La educadora Constance Kamii, en su libro El nio reinventa la Aritmtica (1994a, vol. 3),sostiene que, en los primeros grados, las operaciones deben ser aprendidas por los estudiantes mediante situaciones conflictivas reales, situaciones en las que deben poner en prctica su intuicin y sus experiencias previas. Lo importante es desarrollar la estructura aditiva o multiplicativa, es decir, el significado de las operaciones, pues los nmeros no suelen presentarse en la vida cotidiana en forma aislada, siempre tienen un significado. El docente debera aprovechar estas situaciones para lograr la comprensin de la relacin entre las operaciones matemticas y las acciones reales y mentales que conlleva hacer una adicin o una sustraccin.Veamos algunos ejemplos: a) En el siguiente problema, cul es el conocimiento matemtico que permite resolverlo? qu significado intuitivo permite resolverlo?

b) Qu evala esta pregunta?

Las ltimas investigaciones respecto de la enseanza aprendizaje de las estructuras aritmticas en la matemtica escolar clasifican el clculo en dos grandes rubros: El clculo relacional constituido por las operaciones de pensamiento necesarias para manejar las relaciones que intervienen en la situacin y que se expresan en forma de teoremas o inferencias en accin, no necesariamente explcitos.

El clculo numrico que incluye las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin.Pueden verse ejemplos de actividades que promueven el clculo relacional en el libro Didctica de la Matemtica (2003) del educador cubano Joaqun Palacio Pea de donde extraemos dos de ellos.

Este autor seala que, los docentes de primaria deben de preocuparse por ensear el clculo relacional y proponer en sus actividades de clases. Las ventajas son claras, pues en este tipo de actividad lo primordial no es el clculo aritmtico sino que los estudiantes descubran las relaciones existentes entre los nmeros que se presentan, es decir, los patrones de determinadas configuraciones o secuencias numricas. Este tipo de problemas promueve habilidades como la estimacin, el razonamiento lgico, la formulacin de conjeturas y la elaboracin de inferencias.

Para el aprendizaje de las operaciones bsicas los estudiantes en los primeros aos deberan: Realizar clculos con material concreto.

Realizar clculos mentalmente.

Realizar clculos con lpiz y papel.

Realizar estimaciones de clculo.

Utilizar calculadoras en forma pertinente.Maza (1989) propone una secuencia para la enseanza de las operaciones a la luz de los errores que se presentan con mayor frecuencia. Segn este investigador, el docente debe utilizar una variedad de sinnimos para referirse a la misma accin con significado matemtico:

Sumar: aadir, poner, juntar, agregar, reunir...

Restar: quitar, perder, retirar, separarEjemplo:

Si no se pone a los nios en situacin de contar o de comparar cantidades de objetos, de ordenar colecciones, no captarn el sentido de las operaciones bsicas.

Los estudiantes deben, primero, realizar estas acciones mediante la manipulacin de fichas, semillas u otros objetos pequeos que sirvan de contadores. En seguida, deben describir la accin con el lenguaje usual, nombrando lo que realizan; para ello conviene que el docente lleve adelante un dilogo que retroalimente al estudiante en su accionar y en la verbalizacin de la accin. Aqu tambin es posible introducir los signos que traducen las acciones que realiza. Slo cuando las acciones estn asimiladas se deben utilizar dibujos o esquemas.

Posteriormente, se puede asociar nmeros y smbolos a estas representaciones. Por ejemplo: se dibujan dos conjuntos de naranjas, con el nmero a su lado, separados por el signo y se pide que dibujen y escriban el nmero del conjunto resultante. El ltimo paso sera la notacin simblica de las operaciones y su resolucin por escrito. Todas estas ideas se pueden integrar en la siguiente secuencia didctica del proceso de enseanza aprendizaje de las operaciones matemticas (Maza 1989):Proceso de enseanza aprendizaje de las operaciones matemticas

ACCIN

VNCULOS ENTRE ACCIN Y LENGUAJE

NARRACIN DE LA ACCIN

REPRESENTACIN GRFICA

EXPRESIN SIMBLICA

DESARROLLO DE ESTRATEGIAS

APLICACIN DE ALGORITMOS

Accin: en un primer momento, el estudiante resuelve las situaciones mediante la exploracin y actuacin informal sobre los objetos, para lo cual el docente debe propiciar dichas actividades.

Vnculo entre accin y lenguaje: el docente debe ayudar a los estudiantes a establecer relaciones pertinentes entre las acciones que realizan y la diversidad de verbos que utilizan (sumar, agregar, juntar, reunir, etc.).

Narracin de la accin: se solicita de los estudiantes un relato de las acciones emprendidas y de la forma de resolver la situacin presentada. Representacin grfica: las acciones pueden presentarse fcilmente de forma grfica (diagramas, esquemas, dibujos).

Expresin simblica: se introduce la notacin matemtica que corresponde a las acciones realizadas.

Desarrollo de estrategias: ms que memorizar los hechos bsicos, el docente debe promover en los estudiantes la construccin de estrategias propias cuando, por ejemplo, no puedan recordar un hecho simple. As, si se quiere calcular 6 + 7 y no se recuerdan las sumas bsicas, se puede descomponer el nmero 7 en 5 + 2 y, luego, sumar; o en el caso de sumas como 7 + 9, sumar 10 y, luego, restar una unidad.

Aplicacin de algoritmos: el ltimo paso en el aprendizaje de una operacin es la extensin de estas estrategias y de otras destrezas (manejo del sistema decimal de numeracin) para realizar clculos entre dos o ms nmeros cualesquiera.Dos ltimos aspectos que no debemos dejar de lado en la enseanza de las operaciones matemticas son la estimacin y el clculo mental. Se deben propiciar actividades de clculo mental de variadas formas durante el aprendizaje de las operaciones ya que educan la flexibilidad de pensamiento, pues cada estudiante puede disear una estrategia y afianzar las propiedades de las operaciones de una manera concreta. En cuanto a la estimacin, el docente debera pedir a los estudiantes que, antes de realizar una operacin, estimen su resultado para, luego, mediante la aplicacin del algoritmo, comprobar si el resultado final cae dentro del rango que se estim. En el aprendizaje de la matemtica se considera muy importante el uso de juegos colectivos, puesto que, adems de ayudar a desarrollar la comunicacin matemtica, logran la interaccin social y el empleo de conceptos en diversos contextos. Por otro lado, es conveniente trabajar con la descomposicin polinmica para que los estudiantes se den cuenta de la magnitud de los nmeros involucrados. Una estrategia para hacerlo se ejemplifica a continuacin.

Este mismo proceso se puede utilizar para calcular restas de nmeros, realiza dos ejemplos.Solo despus de realizar varios ejercicios de este tipo podemos introducir el algoritmo como una manera de simplificar los clculos, pero no como una meta de aprendizaje. Lo importante es que el estudiante comprenda cada vez mejor la estructura de los nmeros naturales, el sistema posicional de notacin y las propiedades de la adicin y de la sustraccin.

Algoritmo de las operaciones bsicas de la aritmtica.

Los algoritmos son un conjunto de acciones (operaciones y procedimientos), pasos secuenciales previamente establecidos y formas definidas de accin para llegar a resolver diversas situaciones. Se trata siempre de formas de proceder prefijadas, efectivas y sistemticas que se orientan al logro de un objetivo especfico.

Por ejemplo, calcular una suma, resolver una ecuacin, trazar la bisectriz de un ngulo, etc .Para que el conocimiento sea significativo, es indispensable que los alumnos, aplicando los conceptos que han aprendido, creen sus propios algoritmos.Los algoritmos son importantes al resolver un problema, ya que, establecida la estrategia de solucin, sin su conocimiento y manejo adecuado probablemente no se podra llegar con xito al trmino del proceso de solucin. Desde esta perspectiva, los algoritmos deben ser entendidos como medios para resolver problemas y no como fines en s mismos.Algunas sugerencias para el logro del aprendizaje de estas operaciones son:

Empezar a trabajar las operaciones aritmticas a partir de la resolucin de problemas. En un principio, el docente debe asegurarse de que el estudiante comprenda el enunciado del problema. Una manera efectiva es pidiendo al estudiante que lo explique con sus propias palabras. Luego, debe animarlo a encontrar estrategias de solucin. Resolver las operaciones utilizando estrategias diversas. El estudiante debe estar en la capacidad de realizar clculos con material concreto, mentalmente, con lpiz y papel, estimar clculos. Asegurar la comprensin del concepto de las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. De acuerdo con los resultados de distintas investigaciones, se debe comprender el significado de la operacin en situaciones concretas, reconocer los modelos ms usuales y prcticos de las operaciones, entender sus propiedades matemticas y el efecto de cada operacin y las relaciones entre estas. Analizar las relaciones que se establecen entre diferentes operaciones. Por ejemplo, que la multiplicacin sea una operacin inversa a la divisin puede ayudar al estudiante a un mayor desarrollo de su pensamiento numrico y a analizar problemas desde diferentes perspectivas.

Iniciar los algoritmos con nmeros pequeos para que se interiorice el sentido de la operacin. Si se aumenta la cantidad de cifras, el estudiante se puede confundir lo cual puede dar la falsa impresin de que no ha comprendido el algoritmo. Considerar el nivel de dificultad de las actividades propuestas. El orden adecuado garantiza el progreso efectivo en el aprendizaje, es decir, la asimilacin consciente de los procedimientos, teniendo en cuenta las particularidades de los estudiantes y el desarrollo de las capacidadesLas operaciones en el conjunto de los Nmero Naturales tienen diferentes significados.

As por ejemplo encontramos situaciones de suma (adicin) que involucran los mismos nmeros pero sus significados son diferentes:

a) Juan tiene 35 figuritas y su hermano 22. Resuelven armar juntos un lbum. Qu cantidad de figuritas pegarn en el lbum en ese momento?b) En la fotocopiadora de la escuela se realizaron en la maana 35 fotocopias y en la tarde del mismo da se hacen 22 ms. Cuntas copias se realizaron ese da?

c) En un juego de mesa Laura tiene ubicada su ficha en la casilla nmero 35. En la siguiente jugada saca 22 puntos. Esto la hace avanzar hasta el casillero...

En el primer caso las dos colecciones estn presentes y deben reunirse. En la segunda se parte de una coleccin (representada por la cantidad de 35 fotocopias) y luego se agregan veintids fotocopias ms.

En el juego hay un nmero de partida y se debe avanzar tantos lugares como lo indica la siguiente jugada.

En estos tres casos presentados aparece la adicin como la operacin que posibilita:

Unir, reunir, juntar

Agregar

Avanzar

El recorrer los diferentes significados de la adicin da la posibilidad de que los nios construyan, realmente, el sentido de la misma.

Lo mismo sucede al proponernos trabajar la resta (sustraccin). Es necesario enfrentarlos a situaciones en las que dicha operacin signifique quitar, separar, comparar, igualar.

a) Si tengo S/. 38 y gasto S/. 20, entonces me quedan....

b) Tengo 38 figuritas. 20 me los regal mam y .... la abuela.

c) Tengo 20 metros de tela y mi hermana tiene 38. Cuntos metros de tela ms tiene mi hermana?

Estas situaciones involucran la misma operacin ( 38 20 ) sin embargo su significado es diferente.Actividades1. El calendario- Dibuje un cuadriltero de 9 nmeros en cualquier hoja de calendario.

- En una hoja realice las siguientes operaciones: escribe el nmero ms pequeo de dicho cuadriltero; agregue 8; multiplique por 9 y recuerde el resultado.

- Ahora sume los 9 nmeros que figuran en el cuadriltero.

- Qu observas?

- Repita los pasos con otros nmeros.

2. En una clase la maestra ha utilizado papel cuadriculado de la siguiente manera:

a)Qu contenido matemtico se est trabajando en esta actividad?3. Juego con ruleta:

Materiales:

- Una ruleta como sta para aprender jugando.

- Cada jugador debe hacerse una cartilla como sta, para anotar puntos.123

412

341

Reglas del juego:

- Haz girar la ruleta.

- Multiplica tu nmero por cinco.

- Coloca tu producto en un cuadro, de modo que el dgito de las decenas coincida con el dgito rojo.

- El primer jugador que obtenga 3 productos en cualquiera de las direcciones es el ganador.

12

3

35

41 152

3 3041

4. Cuatro en lnea Reglas:

- Participan dos nios.

- Cada jugador, por turno, resuelve la multiplicacin de un tramo de la ruta que el elija.

- Coloca la ficha en el lugar del tablero de productos.

- El primer jugador que tenga cuatro de sus fichas en lnea, gana.

- El participante que inicia el juego elige la partida.

- Una vez elegida la partida, slo puede avanzar en la ruta.

Juegos de NumricosLa cantidad de pasatiempos de este tipo que pueden usarse en clase es muy amplia. Nosotros los clasificamos en dos grandes bloques: por un lado los de ordenacin, en los que hay que colocar los nmeros en determinados lugares segn unas exigencias previas, y por otro lado los de clculo, en los que se puede ir desde los ms simples con sumas, hasta las operaciones ms complicadas.Para nosotros como profesores, esos problemas numricos tienen caractersticas didcticas atractivas, como las siguientes: Son altamente motivadores.

Sirven para introducir o reforzar las operaciones bsicas. Complementan o refuerzan el bloque numrico de primaria. Agilizan el clculo mental.

Hemos seleccionado ocho juegos con nivel adecuado para ser usados en el nivel primaria.

1.- Siete nmeros en la Y griega

Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos nmeros consecutivos no estn juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.

2.- La rueda numrica

Sita los nmeros del 1 al 9 en los cuadros del tablero, de forma que todas las lneas de tres nmeros sumen 15.

3.- El tringulo que suma igual

Distribuye las cifras del 1 al 6 en el tablero, de forma que la suma de cada lado del tringulo sea la misma.

4.- El cuadro de nmeros

Coloca los ocho primeros nmeros en el tablero, de forma que cada nmero que est en un cuadrado, sea la diferencia de los que estn en los crculos a sus lados.

5.- Ocho nmeros en lnea

Coloca las cifras del 1 al 8 en los cuadros de la siguiente lnea, de forma que la diferencia, en un orden o en otro, entre dos nmeros vecinos, no sea nunca menor que 4.

6.- Pares e impares en una suma

Con los nmeros del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los nmeros pares en los cuadrados y los impares en los crculos.

7.- La serpiente smica

Sita sobre los crculos de la serpiente los nmeros del 1 al 9, de manera que cada lnea de tres nmeros, sume 13.

8.- El producto con nueve nmeros

Coloca las cifras del 1 al 9 sobre el tablero, de forma que el producto resultante sea correcto.

Cmo presentar los juegos.Todos estos juegos se pueden hacer perfectamente con lpiz y papel, pero tenemos comprobado que el aspecto manipulativo es muy importante en la enseanza, especialmente en Primaria, por lo que sugerimos que se haga como juego de tablero y fichas, presentando el dibujo del tablero en cartn o sobre panel, y los nmeros en cartulina. Esto facilita la resolucin pues los intentos nuevos no pasan por borrar lo hecho antes sino por cambiar las cifras de lugares.

Referencias Bibliogrficas: COFR J. Alicia; TAPIA A. Lucila. (1995). Cmo desarrollar el Pensamiento Lgico y Matemtico. Editorial Universitaria

CHAMORRO, Mara del Carmen. (2003). "Didcticas de las Matemticas para Primaria.Coleccin Didctica. Madrid.

GODINO D. Juan. (2003). "Matemtica y su Didctica para Maestros. Universidad de Granada.

MINISTERIO DE EDUCACION. (2005). "Evaluacin Nacional del Rendimiento Estudiantil 2004. Lima-Per.

MUOZ, J.; FERNANDEZ, J; CARMONA, V. (1998). Jugando con potencias y races Nmeros 33. Tenerife. MDULO: MATEMTICA SESIN: 11 SEMESTRE: II - 2010

Por ejemplo: para sumar los nmeros 34 y 58, 34 = 30+4

puede realizar primero la descomposicin en 58 = 50+8

decenas y unidades de ambos en columnas:

Se suma 4 y 8, lo cual da 12; se descompone 34+ 58 = 30 + 50 + 12

en 10 +2: 34+ 58 = 30 + 50 + 10 + 2

D U

Se suma las decenas completas: 34+ 58 = 90 +2

Y se tiene el resultado: 34 + 58 = 92

Calculemos: 368+257= _______

Para efectuar esta suma, el docente puede 368 = 300+60+8

escribir en la pizarra los nmeros en columna y, 257 = 200+50+7

luego, realizar la descomposicin polinmica de ambos:

Entonces; se debe comenzar a realizar la suma en cada = 500+110+15

orden, y explicar que se debe encontrar cuntas centenas, = 500+100+10+10+5

decenas y unidades se forman. Para hacerlo, se debe sumar C D U

cada orden y reagrupar los nmeros as: = 600+20+5

Y se tiene el resultado: 368+257=625

Unos nios llevan caramelos. Miguel lleva 5, Ana 8, Marta 6, Marlene 1 y Luisa no lleva ninguno. Cmo repartir los caramelos de forma equitativa?

OPERACIONES DEFINIDAS EN EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES

PAGE 1