UNIDAD 3: ORGANICEMOS Y TABULEMOS

VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS.

Organización y presentación de información.

3.1 Atributos y variables discretas.

Cuando se tiene un conjunto de datos dispersos se procede a su organización para

luego presentarlos en una tabla. Esto es lo que se conoce como presentación

tabular. Una vez que la información se encuentra tabulada, puede presentarse en

gráficas.

Presentación gráfica.

La información tabulada puede presentarse en gráficos. Aquí estudiaremos los

siguientes: gráfico de barras, gráfico circular y pictograma.

Gráfico de barras. Como su nombre lo indica, el

gráfico de barras está constituido por barras.

Este gráfico está formado por barritas, todas del mismo

ancho y con una altura proporcional al número de datos

que representan.

Se acostumbra diferenciar una barrita de las otras, para lo

cual pueden utilizarse colores u otros distintivos.

Una barrita siempre debe estar separada de las otras, aunque

existen los gráficos en los que se unen ciertos grupos de barras.

El gráfico de barras puede ser vertical u horizontal. El que aquí

aparece es vertical.

La ventaja que ofrece un gráfico de barras sobre los datos tabulados, es que a simple vista se

pueden sacar algunas conclusiones.

El orden de colocación de las barras puede ser variado, pero se acostumbra dar prioridad al

orden temporal. Es decir que primero se colocan las que representa los datos más antiguos.

Ejemplo. Se ha recopilado la información siguiente: la producción de carros en los últimos 5

años ha sido la siguiente: 1999: 8000 unidades, 2000: 16000 unidades, 2001: 4000 unidades,

2002: 12000 unidades, 2003: 10000 unidades. Tabular la información anterior y presentarla en

un gráfico de barras vertical y en uno horizontal.

Solución.

Año Producción

1999 8000

2000 16000

2001 4000

2002 12000

2003 10000

Para construir los gráficos, le daremos a cada 1 000 unidades medio centímetro de altura. Esto

significa que la barra de 16 000 unidades tendrá una altura de 8 centímetros.

(ton)

Gráfico de barras vertical

1

9

9

9

2

0

0

0

2

0

0

1

2

0

0

2

2

0

0

3

16000

12000

10000

8000

4000

1999

2000

2001

2002

400 800 1000 12000 16000 carros

Gráfico de barras horizontal

Actividad 7. En los casos siguientes, tabular la información y presentarla en un gráfico

de barras vertical y en un gráfico de barras horizontal.

1. En un colegio se encuestó un total de 100 alumn@s para elegir al maestr@ más carismático.

Los resultados obtenidos en la pizarra son los siguientes:

Profesor/a Puntos

Alejandro x x x x x x x x x x x x x x x

Amanda x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

Fidel x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Rafael x x x x x x x x x x x x x x x

Lissette x x x x x x x x x x

2. Se ha decidido decorar el salón de deportes del centro educativo. La decoración incluye una

figura. Se realiza una encuesta para determinar qué figura incluir entre las siguientes: una copa,

un trofeo, un pesista o un nadador. El resultado de la encuesta es el siguiente:

Copa: Trofeo: Pesista: Nadador:

3. Juan, Sandra, Alfredo, René y Dorotea participan durante 5 días en una competencia de

siembra de arbolitos. Los resultados son los siguientes:

Para Juan: lunes sembró 15, martes sembró 14, miércoles sembró 12, jueves sembró

10, viernes sembró 9.

Para Sandra: lunes sembró 20, martes sembró 18, miércoles sembró 15, jueves

sembró 12, viernes sembró 10.

Para Alfredo: lunes sembró 25, martes sembró 20, miércoles sembró 10, jueves sembró 5,

viernes sembró 5.

Para René: lunes sembró 15, martes sembró 15, miércoles sembró 10, jueves sembró 5, viernes

sembró 5.

Para Dorotea: lunes sembró 20, martes sembró 10, miércoles sembró 5, jueves sembró 5,

viernes sembró 5.

NOTA: cada barra en el gráfico debe presentar el resultado de los 5 días.

4. El alcalde de San Salvador decide cambiarle el color al Teatro Nacional. Entre los colores

posibles están: blanco, azul y amarillo. Se decide que sea la población quien elija, por lo cual se

efectúa una encuesta. Los resultados son los siguientes: azul: 50%, blanco: 30%, amarillo: 20%.

Gráfico circular.

El gráfico circular, conocido también como gráfico de pastel, es un círculo dividido

proporcionalmente a los datos que representa. Esto implica que los 360 grados que tiene un

círculo se deben distribuir proporcionalmente a los datos. Por lo tanto se deberá usar un

transportador. Como en el gráfico de barras, se acostumbra diferenciar cada sección del círculo.

En la ecuación se tiene que: D: número de datos.

N: total de datos.

Ejemplo. Presentar en un gráfico circular los datos de la tabla siguiente:

90º 90º

90º 90º

Para dividir un círculo proporcionalmente, se necesita calcular

los grados que le corresponden a cada grupo de datos. Se

calculan con la ecuación:

Grados = D x 360º N

Año Producción

1999 8000

2000 16000

2001 4000

2002 12000

2003 10000

Para 2001 tenemos: Grados = D x 360º = 4000 x 360º = 28.8º

N 50000

Para 2002 tenemos: Grados = D x 360º = 12000 x 360º = 86.4º

N 50000

Para 2003 tenemos: Grados = D x 360º = 10000 x 360º = 72º

N 50000

Agreguemos los grados a la tabla:

Año Producción Grados

1999 8000 57.6º

2000 16000 115.2º

2001 4000 28.8º

2002 12000 86.4º

2003 10000 72º

El gráfico es el siguiente

Como recordarás, estos son los datos que anteriormente presentamos en

un gráfico de barras.

Calculemos los grados que le corresponden a la producción de cada año.

Antes calculemos el total de datos:

N = 8000 + 16000 + 4000 + 12000 + 10000 = 50000

Para 1999 tenemos: Grados = D x 360º = 8000 x 360º = 57.6º

N 50000

Para 2000 tenemos: Grados = D x 360º = 16000 x 360º = 115.2º

N 50000

Sumemos los grados:

57.6º + 115.2º + 28.8º + 86.4º + 72º = 360º.

Si la suma hubiese sido diferente de 360º,

significaría un error en los cálculos, los cuales

deben revisarse.

2003 1999 (10000) (8000)

2000

(1600) 2002

(12000)

2001

(4000)

Actividad 8. Presentar la información de los casos de la actividad 7 en un gráfico

circular.

discusión 2. Cuatro granjas de gallinas producen 36000 huevos diariamente. En

el gráfico de pastel que presenta la producción de cada granja, se tiene que:

Granja A: 100º Granja B: 50º Granja C: 120º Granja D: 90º

Encuentren la producción de cada granja.

Granja A B C D

Producción

discusión 3. Cuatro grandes fincas producen 18 000 cocos al día. Las

proporciones de la producción individual se presentan en el gráfico circular siguiente:

Calculen cuántos cocos produce cada finca. Además,

calculen los porcentajes.

Coloquen los datos en la tabla.

Gráfico lineal.

El gráfico lineal está formado por una línea formada por segmentos de recta. Estos

segmentos son la unión de un punto con el siguiente. Estos puntos son pares

ordenados formados con la variable y el número de datos correspondiente. Se utiliza

A B

D C

100º

Granja Producción Porcentajes

A

B

C

D

90º 120º

para representar cuadros estadísticos en los que la variable corresponde a períodos

de tiempo.

Para construir un gráfico lineal, se coloca en el eje horizontal el tiempo, y los datos en el

vertical.

Ejemplo. El aumento en la matrícula de un colegio en los últimos 7 años se presenta en la

tabla siguiente:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Incremento 100 80 100 60 80 120 100 120

Presentar esta información en un gráfico de líneas.

Solución.

En el gráfico podemos observar lo siguiente:

1. Del 96 al 97 perdió 20 alumn@s

2. Del 97 al 98 recuperó 20 alumn@s

3. Del 98 al 99 perdió 40 alumn@s

4. Del 2000 al 2001 recuperó 40 alumn@s

96 97 98 99 2000 01 02 03

80

60

100

120

Vivimos en un ambiente altamente contaminado. Los medios de

transporte y las fábricas nos contaminan. Colaboremos todos en proteger

nuestro medio ambiente.

Actividad 9. Presentar en un gráfico de líneas la información tabulada:

1.

Año 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988

Crecimiento 10000 5000 15000 10000 8000 12000 10000 8000 12000

2.

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic

Producción 1000 1200 1200 800 1000 900 600 1100 500 800 1000 700

3.

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Producción 60 80 80 100 120 60 80 120 100 120 60

Pictograma.

El pictograma es un gráfico con dibujitos que reflejan la naturaleza de la información.

Estos dibujitos deben ser del mismo tamaño. Además, debe antes indicarse el valor de

cada uno de ellos. Por ejemplo, si una manzana equivale a una tonelada, entonces 10

manzanas equivalen a 10 toneladas. Esto debe indicarse siempre en el encabezado.

Los pictogramas son muy vistosos, siempre que los dibujos estén bien hechos. Esto

requiere de un buen dibujante.

Ejemplo. Una tienda de lentes efectúa las siguientes ventas en el primer trimestre:

Meses Enero Febrero Marzo

Ventas 400 250 150

Presentar la información de la

tabla en un pictograma.

3.2 Variables continuas.

Enero Febrero Marzo

Solución.

El pictograma es

Equivale a 50 lentes

Recordemos que las variables continuas son aquellas que resultan de medir. Son variables

continuas la estatura, el peso, la distancia...

Tabla de distribución de frecuencias.

Con un ejemplo comprenderemos qué es una tabla de distribución de frecuencias y

cómo construirla.

64 personas, entre jóvenes y ancianos, recorren 500 metros. El tiempo individual en

minutos se muestra en la siguiente serie estadística simple: 2.2, 4.3, 1.9, 4.9, 3.7, 4.2,

4.5, 4.3, 1.8, 4.2, 2.6, 2.7, 1.9, 3.7, 2.2, 4.3, 4.9, 4.9, 4.5, 3.7, 2.6, 1.8, 2.1, 3.4, 2.7, 3.7,

3.9, 1.8, 4.2, 2.7, 4.5, 3.9, 1.8, 4.2, 3.9, 4.2, 3.4, 4.2, 4.5, 4.2, 1.9, 1.7, 4.3, 3.9, 4.2, 1.8,

4.2, 3.7, 4.2, 4.3, 2.7, 4.2, 2.1, 4.9, 4.3, 3.1, 1.8, 1.7, 1.9, 4.3, 4.2, 2.7, 2.1, 4.2.

Los datos así agrupados no nos dan mayor información. Ordenémoslos de menor a

mayor:

1.7, 1.7, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.8, 1.9, 1.9, 1.9, 1.9, 2.1, 2.1, 2.1, 2.2, 2.2, 2.6, 2.6, 2.7, 2.7, 2.7,

2.7, 2.7, 3.1, 3.4, 3.4, 3.7, 3.7, 3.7, 3.7, 3.7, 3.9, 3.9, 3.9, 3.9, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2,

4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.2, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.3, 4.5, 4.5, 4.5, 4.5, 4.9, 4.9, 4.9, 4.9.

Ahora los agruparemos en una tabla de frecuencia:

Minutos Frecuencia Minutos Frecuencia Minutos Frecuencia

1.7 2 2.6 2 3.9 4

1.8 6 2.7 5 4.2 13

1.9 4 3.1 1 4.3 7

2.1 3 3.4 2 4.5 4

2.2 2 3.7 5 4.9 4

Frecuencia absoluta (f). La tabla anterior es una tabla de frecuencias absolutas,

ya que nos muestra con qué frecuencia se repite un dato. Entenderemos por

frecuencia el número de veces que se repite un dato en una serie estadística.

Los 64 datos anteriores podemos agruparlos en una tabla más compacta. Para ello

clasificaremos los datos en clases o intervalos. Formemos 5 clases. Para ello

necesitamos el rango o amplitud de la serie. El rango de la serie se calcula restando el

dato menor del mayor. Para nuestro caso, se tiene que:

Rango = 4.9 – 1.7 = 3.2.

Ancho de clase (Ic). Al dividir la amplitud entre el número de clases deseadas, se

obtiene el ancho de clase. Para nuestro caso, se tiene que:

Ic = 3.2/5 = 0.64 Este es el valor que sumaremos para encontrar todas las clases.

La frecuencia indica el

número de datos. Para el

caso, la tabla refleja que el

4.2 está 13 veces.

Las clases son: 1.7 1.7 + 0.64 ............................ 1.7

2.34

1.7 + 0.64 1.7 + 0.64 + 0.64 ............ .... 2.34

2.98

Así continuamos y obtenemos:

1.7 2.34

2.34 2.98

2.98 3.62

3.62 4.26

4.26 4.9

límites de clase. Cada clase tiene un límite inferior y uno superior. Como

estamos trabajando con variables continuas, los límites son reales. Para el primer

intervalo, tenemos:

Límite real inferior (lri) = 1.7

Límite real superior (lrs) = 2.34

Surge aquí la pregunta: ¿A qué intervalo pertenece el 2.34? Todos los límites

superiores no pertenecen al intervalo en el que se encuentran, únicamente para el

último intervalo están incluidos los dos extremos. Para señalar esto utilizaremos la

siguiente notación:

1.7 2.34

2.34 2.98

2.98 3.62

3.62 4.26

4.26 4.9

Ahora localizaremos el número de datos que pertenece a cada intervalo. Con esto tendremos la

tabla de distribución de clases y frecuencia.

Tabla de distribución de clases y frecuencias.

Tiempos Corredores

(f)

1.7 2.34 17

2.34 2.98 7

Cuando se tiene una clase, el ancho de clase se calcula restando el

límite inferior del mayor:

2.34 – 1.7 = 0.64

2.98 3.62 3

3.62 4.26 22

4.26 4.9 15

Suma = 64

La tabla de distribución de frecuencias pudo formarse con más de 5 clases. Se

acostumbran de 5 a 15 clases.

Punto medio (Pm). Cada clase tiene su punto medio (Pm). Este es la mitad de

la suma de los límites de clase.

Para la primera clase, se tiene: Pm = (1.7 + 2.34)/2 = 2.02

Para la tabla anterior, se tiene:

Tiempos Pm Corredores

(f)

1.7 2.34 2.02 17

2.34 2.98 2.66 7

2.98 3.62 3.3 3

3.62 4.26 3.94 22

4.26 4.9 4.58 15

Suma = 64

Observa que la diferencia entre un Pm y el anterior es el ancho de clase. Significa que

un Pm puede calcularse sumándole al anterior el ancho de clase.

Frecuencia acumulada (fa). La frecuencia acumulada se obtiene sumando las

anteriores frecuencias.

Frecuencia relativa (fr). La frecuencia relativa es el porcentaje que representa

cada frecuencia absoluta.

Para el caso de la frecuencia absoluta 17, la frecuencia relativa es 17 x 100 / (64) =

26.6%

Frecuencia relativa acumulada (fra). La fra se obtiene sumando las anteriores

frecuencias relativas.

Para la tabla que estamos trabajando, tenemos:

Tabla de distribución de clases y frecuencias.

Tiempos Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

1.7

2.34

2.02 17 17 26.6 26.6

2.34

2.98

2.66 7 24 10.9 37.5

2.98

3.62

3.3 3 27 4.7 42.2

3.62

4.26

3.94 22 49 34.4 76.6

4.26 4.9 4.58 15 64 23.4 100

Suma = 64 100%

Observa que la sumatoria de fr es 100%. Si esto no ocurre, hay un error y los cálculos

deben revisarse.

Ejemplo. Se tiene la siguiente serie estadística simple: 6.8, 5.8, 4.8, 5.0, 5.6, 6.1, 5.9,

6.3, 5.1, 6.0, 6.0, 6.8, 6.8, 5.2, 6.1, 6.2, 5.6, 5.6, 5.0, 6.7, 6.8, 6.4, 6.0, 5.2, 5.6, 6.7, 6.3,

5.7, 5.7, 6.3, 6.4, 6.4, 6.0, 5.0, 5.1, 6.0, 6.6, 6.8, 6.2, 5.3, 4.8, 6.8, 6.3, 6.3, 6.7, 6.0, 6.1,

5.1, 6.7, 6.8, 6.3, 5.4, 4.8, 5.4, 6.5, 6.8, 6.8, 6.1, 5.1, 6.2, 6.1, 6.9, 6.1, 5.0, 6.3, 6.3, 5.8,

5.8, 4.8, 6.8, 5.8, 6.8, 6.0, 4.8, 6.6, 6.7, 5.1, 6.7, 6.1, 4.8, 6.1, 6.7, 5.1, 6.8, 5.1, 4.9, 6.5,

5.2, 5.3, 6.6, 4.9, 6.7, 4.9, 6.8, 6.2, 6.3, 6.8, 4.9, 5.6, 6.1, 4.9, 5.4, 5.6, 5.8, 6.0, 6.0, 6.3,

6.5, 6.6, 5.0, 5.1, 6.9, 5.0, 5.1, 5.4, 5.0, 5.2, 6.7, 6.8, 6.9.

Presentar la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias con 7

clases. Además, incluir en la tabla Pm, fa, fr y fra.

Solución.

Buscando en los datos, encontramos que 4.8 es el menor valor; y 6.9 es el mayor. La

amplitud es:

6.9 – 4.8 = 2.1

Como necesitamos 7 clases, el ancho de clase es: Ancho de clase = 2.1/7 = 0.3

Sumando 0.3 encontramos las 7 clases: 4.8 ▬ 5.1, 5.1 ▬ 5.4, 5.4 ▬ 5.7, 5.7 ▬

6.0,

6.0 ▬ 6.3, 6.3 ▬ 6.6, 6.6 ▬ 6.9.

Ahora calculemos cuántos valores hay en cada clase. Recordemos que los límites

superiores no están incluidos.

Para la clase 4.8 ▬ 5.1, tomamos 4.8, 4.9 y 5.0; el 5.1 NO está incluido.

6.8, 5.8, 4.8, 5.0, 5.6, 6.1, 5.9, 6.3, 5.1, 6.0, 6.0, 6.8, 6.8, 5.2, 6.1, 6.2, 5.6, 5.6, 5.0, 6.7,

6.8, 6.4, 6.0, 5.2, 5.6, 6.7, 6.3, 5.7, 5.7, 6.3, 6.4, 6.4, 6.0, 5.0, 5.1, 6.0, 6.6, 6.8, 6.2, 5.3,

4.8, 6.8, 6.3, 6.3, 6.7, 6.0, 6.1, 5.1, 6.7, 6.8, 6.3, 5.4, 4.8, 5.4, 6.5, 6.8, 6.8, 6.1, 5.1, 6.2,

6.1, 6.9, 6.1, 5.0, 6.3, 6.3, 5.8, 5.8, 4.8, 6.8, 5.8, 6.8, 6.0, 4.8, 6.6, 6.7, 5.1, 6.7, 6.1, 4.8,

6.1, 6.7, 5.1, 6.8, 5.1, 4.9, 6.5, 5.2, 5.3, 6.6, 4.9, 6.7, 4.9, 6.8, 6.2, 6.3, 6.8, 4.9, 5.6, 6.1,

4.9, 5.4, 5.6, 5.8, 6.0, 6.0, 6.3, 6.5, 6.6, 5.0, 5.1, 6.9, 5.0, 5.1, 5.4, 5.0, 5.2, 6.7, 6.8, 6.9.

Vemos que de 4.8 a menos que 5.1 tenemos 6 + 5 + 7 = 18 valores. Estos valores

aparecen tachados. Siguiendo el procedimiento de tachado, obtenemos:

De 5.1 a menos que 5.4 tenemos 15 valores.

De 5.4 a menos que 5.7 tenemos 10 valores.

De 5.7 a menos que 6.0 tenemos 8 valores.

De 6.0 a menos que 6.3 tenemos 22 valores.

De 6.3 a menos que 6.6 tenemos 16 valores.

De 6.6 hasta 6.9 incluido tenemos 31 valores.

El total de datos es: 18 + 15 + 10 + 8 + 22 + 16 + 31 = 120.

Tabla de distribución de clases y frecuencias.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

4.8 5.1 4.95 18 18 15 15

5.1 5.4 5.25 15 33 12.5 27.5

5.4 5.7 5.55 10 43 8.33 35.83

5.7 6.0 5.85 8 51 6.67 42.5

6.0 6.3 6.15 22 73 18.33 60.83

6.3 6.6 6.45 16 89 13.33 74.16

6.6 6.9 6.75 31 120 25.84 100

Suma = 120 100%

Actividad 10. Con los datos siguientes llenar la tabla (de 5 clases).

5.8, 5.8, 5.8, 5.8, 5.9, 5.9, 5.9, 5.9, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.2, 6.3, 6.4, 6.4, 6.4, 6.4,

6.4, 6.5, 6.6, 6.6, 6.6, 6.6, 6.6, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 6.8, 7.0, 7.0, 7.0, 7.0, 7.0, 7.1,

7.1, 7.1, 7.1, 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4, 7.4,

7.4, 7.4, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.7, 7.7, 7.7, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 7.9, 8.1, 8.3, 8.3, 8.3.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

Actividad 11. Presentar los datos siguientes en una tabla de frecuencias de 8

clases. Agregar Pm, fa, fr y fra.

24.8, 24.8, 24.8, 24.9, 25, 25, 25, 25, 25.2, 25.2, 25.2, 25.4, 25.4, 25.4, 25.5, 25.6,

25.6, 25.6, 25.6, 25.6, 25.8, 25.8, 25.8, 25.8, 25.8, 26, 26, 26, 26.1, 26.1, 26.1, 26.3,

26.3, 26.3, 26.4, 26.7, 26.7, 26.7, 26.9, 26.9, 27, 27.1, 27.2, 27.3, 27.4, 27.4, 27.4,

27.5, 27.5, 27.5, 27.5, 27.7, 27.8, 27.9, 28, 28, 28.3, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5,

28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.4, 28.5, 28.7, 28.7, 28.7, 28.7, 28.8,

28.9, 28.9, 29, 29.1, 29.2, 29.2, 29.2, 29.2, 29.2, 29.4, 29.5, 29.5, 29.5, 29.5, 29.6,

29.7, 29.7, 29.8, 29.9, 29.9, 30, 30.1, 30.1, 30.1, 30.2, 30.2, 30.2, 30.3, 30.4, 30.5.,

30.6, 30.6, 30.7, 30.8, 30.9, 30.9, 31, 31, 31.1, 31.2, 31.3, 31.4, 31.5, 31.6, 31.7, 31.8,

32.

Actividad 12. Presentar los datos siguientes en una tabla de frecuencias de 6

clases. Agregar Pm, fa, fr y fra.

14.9, 12.4, 10.9, 12.2, 14.9, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 14.4, 13.8, 12, 15.1, 11.5, 12.2,

14.6, 10.8, 14.9, 15.2, 12.5, 13.3, 11.9, 13.6, 14.1, 12.3, 11.9, 10.8, 14.8, 11.9, 11,

15.3, 14.1, 12.3, 12.6, 13.4, 15.6, 12.6, 11.1, 13.7, 12.9, 13.1, 14.4, 13.8, 11.9, 14,

13.2, 10.8, 14.1, 13.5, 12.2, 14.5, 11.5, 13.1, 13.8, 14, 11.7, 11.8, 12.4, 13.4, 11.3,

14.1, 12.7, 11.5, 14.3, 14.3, 14.3, 14.4, 14.6, 14.7, 14.2, 12, 14.9, 14, 12.2, 15, 15.4,

15.6, 14.3, 14.4, 11.6.

discusión 4. Completar las tablas siguientes:

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

12.8

13.6

40

13.6

14.4

70

120

145

1

165

17.6 200

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

14.8 30

45

55

75

100

110

134

24.4 150

Presentación gráfica para variables continuas.

Histograma. El histograma se construye con barras UNIDAS, que representan las distintas

clases. En el eje horizontal se colocan los límites de clase; y la altura de cada barra es

proporcional a la frecuencia de la clase que representa.

Ejemplo. Presentar la información de la tabla en un histograma.

Clases 1.5

2.5

2.5

3.5

3.5

4.5

4.5

5.5

5.5

6.5

6.5

7.5

7.5

8.5

Frecuencia 20 30 40 60 50 40 10

Solución.

60

50

40

30

20

10

2

Polígono de frecuencias. El polígono de frecuencias se obtiene al unir con segmentos de

recta los puntos formados por los pares ordenados (Pm, frecuencia)

El polígono arranca y termina en el eje horizontal, por lo que es necesario crear 2

nuevos puntos. Estos se consiguen proyectando 2 puntos medios: uno al inicio y otro

al final. Para esto se resta y suma el ancho de clase a los Pm inicial y final.

Ejemplo. Presentar la información de la tabla en un polígono de frecuencias.

Clases 10

20

20

30

30

40

40

50

50

60

60

70

70

80

80

90

90 100

Frec. 40 50 60 20 30 50 70 60 20

Solución.

Agregaremos a la tabla el punto medio, también conocido como marca de clase.

Clases 10

20

20

30

30

40

40

50

50

60

60

70

70

80

80

90

90 100

Pm 15 25 35 45 55 65 75 85 95

Frec. 40 50 60 20 30 50 70 60 20

Por la tendencia, antes de 15, el Pm es 5; y después de 95, el Pm es 105.

También podemos restarle a 15 el ancho de clase y sumarlo a 95: 15 – 10 = 5; 95 + 10 = 105.

Tengamos presente que el punto medio de una clase es el valor que mejor representa a todos los

valores de dicha clase.

El polígono de frecuencias es el siguiente:

1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5

70

60

50

40

30

Ojivas.

Se tienen 2 tipos de ojiva: una para las frecuencias acumuladas más que, y otra para las

menos que.

Para la de más que, los puntos a considerar son los límites superiores y las

frecuencias acumuladas más que. La ojiva arranca desde el límite inferior más bajo,

que se ubica en el eje horizontal. Crece de izquierda a derecha.

Para la de menos que, los puntos a considerar son los límites inferiores y las

frecuencias acumuladas menos que. La ojiva arranca desde el límite superior más

alto, que se ubica en el eje horizontal. Crece de derecha a izquierda.

La columna para las frecuencias acumuladas más que es la que ya conocemos. La

de menos que se construye partiendo de la sumatoria de las frecuencias y restando la

frecuencia respectiva.

Ejemplo. Representar en ojivas la información de la tabla siguiente:

Las ojivas son las siguientes:

Clase f .fa más que .fa menos que

4.5 6.5 20 20 160

6.5 8.5 15 35 140

8.5 10.5 10 45 125

10.5 12.5 25 70 115

12.5 14.5 40 110 90

14.5 16.5 30 140 50

16.5 18.5 20 160 20

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

La columna de fa menos que se

obtuvo así: se inicia con fa

máximo y se le resta f, y así

sucesivamente:

160 – 20 = 140

140 – 15 = 125

125 – 10 = 115

115 – 25 = 90...

Actividad 13. Presenta la información de cada tabla en histograma, polígono

de frecuencias y en las 2 ojivas.

1.

Clase f Pm .fa más que .fa menos que

4 5.5 20

5.5 7 15

7 8.5 10

8.5 10 20

10 11.5 40

11.5 13 30

13 14.5 20

14.5 16 10

2.

Clase f Pm .fa más que .fa menos que

4.5 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5

160

140

120

100

80

60

40

20

Más que Menos que

4 5.5 20

5.5 7 15

7 8.5 10

8.5 10 25

10 11.5 40

11.5 13 20

13 14.5 30

14.5 16 10

16 17.5 25

17.5 19 20

Soluciones.

discusión 1. Siempre es mejor una muestra grande, pues los porcentajes obtenidos son más

confiables. En una muestra pequeña, los resultados son dudosos.

Desde luego que una muestra, cuanto más grande es, implica mayores costos

económicos, pues se debe contratar mayor número de personas. De aquí resulta que,

económicamente, una muestra pequeña es más barata. Sin embargo una muestra

pequeña tiene la desventaja de arrojar resultados no muy confiables. En todo caso se

debe tomar una muestra óptima: que no resulte muy pequeña y que a la vez no resulte

muy costosa.

Actividad 5.

1. ¿Cuántos vehículos pasan por minuto en esta carretera?

2. ¿Cuántos alumnos y alumnas tiene este colegio?

3. ¿Cuántos días a la semana hace ejercicio?

4. ¿Cuántos médicos tiene este hospital?

5. ¿Cuántos pollos tiene su granja?

Actividad 6. La estatura, el peso, el tiempo de uso, la velocidad promedio, la velocidad de los

ciclistas, la profundidad del lago, el caudal de un chorro...

Actividad 7.

1. Se le puede dar a cada 5 encuestados, una longitud de 1 cm. 2. Se tienen 25 pesistas, 20

copas, 10 trofeos y 5 nadadores. Se le puede dar a cada 5, 0.5 cm o 1 cm. 3. Se le puede dar a

cada 10 arbolitos, una longitud de 1 cm. Los totales son: Juan: 60, Sandra: 75, Alfredo: 65,

René: 50, Dorotea: 45. 4. Se le puede dar a cada 10% una longitud de 1 cm.

discusión 2.

Es el proceso inverso: se multiplica 36 000 por el cociente grados/360º

Granja A B C D

Producción 10 000 5 000 12 000 9 000

discusión 3.

Granja A B C D

Producción 6 000 4 500 5 000 2 500

Porcentaje 33.3% 25% 27.8% 13.9%

Actividad 10.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

5.8 6.3 6.05 15 15 18.75 18.75

6.3 6.8 6.55 12 27 15 33.75

6.8 7.3 7.05 20 47 25 58.75

7.3 7.8 7.55 23 70 28.75 87.5

7.8 8.3 8.05 10 80 12.5 100

Actividad 11.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

24.8 25.7 25.25 20 20 16 16

25.7

26.6

26.15 15 35 12 28

26.6

27.5

27.05 12 47 9.6 37.6

27.5

28.4

27.95 10 57 8 45.6

28.4

29.3

28.85 30 87 24 69.6

29.3

30.2

29.75 15 102 12 81.6

30.2

31.1

30.65 14 116 11.2 92.8

31.1 32 31.55 9 125 7.2 100

Actividad 12.

Ordenados de menor a mayor se presentan a continuación.

10.8, 10.8, 10.8, 10.9, 11, 11.1, 11.2, 11.3, 11.3, 11.4, 11.5, 11.5, 11.5, 11.5, 11.6,

11.7, 11.8, 11.9, 11.9, 11.9, 11.9, 12, 12, 12.2, 12.2, 12.2, 12.2, 12.3, 12.3, 12.4, 12.4,

12.5, 12.6, 12.6, 12.7, 12.9, 13.1, 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.4, 13.5, 13.6, 13.7, 13.8,

13.8, 13.8, 14, 14, 14, 14.1, 14.1, 14.1, 14.1, 14.2, 14.3, 14.3, 14.3, 14.3, 14.4, 14.4,

14.4, 14.4, 14.5, 14.6, 14.6, 14.7, 14.8, 14.9, 14.9, 14.9, 14.9, 15, 15.1, 15.2, 15.3,

15.4, 15.6, 15.6.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

10.8

11.6

11.2 14 14 17.5 17.5

11.6

12.4

12 15 29 18.75 36.25

12.4

13.2

12.8 9 38 11.25 47.5

13.2 14 13.6 10 48 12.5 60

14

14.8

14.4 20 68 25 85

14.8

15.6

15.2 12 80 15 100

discusión 4. Completar las tablas siguientes:

1.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

12.8

13.6

13.2 40 40 20 20

13.6

14.4

14 30 70 15 35

14.4

15.2

14.8 50 120 25 60

15.2 16 15.6 25 145 12.5 72.5

16

16.8

16.4 20 165 10 82.5

16.8

17.6

17.2 35 200 17.5 100

2.

Clases Pm (f) F fa .fr (%) .fra (%)

14.8 16 15.4 30 30 20 20

16 17.2 16.6 15 45 10 30

17.2 18.4 17.8 10 55 6.7 36.7

18.4 19.6 19 20 75 13.3 50

19.6

20.8

20.2 25 100 16.7 66.7

20.8 22 21.4 10 110 6.7 73.4

22

23.2

22.6 24 134 16 89.4

23.2

24.4

23.8 16 150 10.6 100

Actividad 13. Pm Fa más que Fa menos que

4.75 20 165

6.25 35 145

7.75 45 130

9.25 65 120

10.75 105 100

12.25 135 60

13.75 155 30

15.25 165 10

Pm Fa más que Fa menos que

4.75 20 215

6.25 35 195

7.75 45 180

9.25 70 170

10.75 110 145

12.25 130 105

13.75 160 85

15.25 170 55

16.75 195 45

18.25 215 20