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En la presente obra mostramos distintas maneras de caracterizar la continui-dad de funciones entre espacios topológicos y algunas construcciones de espacios que se crean a partir de funciones continuas, como son los espacios productos y los espacios cocientes o de identificación.

La topología del espacio producto nos permite y anima a conocer, de un modo inductivo, las estructuras n-dimensional o infinito dimensional a partir de lo unidimensional. Lo anterior, conlleva en un futuro a estudiar por parte del interesado, áreas tan fructíferas en matemáticas, como son el análisis funcional y la geometría diferencial.

El espacio cociente responde intuitivamente a la idea de formar un nuevo espacio topológico, identificando ciertos puntos de un espacio topológico dado; corresponde a la idea de “pegar”, “cocer” puntos de un espacio.

Para comprender el contenido que aquí se trata, solo requiere que el lector conozca los conceptos de espacios topológicos, bases y sub-bases.

El texto está dirigido a los licenciados en Física y Matemáticas, y matemáticos que requieran conocimientos de Topología general. Por ello, se brindan suficientes ejemplos y se dan las explicaciones del caso para que los distintos temas tratados, queden en poder de ellos. Deseamos que esta publicación sea del agrado del lector y logre dar respuesta a inquietudes sobre la esplendorosa rama de la topología.

Área: Ciencias ExactasColección: Matemáticas

FERNANDO MESA

Licenciado en Matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira, UTP, con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UTP en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: [email protected]

JULIÁN GUZMÁN BAENA

Docente Titular de la Universidad Tecnológica de Pereira. Magíster en Scientiae - Especialidad en Matematicas y Especialización en Computación para la docencia.

Con más de treinta años de experiencia, principalmente en los cursos de Topología general de la Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira y otras áreas de desempeño como la Historia de las matemáticas.

GERMÁN CORREA VÉLEZ

Licenciado en Matemáticas y Física, 1998. Magíster en la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira, 2006 .

Profesor de planta de la Universidad Tecnológica de Pereira en la Categoría Asociado, con doce años de experiencia como docente universitario.

9 789586 488082

ISBN 978-958-648-808-2

Otros títulos de interés:

∙ Conexidad y arco-conexidad en espacios topológicos, Fernando Mesa, Julián Guzmán Baena y Germán Correa Vélez.

∙ Compacidad en espacios topológicos, Fernando Mesa, Julián Guzmán Baena y Germán Correa Vélez.

∙ Formación de profesores de matemática, Fernando Mesa, Oscar Fernández Sánchez y Mónica Angulo Cruz.

∙ Cálculo integral en una variable, José Rodrigo González, Juan Eduardo Bravo y Fernando Mesa.

∙ Elementos de cálculo numérico, José Rodrigo González, Juan Eduardo Bravo y Fernando Mesa.

∙Introducción al álgebra lineal, Fernando Mesa, Oscar Fernández Sánchez y Edgar Valencia Angulo.

∙ Ecuaciones diferenciales ordinarias, Alejandro Martínez, José Rodrigo González y Fernando Mesa.

∙ Matemáticas para informática Ismael Gutiérrez García.

FERNANDO MESA








mailto:[email protected]

Continuidad en espacios topológicos

Julián Guzmán Baena

Docente Departamento de Matemáticas

Universidad Tecnológica de Pereira

Fernando Mesa

Docente Departamento de matemáticas


German Correa Vélez

Docente Departamento de matemáticas


Indice general

1. Continuidad y funciones continuas 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Definicion de funcion continua . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Continuidad por basicos y sub-basicos 27

2.1. Continuidad de basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1. Aplicacion de este criterio . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.2. Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Continuidad por sub-basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Aplicacion de este criterio . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2. Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Construccion de funciones especiales 47

iii

iv INDICE GENERAL

3.1. Funcion de [0,l] en [0,d] y su inversa . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Funcion biyectiva y continua de [0,l] en [a,b] . . . . . . . . 48

3.3. Funcion continua y biyectiva de [a,b] en [c,d] . . . . . . . . 50

3.4. Funcion continua y biyectiva de [a,b) en (c,d] . . . . . . . . 52

3.5. Funcion continua y biyectiva de [a,b) en [c,d) . . . . . . . . 53

3.6. Funcion biyectiva y continua entre [a,b) y

R+ ∪ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7. Funcion biyectiva y continua entre (a,b] y

R− ∪ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8. Funcion biyectiva y continua entre (a, b) y R . . . . . . . . 56

3.9. Funcion biyectiva y continua entre [a,∞) y

R+ ∪ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.10. Funcion biyectiva y continua entre (a,∞) y R . . . . . . . 58

4. Construccion de espacios topologicos por medio de fun-

ciones 59

4.1. Topologıa inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Espacio producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1. Proceso de construccion . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Aplicaciones del espacio producto . . . . . . . . . . . . . . 72

iv

INDICE GENERAL v

4.4. Espacios de Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Taller 103

4.4.1. Propiedades de Np . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

v

Prologo

Sin lugar a dudas uno de los problemas mas difıciles en el ambito matematico

y en su proceso ensenanza aprendizaje es el inherente a la formalizacion

de los conceptos infinitesimales, limites y continuidad de funciones de mo-

do puntual o local. Ello es un buen reflejo de lo ocurrido historicamente;

estos conceptos siempre fueron esquivos de explicar y matematizar desde

la antiguedad con Zenon, Democrito, Eudoxo y Arquımedes, pasando por

las fluxiones de Newton y las monadas de Leibniz en los siglos XVII y

XVIII, hasta llegar al siglo XIX con Cauchy y sus sucesiones, sin olvidar a

Weierstrass con su definicion ε− δ .

Este problema es uno de los temas favoritos de topologıa, allı se resuelve

con diversos criterios de un modo satisfactorio al punto de poderse afirmar

que solo podemos comprender la continuidad de funciones si tenemos un

leve conocimiento de tan brillante area matematica. No en vano se afirma

que la Topologıa es la rama de las matematicas que estudia las propiedades

que se conservan ( invariantes) cuando los objetos cambian continuamente.

Tales invariantes permiten la clasificacion e igualdad de los objetos : “Para

vii

viii INDICE GENERAL

un topologo es lo mismo una circunferencia que una elipse”

La obra presenta distintas maneras de caracterizar la continuidad de fun-

ciones entre espacios topologicos ;y ademas, construcciones de espacios que

se crean a partir de funciones continuas como son los espacios productos y

los espacios cocientes o de identificacion.

La topologıa producto nos permite y anima a conocer de un modo in-

ductivo las estructuras n-dimensional o infinito dimensional a partir de lo

unidimensional. Lo cual conlleva en un futuro a estudiar, por parte del

interesado, areas tan fructıferas en matematicas como lo son el analisis

funcional y la geometrıa diferencial..

El espacio cociente responde intuitivamente a la idea de formar un nuevo

espacio topologico identificando ciertos puntos de un espacio topologico

dado; Corresponde a la idea de “pegar”, “cocer” puntos de un espacio.

Ejemplos, pegando los extremos de un intervalo cerrado se obtiene una

circunferencia; pegando los bordes inferior y superior de un rectangulo se

forma un cilindro; y luego, pegando los bordes del cilindro se obtiene “un

toro”.

Para comprender el contenido de esta solo se requiere que el lector conozca

los conceptos de espacios topologicos, bases y subbases. La obra esta orien-

tada para los licenciados en matematicas y matematicos que cursan Topologıa

general. Por ello se hace enfasis en la construccion de funciones continuas

que trataran en su experiencia docente con estudiantes de nivel basico; se

viii

INDICE GENERAL ix

espera que el temor por lımites desaparezca en quien lo requiera. El taller

al final de los capıtulos indicara si se ha logrado o no el objetivo de adquirir

un buen conocimiento de los distintos topicos tratados en el libro.

Deseamos que esta publicacion sea del agrado del lector y logre dar res-

puestas sobre las inquietudes acerca de la precision y real familiarizacion

con el concepto de lımites y continuidad de funciones; ademas de conocer

unas nuevas formas de espacios topologicos.

Los autores.

ix

Capıtulo 1

Continuidad y funciones continuas

1.1. Introduccion

Sin necesidad de realizar un esfuerzo mayusculo, facil es aceptar que cuan-

do el hombre comprende la importancia y necesidad de un concepto trata

de hacerlo mas simple, claro, amplio y completo. En particular, esto suce-

dio con el concepto de continuidad. El hombre, luego de comprender la

importancia de la funcion continua, tanto a nivel teorico como a nivel

practico (reflejada en sus valiosas aplicaciones en la ciencia y tecnologıa),

se dio a la tarea de precisar tal nocion de un modo mas elemental y com-

pleto.

A grandes rasgos, podemos plantear que la mision historica en este caso

fue el expresar -del modo mas sencillo posible y con adecuado lenguaje

matematico- la proposicion siguiente:

1

2 1.1. INTRODUCCION

x us.c

x0 implica que f(x) us.c

f(x0)1 (1)

Proposicion esta que intuitivamente caracteriza la continuidad de la fun-

cion f en el punto x0. Es justo reconocer que una forma equivalente a

(1), aritmetica y no geometrica (verbal mas que numerica), fue dada clara-

mente y de manera definitiva por Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) en

sus “Lecciones sobre el calculo infinitesimal”, publicadas por primera vez

en 1823.

Bueno es afirmar en este momento, que la labor emprendida para pre-

cisar la expresion (1) no fue tarea de un solo hombre ni de pocos dıas,

se realizaron trabajos arduos y discusiones serias durante dıas, meses y

anos enteros hasta llegar a obtener ideas solidas conducentes a la anhelada

claridad del concepto. A tıtulo personal pensamos que uno de los grandes

logros matematicos realizado durante el siglo XX fue el haber precisado

de un modo metrico este importante concepto matematico; dicha precision

se sintetiza en la definicion de funcion continua en un punto que normal-

mente se brinda en los cursos de calculo infinitesimal. Esta definicion fue

establecida en terminos de ξ y δ por el matematico aleman Karl Weierstrass

(1815-1897); segun parece, en su curso de calculo diferencial impartido en

1861 (Universidad de Berlın).

1En el apendice se recuerda el concepto de lo suficientemente cercano simbolizado us.c

.

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En la presente obra mostramos distintas maneras de caracterizar la continui-dad de funciones entre espacios topológicos y algunas construcciones de espacios que se crean a partir de funciones continuas, como son los espacios productos y los espacios cocientes o de identificación.

La topología del espacio producto nos permite y anima a conocer, de un modo inductivo, las estructuras n-dimensional o infinito dimensional a partir de lo unidimensional. Lo anterior, conlleva en un futuro a estudiar por parte del interesado, áreas tan fructíferas en matemáticas, como son el análisis funcional y la geometría diferencial.

El espacio cociente responde intuitivamente a la idea de formar un nuevo espacio topológico, identificando ciertos puntos de un espacio topológico dado; corresponde a la idea de “pegar”, “cocer” puntos de un espacio.

Para comprender el contenido que aquí se trata, solo requiere que el lector conozca los conceptos de espacios topológicos, bases y sub-bases.

El texto está dirigido a los licenciados en Física y Matemáticas, y matemáticos que requieran conocimientos de Topología general. Por ello, se brindan suficientes ejemplos y se dan las explicaciones del caso para que los distintos temas tratados, queden en poder de ellos. Deseamos que esta publicación sea del agrado del lector y logre dar respuesta a inquietudes sobre la esplendorosa rama de la topología.

Área: Ciencias ExactasColección: Matemáticas

FERNANDO MESA








9 789586 488082

ISBN 978-958-648-808-2










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