Operaciones vectoriales
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Departamento De Ciencias – Cajamarca Facultad De Ingeniería
OPERACIONES DIFERENCIALES
GRADIENTE𝛁𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧
El gradiente implica la dirección de
máximo crecimiento de una función o
campo escalar.Ejm:Si se toma como
campo escalar y se le asigna a cada punto
del espacio una temperatura T, entonces
el vector gradiente en cualquier punto del
espacio indicará la dirección en la cual la
temperatura cambiará más rápidamente.
La definición operacional será:
Coordenadas cartesianas:
𝛁𝜑 = 𝜕
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘 𝜑
=𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝜑
𝜕𝑧𝑘
Coordenadas cilíndricas:
∇𝜑 = 𝜕
𝜕𝑟𝑒𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕∅𝑒∅ +
𝜕
𝜕𝑧𝑒 𝑧 𝜑
Coordenadas esféricas:
∇𝜑 = 𝜕
𝜕𝑟𝑒𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃𝑒𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕∅𝑒∅ 𝜑
Obs:
La componente de 𝛁𝜑en la dirección de
un vector unitario 𝑎 es igual a 𝛁𝜑. 𝑎 y
se llama derivada de 𝜑 en la dirección
de 𝑎 , o bien, derivada de 𝜑 según 𝑎 .
Si queremos movernos en la dirección
en que 𝜑 crece más rápidamente
debemos movernos en la dirección de
𝛁𝜑.
Si queremos movernos en la dirección
en que 𝜑 decrece más rápidamente
debemos movernos en la dirección de
–𝛁𝜑.
El campo vectorial gradiente muestra
la dirección que es ortogonal a todas
las superficies de nivel de 𝜑
RELACIÓN ENTRE LA DIRECCIÓN DEL
GRADIENTE Y UNA SUPERFICIE DE
NIVEL
Para ilustrar que el gradiente de un
campo escalar es perpendicular en todo
punto a las superficies de nivel de ese
campo. Sea P1 cualquier punto sobre la
superficie de nivel 𝑔 𝑟 = 𝐶 y sea P2 un
segundo punto situado a una distancia
vectorial infinitesimal 𝑑𝑟 del punto P1.
Además, supóngase que P2 se localiza en la
misma superficie de nivel. Por lo tanto.
𝑑𝑔 𝑟 = 𝑔 𝑃2 − 𝑔 𝑃1 = 0 = 𝛻𝑔 𝑟 . 𝑑𝑟
En este caso particular.
Siempre y cuando la magnitud de 𝛻𝑔 𝑟
sea distinta de cero en el punto P1 el lado
derecho de la ecuación anterior sugiere
que 𝑑𝑟 debe ser perpendicular a ∇𝑔(𝑟 )en
el punto P1 puesto que el vector 𝑑𝑟 , entre
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dos puntos que estén sobre la misma
superficie debe ser tangencial a la
superficie, se concluye que ∇𝑔 𝑟
evaluando en el punto en el punto P1 debe
ser perpendicular a la superficie de nivel
de g 𝑟 que pasa por el punto P1
Para medir la rapidez de cambio de un
campo vectorial se utilizará la divergencia
y el rotacional. Fundamentalmente, estas
son las dos formas en que un campo
vectorial puede “cambiar”: una es
(escalar) midiendo el grado en que el
campo “diverge” (o “explota”, por así
decirlo) en cada punto. Y la otra
(vectorial) es midiendo la tendencia a
“girar” (o formar remolinos internos).
DIVERGENCIA𝛁. 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Si imaginamos que 𝑉 es el campo de
velocidades de un fluido, entonces 𝑑𝑖𝑣𝑉
representa la razón de expansión por
unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
Si 𝑑𝑖𝑣𝑉 < 0 , el fluido se está
comprimiendo. Para un campo vectorial en
el campo 𝑉 , la divergencia se define como:
En coordenadas cartesianas
𝛁. 𝑉 = 𝜕
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘 . 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘
𝜕𝑣1
𝜕𝑥+
𝜕𝑣2
𝜕𝑦+
𝜕𝑣3
𝜕𝑧
En coordenadascilíndricas
𝛁. 𝑉 =1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟 𝑟𝑉𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕∅ 𝑉∅ +
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
En coordenadasesféricas
∇. 𝑉 =1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟 𝑟2𝑉𝑟 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑉𝜃
+1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑉∅
𝜕∅
Mide la razón de expansión del volumen.
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) =
(exsen(y),excos (y), z) determine su
divergencia.
Solución:
𝛁. 𝐹 = 𝜕 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜕𝑥+
𝜕 𝑒𝑥 cos 𝑦
𝜕𝑦
+𝜕 𝑧
𝜕𝑧
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 1
= 1
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ROTACIONAL𝛁 × 𝑉
𝛁 × 𝑉 = 𝜕
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘
× 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧𝑣1 𝑣2 𝑣3
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧𝑣2 𝑣3
𝑖 − 𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧𝑣1 𝑣3
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝑣1 𝑣2
𝑘
= 𝜕𝑣3
𝜕𝑦−
𝜕𝑣2
𝜕𝑧 𝑖 −
𝜕𝑣3
𝜕𝑥−
𝜕𝑣1
𝜕𝑧 𝑗
+ 𝜕𝑣2
𝜕𝑥−
𝜕𝑣1
𝜕𝑦 𝑘
En coodenadascilíndricas
𝛁 × 𝑉 =
𝑒 𝑟 𝑟𝑒 ∅ 𝑒 𝑧𝜕
𝜕𝑟
𝜕
𝜕∅
𝜕
𝜕𝑧𝑉𝑟 𝑟𝑉∅ 𝑉𝑧
En coordenadasesféricas
𝛁 × 𝑉 =1
𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑒 𝑟 𝑟𝑒 𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒 𝜑𝜕
𝜕𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝜕
𝜕𝜑𝑉𝑟 𝑟𝑉𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝜑
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (0,
cos (xz), −sen (xy)) determine
surotacional.
Solución:
𝛁 × 𝑉 = 𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )
𝜕𝑦−
𝜕(cos(𝑥𝑧)
𝜕𝑧 𝑖
− 𝜕(0)
𝜕𝑥−
𝜕(−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 )
𝜕𝑧 𝑗
+ 𝜕(cos 𝑥𝑧 )
𝜕𝑥−
𝜕(0)
𝜕𝑦 𝑘
= −𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗
+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘
𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 𝑖 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑗
+ (−𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑧 )𝑘
2. Determine si el campo vectorial
definido por F (x, y, z) = (2xy, x2 + 2yz,
y2) es un campo conservativo.
Solución:
Un campo vectorial es conservativo si
𝛁 × 𝑉 = 0 , para verificar aplicamos el
rotacional a la función.
𝛁 × 𝐹 = 𝜕(𝑦2)
𝜕𝑦−
𝜕(𝑥2 + 2𝑦𝑧)
𝜕𝑧 𝑖
+ 𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑥−
𝜕(𝑦2)
𝜕𝑧 𝑗
+ 𝜕(𝑥2 + 2𝑦𝑧)
𝜕𝑥−
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑦 𝑘
= 2𝑦 − 2𝑦 𝑖 + 0 − 0 𝑗 + (2𝑥 − 2𝑥)𝑘
= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘
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En donde queda demostrado que F (x, y,
z) = (2xy, x2 + 2yz, y2) es un campo
conservativo
FÓRMULAS EN LAS QUE INTERVIENE
EL OPERADOR𝛁
1.𝛁 φ + ρ = 𝛁φ + 𝛁ρ
2. 𝛁. 𝐀 + 𝐁 = 𝛁. 𝐀 + 𝛁. 𝐁
3. 𝛁 × 𝐀 + 𝐁 = 𝛁 × 𝐀 + 𝛁 × 𝐁
4. 𝛁. φ𝐀 = 𝛁φ . 𝐀 + φ 𝛁. 𝐀
5. 𝛁 × φ𝐀 = 𝛁φ × 𝐀 + φ(𝛁 × 𝐀)
6. 𝛁. 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 × 𝐀 − 𝐀. (𝛁 × 𝐁)
7. 𝛁 × 𝐀 × 𝐁 = 𝐁. 𝛁 𝐀 − 𝐁 𝛁. 𝐀 −
𝐀. 𝛁 𝐁 + 𝐀(𝛁. 𝐁)
8.𝛁. 𝛁φ = 𝛁𝟐φ =∂2φ
∂x2 +∂2φ
∂y2 +∂2φ
∂z2
Donde: 𝛁𝟐 =∂2
∂x2 +∂2
∂y2 +∂2
∂z2 se denomina
operador laplaciano.
1. Siendo 𝜑 = 2𝑥3𝑦2𝑧4, hallar 𝛁. 𝛁φ
Solución:
Como 𝛁. 𝛁φ es 𝛁𝟐entonces tenemos:𝛁𝟐 =∂2
∂x2 +∂2
∂y2 +∂2
∂z2
𝛁𝟐𝜑 =∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)
∂x2+
∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)
∂y2
+∂2(2𝑥3𝑦2𝑧4)
∂z2
= 12𝑥𝑦2𝑧4 + 4𝑥3𝑧4 + 24𝑥3𝑦2𝑧2
2.Hallar∇. A × r sabiendo que ∇ × A = 0
Solución:
Sabiendo que ∇. A × B = B. ∇ × A −
A. (∇ × B)
Entonces ∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)
∇. A × r = r. ∇ × A − A. (∇ × r)
∇. A × r = −A. (∇ × r)y por simple
inspección ∇ × r = 0
Por lo tanto ∇. A × r = 0