Oscilaciones AmortiguadasCesar David Arango Osorio, Ángela Lizeth Muños Obonaga, Edna Rocío Plazas García

Quindío, Universidad del Quindío, Armenia Colombiacesarangos@hotmail.comednita_30@hotmail.com

angelitalizeth14@hotmail.com

Resumen-En el presente laboratorio se estudiaran, los comportamientos de un péndulo simple por medio de un software llamado Videocom este, permite analizar gráficamente y matemáticamente por medio de una cámara el comportamiento del péndulo. El análisis será realizado tan bien para un medio diferente del aire (agua).

I. INTRODUCCION

La idea principal de este laboratorio, consistía en poder observar las gráficas que describía el péndulo y a partir de allí determinar cuál era el comportamiento del péndulo, y extraer las principales características del comportamiento, todo esto a partir de solo la gráfica obtenida con el Videocom.

II. PROCEDIMIENTO

Tras haber realizado el pre informe y conocer las características tanto de la cámara como del software. Se procedió a hacer oscilar el péndulo en el aire y hacer el registro correspondiente para este caso con el Videocom. Después de realizar esto se aumentó el peso del péndulo y se realizó de nuevo el registro, luego el péndulo se cambió de medio –al agua- y se tomaron de nuevo los datos correspondientes.

III. RESULTADOS

Para el primer experimento en el que el péndulo estaba en el aire con su peso normal (225gr) se obtuvo la figura uno, podemos ver claramente el comportamiento sub amortiguado del péndulo oscilando.

Ahora bien pasemos a analizar esta gráfica. Como sabemos, el comportamiento de este péndulo está regido por la ecuación diferencial de segundo grado:

Fig.1 Respuesta del péndulo oscilando en el aire.

d2θd t2 +γ

dθdt

+ωo2 θ=0

Donde y representa el coeficiente de amortiguamiento y ωo representa la frecuencia angular del movimiento. Además sabemos que debido a que el movimiento del péndulo es sub amortiguado, la solución de esta ecuación tiene la forma:

θ=e−αt ¿

Esta ecuación puede ser re expresada de la forma:

θ=Ce−ζ ωo t sin (ωd t)

Donde ωo es la Frecuencia natural ωd es la Frecuencia natural amortiguada y ζ es el coeficiente de amortiguamiento.

Y las raíces de la ecuación diferencial que rige el péndulo serán:

S1,2=α+βi

Como podemos observar, lo que se tiene es una respuesta senoidal con una frecuencia determinada y modulada por una exponencial.

Introduscamos ahora un nuevo termino, Decremento logaritmico(δ). El decremento logarítmico representa la velocidad con la cual la amplitud de unas vibraciones amortiguadas decrecen, esta determinado por la ecuacion:

δ=1n

ln( AAn

)Donde A y An son las amplitudes de dos de los picos mas altos de la onda y n es el numero de picos que separan a una amplitud de la otra. Esta informacion puede ser obtenida apartir de los datos obtenidos con el videocam. Re alizando una correcta extraccion de datos de las tablas del videocom obtenemos los siguientes datos

Tiempo (seg)

Distancia del eje (m)

0 0

0.325 0.0872

0.95 0

1.36 -0.0752

1.763 0

2.2 0.0872

2.65 0

3 -0.075

3.45 0

3.9 0.0869

Tabla 1. Datos extraidos de las tablas del videocom, cada dato de esta tabla esta dado por la resta entre el dato entregado por el videocom menos 0.375 que es la posicion “cero” del pendulo.

Y apartir de ellos la grafica:

6600tán28a5

660

6600tán4a5

660

6600tán27a566066048tán27a566066036tán27a566066024tán27a566066012tán27a5660

6600tán28a566066048tán28a566066036tán28a566066024tán28a566066012tán28a5660

6600tán28a5660

Tiempo

Dist

ancia

del

eje

Fig. 2 Muestra las primeras oscilaciones del pentulo simple.

A pesar de que aparentemente no se presente el amortiguamiento, este se esta dando, la grafica no lo muestra devido a que estos son apenas los primeros datos obtenidos, sin embargo resultan convenientes para nuestros calculos. Cabe la pena resaltar que debido a la gran cantidad de datos entregados por el videocom –En forma de tabla- el analisis de puntos mucho mas alejados resulta una tarea bastante compleja.

Regresando a la cuestiopn que nos ocupa:

δ=11

ln( 0.08720.0869 )=3.44∗10−3

Y en terminos del coeficiente de amortiguamiento:

ζ = 1

√1+(2 π /δ )2=5.47∗10−4

Luego sabemos que para un pendulo natural:

ωd=1T

Y de los datos podemos ver que T=1.73s por lo tanto ωd = 0.578Hz. Pero tenemos que:

ωo=ωd √1−ζ 2=0.578 Hz

Con estos datos la ecuacion inicial nos quedaria:

θ=Ce−3.16∗10−4 t sin(0.578 t)

Ahora hallemos C pero veamos que esta ecuacion habla de un angulo ϴ el cual no conocemos por los datos dados por el videocom. Por esto, resulta necesario hacer el calculo de ϴ para esto recordemos que el videocom toma en principio una distancia de referencia y a partir de halli nos da la posicion del pendulo, por lo tanto como se esta midiendo un despazamiento, podriamos decir que lo que nos entrega el sofware es la medida de un “arco” que es lo que recorre el pendulo. Como la longitud del pendulo era de 0.74m y la longitud de un arco esta dada por r* ϴ; y tomando en el tiempo 2,2 de la tabla uno, tenemos:

l=rθ →0.0872=0.74∗θ →θ=0.117

Apartir de esto hallemos entonces C:

C= 0.117

e3.16∗10−4∗2 sin(0.578∗2)=0.127

Asi la ecuacion principal seria:

θ=0.127 e−3.16∗10−4 t sin(0.578 t)

Pasemos ahora a analizar el segundo caso del laboratorio en el cual se incremento el peso del pendulo en 200gr es decir su masa quedo en 425gr. Debido a un inconveniente que no pudo ser determinado en el laboratorio, los datos a partir de cierto tiempo fueron quedando erroneos (Aproximadamente a los 650 segundos) por esto todos los calculos se realizaran con datos que esten por debajo de este tiempo,La grafica del experimento obtenida con el videocom se presenta acontinuacion:

Fig 3. Oscilaciones del pendulo tras agregar 200gr a su masa original.

De la teoria del comportamiento de un pendulo simple sabemos que la masa del objeto en su extremo no tiene mayor influencia sobre la oscilacion del pendulo (Su frecuencia depende netamente de la longitud de la cuerda que lo sostiene y la gravedad).

Siguiendo la misma logica y procedimietnos realizados para el pendulo anterior ya que el pendulo tiene un comportamiento sub amortiguado tenemos:

θ=Ce−ζ ωo t sin (ωd t)

Y una tabla de datos basica de las entregadas por el videocom:

Tiempo (s) Distancia del punto de equilibrio (m)

0 0.1115

0.225 0

0.638 -0.1491

1.063 0

1.488 0.1472

1.888 0

2.313 -0.1515

2.738 0

3.15 0.1465

3.975 -0.147

Tabla 2. Datos obtenidos del videocom para el segundo experimento realizado en el laboratorio

Y apartir de estos datos obtenemos la siguiente grafica:

6600tán28a5

660

6600tán4a5

660

6600tán27a5660

6600tán28a5660

6600tán28a5660

Tiempo (s)

Dist

ancia

del

pun

to d

e eq

uilib

rio (m

)

Fig 4. Grafica para los datos extraidos con el videocom para el segundo experimento

Su decremento logaritmico seria:

δ=11

ln( 0.14720.1465 )=4.76∗10−3

Coeficiente de amortiguamiento:

ζ = 1

√1+(2 π /δ )2=7.58∗10−4

Y sus frecuencias seran: ωd =(1/1.663) ≈ 0.601 y ωo ≈ 0.6. Con estos datos la ecuacion quedaria:

θ=Ce−4.548∗10−4t

sin(0.601t)

Siguiendo el procedimiento para encontrar C tenemos:

l=rθ →0.1472=0.74∗θ →θ=0.1989

C= 0.1989

e−4.548∗10−4∗1.488 sin(0.601∗1.488)=0.255

Al final tendriamos:

θ=0.255 e−4.548∗10−4 t

sin(0.601 t)

Como podemos ver ambas ecuaciones describen comportamientos diferentes para el mismo pendulo pero con un cambio en el peso de su masa. Si hacemos un analisis de los datos que se tienen y de ambas ecuaciones podremos darnos cuenta que la diferencia se debe a la diferencia en la amplitud del movimiento que realizaba el pendulo en el segundo experimento, esto sugiere que en el segundo experimento el pendulo no fue lanzado desde la misma posicion que en el primer experimento. Para dar una mirada mas concreta veamos las graficas de las ecuaciones para los experimentos:

Fig. 5 Comparacion entre las graficas de las funciones del movimiento del pendulo. Azul primer

experimento. Rojo Segundo experimento.

A pesar de las diferencias en las graficas en la parte de la amplitud, resulta interesante observar que el coeficiente de amortiguamiento para ambos experimentos son bastante parecidos:

7.58∗10−4−5.4∗10−4=0.000211

Como era de esperarce ya que ambos elementos se encuentran en el mismo medio.

Ahora bien, ¿Que sucede si cambiamos el medio en el que el pendulo esta oscilando? Para dar respuesta a esta pregunta se realizo un experimento en el cual el pendulo oscial dentro de una cubeta con agua. Cabe la pena decir que este experimento resulto complicado y con pocos datos debido a problemas con el videocom,ya que los reflejos que generaba el agua, eran capturados por el software como otros osciladores. Tras varios intentos, se logro obtener la siguiente grafica:

Fig. 6 Grafica obtenido en el videocom para el pendulo sumergido en agua (Rojo) el negro es un

reflejo del agua tomado por el videocom y no debe ser tenido en cuenta.

De los datos obtenidos por medio del videocom se logro extraer la siguiente tabla de datos:

Tiempo(S) Distancia del eje de equilibrio (m)

0 1.459

0.35 0

0.4 -0.166

1.088 0

1.625 0.834

2.125 0

2.588 -0.091

2.9 0

3.5 0.51

Tabla 3. De los datos extraidos para el tercer experimento.

Y de estos datos se obtiene la grafica:

6600tán28a5

660

6600tán1a5

660

6600tán3a5

660

6600tán26a5660

6600tán28a5660

6600tán1a5660

Timepo

Dist

ancia

del

eje

de

equi

librio

Fig. 6 Grafica obtenida a través de los datos del Videocom.

Lamentablemente cómo es posible notar en la gráfica los datos son bastante erráticos es por esto que realizar cálculos con estos datos no sería ilustrativo para los propósitos de este laboratorio.

IV. CONCLUCIONES

Las oscilaciones amortiguadas son movimientos más acercados a la realidad que los movimientos visto anteriormente.

El Videocom es una herramienta de enorme utilidad para el análisis de las oscilaciones amortiguadas, ya que nos permite ver en forma de tabla y de grafica la información extraída del movimiento.

A pesar de la útil de Videocom el laboratorio resulta bastante complejo de realizar, esto debido a que para oscilaciones amortiguadas la mayor parte de los textos utilizan como ejemplos sistemas masa resorte y no utilizan péndulos para estos fines.

V. BIBLIOGRAFIA

http://www.uclm.es/profesorado/ ajbarbero/Practicas/15%20MAS%20amortiguado.pdf

http://www.youtube.com/watch? v=FepxMppDvKw

http://es.wikipedia.org/wiki/ Oscilador_arm%C3%B3nico