la figura (media luna) en 6 partes (no necesariamente iguales) usando solo dos rectas.

5) Halla A + B si los bloques de abajo (de 2 en 2) sumen el que está arriba.

4) ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para transformar la figura I en la figura II?

5) Ubica los números del 1 al 7 en cada ladrillo, tal que los números de arriba sean el resultado de la suma de los números de abajo.

15 8 9

63

80

A


Sí

No



Sí

No

Sí

No

3) Divide la figura en 6 partes (no necesariamente iguales) usando dos rectas ¿se podrá?

4) ¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para que el pez nade hacia el lago opuesto?


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

¿Cuántos fósforos como mínimo se deben quitar para formar dos cuadrados?

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 8

Coloca las cifras del 2 al 9, una por casillero, para que la suma en cada rectángulo sea igual.

Coloca las cifras del 1 al 7 en cada círculo, de tal forma que la suma en cada fila sea 10.

¿Cuántos palitos debo retirar para obtener dos cuadrados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Ubica los números del 1 al 8, de tal forma que números consecutivos no sean vecinos, ni por un lado ni por una esquina.

Une los puntos con cuatro líneas rectas y de un solo trazo.

Empezando en 8, llega hasta 4, sumando exactamente 29, sólo en forma horizontal y vertical.

8 5 2

1 7 9

6 3 4

Une los puntos con seis líneas rectas y sin levantar el lápiz.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Sí No

Sí No

Ubica los números del 1 al 9, de tal manera que en cada fila, columna y diagonales principales la suma de valores sea 15.

Indica si la figura se puede realizar de un sólo trazo Indica si la figura se puede realizar de un sólo trazo

Ubica los primeros 9 números pares de tal manera que en cada fila, columna y diagonales principales la suma de valores sea constante.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

¿Cuántos palitos como mínimo deben sacarse para que la operación sea correcta?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

¿Cuántos palitos deben retirarse para dejar seis en la figura?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 17

¿De qué manera, la mitad de doce podría ser siete?

¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la igualdad mostrada se verifique?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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