P1PS-FMM312-2015-01
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
SISTEMAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES - FMM312
PAUTA Primera SolemneSistemas y Ecuaciones Diferenciales Lineales - FMM312
Sea P3[x] el espacio vectorial de todos los polinomios de grado estrictamente menor a 3 y H = {p(x) ∈ P3 | p′(1) = 0}.
(a) Muestre que el polinomimo q(x) = x2 − 2x+ 5 es un elemento de H
Solución: Observe que la derivada de q(x) es q′(x) = 2x− 2, así que q′(1) = 2− 2 = 0, por lo tanto q(x) ∈ H.
(b) Muestre que H es un subespacio vectorial de P3.
Solución: Sean p1, p2 ∈ H, entonces:
(p1 + p2)′(1) = p′1(1) + p′2(1) = 0 + 0 = 0 =⇒ p1 + p2 ∈ H
De la misma forma, si αR, p ∈ H,
(αp)′(1) = α · p′(1) = α · 0 = 0 =⇒ αp ∈ H
(c) Encuentre una base para H y halle la dimensión del espacio vectorial H.
Solución: Si p(x) = a+ bx+ cx2 es un elemento de H, entonces:
p′(x) = b+ 2cx =⇒ p′(1) = b+ 2c = 0
así que b = −2c. Entonces, si p(x) es un elemento de H
p(x) = a− 2cx+ cx2 = a(1) + c · (−2x+ x2)
Luego, H = G{1 , −2x + x2} y, dado que estos polinomios son linealmente independientes se concluye que la
base del subespacio vectorial H es H =⟨1 , −2x+ x2
⟩y su dimensión es 2.
SOLUCIÓN PROBLEMA 1.
Considere
W =
{(x, y, z, w) ∈ R4
/x+ y + z + w = 02x+ y − z + w = 0
}; H =
{(x, y, z, w) ∈ R4
/3x+ y + z − w = 04x− y − z + 2w = 0
}(a) Determine base y dimensión de H ∩W y H +W
Solución: Calculamos las bases de los espacios W y H, obteniendo que
W = {(2,−1, 1, 0) ; (0,−1, 0, 1)}
H = {(1,−10, 0,−7) ; (0,−1, 1, 0)}
Luego, para analizar la suma aplicaremos el teorema del rango, esto es:
2 −1 1 00 −1 0 11 −10 0 −70 −1 1 0
∼
2 −1 1 00 −1 0 10 −19 −1 −140 −1 1 0
∼
2 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 −310 0 1 −1
∼
2 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 −310 0 0 −32
Esto implica que la dimensión del espacio W + H es 4, por lo tanto, utilizando el teorema de dimensiones se
concluye que:
dim(H ∩ W ) = 0
(b) ¾R4 = H ⊕W?
Solución: Utilizando lo analizado en la parte (a) se concluye que R4 = H ⊕ W , ya que dim(H ∩ W ) = 0 y,
dim(R4) = dim(H) + dim(W )
SOLUCIÓN PROBLEMA 2.
2
Considere T : R3 → R3 de�nida por
T (x, y, z) = (2x− y , x+ y + z , 3x− y + z)
Calcule [T ]αα si
[I]αβ =
2 1 11 2 21 1 2
y β = {(4, 2, 2) ; (4, 0, 2) ; (4, 2, 0)}
Solución: Sabemos que [T ]αα = [I]αe · [T ]eα, donde e corresponde a la base canónica, por lo tanto para encontrar la
base α relacionada en la ecuación anterior utilizaremos la matriz [I]βα la cual se obtiene calculando la inversa de [I]αβ ,esto es:
2 1 1 1 0 01 2 2 0 1 01 1 2 0 0 1
∼ 2 1 1 1 0 0
0 3 3 −1 2 00 1 3 −1 0 2
∼ 6 0 0 4 −2 0
0 3 3 −1 2 00 0 6 −2 −2 6
∼ 1 0 0 2
3 − 13 0
0 1 0 0 1 −10 0 1 − 1
3 − 13 1
Lo anterior implica que si α = {~v1 ; ~v2 ; ~v3} entonces:
~v1 =2
3· (4, 2, 2) + 0 · (4, 0, 2) +
(−1
3
)· (4, 2, 0) =
(4
3,2
3,4
3
)
~v2 = −1
3· (4, 2, 2) + 1 · (4, 0, 2) +
(−1
3
)· (4, 2, 0) =
(4
3,−4
3,4
3
)~v3 = 0 · (4, 2, 2) + (−1) · (4, 0, 2) + (1) · (4, 2, 0) = (0, 2,−2)
=⇒ [I]eα =
43
43 0
23 − 4
3 2
43
43 −2
Lo cual implica que
[I]αe =
0 1
112
34 − 1
2 − 12
12 0 − 1
2
Calculamos [T ]eα por medio de
T
(4
3,2
3,4
3
)=
(2,
10
3,14
3
); T
(4
3,−4
3,4
3
)=
(4,
4
3,20
3
); T (0, 2,−2) = (−2, 0,−4)
Finalmente
[T ]αα =
4 4 −2
− 52 −1 1
2
− 43 − 4
3 1
SOLUCIÓN PROBLEMA 3.
3