Operaciones con matrices
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OPERACIONESCON MATRICES
1Ing. Luis David Narváez
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GENERALIDADESTraza
De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de losvalores de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5
2
7513
070
985
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OPERACIONESSuma de dos matrices
Sean dos matricesconformables para la suma(mismo orden), se define lasuma como:
[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismoorden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la sumadel correspondiente elementode [A] y [B]ci,j = ai,j + bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
+ =
3
97
23
57
48
140
25
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OPERACIONES
Resta de dos matrices
Sean dos matricesconformables para la resta(mismo orden), se define laresta como:
[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismoorden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la resta algebraicade los correspondientes elementos de[A] y [B]ci,j = ai,j - bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
Ejemplo
- =
4
97
23
57
48
414
611
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OPERACIONESPropiedades de la Suma y Resta Matricial
Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar• [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n
• [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa
• [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa
• k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de unescalar por la izquierda o derecha en la suma
• Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 5
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OPERACIONES
Producto de una matriz por un escalar
Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de unamatriz por un escalar como
[C]m,n = k [A]m,n
En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)Ejemplo
[C] = 3 [A]
3 =6
97
23
2721
69
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OPERACIONES
Producto de dos matrices
Dos matrices se dice serconformables para lamultiplicación si:
[A]ma,na [B]mb,nb
El número de columnas de [A] esigual al número de filas de [B]
El producto de dos matriceses
[C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb
Conci,j=Sk=1 ai,k x bk,j
(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)
7
=
na
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OPERACIONES
x =
Ejemplo[C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb
Son conformables para la multiplicación ya que na = mb
8
132
201
0
1
1
2
25
03
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OPERACIONES
Leyes de la suma y la Multiplicación
Sean tres matrices [A] [B] [C]conformables para la suma ymultiplicación
Primera Ley Distributiva[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
Segunda Ley Distributiva([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C]Ley Asociativa[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]
En general1) [A] [B] [B] [A]2) [A] [B] = [0]No necesariamente
[A] = [0] o [B] = [0]3) [A] [B] = [A] [C]No necesariamente
[B] = [C]
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OPERACIONES
Matriz Transpuesta
Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como:
[A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......namb = na y nb = ma
También se denotar como [A]’
[A] = [A] =10
T
TT
5
471
32
573
412
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OPERACIONES
Propiedades de la Matriz Transpuesta
Sean las matrices [A] [B]con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar
i) [A’]’= [A]ii) (k [A])’ = k [A]’
La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sustranspuestas( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’
La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en ordeninverso de sus transpuestas.( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 11
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TIPOS DE MATRICES
Matriz Identidad [I] o Unidad
Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de ladiagonal principal es uno y valor cero en todos los demáselementos.
[I] =
12
100
010
001
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Matriz Cero o Nula
Es una matriz cuadrada enla cual el valor de todos loselementos es cero.
000
000
000
13
Ejemplo
[ 0 ] =
[ 0 ] =
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Opuesta o Negativa.
- [A]Se obtiene de la matriz [A]
multiplicando cadaelemento por el escalar -1
128
954
421
128
954
421
14
EjemploSea la matriz
[A] =
-1 [A] =
TIPOS DE MATRICES
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Matrices Iguales
Son aquellas que tienen el mismo orden y cadaelemento de una es igual al correspondienteelemento de la otra.
[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... nEjemplo
15
075
876
243
075
876
243=
TIPOS DE MATRICES
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Matrices Conmutativas
Son aquellas matrices para las cuales se cumple :Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que
[A] x [B] = [B] x [A]
=
16
14
41
14
41
36
63
36
63
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos loselementos son cero excepto en la diagonal.
[ F ] =
17
2100
0100
004
B
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Escalar
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos loselementos son cero excepto en la diagonal principal, quetienen el mismo valor.
a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar
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400
040
004B=B
B = -4 [ I ]
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Triangular Superior
Es una matriz cuadrada cuyoselementos en la parte superior dela diagonal principal y en ella, elvalor es diferente de cero.El valor de los elementos abajo dela diagonal principal es cero
ai j = 0 para i > j
Ejemplo
19
200
470
642
TIPOS DE MATRICES
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Ejemplo
Matriz Triangular Inferior
Es una matriz cuadrada cuyoselementos en la parte inferior de ladiagonal principal y en ella, el valor esdiferente de cero.El valor de los elementos arriba de ladiagonal principal es cero.
ai j = 0 para i < j
20
276
041
002
TIPOS DE MATRICES
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Matrices simétricas
Aquellas que cumplen con:[A]’ = [A].
PropiedadSi [A] es una matriz
cuadrada[A] + [A]’ es simétrica
Ejemplo:la matriz [A] es simétrica ya que:
21
258
514
843
258
514
843[A]’ =
[A] =
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Antisimétrica oHemisimétrica
Es una matriz cuadrada que esigual a la opuesta (o negativa)de su transpuesta.
Necesariamente los elementosde la diagonal principal tienenel valor de cero.
[A] = - 1 [A]’
EjemploLa matriz [A] es antisimétrica ya que:
22
058
504
840
058
504
840
-1 [A]’ =
[A] =
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Periódica
Aquella matriz [A] para la cual[A]k+1= [A]
Donde k es un entero positivoSe dice que la matriz es de un
periodo k
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321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
Ejemplo:
[A] es periódica, conperiodo 1
TIPOS DE MATRICES
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Matriz Idempotente
Es una matriz Periódica con período 1Ejemplo
24
321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
TIPOS DE MATRICES
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Matriz Inversa
Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para lamultiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con:
[A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [I]
A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A]Ejemplo de matrices Inversas:
25
421
331
321
101
011
326x =
100
010
001
MATRIZ INVERSA
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Matriz Adjunta
Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.La manera de construirla es la siguiente:1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M]2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T
adj [A] = ( cofactores [M] )T
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MATRIZ ADJUNTA
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Matriz Adjunta
EjemploSea una matriz [A])=
Con su correspondiente matriz de cofactorescofactores [M] =
Entonces adj [A] =
27
572
024
331
14126
13116
242010
141324
121120
6610
MATRIZ ADJUNTA
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Propiedades de la Matriz Adjunta
[A] x adj [A] = (| A |) [I ]EjemploSea [A]= |A| = - 2 y adj [A] =
Entonces:
x28
572
024
331
100
010
001
= ( -2)
141324
121120
6610
572
024
331
141324
121120
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MATRIZ ADJUNTA
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Propiedades de la Matriz Adjunta
La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual alproducto de las adjuntas de las matrices
adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]
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MATRIZ ADJUNTA
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Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta
Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que[A] x adj [A] = | A | [I]Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:[A] = [I]
Entonces [A] –1 =
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||][
AAadj
||][
AAadj
MATRIZ INVERSA
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Ejemplo
Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta
Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2
Entonces [A] –1 =(-1/2)
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572
024
331
141324
121120
6610
141324
121120
6610
MATRIZ INVERSA
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Transformaciones elementales en una matriz....
Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, nose cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.
Se k un escalar diferente a 01. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de
la fila uno por los elementos de la fila tres.2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .
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TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
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Transformaciones elementales en una matriz
4. La multiplicación de cada elemento de una columna por unescalar k.
5. La suma a los elementos de una fila de k veces loscorrespondientes elementos de otra fila.
6. La suma a los elementos de una columna de k veces loscorrespondientes elementos de otra columna.
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TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
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Matrices Equivalentes
Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida dela otra por una secuencia de transformaciones elementales.
Se denotan como [A] [B]
Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango
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MATRIZ EQUIVALENTE
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Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales
Pasos:1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte
derecha la matriz identidad, de orden m .[ [ A ] [I] ] quedando una matriz aumentada
2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matrizidentidad [I] en el lugar en que estaba la matriz [A].Y en el lugar en que estaba la matriz [I] queda la matriz inversa[ [I] [ A ]-1 ]
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MATRIZ INVERSA
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Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
Sea [A] =1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [I] ] =2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [I]
Se intercambian los renglones 1 y 2
2da fila = 2da fila + 3 1era fila
36
10
01
45
13
01
10
54
31
31
10
74
01
41
53
MATRIZ INVERSA
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Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
2da fila = (-1/7) 2da fila
1a fila = 1a fila –4 2da fila
[ A ]-1=
37
7/37/1
7/57/4
7/31
7/10
14
01
7/37/5
7/17/4
10
01
MATRIZ INVERSA