OPLIMPIADA LOCAL DE MATEMATICAS CBTis # 85

EJERCICIO - RESPUESTAS

1.- THEORIA DE NUMEROS

DEMUESTRE QUE SI “a” ES UN NUMERO PRIMO CON 240, ENTONCES 240 DIVIDE A: (a4 – 1)

SOLUCION:

1.-Si Desmultiplicamos a 240 en sus factores primos estos son: 24 x 3 x 5; es decir son: 2, 3 y 5

2.- Analizamos el primer factor Primo y

:a4 – 1 = (a2 -1) (a2 +1); Pero como “a” Es Impar entonces: a = 2k +1 y a2 = 4k2+4k +1, luego a2 -1 = 4k(k + 1) observamos que k(k + 1) Es un Numero Par entonces 8 divide a: (a4-1) y 2 divide a: (a +1). Por lo que concluimos que 24 Divide a: (a4 – 1).

3.- Analizamos El segundo número primo: 3

Y vemos que no divide a “a” hacemos pues: a = 3h + 1 o´ a = 3h +2

Por lo Tanto: a2 = 9h2 +6h +1 o a2 = 9h2 +12h + 4, Observamos pues que 3 Divide a (a2 - 1) de ahí concluimos que 3 divide a (a4 – 1)

4.- El tercer Numero primo el 5,

Tampoco divide a “a”. Por lo que replantearemos una expresión compatible con su división: a = 5h +1; a = 5h +2; a = 5h + 3 y 5h +4, Pero en cualquiera de los cuatro casos observamos que cumple con la siguiente ecuación y en donde 1 k 4 - a2 = 25h2 +5(2kh) +k2, Pero al aplicar (k2 - 1); k = 1 Entonces deducimos que (a2 – 1 ) es divisible entre 5 ya que si a = (5h +1) o´ a = (5h + 4) por lo tanto (a2 +1) es divisible Entre 5 en los otros dos casos, por lo tanto concluimos que 5 divide a (a4 -1) por lo tanto 240 divide a (a4 – 1)

2.- ENCUENTRE TODAS LAS TERNAS (a, b, c) TALES QUE a + b + c = 29 y SU PRODUCTO TENGA EXACTAMENTE 8 DIVISORES.

SOLUCION:

Sea n = abc y (P1

α)∗(P2

α)(P2

α)⋯⋯(Pn

α) Es la factorización prima de “n”. Pero Si “m 4, Entonces d (n) = (1 +1) (2 + 1)(3 + 1) (4 +1 ) = 2222 = 16

Pero por Hipótesis “n” Tiene solo 8 divisores y no 16, por lo que hacemos m 3; Entonces dividamos al ejercicio en 3 casos; m = 1, m = 2 y m = 3.

Analicemos el primer caso: m = 1; (1 + 1) = 8 1 = 7, pero a, b y c son potencias de P, siempre y cuando ninguna de ellas sea “1” entonces como a + b + c = 29 entonces alguna potencia debe ser “1” (La Unidad). Si un exponente es mayor que 5 entonces uno de los números es 32 y 25 = 32 29 por lo tanto la única posibilidad que queda es que un exponente sea 3 y el otro 4, P no puede ser 2 ya que 24 +23 +1 = 25; Ahora si P 3 entonces p4 + p3 +1 = 34 27, por lo que este caso no tiene solución.

Analicemos el Segundo caso: m = 2; (1 + 1) = 2 y (2 + 1) = 4 (o viceversa) 1 = 1 y 2 = 3, Sea P el numero primo base del exponente 1 y Q el del +1exponente 3. La suma dependiendo

de los valores de a, b y c seria entonces una de las siguientes: (Q3 + P + 1), (Q2 + PQ +1), (Q + PQ2 +1), (Q2 + P + Q), y (Q + PQ Q), (1 + PQ3 + 1), ahora analicemos cada una de ellas.

Recordemos que su suma debe ser 29: Entonces obtenemos una solución que es (Q2 + P + Q), que es (9 , 17 y 3) o (32 +P +3)

Analicemos el Tercer caso: m = 3; En este caso tendremos que “n” es el producto de tres números primos diferentes.

(3, 7, 19); (5, 7, 17); (5, 11, 13); (3, 9, 17); (1, 13, 15)

3.- COMBINATORIA:

DIGA CUANTOS NUMEROS NATURALES MENORES O IGUALES QUE 1 000 000 EXISTEN DE TAL MAERA QUE TENGAN EXACTAMENTE 3 CUATROS O 4 CUATROS.

SOLUCION:

1.- se eligen 3 de los 6 lugares de 1 000 000 (ya que deben ser Menor que 106): (63 )Y los

otros 3 Lugares se colocan con algún número del 0 al 9 es decir (63 ) 93

2.- se eligen 4 de los 6 lugares de 1 000 000 (ya que deben ser Menor que 106): (64 ) y se

sigue la analogía del anterior por lo que el resultado sera:_

(63 )∗ 93 + (64)∗ 92= 15 795 Numeros

4.- INDUCCION MATEMATICA:

SEA f (x) = x2 + bx + c UN POLINOMIO CON b, c . Ƶ SI f (x) TIENE RAICES ENTERAS, ENTONCES c ES UN NUMERO PRIMO, b 0 y f (c + 1) = 135. ENCUENTRE EL VALOR DE b Y EL DE c

SOLUCION:

1.- DE LA Ec. SABEMOS QUE EL COEFICIENTE DE x2 ES 1, ASI COMO EL DE x ES “b”

2.- TAMBIÉN SABEMOS QUE f (x) TIENE RAÍCES ENTERAS QUE TIENEN QUE DIVIDIR A c PERO COMO c ES UN NUMERO PRIMO, LAS UNICAS SOLUCIONES PARA LAS RAICES DEL POLINOMIO f (x) SON: c y 1 (Es decir “Entre si mismo y la unidad”)

3.- PERO COMO LA SUMA DE LAS RAÍCES SERÍAN –C Y 1, Y SE SABE QUE C +1 = B POR LO QUE F (C +1) = 135 AL ELEVARLO AL CUADRADO NOS QUEDA (C + 1) 2 + B(C +1) + C = 135 PERO b = (c + 1)-, ENTONCES: (c + 1)2 + (c +1)2 +c = 135 O SOLUCIONAMOS LA ECUACIÓN Y OBTENEMOS: c1 = 7 por lo que b = 8 y c2 = - 19 / 2

5.-